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★ 行列に関する問題です、助けてください / あいかわ
https://imgur.com/a/381THhP
こちらの問題です。理解力に乏しいので詳しく答えを教えてほしいです
No.82297 - 2022/06/06(Mon) 20:54:08
☆ Re: 行列に関する問題です、助けてください / X
単位行列をEとします。
Aにかけた基本変形行列の全ての積をP
とすると、条件から
PA=E (A)
PE=B (B)
(B)より
P=B (B)'
一方、Pの定義によりPには逆行列が存在し
(A)により
P^(-1)=A
∴AP=E (A)'
(A)(A)'(B)'から
AB=BA=E
∴逆行列の定義により
B=A^(-1)
No.82300 - 2022/06/06(Mon) 21:29:26
★ 整数の性質について教えて下さい。 / YUKI
2つの正の整数の最大公約数と最小公倍数の積の値が

2つの正の整数の積の値と同じになるのはなぜですか？
No.82294 - 2022/06/06(Mon) 00:11:05
☆ Re: 整数の性質について教えて下さい。 / ヨッシー
ＡとＢの最大公約数がＣである時
　Ａ＝Ｃ×Ａ’
　Ｂ＝Ｃ×Ｂ’　Ａ’とＢ’は互いに素
と書けます。次にＡとＢの最小公倍数を作るのに、
Ａに何か整数を掛けて、Ｂの倍数になるようにします。
Ｂを掛けて　Ａ×Ｂ　とすると、Ｂの倍数にはなりますが、
最小とは限りません。
　Ａ＝Ａ’×Ｃ
なので、これにＢ’を掛けて、
　Ａ’×Ｃ×Ｂ’
とすれば、Ｂ＝Ｃ×Ｂ’も含んでおり、Ｂの倍数になります。
Ａ’とＢ’は互いに素なので、Ｂ’より小さい数を掛けると、Ｃ×Ｂ’ を約数に持つことが出来ません。
よって、Ｃ×Ａ’×Ｂ’ が最小公倍数となります。
これに最大公約数Ｃを掛けると、
　Ｃ×Ｃ×Ａ’×Ｂ’＝(Ｃ×Ａ’)×(Ｃ×Ｂ’)＝Ａ×Ｂ
と、２数の積と一致します。
No.82295 - 2022/06/06(Mon) 01:11:03
☆ Re: 整数の性質について教えて下さい。 / YUKI
ありがとうございます！！
No.82296 - 2022/06/06(Mon) 01:50:33
★ 入射角と反射角について / さ
いくら考えても分からないので思い切って質問します。

2枚の平面鏡が角度θで組み合わされており、第1の鏡への入射角をαとする時、第1の反射で光線の方向は180°−2αだけ回転し、2回目の反射で180°−2(θ−α)だけ回転する。

この第1の法則は分かるのですが、第2の場合、なぜこうなるのか分かりません。
θが90°なら分かりやすいのですが、90°ではない場合には、平行線もない為同位角や対頂角も見つけられず、証明する事が出来ません。

この2回目の入射角と反射角がそれぞれθ−αである事の証明をお願い出来ませんか？
No.82287 - 2022/06/05(Sun) 19:43:18
☆ Re: 入射角と反射角について / ast
二度目の反射における入射角(=反射角)を=βとおくと, 鏡二枚と鏡と光線の交点を結んだ線分で出来る三角形のθ以外の角度はそれぞれ 90°-α と 90°-β ですから, θ+(90°-α)+(90°-β)=180° で, 解けば β=θ-α はすぐにわかるのでは.
No.82290 - 2022/06/05(Sun) 19:55:48
☆ Re: 入射角と反射角について / さ
本当ですね！
スッキリしました！
ありがとうございました。
No.82292 - 2022/06/05(Sun) 20:23:07
★ 微分方程式 / ゆゆ
yf＝e^λtとおいて解いたのですが、dy/dxの場合は、yf＝e^λxと置くべきでしょうか？

