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★ 写像 / HIRO
質問です。お願いします。
M={1,2,3,4 … ,n}を1からnまでの自然数の集合、fをMからMへの写像とし、
f1=f 　f2=f○f1=f○f　　fk=f○fk-1=f○f○f…　(k個の合成）
とする。以下を証明せよ
(1)1,2,3,…n,n+1の中から異なる二つのp qを選び、fp(1)=fq(1)とすることができる
(2)f1(1),f2(1) …, fn(1)が互いにすべて異なるのなら、fn(1)=1である。

これの問題のイメージとf1(1)などがどのようなものかがぴんと来ません。
ご回答お願いいたします。
No.32407 - 2015/08/04(Tue) 11:35:29
☆ Re: 写像 / ヨッシー
こちらに書きました。
No.32408 - 2015/08/04(Tue) 11:59:40
★ 並べ方の総数 / ラッケ
nとmはともに1以上の整数とする。
Aが書かれたカードがn+m枚,Bが書かれたカードがn-m枚ある。これら2n枚のカードを,以下のルールに従って横一列に並べる。このとき,並べ方の総数を求めなさい。

ルール
1≦k≦2nを満たす任意の整数kに対し,左から数えて1番目のカードからk番目のカードまでに含まれるAが書かれたカードの枚数が,常にBが書かれた枚数より多い。

どこから手をつけたらいいのか全然分からないです。解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.32405 - 2015/08/04(Tue) 01:54:59
☆ Re: 並べ方の総数 / ヨッシー

図のように、ｎ×ｎの格子を、Ａ側にｍ延ばし、Ｂ側にｍ縮めた格子を考えます。
図はｎ＝５、ｍ＝２の場合。
左下Ｘから右上Ｙまで、太線の経路のみを通って進む経路の数が求める数となります。

「カタラン数」で調べれば、色々出てくると思います。
No.32406 - 2015/08/04(Tue) 06:09:29
★ 数?V 積分 / きんぞー
写真の途中式の解説していただきたいです
No.32401 - 2015/08/03(Mon) 21:21:25
☆ Re: 数?V 積分 / X
矢印の間にある()内の文章は読みましたか？
その内容と、この積分に関してtは定数と見る
ことを押さえて、もう一度ご質問の箇所を
参照してみて下さい。
No.32402 - 2015/08/03(Mon) 22:04:29
☆ Re: 数?V 積分 / X
分かりにくければ問題の積分を被積分関数に関して
二つに分けて
2^(4x+4t)=e^u
2^(2x+6t)=e^v
などと置換積分してみましょう。
No.32403 - 2015/08/03(Mon) 22:14:44
★ (No Subject) / じゃこ
y=|x|^1/x グラフの概形を描け．
No.32399 - 2015/08/03(Mon) 17:12:26
☆ Re: / じゃこ
お願いします
No.32400 - 2015/08/03(Mon) 17:47:08
☆ Re: / IT
（略解）
x＞0で　y=x^(1/x),y'=(1-logx)(x^-2)x^(1/x)
x→+0でy→0,0＜x＜eで増加、x=eで極大、x＞eで増加
x→∞でy→1（y=1に上から漸近)　

x＜0で　y=(-x)^(1/x),y'=(1-log(-x))(x^-2)(-x)^(1/x)
x→-0でy→∞,0＞x＞-eで減少、x=-eで極小、x＜-eで増加
x→-∞でy→1（y=1に下から漸近)

x=1/n,-1/n の点をいくつかプロットする。
No.32404 - 2015/08/03(Mon) 22:33:23
★ 数Aの質問です。 / komura
写真の(2)をお願いします。
No.32396 - 2015/08/02(Sun) 11:39:13
☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー
Ａとａ を固定して考えると、
Ａの左がＢかｂ、右がＣかｃ の場合と
Ａの左がＣかｃ、右がＢかｂ の場合の２通りあります。
それぞれについて、Ｂｂの位置が２通り、Ｃｃの位置が２通りずつなので、
　２×２×２＝８（通り）
No.32397 - 2015/08/02(Sun) 21:04:51
☆ Re: 数Aの質問です。 / IT
（別解）
Ａとａ を固定して考える。＃ここまではヨッシーさんと同じです。
Ｂの位置は４とおりで（ｂは自動的に決まる）
Ｃの位置は２とおり

よって　４×２＝８（通り）
No.32398 - 2015/08/02(Sun) 23:09:07
★ (No Subject) / アカシロトモ
以下の問題で、(1)は式変形で証明できるのですが、(1)から（誘導により）(2)を導く解法がわかりません。
よろしくお願いします.

