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★ (No Subject) / 受験生

n≧3とする。中心O半径rの円周上にn点P1,P2…Pn＝P0が順番に並んでおり、∠PkOPk-1＝k∠P1OP0(k＝1,2,…n)を満たしているものとする。このとき、多角形P1P2…Pnの面積を求めよ。 この問題が全くわかりません。 解答解説お願いします No.32225 - 2015/07/19(Sun) 13:37:58 ☆ Re: / X この問題はこれ単独の問題ですか？ もしこの問題が大問の内の小問の一つであれば、その大問を全てアップして下さい。 No.32231 - 2015/07/19(Sun) 16:59:55 ☆ Re: / 受験生 単独でした。 No.32234 - 2015/07/19(Sun) 17:17:36 ☆ Re: / X 条件から Σ[k=1〜n]∠P[k]OP[k-1]=Σ[k=1〜n]k∠P[1]OP[0]=2π ∴∠P[1]OP[0]=4π/{n(n+1)} 問題の多角形を二等辺三角形である △P[k]OP[k-1](k=1,2,…n) に分割することにより、求める面積をSとすると S=Σ[k=1〜n](1/2)(r^2)sin(k∠P[1]OP[0]) =(1/2)(r^2)Σ[k=1〜n]sin{4πk/{n(n+1)}} 後は Σ[k=1〜n]sin{4πk/{n(n+1)}} を簡単にするわけですが、高校数学で これを単独で解くのはかなり難解です。 その意味で誘導問題がついている 大問の中の小問 ではないのか？という質問をしたのですが。 実は、ドモアブルの定理が使えることを前提にすれば S={(r^2)sin(2π/n)sin{2π/(n+1)}}/{2sin(2π/{n(n+1)})} と計算はできます(それでも計算は煩雑ですが)。 更に逆に質問しますが、問題文に抜けはありませんか？ (他に、例えば使ってもよい公式が与えられている、 ということなどはありませんか？) No.32236 - 2015/07/19(Sun) 18:18:08 ☆ Re: / 受験生 単元が複素数平面になっているので、ドモアブルと極形式を使うのだろうとは思いましたが、それ以外に誘導はありませんでした。 すみません No.32238 - 2015/07/19(Sun) 18:33:44 ☆ Re: / X では Σ[k=1〜n]sin{4πk/{n(n+1)}} の計算の方針をもう少し詳しく書いておきます。 z=cosa+isina(但しa=4π/{n(n+1)}) と置くと、ドモアブルの定理により z^k=cosak+isinak (A) 一方このときz≠1ですので Σ[k=1〜n]z^k=z(1-z^n)/(1-z) =(cosa+isina){1-(cosan+isinan)}/{1-(cosa+isina)} (B) 更に(A)より Σ[k=1〜n]z^k=Σ[k=1〜n]cosak+iΣ[k=1〜n]sinak (C) (B)を整理して、複素数の相等の定義により (C)と比較をし Σ[k=1〜n]sinak={sin(na/2)sin{a(n+1)/2}}/sin(a/2) を導きます。 No.32240 - 2015/07/19(Sun) 19:51:27

★ (No Subject) / komura
大問8(1)が必要十分条件になる理由がわかりません。よろしくお願いします。 No.32221 - 2015/07/18(Sat) 22:52:59 ☆ Re: / X A∪B=A⇔A⊇B⇔A∩B=B だからです。 (ベン図を描きましょう。) No.32223 - 2015/07/18(Sat) 23:02:31

★ 数1の質問です / komura
写真大問80で7人ずつ掛けていくと使わない長椅子が3脚できることから(x−4)脚・・・と解説に書いてあるのですが、なぜ(x−4)になるのかわかりません。お願いします。 No.32220 - 2015/07/18(Sat) 22:46:51 ☆ Re: 数1の質問です / X 7人ずつかけていくと、使われるいすの数は x-3[脚] ですが、このうち最後の1脚は7人一杯になるとは 限りません。 そこで7人一杯になる、残りの (x-3)-1=x-4[脚] を別に考えています。 No.32222 - 2015/07/18(Sat) 22:58:19 ☆ Re: 数1の質問です / komura ありがとうございます。 No.32224 - 2015/07/19(Sun) 09:37:26

