ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数Aの質問です。 / komura

46が分かりません。解説を見て円順列を作ると裏返して同じになるものが2個ずつできるという意味が分かりませんでした。

No.31696 - 2015/06/10(Wed) 23:08:59

☆ Re: 数Aの質問です。 / X

問題は色の異なる7個の玉を単に円上に並べるのではなくて
首輪を作るという条件がついています。
ですので円上に並べた場合には異なる円順列であっても
裏返した場合に同じになるものは除かなくてはなりません。
その意味で
裏返して同じ「円順列」になるものが2つできる
と解説には書かれてあります。

No.31699 - 2015/06/10(Wed) 23:18:36

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

ありがとうございますm(_ _)m

No.31700 - 2015/06/11(Thu) 09:30:46

★ 数学?V / なにゃら

問7を教えてください。
今日授業でやったのですがよくわかりません

No.31685 - 2015/06/09(Tue) 20:54:19

☆ Re: 数学?V / なにゃら

今日習ったこの公式を使ってくれると嬉しいです

No.31686 - 2015/06/09(Tue) 20:54:54

☆ Re: 数学?V / ヨッシー

その公式の根本を理解していないと、なかなか応用しづらいでしょう。
f(x) の原始関数を F(x) とすると
　(公式の左辺)＝(d/dx)(F(x)－F(a))＝f(x)
となります。(F(a) は定数なので、微分すると消えます)

問題に戻ると、
f(x)＝log(x) とし、f(x) の原始関数を F(x) とすると、
　ｙ＝F(x^2)－F(x)
これをｘで微分すると
　dy/dx＝2xf(x^2)－f(x)
　　＝2x・log(x^2)－log(x)
　　＝(4x-1)log(x)
となります。

No.31687 - 2015/06/09(Tue) 22:49:47

☆ Re: 数学?V / なにゃら

根本からよくわかりました！
すごいスッキリしました！ありがとうございます

No.31688 - 2015/06/09(Tue) 23:09:13

★ 整数問題至急よろしくお願いします / るろ

N=2^n(ただし，nは自然数)とおくとき，2015^Nを2^27で割った余りをR(n)とする．
(1)R(18)を求めよ．必要なら2015=2^11-33を用いよ．
(2)R(n)=1を満たすnを求めよ．

これの(2)が分かりません
よろしくお願いします

No.31681 - 2015/06/08(Mon) 22:46:09

☆ Re: 整数問題至急よろしくお願いします / 今月号は

やたら（別の掲示板でも）各問を質問してるのが散見されるんだけれども、これ全部同じ人が質問してたとしたらすごく必死でおもしろいのになあって思います。

No.31683 - 2015/06/09(Tue) 04:10:23

★ 内分点の作図 / まゆ

問題
∠ＸＯＹの内部にある点をＰとする。辺ＸＯ、辺ＹＯ上の点をそれぞれＡ，Ｂとする。このとき点Ｐが線分ＡＢの３：２の内分点となるように線分ＡＢを作図する。

よろしくお願いいたします。

No.31673 - 2015/06/08(Mon) 11:45:36

☆ Re: 内分点の作図 / ヨッシー

もっとスマートな方法があるかもしれませんが、

※手違いでＦが２個ありますが、文脈や図から判断して下さい。
また、途中のＰＥ＝ＣＧはＰＦ＝ＣＧの誤りです。

＜解説＞

ＡＰ：ＰＢ＝３：２　となる点Ａ，Ｂが描けたとし、
図のように、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｘ，ｙを決めます。
メネラウスの定理より、
　(y/x){(c-d)/d}{b/(a+b)}＝１　　・・・(1)
　(2/3)(c/d)(b/a)　　　　・・・(2)
(2) よりｄ：ｂ＝２ｃ：３ａ　なので、
　ｄ＝2kc、ｂ＝3ka
とおきます。
(1) に代入して
　(y/x){(c-2kc)/2kc}{3ka/(a+3ka)}＝１
整理して
　(y/x){(3-6k)/(2+6k)}
　ｘ：ｙ＝(3-6k)：(2+6k)
これより
　(x+y)/x＝５：３－６ｋ
ここで、
　ｘ＋ｙ＝ＣＤ＝５
とすると、
　ｘ＝３－６ｋ
であり、ｂ＝3ka であるので、３ｋ＝ｍとすると、
　ｘ＝３－２ｍ
　ｂ＝ｍａ
となるので、上のような作図となります。

