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★ 確率について / 1456
この問題を解いていて答えが何度やっても1/5になってしまいます。本当の答えは1/6なのですが、どちらが正しいかお指摘よろしくお願いします。
問題
1から6までの目が出る大小1つずつのさいころを同時に1回投げる。大きいサイコロの出た目の数をa,小さいサイコロのでた目の数をbとするとき、3a+2bの値が6の倍数になる確率を求めよ。　
ただし、大小2つのさいころはともに、1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
No.33126 - 2015/09/21(Mon) 17:32:29
☆ Re: 確率について / IT
1/6が正解

6×6の表を書くのが確実。
No.33127 - 2015/09/21(Mon) 18:09:03
☆ Re: 確率について / X
全ての目の出方は
6・6=36
ここで
3a+2b
において2bが偶数であることと
6の倍数が偶数であることに注意すると
aは少なくとも偶数でなければなりません。
すると3aは6の倍数となりますので2bも
6の倍数でなければならず、結局
bは3の倍数
となりますので
(a,b)=(2,3),(2,6),(4,3),(4,6),(6,3),(6,6)
つまり条件を満たすa,bの組は
6通り
となりますので求める確率は
6/36=1/6
となります。
No.33128 - 2015/09/21(Mon) 18:11:33
☆ Re: 確率について / X
仮に求める確率が1/5であると仮定し
3a+2bが6の倍数であるようなa,bの組が
n通りあるとすると
n/36=1/5
これより
n=36/5
となりnが自然数にならないので
少なくとも1/5は誤りであることが分かります。
No.33129 - 2015/09/21(Mon) 18:16:14
☆ Re: 確率について / 1456
今まちがいに気付きました。
ご丁寧に解説ありがとうございます！
No.33130 - 2015/09/21(Mon) 18:33:15
★ 軌跡　、2次関数 / ふぇるまー
問?@　k=定数、円C:x^2+y^2-kx-2ky+5k-25=0がある。
　　　　円Cの中心の軌跡の方程式=?

問?A　xが1≦x≦8の範囲を動く時、　　　　　　　　　　　　　　f(x)=(log2x)^2-4log2x^2+1の最小値=?

問?B　a=正の定数　直線y=xが放物線y=ax^2によって切り取られる線分の長さが√10のとき、a=?

以上、お願いいたします。
No.33124 - 2015/09/21(Mon) 15:54:07
☆ Re: 軌跡　、2次関数 / X
問1
Cの中心の座標を(X,Y)としてX,Yをkの式で表し、
この二つの式からkを消去します。
但し、円の半径が正であることからkに対して
条件がつきます。
その条件式からもkを消去してXに対する
条件式を導きましょう。

問2
log[2]x=t
と置いてf(x)をtの式で表しましょう。
但し
1≦x≦8
からtの値の範囲について条件がつくことに
注意しましょう。

問3
問題の二つのグラフの交点のx座標について
ax^2=x
a＞0に注意してこれを解くと
x=0,1/a
よって交点の座標は
(0,0),(1/a,1/a)
条件からこの二点を結ぶ線分の長さが√10
ですのでaについての方程式を立てると…。
No.33125 - 2015/09/21(Mon) 17:25:17
☆ Re: 軌跡　、2次関数 / ふぇるまー
ご丁寧に有難うございます
No.33134 - 2015/09/21(Mon) 21:06:54
★ (No Subject) / 吉野
データの分析について、質問があります。
以下の問題です。
No.33122 - 2015/09/21(Mon) 15:40:12
☆ Re: / 吉野
斜めになってしまってごめんなさい…
ヒフヘ部分です。
転出したふたりの数学の点数はどちらも、平均より高いとみなし、上の表に書き込んだ○4つのみに絞り、さらに英語の分散より○2つに絞りました。

一応答えの数値としては合っていましたが、二人の合計が平均点以上であれば良いので、片方が平均点以下である可能性もあると思い、このやり方は間違っていたのかなと思っています。