yf＝e^λtとおいて、xで微分しているため、最終的な答えはxに書き改めればいいと思ったのですが、どうなのでしょうか？
No.82284 - 2022/06/05(Sun) 17:29:24
☆ Re: 微分方程式 / ast
何がしたいのかよく分からないが, 元々の問題は?
書いてあるだけだといい場合もダメな場合もありうるとしか言いようがない. むしろ「解いた」と書かれると「解けたのだったらそれでいいじゃないの」と受け取ってしまいますが.
No.82291 - 2022/06/05(Sun) 19:59:11
★ (No Subject) / りこ
(2)がわからず困っています。どなたか教えていただきたいです!
No.82281 - 2022/06/05(Sun) 15:10:35
☆ Re: / m
まずは，b<1, 1≦b<2, 2≦b で場合分けをして
f^{-1} ([-∞, b]) を求めてみてください．
No.82283 - 2022/06/05(Sun) 17:10:17
☆ (No Subject) / りこ
ありがとうございます。
b<1のとき　f^{-1} ([-∞, b])=Φ
1≦b<2のとき　f^{-1} ([-∞, b])=(0,1/3]
2≦bのとき　f^{-1} ([-∞, b])=(1/3,1]
となりÀの元になるので、満たしているということでいいでしょうか？
No.82285 - 2022/06/05(Sun) 17:47:40
☆ Re: / m
そのとおりです！

[訂正]
今見返すと．
2≦bのときは f^{-1} ([-∞, b])=(0,1]
ですね．
No.82289 - 2022/06/05(Sun) 19:47:13
☆ Re: / m
蛇足：唐突に出てくる f^{-1} ((-∞, b]) のお気持ち

よく，リーマン積分はグラフを縦に切っていて，ルベーグ積分は横に切ると説明されます．
なので本当は a<f(x)≦b となる x の集合．つまり f^{-1} ((a, b]) を調べたい．
ただ，文字が二つあると面倒なのでいろいろ議論すると f^{-1} ((-∞, b]) だけを調べれば十分ということがわかり（正確には測度空間の性質から必要十分），簡単だからそうしているというだけです．

ちなみに可測関数の定義に
f^{-1} ([a, b]) や f^{-1} ((a, ∞]) を採用しても同値です．
No.82293 - 2022/06/05(Sun) 20:24:45
★ 分配法則について / しょう
この分配なのですが、9回ではなく3回で済ませています、どういうことなのでしょうか？
No.82277 - 2022/06/05(Sun) 11:34:35
☆ Re: 分配法則について / ast
その他の6回の中でx^2の項が出てくるものはありますか?
No.82278 - 2022/06/05(Sun) 11:39:46
☆ Re: 分配法則について / IT
結果が　x^2 になる項だけを調べているからでは？


「x^2掛ける2x^2」や「-３掛ける-１」などは、不要です。
No.82279 - 2022/06/05(Sun) 11:42:05
★ ルベーグ積分 / りこ
次の問題が全く検討がつかず困っています。教えていただきたいです!
No.82274 - 2022/06/04(Sat) 17:33:56
☆ Re: ルベーグ積分 / m
(1)について．
f(x) のグラフは描けますか．
「積分確定」の意味は説明できますか．
No.82276 - 2022/06/04(Sat) 21:48:41
☆ Re: ルベーグ積分 / りこ
f(x)のグラフは描けます!
∫f+か∫f-の少なくとも一方が有限なら積分確定になると思います。
No.82280 - 2022/06/05(Sun) 14:41:41
☆ Re: ルベーグ積分 / m
(1)
A の定義関数（特性関数ともいう）を 1_{A} と書きます．

f+ を f の正の部分とすれば
f+ = 2 * 1_{(0, 1]}
と表せる．従って
∫f+ = 2
このことから f は積分確定．


(2)
集合 [0, 1] ∩ Q が可算集合であるという事実を使って
μ{[0, 1] ∩ Q} = 0
を示すことはできますか．
これを使うと与えられた積分が求まります

