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★ (No Subject) / 高校2年
こちらが解答です
No.31249 - 2015/04/25(Sat) 17:16:15
★ 等差数列の和 / 高校2年
2年生に進級後の初めて質問となります。今年度もよろしくお願いします。
(1)の項数はどうやって求められたんですか？
2n+1=2(n+1)-1を計算すると0になるのですが、n+1とはどうやって計算したら出てきますか？
回答よろしくお願いしますm(__)m
No.31248 - 2015/04/25(Sat) 17:14:55
☆ Re: 等差数列の和 / X
>>(1)の項数はどうやって求められたんですか？
1から1づつ増加させた値をnまで足されているので
項数はnです。

>>2n+1=2(n+1)-1を計算すると0になるのですが、〜
2n+1=2(n+1)-1
は方程式ではなくて2n+1を変形して
2(n+1)-1にした、という意味です。


それと、次回から同じ質問に対する補足事項を
アップする場合は、新しくスレを立てるのではなく
スレの右上にある「返信」のボタンを押してから
アップしましょう。
No.31251 - 2015/04/25(Sat) 19:59:04
☆ Re: 等差数列の和 / 高校2年
回答ありがとうございました。
補足の件は以後気をつけますm(__)m
No.31258 - 2015/04/26(Sun) 14:59:22
★ 円を当分する。 / 三村正男
横置きの灯油タンクに油面計付けたい。
円の面積を水平にｎ等分する、計算方法を教えてください。
No.31244 - 2015/04/22(Wed) 18:04:13
☆ Re: 円を当分する。 / X
簡単のため円の半径を1として考えます。
今、座標平面上に円
x^2+y^2=1
を考え、
点P[k](x[k],0)(k=0,1,…,n,x[0]=-1,x[n]=1)
を通るy軸平行の直線
x=x[k] (A)
によって面積がn等分されるとします。
このとき、(A)に分割された左側の領域の面積について
2∫[-1→x[k]]√(1-x^2)dx=kπ/n
これより
x[k]√{1-(x[k])^2}+arcsinx[k]+π/2=kπ/n (B)
(積分の計算過程は省略します。)
(B)をx[k]についての方程式を見て解くわけですが
これは近似的にしか解くことができません。
具体的な値を代入した数値計算に頼るしかない
ようです。

ちなみにx[k]の値が求められた場合の
その後の処理ですが、
灯油タンクの側面の円の半径をrとすれば
タンクの底からk番目の油面の高さh[k]は
h[k]=r(x[k]+1) (C)
として計算できます。
ですので(B)(C)からx[k]を消去して
(h[k]/r-1)√{1-(h[k]/r-1)^2}+arcsin(h[k]/r-1)+π/2=kπ/n
をh[k]についての方程式と見て解いても構いません。
No.31245 - 2015/04/22(Wed) 18:34:08
☆ Re: 円を当分する。 / らすかる
具体値を計算してみると、（直径の両端を0と1として）
三等分点
0.36753395770, 0.63246604230
四等分点
0.29801362335, 0.5, 0.70198637665
五等分点
0.25406908362, 0.42113190310, 0.57886809690, 0.74593091638
六等分点
0.22335364385, 0.36753395770, 0.5, 0.63246604230, 0.77664635615
七等分点
0.20046970974, 0.32826108757, 0.44378145212, 0.55621854788,
0.67173891243, 0.79953029026
のようになるようです。
No.31246 - 2015/04/22(Wed) 19:32:47
☆ Re: 円を当分する。 / らすかる
具体的な計算方法
面積の割合がt（0＜t＜1）となる水平線の
直径に対する割合x（0＜x＜1）を求めるには、
a={3arccos(1-2t)-πt}/2
b={sin(2a)-2acos(2a)+2πt}/{2-2cos(2a)}
c={sin(2b)-2bcos(2b)+2πt}/{2-2cos(2b)}
d={sin(2c)-2ccos(2c)+2πt}/{2-2cos(2c)}
x=(sin(d/2))^2
とすれば実用的に十分な精度で求まります。
No.31247 - 2015/04/23(Thu) 01:45:49
★ 漸化式について / おまる
いつもお世話になっております。
ある部分の記述でよくわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の記述を通して読んだのですが、結局言いたいことはα[n+1]=f(a[n])の収束発散と、y=f(x)とy=xにおいて作図した結果交点に近づいていくか遠のいていくかは対応している(交点に近づいていくとき収束して、遠のいていくとき発散する)ということが言いたいのでしょうか？
あやふやなのでよろしくお願いします。
No.31241 - 2015/04/21(Tue) 20:22:20
☆ Re: 漸化式について / ヨッシー
そういうことですね。