以上の考え方についてご指摘願います。宜しくお願いします。
No.33123 - 2015/09/21(Mon) 15:44:33
☆ Re: / IT
おっしゃるとおり、数学での絞り込みは不正確だと思います。
転出した２人の英語の得点は
英語の平均が不変なので７点の上下対称な得点で
かつ、英語の分散が減少したので７点より２点以上離れた得点。が必要条件で絞れると思います。
No.33132 - 2015/09/21(Mon) 19:36:48
☆ Re: / 吉野
よくわかりました！ご助言ありがとうございます！
No.33193 - 2015/09/23(Wed) 15:15:06
★ 中２の問題です / doryoku
白玉３個と赤玉２個が袋にあり、ここから１個ずつ、２回とりだす。１回目にとりだしたのが白玉のときは袋に戻さず、赤玉のときは、袋に戻してから２回目を取り出すとき、２回とも白玉の確率はいくらか。という問題なのですが、答えが１０分の３か、１１分の３なのかわかりません。また、確率の掛け算とかわからないので、書いてやるやり方で教えてもらえまさんか。お願いします。
No.33117 - 2015/09/21(Mon) 00:33:08
☆ Re: 中２の問題です / 農場長
doryokuさん，初めまして。

取り出す玉を（１回目，２回目）という座標形式で表します。
また，白玉を白１〜白３，赤玉を赤１，赤２とします。

取り出し方は，
（１）　１回目に白１を取り出すとき
（白１，白２），（白１，白３），（白１，赤１），（白１，赤２）の４通り

（２）　１回目に白２　ｏｒ　白３を取り出すときもそれぞれ４通り

（３）　１回目に赤１を取り出すとき
（赤１，白１），（赤１，白２），（赤１，白３），（赤１，赤１），（赤１，赤２）の５通り

（４）　１回目に赤２を取り出すときも５通り

以上より，全部で４×３＋５×２＝２２通りある中で，
２回とも白玉を取り出すのは６通りあるから，
求める確率は３／１１…（答）
No.33118 - 2015/09/21(Mon) 08:33:01
☆ Re: 中２の問題です / doryoku
農場長さん、ありがとうございます。ということは、３／１０はまちがいということですよね。
No.33135 - 2015/09/21(Mon) 21:08:22
☆ Re: 中２の問題です / 農場長
ハイ、３／１０は誤りです。
No.33136 - 2015/09/21(Mon) 21:50:19
★ (No Subject) / アカシロトモ
問題　a(n)=(n)√n(n=1,2,3,・・・）の最大値・最小値を求めよ.
　a(n)は数列の一般項、(n)√nはn^(1/n)の意味です.
いつもお世話になりますがよろしくおねがいします.
微分法の問題として出題されています.
No.33104 - 2015/09/20(Sun) 21:26:10
☆ Re: / X
問題の{a[n]}のnを実数に拡張するようなイメージで
まず
f(x)=x^(1/x)
と置き、x≧1におけるy=f(x)の
グラフを描くことを考えましょう。

方針としては微分して増減表、と
なるのですが、その後にグラフを
描く際に問題となるのが
lim[x→∞]f(x)
の値の計算です。
これを計算するため
lim[x→∞]logf(x)
(=lim[x→∞](logx)/x)
をはさみうちの原理を使って
求める必要がありますが、
どのような関数ではさみうつ
のかは少し考えてみて下さい。
ヒントは
y=e^x,y=x^2
のグラフの位置関係
と
逆関数の考え方
です。
No.33106 - 2015/09/20(Sun) 21:38:21
☆ Re: / アカシロトモ
X　さん　早速ありがとうございます.
できるかどうかわかりませんが、トライしてみます。
No.33107 - 2015/09/20(Sun) 21:42:22
☆ Re: / Halt0
本問の場合は増減表だけかければ lim_[x→∞]f(x) は求めなくても差し支えないのではないでしょうか。>Xさん
No.33119 - 2015/09/21(Mon) 09:56:19
☆ Re: / X
＞＞Halt0さんへ
計算するとa[n]の最小値は
a[1]=1
となることが分かりますが、このことを示すには
f(x)＞1 (x＞1)
を示す必要がありますので
lim[x→∞]f(x)
の計算は必要です。
No.33120 - 2015/09/21(Mon) 10:39:38
☆ Re: / Halt0
＞Xさん
すみません, 先入観で最大値のみを求める問題だと勘違いしておりました……. 大変失礼致しました.
一応 a>1 のとき a^t は t について単調増加であることを利用して x>1 のとき f(x)=x^(1/x)>x^0=1 とする手もありますね.
No.33121 - 2015/09/21(Mon) 11:14:23
☆ Re: / アカシロトモ
昨日から考えていましたが、私にはy'=0よりx=e,
0<x<eでy'>0,e<xでy'<0が限界のようです.
この後を教えていただけないでしょか.いつもご迷惑おかけします.
No.33133 - 2015/09/21(Mon) 20:58:09
☆ Re: / X
そこまででf(x)の最大値は
f(e)=e^(1/e)
であることが分かりますので
2＜e＜3
により{a[n]}の最大値は
a[2]=√2
a[3]=3^(1/3)
のうちの大きい方になります。
ということで
a[2]とa[3]の大小比較をして
(これはご自分でもう少し考えて
みて下さい)
{a[n]}の最大値は
a[3]=3^(1/3)
となります。