// ルベーグ測度 μ の性質「一点集合は測度ゼロ」を使うことに注意．
// 大学の講義なら，ルベーグ積分では可算集合はある意味無視できるといったことを既に扱っているかも．
No.82282 - 2022/06/05(Sun) 16:57:03
☆ ルベーグ積分 / りこ
μ{[0, 1] ∩ Q} = 0は示すことができたのですが、これを使って積分の値を求めるとはどうすればいいのかわかりません。
いっぱい質問してしまいすみません。
No.82286 - 2022/06/05(Sun) 18:35:11
☆ Re: ルベーグ積分 / m
μ([0, 1] ∩ Q) = 0
から
∫_{[0,1]∩Q} f = 2*μ([0, 1] ∩ Q) = 0
が従います．

さらに積分の加法性により
(∫_{[0,1]-Q} f) + (∫_{[0,1]∩Q} f) = ∫_{[0,1]} f
ですから，∫_{[0,1]} f = 2 を代入して
∫_{[0,1]-Q} f = 2 を得ます．

（ただし，[0,1]-Q は差集合を表しています．）
No.82288 - 2022/06/05(Sun) 19:46:07
★ 角錐の側面について / ふぶ
中1です。
参考書に「底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になる」と書いてありました。
この理由もしくは証明を教えてください。
No.82273 - 2022/06/04(Sat) 17:09:47
☆ Re: 角錐の側面について / IT
＞「底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になる」
正しくありません。

書いてあるそのままですか？　
だとすると、その参考書の記述は、まちがっていると思います。

「角錐のうち底面が、正ｎ角形で、側面がすべて合同な二等辺三角形であるものを「正ｎ角錐」といいます。（ｎは３以上の整数）」
↑このように「教科書」に書いてないですか？　確認してみてください。

底面が正多角形の角錐の側面はそれぞれ合同な二等辺三角形になるとは、限りません。
No.82275 - 2022/06/04(Sat) 18:52:54
★ 一般での期待値(平均値)μを求める公式 / KYさん
有難うございます。

つまり無条件に∫_α^β xf(x) dxという公式は使えないと言う事ですね。
μ=∫_α^β xf(x) dx
が使える条件とは何でしょうか?
No.82269 - 2022/06/04(Sat) 09:32:14
☆ Re: 一般での期待値(平均値)μを求める公式 / ast
> つまり無条件に∫_α^β xf(x) dxという公式は使えない
使えないのではなくて, 待ち時間の期待値を求めるならその公式の x は待ち時間で f(x) は待ち時間の密度函数でないといけないので, 待ち時間の密度函数を知らないとその公式に当てはめられないということでしょう.
# 前スレで書いたように問題で与えられた f(x) は駅着時刻の密度函数なので, その公式の f(x) とは違う.

あるいは, 二つの確率変数 X,Y に対し, そのそれぞれの確率密度函数を f_X(x), f_Y(y) と書くことにすると, 確率変数 Y が確率変数 X の適当な函数として Y=φ(X) であるときに ∫_[φ(α),φ(β)] y f_Y(y) dy (= ∫_[α,β] φ(x)f_X(x)φ'(x) dx) を計算する問題だというだけでは? (X が駅に着く時刻で, Y が駅に着いた時刻から決まる列車の待ち時間)
# 今の例ではたまたま常に φ'(x)=−1 になるので結局 f_X(x) しか見えてこないが.

Xさんがすでにお書きのことですが, 一口に単語レベルで期待値といったところで, そこで思考停止せずに「何の」期待値なのかを考えないと公式があっても意味がありません.
# 前回のスレッドでも短絡思考と形容しましたが, 理解を阻害している根底にあるものは今回も同じかと.
No.82271 - 2022/06/04(Sat) 14:08:55
☆ Re: 一般での期待値(平均値)μを求める公式 / KYさん
どうも有難うございます。参考にさせていただきたいと思います。
No.82332 - 2022/06/08(Wed) 09:10:28
★ 一般での期待値(平均値)μを求める公式 / KYさん
度々すみません。

https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/pdf_and_mean.jpg

にて期待値(平均値)μが∫_α^β xf(x) dxと確率密度関数f(x)とxの積で求められる事を知りました。
でも下記の例題では∫_0^10 x 1/35 dx
ではなく∫_0^10 (10-x) 1/35 dxとなっていて公式通りではありません。
一般での期待値(平均値)μを求める公式はどうなっているのでしょうか?

