n≧3とする。中心O半径rの円周上にn点P1,P2…Pn＝P0が順番に並んでおり、∠PkOPk-1＝k∠P1OP0(k＝1,2,…n)を満たしているものとする。このとき、多角形P1P2…Pnの面積を求めよ。
この問題が全くわかりません。
解答解説お願いします
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No.32225 - 2015/07/19(Sun) 13:37:58
| ☆ Re: / X | | | この問題はこれ単独の問題ですか？
もしこの問題が大問の内の小問の一つであれば、その大問を全てアップして下さい。
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No.32231 - 2015/07/19(Sun) 16:59:55 |
| ☆ Re: / 受験生 | | | No.32234 - 2015/07/19(Sun) 17:17:36 |
| ☆ Re: / X | | | 条件から
Σ[k=1〜n]∠P[k]OP[k-1]=Σ[k=1〜n]k∠P[1]OP[0]=2π
∴∠P[1]OP[0]=4π/{n(n+1)}
問題の多角形を二等辺三角形である
△P[k]OP[k-1](k=1,2,…n)
に分割することにより、求める面積をSとすると
S=Σ[k=1〜n](1/2)(r^2)sin(k∠P[1]OP[0])
=(1/2)(r^2)Σ[k=1〜n]sin{4πk/{n(n+1)}}
後は
Σ[k=1〜n]sin{4πk/{n(n+1)}}
を簡単にするわけですが、高校数学で
これを単独で解くのはかなり難解です。
その意味で誘導問題がついている
大問の中の小問
ではないのか？という質問をしたのですが。
実は、ドモアブルの定理が使えることを前提にすれば
S={(r^2)sin(2π/n)sin{2π/(n+1)}}/{2sin(2π/{n(n+1)})}
と計算はできます(それでも計算は煩雑ですが)。
更に逆に質問しますが、問題文に抜けはありませんか？
(他に、例えば使ってもよい公式が与えられている、
ということなどはありませんか？)
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No.32236 - 2015/07/19(Sun) 18:18:08 |
| ☆ Re: / 受験生 | | | 単元が複素数平面になっているので、ドモアブルと極形式を使うのだろうとは思いましたが、それ以外に誘導はありませんでした。
すみません
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No.32238 - 2015/07/19(Sun) 18:33:44 |
| ☆ Re: / X | | | では
Σ[k=1〜n]sin{4πk/{n(n+1)}}
の計算の方針をもう少し詳しく書いておきます。
z=cosa+isina(但しa=4π/{n(n+1)})
と置くと、ドモアブルの定理により
z^k=cosak+isinak (A)
一方このときz≠1ですので
Σ[k=1〜n]z^k=z(1-z^n)/(1-z)
=(cosa+isina){1-(cosan+isinan)}/{1-(cosa+isina)} (B)
更に(A)より
Σ[k=1〜n]z^k=Σ[k=1〜n]cosak+iΣ[k=1〜n]sinak (C)
(B)を整理して、複素数の相等の定義により
(C)と比較をし
Σ[k=1〜n]sinak={sin(na/2)sin{a(n+1)/2}}/sin(a/2)
を導きます。
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No.32240 - 2015/07/19(Sun) 19:51:27 |
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