（1）lim h→0(e^h-1)/h=1を用いてlim x→0log(1+x)/xを計算せよ
(2)lim x→0(1+x)^1/x ,lim n→∞(1+1/n)^nをそれぞれ計算せよ
No.32393 - 2015/08/02(Sun) 09:22:02
☆ Re: / ast
前半: log(lim_[x→0](1+x)^(1/x))=lim_[x→0]log((1+x)^(1/x)) (∵log の連続性)

後半: x=1/n と置けば lim_[n→∞](1+1/n)^n = lim_[x→0] (1+x)^(1/x).
No.32394 - 2015/08/02(Sun) 10:41:46
☆ Re: / アカシロトモ
ast さん

早速ご投稿いただきましてありがとうございました。
今から考えてみます。
No.32395 - 2015/08/02(Sun) 10:48:17
★ (No Subject) / うさぎ
2x^2+ax≦0が、ー3≦x≦-1の範囲において常に成り立つように定数aの値の範囲を求めよ。
という問題なのですが、
私は、f(x)=2x^2+axとおいて、f(-3)≦0かつf(-1)≦0となるように解けばいいと思って解いたのですが、解答を見ると間違いでした。
模範解答では画像のようになってました。
どうしてこうなるのか分かりません。
自分の何が間違っていたかもわかりません。
どうか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。
No.32390 - 2015/08/02(Sun) 07:35:30
☆ Re: / X
うさぎさんの方針でも問題ありません。
その方針でも模範解答での結果と同じく
a≧6
という答えになりますが、うさぎさんは
最後まで計算されましたか？。
No.32392 - 2015/08/02(Sun) 08:28:28
★ 互除法 / おまる
いつもお世話になっております。
気になるところがあるので教えて欲しいです。
次の互除法の説明の波線部の不等号が気になるのです。
説明通りだと、A>Rなので、不等号が逆ではないのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.32386 - 2015/07/31(Fri) 21:12:36
☆ Re: 互除法 / ヨッシー
不等号はそれで正しいです。
ＲもＢもｄの倍数であることから、ＢとＲの最大公約数ｄ’は、
ｄもしくはｄの自然数倍なので、
　ｄ’≧ｄ
となります。これと、その下の
　ｄ≧ｄ’
とから、ｄ＝ｄ’が導けます。
No.32387 - 2015/08/01(Sat) 01:03:50
☆ Re: 互除法 / おまる
ご回答ありがとうございました。
理解することができました。
No.32388 - 2015/08/01(Sat) 12:34:25
★ 角の二等分線な三角形の内心 / Ｈ．ＳＡＯ
この問題のYとXの角の求め方がわかりません
教えてください
No.32378 - 2015/07/30(Thu) 12:06:49
☆ Re: 角の二等分線な三角形の内心 / ヨッシー
∠ＡＣＢ＝180°−(30°＋80°)＝70°
∠ＡＣＥ＝70°÷2＝35°
∠ＢＡＣ＝30°×2＝60°
　ｘ＝180°−(60°＋35°)＝85°
　ｙ＝180°−(60°＋70°)＝50°
の順に明らかになります。
No.32381 - 2015/07/30(Thu) 13:38:37
☆ Re: 角の二等分線な三角形の内心 / H.SAO
わかりやすかったです
ありがとうございました
No.32385 - 2015/07/30(Thu) 20:55:45
★ 数列 / じゃこ
{a_n}をa_1=1+1/2^20,a_n+1=-7/6・|a_n|-5/6・a_n+3(n=1,2,3…)とする.
(1)a_n<0となる最初のnを求めよ.
(2){a_n}を求めよ．

宜しくお願いいたします．
No.32375 - 2015/07/30(Thu) 08:40:52
☆ Re: 数列 / 学コン
まだ締め切りまでかなり余裕あるでしょ。
No.32376 - 2015/07/30(Thu) 11:01:32
☆ Re: 数列 / 学コン
管理人氏の意向に異を唱えるのではないですが
せめて締め切り(８月９日とかその辺だったかな)まで書くべきではないのでは
No.32379 - 2015/07/30(Thu) 12:46:36
☆ Re: 数列 / ヨッシー
すみません。
見逃してました。

ところで、何の締め切りですか？
No.32380 - 2015/07/30(Thu) 13:34:59
☆ Re: 数列 / 学コン
大数の学コンですね

毎月20日あたりからは手の込んだ問題があったらちょっと注意したほうがいいかも。それにしても毎月問題をそのまま写すだけで芸がないのでたまには何か面白いこと書いてほしいんですがねー。
No.32389 - 2015/08/01(Sat) 21:51:50
★ 和積 積和 / 三森
（２）よろしくお願いします。