https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/question06012200.jpg
No.82266 - 2022/06/03(Fri) 22:39:26
☆ Re: 一般での期待値(平均値)μを求める公式 / X
離散確率分布(つまり、期待値がΣで計算できる場合)
の場合と考え方は同じです。

＞＞確率密度関数f(x)とxの積で求められる
のは「xの」期待値です。
それに対し２つ目の問題で求める期待値は
「待ち時間の」期待値
です。
ですので、確率密度関数f(x)にかけるのは
待ち時間(模範解答ではxの関数になっていますが)
です。

もし、待ち時間がxであれば、待ち時間の期待値は
f(x)とxの積の積分
で計算できます。
No.82268 - 2022/06/04(Sat) 06:59:18
★ 確率密度関数って。。 / KYさん
宜しくお願いいたします。

下記の問題についてです。

https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/IMG_1167.JPG
https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/question06012200.jpg

前者の確率密度関数f(x)=1/4 kx(6-x)は6分に近づくに連れて待ち時間が小さくなっている事に辻褄が合うと納得したのでず
後者の確率密度関数f(x)=kと何故,定数関数になってるのか不思議に思いました。
いつ駅に到着としても待ち時間は一定とは変だと思いました。

どうして定数関数になるのでしょうか?
No.82262 - 2022/06/02(Thu) 11:42:39
☆ Re: 確率密度関数って。。 / ast
前者の確率変数 X は「乗客が駅に着いてから列車が到着するまでの待ち時間」であり, X=x のとき「x 分間待つ」ことを意味します (だから前の列車が出た直後から 6 分待つことになる確率も次の列車が出る直前についてほぼ待たない (=0 分待つ) ことになる確率もともに 0 に近く, 前のが出発してから次が来るまでの真ん中あたりから 3 分待つ確率が一番高い) という仮定がされています: f(x)=(k/4)x(6-x) は待ち時間の確率密度函数です.
# なので, 書き込まれている手描きのグラフはおかしいですね, y=(1/36)x(6-x) なら正しくは
# x=0 のとき y=0, x=3 のところで頂点になる上に凸の抛物線です.

一方の後者の X は前者と全く意味が異なり, X=x は「乗客が駅に着く「到着時刻」が 時刻 (○ 時) x 分であること (時刻 0 分から時刻 35 分の間に駅で待ち始めて, そこから決まった時刻 x=10,30,45 分になるまで列車を待つ)」を示しており (だから「待ち時間」は各 10-x,30-x,45-x 分間のどれかであり, 前の列車が出発した時刻の直後最大でそこから次の列車の到着時刻に近づくにつれて減る), つまり f(x)=k と置くのは「どの時刻 (一分刻みの一分間) に駅に着く (列車待ち開始) かは等確率であるものと仮定した」という意味になります: f(x)=k は到着時刻の密度函数です.
# つまり, x の意味が違うので「いつ駅に到着としても待ち時間は一定」という意味には全くなりません.
# また, 「待ち時間」についても, 前者の f(x) は待ち時間が x になる事象の発生確率であるのに対し,
# 後者の 10-x or 30-x or 45-x は待ち時間の長さ自体なので, まったく同じものというわけでもありません.
# ついでに, 「到着時刻」もここでは乗客の駅到着時刻であり, もし列車の到着/発車時刻 (発着時刻) と
# 混同することがあったならば訳が分からなくなります.

## もし, 同じ "x" という文字で書かれているからとか, "waiting time", "arrive" といった単語だけ見て
## 判断してしまうのだとしたら, 実際は主語も動作も全然違うので, 完全に短絡思考に陥っています.
## 仮にそうなっていた場合には, まずはその辺を意識することを心がけることからだと思います.
No.82263 - 2022/06/02(Thu) 14:30:31
☆ Re: 確率密度関数って。。 / KYさん
> つまり f(x)=k と置くのは
>「どの時刻 (一分刻みの一分間) 
> に駅に着く (列車待ち開始) かは
> 等確率であるものと仮定した」
> という意味になります: 

なんとなくわかって来ました。確率密度関数のx軸は事象の値を表してて、y軸はその事象が起こる頻度(?)を100分率で表してますよね？
特に何も条件がないので何分に来るかという頻度は一定なのですね。

