「無限級数 Σn^2/n! は収束するか」という問題で、ダランベールの収束判定法 (a[n] = n^2/n! とおいて a[n+1]/a[n] -> r = 1/3 ということを確かめる) で収束することはわかるのですが、
WolframAlphaによるとその値は2eとなるそうです。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+n^2%2Fn!
分子の指数 = 2,3,4,5,... で試したところ、すべてeの整数倍になりました。
分子が n^1 ならマクローリン展開の形になるのはわかるのですが、n^k (k>1) の場合の値はどのように求めるのでしょうか。
私は大学生で、教養の数学に加えフーリエ変換・ラプラス変換などの授業を(一応)履修済です。
よろしくお願いしますm(__)m
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No.31852 - 2015/06/22(Mon) 13:59:51
| ☆ Re: 値がeの整数倍になる級数 / ast | | | おもしろそうなのでちょっと計算してみました.
既知の事項として, 級数展開 exp(x) = Σ[n=0,...] x^n/n! は (任意の実数 x に対して) 絶対収束で, 項別微分可能 exp(x)' = Σ[n=1,...] nx^(n-1)/n! (=exp(x)), 導函数も同じ収束半径を持つことなどに注意します.
微分して両辺 x 倍すれば x*exp(x) = Σ[n=1,...] nx^n/n! = Σ[n=0,...] nx^n/n!,
再度両辺を微分して exp(x)+x*exp(x) = Σ[n=1,...] n^2x^(n-1)/n!.
先と同様に x*(1+x)exp(x) = Σ[n=1,...] n^2x^n/n! = Σ[n=0,...] n^2x^n/n! を得ます.
x=1 を代入すれば, Σ[n=0,...] n/n! = 1*exp(1) = e, および Σ[n=0,...] n^2/n! = 1*2*exp(1) = 2e を得ます.
n=3,4,5,... も同様にできると思います.
参考:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=find+summation+of+nx^n%2Fn!+for+n+from+0+to+infinity
https://www.wolframalpha.com/input/?i=find+summation+of+n^2x^n%2Fn!+for+n+from+0+to+infinity
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No.31853 - 2015/06/22(Mon) 14:37:55 |
| ☆ Re: 値がeの整数倍になる級数 / himher | | | なるほど微分するとnが係数に出てきますね。
ありがとうございました！
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No.31855 - 2015/06/22(Mon) 17:15:29 |
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