ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 表記 / peach

a が自然数であることを「aEA」(Eは含むのマーク（うちこめませんでした）)、整数であることを「aEZ」と表しますよね。

aが偶数、奇数、素数であることを「aEeven」「aEodd」「aEP」と表しますか？

No.32640 - 2015/08/14(Fri) 21:53:10

☆ Re: 表記 / 歌声喫茶

「∈」ですかね。然るべき文脈で使われたらとりあえずそういう意味であろうと推測はできます。が、たとえば大学入試の採点者はそこまで親切に解釈してくれないかもね、と思いますし、「この受験生は難しい記号を使っているので特別加点をしてあげよう」ということにもならないでしょうねえ。

＃たとえば、自分が責任を持って指導する立場の受験生がこんなことを言ってきたら「それをやって本来の表記に比べて短縮できる時間なんて知れていると思うが、正常に採点されないリスクと天秤に掛けてどうする。くだらない末節を気にするよりもっとやることはあるだろう」という意味のことを丁寧な言葉遣いで説明します。

No.32641 - 2015/08/14(Fri) 22:37:22

☆ Re: 表記 / 黄桃

このような質問が出るということは、∈の意味をよく分かっていない、と思われます。
N,Z,R,C を太字にしたものは、それぞれ「自然数全体の集合」「整数全体の集合」「実数全体の集合」「複素数全体の集合」を表す、ということは、高校数学でも市民権を得ていると思います。なので、aは自然数全体の集合の要素であるという意味を a∈N で表すことはありだと思います。
別の言い方をすれば、「∈」は「は」の意味ではない、ということです。

以上を踏まえると a∈even はまったくでたらめです。
通常、集合は1文字、それも英語大文字で表します（大学に入るとアルファベットとは限りませんが）。even はaの性質（属性）を表すと思われますので、「偶数全体の集合をE={a|aはeven}とする」とでも書くような使い方ならともかく、a∈evenでは「aがevenの元って意味不明。言いたいことはaはeven だろう」としか思われません。odd についても同様。

Pが素数全体の集合を表す、という共通認識はないと思いますので、a∈P でaは素数を意味するというのは無謀です。a∈Prime とかいてもダメなのはeven と同様です。
ただし、P={p∈N|pは素数} と自分で定義するなら a∈P と書いても何の問題もありません。

友人に小難しい記号を知っていると自慢するのには使ってもいいでしょうが、よく意味もわからないのに答案に使うと墓穴を掘ります（予備校や塾の模試レベルでは減点はないかもしれませんが、大学入試では学校によるとしか言えません。いずれのケースでも採点者は「意味わかってないだろ」と思い、印象が確実に悪くなります）。

答案で使いたいなら記号の意味を理解した上で、ちゃんと「偶数全体の集合をevenとする」とか「素数全体の集合をPとする」とか定義してから使ってください。

＃数学の専門家は用語の正確な使い方にはうるさい人が多いです。

No.32642 - 2015/08/15(Sat) 01:10:10

☆ Re: 表記 / peach

お二方とも親切にありがとうございます。

No.32645 - 2015/08/15(Sat) 07:13:40

★ (No Subject) / hiro

画像の問題の(3)なのですが

解説にan=[n/2]
とあるのですが、そもそもどうしてガウス記号を用いるという発想になり、そして、なぜガウス記号を用いなくてはならないのでしょうか？？
ご回答お願いします！

No.32631 - 2015/08/14(Fri) 13:52:58

☆ Re: / hiro

解説です

No.32632 - 2015/08/14(Fri) 13:53:30

☆ Re: / hiro

解説の続きです、、

No.32633 - 2015/08/14(Fri) 13:54:10

☆ Re: / hiro

あと、二枚目の画像の最後の
N=3k
となるのはなんでですか？？

No.32634 - 2015/08/14(Fri) 14:06:38

☆ Re: / X

>>解説にan=[n/2]～
条件からqの最大値(つまりこれがa[n]に等しくなる)は
(i)nが偶数のとき
n/2(=[n/2])
(ii)nが奇数のとき
(n-1)/2
となりますがこれに対し
(n-1)/2＜n/2＜(n+1)/2
(n-1)/2+1=(n+1)/2
∴(n-1)/2=[n/2]