前者の例題ではどの待ち時間になるかという確率も普通は一定ですが
この問題では(3分待ちとなる確率が一番高くなるようにな)確率密度関数が与えられていているので使ってあるのですね。
No.82265 - 2022/06/03(Fri) 03:48:05
☆ Re: 確率密度関数って。。 / ast
> 前者の例題ではどの待ち時間になるかという確率も普通は一定ですが
これには同意しませんが, 他はまあそういう感じでしょう.
# 同意しないのは, 「どういう数学的設定が文章題で参考にした現実の状況の数理モデルとして妥当か,
# あるいは今の設定はどの程度ふさわしいか, といったような問いには常に検討の余地がある」
# と私は考えるからです.
## 例えば, 本問(=前者)では常に同じ間隔で電車が発着するのなら発着の真ん中くらいに駅に着くよう家を出て
## 実際の到着はそこからの誤差が正規分布になるようなモデルを考えて, さらにそのより平易な近似として
## 抛物線近似を持ってきた, ということなら問題の仮定は普通な仮定であるように私には思えます.
### 質問者さんの言い分を見るに "どうしても前者と後者を同種類のものと結論付けたい" という趣旨の
### 結論あり気の論を張ろうとする気配がありそうなのですが, 個人的には危険な発想だと思います.
#### 個人的な感触では恐らく, 前者は一人の人間が特定の時間に駅に行って列車を待つ状況で,
#### 後者はたくさんの人間がつねに一定数駅を訪れるという状況で, それぞれ考えたときに
#### 平均してどうなるかというのを表している確率密度と期待値だと感じます.
No.82272 - 2022/06/04(Sat) 14:28:13
★ (No Subject) / オッドタクシー
y=ax^2+bx+cとy=dx^2+ex+fの二つの交点を通る直線の方程式を交点の座標を求めずに出す方法を教えていただきたいです。
No.82260 - 2022/06/01(Wed) 14:04:25
☆ Re: / ヨッシー
２つの式は、
　ax^2+bx+c-y=0　・・・(i)
　dx^2+ex+f-y=0　・・・(ii)
と表せますが、
　ax^2+bx+c-y＋k(dx^2+ex+f-y)=0　・・・(iii)
(i) も (ii) も満たす(x, y)、つまり両グラフの交点は
(iii) を満たします。
x^2 の項が消えるように k を決めると、直線の式になります。
No.82261 - 2022/06/01(Wed) 14:26:16
★ 偏微分 / ０
（a, b, a^2+b^2）での接平面の公式をS, Tとも立てて、それを連立して共通の接平面が2(z-x+y+1)=c　となるところまではやったのですが、ここから具体値が求まりません。何か式を忘れているのでしょうか？ご教授お願いします。
No.82252 - 2022/05/31(Tue) 10:18:21
☆ Re: 偏微分 / らすかる
2(z-x+y+1)=c は
2(z-x-y+1)=c の間違いだと思いますが、
z=x^2+y^2をこの式に代入して整理すると
(2x-1)^2+(2y-1)^2=2c-2
となることから、接点のx,y座標は1/2,1/2、c=1とわかりますね。
No.82253 - 2022/05/31(Tue) 13:04:53
★ (No Subject) / 46
y=(1/2)x^2とy=-2(1-a)/3 •x+1/3-2/3 •a^2が異なる2点で交わるとき、この放物線と直線で囲まれる部分の面積の最大値を求めよ
No.82251 - 2022/05/31(Tue) 10:16:31
☆ Re: / 関数電卓
取りあえず図を。a を k と書き換えました。
No.82257 - 2022/05/31(Tue) 22:46:08
☆ Re: / 関数電卓
略解を途中まで。
　y＝(1/2)x^2 …(1)
　y＝2(k−1)/3･x−(2k^2−1)/3 …(2)
(1)(2)が２交点をもち，囲まれる領域をもつとき，交点の x 座標をα, β (α＜β) とすると
α，βは(1)(2)から y を消去し整理した
　3x^2−4(k−1)x＋2(2k^2−1)＝0 …(3)
の２解。
また，(1)(2)で囲まれた領域の面積 S(k) は
　S(k)＝−(1/2)∫[α,β](x−α)(x−β)dx＝(1/12)(β−α)^3
(3)を解くことにより，β−α＝(2/3)√(−8k^2−8k＋10)
S(k) の最大値を与える k は −8k^2−8k＋10 の最大値を与え，それは
　−8k^2−8k＋10＝−8(k＋1/2)^2＋12
より，k＝−1/2
あとは，自分でやって下さい。
No.82259 - 2022/05/31(Tue) 23:15:25
★ (No Subject) / あああああ
xyのxの偏微分がyになるという内容が
ある書籍に記載されていたのですが、
偏微分の場合yを定数として扱うので1になるのではないかと思い質問します。
(ちなみx+yのxの偏微分は1と記載されておりました)
No.82249 - 2022/05/31(Tue) 08:56:09
☆ Re: / らすかる
2xの(xでの)偏微分は2
3xの偏微分は3のように
(定数)×xの偏微分は(定数)ですから、
y×xの偏微分はyになりますね。
No.82250 - 2022/05/31(Tue) 09:38:26
★ 学校でやらされた問題なんですけど... / なちょ
素数pと正の整数aに対し、（ap）_C_p - aはp^2で割り切れることを示せ。