考え方も書いていただけませんか？
（なぜ、この項とこの項を和積したのか、など）
No.32372 - 2015/07/29(Wed) 19:55:33
☆ Re: 和積 積和 / X
条件から
A+B=π-C
に注意すると
(左辺)=(sinA+sinB)+sinC
=2sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}+2sin(C/2)cos(C/2)
=2sin{(π-C)/2}cos{(A-B)/2}+2sin(C/2)cos(C/2)
=2cos(C/2)cos{(A-B)/2}+2sin(C/2)cos(C/2)
=2cos(C/2){cos{(A-B)/2}+sin(C/2)}
=2cos(C/2){cos{(A-B)/2}+sin{(π-(A+B))/2}}
=2cos(C/2){cos{(A-B)/2}+cos{(A+B)/2}}
=2cos(C/2){2cos[{(A-B)/2+(A+B)/2}/2}]cos[{(A-B)/2-(A+B)/2}/2}]}
=(右辺)
No.32373 - 2015/07/29(Wed) 20:20:26
☆ Re: 和積 積和 / 三森
ありがとうございます。
No.32374 - 2015/07/29(Wed) 21:04:57
★ 二次関数 解の存在範囲 / mako（高校２年）
写真の問題の場合わけの方法が分かりません。

できれば、なぜそのように場合わけしたのか、着想もお願いします。
No.32368 - 2015/07/29(Wed) 13:58:06
☆ Re: 二次関数 解の存在範囲 / ヨッシー
場合分けが見当たりませんが。
No.32369 - 2015/07/29(Wed) 14:14:56
☆ Re: 二次関数 解の存在範囲 / mako（高校２年）
すいません。こちらでした。
No.32370 - 2015/07/29(Wed) 16:29:42
☆ Re: 二次関数 解の存在範囲 / mako（高校２年）
続きです。
No.32371 - 2015/07/29(Wed) 16:30:40
☆ Re: 二次関数 解の存在範囲 / ヨッシー
練習122 のことで、下のほうが前のページ、上のほうが後のページと思われます。
条件を満たす状態は図の４通りです。

[1] と [2] だけでは [3] と [4] の場合を含んでいないため、
それぞれ別々に調べています。

[1] で、f(-2)≧０、f(0)≧０ として、
　f(-2)＝f(0)＝０ とならないことを確認すれば、[3][4] は不要ですが、
この確認が、結局[3][4] と同じことをやっているので、手間は同じです。
No.32382 - 2015/07/30(Thu) 16:23:52
☆ Re: 二次関数 解の存在範囲 / 三森
ありがとうございます。
No.32383 - 2015/07/30(Thu) 17:53:34
★ 積分の部分分数分解の仕方です / nas
??1から0で、(4x-1/2x^2+5x+2)dx
の部分分数分解のやり方なんですが、模範解答と私の計算が違っているのですが、
私のやり方が間違えているのでしょうか？
数列の部分分数分解では1/小-1/大で計算すると習ったのですが、この問題では明らかに1/大-1/小で計算しています。
写真を載せましたのでよろしくお願いします
(上が模範解答、下が私の解答です)
No.32365 - 2015/07/28(Tue) 23:17:45
☆ Re: 積分の部分分数分解の仕方です / X
まず
＞＞数列の部分分数分解では1/小-1/大で計算
しているのは(強いて言えば)
階差としてみたときの和を考える場合に
どの項が相殺されるか混乱しにくいから、
という以上の理由がないことを頭に入れて下さい。

それに対し積分で部分分数分解を用いるのは
不定積分を求めるのに都合がいいから
であり、数列の場合と目的が異なります。
ですので部分分数の順番で
どちらが先でどちらが後か、ということには
（数列の場合以上に)意味がありません。
No.32366 - 2015/07/29(Wed) 05:38:31
★ 回転体の積分 / uw
x=-y^2+2y とy軸で囲まれる図形Dについて、
Dをx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。

