ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / まどか☆マギカ

高3です。数3の問題です。

誰かわかる方ご教授ください（；￣ェ￣）

グラフの問題は省略でも構いません。

No.32561 - 2015/08/11(Tue) 14:59:20

☆ Re: / X

(1)
f(x)=√x-logx
と置いてx＞0におけるf(x)の増減表を書きましょう。

(2)
(1)の結果により
(logx)/x＜1/√x
一方x→∞を考えるので
logx＞0
としてよく、結局
0＜(logx)/x＜1/√x
これにはさみうちの原理を適用して
lim[x→∞](logx)/x=0

(3)
問題の関数の増減表を書きましょう。
但しこの問題の場合はy"も求めて変曲点
を求めます。
又
lim[x→+0]y=-∞
となることと(2)の結果にも注意します。

(4)
0＜a＜bかつa^b=b^a
⇔0＜a＜bかつlog(a^b)=log(b^a)
⇔0＜a＜bかつbloga=alogb
⇔0＜a＜bかつ(loga)/a=(logb)/b
よって問題はxの方程式
(logx)/x=k (A)
(kは定数)
の解が二つであるとき、(A)の小さい方の解の
値の範囲を求めることに帰着します。
ということで
y=(logx)/x
y=k
のグラフの交点が二つになるときを考えてみましょう。
((3)の結果を使います。)

No.32567 - 2015/08/11(Tue) 18:44:56

☆ Re: / X

ちなみに(3)のグラフは下の図のようになります。
ソフトの関係で変曲点でグラフの曲がりが
変化しているように見えませんが、その辺は
ご容赦下さい。

No.32568 - 2015/08/11(Tue) 19:10:48

★ (No Subject) / hiro

画像の問題で
なぜ、PA=2sin(θ/2)
となるのでしょうか？
解答お願いいたします。

No.32559 - 2015/08/11(Tue) 14:54:43

☆ Re: / hiro

解答です

No.32560 - 2015/08/11(Tue) 14:55:12

☆ Re: / X

△PAOにおいて余弦定理により
PA^2=OA^2+OP^2-2OA・OPcos∠AOP
=1^2+1^2-2・1・1・cosθ
=4(1-cosθ)/2
={2sin(θ/2)}^2
条件より
0≦θ≦π
∴0≦θ/2≦π/2
ですので
PA=2sin(θ/2)
となります。

No.32566 - 2015/08/11(Tue) 18:35:27

☆ Re: / hiro

なるほど、解答がはしょりすぎただけでした！
ありがとうございます

No.32572 - 2015/08/11(Tue) 19:43:46

☆ Re: / Halt0

別解)
△OAP は OA=OP=1 , ∠AOP=θ の直角三角形だから.
(もっというと, AP の中点を M としたとき, △OMA は OA=1, ∠M が直角, ∠O が θ/2 である直角三角形なので MA=sin(θ/2). よって PA=2MA=2sin(θ/2))

No.32597 - 2015/08/13(Thu) 02:12:25

★ 数Aの質問です。 / komura

(2)の解説をお願いします。

No.32554 - 2015/08/11(Tue) 00:18:08

☆ Re: 数Aの質問です。 / X

添付された画像で下の方に書かれている
精講の(2)の項目は読まれましたか？。

No.32550に添付された画像の精講の
内容は舌足らずだったので少し説明を
付けるつもりで回答をしましたが、
この場合はそれとは異なり、
精講の内容以上の解説はできません。
(内容が必要十分ですので。)
後はこの内容に沿って数式を
立てていくだけです。

No.32555 - 2015/08/11(Tue) 06:52:15

★ 数Aの質問です。 / komura

(3)の解説お願いします。

No.32550 - 2015/08/10(Mon) 23:05:53

☆ Re: 数Aの質問です。 / X

円周角により三角形の一つの角が直角となるのは
三角形のいずれかの辺が円の直径となる場合です。
ということでまずは結んだ線分が直径となるような
2点の選び方の数を求めましょう。