以上から自然数n(≧3)に対し
qの最大値は[n/2]
となるからです。

>>あと、二枚目の画像
値を求めるb[60],b[63]の項数である
60,63はいずれも3の倍数だからです。

No.32636 - 2015/08/14(Fri) 16:06:35

★ 二次関数 / 納豆菌

kを定数とし、2次関数y=x^2-2kx+2k+3のグラフをCとする。
Cが、x軸の-2<x<4の部分と、1点のみで交わるようなkの値の範囲を求めよ。ただし、Cがx軸と接する場合は考えない。
上記の問題でわからないところがあります。画像上部にある「条件f(-2)×f(4)<0」で、なぜf(-2)とf(4)をかけて考えるのかわかりません。教えてください！

No.32630 - 2015/08/14(Fri) 11:50:47

☆ Re: 二次関数 / X

題意を満たすためには
f(-2)＜0かつf(4)＞0
又は
f(-2)＞0かつf(4)＜0
(P)
(要するにf(-2)とf(4)が異符号であるということです)
これは
f(-2)f(4)＜0 (Q)
ど同値であることはよろしいですか。
(P)の書き方よりも(Q)の書き方の方が
式として見易いからです。

No.32637 - 2015/08/14(Fri) 16:08:57

☆ Re: 二次関数 / おいしいごはん

ありがとうございました！

No.32639 - 2015/08/14(Fri) 18:42:29

★ (No Subject) / hiro

画像の問題についてなのですが

解説の(2)はα<β<r と定めたのならば
等比数列になり得るのは(α β r）または、（r β α）
となるのではないでしょうか？

なぜなら、等比数列なのに
二番目に大きいもの、一番小さいもの、一番大きいもの
となるのは不敵だと思うのですが、、

No.32626 - 2015/08/14(Fri) 10:33:43

☆ Re: / hiro

解説です

No.32627 - 2015/08/14(Fri) 10:34:17

☆ Re: / 歌声喫茶

「3つの数のうち2番目に大きいもの、3番目に大きいもの、1番目に大きいものがこの順に等比数列となることはない」
という主張であればそれは間違いです…というか、実際にあなたの貼った答えにその実例が書いてありますが、じっくり見ましたか？

4,1,-2のうち2番目、3番目、1番目に大きいものはそれぞれ1,-2,4です。1,-2,4はこの順に等比数列を為します。公比は-2です。

No.32635 - 2015/08/14(Fri) 15:57:03

☆ Re: / hiro

なるほど！
ありがとうございます

No.32652 - 2015/08/15(Sat) 19:19:53

★ (No Subject) / わさび

数llの問題です。
軌跡の問題なのですが、、、
図の書き方がわかりません。
自信がありません。。。
わかる方、教えてくださいm(__)m

No.32621 - 2015/08/13(Thu) 22:01:36

☆ Re: / わさび

問題の画像です！

No.32622 - 2015/08/13(Thu) 22:02:45

☆ Re: / X

(2)が解けないということでしょうか？
でしたらこれは文字の置き方に問題があります。
(図が描けないから解けないのではありません)

Q(u,v)
とすると、条件からQは線分OPの中点ですので
u=X/2
v=Y/2
∴(X,Y)=(2u,2v)
これを(1)の過程で求めた式(6)に代入すると
(2u-4)^2+(2v-8)^2=20
整理して
(u-2)^2+(v-4)^2=5
よって点Qの軌跡は円
(x-2)^2+(y-4)^2=5
…としたいところですが、これから除かなくては
ならない点があります。
それは、点Pが直線OA上にある場合の点Qです。
(このとき三点O,A,Pは三角形を作りませんので。)
このとき、点Qも直線OA上にありますので
除かなくてはならない点がある直線とは
直線OA、つまり
直線y=2x
となります。

No.32625 - 2015/08/13(Thu) 22:39:00

★ 答案の書き方 / peach

些細なことですみません

？（「任意の」を表すAをひっくり返した記号。うちこめませんでした）、「→A」（ベクトルA）とします。

この問題の書き出しの部分ですが、「求める直線上に？P（→P）をとる」との表記はいいですか？（これは、任意ではありません）

No.32616 - 2015/08/13(Thu) 20:07:08

☆ Re: 答案の書き方 / peach

（１）です

No.32617 - 2015/08/13(Thu) 20:07:57

☆ Re: 答案の書き方 / X

∀
は
すべて
か
すうがく
を変換すれば出ますよ。

でご質問の回答ですが、よろしくありません。
まず、その書き方で∀を付ける意味が全くありません。
次に百歩譲って、ある理由があって∀をつける、
としてもこの記号自体が高校数学の学習の範囲外
ですので、高校数学の枠内であればこの記号は
使うべきではありません。

