ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 図形の形質 / ちぬわ

（１）
Ap:pb=ac:cb
ゆえに
Ap=2/2+1ab
になぜなるのかわかりません。

（２）
Ad=bc-2x. なのですが、なぜ２ｘなのですか？

No.33356 - 2015/10/02(Fri) 09:00:30

☆ Re: 図形の形質 / ヨッシー

(1)
AP:PB＝AC:CB ゆえに・・・ではなく
AP:PB＝２：１ゆえに AP＝(2/3)AB です。
間にもう一行入れるなら、
　AP:AB=２：３
です。

(2)
その直前にある「等脚台形である」を踏まえて、
ＤからＢＣに垂線をおろし、ＢＨ＝ｘと等しい部分を
ＢＨ以外に見つけましょう。

No.33357 - 2015/10/02(Fri) 09:26:57

☆ Re: 図形の形質 / ちぬわ

回答ありがとうございます。
解説がはぶられていると難しく感じます。。。

No.33364 - 2015/10/03(Sat) 10:05:32

★ 数Aの質問です / komura

大問112の解説をお願いします。

No.33352 - 2015/10/01(Thu) 23:15:46

☆ Re: 数Aの質問です / ヨッシー

３、４，５，６のいずれかが出る場合をＸとすると、
１１１２２ＸＸの順に目が出るのは１つの例で、その確率は
　(1/6)×(1/6)×(1/6)×(1/6)×(1/6)×(2/3)×(2/3)＝1/17496
です。
１１１２Ｘ２Ｘの順に出るのも、１つの例で確率は 1/17496 です。

１１１２２ＸＸの並べ替えがｋ通りとすると、
求める確率は k/17496 となります。

答えは、35/2916 となります。

No.33354 - 2015/10/02(Fri) 06:24:45

★ 弦 / 北陸新幹線

半径1の円に内接する正ｎ角形の異なる二つの頂点を結ぶ線分（辺と対角線）の総数をMn、それらの長さの総和をLnとするとき、lim(ｎ→∞）Ln/Mnを求めよ。

中心角2kπ/n（k=1,2,・・・,n-1)に対する弦はｎ本あり、それらの長さは２sin(kπ/n)
『kが１，２、・・・、ｎ－１を動く時、全ての弦が２回ずつ現れるから、Ln=(1/2)Σ(k=1~n-1)2nsin(kπ/n)』

の『』の部分が分かりません。全ての弦が二回ずつ現れるというのも意味分かりません。困っているのでどなたか教えてください、よろしくおねがいします

No.33346 - 2015/10/01(Thu) 21:35:59

☆ Re: 弦 / IT

例えばn=3のとき、正３角形ＡＢＣを考えると
ＡＢの中心角は2π/3と2π-(2π/3)の２つが対応しますから
２回カウントされるということだと思います。

No.33349 - 2015/10/01(Thu) 22:52:52

☆ Re: 弦 / IT

nが偶数のとき、
二つの頂点を結ぶ線分が直径のときは１回しか出てこないような気もします。　もう少し考えて見ます。

直径はn/2本なので、計算結果は合うようですね。

No.33350 - 2015/10/01(Thu) 23:02:40

☆ Re: 弦 / 北陸新幹線

ありがとうございます。答えが間違っているという可能性もあります。訂正案や、こちらの解法の方が分かりやすいというのでも大歓迎です、よろしくおねがいします

No.33355 - 2015/10/02(Fri) 07:51:32

☆ Re: 弦 / 黄桃

ITさんのおっしゃる通りです。もっといえば、角度の動く方向を固定している（例えば右回り）ので、
直径であってもXYという弦を Xから円周に沿って右回りでYに行く場合とYから右回りでXに行く場合とで別に（2回）数えている、
ということです。

以下のように頂点を先に固定する方法もありますが、いいたいことは同じでしょう。

１つの頂点Xを固定する。Xを端点とする弦は(n-1)本あり、それらの長さの合計はΣ_[k=1,n-1] 2sin(kπ/n)
Xがすべての頂点を動くと、その和は n(Σ_[k=1,n-1] 2sin(kπ/n)) となる。
すべての弦は2回ずつ（弦XYは頂点Xと頂点Yの場合に）重複して数えられているから、Ln=(1/2)Σ(k=1~n-1)2nsin(kπ/n)