なお、等分する、平行線を引くなど基本的な作図は省略しました。

No.31676 - 2015/06/08(Mon) 17:08:09

☆ Re: 内分点の作図 / まゆ

詳細なご解説をして頂き、ありがとうございます。

助かりました。

No.31684 - 2015/06/09(Tue) 15:27:01

☆ Re: 内分点の作図 / ヨッシー

蛇足ながら、一般的に、ＡＰ：ＢＰ＝ｍ：ｎとなるような点Ａの取り方を調べてみました。

ＡＰ：ＰＢ＝ｍ：ｎ　となる点Ａ，Ｂが描けたとし、
図のように、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｘ，ｙを決めます。
メネラウスの定理より、
　(y/x){(c-d)/d}{b/(a+b)}＝１　　・・・(1)
　(n/m)(c/d)(b/a)　　　　・・・(2)
(2) よりｄ：ｂ＝nc：ma　なので、
　ｄ＝knc、ｂ＝kma
とおきます。
(1) に代入して
　(y/x){(c-knc)/knc}{kma/(a+kma)}＝１
整理して
　(y/x){(m-kmn)/(n+kmn)}＝１
　ｘ：ｙ＝(m-kmn)：(n+kmn)
これより
　(x+y)/x＝(m+n)：(m－kmn)
ここで、
　ｘ＋ｙ＝ＣＤ＝ｍ＋ｎ
とすると、
　ｘ＝ｍ－kmn
であり、ｂ＝kma であるので、km＝ｔとすると、
　ｘ＝ｍ－ｔｎ
　ｂ＝ｔａ
となるので、
ＣＤを(m+n)等分し、Ｃからｍ個目の点をＦ、１個目の点をＧとします。
ＰＦをｎ等分した長さをＣからＤ方向に取り、ＣＨとします。
Ｈを通って、ＯＧに平行な直線とＯＸの交点をＩとし、
ＣＡ＝ＣＩとなる点Ａを、Ｃから見てＩと反対側に取ります。
ＡＰとＯＹの交点がＢとなります。

図は、７：２に内分する場合の作図です。

No.31693 - 2015/06/10(Wed) 17:13:13

★ (No Subject) / アカシロトモ

問題　
ｆn(x)=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+・・・+x^n/n! （nは自然数）
このとき方程式fn(x)=0は、nが奇数ならばただひとつの実数解をもち、nが偶数ならば実数解をもたないことを証明せよ。

よろしくお願いいたします。

No.31665 - 2015/06/07(Sun) 20:26:12

☆ Re: / らすかる

nが奇数のとき、lim[x→±∞]f[n](x)=±∞（複号同順）ですから
f[n](x)=0は少なくとも一つの実数解を持ちます。…(1)

f[1](x)=0は解x=-1を持ち、またy=f[1](x)は増加関数です。
nが偶数かつy=f[n-1](x)が増加関数で、f[n-1](x)=0がちょうど一つの解を持つならば
f[n-1](x)=0の解をα[n-1]とするとf[n-1](α[n-1])=0ですから
f[n](α[n-1])=f[n-1](α[n-1])+(α[n-1])^n/n!＞0
f'[n](x)=f[n-1](x)
からf[n]はx＜α[n-1]で減少し、x=α[n-1]で正の極小値をとり、
x＞α[n-1]で増加します。
従ってnが偶数かつf[n-1](x)が増加関数ならばf[n](x)は常に正の値をとりますので
実数解を持ちません。
nが奇数かつf[n-1](x)が常に正ならば、f[n](x)=0は増加関数ですから
(1)と合わせてただひとつの実数解を持ちます。
よって数学的帰納法によりすべてのnについて命題が成り立ちます。