No.32619 - 2015/08/13(Thu) 20:19:42

★ (No Subject) / 琴

分からないので、お願いします！

No.32613 - 2015/08/13(Thu) 18:49:06

☆ Re: / 琴

この問題です

No.32614 - 2015/08/13(Thu) 18:50:24

☆ Re: / X

(1)
前半)
底を3に揃えましょう。
後半)
前半の結果と相加平均と相乗平均の関係を使います。

(2)
前半)
まず(1)のtの式の底を3に揃えましょう。
次に問題の式も底を3に揃え、対数の中のxの指数を
対数の外に出します。
その上で上記のtの式と見比べてみましょう。
後半)
(log[3]x)^2+(log[x]3)^2=(log[3]x+log[x]3)^2-2(log[3]x)(log[x]3)
と変形して(1)前半の結果と(2)前半の結果を使います。

(3)
横軸にt、縦軸にyを取って(2)の後半の結果のグラフを描きます。
但し、(1)の後半の結果に注意しましょう。

No.32618 - 2015/08/13(Thu) 20:11:23

☆ Re: / 琴

途中式はいいので、解答だけお願いできませんか。

No.32620 - 2015/08/13(Thu) 20:55:54

☆ Re: / X

こちらの計算では以下のようになりました。

ア 1
イ 2
ウ - (マイナスの記号です)
エ 2
オ 2
カ 2
キ 7
ク 3
ケ 7

No.32623 - 2015/08/13(Thu) 22:20:38

☆ Re: / 琴

ありがとうございます！
助かりました

No.32624 - 2015/08/13(Thu) 22:34:08

★ 線形代数 / kenzyu

次のような問題があります。

a1,a2,a3をR^3のベクトルで
<ai,ai>=1 (i=1,2,3), <ai,aj>=1/2 (i≠j)
をみたすものとする。ここで<a,b>はaとbの内積を表す。
このとき、以下の問に答えよ。

(1) a1,a2,a3が一次独立であることを示せ。
(2) f:R^3->R^3をf(a1)=0, f(a2)=a3, f(a3)=a2 を満たす線形写像とする。このとき、fの像Im(f)の基底を求めよ。
(3) 基底(a1,a2,a3)に関するf:R^3->R^3の表現行列Aを求めよ。
(4) fの固有値を全て求めよ。
(5) fの各固有値に対する固有ベクトルを、a1,a2,a3の一次結合で表わせ。

--------

私は以下のように考えたのですが、(3)以降がわかりません。
どうか解答と解説をお願いします。m(__)m

(1)
c1a1+c2a2+c3a3 = 0という式の両辺とa1,a2,a3のそれぞれと内積を求め連立方程式を作る→(c1,c2,c3)=0を示す。

(2)
(1)よりa1,a2,a3は基底である。
f(a2)=a3、f(a3)=a2より変換後もa3,a2が基底にとれる。
またa1≠0かつf(a1)=0よりdim(Im(f))=2であり、dim(R^3)=3よりこれら以外にはとれない。

(3)
A a1=0, A a2=a3, A a3=a2 を横に並べると A[a1 a2 a3] = A[0 a3 a2] となる。
ここからどうすればよいのか分かりません。

(4)
図形的に考えて、元の空間でa2,a3が張っていた平面がa3,a2が張る平面に写るので、
2つの固有値λ1,λ2はどちらも1となる。(?)

(5)
a2とa1の二等分線の向きのベクトルが、(4)で説明した変換では自分自身に写る。
したがってλ1に対する固有ベクトルはa2+a3, λ2に対する固有ベクトルはa3+a2。

