ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 整数の問題 / MO

51を割ると3余り、73を割ると9余る整数を求めなさい。

求める整数をｎとし，商をそれぞれＱ1，Ｑ2とすると、

Ｑ1×ｎ＋３＝51　
Ｑ2×ｎ＋９＝73

とまではわかるのですが，ここからどうすればよいのかわかりません。お願いします。

No.31959 - 2015/06/27(Sat) 16:51:02

☆ Re: 整数の問題 / IT

Ｑ1×ｎ=A　
Ｑ2×ｎ=B
としましょう。
ｎはA,Bの公約数です。
ｎ＞9　に注意します。

No.31960 - 2015/06/27(Sat) 17:50:23

☆ Re: 整数の問題 / MO

Ｑ1×ｎ＝48
Ｑ2×ｎ＝64

48と64の公倍数は，1，2，4，8，16

このうち、9より大きいのは16なので，
答えは16

でしょうか？

No.31963 - 2015/06/27(Sat) 23:43:14

☆ Re: 整数の問題 / IT

> 48と64の公倍数は，1，2，4，8，16
「公約数」ですね。
>
> このうち、9より大きいのは16なので，
> 答えは16
良いと思います。

なお教科書や問題集ではｎが負の数の場合は、どう扱ってますか？

No.31964 - 2015/06/28(Sun) 00:05:55

☆ Re: 整数の問題 / MO

> なお教科書や問題集ではｎが負の数の場合は、どう扱ってますか？

私の持っている問題集ではすべてｎが正の数になるものしか扱っていませんでした。

また、問題も質問のようなパターンは小数派で、ほとんどが
「○で割ると△余り、◇で割ると×余る数を求めなさい。」
という割られる数を求める問題ばかりです。

No.31965 - 2015/06/28(Sun) 00:56:55

☆ Re: 整数の問題 / IT

そうですね。
手持ちの高校数学Ａの問題集（青チャ）には、
（割り算における商と余り）
整数ａと正の整数ｂに対して　ａ＝ｂｑ+ｒ,　0≦ｒ＜ｂ
を満たす整数ｑとｒがただ１通りに定まる。

とあり、割る数が正の整数の場合しか書いてないです。

ｎも正の整数という前提で解答していいと思いますが、
本来は出題文にきちんと記述すべきと思います。

No.31967 - 2015/06/28(Sun) 09:34:49

☆ Re: 整数の問題 / MO

ずっとｎは整数だと刷り込まれてきた気がします。

ありがとうございました。

No.31968 - 2015/06/28(Sun) 13:46:21

★ 命題と条件 / MY

x > 0はx²≧0であるための十分条件であるというのはわかっているのですが、説明しろと言われると、その理由が上手く説明できません。

どうかよろしくお願いします

No.31953 - 2015/06/27(Sat) 11:51:58

☆ Re: 命題と条件 / X

x＞0⇒x^2≧0 (A)
が成立し
x≧0⇒x＞0 (B)
が一般に成立しないことを証明すれば
よいわけです。

ではまず(A)が成立することの証明から。
x＞0
ですのでこれの両辺にxをかけても
不等号の向きはそのままで
x^2＞0
≧は＞又は=の意味ですので
x^2＞0⇒x^2≧0
は成立します。

次に(B)が成立しないことの証明ですが
反例を挙げます。
例えばx=-1のとき
x^2≧0
ですが
x＜0
ですので(B)は成立しません。

No.31955 - 2015/06/27(Sat) 12:35:17

☆ Re: 命題と条件 / MY

理解出来ました!!ちゃんと説明できそうです!
わかりやすい説明ありがとうございました!!

No.31956 - 2015/06/27(Sat) 12:48:42

★ (No Subject) / ao

画像の問題の(1),(2)を解いてみたのですがあっていますか

No.31949 - 2015/06/26(Fri) 22:01:39

☆ Re: / X

(1)は問題ありません。
(2)
3行目の計算が間違っています。
x成分だけ計算しますので参考にして
y,z成分は自力で修正してみて下さい。
(∂/∂y)(zr^n)-(∂/∂z)(yr^n)={znr^(n-1)}(∂r/∂y)-{ynr^(n-1)}(∂r/∂z)
={znr^(n-1)}(y/r)-{ynr^(n-1)}(z/r)
=0