この問題を数学の先生が、余力のある人は考えてみろって出してくれたんですけどCの式変形だけして全く止まったので取っ掛りだけでも教えて欲しいです。
No.82246 - 2022/05/30(Mon) 20:25:25
☆ Re: 学校でやらされた問題なんですけど... / IT
概略

与式　= (a/(p-1)!)((ap-1)(ap-2)(ap-3)...(ap-p+1))-(p-1)!)

なのでA=(ap-1)(ap-2)(ap-3)...(ap-p+1))-(p-1)!がp^2で割り切れることを示せば良い
a=b+1 とおくと ＃この置き換えは不要でした＃
A=(bp+(p-1))(bp+(p-2))(bp+(p-3))...(bp+1)-(p-1)!

これを展開して考える.
１つめの積ですべてが第２項目を取ると(p-1)!となり-(p-1)!で消えます。

残りの積の和を考えます。
bpが２つ以上の積はp^2 で割り切れますから
各因子からbp を１つだけ取り出して掛けた積の和がどうなるかを調べます。
No.82247 - 2022/05/30(Mon) 21:39:10
☆ Re: 学校でやらされた問題なんですけど... / IT
各因子からbp を１つだけ取り出して掛けた積の和は
bp(p-1)!(1/(p-1)+1/(p-2)+1/(p-3)+...+1/2+1/1)
(pが奇数のとき）折り返したペアを考えると　　　＃p=2 のときは別に証明する。　
=bp(p-1)!(1/(p-1)+1/1+1/(p-2)+1/2+1/(p-3)+1/3...)
=bp(p-1)!(p/((p-1)1)+p/((p-2)2)+p/((p-3)3)+...)
=(p^2)b{(p-1)!(1/(p-1)+1/((p-2)2)+1/((p-3)3)+...)}

＃p^2 が括り出せた。

p は素数なので・・・
・・・

もう少し説明（p が素数であることから云えることなど）が必要です。
計算ミス、記入ミスがあるかも知れません。ご自分で確認してください。
No.82248 - 2022/05/30(Mon) 22:10:42
☆ Re: 学校でやらされた問題なんですけど... / なちょ
ありがとうございます。参考にしてみてもう一度自分の答案を作り直して見ようと思います。
No.82256 - 2022/05/31(Tue) 19:39:56
☆ Re: 学校でやらされた問題なんですけど... / 黄桃
ITさんのと同じことですが、そのまま利用すると、
f(x)=(x-1)(x-2)...(x-(p-1))
とおけば、
f(ap)-f(0)≡0 mod p^2
をいえばよい。それには、f(x)を展開した時の1次の係数がpで割り切れることをいえばよい(*)。
p=2は別に証明しておき、pは奇素数とします。
xの係数はΣ_[k=1,p-1] -(p-1)!/k =-(p-1)! Σ_[k=1,p-1] 1/k であり、
l:kのmod pでの逆数とすれば、lとkは1対1に対応するから、mod pで
Σ_[k=1,p-1] 1/k≡Σ_[l=1,p-1] l =(1/2)p(p-1)
pは奇素数だから、これはpの倍数。

