失礼します。
趣味で数学の問題を作成しているのですが、その過程で
4次方程式 2x^4+2x^2-5x+c=0 が
0<x<5/4の範囲に異なる2つの有理数解をもつような実数c(<25/8)を1つ求めなければいけなくなりました。
しかし、cに色々な値を代入して試しても、なかなかそのような上手いcが見つかりませんでした(一方の解が有理数になるようにしても、もう一方の解がなかなか有理数になりませんでした)。
そこで、条件を満たすcをなるべく効率的に見つける方法を伝授して頂きたく、ここに質問させて頂きます。
また、条件を満たすcをお見つけになった方は、その値を教えて頂けると有り難いです。
（なお、申し訳ないことに私はプログラミング等の技術は持ち合わせておりませんので、ご了承ください。）
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No.32420 - 2015/08/04(Tue) 17:50:23
| ☆ Re: 4次方程式の有理数解 / らすかる | | | 「0＜x＜5/4の範囲に異なる2つの有理数解をもつような実数c」は
存在しないように思えますが、必ず存在するのですか？
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No.32424 - 2015/08/05(Wed) 00:04:43 |
| ☆ Re: 4次方程式の有理数解 / 木の葉 | | | 存在するかどうかも分からないところから考えていたのですが、存在しないんですか？
恐縮ですがその理由を教えて頂けると嬉しいです。
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No.32425 - 2015/08/05(Wed) 07:17:39 |
| ☆ Re: 4次方程式の有理数解 / らすかる | | | 存在しないことの証明はできていませんが、
以下のように考えました。
実数係数の4次方程式 2x^4+2x^2-5x+c=0 が実数解を2つ持つならば
左辺は 2(x^2+px+q)(x^2+rx+s) の形に因数分解できます。
これを展開して係数を比較することにより、左辺は
2x^4+2x^2-5x+c
={2x^2+2tx+t^2+1+5/(2t)}{2x^2-2tx+t^2+1-5/(2t)}/2
という形になることがわかります。
{2x^2+2tx+t^2+1+5/(2t)}{2x^2-2tx+t^2+1-5/(2t)}/2
=2x^4+2x^2-5x+(4t^6+8t^4+4t^2-25)/(8t^2)
ですから、c=(4t^6+8t^4+4t^2-25)/(8t^2)です。
これはtの偶関数ですから、tは正に限定できます。
tを正にすると、
2x^2+2tx+t^2+1+5/(2t)=2(x+t/2)^2+t^2/2+1+5/(2t)=0は
実数解を持ちませんので、
2x^2-2tx+t^2+1-5/(2t)=0 が二つの実数解を持たなければなりません。
この方程式の解はx=(t±√(5/t-t^2-2))/2であり、
2解が0と5/4の間の有理数解であるという条件から
tが有理数かつ√(5/t-t^2-2)が有理数かつ
1.1147＜t＜1.3283となる必要があります。
t=p/q（p,qは互いに素な自然数）とおくと
√(5/t-t^2-2)
=√(5pq^3-p^4-2p^2q^2)/(pq)
なので、5pq^3-p^4-2p^2q^2が平方数でなければなりません。
この先がちょっと不審です。
↓こちらによると
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+5ab%5E3-a%5E4-2a%5E2+b%5E2%3Dc%5E2+over+the+positive+integers
5pq^3-p^4-2p^2q^2=n^2の解は(p,q,n)=(4,5,38)しか出てきませんので、
解が他にないとするとt=4/5のみが2解が有理数になる値となりますが、
これは一つの有理数解が負ですので条件を満たしません。
しかしp,qを整数倍した(p,q,n)=(8,10,152),(12,15,342)などの解もあるはずで
これらが出てこない理由がわかりません。
そこでちょっとプログラムを作って5pq^3-p^4-2p^2q^2=n^2の解を探してみたのですが、
q＜25000の範囲では条件を満たす解がありませんでしたので、
解が存在しないように思えました。
5pq^3-p^4-2p^2q^2=n^2（p,q,nは自然数でp,qは互いに素）の解が
(p,q,n)=(4,5,38)だけであることがきちんと示せれば、
元の問題の解が存在しないことが言えると思いますが、
どうすれば証明できるのでしょうね。
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No.32427 - 2015/08/05(Wed) 10:17:09 |
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