No.32609 - 2015/08/13(Thu) 16:12:10

☆ Re: 線形代数 / kenzyu

(5)の最後はa2-a3の間違いです

No.32610 - 2015/08/13(Thu) 16:25:29

★ (No Subject) / hiro

高さ2、底面半径1の直円錐を、底面の一つの直径を軸として、この直円錐を回転させて得られる回転体の体積を求めよ

との問題なのですが回転させた後の図がイメージできません
どのようになるのでしょうか？？

No.32600 - 2015/08/13(Thu) 10:53:16

☆ Re: / X

飽くまで立体のイメージについてのご質問の回答
ですので、途中計算に省略がある点はご容赦下さい。

3次元の座標空間上に問題の直円錐を
底面がxy平面上(中心は原点)
頂点がz＞0の側
になるように取ります。
このとき、直円錐の側面の方程式は
z=2-2√(x^2+y^2)
よって回転軸をx軸に取った場合、
平面x=t(-1≦t≦1)
による直円錐の断面のうち、側面が
作る曲線の方程式は
z=2-2√(t^2+y^2) (A)
(これより
-√(1-t^2)≦y≦√(1-t^2) (B))
よって曲線(A)上の点
(t,y,2-2√(t^2+y^2))
と
点(t,0,0)
との間の距離の二乗をf(y)とすると
f(y)=y^2+{2-2√(t^2+y^2)}^2
=5y^2-8√(t^2+y^2)+4t^2+4
∴f'(y)=10y-8y/√(t^2+y^2)
=2y{5-4/√(t^2+y^2)}
∴f'(y)=0のとき
y=0又はy^2=16/25-t^2
となることに注意して、tについて場合分けを
して(B)の範囲で(A)の増減表を書くと

(i)4/5≦|t|≦1のとき
f(y)はy=√(1-t^2),-√(1-t^2)のときに
最大値1-t^2 (C)
(ii)3/5≦|t|≦4/5のとき
f(y)はy=√(1-t^2),-√(1-t^2)のときに
最大値1-t^2 (D)
(iii)0≦|t|≦3/5のとき
f(y)はy=0のときに
最大値4(1-t)^2 (E)

をそれぞれ取ることが分かります。
よって問題の回転体の平面x=tによる断面は
(i)(ii)(iii)のようなtにおいて、半径の二乗が
(C)(D)(E)となるような円となりますので
その断面積は
3/5≦|t|≦1のときπ(1-t^2)
0≦|t|≦3/5のとき4π(1-t)^2
よって回転体のyz平面に関する対称性により求める体積Vは
V=2{∫[0→3/5]{4π(1-t)^2}dt+∫[3/5→1]π(1-t^2)dt}
=…

図にすると、下のようなグラフをx軸の周りに
回転させてできる回転体となります。

No.32608 - 2015/08/13(Thu) 15:53:48

★ 数Aの質問です。 / komura

(2)の解説をお願いしてます。

No.32593 - 2015/08/12(Wed) 23:37:30

☆ Re: 数Aの質問です。 / IT

その問題集（基礎問精講？）の解答、解説がどのように書いてあって、どの部分が分からないかが不明なので、それについての解説は不可能です。

簡単な解法としては、交点にそこに至る道順の数を書き込んで行くという方法があります。

No.32595 - 2015/08/13(Thu) 00:15:52

☆ Re: 数Aの質問です。 / X

まず(1)の(ii)の場合と同様にして、p,qがいずれも
通れる場合のqを必ず通るような最短経路の数を
求めます。(これを(C)とします。)
次にp,qの両方を通るような最短経路の数を求めます。
(これを(D)とします。)
(1)の(i)(ii)の結果をそれぞれ(A),(B)とすると
求める最短経路の数は
(A)-{(B)+(C)-(D)}
で計算できます。
注)
{}内はp,qがいずれも通れる場合の
p,qの内の少なくともどちらか一方を
通るような最短経路の数を表します。

No.32596 - 2015/08/13(Thu) 00:23:27

★ (No Subject) / みんみん

(1)は分かりましたが(2)がわかりません
よろしくお願いします

答え(1)Q(1/3(t+1)^-2+t,0)
(2)f(t)=e^｛1-(t+1)^3｝(t≧0)

No.32586 - 2015/08/12(Wed) 18:24:55

☆ Re: / X

条件から時刻tのときの点Pにおける接線の方程式は
y=f'(t)(x-t)+f(t)
∴Qのx座標について
0=f'(t)(x-t)+f(t)
このxが(1)の結果のx座標に等しいので
0=f'(t){(1/{3(t+1)^2}+t)-t}+f(t)
これをf(t)についての微分方程式として
条件である
f(0)=1
の下で解きます。
(変数分離法を使いましょう)

No.32594 - 2015/08/12(Wed) 23:51:31

☆ Re / みんみん

f(t)についての微分方程式が青チャート参考にしながらチャレンジしましたが解けません
よろしければ計算過程も教えて頂けないでしょうか

No.32611 - 2015/08/13(Thu) 16:27:56

☆ Re: / X

0=f'(t){(1/{3(t+1)^2}+t)-t}+f(t) (A)
より
0=f'(t)/{3(t+1)^2}+f(t)
f'(t)/{3(t+1)^2}=-f(t)
f'(t)/f(t)=-3(t+1)^2
両辺をtで積分すると
log|f(t)|=-(t+1)^3+C[1]
(C[1]は任意定数)
対数と絶対値を外し、
±e^C[1]=C
と置くと
f(t)=Ce^{-(t+1)^3} (B)
一方f(t)=0は(A)の解の一つですが、
これは(B)でC=0の場合に当たりますので
結局(A)の一般解は
f(t)=Ce^{-(t+1)^3}
(Cは任意定数)
ここで
f(0)=1
により
C=e
よって
f(t)=e^{-(t+1)^3+1}
となります。