# なんかまとめ方がうまくない気がしますので、
# 適当にまとめ直して下さい。

No.31668 - 2015/06/07(Sun) 21:07:31

☆ Re: / アカシロトモ

らすかる　さん

　詳しい回答ありがとうございました。
じっくりと読ませていただいて、
理解できるようにしたいと思います。
　いつもありがとうございます。

No.31670 - 2015/06/07(Sun) 21:44:41

★ (No Subject) / ao

画像の問題を(2)までといたのですがあっていますか

No.31663 - 2015/06/07(Sun) 11:49:54

☆ Re: / X

問題文をよく読みましょう。
題意からfはrのスカラー関数ではありますが
f=r
ということではありません。
ということで
(1)
∇f=(∂f/∂x)↑i+(∂f/∂y)↑j+(∂f/∂z)↑k
=(∂r/∂x)f'↑i+(∂r/∂y)f'↑j+(∂r/∂z)f'↑k
=(x/r)f'↑i+(y/r)f'↑j+(z/r)f'↑k
=(f'/r)↑r
(2)
Δf=∇・∇f
=(∂/∂x){(x/r)f'}+(∂/∂y){(y/r)f'}+(∂/∂z){(z/r)f'}
=f'{(∂/∂x)(x/r)+(∂/∂y)(y/r)+(∂/∂z)(z/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
=(f'/r^2){(r-(x^2)/r)+(r-(y^2)/r)+(r-(y^2)/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
=(f'/r^2)(3r-r)+f"{(x/r)^2+(y/r)^2+(z/r)^2}
=2f'/r+f"

No.31664 - 2015/06/07(Sun) 16:27:21

☆ Re: / ao

=(f'/r^2){(r-(x^2)/r)+(r-(y^2)/r)+(r-(y^2)/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
の部分ですが
(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
とr^2になりませんか

No.31667 - 2015/06/07(Sun) 21:03:36

☆ Re: / X

>>(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
>>とr^2になりませんか
(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
+r^2
という意味であればそうはならないと思います。
どのような計算でこの結果を得たのか過程を
アップしてもらえますか？
或いは模範解答がそのようになっているのでしょうか？

No.31669 - 2015/06/07(Sun) 21:43:52

☆ Re: / ao

申し訳ないです、計算式を見間違えていました
計算してみたら同じ答えになりました
それと(3)を画像のように解いて見たのですがわかりません
教えてください、よろしくお願いします

No.31671 - 2015/06/07(Sun) 22:39:12

☆ Re: / X

球座標で計算するのであれば、ヤコビヤンである
(r^2)sinθ
を被積分関数にかけないといけません。
その点に注意してもう一度計算し直してみて下さい。

それから(2)の結果を使おうとしているのは
問題ないのですが、fはrのみの関数ですので
f',f"
はいずれも偏微分ではなくて常微分です。
間違えて偏微分の記号を使わないようにしましょう。

No.31672 - 2015/06/08(Mon) 00:13:14

☆ Re: / ao

∫[0→a](2f'/r+f'')r^2dr
をどのように計算すればいいのかわかりません

No.31674 - 2015/06/08(Mon) 14:22:44

☆ Re: / X

∫[0→a](2f'/r+f'')r^2dr=∫[0→a]{2rf'+(r^2)f''}dr
=[(r^2)f'][0→a] (∵)積の微分
=(a^2)f'(a)
となります。

No.31675 - 2015/06/08(Mon) 14:47:59

☆ Re: / ao

詳しく教えていただきありがとうございます

No.31677 - 2015/06/08(Mon) 20:31:01

★ 数列 / ふぇるまー

いつもお世話になってます。
質問です。
問?@　a[1]=1,a[n+1]=a[n]/a[n]+2　(n=1,2,3,…)
で定められる数列{an}がある。
(1) b[n]=1/a[n]とすると、　b[n+1]とb[n]の関係式を求めよ。
(2)　数列{an}の一般項　a[n]=?