それプラス、収束する場合は、交点(のｘ座標＝ｙ座標)に収束する、と言うことです。
No.31242 - 2015/04/21(Tue) 20:35:43
☆ Re: 漸化式について / おまる
なるほど、どうもありがとうございました。
自分の考えがあっていたので安心しました。
No.31243 - 2015/04/22(Wed) 01:02:41
★ 整数の性質 / るろうにん
他の方の記事で
「Ｃ＋ＤとＣＤが１以外の公約素因数 a を持つとすると
Ｃ＝ma または Ｄ＝na 」とあったのですが、なぜこういえるのでしょうか？

Ｃ＋Ｄが１以外の公約素因数 a を持つ
⇔C,Dともにaを素因数にもつ

ＣＤが１以外の公約素因数 a を持つ
⇔CまたはDがaを素因数にもつ

ことはわかりますが・・

よろしくおねがいします
No.31238 - 2015/04/19(Sun) 13:20:05
☆ Re: 整数の性質 / らすかる
> Ｃ＋Ｄが１以外の公約素因数 a を持つ
> ⇔C,Dともにaを素因数にもつ
「C,Dともにaを素因数にもつ」ならばC=ma,D=naと書けますね。
No.31239 - 2015/04/19(Sun) 17:36:42
☆ Re: 整数の性質 / ヨッシー
>Ｃ＋Ｄが１以外の公約素因数 a を持つ
>⇔C,Dともにaを素因数にもつ
は正しくありません。
（反例）Ｃ＝３，Ｄ＝５、ａ＝２

元の記事は、こちらだと思いますが、
この場合、Ｃ＝ma または Ｄ＝na はＣＤが素因数ａを持つならば、
から来ています。
ＣＤ＝ａ×(整数) の形に書けますが、ａはこれ以上素因数分解できないので、
Ｃがａの倍数となるか、Ｄがａの倍数になるかしかないのです。
No.31240 - 2015/04/20(Mon) 16:53:08
★ ユニタリ行列の求め方 / たかよ
A:=
5/3,(1+i)/6,(-1-i)/2
(1-i)/6,11/6,1/2
(-1+i)/2,1/2,5/2

Λ:=
2,0,0
0,3,0
0,0,1

に於いて,

A=U^*ΛU
なる3×3ユニタリ行列Uはどのようにして求めればいいのでしょうか?

是非,ご教示下さい。
No.31237 - 2015/04/19(Sun) 09:26:30
★ 2次関数、集合 / ふぇるまー
問?@　放物線y=ax^2+bx+cをC1,放物線y=x^2-5x+6をC2とする。C1をx軸に関して対称移動をして、その後でx軸方向に1だけ平行移動したところC2になった。このとき、a,b,cの値を求めよ。

問?A　次の命題の真偽を述べよ。但し、xとyは実数、a,b,cは整数である。

(1)　x+y,xyがともに有理数ならば、xとyはともに有理数である。
(2)　a^2+b^2+c^2が偶数ならば、a,b,cのうち少なくとも1つは偶数である。

質問は以上です。宜しく御願いいたします。
No.31234 - 2015/04/18(Sat) 16:57:31
☆ Re: 2次関数、集合 / X
問1
条件からC2の方程式をC1の方程式に変形します。

条件からC2をx軸方向に-1だけ平行移動させた曲線
の方程式は
y=(x+1)^2-5(x+1)+6
これをx軸に関し対称移動させた曲線の方程式は
-y=(x+1)^2-5(x+1)+6
後はこれを整理してC1の方程式と係数を比較します。

