ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / hiro

絶対値に関する質問です

以下の問題の解説の|ak+2|=～
の点についてなのですが、その式の二行目の<=は
=の間違いなのではないでしょうか？？

No.32628 - 2015/08/14(Fri) 11:02:54

☆ Re: / hiro

解説です

No.32629 - 2015/08/14(Fri) 11:03:24

☆ Re: / X

いいえ、≦で正しいです。

一般に実数x,yに対し
|x+y|≦|x|+|y|
これよりa＞0,b＞0のとき
|ax+by|≦|ax|+|by|=a|x|+b|y|
つまり
|ax+by|≦a|x|+b|y| (A)
(A)とご質問の一行目、二行目を
比較してみて下さい。

No.32638 - 2015/08/14(Fri) 16:16:46

★ (No Subject) / hiro

画像の問題についてなのですが

解説の(2)はα<β<r と定めたのならば
等比数列になり得るのは(α β r）または、（r β α）
となるのではないでしょうか？

なぜなら、等比数列なのに
二番目に大きいもの、一番小さいもの、一番大きいもの
となるのは不敵だと思うのですが、、

No.32626 - 2015/08/14(Fri) 10:33:43

☆ Re: / hiro

解説です

No.32627 - 2015/08/14(Fri) 10:34:17

☆ Re: / 歌声喫茶

「3つの数のうち2番目に大きいもの、3番目に大きいもの、1番目に大きいものがこの順に等比数列となることはない」
という主張であればそれは間違いです…というか、実際にあなたの貼った答えにその実例が書いてありますが、じっくり見ましたか？

4,1,-2のうち2番目、3番目、1番目に大きいものはそれぞれ1,-2,4です。1,-2,4はこの順に等比数列を為します。公比は-2です。

No.32635 - 2015/08/14(Fri) 15:57:03

☆ Re: / hiro

なるほど！
ありがとうございます

No.32652 - 2015/08/15(Sat) 19:19:53

★ (No Subject) / わさび

数llの問題です。
軌跡の問題なのですが、、、
図の書き方がわかりません。
自信がありません。。。
わかる方、教えてくださいm(__)m

No.32621 - 2015/08/13(Thu) 22:01:36

☆ Re: / わさび

問題の画像です！

No.32622 - 2015/08/13(Thu) 22:02:45

☆ Re: / X

(2)が解けないということでしょうか？
でしたらこれは文字の置き方に問題があります。
(図が描けないから解けないのではありません)

Q(u,v)
とすると、条件からQは線分OPの中点ですので
u=X/2
v=Y/2
∴(X,Y)=(2u,2v)
これを(1)の過程で求めた式(6)に代入すると
(2u-4)^2+(2v-8)^2=20
整理して
(u-2)^2+(v-4)^2=5
よって点Qの軌跡は円
(x-2)^2+(y-4)^2=5
…としたいところですが、これから除かなくては
ならない点があります。
それは、点Pが直線OA上にある場合の点Qです。
(このとき三点O,A,Pは三角形を作りませんので。)
このとき、点Qも直線OA上にありますので
除かなくてはならない点がある直線とは
直線OA、つまり
直線y=2x
となります。

No.32625 - 2015/08/13(Thu) 22:39:00

★ 答案の書き方 / peach

些細なことですみません

？（「任意の」を表すAをひっくり返した記号。うちこめませんでした）、「→A」（ベクトルA）とします。

この問題の書き出しの部分ですが、「求める直線上に？P（→P）をとる」との表記はいいですか？（これは、任意ではありません）

No.32616 - 2015/08/13(Thu) 20:07:08

☆ Re: 答案の書き方 / peach

（１）です

No.32617 - 2015/08/13(Thu) 20:07:57

☆ Re: 答案の書き方 / X

∀
は
すべて
か
すうがく
を変換すれば出ますよ。

でご質問の回答ですが、よろしくありません。
まず、その書き方で∀を付ける意味が全くありません。
次に百歩譲って、ある理由があって∀をつける、
としてもこの記号自体が高校数学の学習の範囲外
ですので、高校数学の枠内であればこの記号は
使うべきではありません。