No.33363 - 2015/10/03(Sat) 09:22:43

☆ Re: 弦 / 北陸新幹線

2回づつとはそういうことだったのですね！よくわかりました、お二方ありがとうございます！

No.33416 - 2015/10/04(Sun) 21:28:58

★ グラフを平行移動すると…の証明 / イオ(高3・文系)

【問題】
3次関数f(x)=x^3+3ax^2+bx+cに関して、
(中略)
y=f(x)のグラフは平行移動によってy=x^3+(3/2)mxのグラフに移ることを示せ。
※中略の部分で、m=(2/3)b-2a^2という値が出ています。

解答・解説では画像のように証明していたのですが、いまいち証明されていると感じられません…。
適当なp、qの値が出たから、y-q=f(x-p)はy=x^3-2a^2に一致する、すなわちy=f(x)のグラフは平行移動によってy=x^3+(3/2)mxのグラフに移る、ということですか？
また、他に証明方法はありますか？

No.33343 - 2015/10/01(Thu) 20:01:32

☆ Re: グラフを平行移動すると…の証明 / X

>>適当なp、qの値が出たから、～ということですか？
p,qの値は決して適当な(つまりたまたま得られた)値
ではありません。
平行移動後の曲線の方程式が
y=f(x-p)+q
となることから
f(x-p)+q=x^3+(3/2)mx
が恒等的に成立することを使って、
係数比較によりp,qについての
方程式を導き、解いて得られる値です。

No.33344 - 2015/10/01(Thu) 20:59:28

☆ Re: グラフを平行移動すると…の証明 / イオ(高3・文系)

早速の回答ありがとうございます。
紛らわしい言い方をしてすみません…いわゆる「テキトー」ではなく、「条件に当てはまっている、ふさわしい」という意味で「適当」という言葉を使っていたつもりでした…。

No.33348 - 2015/10/01(Thu) 22:22:07

☆ Re: グラフを平行移動すると…の証明 / 歌声喫茶

>他に証明方法は

本質的には同じ(というか単に書き方が違うだけ)ですが、
その解答と同じ計算を計算用紙で済ませておいて、解答用紙にはさも一目で見抜いたかのように

「y=f(x)のグラフをx軸方向にa,y軸方向に-2a^3+ab-c移動させたグラフは、y-(-2a^3+ab-c)=f(x-a)であるから―」

とか書き始めて適当に整理したふりをして最終的にy=x^3+(3/2)mxを得る、というような書き方をしてもよいでしょう。こういう流れであっても釈然としませんか？

＃試験の答案として重要なのは、問われているように、移動させれば一致するという事実を示すことで、a,-2a^3+ab-cをどのように得たかということは重要ではありません(途中で計算ミスがあった場合の部分点はもらえるかもしれませんが)。なので、式を見ただけで一目でa,-2a^3+ab-cを見抜ける慧眼の持ち主ならもとの答案のような作業は不要です。私には無理ですが。

No.33359 - 2015/10/02(Fri) 16:21:29

★ (No Subject) / アカシロトモ

問題
3次方程式ax^3+bx^2-1=0(a,bは整数で、b＞a＞2)について、
(1) 異なる3つの実数解を持つことを証明せよ.
(2）3つの実数解をα,β,γ（α＜β＜γ)とするとき、
｜α｜＞｜β｜＞｜γ｜
が成立することを証明せよ.

お世話になりますが、よろしくお願いします.

No.33333 - 2015/09/30(Wed) 21:18:37

☆ Re: / IT

f(x)=ax^3+bx^2-1とおく
(1) f(-1)=-a+b-1≧0
　　・f(-1)=0のときb=a+1で f'(-1)=3a-2b=3a-2a-2=a-2＞0
(2) f(0)=-1＜0
(3) f(1)=a+b-1＞0
(4) x＞0において
　　　f(x)-f(-x)=2ax^3＞0なので
　　　f(x)≦0のときf(-x)＜0

これらをもとにグラフを描いてみると出きそうです。

No.33335 - 2015/10/01(Thu) 00:16:51

☆ Re: / アカシロトモ

ITさん

いつもお世話になります。
学校で考えてみます.
ありがとうございました.