No.31950 - 2015/06/26(Fri) 23:06:45

☆ Re: / ao

答えは
∇×↑An=(0,{nr^(n-2)}x(z-y),0)
となりました
それと(3)の解き方がわからないのですが教えていただけないでしょうか

No.31952 - 2015/06/27(Sat) 09:09:02

☆ Re: / X

まだ計算が間違っています。
y成分を再度計算してみて下さい。
こちらの計算では
∇×↑A[n]=↑O
となりました。

その上でなら(3)は容易に求められます。
(2)の再計算の後でもう一度考えてみて下さい。

No.31954 - 2015/06/27(Sat) 12:12:27

☆ Re: / ao

計算ミスをしていました
∇×↑A[n]=↑O
となりました。

(3)はストークスの定理より計算すると0となりました
(4)はどのように計算したらよいでしょうか

No.31957 - 2015/06/27(Sat) 13:11:27

★ 平面図形 / MR

問題：底辺と面積が等しい三角形の中で周の長さが最小となるものは、二等辺三角形であることを示せ。

出題が平面図形であることから、楕円や三角関数は使わないのだと思います。補助線を幾つか引いてみたのですが、結果に結び付きません。

どうかよろしくお願いします。

No.31947 - 2015/06/26(Fri) 21:22:44

☆ Re: 平面図形 / らすかる

AB=ACである二等辺三角形ABCを描きます。
Aを通りBCに平行な直線上でA以外のところに点Pをとり、
△PBCの周の長さ＞△ABCの周の長さであることを示せばいいですね。

Aに関してBと対称な点をDとすれば
PB+PC=PB+PD＞AB+AD=AB+ACですから、
PB+PC+BC＞AB+AC+BCと言えます。

No.31948 - 2015/06/26(Fri) 21:54:57

☆ Re: 平面図形 / MR

なるほどです！
Ｄの着想、素晴らしいです。
ありがとうございました。

No.31951 - 2015/06/27(Sat) 07:16:11

★ 立体図形の二等分（中３・高校入試） / オイスター

次の図は，ＤＥ＝5，ＥＦ＝3，ＦＤ＝4 の三角形を底面に持つ三角柱で，高さＣＦ＝6である。
この三角柱を、直線ＣＦを含む平面で、体積が2等分されるように切ったとき，切り口の面積を求めなさい。

・切り口の縦は高さに等しいので 6

・横は点Ｃを通り△ＡＢＣを二等分する線
　（あるいは点Ｆを通り、△ＤＥＦを二等分する線）

　Ｃと∠Ｃの対辺ＡＢの中点を通る線が横になる。

ここまで考えたのですが、これから先をどうすればいいかわかりません。よろしくお願いします。

No.31938 - 2015/06/25(Thu) 15:15:22

☆ Re: 立体図形の二等分（中３・高校入試） / らすかる

やり方は何通りかありそうですが、例えば
ABの中点をMとし、CからABに垂線CHを下ろせば
BM=5/2でBHとCHは△ABC∽△CBHから求まりますので
MHはBM-BHから求まり、CM=√(CH^2+MH^2)から求められますね。

No.31939 - 2015/06/25(Thu) 15:24:02

☆ Re: 立体図形の二等分（中３・高校入試） / ヨッシー

ＡＢの中点をＭとするとき、ＣＭの長さがわかれば良いわけですから、
図のような底面の図を考えて、三平方で求めます。

ＣＨは、ＣからＡＢに下ろした垂線で、
　△ＡＢＣ∽△ＡＣＨ∽△ＣＢＨ
から、図に示した長さが順々に決まります。

あとは、中３までで習うかわかりませんが、中線定理
　ＡＣ^2＋ＣＢ^2＝２(ＡＭ^2＋ＣＭ^2)
より
　16＋9＝２(6.25＋ＣＭ^2)
これより、ＣＭを求めることも出来ます。

No.31940 - 2015/06/25(Thu) 15:41:57

☆ Re: 立体図形の二等分（中３・高校入試） / オイスター

らすかるさん、ヨッシーさん、ありがとうございます。

お二方の説明に基づいて計算したところ，
ＣＭ＝5/2 となり、
面積は、6×5/2＝15 となりましたが、
あっているでしょうか？

No.31941 - 2015/06/25(Thu) 17:48:28

☆ Re: 立体図形の二等分（中３・高校入試） / ヨッシー

合っています。

△ＡＢＣが直角三角形であることに気付くと
「直角三角形は斜辺を直径とする円に内接する」
という性質より
　ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ＝ＡＢ／２
というふうにやる方法もあります。

