塾の課題です。どなたかお願いします。
空間内に1辺の長さが1の立方体OABC-DEFGと平面Hがあり、両者はOのみを共有している。
このとき以下の問いに答えよ。
(1)Oを通り↑nに垂直な平面と点Pとの距離をdとする。
d=｜↑n・↑OP｜/｜↑n｜を示せ。
(2)点A,B,C,D,E,F,GからHまでの距離の和をSとする。
Sの最大値を求めよ。
(3)点A,B,C,D,E,F,GからHまでの距離の2乗の和をTとする。
Tのさを求めよ。
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No.31760 - 2015/06/15(Mon) 23:34:35
| ☆ Re: / 陽 | | | No.31761 - 2015/06/15(Mon) 23:35:02 |
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | 
(1)
点Ｐから平面Ｈに下ろした垂線の足をＪとすると、ＰＪが求める距離となります。
ｎ と ＯＰ のなす角またはその補角(180°からその角を引いた角度)のうち
0°以上 π/2 以下の範囲にある方をθとすると、
図において、求める距離ＰＪは、
ＰＪ＝ＯＰcosθ
と書けます。
一方、
|ｎ・ＯＰ|＝|ｎ||ＯＰ|cosθ
より、
ｄ＝|ｎ・ＯＰ|／|ｎ|
＝|ＯＰ|cosθ
となり、ｄが求める距離であることは明らかです。
(2)
ａ＝ＯＡ, ｃ＝ＯＣ, ｄ＝ＯＤ とおきます。
各点Ａ〜Ｇ から平面Ｈまでの距離を d[A]〜d[G] とします。
立方体と平面Ｈは点Ｏのみを共有するので、ｎを点Ｏから立方体の存在する側に取れば、
(1) の絶対値は必要なく
ｄ＝ｎ・ＯＰ/|ｎ|
と書けます。
よって、
d[A]＝ｎ・ＯＡ/|ｎ|
d[B]＝ｎ・ＯＢ/|ｎ|
・・・
d[G]＝ｎ・ＯＧ/|ｎ|
より、
Ｓ＝ｎ・(ＯＡ＋ＯＢ＋・・・＋ＯＧ)/|ｎ|
＝４ｎ・(ａ＋ｃ＋ｄ)/|ｎ|
＝４ｎ・ＯＦ/|ｎ|
となり、ｎ//ＯＦ すなわち、ＯＦが平面Ｈに垂直なとき
Ｓは最大となります。このとき、
Ｓ＝４|ｎ|・|ＯＦ|/|ｎ|＝４ＯＦ＝４√３
(3)
ｎとＯＡ、ＯＣ、ＯＤ のなす角をα、β、γ とします。
このとき、
cos^2α＋cos^2β＋cos^2γ＝１
が成り立ちます。
d[A]＝ｎ・ＯＡ/|ｎ|＝ＯＡcosα＝cosα
d[A]^2＝cos^2α
d[B]＝ｎ・ＯＢ/|ｎ|
＝(ｎ・ａ＋ｎ・ｃ)/|ｎ|
＝ＯＡcosα＋ＯＣcosβ＝cosα＋cosβ
d[B]^2＝cos^2α＋cos^2β＋2cosαcosβ
・・・
これらを計算して
Ｔ＝４(cos^2α＋cos^2β＋cos^2γ)＋４(cosαcosβ＋cosβcosγ＋cosγcosα)
＝８(cos^2α＋cos^2β＋cos^2γ)−４(cos^2α＋cos^2β＋cos^2γ)＋４(cosαcosβ＋cosβcosγ＋cosγcosα)
＝８−２{(cosα−cosβ)^2＋(cosβ−cosγ)^2＋(cosγ−cosα)^2}
よって、Ｔは、cosα＝cosβ＝cosγ のとき最大値８を取ります。
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No.31772 - 2015/06/17(Wed) 09:42:33 |
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