(1)nを2以上の整数とするとき，(log(n))/(n-1)>(log(n+1))/n が成り立つことを示せ．
(2)nを3以上の整数とするとき，(n!)^2>n^n が成り立つことを示せ．
(1)のlogの底はeです．解答よろしくお願いします．
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No.32156 - 2015/07/14(Tue) 23:30:48
| ☆ Re: 数?Vの問題です / X | | | (1)
f(x)={log(x+1)}/x
と置いて、x≧1においてf(x)が単調減少
であることを示します。
(f(x)の増減表を書きましょう。)
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No.32160 - 2015/07/15(Wed) 06:46:48 |
| ☆ Re: 数?Vの問題です / 歌声喫茶 | | | (1)y=log(x+1)の凸性に注目して、
この曲線上の2点(0,0)(n,log(n+1))を結ぶ直線の傾きは単調減少、とするとちょっと楽かも。
(2)あまりいい方針でない気もしますがとりあえず。
まずは対数を取りたくなります。
2(log1 + log2 + … + logn) > nlognを示せればよい。
ここでlog1 + log2 + … + logn > ∫[2→n+1]log(x-1)dx = nlogn - n + 1なので(図を描いて面積比較してみてください)
2(log1 + log2 + … + logn) > 2nlogn - 2n + 2
ここで2nlogn - 2n + 2 - nlogn = n(logn - 2) + 2
e < 2.8ゆえ e^2 < 7.84 なのでひとまずn≧8でn(logn - 2) + 2 > 0 なので2(log1 + log2 + … + logn) > 2nlogn - 2n + 2 > nlognがわかる。あとはn=3,4,5,6,7のときを確かめる。
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No.32166 - 2015/07/15(Wed) 20:50:06 |
| ☆ Re: 数?Vの問題です / IT | | | (2)の別解
(n!)^2 片方のn!を逆順にして
=Π[k=1..n]{k(n-k+1)}
=(n^2)Π[k=2..n-1]{k(n-k+1)}
f(k)=k(n-k+1)とおくとy=f(k)のグラフは上に凸の放物線,またf(2)=f(n-1)なので
k=2..n-1でf(k)≧f(2)=2(n-1)よって
≧(n^2)Π[k=2..n-1]{2(n-1)}
n≧3なので2(n-1)＞n よって
＞(n^2)Π[k=2..n-1]n＝n^n
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No.32169 - 2015/07/15(Wed) 22:01:18 |
| ☆ Re: 数?Vの問題です / tiao | | | No.32173 - 2015/07/15(Wed) 23:59:17 |
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