?@「cosx=1/2(0≦x<2π)」は?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」を満たすどうかを考えて説明してみよう。
という問題について質問です。
cosx=1/2を与えられたxの範囲で解くと、x=π/3、5π/3ですよね。
たとえばx=π/3を?Aのxに代入すると
siny=1-cos(π/3)かつcosy=-sin(π/3)となりますが、
満たすかどうかはyの値次第なので、満たすかどうかはわからないと思ったのですが私の考えは間違っていますでしょうか？なんとなく「満たす」といえば、たとえば、x^2＋x＝０という条件式があったら、x=0は、この式に代入すれば左辺＝右辺＝０になってくれるのでx=0はこの条件式を「満たす」ということだと思います。つまり、話を戻すとyの値が分からない問題文の?Aはxになにを代入しても満たすかどうかわからないと思うし、満たすとすればすごく違和感があります。
また、この問題文を言い換えると、
?@「x=π/3、5π/3」ならば?A「siny=1-cosxかつcosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」が成り立つかどうかということだと思ったので、
たとえば、これが真ならば、?Aのxにx=π/3を代入すると?Aが成り立つし、またはx=5π/3を代入しても?Aが成り立つということになりますが、それだと、yは0≦y<2πの範囲の実数で常に成り立つことになると思うのですが、実際はそうではないので反例をあげれば偽だと思いました。この考えは間違っていますでしょうか？
数学がとても苦手で周りに聞ける人もいないので教えて頂けたら幸いです。よろしくお願いします。
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No.32643 - 2015/08/15(Sat) 01:52:00
| ☆ Re: / ゆらり | | | 追加で、私が悩んでいる「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」の意味をどう捉えるのかについての質問なのですが、
この２式を満たすxとyは、0≦x<2π、0≦y<2πの範囲であればなんでもいいというわけでは決してないということはすぐに分かると思うので、xとyはちゃんと２式(siny=1-cosxかつcosy=-sinx)が成り立つようなxとyでなければならないですよね。・・・(a)
そこで、
?@「x=π/3、5π/3」ならば?A「siny=1-cosxかつcosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」 についてなのですが、
たとえばx=π/3を?Aのxに代入すると
?Aは「siny=1-cos(π/3)かつcosy=-sin(π/3)」となりますが、このときのyは、(a)のように考えるなら、0≦y<2πとあっても、yがこの範囲であればなんでもいいというわけはなく、x=π/3のときに対応した、きちんと式を満たしてくれるような特定のyの値に必然的かつ自動的に決まるので、x=π/3を代入すれば?Aが成り立ち、x=π/3は?Aを満たすと考えられる・・・？と思ったのですが、微妙に違和感があります。１つ目に投稿した質問では、変に小難しく考えずに、
「たとえばx=π/3を代入してみるとsiny=1-cos(π/3)かつcosy=-sin(π/3)になった⇒yについては0≦y<2πとかいてる⇒この範囲を満たしてるyをいろいろ代入してみたら成り立たなくなるものがある⇒だからcosx=π/3だったらこの式を満たすとはいえない・・・？」(※考えの流れを⇒でつなげました)と考えました。
それに対して２つ目のこの質問では、
「たとえばx=π/3を代入してみるとsiny=1-cos(π/3)かつcosy=-sin(π/3)になった⇒あれ・・・そもそもsiny=1-cosxかつcosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)ってあるけどこれを満たすようなxとyって限られてるんじゃ・・・？⇒実際にx=π/3を代入してみて調べてみるとyはy=5π/6でないといけないことがわかった⇒じゃあx=π/3を代入してもyが5π/6以外になることはないから必然的にsiny=1-cos(π/3)かつcosy=-sin(π/3)のyがこの式を満たすようなy(つまり5π/6)に決まるんだから、0≦y<2πのいろんなyの値で調べなくてもいい・・・？」という質問です。
正直２つ目の方は逆算的で無理やりな感じがあるので違和感があります。単純に考えれば、１つ目の方の考えになるのですが、数学＝複雑に難しく考えないとダメ のようなイメージがあるのでよくわからなくなってきます。
分かる方教えてください。お願いします。
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No.32644 - 2015/08/15(Sat) 02:53:42 |
| ☆ Re: / 黄桃 | | | >「cosx=1/2(0≦x<2π)」は「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」を満たすどうか
これが正しい問題文なら、「三角形は2乗すると正になりますか？」くらい意味不明な問題です。
ゆらりさんの考え方は正しいと思います。
「cosx=1/2(0≦x<2π)」の意味はおっしゃるように、次の集合
A={x|cosx=1/2, 0≦x<2π}={π/3, 5π/3}
という意味でしょうし、
「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」の意味は、次の集合B