又
f(1)=1 (A)
であり
lim[x→∞]f(x)=1 (B)
ですのでf(x)の最小値は
(A)
∴{a[n]}の最小値は
a[1]=1
となります。
No.33157 - 2015/09/22(Tue) 08:25:52
☆ Re: / X
(B)の(∵)
(B)
⇔lim[x→∞]logf(x)=0 (B)'
∴(B)'、つまり
lim[x→∞](logx)/x=0
を証明します。
まずx→∞を考えるので
x≧1
としてもよく、このとき
g(x)=√x-logx
とすると
g'(x)=1/(2√x)-1/x
=(2√x-1)/(2x)＞0
によりg(x)は単調増加
∴g(x)≧g(1)=1＞0
となるので
logx＜√x
よって
0＜(logx)/x＜1/√x
となるので、はさみうちの原理
より(B)'は成立します。



注)
このことはx≧1において
y=√xのグラフが
y=logxのグラフの
上側にあることが分かります。
しかし、これらの位置関係は
分かりにくいのでこれらの
逆関数である
y=x^2のグラフと
y=e^xのグラフの位置関係を
先に考えることをヒントと
して出しました。
No.33158 - 2015/09/22(Tue) 08:50:30
☆ Re: / X
参考までにy=x^(1/x)のグラフを
アップしておきます。
(但し、特徴を強調するため
意図的にx軸、y軸の比率を
変えているので注意して
下さい。)
No.33159 - 2015/09/22(Tue) 09:23:00
☆ Re: / アカシロトモ
Xさん

何回もしかも詳細な解説ありがとうございました.
力がなくていつもご迷惑おかけしております.
本当にとても助かりました.
No.33161 - 2015/09/22(Tue) 10:54:18
★ (No Subject) / 受験生
Oを原点とする座標平面において、y軸に平行な直線lが円C1：x^2+y^2＝1と交わっている。C1とlの交点をP,Qとし、線分PQを直径とする円をC2とする。C1の外部にあり、C2の内部にある部分の面積をSとし、θ＝1/2∠POQ(0＜θ＜π/2)とする。
(1)Sをθで表せ
(2)Sが最大になるとき、tanθの値を求めよ

解答
(1)π/2sin^2θ−θ+1/2sin2θ
(2)tanθ＝π/2

一応問題は解けたのですが、(2)を三角関数の合成で解くやり方がわかりません。
回答おねがいします
No.33100 - 2015/09/20(Sun) 15:50:34
☆ Re: / X
これは(dS/dθに対してではなくて)Sに対して
三角関数の合成を用いて、ということでしょうか。
もしそうであるなら、そのような方針では
解けません。
No.33108 - 2015/09/20(Sun) 21:52:12
☆ Re: / 受験生
ds/dθに対してです
言葉足らずですみません
No.33111 - 2015/09/20(Sun) 22:18:33
☆ Re: / X
dS/dθ=(π/2)sin2θ+cos2θ-1 (A)
となりますので
dS/dθ=0 (B)
となるとき、
(π/2)sin2θ+cos2θ-1=0 (C)
これより三角関数の合成から
sin(2θ+α)=4/√(π^2+4) (D)
(但しαは
tanα=2/π,0＜α＜π/2
なる角)
となるので(D)を満たすθを求めて
tanθ
の値を求める、としたいところですが
この場合はその方針では解けません。
飽くまで(C)をtanθについての方程式
に変形して解く必要があります。