★ 大学の数学についてです / わんわん

関数の有界閉集合について 具体的にいうと、x^4+5xy^3+3y^4=1(曲線です)は有界閉集合ではないですよね？曲線なので閉集合なのでしょうが、有界ではないと思います。というのも、有界閉集合のもとでは最大最小があるということを使って最大最小問題を解いているのですが、上の関数が有界閉集合or有界閉集合でないことを証明するにはどうすればいいのでしょうか？一般の場合でもいいです。 考えたのは ?@グラフを書くというものと、 ?Ax^2+y^2=NとおいたときにNを大きくしても f(x,y)=x^4+5xy^3+3y^4-1 がゼロで無くなるといえば有界閉集合だし、そう言えなければ有界閉集合ではない です。しかし具体的に上のやつでやろうとするとなかなかできませんでした。 できればグラフ以外の方法を教えて欲しいです。よろしくお願いします。 No.32215 - 2015/07/18(Sat) 17:43:03 ☆ Re: 大学の数学についてです / IT |N|＞1を満たす任意の実数Nについて f(N,N)＝9N^4-1＞0 f(N,-N)＝-N^4-1＜0　です この後f(N,y)の連続性を使えば良いと思います。 No.32216 - 2015/07/18(Sat) 20:52:38 ☆ Re: 大学の数学についてです / わんわん ありがとうございます。要するに連続性からNを大きくしてもあるyにたいしてf(N,y)=0となるために有界ではない、ということでいいですか？ No.32218 - 2015/07/18(Sat) 22:40:25 ☆ Re: 大学の数学についてです / IT そうですね。 No.32219 - 2015/07/18(Sat) 22:46:14

★ 質問です。 / 高3
画像で失礼します。 (3)の解説お願いします。 No.32211 - 2015/07/18(Sat) 13:35:49 ☆ Re: 質問です。 / IT 分子と分母をそれぞれ区分求積の形にすればいいと思います。 分子・分母に(1/n)(1/n^k)を掛けると 例えば,分母=(1/n){(1/n)^k+(2/n)^k+...+(2n/n)^k} となります。 No.32213 - 2015/07/18(Sat) 14:46:10

★ 定積分 / Kaori

再度失礼致します。 今,G(x)=f(x),G''(x)=f'(x)と言え, ∫[-1..1]x^2f''(x)dx=∫[-1..1]x^2(f'(x))'dx =[x^2f'(x)]_-1^1-∫[-1..1]2xf'(x)dx =[x^2f'(x)]_-1^1-([2xf(x)]_-1^1-∫[-1..1]2f(x)dx) =[x^2G''(x)]_-1^1-([2xG(x)]_-1^1-2∫[-1..0]f(x)dx-2∫[0..1]f(x)dx) =[x^2G''(x)]_-1^1-([2xG(x)]_-1^1-2∫[-1..0]f(x)dx-2G(1)) となったのですが ∫[-1..0]f(x)dxの箇所はどう処理すればいいのでしょうか? No.32208 - 2015/07/18(Sat) 11:57:20 ☆ Re: 定積分 / X ∫[-1→0]f(x)dx=-∫[0→-1]f(x)dx =-G(-1) です。 No.32209 - 2015/07/18(Sat) 13:23:05 ☆ Re: 定積分 / Kaori どうもありがとうございます。 No.32266 - 2015/07/21(Tue) 03:01:44

★ 誤差の評価 / Kaori

添付についての質問です。(1)と(2)はv(t)の曲線からの柱状グラフの一番左端の柱の高さを37からスタートしたものと23からスタートしたものの柱状グラフの面積を求めればいいことは分かりますが, (3)の意味がよくわかません。どうすればいいのでしょうか? (1)と(2)との誤差の半分を取ればいいのでしょうか? No.32202 - 2015/07/18(Sat) 06:45:46 ☆ Re: 誤差の評価 / X 値そのものはΔt=2の場合の半分のようです。 t=k(k=0,1,…,10)のとき v(t)=a[k] とすると、上限平均をV_u,下限平均をV_lとして V_u=(1/10)Σ[k=1〜10]a[k] V_l=(1/10)Σ[k=0〜9]a[k] ∴V_u-V_l=(1/10)(a[10]-a[0]) =(1/2){(1/5)(a[10]-a[0])} ({}内はΔt=2の場合の平均差となっています。) No.32203 - 2015/07/18(Sat) 07:21:37 ☆ Re: 誤差の評価 / Kaori 有難うございます。 そうしますと, 1/10(111-23)=44/5でいいのですね。 No.32205 - 2015/07/18(Sat) 07:51:47 ☆ Re: 誤差の評価 / X それで問題ありません。 No.32206 - 2015/07/18(Sat) 10:29:59 ☆ Re: 誤差の評価 / Kaori どうも有難うございます。 No.32207 - 2015/07/18(Sat) 11:21:54