よろしくお願い致します。
No.32361 - 2015/07/28(Tue) 16:22:15
☆ Re: 回転体の積分 / ヨッシー

求める回転体は、赤の線を回転させてできる立体から、
青の線を回転させてできる立体を繰り抜いたものになります。

　x=-(y-1)^2+1
　(y-1)^2=1-x
　y=1±√(1-x)
であるので、赤の線は　y1＝1＋√(1-x)、青の線は　y2＝1−√(1-x)
となります。
それぞれ、ｘ軸の周りに回転させた体積を求めると、
　π∫[0〜1](y1^2−y2^2)dx＝π∫[0〜1]{4√(1-x)}dx
　　＝π[−(8/3)(1-x)^(3/2)][0〜1]
　　＝8π/3
No.32363 - 2015/07/28(Tue) 16:53:20
☆ Re: 回転体の積分 / uw
ありがとうございます。
No.32367 - 2015/07/29(Wed) 06:56:56
☆ Re: 回転体の積分 / ヨッシー
遅まきながら別解。
上図の断面の面積（片方）は
　∫[0〜2](-y^2+2y)dy＝4/3
重心はｘ軸から１の距離にあるので、
パップスギュルダンの定理により
　２π×１×4/3＝8π/3
としても求められます。
No.32384 - 2015/07/30(Thu) 17:59:13
★ 増減表 / hori
f(x)=e^(2x)+ae^x+2x　　(a<-4)
f'(x)=2e^(2x)+ae^(x)+2　
f'(x)=0のときのxの値をα,β（α<β)とすると
f(x)の増減表が

ｘ |…α…β…
f’|＋０−０＋
f　|↗　　↘　↗

となっているのですが、
f'(x)の正負はどのように求めればよいのでしょうか。
宜しくお願い致します。
No.32358 - 2015/07/28(Tue) 12:16:06
☆ Re: 増減表 / らすかる
f'(0)=2+a+2＜0
x→-∞のときf'(x)→2
x→+∞のときf'(x)→+∞
なので、2解の間が負、外側が正です。
No.32360 - 2015/07/28(Tue) 13:45:07
★ (No Subject) / 鈴木
この問題は、⑴の結果を用いて⑵も証明しますが、⑵が⑴なしに出題されたときはどうしたらよいでしょうか？？
⑴の内容を自分で思いついて証明を入れる必要がありますか？
よろしくお願いいたします。
No.32356 - 2015/07/27(Mon) 19:12:15
☆ Re: / ヨッシー
3√3 が有理数であると仮定して、
　3√3＝p/q (p, q は互いに素な自然数)
とおけたとします。このとき
　p^3＝3q^3
であるので、p は３の倍数となります。

のように、自明として良いと思います。
No.32357 - 2015/07/28(Tue) 08:45:37
☆ Re: / 鈴木
P^3＝3q^3から、
Pが三の倍数になることは自明になりますか？？
No.32362 - 2015/07/28(Tue) 16:45:05
☆ Re: / ヨッシー
この問題を解くレベルにおいては、自明として良いと思います。
No.32364 - 2015/07/28(Tue) 17:21:32
★ 数1の質問です。 / komura
大問10でなぜ分子が2aになるのかわかりません。お願いします。
No.32352 - 2015/07/26(Sun) 12:19:49
☆ Re: 数1の質問です。 / ast
(分子) = a-(b+1) + a+(b+1) = 2a です.
No.32354 - 2015/07/26(Sun) 12:47:47
★ (No Subject) / ao
画像の問題を規格化すると∞になると思うのですが間違っていますか
No.32351 - 2015/07/26(Sun) 11:40:44
☆ Re: / ast
複素二次元ベクトル (z_1,z_2) のノルムは √(|z_1|^2+|z_2|^2) です.
# あるいは同じことですが, 複素二次元ベクトル (z_1,z_2), (w_1,w_2) の内積は z_1(w_1)~+z_2(w_2)~ (~は複素共軛) です.
## (z_1)~w_1+(z_2)~w_2 とする流儀もあります.
No.32353 - 2015/07/26(Sun) 12:46:36
☆ Re: / ao
ありがとうございます
No.32355 - 2015/07/26(Sun) 12:54:58
★ 微分 / やす
大学数学の微分です。
模範解答がなくて困っています。写真が見づらくてすみません。よろしくお願いします。
No.32349 - 2015/07/25(Sat) 09:44:41
★ (No Subject) / 高3
数学三です
写真で申し訳ありませんがよろしくお願いします。
No.32345 - 2015/07/24(Fri) 23:29:07
☆ Re: / ast
曲線 C の様子は WolframAlpha: plot (x,y) where x=2*sin(t)+sin(2t), y=2*cos(t)-cos(2t) from t=0 to pi の parametric plot のところの図を見てください.

接線の傾き dy/dx は
　dy/dx = (dy(t)/dt)/(dx(t)/dt)
で求めることができますので, 接線を求めて t>0 での C と m の交点を調べます. 接線はたぶん x-軸に平行なので, そんなに面倒にはならないと思います.

A(0,1) から右へ行って一つ目の角を過ぎたあたりで出会うことになると思います.

道のり s は
　s = ∫[0,a] √({dx(t)/dt}^2+{dy(t)/dt}^2) dt
を計算します.

# 計算は苦手なので計算はしていません.
No.32347 - 2015/07/25(Sat) 01:53:00
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