三角関数の合成は、以下のように
(B)を満たすθの値の前後で
dS/dθの符号が変化することを
確かめるために使います。

三角関数の合成により
dS/dθ=(1/2){√(π^2+4)}sin(2θ+α)-1
(但しαは
tanα=2/π,0＜α＜π/2
なる角)
=(1/2){√(π^2+4)}{sin(2θ+α)-2/√(π^2+4)}
ここで
0＜2/√(π^2+4)＜1
ですので(B)のようなθは存在し、そのθの値の
前後で(A)の符号は変化します。
No.33116 - 2015/09/20(Sun) 23:22:21
★ 二次曲線 / おまる
いつもお世話になっております。
参考書の記述でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の2次曲線の記述で、右ページの一番上に2組の極と極線は互いに相対的な関係になるとあるのですが、これは(α,β)と(p,q)が入れ替えても同じであるということが言いたいのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.33098 - 2015/09/20(Sun) 11:56:11
☆ Re: 二次曲線 / おまる
左ページが見にくかったので貼り直しました。
No.33099 - 2015/09/20(Sun) 11:59:40
★ ベクトル / ARY
高校2年、ベクトルの大きさの問題です
ベクトルの大きさの二乗の最小値とtの値は分かります
ですが、二乗をのけるとき、tの値が変わらず、最小値だけにルートがつくことがよく分かりません

微分したり、ベクトルの大きさをyとおいて解いてみたりとしましたが、全く理解できません
そしてベクトルの大きさのグラフもわかりません(二乗のグラフはわかりました)

どうか解説していただけませんか？よろしくお願いします
No.33094 - 2015/09/20(Sun) 09:59:35
☆ Re: ベクトル / ARY
画像が添付されていなかったようなので！！
No.33095 - 2015/09/20(Sun) 10:00:58
☆ Re: ベクトル / IT
問題集の解答をもういちど良く読まれるといいと思います。

いろいろ書くとかえって混乱すると思いますが、あえて書くとすると

|P↑|^2=20(t-1/2)^2+9 ここまではいいですね？

任意のベクトルの大きさは０以上なので、|P↑|≧0
よって|P↑|=√(|P↑|^2)=√{20(t-1/2)^2+9}
したがって|P↑|はt=1/2のとき最小値√9=3となる。
No.33097 - 2015/09/20(Sun) 10:50:21
★ 図形 / S
AB=BC=CD=1の凸四角形ABCDの面積の最大値を求めよ。
座標をとってやろうとしたんですが、よくわからなくなりました。教えて下さい。
No.33092 - 2015/09/20(Sun) 09:15:19
☆ Re: 図形 / X
ヒントだけ。

凸四角形ABCDを△ABCと△ACDに分割して考えます。
さて、辺ACの長さを固定したとき△ACDの面積は
∠ACD=π/2 (A)
のときに最大になることが分かります。
(辺ACを底辺と見て考えましょう)
一方、△ABCはAB=BCの二等辺三角形ですので
(A)のときに四角形ABCDが凸四角形でなくなる
ことはありません。
そこで
∠ABC=θ
と取り、(A)のときの四角形ABCDの面積の
最大値を求めれば、それが求める最大値
となります。
No.33093 - 2015/09/20(Sun) 09:50:58
★ 図形?A / 数学頑張る！
辺BCの求め方が分かりません。教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.33087 - 2015/09/19(Sat) 08:10:12
☆ Re: 図形?A / 数学頑張る！
全然わからないなりに分かってること書きました。
教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.33088 - 2015/09/19(Sat) 08:11:17
☆ Re: 図形?A / X
図を間違えています。
点Eは内角Bの二等分線と「線分AD」との交点です。

条件から△ABE,△BDEにおいて
辺AE,DEを底辺と見ると
AE:DE=(△ADEの面積):(△BDEの面積)
=2:1
このことと線分BEが内角Bの二等分線
であることから、△ABDに注目すると
AB:BD=AE:DE=2:1
∴BD=(1/2)AB=x/2 (A)
一方、線分ADが内角Aの二等分線であることから
BD:CD=AB:CA=x:y
∴CD=(y/x)BD (B)
(A)(B)より
BC=BD+CD=(1+y/x)BD
=(1+y/x)・x/2
=(x+y)/2
No.33090 - 2015/09/19(Sat) 10:00:21
☆ Re: 図形?A / 数学頑張る！
おかげさまで、BC分かりました。
本当にありがとうございます。
2,3も考えましたがあってますか？
No.33101 - 2015/09/20(Sun) 20:36:56
☆ Re: 図形?A / X
(2)は問題ありませんが、(3)が方針から間違っていますね。
証明すべきことは
cosA≧1/2
です。
No.33109 - 2015/09/20(Sun) 22:01:13
☆ Re: 図形?A / IT
横から失礼します。