No.33338 - 2015/10/01(Thu) 07:56:22

☆ Re: / IT

極値を求めてもできますが、極大値の評価が少しめんどう。

f(x)=ax^3+bx^2-1とおく
f'(x)=x(3ax+2b)
f(x)はx=-2b/(3a)で極大,x=0で極小

極大値
f(-2b/(3a))
=-(8b^3)/(27a^2)+(4b^3)/(9a^2)-1
=(4/27)(b^3)/(a^2)-1
≧(4/27){(a+1)^3}/(a^2)-1　（∵bはaより大きい整数）
＝(4/27){a+3+3/a+1/(a^2)}-1
＞(4/27)7-1＞0　（∵aは３以上の整数）

極小値
f(0)=-1＜0

後は同じです。

No.33345 - 2015/10/01(Thu) 21:07:15

☆ Re: / アカシロトモ

IT さん

今塾帰りで拝見しました.
しっかり勉強させていただきます.
ありがとうございました.

No.33347 - 2015/10/01(Thu) 22:15:56

★ 合同式 / かぶるまん（高校２）

続けて投稿して申し訳ありません。

１、（１）（２）の内容は、この問題に限らず、一般にどんな問題でも、証明なしに用いてもいい事実ですか？

２（３）の記述答案に不備があればお申しつけください。

３、（☆）の段階で「6｜n^3-n」なので、(mod4)で「n^3-n」を調べるだけでもいいのですか？

No.33331 - 2015/09/30(Wed) 20:09:33

☆ Re: 合同式 / かぶるまん（高校２）

以下、問題です。

No.33332 - 2015/09/30(Wed) 20:10:21

☆ Re: 合同式 / ヨッシー

ここ最近の記事で気になったのですが、
　6｜n^3-n
という書き方は、一般には認知されていないと思います。
ｍがｎの約数であることを　ｍ｜ｎで表す、とことわりがいるはずです。

さて、本題ですが、
１．「どんな問題でも」というと語弊があります。
問題で求めている内容が、(1)(2) は当たり前として見なせる
レベルであれば「連続する３つの整数の積は６の倍数なので」
で済ませられる場合もあります。

２．とくに問題はありませんが、
　4k(2k+1)(k+1)
において、k(k+1) は連続した２個の整数なので、即座に
２の倍数と結論付けられます。

３．それは　n^3－n が６の倍数かつ４の倍数であることを
示せば十分か？ということでしょうか？
そういう意味でしたら、もちろんダメです。
１２，３６など。

No.33336 - 2015/10/01(Thu) 07:22:16

☆ Re: 合同式 / かぶるまん（高校２）

ご丁寧に分かりやすく回答していただきありがとうございます。

２、３について、確かにそうですね。

これからもよろしくお願いいたします。

No.33341 - 2015/10/01(Thu) 17:13:12

★ 合同式記述 / かぶるまん（高校２）

１、赤い丸で囲ってある部分は、「＝」でいいですか？「合同マーク」でないとダメですか？

２、１番はじめの宣言は３つのうちどれでも問題ありませんか？（この場合、青色の（mod10）は答案には書かない）

３、宣言がない場合、（mod10)と書くことになりますが、その場合、合同マークが出てくると逐一（mod10）と書かないとダメですか？それとも、二重下線部分のように、１番最後に書くだけでいいですか？

よろしくお願いいたします。（本題に関係ありませんが、問題は「47^2011の1の位の数」です）

No.33329 - 2015/09/30(Wed) 19:57:22

☆ Re: 合同式記述 / ヨッシー

いずれも、確信を持っては答えられません。
参考書なり問題集なりの解答に書かれている書き方を真似るのが無難です。

特に、１，は、「≡」を使えば全く問題ないところを、なぜ
リスクを負って「＝」を使いたいのでしょうか？

No.33337 - 2015/10/01(Thu) 07:28:21

☆ Re: 合同式記述 / かぶるまん（高校２）

僕の中では、合同マークは例えば「7と1(mod6)」のように、余りが同じの違う２数で使うイメージが強かったので…（もちろん、定義にあてはめると、「７と７」でも問題ないことは明らかですが）

「＝」を使うことはリスクを負うことなのですか？

No.33342 - 2015/10/01(Thu) 17:16:24

★ 複素数 / おまる

いつもお世話になっております。
問題の解答でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の解答の波線部の論理がいまいち理解できません。
何故このようにしたのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.33327 - 2015/09/30(Wed) 17:13:57