問?A　数列{an}の初項から第n項までの和S[n]が　a[n]=2Sn+an-3(n=1,2,3,…)を満たすとき、
a[n]=?
以上ご教授をできれば、(月)ぐらいまでご返事戴きたいのです。

No.31659 - 2015/06/07(Sun) 00:00:17

☆ Re: 数列 / X

問1
>>a[n+1]=a[n]/a[n]+2
を
a[n+1]=a[n]/(a[n]+2)
のタイプミスと見て回答します。
(1)
条件のとき問題の漸化式は
1/b[n+1]=(1/b[n])/(1/b[n]+2)
これより
b[n+1]=2b[n]+1
(2)
(1)の結果を使ってb[n]を求めます。
但し
b[1]=1/a[1]=1
に注意します。

問2
問題文にタイプミスはありませんか？
必要な括弧はきちんと付けて下さい。

No.31660 - 2015/06/07(Sun) 02:15:48

☆ Re: 数列 / ふぇるまー

すいませんでした。自己解決いたしましたので大丈夫でございます。ありがとうございました。

No.31666 - 2015/06/07(Sun) 20:39:20

★ (No Subject) / ao

画像の連立微分方程式の問題で
左は行列からλを求めて、右は演算子から求めたのですが一致しません
右が間違っていると思うのですがどこが間違っていますか

No.31653 - 2015/06/06(Sat) 21:21:46

☆ Re: / X

左の計算では行列を対角化する際に
(x[1],x[2],x[3])
を別のベクトルに変換します。
これに対して右の計算では
x[1],x[2],x[3]を別の変数に変換していない
ので、一致していないのは当然です。

No.31655 - 2015/06/06(Sat) 21:38:14

☆ Re: / ao

λは同じにならないのですか
よくわからないのですがどのように書いたらいいのでしょうか

No.31656 - 2015/06/06(Sat) 21:43:44

☆ Re: / X

ごめんなさい。勘違いをしていたようです。
確かに右の計算でλに対応する値が演算子に絡んで
現れないとおかしいですね。

では何故λ=1が現れないかですが以下の通りです。
左の計算においてλ=1に対応する固有ベクトルを求めると
(0,1,1)
従ってx[1]についてはλ=1に関する項、つまり
e^t
の項が消えますので、右側の計算でλ=1に対応する部分は現れません。

ちなみにλ=i,-iについてですが、右の計算において
(D+1/D)x[1]=0
から
(D^2+1)x[1]=0
∴(D+i)(D-i)x[1]=0
となり、対応する部分が現れています。

No.31658 - 2015/06/06(Sat) 22:44:46

☆ Re: / ao

ありがとうございます

No.31662 - 2015/06/07(Sun) 11:47:44

★ (No Subject) / さくら

写真の図で、ある本に、頂点2,3,...から辺ABまでの距離について、
|2AB| < |3AB|<....
が成立しする。同様に反対側でも
∠n1A < ∠ (n-1)1A < …… ?@
∠n1B < ∠ (n-1)1B<…… ?A
・
・
と書いてありました。どうしても?Aの意味が分かりません教えて下さい

No.31639 - 2015/06/05(Fri) 22:13:07

☆ Re: / らすかる

距離ではなく、角度では？
それと、下に ∠21B＜∠31B＜… と書いてありますが、
|2AB|＜|3AB|＜… は間違いではありませんか？
もしそうだとすると、成り立つのは
∠n1A＜∠(n-1)1A＜… と
∠n1B＞∠(n-1)1B＞…
で、不等号の向きが逆だと思います。

No.31642 - 2015/06/05(Fri) 23:31:19

★ 自作問題です！ / Π

自作問題です！
難易度判断と解答をお願いします
高校範囲の問題です
1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0…
と1が一つずつ増えていく数列をCnとする
この数列の一般項を求めよ
ただし場合分け、ガウス記号、絶対値記号などは無しでお願いします