(3)は、方針まちがいというよりも、単に「不等号の向きをまちがえた。」ということかも知れませんね？
＝も必要ですけど。
No.33113 - 2015/09/20(Sun) 22:29:30
☆ Re: 図形?A / X
>>ITさん、数学頑張る！さんへ
確かに書き方が不適切でしたね。
失礼しました。
No.33115 - 2015/09/20(Sun) 22:34:47
☆ Re: 図形?A / 数学頑張る！
ありがとうございました。助かりました。
No.33138 - 2015/09/21(Mon) 22:54:34
★ 図形 / 数学頑張る！
正方形の一片をxとおきましたが‥
No.33085 - 2015/09/19(Sat) 07:53:50
☆ Re: 図形 / 数学頑張る！
分かりません。どの部分をxとおけばいいのですか？
教えてください。よろしくお願いいたします。
No.33086 - 2015/09/19(Sat) 08:01:04
☆ Re: 図形 / IT
それでいいと思います。

なお、いくつかの 点の名前、角度などを書いた方が考えやすいと思います。
No.33089 - 2015/09/19(Sat) 08:22:12
☆ Re: 図形 / 数学頑張る！
どのときに最大値になるかはどうやって考えますか？
関数の式にして求めたりしたいのですが、分かりません。教えてください。辺sが最大のとき、面積は最大になりますか？
No.33103 - 2015/09/20(Sun) 21:19:40
☆ Re: 図形 / 数学頑張る！
何回もすみません。
（2）の長方形は一辺をx,もう一辺をyとおくと未知数が2つもあって式が分かりません。教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.33105 - 2015/09/20(Sun) 21:26:48
☆ Re: 図形 / X
>>No.33103について
問題には
「Tに含まれる」正方形
という条件がついています。
従って、 数学頑張る！さんが
添付された図に描かれている

一辺が正三角形の一辺に重なり、
かつ
その辺上にない二つの頂点が
正三角形の他の二辺の上に
あるような正方形

が求める面積が最大となる
正方形となります。
ということで図のxの値を
求めればよいことになります。

>>No.33105について
正三角形である、という条件から
導かれる性質を使えばyはxを用いて
表すことができます。

いずれの質問についても下の図の
赤い三角形に注目しましょう。
No.33112 - 2015/09/20(Sun) 22:28:58
☆ Re: 図形 / 数学頑張る！
分かりました！！
ありがとうございました。助かりました。
No.33139 - 2015/09/21(Mon) 22:55:45
★ 関数 / 数学頑張る！
求めたtの範囲が間違ってる気がしますが、tの範囲の考えた方はあってますか？
No.33081 - 2015/09/19(Sat) 07:08:54
☆ Re: 関数 / 数学頑張る！
自分で考えましたが、場合分けが少なくて間違ってる気がします。
どこが間違えたか教えていただけるとありがたいです。
No.33082 - 2015/09/19(Sat) 07:10:14
☆ Re: 関数 / IT
1)　t＞1ではなくて、t≧1　ですね。(等号はx=-1のとき）

2)　f(1)=1-2a+3=1,f(a)=-a^2+3=1 とありますが間違いですね、
　　f(x)=(x^2+2x+2)^2-2a(x^2+2x+2)+3 ですから
　　f(1)=(1^2+2*1+2)^2-2a(1^2+2*1+2)+3=5^2-10a+3です。
　　g(t)=t^2-2at+3などとおき　g(1)=...とすべきと思います。