No.32619 - 2015/08/13(Thu) 20:19:42

★ (No Subject) / 琴

分からないので、お願いします！

No.32613 - 2015/08/13(Thu) 18:49:06

☆ Re: / 琴

この問題です

No.32614 - 2015/08/13(Thu) 18:50:24

☆ Re: / X

(1)
前半)
底を3に揃えましょう。
後半)
前半の結果と相加平均と相乗平均の関係を使います。

(2)
前半)
まず(1)のtの式の底を3に揃えましょう。
次に問題の式も底を3に揃え、対数の中のxの指数を
対数の外に出します。
その上で上記のtの式と見比べてみましょう。
後半)
(log[3]x)^2+(log[x]3)^2=(log[3]x+log[x]3)^2-2(log[3]x)(log[x]3)
と変形して(1)前半の結果と(2)前半の結果を使います。

(3)
横軸にt、縦軸にyを取って(2)の後半の結果のグラフを描きます。
但し、(1)の後半の結果に注意しましょう。

No.32618 - 2015/08/13(Thu) 20:11:23

☆ Re: / 琴

途中式はいいので、解答だけお願いできませんか。

No.32620 - 2015/08/13(Thu) 20:55:54

☆ Re: / X

こちらの計算では以下のようになりました。

ア 1
イ 2
ウ - (マイナスの記号です)
エ 2
オ 2
カ 2
キ 7
ク 3
ケ 7

No.32623 - 2015/08/13(Thu) 22:20:38

☆ Re: / 琴

ありがとうございます！
助かりました

No.32624 - 2015/08/13(Thu) 22:34:08

★ 線形代数 / kenzyu

次のような問題があります。

a1,a2,a3をR^3のベクトルで
<ai,ai>=1 (i=1,2,3), <ai,aj>=1/2 (i≠j)
をみたすものとする。ここで<a,b>はaとbの内積を表す。
このとき、以下の問に答えよ。

(1) a1,a2,a3が一次独立であることを示せ。
(2) f:R^3->R^3をf(a1)=0, f(a2)=a3, f(a3)=a2 を満たす線形写像とする。このとき、fの像Im(f)の基底を求めよ。
(3) 基底(a1,a2,a3)に関するf:R^3->R^3の表現行列Aを求めよ。
(4) fの固有値を全て求めよ。
(5) fの各固有値に対する固有ベクトルを、a1,a2,a3の一次結合で表わせ。

--------

私は以下のように考えたのですが、(3)以降がわかりません。
どうか解答と解説をお願いします。m(__)m

(1)
c1a1+c2a2+c3a3 = 0という式の両辺とa1,a2,a3のそれぞれと内積を求め連立方程式を作る→(c1,c2,c3)=0を示す。

(2)
(1)よりa1,a2,a3は基底である。
f(a2)=a3、f(a3)=a2より変換後もa3,a2が基底にとれる。
またa1≠0かつf(a1)=0よりdim(Im(f))=2であり、dim(R^3)=3よりこれら以外にはとれない。

(3)
A a1=0, A a2=a3, A a3=a2 を横に並べると A[a1 a2 a3] = A[0 a3 a2] となる。
ここからどうすればよいのか分かりません。

(4)
図形的に考えて、元の空間でa2,a3が張っていた平面がa3,a2が張る平面に写るので、
2つの固有値λ1,λ2はどちらも1となる。(?)

(5)
a2とa1の二等分線の向きのベクトルが、(4)で説明した変換では自分自身に写る。
したがってλ1に対する固有ベクトルはa2+a3, λ2に対する固有ベクトルはa3+a2。