No.31943 - 2015/06/25(Thu) 18:37:09

☆ Re: 立体図形の二等分（中３・高校入試） / オイスター

ありがとうございました。

様々な解き方があるんですね。

No.31945 - 2015/06/25(Thu) 19:47:07

★ (No Subject) / ヒキニート

極限の自作です。もし良ければ誰か解いて下さい。

lim_［n→∞］n｛e-(1+1/n)^n)｝を求めよ。

No.31932 - 2015/06/25(Thu) 01:02:37

☆ Re: / らすかる

lim[n→∞]n{e-(1+1/n)^n}
=lim[n→∞]n{(Σ[k=0～∞]1/k!)-(Σ[k=0～n]nCk・(1/n)^k)}
=lim[n→∞]{1/2+(3-2/n)/6+(6-11/n+6/n^2)/24+(10-35/n+50/n^2-24/n^3)/120+…}
=Σ[k=1～∞]{(k(k+1)/2)/(k+1)!}
=(1/2)Σ[k=0～∞](1/k!)
=e/2
でどうでしょう。

No.31933 - 2015/06/25(Thu) 01:43:20

☆ Re: / deep make

別解として, ロピタルの定理を用いた方法を提示します.
簡単のため, x＝1/n で変換して考えます.

(与式)
＝lim[x→0]{e-(1+x)^(1/x)}/x
＝e×lim[x→0]{(1+x)log(1+x)-x}/(x^2+x^3)
＝e×lim[x→0]log(1+x)/(2x+3x^2)
＝e×lim[x→0]1/{(1+x)(2+6x)}
＝e/2.

と計算できます.

No.31942 - 2015/06/25(Thu) 18:21:50

★ 確率 / 山上

こんばんは。

問.
A,B,C,Dの四人でじゃんけんをする。
Aが勝ったとき、Bが負けている確率を求めよ。

という問題なのですが、私はAを含めた勝者の数で場合分けし、4/27と答えが出て解答もそのようになっていたのですが、文章が条件付き確率のようにも見えるのですがどうでしょうか？
Aが勝ったという条件の元でBが負ける確率と解釈する人がいたので…
よろしくお願いします。

No.31927 - 2015/06/24(Wed) 21:40:50

☆ Re: 確率 / らすかる

条件付き確率ですよ。
でも、条件付き確率の問題だからといって
条件付き確率の式を使わなければ解けないということはなく、
単にAが勝つ場合を列挙してBが負ける確率を求めるだけでも
求まりますので、問題に特に指定されていなければ
「条件付き確率」と考えなくても大丈夫です。
# ただし、条件付き確率の項目を学習している途中の場合は、
# 条件確率の式を使わないと減点されるかも知れません

No.31928 - 2015/06/24(Wed) 21:49:54

☆ Re: 確率 / 山上

返信ありがとうございます。問題文にはそのような記述がありませんでした。

条件付き確率でないものとして捉えていた私は
?@Aの一人勝ちの確率 3/81
?AAが勝ち、C,Dのどちらかが勝つ確率 6/81
?BAが勝ち、C,Dの2人も勝つ確率 3/81
よって12/81=4/27 としました。

一方、条件付き確率として考えると、
Aのみが勝つ確率は
?@Aの一人勝ちの確率 3/81
?AAともう一人が勝つ確率 9/81
?BAともう二人が勝つ確率 9/81 なので
よって21/81=7/27

よってAが勝ったという条件の元でBが負ける確率は
(4/27)÷(7/27)=4/7
となり、答えが異なっているとおもうのですが…

どこか勘違いしてるのでしょうか？

No.31929 - 2015/06/24(Wed) 22:22:28

☆ Re: 確率 / らすかる

「条件付き確率でないものとして捉えていた」というのは
「Aが勝ったとき、Bが負けている確率」を
「Aが勝ち、かつBが負ける確率」と解釈していたという意味でしょうか。
それならば、その解釈は誤りです。
解答が4/27になっているのであれば、解答も誤りです。

「Aが勝ったとき、Bが負けている確率」は
「Aが勝った場合において、Bが負けている確率」という意味ですから、
問題の意味としては条件付き確率であり、答えは4/7です。