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

図は、ｎ＝５，ｎ＝６の時の、ω、ω^2・・・および、
それらを２乗した　ω^2、ω^4・・・を複素数平面上に表したものです。

ｎが奇数の場合は、２乗しても最初のｎ個の数を満たす、ｎ次方程式を作る必要がありますが、
ｎが偶数の時は、２乗すると、点が半分になり、n/2 次方程式を作るだけで良くなるのです。

No.33328 - 2015/09/30(Wed) 17:30:37

☆ Re: 複素数 / おまる

ご回答ありがとうございました。
丁寧な説明をしてくださったのでとても楽に理解することができ大変助かりました。

No.33330 - 2015/09/30(Wed) 20:04:04

★ 整数 / かぶるまん（高校２）

例題１０９の解答は以下のとおりでいいですか？

No.33322 - 2015/09/29(Tue) 21:15:35

☆ Re: 整数 / かぶるまん（高校２）

続き。

No.33323 - 2015/09/29(Tue) 21:16:05

☆ Re: 整数 / ヨッシー

入試レベルの問題で、もしこういう問題が出たら、その解答で問題ありません。

が、この例題は、互いに素とは？公約数とは？を根本の
所から示す問題ですので、この解答のような手順も押さえておいた方が
後々のためになると思います。

No.33325 - 2015/09/30(Wed) 07:19:31

☆ Re: 整数 / かぶるまん（高校２）

朝早くからありがとうございます。

No.33326 - 2015/09/30(Wed) 17:11:08

★ かいとうおねがいします / ダル

(2)が分かりません。

No.33317 - 2015/09/29(Tue) 11:06:47

☆ Re: かいとうおねがいします / X

(1)の結果を代入し、区分求積法を適用します。

No.33318 - 2015/09/29(Tue) 13:18:26

☆ Re: かいとうおねがいします / ダル

できました！！

No.33319 - 2015/09/29(Tue) 18:46:54

☆ すこし気になることが / ダル

最後の方で1行目のようなかたちになったのですが、そのあとどのようにすればよいか迷ってます。2行目のようにlimを2使えばいいのでしょうか？
どうすれば減点されなくなりますか？

No.33320 - 2015/09/29(Tue) 20:37:27

☆ Re: かいとうおねがいします / X

書かれているように二つに分けても問題ありません。
只、特に分けなくても
1/(2n)→0(n→∞)
ですので、一行目からいきなり三行目に行っても
書き方としては問題ありません。

No.33324 - 2015/09/30(Wed) 06:04:46

☆ Re: かいとうおねがいします / ダル

ありがとうございます！

No.33339 - 2015/10/01(Thu) 10:04:26

★ (No Subject) / 吉野

添付した画像について、二進法のところに質問があります。
最後1、2と出ていますが、2部分が０になるまで計算するのだと思っていました。違うのでしょうか？？
どうぞ宜しくお願いします。

No.33305 - 2015/09/27(Sun) 18:24:25

☆ Re: / X

1/5を2進法で表した結果がもし有限桁の小数で
あればその通りで0で終わります。
ですが、解答枠の上に・がついていることからも
分かるとおり、1/5を2進法で表した結果は
循環小数となり、0では終わらず無限に続きます。
実際に計算しても0にならないのはそういうわけ
です。

No.33306 - 2015/09/27(Sun) 18:34:35

☆ Re: / 吉野

よくわかりました！どうもありがとうございました！

No.33690 - 2015/10/20(Tue) 19:02:42

★ 回答教えてください / 初見です

積分の質問です。添付画像の問題を解いているのですがうまく答えが出せません。定数部分を文字でおいて計算しているのですが。
どのようにすればいいか教えてください。

No.33301 - 2015/09/27(Sun) 16:39:47

☆ Re: 回答教えてください / X

(i)より
{3xe^(-x)}∫[0→2](e^t)f(t)dt+{e^(-x)}∫[0→2](te^t)f(t)dt=af(t) (A)
∴
∫[0→2](e^t)f(t)dt=ab (B)
∫[0→2](te^t)f(t)dt=ac (C)
(b,cは定数)
と置くと(A)より
f(x)=3bxe^(-x)+ce^(-x) (D)
(D)を(B)(C)に代入すると
∫[0→2](3bt+c)dt=ab (B)'
∫[0→2](3bt^2+ct)dt=ac (C)'
左辺の積分を計算して整理すると
(6-a)b+2c=0 (B)"
8b+(2-a)c=0 (C)"
∴
A=M{(6-a,2),(8,2-a)}
↑u=(b,c)(縦ベクトル)
とすると(B)"(C)"はまとめて
A↑u=↑0 (E)
となります。