No.31637 - 2015/06/05(Fri) 19:47:46

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

難易度は「など」の内容によると思います。
（条件をつけるならば、「使ってよいもの」を全部書くのが良いと思います。）

No.31638 - 2015/06/05(Fri) 21:08:07

☆ Re: 自作問題です！ / Π

そうですね、確かに説明が不十分でした。
数3数2数1数A数Bのうちのガウス記号、場合分け、絶対値記号以外を使ってお願いします。

No.31640 - 2015/06/05(Fri) 22:29:37

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

では、G.C.D.(a,b)とかΣや∫は使って良いのですね？

# それを使った解答があるというわけではありません。
# 確認せずに考えても無駄になる可能性がありますので、
# 考える前にきちんと確認したいだけです。

No.31641 - 2015/06/05(Fri) 23:26:53

☆ Re: 自作問題です！ / Π

返信遅れてすみません！
つかって大丈夫です！
お願いします

No.31643 - 2015/06/06(Sat) 07:27:51

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

ガウス記号と場合分けと絶対値以外何でもありならば、例えば
C[n]=1-lim[m→∞]{cos((√(8n+9)-3)π/2)}^(2m)
難易度は、こういう類の問題を高校まででは習わないことを考えれば、
高校生以下には難しいと思います。

No.31644 - 2015/06/06(Sat) 09:57:37

☆ Re: 自作問題です！ / Π

逆関数を使う自分的に新鮮な問題だったので質問させてもらいました！
僕は高校3年なのですが、独学でしか数学をやってないので、あんまりわからないんですけど、やはり、あまり高校範囲でやらないんですか…
らすかるさんは高校生じゃないのかなって思い質問なんですけど大学にはいったらこのような考え方もするんですか？

No.31649 - 2015/06/06(Sat) 15:04:10

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

大学でも、そういう特殊な数列に対して
「この数列を表す式を作れ」というような問題は
扱わないと思います。
私個人的にはその類の問題を考えたことは数多くありますし、
人の自作問題でも見たことはありますが、
数学的な価値があまりありませんので
学校ではやらないでしょうね。

No.31651 - 2015/06/06(Sat) 19:39:43

☆ Re: 自作問題です！ / Π

そうなんですか、わかりました(￣^￣)ゞ
ありがとうございましたm(_ _)m
らすかるさんは理学部の方ですか？教えていただければ光栄です！

No.31652 - 2015/06/06(Sat) 20:33:19

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

個人情報については控えさせていただきます。

No.31654 - 2015/06/06(Sat) 21:26:41

☆ Re: 自作問題です！ / Π

わかりましたm(_ _)m
失礼な質問すみませんでした(´･_･`)

No.31657 - 2015/06/06(Sat) 22:38:41

★ (No Subject) / さくら

最大の正多角形は正方形の対角線を対称軸としてもつ
という定理があります。証明をしていく中で、8角形や12角形の内接円と正方形の内接円が同じになるとあるのですが
、いまいち分かりません
図でも構いませんので、教えてください

No.31625 - 2015/06/05(Fri) 09:22:48

☆ Re: / ヨッシー

>最大の正多角形
とは何ですか？

どんな本に出てきた、また、どんな問題を解く時に使われる定理でしょうか？

No.31626 - 2015/06/05(Fri) 09:27:35

☆ Re: / さくら

説明分かりにくくてすみません。
正方形に内接する正多角形のことです。
折紙を使った証明で出てきます！

No.31627 - 2015/06/05(Fri) 09:55:26

☆ Re: / ヨッシー

図は正８角形、正１２角形、正２４角形の例です。
４辺が正方形の辺と重なっているとき、各正多角形の内接円と
正方形の内接円が一致します。

内接円の半径が大きいほど、正多角形の１辺も大きく、また、
正方形の内部に描ける円で、半径が最大のものは内接円であるので、
図のような状態で、各正多角形の１辺が最大になります。

No.31629 - 2015/06/05(Fri) 10:49:24