私が上で書いたコメントは
必ずしも(Aが勝ち、かつBが負ける確率)÷(Aが勝つ確率)という式で
計算しなければいけないというわけではありませんよ、という意味であって
問題を「Aが勝ち、かつBが負ける確率」と解釈しても良いという意味ではありません。
問題は「Aが勝った場合において、Bが負けている確率」としか解釈できません。

No.31931 - 2015/06/25(Thu) 00:35:02

☆ Re: 確率 / 山上

理解できました。
解答と自分の解き方が同じであったためこのまま勘違いする所でした。らすかるさん、最後までお付き合い頂きありがとうございました。

No.31934 - 2015/06/25(Thu) 04:27:44

★ 平面図形 / MR

問題：互いに交わらない二つの定円の一つとは内接し、他の一つとは外接する円を描けば、その接点を結ぶ直線は、常に一定点を通ることを証明せよ。

互いに交わらない二つの定円がどちらも他方の内部にない場合は不適だから、定円の一方O1は他方O2を完全に内部に含むと考えました。
O1に内接しO2に外接する円Pに関し、これらの中心もO1、O2、Pと書き、O1、O2、Pが一直線になるときを考え、一定点はO1O2上にあると思いました。
そこで、接点A、Bを結ぶ直線ABとO1O2の交点Cがこの定点になると思いました。
しかし、O1Cを定数と示せず頓挫してしまいました。

どうかよろしくお願いします。

No.31918 - 2015/06/24(Wed) 16:52:22

☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

最初に描いた２円のうち
内接する円を円Ａとし、その中心をＡ、
外接する円を円Ｂとし、その中心をＢ、
両円に接する円を円Ｃとし、その中心をＣとします。

図のように、円Ａと円Ｂが互いに内部にない場合(図上)、
円Ｂが円Ａの内部にある場合(図下)の両方が考えられます。
円Ａ，円Ｂ、円Ｃの半径をそれぞれａ，ｂ，ｃとすると、
（図の上）
メネラウスの定理より
　(ＡＤ/ＤＣ)(ＣＥ/ＥＢ)(ＢＦ/ＦＡ)＝１
ａ，ｂ，ｃに置き換えて
　(ａ/ｃ)(ｃ/ｂ)(ＢＦ/ＦＡ)＝１
よって、
　ＢＦ：ＦＡ＝ｂ：ａ
となり、２つの接点を結ぶ直線は常に、
　ＡＢをａ：ｂに内分する点Ｆを通ります。
（図の下）
メネラウスの定理より
　(ＢＥ/ＥＣ)(ＣＤ/ＤＡ)(ＡＦ/ＦＢ)＝１
ａ，ｂ，ｃに置き換えて
　(ｂ/ｃ)(ｃ/ａ)(ＡＦ/ＦＢ)＝１
よって、
　ＡＦ：ＦＢ＝ａ：ｂ
（以下同文）

No.31919 - 2015/06/24(Wed) 17:20:04

☆ Re: 平面図形 / MR

ありがとうございます。
図を付けていただき、分かり易かったです。
お陰様で、問題の設定を誤解していたことが判りました。
助かりました。

No.31924 - 2015/06/24(Wed) 20:04:14

★ 損益算 / 章子

ある商品を100個仕入れ、仕入れ値の3割の利益を見込んで6500円の定価をつけましたが、期待通りには売れませんでした。そこで残りを定価の２割引きで売ったところ完売し、全部で5万3800円の利益がありました。このとき、定価で売れたのは何個ですか。

仕入れ値は1個あたり6500×(1-0.3)=4550円

定価でｘ個売れたとすると、総売り上げは

6500x＋6500×(1-0.2)(100-x)
=6500x+5200(100-x)
=6500x+520000-5200x
=1300x+520000

利益が53800円なので、

(1300x+520000)-4550×100=53800
1300x+520000-455000=53800
1300x+65000＝53800
1300x＝-11200

となり、意味がわからなくなりました。
この問題の解き方を教えてください。

No.31911 - 2015/06/24(Wed) 15:28:30

☆ Re: 損益算 / ヨッシー

>仕入れ値は1個あたり6500×(1-0.3)=4550円
ここから間違っています。
　(仕入れ値)＋(仕入れ値)×0.3＝(定価)
なので．．．（↑わざとまどろっこしく書いています）