No.32612 - 2015/08/13(Thu) 18:05:01

☆ Re: / みんみん

X先生有難う御座いました！！
すごく丁寧に教えて頂きおかげで分かりました！

またよろしくお願いします

No.32615 - 2015/08/13(Thu) 19:20:08

★ (No Subject) / Hoppag

こんにちは高校２年です。
次の証明で間違ってるところを教えてくださいm(__)m

1=0.9999999999……
両辺に10000000000……をかけて
100000000……=999999999999……
両辺から999999999……を引いて
1=0

よろしくお願いいたしますm(__)m

No.32585 - 2015/08/12(Wed) 18:24:27

☆ Re: / ヨッシー

>両辺から999999999……を引いて
の 999999999…… が何を表しているかですが、
9が無限に続く数を表しているなら、
100000000……=999999999999……
なので、
0=0
になるだけです。

No.32590 - 2015/08/12(Wed) 20:13:26

☆ Re: / Halt0

10000000000…… というのは数ではないのでかってに掛け算することはできません.

No.32598 - 2015/08/13(Thu) 02:16:47

★ 不等式 / ゆうた

－2≦a≦1、2≦b≦4のときa二乗＋2bの範囲を表す式として、次のうち正しいものはどれか。
上記の問題について質問です。
aの式を二乗し、bの式を二倍して連立して解いたのですが解答によるとaの式は1≦a二乗≦4ではなく0≦a二乗≦4になるようです。
左辺が1ではなく0になる理由がわかりません。
どうか解説お願いします。

No.32581 - 2015/08/12(Wed) 13:11:02

☆ Re: 不等式 / ヨッシー

普通に考えて、a=0 のとき a^2=0 なので、
　a^2＜1
である a も存在することに気付きます。

グラフで説明すると、下図のようになります。

No.32583 - 2015/08/12(Wed) 14:08:31

☆ Re: 不等式 / ゆうた

回答ありがとうございます。

No.32587 - 2015/08/12(Wed) 18:40:52

★ 束の考え方 / peach

おはようございます。高校２年生です。

画像の解答について質問させていただきます。

（ア）（イ）の解答の構図としては、「たまたま」ｓ＝１を代入すると、円の方程式になってしまった（４点を通る円は１コだけ）ので（もちろん、戦略的には、s^2 、t^2の係数を揃えるためだが、解答だけ見ると「たまたま」という感じがする書き方？）それを答えにしているが、これでもいいのですか？

（ウ）（エ）はさっぱりわかりませんでした。詳しく、解説をお願いします。

No.32580 - 2015/08/12(Wed) 09:45:54

☆ Re: 束の考え方 / ヨッシー

たとえば、ｓ＝２とすると、この式は
　x^2－2a－２ｙ＋y^2/2－ａ－ｘ＝０
　(x-1/2)^2－1/4＋(y-2)^2/2＝3a＋9/4
という楕円の式になります。
もちろんこの楕円も４点を通ります。
ｓ＝０とした、
　y^2/2－a－x＝０
も、４点を通ります。このように、４点を通る式は、
ｓを色々変えることによって、無限に存在します。

今回は、「円を通る」ということを示すのですから、
x^2 と y^2 の係数が一致するようにｓを調節し、
その結果がｓ＝１です。
「たまたま」ではなく、「ねらい通り」です。

ヒントの「なお、２直線・・・」がポイントです。
13 の式が、
　(x,yの１次式)(x,yの１次式)＝０
の方に変形できたら、それは、２直線を表します。
そこで、ｙ＝ｘ ⇔ ｙ－ｘ＝０が、２直線のうちの１つであることを
知った上で、
　(y-x)(x,y の一次式)＝０
の形になった場合を考えます。この式の特徴は、定数項がないということです。
そこで、13 の式において、定数項がないようにｓを選ぶと、
　ｓ＝－１
とすれば、ａの項が消えることがわかります。

No.32584 - 2015/08/12(Wed) 14:27:36

☆ Re: 束の考え方 / peach

ありがとうございます

No.32592 - 2015/08/12(Wed) 23:02:22