高さ2、底面半径1の直円錐を、底面の一つの直径を軸として、この直円錐を回転させて得られる回転体の体積を求めよ
との問題なのですが回転させた後の図がイメージできません
どのようになるのでしょうか？？
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No.32600 - 2015/08/13(Thu) 10:53:16
| ☆ Re: / X | | | 飽くまで立体のイメージについてのご質問の回答
ですので、途中計算に省略がある点はご容赦下さい。
3次元の座標空間上に問題の直円錐を
底面がxy平面上(中心は原点)
頂点がz＞0の側
になるように取ります。
このとき、直円錐の側面の方程式は
z=2-2√(x^2+y^2)
よって回転軸をx軸に取った場合、
平面x=t(-1≦t≦1)
による直円錐の断面のうち、側面が
作る曲線の方程式は
z=2-2√(t^2+y^2) (A)
(これより
-√(1-t^2)≦y≦√(1-t^2) (B))
よって曲線(A)上の点
(t,y,2-2√(t^2+y^2))
と
点(t,0,0)
との間の距離の二乗をf(y)とすると
f(y)=y^2+{2-2√(t^2+y^2)}^2
=5y^2-8√(t^2+y^2)+4t^2+4
∴f'(y)=10y-8y/√(t^2+y^2)
=2y{5-4/√(t^2+y^2)}
∴f'(y)=0のとき
y=0又はy^2=16/25-t^2
となることに注意して、tについて場合分けを
して(B)の範囲で(A)の増減表を書くと
(i)4/5≦|t|≦1のとき
f(y)はy=√(1-t^2),-√(1-t^2)のときに
最大値1-t^2 (C)
(ii)3/5≦|t|≦4/5のとき
f(y)はy=√(1-t^2),-√(1-t^2)のときに
最大値1-t^2 (D)
(iii)0≦|t|≦3/5のとき
f(y)はy=0のときに
最大値4(1-t)^2 (E)
をそれぞれ取ることが分かります。
よって問題の回転体の平面x=tによる断面は
(i)(ii)(iii)のようなtにおいて、半径の二乗が
(C)(D)(E)となるような円となりますので
その断面積は
3/5≦|t|≦1のときπ(1-t^2)
0≦|t|≦3/5のとき4π(1-t)^2
よって回転体のyz平面に関する対称性により求める体積Vは
V=2{∫[0→3/5]{4π(1-t)^2}dt+∫[3/5→1]π(1-t^2)dt}
=…
図にすると、下のようなグラフをx軸の周りに
回転させてできる回転体となります。
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No.32608 - 2015/08/13(Thu) 15:53:48 |
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