ここのところを直せば、途中マイナスにならずに最後まで行けるでしょう。

No.31913 - 2015/06/24(Wed) 15:41:55

☆ Re: 損益算 / 章子

仕入れ値の3割の利益を見込んだ定価が6500なので，6500円の3割引きが仕入れ値だと思っていました！

以下、訂正した解答です。

6500÷（1＋0.3）＝5000

定価でｘ個売れたとすると、総売り上げは

6500x＋6500×(1-0.2)(100-x)
=6500x+5200(100-x)
=6500x+520000-5200x
=1300x+520000

利益が53800円なので、

(1300x+520000)-5000×100=53800
1300x+520000-500000=53800
1300x+20000=53800
1300x=33800
x=26

答え…26個

でしょうか？

No.31914 - 2015/06/24(Wed) 15:57:04

☆ Re: 損益算 / ヨッシー

そうですね。

全然売れてませんね。

No.31915 - 2015/06/24(Wed) 16:04:28

☆ Re: 損益算 / 章子

ありがとうございました。

＞全然売れてませんね。

そうですね（笑）

No.31916 - 2015/06/24(Wed) 16:13:50

★ 因数分解（数Ｉ） / あきら

x^4-7x^2+9 を因数分解しなさい。

x^2 = t と置き，t^2-7t+9 として考えてみましたが，たすきがけが思い浮かばず諦めました。

そこで，x^4+9-7x^2 と入れ替え、
(x^2+3)^2-6x^2-7x^2

= (x^2+3)^2-13x^2

= {(x^2+3)+√(13)x}{(x^2+3)-√(13)x}

= (x^2+√(13)x+3)(x^2-√(13)x+3)

としたのですが、
答えは (x^2+x-3)(x^2-x-3) になっていました。
私の因数分解の方法は間違っている、あるいは不十分なのでしょうか？

No.31910 - 2015/06/24(Wed) 15:10:14

☆ Re: 因数分解（数Ｉ） / ヨッシー

有理数係数の範囲で、と注釈があれば間違いですが、そうでない場合は
間違いとは言い切れません。
が、スマートでない、吟味が足りないといった印象は受けるでしょう。

x^4＋9 の部分を見て思いつくのは
　(x^2-3)^2 と (x^2+3)^2
です。
まず、この２つを思いつくかどうかが、ポイントです。

No.31912 - 2015/06/24(Wed) 15:36:39

☆ Re: 因数分解（数Ｉ） / あきら

ありがとうございました。

> スマートでない、吟味が足りないといった印象は受けるでしょう。

やはり、見た目として綺麗なほうがいいので、解答にも私の答えはなかったんですね。

No.31917 - 2015/06/24(Wed) 16:16:26

☆ Re: 因数分解（数Ｉ） / らすかる

> 有理数係数の範囲で、と注釈があれば間違いですが、そうでない場合は
> 間違いとは言い切れません。

私は間違いだと思います。
x^4-7x+9 は
整数範囲あるいは有理数範囲で因数分解すると
(x^2+x-3)(x^2-x-3)
実数範囲で因数分解すると
(x+(1+√13)/2)(x+(1-√13)/2)(x-(1+√13)/2)(x-(1-√13)/2)
であり、
(x^2+√(13)x+3)(x^2-√(13)x+3) は
整数範囲あるいは有理数範囲ならば √が出てきているので×
実数範囲ならばまだ因数分解できるのに途中で終わっているので×
ということになると思います。

> やはり、見た目として綺麗なほうがいいので、解答にも私の答えはなかったんですね。

見た目が綺麗かどうかという問題ではありません。
数学において「見た目が綺麗じゃないから×」という考え方はないと思います。

No.31922 - 2015/06/24(Wed) 19:37:57

☆ Re: 因数分解（数Ｉ） / あきら

らすかるさん、回答ありがとうございます。

(x^2+√(13)x+3)(x^2-√(13)x+3) は

> 実数範囲ならばまだ因数分解できるのに途中で終わっているので×

これ以降の因数分解の過程を教えてください。

No.31925 - 2015/06/24(Wed) 21:05:51

☆ Re: 因数分解（数Ｉ） / らすかる

x^2+(√13)x+3=0 を解くと
x=(-√13±1)/2 なので
x^2+(√13)x+3=(x+(1+√13)/2)(x-(1-√13)/2)
x^2-(√13)x+3=0 を解くと
x=(√13±1)/2 なので
x^2-(√13)x+3=(x+(1-√13)/2)(x-(1+√13)/2)
従って
(x^2+(√13)x+3)(x^2-(√13)x+3)
=(x+(1+√13)/2)(x-(1-√13)/2)(x+(1-√13)/2)(x-(1+√13)/2)
となります。