B={(x,y)|siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)}
={(π/3, 5π/6), (5π/3, π/6)}
のことでしょう。
そして、普通、前者が後者を満たすかどうか、というのは、AがBに含まれる場合のことをいいます。
しかし、２つの集合の包含関係を考えるということは、２つの集合が同じ全体集合に含まれていなければ意味がありません。
ですが、Aは数直線上の2点を表しているのに、Bは平面上の2点を表しています。平面と数直線とは同じ全体集合ではないので、そもそも比べるのがおかしい、ということになります。
ただし、数直線をx軸と思って平面上の直線と考える、という立場も考えられます。この場合であれば、最初のAは実は、
C={(x,0)|cosx=1/2, 0≦x<2π}
ということになります。ただ、私には「cosx=1/2(0≦x<2π)」だけ見せられてCを考えろ、というのは不親切だと思います。こういう場合は、「xy平面で」というような前書きがあると思いますので確認してください。
出題者に問題の意味をきちんと確認してみることをお勧めします。
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No.32648 - 2015/08/15(Sat) 13:31:20 |
| ☆ Re: / ゆらり | | | 回答ありがとうございます。
この問題について自分の考えを沿って整理してみたのですが、
「一見それらしい命題のようにも感じてしまったので?@「cosx=1/2(0≦x<2π)」ならば?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π) という命題を考えた⇒すると、x=π/3、5π/3を?Aに代入したらyの値は0≦y<2πであればなんであっても成り立つということになってこの時点で明らかにおかしいという違和感⇒よくよく考えてみれば、そもそも、?@ではxという１つの変数だけなのに?Aではxとyという２つの変数を使っているのだから集合の包含関係はなく、命題自体がおかしいのでは・・・？」
こういう流れで私は考えたのですか、この思考の流れは問題ないですか？最初の時点では「２つの集合の包含関係を考えるということは、２つの集合が同じ全体集合に含まれていなければ意味がありません。」ということを忘れていたというか、これまであまり意識していなかったため気づきませんでした； 回答よろしくお願いします。
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No.32650 - 2015/08/15(Sat) 15:20:02 |
| ☆ Re: / 黄桃 | | | まず、
> ?@「cosx=1/2(0≦x<2π)」ならば?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π) という命題
という部分がそもそも「命題」になってない、ということです。
もっとも?@が「すべてのx(0≦x<2π)についてcosx=1/2」、?Aが「すべてのx,y (0≦x<2π 0≦y<2π)についてsiny=1-cosx かつ cosy=-sinx」というのであれば、真なる命題です（条件文の仮定が偽の場合です）。ですが、書き方からしてこのような場合を想定してはいないのでしょう。
高校数学では、x,y という変数がある場合は、命題ではなく条件ということになります（必要十分条件を略して条件といいますが、ここでいう条件は必要十分条件のことではありません）。xの動く範囲が決まっていて、P(x)やQ(x)という条件があれば、P(x)⇒Q(x)という条件が常に成り立つかどうか、つまり、「すべての x について『 P(x) ⇒Q(x)』」が真どうか議論できます。今の「命題」は P(x)⇒Q(x,y)という形をしているため「すべてのxについて 『 P(x) ⇒Q(x,y)』」という形では、yを決めないことには真偽がきまりません。
このことを指して「命題自体がおかしいのでは・・・？」というのであればそれは正しいです。
ただ、
> すると、x=π/3、5π/3を?Aに代入したらyの値は0≦y<2πであればなんであっても成り立つということになって
というのは間違いです。x=π/3 を代入すれば、?Aは、
sin(y)=1/2 かつ cos(y)=-√3/2 ですから、yは何でもいいわけではなく、y=5π/6 の場合しか成立しません。x=5π/3 であれば、y=π/6 でしか成立しません。
どんなyでも成立するなんてことはありません。
ご自身が想像されている命題は実は
「すべてのxについて、xそれぞれについて適当にyを選ぶと 『 P(x) ⇒Q(x,y)』が成立する」
同じことですが、
「すべてのxについて、それぞれ、『 P(x) ⇒Q(x,y)』を満たすyが存在する」
というものではないですか？
高校数学では「すべての」とか「存在する」とかを明確にしない場合があります（P(x)⇒Q(x)で「すべてのxについてP(x)⇒Q(x)」を意味するとか）が、ご自分で考える場合はできる限り明確にするようにしてください。
＃参考までに言えば、
＃「すべてのx (0≦x<2π)について、「cosx=1/2」ならば「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦y<2π)」
＃というのは、yに関する条件であり、
＃上のことからこの条件をみたすyは存在しない、ということになります。
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No.32654 - 2015/08/16(Sun) 03:18:01 |