★ (No Subject) / ao

画像の問題の(3)を途中まで解いてみたのですがこの先がわかりません 解説お願いします No.32200 - 2015/07/17(Fri) 20:50:54 ☆ Re: / X (3) まず ↑A・∇φ=xa[x]/√(x^2+y^2)+ya[y]/√(x^2+y^2)=0 (A) 次に ∇φ×↑A=↑0 において左辺を計算して両辺の成分比較をすることにより a[z]=0 (B) xa[y]/√(x^2+y^2)-ya[x]/√(x^2+y^2)=1 (C) (A)(C)を連立して解いてa[x],a[y]を求め、求められた (a[x],a[y],a[z]) の組が √{(a[x])^2+(a[y])^2+(a[z])^2}=1 を満たすことを確かめます。 (3) 条件から ↑s=(2cosθ,2sinθ) (θ:0→2π) として素直に線積分を計算するのが最も簡単だと思います。 (ストークスの定理を適用してもいいですが、 却って難しくなるかもしれません。 ∇×↑Aが簡単な式になればその限りではありませんが。) No.32204 - 2015/07/18(Sat) 07:34:13 ☆ Re: / ao ありがとうございます No.32217 - 2015/07/18(Sat) 21:16:20

★ (No Subject) / mako

NO.32183 「円に内接する二等辺三角形…」を質問しました「mako」です。 詳しい解説ありがとうございました。くどいようですが、確認しておきたいことと、説明の中でわからなかったことがあるので質問させていただきます。 （「中の図において」の段落） １.AB＝ADとならないのは、もしこうなると、CとDが一致してしまうからですか？（他に考えておられたなら教えてください） ２.△ABD合同△CDBはなぜ導かれるのですか？ （次段落） ３.AD＝ABとならないのは、もしこうなると、AB＝ACより AD=AC(＝DC）となり、△ADCが正三角形となり、△ADCが鈍角三角形に矛盾するからですか？（他にお考えならば教えてください。） ４.BD＝BCとならないのは、なぜですか？ 以上です。よろしくお願いします。 No.32195 - 2015/07/17(Fri) 16:41:29 ☆ Re: / ヨッシー １．そう考えてもいいですし、仮にＣ以外の場所でＡＢ＝ＡＤとなる点Ｄがあったとすると、 　点Ａから２つの異なる方向に直径が引けてしまうためです。 ２．△ＡＢＤにおいて、ＡＤ＝ＤＢであるとき、Ｄを通る直径のもう一方の端をＥとすると 　△ＡＥＤと△ＢＥＤは合同な直角三角形（斜辺と他の一辺が相等） 　さらに、△ＣＤＢについて、Ｂを通る直径ＢＦを考えると、 　　△ＢＦＣ≡△ＢＦＤ 　さらに、 　　△ＢＦＣ≡△ＢＦＤ≡△ＡＥＤ≡△ＢＥＤ 　までが言えますので、△ＡＢＤ≡△ＣＤＢ（２辺挟角相等）となります。 　あるいは、正弦定理を知っていれば、 　　∠ＢＡＤ＝∠ＡＢＤ＝∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＢ＜90° 　から、残りの角　∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ が導けて、 　△ＡＢＤ≡△ＣＤＢ（２辺挟角相等）となります。 ３．これも、１．の 　ＡＢ＝ＡＤとなる点Ｄがあったとすると、 　点Ａから２つの異なる方向に直径が引けてしまうためです。 　を意識しています。 ４．その直前に、 　　ＡＢ＝ＢＤ 　を示していますので、（ＡＢ＝）ＢＤ＝ＢＣ だと 　点Ｂから２つの異なる方向に直径が引けてしまうためです。 No.32196 - 2015/07/17(Fri) 17:10:11 ☆ Re: / mako 本当にありがとうございました。 No.32198 - 2015/07/17(Fri) 19:48:23