問2
(1)
命題は偽です。
∵)
x+y=1,xy=1のとき
解と係数の関係からx,yは
tの二次方程式
t^2-t+1=0 (A)
の解。
しかし(A)の解の判別式をDとすると
D=1-4=-3＜0
∴(A)は実数解を持ちません。
(2)
a,b,cが全て奇数と仮定すると
a^2+b^2+c^2は奇数となり矛盾。
よって背理法により命題は真です。
No.31235 - 2015/04/18(Sat) 17:25:53
☆ Re: 2次関数、集合 / ふぇるまー
X様、いつもありがとうございます。日々精進致します。
No.31236 - 2015/04/19(Sun) 00:06:09
★ (No Subject) / とら
ヨッシーさん、いつもお世話になります。
いつもとても分かりやすく教えていただいてとても助かっています。


早速ですが、連立不等式の質問があるのですが、
東京医科歯科の９８年の問題からのようなのですが


「定点Ｏを中心とする半径４の円をＦとし、点Ｏからの距離が２の定点Ｈをとる。点Ｈを内部に含み、円Ｆに含まれるような円Ｇ全体を考え、それらの中心Ｐが作る図形を求めよ。」
という問題です。

私は、円Ｇの半径と、円Ｆと円Ｇの中心間距離、中心点Ｐと点Ｈとの距離関係とで、円Ｇの半径をｒとして、連立不等式
ＯＰ ＜＝ ４−ｒ
ＰＨ ＜ ｒ
を作って、これを解いて答としようと思ったのですが、半径ｒをどう表していいか分からず途方にくれました。

解答を見ると、上の連立不等式から、
ＰＨ＜４−ＯＨ
を作り、それを解いておしまいとなっているのですが、どうしてそのような変形をしてよいのかが理解できずにいます。
その変形だと、ゆるい条件設定になってしまうように思うのですが、もしよりしかったら、なぜこの変形が問題ないのか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願いします。
No.31226 - 2015/04/16(Thu) 19:25:13
☆ Re: / ヨッシー
たとえば、３より小さい数ｘと、２より小さい数ｙがある時
ｘ＋ｙの取り得る範囲は？と聞かれたら、
　ｘ＜３、　ｙ＜２
より、小さい方どうし、大きい方どうし足しても不等号は
変わらないので、
　ｘ＋ｙ＜３＋２
　ｘ＋ｙ＜５
となるのは良いですか？
また、
　ｘ≦３、　ｙ≦２
だと、ｘ＋ｙ≦５　で、等号はｘ＝３，ｙ＝２ のときです。
では、
　ｘ≦３、　ｙ＜２
　ｘ＜３、　ｙ≦２
の場合はどうかというと、
　ｘ＋ｙ＜５
であるのは明らかですが、ｘ＋ｙ≦５ と書けるかというと、
ｘ＋ｙ＝５ となることがあるかどうかが、ポイントですが、
そうはならないことが分かります。

片方が≦でも、他方が＜であれば、足した結果は＜となります。
No.31227 - 2015/04/16(Thu) 19:36:06
☆ Re: / X
質問意図を読み違えていたらごめんなさい。


件の連立不等式より
PH＜r (A)
r≦4-OP (B)
このようなrが存在するための条件のみ
考えればよいことになります。
(他に必要な条件はありませんので。)
ということで(A)の不等号の下に
等号がないことに注意すると
(A)の左辺と(B)の右辺の大小関係
について
PH＜4-OP
となります。
No.31228 - 2015/04/16(Thu) 19:43:07
☆ Re: / とら
ヨッシーさん、すみません、上で間違って別口で投稿してしまいました。削除くださいませんでしょうか。すみません。