＃高校数学の範囲で(*)を次のように示したら、点数をもらえるのだろうか？
＃係数をmod pで考える多項式として考える。
＃g(x)=x^(p-1)-1 とおけば、フェルマーの小定理より　g(1)=...=g(p-1)=0　だから、
＃g(x)はf(x)で割り切れる(??)。
＃f(x)とg(x)は次数も最高次係数も等しいから、
＃係数をmod pで考える多項式として、f(x)=g(x)。
＃特に、f(x)の1次の係数はpで割り切れる。

＃＃(??)の部分は、実数係数多項式の場合の類推っぽいので、
＃＃係数をmod pで考える多項式でも成立することを認めてよいかどうか。
＃＃大学数学の言葉と定理を使えばちゃんとした証明にできるが、このままだとどうか。
No.82258 - 2022/05/31(Tue) 22:57:20
★ 2次不等式の解について / まぐねしうむ
この画像についてなのですが、いまいち納得がいかず質問させていただきます。
数1の問題です。

この(2)a＝1のとき解なし　になる理由を教えてください。

➀の不等式でa＝1であれば(x−1)の2乗になってx＜1になるのではないでしょうか。

基礎の基礎でひっかかっていてすみません。どうかわかりやすくご教示ください。
No.82243 - 2022/05/30(Mon) 18:54:52
☆ Re: 2次不等式の解について / IT

> この(2)a＝1のとき解なし　になる理由を教えてください。
>
> ➀の不等式でa＝1であれば(x−1)の2乗になってx＜1になるのではないでしょうか。
a＝1とします。
たとえば　x=0 のとき
　(x−1)の2乗は、いくらですか？
　問題の不等式は成立しますか？
No.82244 - 2022/05/30(Mon) 19:03:13
☆ Re: 2次不等式の解について / まぐねしうむ

> a＝1とします。
> たとえば　x=0 のとき
> 　(x−1)の2乗は、いくらですか？
> 　問題の不等式は成立しますか？

あ、理解しました。すみません、ありがとうございました。
No.82245 - 2022/05/30(Mon) 19:11:21
★ 円柱の斜め切断の切り口 / たか
半径r、高さhの円柱をちょうど斜めに２分割した時、
切った円柱の側面を展開したときに、切り口はどのような曲線になっているか
という質問です。

切り口は楕円である。
楕円の方程式が(x^2)/((r^2)+(h^2)/4) + (y^2)/(r^2) = 1

媒介変数を使って
x = r･cosθ
y = (((r^2)+(h^2)/4)^(1/2))･sinθ

切断面の平面の方程式は
z = (-tanθ)x + 1　…?@

tanθ= h/2r, x = r･cosθを ?@式に代入して、
z = (-h/2r)･r･cosθ + 1
と考えたのです。

斜め45度で切ったものはありましたが、今回は高さがh、直径が2rなので、tanθ= h/2rで考えればいいと思ったのですが、どうしても計算が合いません。
原点と2rで0になるようなサインカーブを期待したのですが、なぜかなりません。
No.82236 - 2022/05/30(Mon) 14:21:01
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / らすかる
> 媒介変数を使って
> x = r･cosθ
> y = (((r^2)+(h^2)/4)^(1/2))･sinθ

これを楕円の方程式に代入しても成り立たないと思います。

> z = (-tanθ)x + 1　…?@

この「1」とは何ですか？
No.82239 - 2022/05/30(Mon) 16:02:32
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / たか
すいません。

> z = (-tanθ)x + 1　…?@

は、確かめてみたら間違っていました。
立式ができず訳が分からなくなりました。
No.82240 - 2022/05/30(Mon) 16:53:29
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / ヨッシー

図のように、上から見た図において、角度θの点を考えると、
この点のｘ座標は
　ｘ＝ｒcosθ
これを、下の側面図に当てはめると
　ｙ＝(h/2r)ｘ＝(h/2)cosθ
最終的には、ｙとｔ（＝ｒθ）
との関係式を求めます。
No.82241 - 2022/05/30(Mon) 17:14:13
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / X
横から失礼します。