(ii)より↑u≠↑0に注意すると
(E)より
|A|=a^2-8a-4=0
a＞0に注意してこれを解いて
a=4+2√5 (F)

後は(F)を(B)"に代入してcを
bで表し、更に結果を(D)に
代入します。
更にその結果を(ii)に代入して
bについての方程式を立てます。

No.33304 - 2015/09/27(Sun) 18:10:32

☆ Re: 回答教えてください / 初見です

回答ありがとうございます。
定数の置き方うまいなーと思いました。私はあなたのようにうまくおくことができず、(a^2-8a-4)A=0 (Aはabとおかないせいで出てきたものです。) A=0のかいは(?A)に反するでけせばいいのでしょうか？

それともあなたのように置かないとだめでしょうか？

No.33310 - 2015/09/27(Sun) 20:37:32

☆ Re: 回答教えてください / X

回答をする前にこちらから質問しますが
初見ですさんは
∫[0→2](e^t)f(t)dt=b
∫[0→2](te^t)f(t)dt=c
というような定数の置き方をしたのですか？
それともこれとは異なる置き方をしたので
しょうか？
もし異なる置き方をされているのであれば
置いた等式をアップして下さい。
(No.33310の内容のみではAの中身が分からない
ので、正しいかどうか判断しかねます。)

No.33313 - 2015/09/27(Sun) 23:48:17

☆ Re: 回答教えてください / 初見です

こんな感じです。

No.33314 - 2015/09/28(Mon) 22:52:55

☆ Re: 回答教えてください / X

そうすると
f(x)=3(A/a)xe^(-x)+(B/a)e^(-x)
となりますので(1)(2)は
(1/a)∫[0→2](3At+B)dt=A
(1/a)∫[0→2](3At^2+Bt)dt=B
ですがこれらは
∫[0→2](3At+B)dt=Aa (1)'
∫[0→2](3At^2+Bt)dt=Ba (2)'
となりますので得られる方程式の形は
(B)"(C)"と同じになります。

ということでNo.33310の
>>(a^2-8a-4)A=0
とは(1)'(2)'からBを消去したもの
ということになるのでしょうか？
でしたら、A=0のときに(ii)に反する
理由、つまり
(1)'よりB=0となる
ということを明記しておけばそれで
問題ありません。

No.33315 - 2015/09/29(Tue) 04:57:16

☆ Re: 回答教えてください / 初見です

わかりました。ありがとうございます(°_°)

No.33316 - 2015/09/29(Tue) 09:10:10

★ 順列組合せ / セメント

(1)2種類の記号⚫︎,ーを6個並べてできる信号は何種類あるか。
(2)2種類の記号⚫︎,ーを最大6個まで並べてできる信号は何種類あるか。
この２つの問題の違いと、考え方の過程がわかりません。
お願いします。

No.33293 - 2015/09/27(Sun) 10:48:20

☆ Re: 順列組合せ / X

(1)
求める信号の数は異なる2つから6個を選ぶ
重複順列の数に等しく
2^6=64[種類]

(2)
「最大」6個という条件がついているので
k個(k=1,2,3,4,5,6)の場合を考えて
和を取る必要があります。
ということで求める信号の数は
Σ[k=1～6]2^k=2(1-2^6)/(1-2)
=126[種類]

No.33294 - 2015/09/27(Sun) 11:10:47

☆ Re: 順列組合せ / セメント

場合分けですね、ありがとうございました

No.33296 - 2015/09/27(Sun) 11:45:50

★ (No Subject) / mako

答えはあっているのですが、記述試験において、記述の仕方がよくわかりません。

以下の解答で通じますか。直すべき表現、より適切な表現、あれば教えてください。

（問）Aを始点、Bを終点として一筆がきする方法の数を求めよ。

No.33292 - 2015/09/27(Sun) 10:20:34

☆ Re: / ヨッシー

まず、最後の答えは８４６ではなく８６４です。これは致命的。
また、「とーり」でなく「とおり」または「通り」。
これは本番ではちゃんと書かれるでしょうから、注意だけ。