ヨッシーさん、ｘさん、早速ありがとうございます。


はい、不等号のイコールがなくなるのは分かるのですが、なぜｒを飛ばしていいのかが分からなくて、
私の作った連立不等式は、変形してまとめると、

ＰＨ ＜ ｒ ＜＝ ４−ＯＰ

となると思うのですが、答の不等式はこの真ん中の辺のｒを飛ばして左と右をくっつけているわけですが、それは出来ないのではないかと感じているのです。

例えば、ｂ＜４＜ｃとあったとき、ｂ＜ｃとするのは 、必要十分ではないと思います。


なぜ、答にあるような変形が可能なのでしょうか。
教えていただけましたら嬉しいです〜（泣）
No.31230 - 2015/04/16(Thu) 20:26:13
☆ Re: / X
>>私の作った連立不等式は、変形してまとめると、
>>ＰＨ ＜ ｒ ＜＝ ４−ＯＰ
>>となると思うのですが、
そうはなりません。

飽くまで成立するのは
PH＜r (A)
かつ
r≦4-OP (B)
であって、ここから無条件に
PH＜r≦4-OP (C)
が成立するわけでなく
(A)(B)を満たすrが「もし」存在するのであれば、
という条件がつきます。
それゆえ(C)が成立するための条件として
PH＜4-OP
が導かれています。
最初から(C)ありきで、(C)からrを引っこ抜いて
導かれたものではないことに注意して下さい。
No.31231 - 2015/04/16(Thu) 20:59:44
☆ Re: / とら
なるほどです〜

最初から(C)ありきで、(C)からrを引っこ抜いて
導かれたものではない、と言われて少し安心しました。

でも、まだｘさんのほかの部分の説明をよく理解できていませんから、今からよく考えたいと思います。

考えてもまだ分からなかったら、また質問させてください〜！
No.31232 - 2015/04/16(Thu) 21:22:03
★ (No Subject) / エセプト
画像の問題の(1)を解いて見たのですがあっていますか
No.31218 - 2015/04/15(Wed) 11:27:28
☆ Re: / エセプト
解答です
No.31219 - 2015/04/15(Wed) 11:28:21
☆ Re: / X
6行目までの計算で正解です。
7行目以降の計算は蛇足な上に計算を
誤っています。
No.31220 - 2015/04/15(Wed) 13:27:48
☆ Re: / エセプト
e^-|x|と絶対値なのでxが+の場合と-の場合で考えなくてもいいのですか
No.31221 - 2015/04/15(Wed) 14:19:44
☆ Re: / X
ごめんなさい。被積分関数が
e^(-|x|)
のみであれば偶関数ですので、積分範囲の対称性から
x≧0の場合のみを考えればよいのですが、この問題では
そうはなっていませんね。
ご指摘の通り、xの符号による場合分けが必要になり

F(p)=∫[-∞→0]e^{(1-ip)x}dx+∫[0→∞]e^{(-1-ip)x}dx
=…
となります。
No.31223 - 2015/04/15(Wed) 15:04:13
☆ Re: / エセプト
そのように計算すればいいのですね
理解できました、ありがとうございます
No.31224 - 2015/04/15(Wed) 15:32:42
★ (No Subject) / ぽー
面積１の△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ上に１点Ｐをとり、Ｐを通り辺ＢＣに平行な直線と辺ＡＣの交点をＱとする。さらに、線分ＰＱの中点に関してＡと対称な点をＲとする。点ＰがＡＢ上を動くとき、△ＡＢＣと△ＰＱＲの共通部分の面積Ｓの最大値を求めよ。

答えは、１／３　になるようなのですが、途中が、まったくわかりません。すみませんが、解説をお願いいたします・・
No.31213 - 2015/04/13(Mon) 16:09:02
☆ Re: / ヨッシー

ＡＰ＝ｓＡＢ　(０＜ｓ＜１）　とおきます。
ｓ≦1/2 の時は、Ｓ＝△ＰＱＲ＝△ＰＱＡ＝s^2△ＡＢＣ
なので、最大は s=1/2 の時の 1/4

ｓ＞1/2 のとき
△ＰＱＲ の内部で、△ＡＢＣからはみ出す部分の面積は
　(2s-1)^2△ＡＢＣ
であるので、
　Ｓ＝△ＰＱＲ−(2s-1)^2△ＡＢＣ
　　＝{s^2−(2s-1)^2}△ＡＢＣ
　　＝−3s^2＋4s−1
　　＝−3(s−2/3)^2＋1/3
より、ｓ＝3/2 のとき　Ｓの最大値 1/3
1/3＞1/4 より、Ｓの最大値は1/3
No.31214 - 2015/04/13(Mon) 16:22:53
☆ Re: / ぽー
早々の返信、ありがとうございます。
こういうのを使うのは初めてだったので、どう書いていいか
分からず書いてしまいました。