★ 合同条件 / たゆう

三角形の合同条件のうち「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」を「2辺と1つの角がそれぞれ等しい」と表現できない理由を図を使って説明しなさい。という問題なんですが、画像のように考えたのですがどうでしょうか？お願いします。 No.32193 - 2015/07/17(Fri) 12:44:18 ☆ Re: 合同条件 / 歌声喫茶 残念ですがその方針は正しくないでしょう。 「〜のような場合も考えられるから」の以降がないのでなんともいえませんが。 そのような場合が考えられたからといって、合同条件として不十分であるとなぜいえるの？　ってことになります。 ＃なお、たぶんこの問題ですべきことは「2辺と1つの角がそれぞれ等しいのに合同ではない2つの三角形」の実例を示すことです。 ＃ヒントとしては二等辺三角形にちょっと手を加えてみましょう。 No.32194 - 2015/07/17(Fri) 13:10:47 ☆ Re: 合同条件 / たゆう 回答ありがとうございます。画像のような感じでしょうか？ No.32197 - 2015/07/17(Fri) 18:06:33 ☆ Re: 合同条件 / 歌声喫茶 無理があります。「BD=DCではない」の根拠は何ですか？ そう見えるような図を無理矢理描いただけではないですか？ …が、ちょっと修正すればよさそうです。∠BAD=∠CADって必要ですかね？(いやむしろそうであってはならないのですが) No.32199 - 2015/07/17(Fri) 20:03:02 ☆ Re: 合同条件 / たゆう 画像のように修正しましたがどうでしょうか？お願いします。 No.32201 - 2015/07/17(Fri) 22:41:58 ☆ Re: 合同条件 / 歌声喫茶 おおむねそんな感じです。 が、「BD≠DCは明らかなので」にちょっと違和感があります。 これだと結果的にそれが判明したように思えます。順序としては逆で「BD≠DCとなるようにDを自分で設定する」のです。 なおDは直線BC上なら「B,C,BCの中点」以外ならどこにとってもよく、辺BC上でなくてもかまいません。 No.32212 - 2015/07/18(Sat) 13:48:33 ☆ Re: 合同条件 / たゆう 理解することができました。ありがとうございました。 No.32214 - 2015/07/18(Sat) 15:18:22

★ 数?Vの質問です / aohana

2問解説お願いします。 (1)　y=x√(9-x^2)の増減を調べてグラフを書き、x軸と囲む部分の面積を求めよ。 (2)　y=acosx(0<x<π/2)(両端含みます)と両軸で囲む面積をy=sinxが2等分とするように正の値aを定めよ。 宜しくお願いします。 No.32189 - 2015/07/17(Fri) 10:20:52 ☆ Re: 数?Vの質問です / ヨッシー まず (1) から x で微分して 　ｙ’＝√(9-x^2)−x^2/√(9-x^2) 　　＝(9-2x^2)/√(9-x^2) ｙ’＝０ となるのは、 　x＝±3/√2 （増減表は省略） 対称性より 0≦x≦3 の範囲の面積を求め２倍します。 求める面積をＳとすると、 　Ｓ/2＝∫[0〜3]ｘ√(9-x^2)dx ｘ＝3sinｔ とおくと、 　dx＝3costdt 　√(9-x^2)＝3cost 0≦x≦3 は 0≦t≦π/2 に相当 　Ｓ/2＝27∫[0〜π/2]cos^2t・sintdt 　　＝-9[cos^3t][0〜π/2] 　　＝９ よって、Ｓ＝１８ No.32190 - 2015/07/17(Fri) 11:47:25 ☆ Re: 数?Vの質問です / ヨッシー (2) 両端を含むなら 0≦ｘ≦π/2 ですね。問題には影響しませんが。 y=acosx と、ｘ軸、ｙ軸で囲まれた部分の面積は 　∫[0〜π/2]acosxdx＝ａ y=acosx と y=sinx の交点を求めます。 　acosx−sinx＝0 　√(a^2＋1)sin(x＋α)＝0 ただし 　sinα＝a/√(a^2＋1), cosα＝-1/√(a^2＋1) を満たす角で、図のような角になります。 よって、ｘが図のβ（＝π−α) に当たる角であるとき 　acosx−sinx＝0 となり、求める交点のｘ座標となります。 またこのとき 　cosβ＝1/√(a^2＋1), sinβ＝a/√(a^2＋1) となります。 図の斜線部の面積をＴとすると 　Ｔ＝∫[0〜β](acosx−sinx)dx 　　＝[asinx＋cosx][0〜β] 　　＝asinβ＋cosβ−1 　　＝(a^2＋1)/√(a^2＋1)−1 　　＝√(a^2＋1)−1＝a/2 これを解いて 　a=(0, ) 4/3 No.32192 - 2015/07/17(Fri) 12:15:23 ☆ Re: 数?Vの質問です / aohana ありがとうございます! 助かりました。 No.32210 - 2015/07/18(Sat) 13:33:05