No.32552 - 2015/08/10(Mon) 23:25:27

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

ありがとうございます。

No.32577 - 2015/08/11(Tue) 23:34:02

★ 円周角か相似か / β

就職試験一般常識の問題集から質問です。

問題：下の図のように，２つの円が点Ｐで外接している。また、Ｐを通る２つの直線は２つの円とそれぞれ点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄで交わっている。∠ＡＣＤ＝55°，∠ＡＰＢ＝47°のとき，∠ＡＢＰの大きさはいくらか。

ＡＢ//ＣＤと考えて解くと、正解とされる78°にたどり着いたのですが、問題文に平行の文字はなく、答えを出す途中の過程がわかりません。
どなたか、お願いします。

No.32536 - 2015/08/10(Mon) 18:12:11

☆ (No Subject) / β

これが問題の図です

No.32537 - 2015/08/10(Mon) 18:17:11

☆ Re: 円周角か相似か / IT

Pにおける２つの円の接線Ｌを引くと
接弦定理によりＬとＰＤのなす角＝∠ＰＣＤ＝５５°であり
ＬとＰＢのなす角＝５５°＝∠ＢＡＰとなります。
したがってＡＢ//ＣＤともなります。

（接弦定理）
円の接線と弦のなす角は、その弦の上に立つ円周角と等しい。

証明は、接点での半径などを書いて二等辺三角形の角の計算から示せます。

No.32539 - 2015/08/10(Mon) 19:45:05

☆ Re: 円周角か相似か / β

ＩＴさん、ありがとうございます！
接弦定理は盲点でした！

No.32543 - 2015/08/10(Mon) 21:06:24

★ (No Subject) / Ｋ

次の問題の解き方がわかりません。よろしくおねがいします。

自動販売機に、赤いアメ玉6個と白いアメ玉4個が混ざって入っている。どちらも1個10円で、どちらが出てくるかは決まっていない。同じ色のアメ玉2個を確実に手に入れるまでに最低何円あればよいか。

No.32535 - 2015/08/10(Mon) 17:57:37

☆ Re: / IT

アメ玉3個を買えばいいのでは？

No.32540 - 2015/08/10(Mon) 19:50:51

☆ Re: / Ｋ

ＩＴさん、

もしかしてこれは、アメ玉の個数は問題ではなく、そもそも正しい解き方というほどのものが存在せず、計算や工夫を必要とする問題ではないということでしょうか？

No.32542 - 2015/08/10(Mon) 20:55:28

☆ Re: / IT

きちんとした答案では、正しい論証（場合分けなど）が必要なので、正しい解き方があるといえると思います。

出典・分野は何ですか？

No.32546 - 2015/08/10(Mon) 21:36:55

☆ Re: / Ｋ

絶版本ですが、一ツ橋書店の「大学生のための就職試験一般常識対策」の中のＳＰＩ模擬問題（非言語分野）です。

解説が皆無なので、どう答案を書けばよいかわかりません。

No.32548 - 2015/08/10(Mon) 22:35:49

☆ Re: / IT

アメ玉２個の場合　赤1個、白１個の場合があるのでダメ
　{赤・赤}○、{赤・白}×、{白・白｝○

アメ玉３個の場合　赤か白のいずれか一方は２個以上となるので条件を満たす。

よって同じ色のアメ玉2個を確実に手に入れるまでには最低30円あればよい。

記述式ですか？

No.32551 - 2015/08/10(Mon) 23:25:14

☆ Re: / Ｋ

いいえ、問題自体はＡ～Ｊの１０択式です。

ちゃんと問題を理解し、まぐれで正解することがないように、記述式として解答できればと思い、お伺いしました。

記述式であれば、ＩＴさんの解説のように書けば正解になりますか？

No.32553 - 2015/08/10(Mon) 23:47:58

★ (No Subject) / HIRO

画像の問題についてなのですが、
解説の
OAP>=OAQとしていいとありますが、それはなぜでしょうか？
また、その続きにθ=OAPで最大でとありますが
θの値と求める最大値は何の関係があるのでしょうか

質問の画像です
http://www2.rocketbbs.com/11/files/yosshy@32528.jpg

No.32532 - 2015/08/10(Mon) 17:20:01

☆ Re: / X

＞＞OAP>=OAQとしていいとありますが、それはなぜでしょうか？
線分OAに関して△APQを∠OAPが大きくなるように動かしても
∠OAQが大きくなるようにに動かしても、問題としている
OP^2+OQ^2
の式としての対称性から同じことだからです。