三角形の面積を求めるところは、ＡＰ＝ｓＡＢと置いたことで、相似比がｓ：１になり、面積比がｓ＾２：１になるというりかいでいいのですかね？
No.31215 - 2015/04/13(Mon) 16:34:29
☆ Re: / ヨッシー
そういうことです。

ＲがＢＣを突き抜けるときの比率も、同様に
はみ出ている部分の比が、△ＡＢＣに対して、
2s-1：１ なので、面積比は(2s-1)^2：１ になります。
No.31216 - 2015/04/13(Mon) 17:06:55
☆ Re: / ぽー
なるほど、納得です。
こんなところで、相似比が出てくるなんて・・・。
意外な展開で驚きました。
ありがとうございました。また、何かの機会には、よろしくお願いいたします。
No.31217 - 2015/04/13(Mon) 17:11:07
★ 整数 / ふぇるまー
問?@和が406で最小公倍数が2660であるような2つの正の整数をA,Bとする。A,Bの最大公約数Gを求めよ。さらに、A,Bを求めよ。

問?A25m+17n=1623を満たす正の整数の組(m,n)を一つ求めよ。

以上です、ご教授願います。高校3年生となりました。今年度も宜しくお願い申し上げます。
No.31209 - 2015/04/11(Sat) 20:30:34
☆ Re: 整数 / ヨッシー
問１
Ａ＝ＣＧ, Ｂ＝ＤＧ （Ｃ，Ｄは自然数）とおいたとき
ＣとＤは互いに素で
　Ｇ(Ｃ＋Ｄ)＝406
　ＣＤＧ＝2660
ここで、Ｃ＋ＤとＣＤが１以外の公約素因数 a を持つとすると
Ｃ＝ma または Ｄ＝na であり、Ｃ＝ma のとき
　Ｃ＋Ｄ＝pa＝ma＋(p-m)a
となり、ＣとＤが互いに素であることに矛盾します。
Ｄ＝na の場合も同様です。
よって、Ｇは、2660と406 の最大公約数となります。

2660＝2^2×5×7×19
406＝2×7×29
より、Ｇ＝2×7＝14
このとき、Ａ＝ＣＧ, Ｂ＝ＤＧ　とおくと、
　Ｃ＋Ｄ＝29, ＣＤ＝190
よって、Ｃ、Ｄは10と19 となり、Ａ，Ｂは 140と266

問２
25m＋17n＝1623
1623＝25×64＋23
　　＝25×64＋17＋6
　　＝25×63＋17＋6＋17＋8
６に８を何回足したら17の倍数になるかを考えると
　34÷8＝4・・・2
　102÷8＝12・・・6
より１２回足したら良いことが分かり
1623＝25×52＋17×19　(52,19)
これで解答としては十分ですが、あとはm を17減らして n を25 増やしていくと
　(35, 44), (18, 69), (1, 94)
も答えであると分かります。　
No.31211 - 2015/04/11(Sat) 23:20:08
☆ Re: 整数 / ふぇるまー
ﾖｯｼｰ様、有難うございます。またお願いします。
No.31212 - 2015/04/12(Sun) 11:41:10
★ 等式を満たす整数の組 / sakana
お願いがあります。

1以上90以下の整数の組(a,b,c,d)であって,a<bかつc<dかつa<cかつ
sin a°sin b°=sin c°sin d°を満たすようなものを、(コンピュータを用いても構わないので)全て教えてください。