| ☆ Re: / ゆらり | | | 回答ありがとうございます。
文章を推敲してなかったので、言葉が足りてないことに後から気づいて申し訳ないです。
「すると、x=π/3、5π/3を?Aに代入したらyの値は0≦y<2πであればなんであっても成り立つということになって」のところは、
?@「cosx=1/2(0≦x<2π)」ならば?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」は絶対に真ではない(黄桃さんの言うとおり、x=π/3 を代入すれば、?Aは、
sin(y)=1/2 かつ cos(y)=-√3/2 だからyは何でもいいわけではなく、y=5π/6 の場合しか成立しないしx=5π/3 であれば、y=π/6 でしか成立しないため)けどもし真と考えるのであれば、yの値は0≦y<2πの実数なら成り立つことになってしまいますが、繰り返しですが、やはりx=5π/3のときはy=π/6 でなければならないので、やっぱりおかしい(真ではない)ので違和感を感じる・・・という意味で書いたのですが、これは黄桃さんのおっしゃるところと同じという認識でいいでしょうか？
あと、
「すべてのx(0≦x<2π)についてcosx=1/2」、?Aが「すべてのx,y (0≦x<2π 0≦y<2π)についてsiny=1-cosx かつ cosy=-sinx」なら真の命題というところで、
すべてのx,yというのは
たとえばx=π/6 y=π/2でもx=π/6 y=2π/3でもなんでも成り立つということですか？
質問が長くなってすみません。
よろしくお願いします。
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No.32657 - 2015/08/16(Sun) 16:53:36 |
| ☆ Re: / 黄桃 | | | 最初の問について。
>やはりx=5π/3のときはy=π/6 でなければならないので、やっぱりおかしい(真ではない)ので違和感を感じる・・・
これが元の問題がおかしいと考える理由なら誤りです。「おかしい」のではなくお考えのように、
「どのようにy (0≦y<2π)を選んでも、『すべてのx (0≦x<2π)について、cosx=1/2ならば、siny=1-cosxかつcosy=-sinx』を満たすようにすることはできない」
ということが結論できただけです。
もう一度、最初に述べた
?@「cosx=1/2(0≦x<2π)」は?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」を満たすどうか、
とはどういう意味か、よく考えてみてください。
?@を満たすxに対して?Aを満たすyが(xに応じて)少なくとも１つ見つかる、
のか
?@を満たすxに対してはどんなyでも?Aを満たす、
ということなのか、
それとも、まったく意味はなく、形式的に２つの条件を並べただけで意味を見つけようとしているのか、
どれなのでしょうか？
2つ目の問について。
>すべてのx,yというのは
>たとえばx=π/6 y=π/2でもx=π/6 y=2π/3でもなんでも成り立つということですか？
その通りです。ただし、成り立つ、と言っているのは個別の命題ではなく、条件文
「すべてのxについて?@」ならば「すべてのx,yについて?A」
という命題全体についてです。後半の「すべてのx,yについて?A」は偽ですが、この条件文は仮定部分「すべてのxについて?@」が偽なので、条件文の真偽は真です。
誤解しないように。
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No.32662 - 2015/08/17(Mon) 01:26:58 |
| ☆ Re: / ゆらり | | | ＞?@「cosx=1/2(0≦x<2π)」は?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」を満たすどうかとはどういう意味か。
?@よりx=π/3を?Aに代入すると
?Aはsiny=1-cos(π/3)かつcosy=-sin(π/3)となり、
?@が?Aを満たすかどうかはyの値次第ですよね。
0≦y<2πにおけるyの値で、x=π/3のときに?Aを満たすように対応するyの値があって、それがyの値になるなら、そのときはx=π/3が?Aを満たすことになりますよね。ですが、それは?@を満たすx(ex.x=π/3)に対して?Aを満たすyの値でない場合は、「?@は?Aを満たす」とはいえませんよね。、また、x=π/3のときすべてのyで?Aが成り立つ可能性もあるので、その場合は、yに関して反例がないことになるので「?@は?Aを満たす」と常に言えますよね。つまり、?Aを満たすかどうかはyの値に左右されるわけで、たとえ満たしてくれるyの値があったとしても、その満たしてくれるyがyの値にならなければ満たすことはないですよね。このように意味を考えみましたが自分の頭では上記のようにしか考えられなかったため、「どれを意味しているのか」は確定することができず、よくわかりませんでした。元の問題文は、自分の理解力ではよくわからないというのが正直なところです；
お考えのように、
「どのようにy (0≦y<2π)を選んでも、『すべてのx (0≦x<2π)について、cosx=1/2ならば、siny=1-cosxかつcosy=-sinx』を満たすようにすることはできない」
＞
すべてのxについて、cosx=1/2 というのは偽の仮定部ですか？
?@「cosx=1/2(0≦x<2π)つまりx=π/3、5π/3」ならば
?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」