★ 二次関数の問題。図形を二等分するような問題です / ななみ(中学3年生です)

図のように，関数y＝(1/4)x2のグラフ上に３点A，B，Ｃがある。　点Aのx座標は4である。　また，２点Ｂ，Ｃのx座標の差は8であり，OA//BCである｡　 直線y＝axが四角形ＯＡＣＢの面積を二等分するとき，a＝［　　　］である。 答えはa=7/4です。 よろしくお願いします。 No.32187 - 2015/07/17(Fri) 07:12:02 ☆ Re: 二次関数の問題。図形を二等分するような問題です / ヨッシー Ａの座標は(4,4) ですから、ＯＡやＢＣの傾きは１です。 よって、ＢとＣのｙ座標の差も８となります。 Ｂのｘ座標をｔとすると、Ｂ，Ｃの座標は 　Ｂ(t, t^2/4)、Ｃ(t+8, (t+8)^2/4) となり、 　(t+8)^2/4−t^2/4＝８　・・・ｙ座標の差 であるので、 　t=-2 を得ます。つまり 　Ｂ(-2, 1)、Ｃ(6, 9) とわかります。 四角形ＯＡＣＢは台形であり、 　ＯＡ：ＢＣ＝２：４ であるので、ＢＤ：ＤＣ＝３：１ となる点Ｄについて、直線ＯＤを引けば、 四角形ＯＡＣＢを２等分したことになります。 　Ｄ（4, 7) であるので、ＯＤの傾きａは 　a=7/4 となります。 No.32188 - 2015/07/17(Fri) 09:09:34

★ 定積分と不等式の証明について / ハインリッヒ

ｎ≧2とする。次の不等式を証明せよ。 1/1＾2+1/2＾2+1/3＾2+・・・+1/ｎ＾2＜2-1/ｎ とあるのですが、解答には冒頭で 「自然数ｋに対して、ｋ≦ｘ≦ｋ+1の時、1/（ｋ+1）＾2≦1/ｘ＾2 常に1/（ｋ+1）＾2＝1/ｘ＾2ではないから・・・」とあるのですが、まずｋは自然数であるのだからｋ≦ｘ≦ｋ+1はもとから等号は成り立たないし、仮にそうだとして、次に1/（ｋ+1）＾2≦1/ｘ＾2として等号が成り立つと示唆しているのにそのあと「常に1/（ｋ+1）＾2＝1/ｘ＾2ではない」となるのがわかりません。 No.32184 - 2015/07/17(Fri) 00:27:16 ☆ Re: 定積分と不等式の証明について / 歌声喫茶 それらがどういう使われ方なのかわからないので推測ですが、たぶん 1/(2^2) + 1/(3^2) + … + 1/(n^2) < ∫[1→n]x^(-2)dx = 1 - 1/nを示して両辺に1を足して出来上がり、という具合だろうということで。 解答の中の説明は面積比較のためにそうしているのだと思いますが、要点を押さえてグラフでも描けば十分な気はします。 さて。 >等号は成り立たないし〜 成り立ちます。x=k,k+1のときに一方の等号が成り立ちます。 ＃k≦x≦k+1　とは、x=kまたはx=k+1またはk<x<k+1という意味です。 >常に〜 これを「常に1/(k+1)^2≠1/x^2である」と解釈すべきではありません。 「常に1/(k+1)^2=1/x^2とは限らない」です。したがって面積の差が生じて、求める不等式にイコールが付いていないわけですね。 No.32185 - 2015/07/17(Fri) 01:45:40