＞＞また、その続きに～
この方針では、OP^2+OQ^2をθの関数で表して
最大値、最小値を求める、ということですので
当然θの値の範囲がどうなるか求める必要が
あります。
そのためにθの最大値を計算しています。

No.32534 - 2015/08/10(Mon) 17:38:39

★ 高3（高校数学の質問です） / HIRO

画像の問題についてなのですが、
解説の
OP^2+OQ^2=2(OM^2+1/3)とあり、
OM=0のとき最小をとるのはわかるのですが、
なぜ、最大値を考えるときに
この式を使わないのでしょうか？？
また、最大値を求める際に「右図の時～」と書いてありますが、なぜ、このとき最大だと決めることができるのでしょうか？
僕はてっきり、
OP^2+OQ^2=2(OM^2+1/3)
のOMの値から探っていくものだと思いました。

No.32527 - 2015/08/10(Mon) 17:12:56

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / HIRO

問題を忘れていました。

No.32528 - 2015/08/10(Mon) 17:13:21

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / HIRO

解説です

No.32529 - 2015/08/10(Mon) 17:14:16

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / HIRO

解説の続きです

No.32530 - 2015/08/10(Mon) 17:14:33

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / HIRO

解説です
連投失礼いたします

No.32531 - 2015/08/10(Mon) 17:15:08

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / X

最大値の計算過程そのものにはOMの最大値の
計算をしていませんが、
OP^2+OQ^2
の値の最大となる△APQの位置を特定する際に
点Mの動きは使っています。

解説の最初の方に書かれている通り、
点Mは点Aを中心とし、点Oを通る円(Cとします)
の上にあることはよろしいですか？
このことを使って、点Mを円C上で動かしてみると
OM
は点P,又は点Qが円O(Oを中心とする半径1の円)
の上にあるときに最大となりますので
OP^2+OQ^2
もこのときに最大になります。

No.32533 - 2015/08/10(Mon) 17:31:24

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / HIRO

ありがとうございます！
理解できました。

No.32538 - 2015/08/10(Mon) 18:55:07

★ 高3（高校数学の質問です） / HIRO

画像の問題についてなのですが、
解説(1)冒頭の
α＝2cos2θ・・・・・　となる理由がわかりません。
ご教示お願いいたします。

No.32525 - 2015/08/10(Mon) 17:08:29

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / HIRO

解説は以下の通りです

No.32526 - 2015/08/10(Mon) 17:09:09

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / X

lに関する点Bの対称点をB'とすると、条件から
線分OBとl,線分OB'とlとのなす角はいずれもθ
であり、又
OB'=OB=2
となります。
(図を描きましょう。)
このことを踏まえてもう一度、ご質問の式を
ご覧下さい。

No.32541 - 2015/08/10(Mon) 20:43:01

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / HIRO

図を書きましたが理解できません。。。
もう少し説明していただけませんか？

No.32544 - 2015/08/10(Mon) 21:20:31

☆ Re: 高3（高校数学の質問です） / X

図を描くと下のようになります。

No.32549 - 2015/08/10(Mon) 22:53:03

★ 双曲線　高校３年生 / ヒトヒト

双曲線H:x^2/2-y^2/3=1について次の問いに答えよ。ただし、p>0とする。
（１）ｙ軸上の点A(0,p)を中心とし、双曲線Hとちょうど２点を共有する円の面積ｓ１を求めよ。

（２）ｙ軸上の点A(0,p)を中心とし、双曲線Hの２つの漸近線と接する円の面積ｓ２を求めよ。
（３）ｐがｐ>0の範囲を動くとき、s2/s1のとりうる値の範囲を求めよ。

No.32520 - 2015/08/09(Sun) 19:45:19

★ 確率 / 高三

次の問題が解けそうで解けません。
よろしくお願いします。

数直線上の点Qが次のルール（A),(B)にしたがって移動します。
(A)さいころを振り出た目の数をrとする。Qの座標aについて,a>0ならば座標a-rの点へ移動し、a<0ならば座標a+rの点へ移動する。
(B)原点に移動したら完了し,そうでなければ(A)を繰り返す。