# もちろん、 (x^2+x-3)(x^2-x-3) という「正解」から
# 実数範囲の因数分解を計算しても、同じ結果になります。

No.31926 - 2015/06/24(Wed) 21:40:26

☆ Re: 因数分解（数Ｉ） / あきら

ありがとうございます。

解の公式で求めた解aを (x+a)(x-a) の形にするんですね。

解の公式を使うパターンは初めて見た気がします。

この形にするのは x^2-a^2 のときだけだと思っていました。

No.31935 - 2015/06/25(Thu) 13:32:14

☆ Re: 因数分解（数Ｉ） / ヨッシー

違います。
解の公式で求めた２解ａ，ｂに対して
　(x-a)(x-b)
の形にするのです。
　例）x^2－5x＋6＝0　→　解はx=2,3　→ x^2－5x＋6＝(x-2)(x-3)
x^2－a^2＝0 の場合は解が　x=-a, a なので、x^2－a^2＝(x-a)(x+a) となります。

No.31936 - 2015/06/25(Thu) 13:37:12

☆ Re: 因数分解（数Ｉ） / あきら

ヨッシーさん、訂正ありがとうございます。
理解できました。

No.31937 - 2015/06/25(Thu) 14:07:17

★ (No Subject) / なにぬね

高2です
2π=lim［x→∞］xsin(2π/x)
は真でしょうか？

No.31907 - 2015/06/24(Wed) 11:58:54

☆ Re: / ヨッシー

ｙ＝1/x とおくと
　(右辺)＝lim[y→0]sin(2yπ)/y
で、ロピタルの定理より
　(右辺)＝lim[y→0]2πcos(2yπ)＝２π
になるのでしょうが、高校ではどうやるのでしょうか？

No.31908 - 2015/06/24(Wed) 12:15:06

☆ Re: / らすかる

高校では
lim[y→0]sin(2yπ)/y
=lim[y→0]sin(2yπ)/(2yπ)・2π
=2π
とすると思います。

No.31909 - 2015/06/24(Wed) 12:20:39

☆ Re: / ast

まともに相手するだけ無駄な気が
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=64026

No.31920 - 2015/06/24(Wed) 18:28:58

☆ Re: / deep make

あえて直感的なことを言うと, Ｎ≧3の整数に対し,
単位円(半径1の円)に内接する正Ｎ角形の周りの長さL(Ｎ)は,
L(Ｎ)＝(2Ｎ)sin(2π/2Ｎ) と書けます.

よって, 聞かれている問題は,
lim[Ｎ→∞]L(Ｎ)＝2π が真かどうかということです.

これは, 単位円に内接する正Ｎ角形が,
Ｎ→∞で単位円に一致するという事実から明らかです.

No.31944 - 2015/06/25(Thu) 18:38:04

★ 漸化式 / バスケット

解答解説お願いします。

No.31903 - 2015/06/23(Tue) 22:20:08

☆ Re: 漸化式 / X

(1)
(2)(前半)
これは問題で与えられている三項間漸化式を使う必要
がありますので、以下のような変則的な数学的帰納法
を使います。
(i)n=0,1のときの成立を示す。
(ii)k≧1として、n=k-1,kのときの成立を仮定したとき
n=k+1のときも成立することを示す。

(1)についてですがx^n、xの係数、定数項を順に
a[n],b[n],c[n]
と置くと解答がきれいになります。
(以下の(3)の解説に使いますので注意。)

(2)(後半)
(2)の前半の結果に
θ=kπ/{2(n+1)}
を代入します。

(3)
x[k]=(sinθ[k])^2
と置くと、(2)の結果により、x[k]はxの方程式
f[n](x)=0
の解。
このことと(1)の結果によりx^nの係数が(-4)^n
であることから
f[n](x)={(-4)^n}(x-x[1])(x-x[2])…(x-x[n])
となるので、これを展開してxの係数と定数項を
見てみると
b[n]={(-4)^n}Σ[k=1～n](-x[1])(-x[2])…(-x[n])/(-x[k])
=(-4^n)Σ[k=1～n]x[1]x[2]…x[n]/x[k]
c[n]={(-4)^n}(-x[1])(-x[2])…(-x[n])
=(4^n)x[1]x[2]…x[n]
よって(1)の結果から
Σ[k=1～n]x[1]x[2]…x[n]/x[k]=(2/3)n(n+1)(n+2)/4^n
x[1]x[2]…x[n]=(n+1)/(4^n)
となるので
S[n]=Σ[k=1～n]1/(sinθ[k])^2
=Σ[k=1～n]1/x[k]
={1/(x[1]x[2]…x[n])}Σ[k=1～n]x[1]x[2]…x[n]/x[k]
={(2/3)n(n+1)(n+2)/4^n}/{(n+1)/4^n}
=(2/3)n(n+2)