あとは、「バック」という言葉がちゃんと伝わるかどうかです。
Ｃ→Ｄ、Ｄ→Ｅ、Ｅ→Ｆと進むことを「前進」。
Ｄ→Ｃ、Ｅ→Ｄ、Ｆ→Ｅと進むことを「バック」と呼ぶことにします。
また、最初にＤに来たときにすぐにＣに戻ることを「Ｄでバック」Ｅに進むことを「Ｄを通過」と
言うことにします。Ｅについても同様です。また、Ｆでは必ずバックします。
とまず定義しておいて、
(1)
Ｄでバック、Ｅでバック、Ｆでバックする場合
ＣＤ間、ＤＥ間、ＥＦ間の一筆書きの仕方は各６通りなので、
　6×6×6＝216(通り)
(2)
Ｄを通過しＥでバック、その後Ｆでバックする場合
　3×3×2×2×3×2＝216(通り)
Ｄでバック、Ｅで通過しＦでバックする場合も同様に 216 通り
(3)
Ｄ，Ｅで通過し、Ｆでバックする場合
　3×3×3×2×2×2＝216(通り)

以上より、216×4＝864(通り)

ぐらい書いておけば、まあまあいけるでしょう。

No.33300 - 2015/09/27(Sun) 16:03:51

☆ Re: / mako

またまた、ヨッシーさん、ITさん！！

本当にわかりやすいご指摘ありがとうございます。

確かにおっしゃられるとおりですね。

No.33303 - 2015/09/27(Sun) 17:40:44

☆ Re: / IT

枝葉末節だったので削除しましたが、再掲載しておきます。
本質的な部分は、ヨッシーさんの指導のとおりだと思います。

元の答案について、枝葉末節ですが
・図で　AC,FB間の←→は無い方がいいと思います。

・「隣り合う黒丸（・）同士の間隔」は
　「隣り合う点（・）の間」でいいと思います。
　※単に記述量を減らすのが主な目的です。

No.33307 - 2015/09/27(Sun) 18:44:41

☆ Re: / mako

わざわざご丁寧にありがとうございます。

No.33321 - 2015/09/29(Tue) 20:39:42

★ 問題文の意味 / mako

問４条件（２）の日本語の意味がわかりません。咀嚼して、教えていただけませんか？（（２）の意味だけで、それからは自分で考えたいので、あくまでも（２）の意味だけでお願いします。）

No.33278 - 2015/09/26(Sat) 22:16:37

☆ Re: 問題文の意味 / ヨッシー

おそらく、点Ｏに戻った後、再出発しても良いのでしょう。

Ｏから環状道路に出て、反時計回りにどれだけか進んで、
Ｏに戻ると１つの扇形が出来ます。

扇形１個作ってそれで終わっても良いし、扇形が重ならない範囲で、
何回も（最大３回）扇形を作っても良いのです。

図の左は扇形２個の例ですが、これは
?@の扇形を先に作って後で?Aを作っても、
?Aが先で?@が後でも条件を満たします。

右は扇形３個の場合で、これは、
?@?A?B、?A?B?@、?B?@?A の順に進むのはＯＫですが、
?@?B?A、?A?@?B、?B?A?@　の順はダメです。

No.33281 - 2015/09/26(Sat) 22:46:43

☆ Re: 問題文の意味 / mako

お二方とも懇切丁寧なご回答ありがとうございました。

以下、解答を掲載しておきます。

これからもよろしくお願いします。

No.33284 - 2015/09/26(Sat) 23:07:04

☆ Re: 問題文の意味 / ヨッシー

ひょっとして、中学入試ですか？

チラッと見えている５番のお団子は正にそうなので。

こちらおよびその解答

No.33287 - 2015/09/26(Sat) 23:42:18

☆ Re: 問題文の意味 / mako

これです。

No.33290 - 2015/09/27(Sun) 09:41:22

★ 確率 / ふぇるまー

お世話になっております。
質問です。
問:袋の中に?@?A?B?Cの4枚のｶｰﾄﾞが入っている。この袋からｶｰﾄﾞを1枚ずつ取り出し、取り出したｶｰﾄﾞに書かれた数を記録して袋に戻すことを4回繰り返す。