No.32609 - 2015/08/13(Thu) 16:12:10

☆ Re: 線形代数 / kenzyu

(5)の最後はa2-a3の間違いです

No.32610 - 2015/08/13(Thu) 16:25:29

★ (No Subject) / hiro

高さ2、底面半径1の直円錐を、底面の一つの直径を軸として、この直円錐を回転させて得られる回転体の体積を求めよ

との問題なのですが回転させた後の図がイメージできません
どのようになるのでしょうか？？

No.32600 - 2015/08/13(Thu) 10:53:16

☆ Re: / X

飽くまで立体のイメージについてのご質問の回答
ですので、途中計算に省略がある点はご容赦下さい。

3次元の座標空間上に問題の直円錐を
底面がxy平面上(中心は原点)
頂点がz＞0の側
になるように取ります。
このとき、直円錐の側面の方程式は
z=2-2√(x^2+y^2)
よって回転軸をx軸に取った場合、
平面x=t(-1≦t≦1)
による直円錐の断面のうち、側面が
作る曲線の方程式は
z=2-2√(t^2+y^2) (A)
(これより
-√(1-t^2)≦y≦√(1-t^2) (B))
よって曲線(A)上の点
(t,y,2-2√(t^2+y^2))
と
点(t,0,0)
との間の距離の二乗をf(y)とすると
f(y)=y^2+{2-2√(t^2+y^2)}^2
=5y^2-8√(t^2+y^2)+4t^2+4
∴f'(y)=10y-8y/√(t^2+y^2)
=2y{5-4/√(t^2+y^2)}
∴f'(y)=0のとき
y=0又はy^2=16/25-t^2
となることに注意して、tについて場合分けを
して(B)の範囲で(A)の増減表を書くと

(i)4/5≦|t|≦1のとき
f(y)はy=√(1-t^2),-√(1-t^2)のときに
最大値1-t^2 (C)
(ii)3/5≦|t|≦4/5のとき
f(y)はy=√(1-t^2),-√(1-t^2)のときに
最大値1-t^2 (D)
(iii)0≦|t|≦3/5のとき
f(y)はy=0のときに
最大値4(1-t)^2 (E)

をそれぞれ取ることが分かります。
よって問題の回転体の平面x=tによる断面は
(i)(ii)(iii)のようなtにおいて、半径の二乗が
(C)(D)(E)となるような円となりますので
その断面積は
3/5≦|t|≦1のときπ(1-t^2)
0≦|t|≦3/5のとき4π(1-t)^2
よって回転体のyz平面に関する対称性により求める体積Vは
V=2{∫[0→3/5]{4π(1-t)^2}dt+∫[3/5→1]π(1-t^2)dt}
=…

図にすると、下のようなグラフをx軸の周りに
回転させてできる回転体となります。

No.32608 - 2015/08/13(Thu) 15:53:48

★ 数Aの質問です。 / komura

(2)の解説をお願いしてます。

No.32593 - 2015/08/12(Wed) 23:37:30

☆ Re: 数Aの質問です。 / IT

その問題集（基礎問精講？）の解答、解説がどのように書いてあって、どの部分が分からないかが不明なので、それについての解説は不可能です。

簡単な解法としては、交点にそこに至る道順の数を書き込んで行くという方法があります。

No.32595 - 2015/08/13(Thu) 00:15:52

☆ Re: 数Aの質問です。 / X

まず(1)の(ii)の場合と同様にして、p,qがいずれも
通れる場合のqを必ず通るような最短経路の数を
求めます。(これを(C)とします。)
次にp,qの両方を通るような最短経路の数を求めます。
(これを(D)とします。)
(1)の(i)(ii)の結果をそれぞれ(A),(B)とすると
求める最短経路の数は
(A)-{(B)+(C)-(D)}
で計算できます。
注)
{}内はp,qがいずれも通れる場合の
p,qの内の少なくともどちらか一方を
通るような最短経路の数を表します。

No.32596 - 2015/08/13(Thu) 00:23:27

★ (No Subject) / みんみん

(1)は分かりましたが(2)がわかりません
よろしくお願いします

答え(1)Q(1/3(t+1)^-2+t,0)
(2)f(t)=e^｛1-(t+1)^3｝(t≧0)

No.32586 - 2015/08/12(Wed) 18:24:55

☆ Re: / X

条件から時刻tのときの点Pにおける接線の方程式は
y=f'(t)(x-t)+f(t)
∴Qのx座標について
0=f'(t)(x-t)+f(t)
このxが(1)の結果のx座標に等しいので
0=f'(t){(1/{3(t+1)^2}+t)-t}+f(t)
これをf(t)についての微分方程式として
条件である
f(0)=1
の下で解きます。
(変数分離法を使いましょう)