＞＞たかさんへ
問題の楕円において、底面に平行な軸をx軸に
取っていますので、切断面の方程式を
> z = (-tanθ)x + 1
のようにzをxの式で表すのは明らかに誤りです。
又、添付写真の展開図の概形の横方向の目盛りですが
左から0,πr,2πr
であり、rが抜けています。

更に媒介変数と、切断面の底面に対する仰角を
同じθで表しているなど、変数の取り方が
ごちゃごちゃになっていますので、
以下のように最初から仕切り直して考えてみます。

円柱の底面上(切断面上ではありません)に、
切断面の楕円の水平方向の軸と平行
になるようにx軸を取り、対応するように
y軸をを取ります。
但し、底面の円の中心を原点とします。

このx,y軸に対してz軸を原点がx,y軸のそれと
一致するように上向きに取ります。
このとき、x,y軸を極座標に変換すると
円柱の側面上の点のx,y座標に対し
x=rcosθ (A)
y=rsinθ (B)
(但し、π/2≦θ≦π/2+2πとします。)
又、切断面の底面に対する仰角をΘ(0≦Θ＜π/2)
とすると
z=-ytanΘ+h/2 (C)
tanΘ=h/(2r) (D)
更に側面の円周方向に点(0,1,0)を原点として
θが増加する向きにt軸を取ると
t=r(θ-π/2) (E)
(A)(D)(E)を用いて(C)からΘ,xを消去すると
z=(h/2){1-cos(t/r)}
となり、添付写真の展開図のような概形を
得ます。
No.82242 - 2022/05/30(Mon) 18:18:16
☆ Re: 円柱の斜め切断の切り口 / たか
Xさんのおっしゃることを、横から見た図と上から見た図と斜め上から見た図、そして座標軸を設定するとわかりました。
ありがとうございます。
No.82255 - 2022/05/31(Tue) 17:40:24
★ 級数の証明 / YUKI
wolframのデフォルトで見れるこのシグマの式の証明を教えていただけないでしょうか？

何卒よろしくお願いいたします。
No.82233 - 2022/05/29(Sun) 14:40:01
☆ Re: 級数の証明 / ＿
1-i=√2(cos(-π/4)+isin(-π/4))ゆえ
(1-i)/√2=cos(-π/4)+isin(-π/4)
ドモアブルの定理を用いて
f(k)=((1-i)/√2)^2k=cos(-kπ/2)+isin(-kπ/2)
=-i(k=1,5,9,…)
-1(k=2,6,10,…)
i(k=3,7,11,…)
1(k=4,8,12,…)

k=2017までの和は2016までの和+f(2017)
2016までの和は0でf(2017)=-iなので等式は成り立つ
No.82234 - 2022/05/29(Sun) 15:51:24
☆ Re: 級数の証明 / YUKI
ありがとうございます！！
No.82235 - 2022/05/29(Sun) 16:57:48
★ ベクトル解析 / 大学生
次のスカラー場の勾配φを求めよという問題がわからないので解答を教えてください
φ＝(x^3)(y^2)+x(y^3)(z^2)
φ＝cos(xy)+xe^(yz)
φ＝(x^2)z+e^(y/z)
φ＝(2y)z^2−x(y^2)
No.82231 - 2022/05/29(Sun) 10:54:23
☆ Re: ベクトル解析 / X
一問目だけ解くので、参考にして残りはご自分でどうぞ。

以下x,y,z軸方向の正の向きの単位ベクトルを
それぞれ
↑i,↑j,↑k
とします。

gradφ={(∂/∂x){(x^3)(y^2)+x(y^3)(z^2)}}↑i+{(∂/∂y){(x^3)(y^2)+x(y^3)(z^2)}}↑j
+{(∂/∂z){(x^3)(y^2)+x(y^3)(z^2)}}↑k
={(3x^2)(y^2)+(y^3)(z^2)}↑i+{(2x^3)y+3x(y^2)(z^2)}↑j+{2x(y^3)z}↑k
No.82232 - 2022/05/29(Sun) 11:30:32
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