記録された数の最大値、最小値をそれぞれM,nとすると、
(1)　M≦3、M=3である確率はそれぞれ?@、?A。

(2)　M=3かつm=1である確率は?B。

どうかご教授くださいませ。

No.33270 - 2015/09/26(Sat) 21:47:22

☆ Re: 確率 / ヨッシー

(1)
Ｍ≦３　とは「４が出ない」ということなので、
　3^4／4^4＝81/256
そのうち、「３も出ない」場合の数は　2^4＝16 なので、
　(81-16)/256＝65/256

(2)
４が出ない場合の数：3^4＝81
このうち
１が出ない場合の数：2^4＝16
３が出ない場合の数：2^4＝16
１も３も出ない場合の数：1^4＝1
よって
１か３の少なくとも一方が出ない場合の数は　16+16-1＝31
　81－31＝50
が、４が出ていなくて、１と３の両方出ている場合の数です。
求める確率は、
　50/256＝25/128

No.33277 - 2015/09/26(Sat) 22:14:59

☆ Re: 確率 / ふぇるまー

ありがとうございます

No.33282 - 2015/09/26(Sat) 22:53:04

★ (No Subject) / ちぬわ

相似の問題からわかりません。
90-<abd=<bcfになぜなうのですか？

また、cp/cd=ab\ad. になるのがわかりません。

No.33269 - 2015/09/26(Sat) 21:46:52

☆ Re: / ちぬわ

問題です

No.33271 - 2015/09/26(Sat) 21:47:56

☆ Re: / ちぬわ

加えて、▲adc∽▲bdpになるのですが、何故でしょうか？

No.33273 - 2015/09/26(Sat) 22:04:05

☆ Re: / ヨッシー

前半
△ＡＢＤと△ＣＢＦが相似な直角三角形だからです。
後半
△ＡＢＤ∽△ＣＰＤ
とすぐ上に書いてある、まさにそのためです。

No.33274 - 2015/09/26(Sat) 22:04:05

☆ Re: / ヨッシー

>加えて、▲adc∽▲bdpになるのですが、何故でしょうか？
図にある×の角と直角が共通だからです。

No.33276 - 2015/09/26(Sat) 22:13:51

☆ Re: / ちぬわ

やっと解りました！ありがとうございます。

No.33279 - 2015/09/26(Sat) 22:23:56

★ 練習２０７ / かぶるまん（高校２）

この問題を解くときに、どの長さを文字で置くのがいいのか、教えてください。（答えまでは大丈夫です）（なぜ、その長さを文字で置いたのか、そこをしっかりお願いします。）

よろしくお願いします。

No.33266 - 2015/09/26(Sat) 20:38:05

☆ Re: 練習２０７ / ヨッシー

底面の半径です。
理由は真っ先に思いついたからです。

私の信条は「最初に思いついたのが良い解法」なので。

多少遠回りでも、７合目まで登った山を、また下りて近道を
行き直すよりは、そのまま登った方が速いのと同じです。

他にも、母線の長さ、円錐の高さ、ある部分の角度などありますが、
どれも底面の半径が決まったら自動的に決まるので、さほど
差はないと考えます。

No.33268 - 2015/09/26(Sat) 21:32:24

☆ Re: 練習２０７ / かぶるまん（高校２）

ありがとうございます。

やって見ましたが、どうすればいいですか？

No.33275 - 2015/09/26(Sat) 22:13:09

☆ Re: 練習２０７ / ヨッシー

f(r)＝ｒ√{2(1＋√(1-r^2))} とおきます。（※側面積は πf(r) になります）

図は、円錐を真横から見た図ですが、∠ＢＯＭ＝θ （０＜θ≦π/2）とおきます。
このときｒ＝sinθ であり、
　f(r)＝sinθ√{2(1+cosθ)}
　　＝2sin(θ/2)cos(θ/2)・2cos(θ/2)
　　＝4sin(θ/2)cos^2(θ/2)
　　＝4sin(θ/2)(1－sin^2(θ/2))

ここで、g(x)＝x-x^3 とおくと、
　g'(x)＝1－3x^2
より、ｘ＝1/√3 で、g(x) は極大(０＜ｘ＜１での最大）となります。
　sin(θ/2)＝1/√3、cos(θ/2)＝√(2/3) より
　ｒ＝sinθ＝2√2/3

という具合でどうでしょう？

No.33286 - 2015/09/26(Sat) 23:32:19

☆ Re: 練習２０７ / mako

ありがとうございました。

No.33291 - 2015/09/27(Sun) 09:44:00