★ 図形の問題（僕は高校２年生です） / mako

「 円に内接する四角形があって、どの３頂点も二等辺三角形の３頂点になっている。この四角形はどんな形をしているか？ 」 という問題です。 いろいろ実験してみると、「正方形」と「正５角形の１つの頂点を取り外した四角形」だけだろうと予想できましたが、論理的に証明ができません。 なにせ、解答がありませんので、お忙しいかと思いますが、どう証明できるのか（そもそも僕の予想は正しい？）、また、どうしてそのような解法の発想が得られたか、伝授していただければ幸いです。 No.32182 - 2015/07/16(Thu) 22:50:54 ☆ Re: 図形の問題（僕は高校２年生です） / ヨッシー 図のように、二等辺三角形ＡＢＣ（ＡＢ＝ＡＣ）があるところに 点Ｄを加える場合、弧ＢＣ上に置く（図の左と中）か、弧ＡＣ上に置く（図の右）かの ２通りあります（弧ＡＢは対称性から弧ＡＣに置いたのと同じです） ここで、注意すべきことは、 「円に内接する二等辺三角形の、等辺をはさむ角の２等分線は 直径に重なる」 ということです。 例えば、左の図のように、∠Ａが鋭角の場合、点Ｄを弧ＢＣ上に 置く場合、ＢＣ＝ＢＤやＢＣ＝ＣＤにはならないということです （そんな方向に直径は引けませんので） 一方、∠Ａが鈍角のときは、中の図のようにＢＣ＝ＢＤとなるように 点Ｄを取ることが出来ます。 さて、 左の図において、△ＢＣＤが二等辺三角形になるのはＢＤ＝ＣＤのときで、 このときＡＤは直径になっています。 よって、∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝90°となり、 その関係を保ちながら△ＡＢＤ，△ＡＣＤが二等辺三角形になるように 点Ｂ、点Ｃを移動するとＢＡ＝ＢＤ、ＡＣ＝ＣＤとなり、 四角形ＡＢＣＤは正方形となります。 中の図において、ＢＣ＝ＢＤとします。 ただし、ＤはＡを通る直径に対して、点Ｃと同じ側にあるとします。 必然的に、ＢＤ＞ＡＢ となります。 このとき、△ＡＢＤを考えるとＡＢ＝ＡＤとはならないので、 ＡＤ＝ＢＤとなります。 よって、ＡＤ，ＤＢ，ＢＣはいずれも等しく、 △ＡＢＤ≡△ＣＤＢ より ＡＢ＝ＡＣ＝ＣＤ が言えます。 角度を調べると ∠ＡＣＢ、∠ＡＢＣ、∠ＣＢＤはいずれも等しく ∠ＢＡＤ，∠ＡＢＤはそれらの２倍なので、 ∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＤ　は∠ＡＣＢの５倍となり、 ＡＣ//ＢＤより ∠ＣＡＢ＋∠ＡＢＤ＝180°、∠ＡＣＢ＝36° となり、正五角形の一部となります。 右の図において、ＡＣ＝ＡＤやＡＣ＝ＣＤにはならないので、 ＡＤ＝ＤＣに限ります。 △ＡＢＤを考えると、 ＡＤ＝ＡＢ、ＡＤ＝ＤＢとはならないので、 　ＡＢ＝ＢＤ また、△ＢＣＤにおいて、 ＢＤ＝ＤＣ、ＢＤ＝ＢＣ とはならないので、 　ＢＣ＝ＣＤ となり、やはり正五角形の一部となります。 No.32183 - 2015/07/16(Thu) 23:58:45 ☆ Re: 図形の問題（僕は高校２年生です） / らすかる かなり昔に考えて保存していた解答のコピペです。 内容的にはヨッシーさんの解答と同じかも知れません。 まず円に内接するＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣを考え、 題意を満たすように点Ｄを円周上に配置することを考える。 もし∠Ａが鋭角とすると、４点目のＤと他の２点によって 作られる△ＡＢＣと重ならない三角形は、必ず∠Ｄを頂角 とする鈍角二等辺三角形にならなければならないので、 ∠Ａは90度以上と仮定してよい。 (1) ∠Ａが90度の時 　Ｄを円周上に配置した時、ＤＢ＜ＢＣ、ＤＣ＜ＢＣから △ＤＢＣが二等辺三角形になるためにはＤＢ＝ＤＣでなけ ればならない。従って、配置可能な位置は四角形ＡＢＤＣ が正方形になる位置だけで、その時どの３頂点を選んでも 二等辺三角形になるので題意を満たす。 (2) ∠Ａが90度より大きい時 　Ａから最も遠い円周上の点をＥとする。対称性から、Ｄ を配置する位置は弧ＡＢと弧ＢＥだけを考えればよい。と ころが、Ｄを弧ＡＢ上に配置するとＤＢ＜ＤＣ＜ＢＤから △ＤＢＣが二等辺三角形とならず題意を満たさないので、 配置出来るのは弧ＢＥ上だけとなる。 　Ｄを弧ＢＥ上に配置すると、ＡＢ＜ＡＤ、ＢＤ＜ＡＤと なるので、△ＡＢＤが二等辺三角形となるためにはＡＢ＝ ＢＤでなければならない。また、ＢＣ＞ＢＤ、ＤＣ＞ＢＤ により、△ＢＤＣが二等辺三角形となるためにはＢＣ＝ ＤＣでなければならないが、これを満たすのは∠ＢＣＤ＝ 36度の時に限られる。この時∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＣ＝108度、 ∠ＢＤＣ＝∠ＡＣＤ＝72度、ＣＡ＝ＡＢ＝ＢＤの台形（正 五角形の４頂点からなる四角形）となり、どの３頂点を選 んでも二等辺三角形になるので題意を満たす。 答 正方形、または正五角形の４頂点からなる台形。 No.32186 - 2015/07/17(Fri) 02:15:22