は、すべてのyで?Aを満たすことはないという結論とは違いますか？
長々と質問してしまってすみません。
これで最後にしますので、よろしくお願いします。
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No.32663 - 2015/08/17(Mon) 13:28:29 |
| ☆ Re: / ゆらり | | | すみません
?@「cosx=1/2(0≦x<2π)つまりx=π/3、5π/3」ならば
?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」
は、すべてのyで?Aを満たすことはないという結論とは違いますか？
というのは私の考えていた結論のことです。
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No.32664 - 2015/08/17(Mon) 13:32:23 |
| ☆ Re: / 黄桃 | | | >それがyの値になるなら、そのときはx=π/3が?Aを満たすことになりますよね。
?Aをみたすかどうかは、x,yの値によります。x=π/3 だけをとって?Aを満たすというのは意味不明です。
何度も書いていますが、高校数学では、特に「ならば」がついた文章の意味があいまいなことが多く、その内容を把握するにはある程度「高校数学の常識」が必要です。そして、今回のような「命題」はまったくの悪文で数学的には意味不明です。ご自分で作り出した命題なら、誤った文章なので、意味を考えるだけ無駄、と申し上げます。そうでないなら、作った人にその意図（数学的内容）を説明してもらってください。
>すべてのxについて、cosx=1/2 というのは偽の仮定部ですか？
違います。正確に書くと、
「どのようにy (0≦y<2π)を選んでも、『すべてのx (0≦x<2π)について（cosx=1/2ならば、siny=1-cosxかつcosy=-sinx）』を満たすようにすることはできない」
です。
『すべてのx (0≦x<2π)について（cosx=1/2ならば、siny=1-cosxかつcosy=-sinx）』
の真偽を知るには、0≦x<2πを満たす数xそれぞれに（cosx=1/2ならば、siny=1-cosxかつcosy=-sinx）の真偽を確認してみればいいわけです。
xがπ/3でも5π/3 でもない時は cos(x)≠1/2 なのでyが何であっても（cosx=1/2ならば、siny=1-cosxかつcosy=-sinx）は真。
x=π/3 の時は y=5π/6 の時に限って真。
x=5π/3 の時は y=π/6の時に限って真。
したがって、
『すべてのxについて （cosx=1/2ならば、siny=1-cosxかつcosy=-sinx）』を真にするようなxによらない共通のyは存在しません。
しかしながら、xに応じてyが変わってもいいのであれば、
すべてのxについて『（cosx=1/2ならば、siny=1-cosxかつcosy=-sinx）を真にするようなyが、xに応じてそれぞれ存在する』
のは真です。
>?@「cosx=1/2(0≦x<2π)つまりx=π/3、5π/3」ならば
>?A「siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)」
>は、すべてのyで?Aを満たすことはないという結論とは違いますか？
上で書いたように、そもそも「?@ならば?A」や「すべてのyで?Aを満たす」の意味がわかりません。
yはx毎に変わってもいいのですか？
それとも２つのxに共通でなければならないのですか？
少なくとも x=π/3, 5π/3 の時(この時?@は真）に sin(y)=1/2 を満たさなければ、?Aは成立しないのですから、
例えばx=π/3, y=0 について ?@ならば?Aは偽となり、すべてのyについて「?@ならば?A」が成立するはずはありません。
「すべてのyについて?A」という「条件」を考えるのであれば、それはxに関する条件になりますが、
cos(y)は-1から1までいろいろな値をとるわけですから、どんなxをとってもすべてのyについて cos(y)=-sin(x)
になるはずはありません。つまり「すべてのyについて?A」を満たすxはありません。
ここらでどうも、私には、「すべてのy」といいながら、都合の良いyを選んできているように思えます。
一応、「?@ならば?A」はご本人が何か意味を考えて作った「命題」ということだと解釈します。
すみませんが、私には、意図がさっぱりわかりませんので、
?@を P(x), ?AをQ(x,y) として、「?@ならば?A」の数学的内容をきちんと述べてもらえますか？
P(x): cos(x)=1/2 (0≦x<2π) （同じことですが、x=π/3 または x=5π/3)
Q(x,y): siny=1-cosx かつ cosy=-sinx(0≦x<2π 0≦y<2π)
として、いいたい内容は
すべてのxについて「P(x)ならばQ(x,y)」
ですか？それとも
「すべてのxについてP(x)」ならば「すべてのx,y についてQ(x,y)」
ですか？それとも
すべてのxについて「P(x)ならば『すべてのyについてQ(x,y)』」
ですか？それとも他の意味ですか？
x,y の動く範囲を {-1,0,1} に限定して、
P(x)を x^2=1
Q(x,y)を x=y
とした場合にも、ご自分の解釈が正しいかどうか、確認してみて再投稿してください。
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No.32679 - 2015/08/18(Tue) 01:06:52 |
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