No.32594 - 2015/08/12(Wed) 23:51:31

☆ Re / みんみん

f(t)についての微分方程式が青チャート参考にしながらチャレンジしましたが解けません
よろしければ計算過程も教えて頂けないでしょうか

No.32611 - 2015/08/13(Thu) 16:27:56

☆ Re: / X

0=f'(t){(1/{3(t+1)^2}+t)-t}+f(t) (A)
より
0=f'(t)/{3(t+1)^2}+f(t)
f'(t)/{3(t+1)^2}=-f(t)
f'(t)/f(t)=-3(t+1)^2
両辺をtで積分すると
log|f(t)|=-(t+1)^3+C[1]
(C[1]は任意定数)
対数と絶対値を外し、
±e^C[1]=C
と置くと
f(t)=Ce^{-(t+1)^3} (B)
一方f(t)=0は(A)の解の一つですが、
これは(B)でC=0の場合に当たりますので
結局(A)の一般解は
f(t)=Ce^{-(t+1)^3}
(Cは任意定数)
ここで
f(0)=1
により
C=e
よって
f(t)=e^{-(t+1)^3+1}
となります。

No.32612 - 2015/08/13(Thu) 18:05:01

☆ Re: / みんみん

X先生有難う御座いました！！
すごく丁寧に教えて頂きおかげで分かりました！

またよろしくお願いします

No.32615 - 2015/08/13(Thu) 19:20:08

★ (No Subject) / Hoppag

こんにちは高校２年です。
次の証明で間違ってるところを教えてくださいm(__)m

1=0.9999999999……
両辺に10000000000……をかけて
100000000……=999999999999……
両辺から999999999……を引いて
1=0

よろしくお願いいたしますm(__)m

No.32585 - 2015/08/12(Wed) 18:24:27

☆ Re: / ヨッシー

>両辺から999999999……を引いて
の 999999999…… が何を表しているかですが、
9が無限に続く数を表しているなら、
100000000……=999999999999……
なので、
0=0
になるだけです。

No.32590 - 2015/08/12(Wed) 20:13:26

☆ Re: / Halt0

10000000000…… というのは数ではないのでかってに掛け算することはできません.

No.32598 - 2015/08/13(Thu) 02:16:47

★ (No Subject) / hiro

画像の問題の(2)が全くわかりません

どのようにすればいいのでしょうか？？

No.32582 - 2015/08/12(Wed) 13:21:14

☆ Re: / IT

「ハイレベル理系数学」の例題２１ですよね？
解答があると思いますが　それが分からないということでしょうか？

No.32591 - 2015/08/12(Wed) 22:58:18

☆ Re: / hiro

はい、かいとうがなにをしてるかが全くわからないんです、

ご教授お願いいたします

No.32599 - 2015/08/13(Thu) 10:20:16

★ 不等式 / ゆうた

－2≦a≦1、2≦b≦4のときa二乗＋2bの範囲を表す式として、次のうち正しいものはどれか。
上記の問題について質問です。
aの式を二乗し、bの式を二倍して連立して解いたのですが解答によるとaの式は1≦a二乗≦4ではなく0≦a二乗≦4になるようです。
左辺が1ではなく0になる理由がわかりません。
どうか解説お願いします。

No.32581 - 2015/08/12(Wed) 13:11:02

☆ Re: 不等式 / ヨッシー

普通に考えて、a=0 のとき a^2=0 なので、
　a^2＜1
である a も存在することに気付きます。

グラフで説明すると、下図のようになります。

No.32583 - 2015/08/12(Wed) 14:08:31

☆ Re: 不等式 / ゆうた

回答ありがとうございます。

No.32587 - 2015/08/12(Wed) 18:40:52

★ 束の考え方 / peach

おはようございます。高校２年生です。

画像の解答について質問させていただきます。

（ア）（イ）の解答の構図としては、「たまたま」ｓ＝１を代入すると、円の方程式になってしまった（４点を通る円は１コだけ）ので（もちろん、戦略的には、s^2 、t^2の係数を揃えるためだが、解答だけ見ると「たまたま」という感じがする書き方？）それを答えにしているが、これでもいいのですか？

（ウ）（エ）はさっぱりわかりませんでした。詳しく、解説をお願いします。

No.32580 - 2015/08/12(Wed) 09:45:54

☆ Re: 束の考え方 / ヨッシー

たとえば、ｓ＝２とすると、この式は
　x^2－2a－２ｙ＋y^2/2－ａ－ｘ＝０
　(x-1/2)^2－1/4＋(y-2)^2/2＝3a＋9/4
という楕円の式になります。
もちろんこの楕円も４点を通ります。
ｓ＝０とした、
　y^2/2－a－x＝０
も、４点を通ります。このように、４点を通る式は、
ｓを色々変えることによって、無限に存在します。