★ 数?Vの質問です / aohana
nは正の整数、aとbは0ではない実数とする。 この時I=∫(0→π)|acosnx+bsinnx|dxを計算せよ。 この問題が解けません。 解説お願いします。 No.32177 - 2015/07/16(Thu) 14:17:38 ☆ Re: 数?Vの質問です / ヨッシー acos(nx)+bsin(nx)＝√(a^2+b^2)sin(nx＋α) なので、x=0〜π の範囲のグラフは図のようになります。 結局 　√(a^2+b^2)∫[0〜π]sinxdx と同じ面積になります。 No.32179 - 2015/07/16(Thu) 15:00:50

★ 面積の最小値 / たゆう

画像の問題の(2)なんですが、(1)はS=1/6｛t^2+(8-4a)t+4｝^3/2ということがわかったので｛｝のなかのtの方程式の最小値を求めればいいと思ったのですがどのようにすればいいか分かりません。教えてください。お願いします。 No.32176 - 2015/07/16(Thu) 14:11:38 ☆ Re: 面積の最小値 / ヨッシー t^2＋(8−4a)t＋4＝(t＋4−2a)^2＋4−(4−2a)^2 　　＝(t＋4−2a)^2−4a^2＋16a−12 より、ｔ＝2a-4 のとき t^2＋(8−4a)t＋4 の最小値は 　−4a^2＋16a−12 となりますが、Ｓの最小値を求めるには、(1) の答えに、 ｔ＝2a−4 を代入したほうが早いでしょう。 No.32180 - 2015/07/16(Thu) 15:27:41 ☆ Re: 面積の最小値 / たゆう 答えまでたどり着くことができました。ありがとうございました。 No.32191 - 2015/07/17(Fri) 12:07:52

★ (No Subject) / なにぬね
(2)x^3 + y^3 =z^3 を満たす自然数の組(x,y,z)が存在しないことを証明せよ。 分からないです。 No.32171 - 2015/07/15(Wed) 22:22:15 ☆ Re: / ヨッシー フェルマーの最終定理　n=3 で検索すれば、色々出てきます。 たとえば、こちら　など。 No.32174 - 2015/07/16(Thu) 06:20:40

★ 数1の質問です / komura
赤線部分でなぜこのようになるかわかりません No.32167 - 2015/07/15(Wed) 21:38:36 ☆ Re: 数1の質問です / 歌声喫茶 とりあえず赤線の1行目がなぜ導かれるのかというのは問題文がないと分かるわけがないので、それ以降の変形ということであれば、4を移項しただけです。 No.32168 - 2015/07/15(Wed) 22:00:45 ☆ Re: 数1の質問です / komura すみません。なんでも無かったです。質問に答えてくださりありがとうございます。 No.32170 - 2015/07/15(Wed) 22:19:44