このとき次のそれぞれの確率を求めなさい。

(1)Qの座標が1,2,3,4,5,6のいずれかであるとき,ちょうど3回さいころを振って原点で終了する。
(2)Qの座標が1,2,3,4,5,6のいずれかであるとき,ちょうどm回さいころを振って原点で終了する。
(3)Qの座標が8であるとき,ちょうどn回さいころを振って原点で終了する。

No.32519 - 2015/08/09(Sun) 18:43:26

★ 数列の問題 / プリン

連投で申し訳ないのですが、こちらもお願いします。

No.32512 - 2015/08/09(Sun) 05:46:26

☆ Re: 数列の問題 / X

a[1]=1 (A)
a[2]=2 (B)
a[3]=3 (C)
a[n+3]=2a[n+2]/a[n+1]-1/a[n] (D)
とします。

(1)
(D)より
a[n+1]a[n+3]/a[n+2]=2-a[n+1]/(a[n]a[n+2])
∴a[n+1]/(a[n]a[n+2])=b[n]
と置くと
b[n+1]=2-1/b[n]
これより
b[n+1]-1=(b[n]-1)/b[n]
1/(b[n+1]-1)=1+1/(b[n]-1)
∴1/(b[n]-1)=c[n]
と置くと
c[n+1]=1+c[n]
∴c[n]=c[1]+n-1
c[n]を元に戻して
1/(b[n]-1)=1/(b[1]-1)+n-1 (E)
ここで(A)(B)(C)より
b[1]=3/2
となるので(E)に代入して
1/(b[n]-1)=n+1
∴b[n]=(n+2)/(n+1)
よって
a[n]a[n+2]/a[n+1]=(n+2)/(n+1)

No.32515 - 2015/08/09(Sun) 09:07:14

☆ Re: 数列の問題 / プリン

(1)ありがとうございます。

No.32523 - 2015/08/09(Sun) 23:57:52

★ 複素数の問題 / プリン

ネットで見つけた問題です。
解き方を教えてください。お願いします。

No.32511 - 2015/08/09(Sun) 05:45:00

☆ Re: 複素数の問題 / IT

複素平面に格子点と格子点を中心の円を描いて考えてみるといいのでは。

No.32513 - 2015/08/09(Sun) 07:43:46

☆ Re: 複素数の問題 / プリン

なるほど、そう考えれば(1)はr_1の最小値は√2/2と分かりますね。

でもそう考えたとして(2)はどう考えればいいんでしょう？
図を見るとr_2はそれほど大きくできないような気がしますが・・・

No.32522 - 2015/08/09(Sun) 23:42:50

☆ Re: 複素数の問題 / IT

０以上の整数kについて格子点(k,k)を中心とする半径2/5の円とその隣接の円を考えて

それらと原点中心とする半径r_2の円が上記の円と交わらず間を通る条件を考えると、
原点を中心とする半径2/5の円の直ぐ外側を回るしかないと思います。
（原点中心の円以外の円を含む外側を回ることは無理であることが　計算で示せると思います）

No.32545 - 2015/08/10(Mon) 21:33:29

☆ Re: 複素数の問題 / プリン

ありがとうございます。

No.32653 - 2015/08/15(Sat) 21:25:56

★ 同値性 / 竹中（高二）

（２）です

No.32506 - 2015/08/08(Sat) 22:51:41

☆ Re: 同値性 / 竹中（高二）

質問です。

No.32507 - 2015/08/08(Sat) 22:52:25

☆ Re: 同値性 / IT

?AからCOSθ＞0　でないといけません。
?@に代入して二乗になったところで、COSθ＞0　が消えています。
?@は　２|a|=|b|とした方が良いのでは。

No.32508 - 2015/08/08(Sat) 23:39:07

☆ Re: 同値性 / 竹中（高二）

ありがとうございます。

No.32517 - 2015/08/09(Sun) 10:07:43

★ 指数・対数関数 / ぽぽ

高１です。
x>1のとき、t=log[3]x+log[x]3、y=(log[3]x)^2+(log[x]3)^2+log[1/3]x^2-log[√x]3+9について考える。

