方程式x^2+2y^2-2x-3=0の表す曲線をCとし,点A(0,1)を通る直線lがCと2点P,Qで交わるとする
(1)点Aが線分PQの中点となるとき,直線lの方程式を求めよ
(2)線分PQの中点の軌跡の方程式を求めよ。また,この軌跡上の点(x,y)についてx,yそれぞれの範囲を求めよ
(1)の答えはy=(1/2)x+1
(2)の答えは｛(x-1/2)^2/(√3/2)^2｝+｛(y-1/2)^2/(√6/4)^2｝=1
(1-√3)/2≦x≦(1+√3)/2,(2-√6)/4≦y≦(2+√6)/4です
(1)はできました
(2)中点をa,bなどと置いて軌跡の式を計算しようとしましたがどうしても無理でした
(2)についてお願いします
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No.32717 - 2015/08/21(Fri) 17:31:19
| ☆ Re: 二次曲線 / X | | | x^2+2y^2-2x-3=0 (A)
とします。
(i)lがy軸平行の場合
lの方程式は
x=0
これを(A)に代入すると
y=±√(3/2)
∴線分PQの中点の座標は
(0,0) (B)
(ii)lがy軸平行でない場合
lの方程式は
y=ax+1 (C)
と置けるので(A)との交点のx座標について
x^2+2(ax+1)^2-2x-3=0
整理して
(2a^2+1)x^2-2(1-2a)x-1=0 (A)'
よって、点P,Qのx座標をそれぞれα、βとすると
α、βは(A)'の解となるので解と係数の関係より
α+β=2(1-2a)/(1+2a^2) (D)
αβ=-1/(1+2a^2) (E)
又、(A)'の解の判別式をDとすると
D/4=(1-2a)^2+(1+2a^2)＞0 (F)
(これは実数aの値によらず成立しています。)
更に線分PQの中点の座標を(X,Y)とすると
X=(α+β)/2 (G)
Y={(aα+1)+(aβ+1)}/2 (H)
(D)(G)より
X=(1-2a)/(1+2a^2) (G)'
(G)(H)より
Y=aX+1 (H)'
(G)'(H)'から
(I)X≠0、つまりa≠1/2のとき
(H)'より
a=(Y-1)/X
(G)'へ代入すると
X=(1-2(Y-1)/X)/(1+2{(Y-1)/X}^2)
これより
X=(X-2(Y-1))X/(X^2+2(Y-1)^2)
1=(X-2Y+2)/(X^2+2(Y-1)^2)
X^2+2(Y-1)^2=X-2Y+2
(X-1/2)^2+2(Y-1/2)^2=3/4
{(X-1/2)/((√3)/2)}^2+{(Y-1/2)/(√6)/4}^2=1 (I)
(ii)X=0、つまりa=1/2のとき
(H)'より
(X,Y)=(0,1)
これは点Aのことですので不適。
更に(I)は
(X,Y)=(0,0)
のときも成立しますので点(B)も(I)上に存在します。
よって求める軌跡の方程式は
楕円 {(x-1/2)/((√3)/2)}^2+{(y-1/2)/((√6)/4)}^2=1
後はこれのx,yの値の範囲を求めます。
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No.32726 - 2015/08/21(Fri) 20:36:31 |
| ☆ Re: 二次曲線 / みんみん | | | Xせんせー
いつも丁寧なご回答有難うございます！！
(X,Y)=(0,1)
これは点Aのことなので不適
↑
これはなぜなんでしょうかAも中点になる場合もあるので中点の軌跡として捉えることは可なのではないのでしょうか？∴(1)より
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No.32732 - 2015/08/22(Sat) 01:27:34 |
| ☆ Re: 二次曲線 / みんみん | | | No.32733 - 2015/08/22(Sat) 01:29:36 |
| ☆ Re: 二次曲線 / X | | | ごめんなさい。点Aが楕円(A)の外部の点であると
勘違いしていました。
仰るとおり、点(0,1)も軌跡に含まれます。
これは(I)上の点になりますのでその旨を回答に
書き加えて下さい。
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No.32736 - 2015/08/22(Sat) 18:02:09 |
| ☆ Re: 二次曲線 / みんみん | | | X先生ご返事有難うございます
わかりました！先生のお墨付きが頂けたので(0,1)も軌跡に含めます
またお願いします☆
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No.32737 - 2015/08/22(Sat) 22:38:18 |
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