3)　a＝1のときを考える必要があると思います。（a＜1かa＞1のどちらかに加えてもいい）

4)　答案に(-1,1)や(a,-a^2+3)を書くのなら、それが何なのか書いた方がいいと思います。頂点(-1,1)などと。
No.33084 - 2015/09/19(Sat) 07:35:17
☆ Re: 関数 / 数学頑張る！
a=1のときは分かりません。
教えてください。
No.33102 - 2015/09/20(Sun) 21:12:47
☆ Re: 関数 / IT
> a=1のときは分かりません。
a=1のときは最小値は１ではありません。
No.33114 - 2015/09/20(Sun) 22:31:36
☆ Re: 関数 / 数学頑張る！
ありがとうございました。助かりました。
No.33137 - 2015/09/21(Mon) 22:51:50
★ 無限等比級数 / おまる
いつもお世話になっております。
わからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の⑵で、0≦公比≦1となっており公比=1の時があるのですが、和の公式が使えるのはどうしてでしょうか？
よろしくお願いします。
No.33078 - 2015/09/18(Fri) 15:23:55
☆ Re: 無限等比級数 / ast
画像を拝見しましたが
> 0≦公比≦1となっており
というのは, 見当たらないように思えるのですが, 具体的にどこの記述のことを仰っていますか?

> 公比=1の時がある
具体的にどういう条件のとき=1になるか, 説明してみて頂けますか?
No.33079 - 2015/09/18(Fri) 15:57:32
☆ Re: 無限等比級数 / おまる
ご回答ありがとうございました。
n≧3であることを見逃しておりましたが、気付くことができました。
No.33091 - 2015/09/19(Sat) 10:49:24
★ まず、何をしたらいいのか… / tds
実数x,yが,x^2+4xy+5y^2=1…(＊)を満たしている。この時,2x+3yの最大値,最小値と,それらを与えるx,yの値をそれぞれ求めよ。

「たぶん、2x+3y=kとか置いて…あれ？(＊)ってどう処理するんだ？」って感じです。よろしくお願いします
No.33074 - 2015/09/18(Fri) 06:55:51
☆ Re: まず、何をしたらいいのか… / のぼりん
式（＊）の両辺を四倍し、２ｘ＝ｋ−３ｙ を代入して ｘ を消します。
　　　４ｘ２＋１６ｘｙ＋２０ｙ２＝４
　　　（ｋ−３ｙ）２＋８（ｋ−３ｙ）ｙ＋２０ｙ２＝４
　∴　５ｙ２＋２ｋｙ＋ｋ２−４＝０　…　?@
です。 ｙ に関する二次方程式?@は、実数解を有するから、
　　　判別式/４＝ｋ２−５（ｋ２−４）＝４（−ｋ２＋５）≧０
　∴　−√５≦ｋ≦√５
です。 後は大丈夫ですね。
No.33076 - 2015/09/18(Fri) 11:40:38
★ 円周率 / llk
0＜ｘ＜１において、関数ｆ（ｘ）＝（２−ｘ＾２）／（１−ｘ＾２）＾1/2　として、∫｛0→ｘ｝ｆ（ｔ）ｄｔ＜１/２
ｘｆ（ｘ）＋ｘ　が成り立つとき円周率が3.16より小さい
ことを示せ。

最初の方針を教えて下さい。
No.33073 - 2015/09/18(Fri) 01:10:59
☆ Re: 円周率 / のぼりん
ｘ＝ｓｉｎθ （０＜θ＜π/２） とおけば、
　　　ｆ（ｘ）＝（２−ｘ２）/（１−ｘ２）１/２
　　　＝（１＋ｃｏｓ２θ）/ｃｏｓθ
　　　＝ｃｏｓθ＋１/ｃｏｓθ
です。
　　　∫０ｘ ｆ（ｔ）ｄｔ
　　　　＝∫０θ （ｃｏｓφ＋１/ｃｏｓφ）ｃｏｓφｄφ
　　　　＝∫０θ （ｃｏｓ２φ＋１）ｄφ
　　　　＝１/２・∫０θ （ｃｏｓ２φ＋３）ｄφ
　　　　＝１/４・ｓｉｎ２θ＋３θ/２
　　　１/２・ｘｆ（ｘ）＋ｘ
　　　　＝１/２・ｓｉｎθ（ｃｏｓθ＋１/ｃｏｓθ）＋ｓｉｎθ
　　　　＝１/４・ｓｉｎ２θ＋１/２・ｔａｎθ＋ｓｉｎθ
だから、題意の不等式は、
　　　１/４・ｓｉｎ２θ＋３θ/２＜１/４・ｓｉｎ２θ＋１/２・ｔａｎθ＋ｓｉｎθ
　∴　３θ＜ｔａｎθ＋２ｓｉｎθ
と同値です。 θ＝π/６ を代入し、
　　　π/２＜ｔａｎπ/６＋２ｓｉｎπ/６＝１/√３＋１
　∴　π＜２/√３＋２＝３．１５４…＜３．１６
です。
No.33075 - 2015/09/18(Fri) 11:39:51
☆ Re: 円周率 / llk
ありがとうございます。
No.33077 - 2015/09/18(Fri) 15:01:04
★ 無限等比級数の収束、その時の和について / ぽむ
画像の数式が収束するxの範囲、またそのときの和を求めなさい。
という問題なのですが、いまいちわかりません。
収束条件は初項a=0または|r|<1 かつa≠0 ということはわかるのですが、これをこの数式にどのように利用するかわかりません。