★ 確率の問題です / やま

こんにちは、問題集を解いていてわからない問題があったので、 アドバイス願います。 （問）表裏ともに赤いコインが４枚、表が赤で裏が白のコインが３枚ある。 これらのコインをすべて袋の中にいれた。 コインを２枚取り出して投げたとき、２枚とも赤が出る確率は？ 私は以下のように考えました。 ２枚のコインを取り出すので、すべての組み合わせは7C2。 （nCrはCのn,rのつもりです） （１）表が赤、裏が白のコイン１枚と両面赤のコイン１枚取り出したとき コインの取り出し方は、7C2。 両面赤のコインと両面が異なるコインの取り出し方は、4C1×3C1。 両面赤のコインを取り出せば、赤が出る確率は1。 一方、赤と白のコインでは、1/2。 よって、（4C1×3C1）/7C2×1×1/2=2/7。 これは私の解答の一部ですが、 解答集の方では、次のように記されています。 （１）表が赤、裏が白のコイン１枚と両面赤のコイン１枚取り出したとき 各コインから１枚ずつ取り出すとき、全事象は７枚のコインから２枚取り出すので、 7C2通り。 両面赤のコインは４枚なので、4C2通り。 したがって、 4/7×(3/7×1/2)=6/49。 １．解答集の答えは本当にあっているのでしょうか？ ２．私の解答はどこが間違っているのでしょうか？ ３．解答集の「4/7×(3/7×1/2)=6/49」について、 4/7×(3/6×1/2)としてはいけないのでしょうか？ No.32158 - 2015/07/15(Wed) 00:00:46 ☆ Re: 確率の問題です / ヨッシー >よって、（4C1×3C1）/7C2×1×1/2=2/7 の部分には、誤りはありません。 一方、解答集の方は、一部なので何とも言えません。 他の部分でつじつまを合わせているかも知れませんので、 最終的な答えが 17/28 になっているようなら、もう少し 吟味してみないといけません。 それ以外の答えが導かれているようなら、解答集が誤りの 可能性があります。 >4/7×(3/6×1/2)としてはいけないのでしょうか？ 解答集の答えの「したがって」の前後で文脈がつながっていないように見えます。 よって、4/7×(3/7×1/2)=6/49 自体何を意味しているか読み取れませんし、 4/7×(3/6×1/2)として良いかどうかも判断できません。 No.32159 - 2015/07/15(Wed) 06:22:48

★ 数?Vの問題です / tiao

(1)nを2以上の整数とするとき，(log(n))/(n-1)>(log(n+1))/n が成り立つことを示せ． (2)nを3以上の整数とするとき，(n!)^2>n^n が成り立つことを示せ． (1)のlogの底はeです．解答よろしくお願いします． No.32156 - 2015/07/14(Tue) 23:30:48 ☆ Re: 数?Vの問題です / X (1) f(x)={log(x+1)}/x と置いて、x≧1においてf(x)が単調減少 であることを示します。 (f(x)の増減表を書きましょう。) No.32160 - 2015/07/15(Wed) 06:46:48 ☆ Re: 数?Vの問題です / 歌声喫茶 (1)y=log(x+1)の凸性に注目して、 この曲線上の2点(0,0)(n,log(n+1))を結ぶ直線の傾きは単調減少、とするとちょっと楽かも。 (2)あまりいい方針でない気もしますがとりあえず。 まずは対数を取りたくなります。 2(log1 + log2 + … + logn) > nlognを示せればよい。 ここでlog1 + log2 + … + logn > ∫[2→n+1]log(x-1)dx = nlogn - n + 1なので(図を描いて面積比較してみてください) 2(log1 + log2 + … + logn) > 2nlogn - 2n + 2 ここで2nlogn - 2n + 2 - nlogn = n(logn - 2) + 2 e < 2.8ゆえ e^2 < 7.84 なのでひとまずn≧8でn(logn - 2) + 2 > 0 なので2(log1 + log2 + … + logn) > 2nlogn - 2n + 2 > nlognがわかる。あとはn=3,4,5,6,7のときを確かめる。 No.32166 - 2015/07/15(Wed) 20:50:06 ☆ Re: 数?Vの問題です / IT (2)の別解 (n!)^2　片方のn!を逆順にして =Π[k=1..n]{k(n-k+1)} =(n^2)Π[k=2..n-1]{k(n-k+1)} 　f(k)=k(n-k+1)とおくとy=f(k)のグラフは上に凸の放物線,またf(2)=f(n-1)なので 　k=2..n-1でf(k)≧f(2)=2(n-1)よって ≧(n^2)Π[k=2..n-1]{2(n-1)} 　n≧3なので2(n-1)＞n　よって ＞(n^2)Π[k=2..n-1]n＝n^n No.32169 - 2015/07/15(Wed) 22:01:18 ☆ Re: 数?Vの問題です / tiao 多くの方による解答，誠にありがとうございました。 No.32173 - 2015/07/15(Wed) 23:59:17

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