(4)
前半)
0＜θ＜π/2 (P)により
1/(sinθ)^2-1＜1/θ^2＜1/(sinθ)^2
⇔(sinθ)^2＜θ^2＜(tanθ)^2
⇔sinθ＜θ＜tanθ (Q)
そこで
g(θ)=θ-sinθ
h(θ)=tanθ-θ
と置いて(P)におけるg(θ),h(θ)の
増減表を書き、(Q)を示します。
後半)
前半の結果と(3)の結果を使って、問題の無限級数の
部分和に対して、はさみうちの原理が使えるような
不等式を導きます。

No.31921 - 2015/06/24(Wed) 19:03:01

★ 数Aの質問です。 / komura

大問6(1)と大問7(5)が分かりません。お願いしますm(_ _)m

No.31884 - 2015/06/23(Tue) 16:36:26

☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー

[6](1)
文字の重複はないので、全部の並べ方は
　７！（通り）
このうちＧＫＳＩをこの順に並べ替えると同じ並びになるものが
　４！（通り）
ずつあるので、
　７！／４！＝２１０（通り）

[7](5)
Ｒを通る経路の数＋Ｓを通る経路の数－Ｒ，Ｓともに通る経路の数
で計算できます。

No.31886 - 2015/06/23(Tue) 16:50:02

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

ありがとうございます。

No.31894 - 2015/06/23(Tue) 18:48:47

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

解いてみましたが、答えと違いました。計算式をお願いします。多分、SとRを共に通る数が間違ってると思うのですが。

No.31896 - 2015/06/23(Tue) 18:59:31

☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー

Ｒを通る経路
　5Ｃ2×7Ｃ3＝10×35＝350
Ｓを通る経路
　8Ｃ4×4Ｃ1＝70×4＝280
Ｒ，Ｓ両方通る経路
　5Ｃ2×3Ｃ1×4Ｃ1＝10×3×4＝120
350＋280－120＝510(通り)
です。

No.31946 - 2015/06/26(Fri) 09:39:34

★ 積分 / トラス

片方で良いので教えていただけたら幸いです

No.31874 - 2015/06/22(Mon) 23:59:16

☆ Re: 積分 / X

[4]
前半)
条件から
線分OA:y=2x(0≦x≦1/√2)
線分OB:y=x/2(0≦x≦√2)
となりますので
S=∫[0→1/√2]2xdx+∫[1/√2→√2]dx/x-∫[0→√2](x/2)dx
=…
後半)
前半の過程により
V=π∫[0→1/√2]{(2x)^2}dx+π∫[1/√2→√2]dx/x^2-π∫[0→√2]{(x/2)^2}dx
=…

No.31882 - 2015/06/23(Tue) 07:58:38

☆ Re: 積分 / X

[5]
P(a,b)(a＞0,b＞0)
と置くと、点PはC上にあるので
(a^2)/9+(b^2)/4=1 (A)
又、lの方程式は
ax/9+by/4=1 (B)
(1)
(B)より
A(9/a,0),b(0,4/b)
∴S=(1/2)OA・OB=2/(ab) (C)
後は相加平均と相乗平均の関係と(A)を
使ってabの値の範囲を求めます。
(2)
点と直線と間の距離の公式と(B)により
OH=1/√{(a/9)^2+(b/4)^2} (D)
ここで
a/9=X,b/4=Y
と置けば、
X＞0,Y＞0 (E)
であり、(A)(D)はそれぞれ
9X^2+4Y^2=1 (A)'
X^2+Y^2=1/OH^2 (D)'
(A)'(D)'を(E)の範囲でXY平面上に描くことにより
((A)'の短軸の長さ)/2＜((D)'の半径)＜((A)'の長軸の長さ)/2
∴…

No.31883 - 2015/06/23(Tue) 08:13:10

☆ Re: 積分 / トラス

ありがとうございました！

No.31892 - 2015/06/23(Tue) 17:47:49