どなたか私にご教示お願いします
No.33067 - 2015/09/17(Thu) 17:06:36
☆ Re: 無限等比級数の収束、その時の和について / X
(i)x=0のとき
問題の無限級数は0に収束します。
(ii)x≠0のとき
問題の無限級数の部分和をS[n]とすると
S[n]=Σ[k=1〜n]{(2x)^(2k-1)+(4x)^(2k)}
よって
(I)x=1/2のとき
S[n]=Σ[k=1〜n]{1+2^(2k)}
=Σ[k=1〜n]{1+4・4^(k-1)}
=…
となり発散します。
(S[n]の計算はご自分でどうぞ。)
(II)x=1/4のとき
S[n]=Σ[k=1〜n]{1+(1/2)^(2k-1)}
=Σ[k=1〜n]{1+(1/2)(1/4)^(k-1)}
=…
となり発散します。
(S[n]の計算はご自分でどうぞ。)

(III)x≠1/2かつx≠1/4のとき
S[n]=Σ[k=1〜n]{(2x)(4x^2)^(k-1)+(16x^2)(16x^2)^(k-1)}
=(2x){1-(4x^2)^n}/(1-4x^2)+(16x^2){1-(16x^2)^n}/(1-16x^2) (A)
(A)の第一項の分子の4x^2,第二項の分子の16x^2の値について
更に場合分けすると…
(4x^2＜16x^2に注意しましょう)
No.33069 - 2015/09/17(Thu) 17:44:23
☆ Re: 無限等比級数の収束、その時の和について / ぽむ
Xさん、回答ありがとうございます。
そのように場合分けするとは思いもよりませんでした。
質問なのですが、(A)をどのように場合分けしたら良いのでしょうか？極めて初歩的な質問申し訳ありません。
No.33070 - 2015/09/17(Thu) 18:21:29
☆ Re: 無限等比級数の収束、その時の和について / X
0＜4x^2＜16x^2
に注意して
(1)16x^2＜1のとき
(2)1＜16x^2のとき
で更に場合分けすると
(1)のときは収束し
(2)のときは発散します。
No.33071 - 2015/09/17(Thu) 19:12:15
☆ Re: 無限等比級数の収束、その時の和について / ぽむ
丁寧な回答作りをありがとうございました。
非常に納得することが出来ました。
宜しければ、今後も回答してくださるとありがたいです。
この度は貴重な時間をありがとうございました。
No.33072 - 2015/09/17(Thu) 20:19:15
★ 三角関数 / ちぬわ
三角関数の問題です。

０≦ｘ＜２πのとき　y=sin＾2x+cosxの最大最小値を求め、またそのときのｘを求めるのですが、y=-cosx＾2+cosx+1として、cosx=t　とおきます。
ここから分からないのですが、0≦x＜2πだから　-1≦t＜1　となります。
-1≦t＜1になる理由が分からないのですが、教えてください。。。

cosx=tだから、0≦x＜2πのx部分に代入するのでしょうか？
No.33065 - 2015/09/17(Thu) 11:57:33
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
ｘがいろんな実数を取るとき、cosｘは最大１、最小−１つまり、
　-1≦cosｘ≦1
の範囲の値を取ることはご存知ですよね？

この質問は、-1≦ｔ≦1 ではなく 　-1≦ｔ＜1 になることへの質問でしょうか？
それなら、それは誤りで、　-1≦ｔ≦1 と考えて差し支えありません。
もし与えられた条件が
　０＜ｘ＜２π
であれば、
　-1≦ｔ＜1
となります。
No.33066 - 2015/09/17(Thu) 12:15:50
☆ Re: 三角関数 / ちぬわ
分かりやすい回答ありがとうございます！
No.33068 - 2015/09/17(Thu) 17:12:39
★ 発想（三角） / かぶるまん
答えまではいいです。