今回は、「円を通る」ということを示すのですから、
x^2 と y^2 の係数が一致するようにｓを調節し、
その結果がｓ＝１です。
「たまたま」ではなく、「ねらい通り」です。

ヒントの「なお、２直線・・・」がポイントです。
13 の式が、
　(x,yの１次式)(x,yの１次式)＝０
の方に変形できたら、それは、２直線を表します。
そこで、ｙ＝ｘ ⇔ ｙ－ｘ＝０が、２直線のうちの１つであることを
知った上で、
　(y-x)(x,y の一次式)＝０
の形になった場合を考えます。この式の特徴は、定数項がないということです。
そこで、13 の式において、定数項がないようにｓを選ぶと、
　ｓ＝－１
とすれば、ａの項が消えることがわかります。

No.32584 - 2015/08/12(Wed) 14:27:36

☆ Re: 束の考え方 / peach

ありがとうございます

No.32592 - 2015/08/12(Wed) 23:02:22

★ Re: 同値性連立方程式 / 竹中（高二）

代入法の原理、加減法の原理がイマイチよくわかりません。略証など示していただけるとありがたいです。

よろしくお願いします。

No.32576 - 2015/08/11(Tue) 22:37:01

☆ Re: 同値性連立方程式 / IT

具体的な問題と解答の例をあげて、どの部分がどう納得できないかを明示して質問されると、有効な回答が得られるかも知れませんよ。

No.32578 - 2015/08/12(Wed) 07:38:46

☆ Re: 同値性連立方程式 / 竹中（高二）

了解しました。

No.32579 - 2015/08/12(Wed) 09:34:01

★ (No Subject) / hiro

画像の冒頭部、回転によって二点間の相対的な距離は変わらない

とありますがこれはどういうことなのでしょうか？？
解答お願いいたします

No.32573 - 2015/08/11(Tue) 19:44:59

☆ Re: / X

問題の曲面Sはx軸に関して対称ですので、x軸に関する
回転により、点Aと曲面Sとの距離の関係に変化はない
ということです。

No.32575 - 2015/08/11(Tue) 20:43:15

★ 最大最小 / みんみん

(1)は分かったんですが(2)がわかりません
どなたか分かる方よろしくお願いします

No.32563 - 2015/08/11(Tue) 17:46:56

☆ Re: 最大最小 / みんみん

間違えました
問題はこちらです
よろしくお願いします

No.32564 - 2015/08/11(Tue) 17:51:29

☆ Re: 最大最小 / X

条件から
f(t)=(d/dt){π{r(t)}^2}
=(d/dt){π(1-cost)^2}
=2π(1-cost)sint
∴
f'(t)=2π{(sint)^2+(1-cost)cost}
=2π{-2(cost)^2+cost+1}
=-2π(2cost+1)(cost-1)
=2π(2cost+1)(1-cost)
f"(t)=2π(4sintcost-sint)
=2π(4cost-1)sint
これに基づいて
π≦t≦3π
におけるf(t)の増減表を書くと
解答の様なグラフになります。

注1)
解答では変曲点は点(2π,0)のみ座標が
分かるような書かれ方になっていますが
4π/3＜t＜2π
2π＜t＜8π/3
においても(座標は書かれていませんが)
変曲点がそれぞれ一箇所づつありますので
注意して下さい。
ちなみにその書かれていない変曲点の
t座標は
f"(t)=0
により
cost=1/4
となるようなtとなります。

注2)
傾きが0となっていないことと、端点であることで
分かりづらいですが
点(π,0),(3π,0)
はもしグラフの続きがあるとすればこれらも
変曲点です(蛇足ですが)。

No.32571 - 2015/08/11(Tue) 19:35:20

☆ Re: 最大最小 / みんみん

X先生
見難い画像にもかかわらず分かりやすい丁寧なご回答ありがとうございました！！

ホント助かりました
またよろしくお願いします！

「t=2πに留意して」とは変曲点はここだけ書け！という出題意図だったのですね

No.32574 - 2015/08/11(Tue) 20:15:52