(1)t=log[3]x+log[x]3の最小値はアである。
(2)yをtで表すと、y=t^イ-ウt+エである。
(3)yは、x=オのときに最小値カをとる。

よろしくお願いします！

No.32505 - 2015/08/08(Sat) 22:02:54

☆ Re: 指数・対数関数 / X

(1)
底変換により
t=log[3]x+1/log[3]x (A)
後は相加平均と相乗平均の関係を使います。
(2)
まず第2式の底を3に揃えた後、平方完成などで
(A)が代入できるように変形します。
(3)
(2)の結果を使い、(1)の結果のtの範囲でyの最小値
を求めてみましょう。
(横軸にt、縦軸にyを取った(2)の結果の等式の
グラフを考えます。)

No.32510 - 2015/08/09(Sun) 01:41:07

★ (No Subject) / まふまふ

高3です。

An=1-1/2+1/3-1/4+……+(-1)^(n-1)1/n

Bn=1/(2n+1)+1/(2n+2)+……1/4n

と定める。

(1)A4n=Bnを示せ。

(2)lim(n→∞)Bnを求めよ。

(3)lim(n→∞)Anを求めよ。

(1)は帰納法以外のやり方があれば教えて欲しいです。

誰かわかる方ご教授ください(u_u)

No.32504 - 2015/08/08(Sat) 21:35:43

☆ Re: / X

(2)
B[n]=Σ[k=1～2n]1/(2n+k)
={1/(2n)}Σ[k=1～2n]1/{1+k/(2n)}
と変形して区分求積法を使います。

(3)
(1)の結果から
A[4n]=B[n] (A)
A[4n+1]=B[n]+{(-1)^(4n)}/(4n+1) (B)
A[4n+2]=B[n]+{(-1)^(4n)}/(4n+1)+{(-1)^(4n+1)}/(4n+2) (C)
A[4n+3]=B[n]+{(-1)^(4n)}/(4n+1)+{(-1)^(4n+1)}/(4n+2)+{(-1)^(4n+2)}/(4n+3) (D)
これに(2)の結果を使い、n→∞のとき
(A)(B)(C)(D)がいずれも同じ値に
収束することを示します。

No.32514 - 2015/08/09(Sun) 08:51:14

☆ Re: / まふまふ

ありがとうございます！！

質問なんですが、(3)で(A)(B)(C)(D)がすべて同じ値に収束することを示して、
Anの極限を求めたことになるんでしょうか？？

No.32521 - 2015/08/09(Sun) 22:48:36

☆ Re: / X

もちろんその同じ値が求めるA[n]の極限であるという
一文を最後につける必要があります。

No.32524 - 2015/08/10(Mon) 13:37:38

★ 数１ / こうき

すべての実数ｘに対して、
不等式a(x^2+x-1）<x^2+xが成り立つような、定数ａの範囲を求めよ
という問題の解説おねがいします

No.32502 - 2015/08/08(Sat) 16:54:28

☆ Re: 数１ / X

問題の不等式から
(1-a)x^2+(1-a)x+a＞0 (A)
よってxの二次方程式
(1-a)x^2+(1-a)x+a=0
の解の判別式をDとすると
まず(A)のx^2の係数について
1-a＞0 (B)
次に
D=(1-a)^2-4a(1-a)＜0 (C)
(B)(C)を連立して解きます。

No.32509 - 2015/08/09(Sun) 01:05:19

★ (No Subject) / ヒトヒト

nを自然数の定数とし、x,yについての方程式　
x^2+y^2=5×７^n ※　について考える。
（１）nが偶数のとき※を満たす自然数x,yの組を求めよ。
（２）nが奇数のとき※を満たす自然数は存在しないことを示せ。

No.32500 - 2015/08/08(Sat) 13:08:56

☆ Re: / IT

(1)の考え方
自然数の2乗を7で割ったときの余りが0,1,2,4しかないことから、x,yはともに７の倍数であることが分かります
x=7x',y=7y'とおくと
(7x')^2+(7y')^2=5×(7^2m)
x'^2+y'^2=5×7^(2m-2)
これをｍ回繰り返すと
x''^2+y''^2=5×7^0 になります。

(2)は(1)が分かると出来ると思います。

No.32503 - 2015/08/08(Sat) 20:10:22

☆ Re: / ヒトヒト

なるほど。親切なヒントをありがとう。

No.32518 - 2015/08/09(Sun) 10:49:31