どのような発想でこの問題に着手されるか？思考の過程といったことを書いていただけませんか？
（複数の方に書いていただきたいです）

よろしくお願いいたします。
No.33058 - 2015/09/16(Wed) 19:06:11
☆ Re: 発想（三角） / IT
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1　にcosθ=sinθ+1/2 を代入して
sinθについての2次方程式を解く
No.33059 - 2015/09/16(Wed) 19:24:13
☆ Re: 発想（三角） / かぶるまん
ありがとうございます。

他の方もよろしくお願いいたします。
No.33060 - 2015/09/16(Wed) 19:46:01
☆ Re: 発想（三角） / 黄桃
こういう問題は（特にθの範囲が限定されている場合は）x=cos(θ), y=sin(θ) とおいて、x^2+y^2=1 と連立させ、x=.., y=... を求めると間違えにくいです。

＃慣れてくれば置き換えなくてもいいでしょうが、計算用紙にxy平面上の単位円を描いて、それとの交点をイメージすると
＃答の見当がつき「あ、解は１つだな」とか「2つ答があるな」とわかります。
＃この問題なら、解は１つで、小さい角だな、とわかります。

この問題ではθの値は簡単には求まらないのでいいですが、同様の問題でcos(θ)のまま計算して、cos(θ)=1/2 と出てしまうと、なんだ、θ=±π/3 か、となりがちです。ちゃんと sin(θ)も求めれば実はθ=-π/3 しかなかったのに、余計なθを使って余計な答がでてしまう、ということがありえます。
x,yの連立方程式にすると普通は x=..., y=... まで求めるので、こうした失敗が防げます。
ITさんはさりげなくsin(θ)についての2次方程式にしていて、cos(θ)にしてないのは、sin(θ)にすると、正の解に限定されるので楽だからです。

他にも合成とtanの加法定理で解くこともできます。
この場合は合成した角のcos か sinの値（符号）がどうなるかを調べないといけなくなります。

また、cosとtanの関係式を持ち出して解くこともできます。
この場合はsin≧0 という条件を確認するために tan*cos≧0 を確認しないといけなくなります。
No.33061 - 2015/09/16(Wed) 23:39:32
☆ Re: 発想（三角） / かぶるまん
ありがとうございました
No.33096 - 2015/09/20(Sun) 10:08:20
★ (No Subject) / 吉野
センターの問題で質問があります。
No.33042 - 2015/09/15(Tue) 20:53:54
☆ Re: / 吉野
二枚目です
No.33043 - 2015/09/15(Tue) 20:55:52
☆ Re: / 吉野
このようかにときまして、ト部分がどうしてもあいません。計算が間違っているのだとは思いますが…どうかご指摘いただけないでしょうか、、、お願いします。
No.33045 - 2015/09/15(Tue) 20:58:12
☆ Re: / ヨッシー
問題の上の方、Ｏ，Ａ，Ｂなどは読めますが、具体的な座標は
ボケていて読めません。

また、画像は横長に貼り付けられるようですので、縦長に撮っている時の
右側を上にして横長に撮って下さい。
ピントが合っていれば、多少小さめに写っても実寸大にすれば読めます。
No.33052 - 2015/09/16(Wed) 08:22:07
★ 集合の問題です。 / Mei
この問題なのですが、解説も見たのですが全くわからず質問させていただきました。
A⊂BかつB⊂AであればなぜA＝Bになるのでしょうか…？
それと、何故場合分けをするのでしょうか？
詳しく解説していただけたらと思います。
よろしくお願いします。
No.33039 - 2015/09/15(Tue) 20:26:40
☆ Re: 集合の問題です。 / Mei
すみません、ファイルが大きいようで貼れてませんでした。
問題だけの画像になってしまいますが大丈夫でしょうか。
No.33044 - 2015/09/15(Tue) 20:56:02
☆ Re: 集合の問題です。 / ヨッシー
Ａの要素は全てＢに属する。
Ｂの要素は全てＡに属する。
という条件下で、Ａだけに属する要素またはＢだけに属する要素が
あると思われますか？
Ａ＝Ｂ を否定するとはそういうことです。

場合分けというのは、その解答独自のものですので、解答を見ないとなぜそうしたかはわかりません。
No.33063 - 2015/09/17(Thu) 06:21:58
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