3点a(3,0,0),b(0,t,0),c(0,0,1)を通る平面αと5点p(0,0,2),q(2,0,0),r(0,2,0),s(ー2,0,0),t(0,ー2,0)が頂点の四角錐Vがある.(t≧2)
(1)Vをαで切った切り口の面積S(t)を求めよ.
(2)S(t)の最大値を求めよ.
よろしくお願いします！
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No.31812 - 2015/06/19(Fri) 22:18:58
| ☆ Re: 空間座標 / ヨッシー  | | | 
ｚｘ平面において、△ＱＰＳ と直線ＡＣを考えます。
ＡＣとＰＳ，ＰＱとの交点をＤ，Ｅとし、Ｄ，Ｅからｚ軸に下ろした垂線の足をＨ，Ｊ
とします。
△ＡＣＯ∝△ＤＣＨ であり、ＡＯ：ＯＣ＝３：１ なので、
ＣＨ＝ＤＨ/3
また
ＰＨ＝ＤＨ
であるので、
ＣＨ＝ＰＣ/4＝1/4
よって、Ｄの座標は（-3/4, 0, 5/4)
△ＥＣＪ∝△ＡＣＯ であり、ＡＯ：ＯＣ＝３：１ なので、
ＣＪ＝ＥＪ/3
また
ＥＪ＝ＰＪ
であるので
ＣＪ＝ＰＣ/2＝1/2
よって、Ｅの座標は(3/2, 0, 1/2)
同様にｙｚ平面において、△ＲＰＴ と直線ＢＣを考えます。
ＢＣとＰＴ，ＰＲとの交点をＦ，Ｇ とし、Ｆ、Ｇからｚ軸に下ろした垂線の足をＫ，Ｌ
とします。
上と同様に計算して
Ｆの座標(0, -t/(t+1), (t+2)/(t+1))
Ｇの座標(0, t/(t-1), (t-2)/(t-1))
ここで、
ＤＥ＝(3/4, 0, -3/4)
ＦＧ＝(0, 2t/(t^2-1), -2t/(t^2-1))
この２つのベクトルが作る三角形がＳと等しくなります。
ＤＥ＝3√2/4
ＦＧ＝2√2t/(t^2-1)
ＤＥ・ＦＧ＝3t/2(t^2-1)
より、ＤＥとＦＧのなす角をθとすると
cosθ＝1/2
よって
sinθ＝√3/2
Ｓ(t)＝(1/2)(3√2/4){2√2t/(t^2-1)}(√3/2)
＝3√3t/4(t^2-1)
Ｔ(t)＝t/(t^2-1) とおきます。
Ｔをtで微分して
Ｔ'(t)＝-(t^2+1)/(t^2-1)^2
よって、T(t) は単調減少関数であり、最大値はｔ＝３ のとき
このとき
Ｓ(3)＝9√3/32
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No.31814 - 2015/06/20(Sat) 00:24:26 |
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