私は今のところ手計算で5個見つけましたが、他にもあるような気がしてなりません。

お手数をかけますが、宜しくお願い致します。
No.31203 - 2015/04/11(Sat) 06:49:39
☆ Re: 等式を満たす整数の組 / ヨッシー
(a,b,c,d)＝
(1,89,2,30),(2,88,4,30),(3,87,6,30),(4,86,8,30),(5,85,10,30),
(6,54,12,24),(6,84,12,30),(7,83,14,30),(8,82,16,30),(9,81,12,48),
(9,81,18,30),(10,80,20,30),(11,79,22,30),(12,48,18,30),(12,78,24,30),
(12,84,18,42),(13,77,26,30),(14,76,28,30),(15,75,18,54),(16,74,30,32),
(17,73,30,34),(18,72,30,36),(18,78,24,48),(19,71,30,38),(20,70,30,40),
(21,69,30,42),(22,68,30,44),(23,67,30,46),(24,66,30,48),(24,84,27,63),
(24,84,30,54),(25,65,30,50),(26,64,30,52),(27,63,30,54),(28,62,30,56),
(29,61,30,58),(30,62,31,59),(30,64,32,58),(30,66,33,57),(30,68,34,56),
(30,70,35,55),(30,72,36,54),(30,74,37,53),(30,76,38,52),(30,78,39,51),
(30,80,40,50),(30,82,41,49),(30,84,42,48),(30,86,43,47),(30,88,44,46),
(48,84,54,66)
の５１組が見つかりました。

多くは
　sinθcosθ＝(1/2)sin(2θ)
から得られる
　sinθsin(90°−θ)＝sin30°sin(2θ)
に当てはまります。
No.31206 - 2015/04/11(Sat) 07:32:37
☆ Re: 等式を満たす整数の組 / sakana
ヨッシーさん、ありがとうございます。

どれも30でないものは全部で7組なんですね。
うち3組は正五角形を考察することで自分でも求められました。
残りの4組も同様の考察で求められそうな感じなので、考えてみることにします。
No.31207 - 2015/04/11(Sat) 08:23:41
☆ Re: 等式を満たす整数の組 / らすかる
「30が含まれているもの」がすべて
sinθsin(90°-θ)=sin30°sin2θ
に当てはまるわけではありません。
(12,48,18,30)
(24,84,30,54)
の二つは上の式に当てはまりませんのでご注意下さい。
（残りの42個は当てはまります。）
No.31208 - 2015/04/11(Sat) 08:40:01
★ 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / sakana
5×5のマス目の各マスを、以下の条件を満たすように白色か黒色に塗り分けることは可能なのでしょうか？

条件：2×2のマス目からなる部分のうち、どの相異なる2つ(重なっていても構わない)に対しても、それらの塗り分けられた色のパターンは異なる。

長いこと条件を満たす塗り分け方を探しているのですが、見つかりません。そのような塗り分け方は存在しないのかもしれませんが、その証明もできません。

どなたかお分かりになる方がいらっしゃいましたら、ご教授ください。
No.31195 - 2015/04/09(Thu) 09:06:19
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / らすかる
例えば
□□□□■
□□■□■
■■■■□
■□■■□
□□□□■

回転と裏返しと白黒反転を同一視して、全部で50通りありました。
以下がその全50通りです。（色を0,1で表しています。）

00001 00011 00101 00101 00010 00010 00101 00010 00110 00110
00101 00101 00001 00111 01001 01100 01000 10011 10011 10111
11110 11100 11010 11010 11110 11110 11110 01101 00110 01100
10110 11010 11110 11000 00110 00101 11001 11100 00110 00100
00001 00011 00101 00101 00100 00100 01001 10001 11001 11001

00001 00010 00101 00001 00011 00010 00101 00010 00110 00010
00101 00110 00001 01001 01010 01100 01001 10011 10011 11010
11110 11001 11010 11110 11100 11110 11000 01111 01100 10111
11010 11101 11110 10110 01100 01001 11110 10100 01100 00011
00001 01000 01001 00001 00011 01000 00101 10001 11001 00100

00001 00010 00101 00001 00011 00010 00101 00011 00110 00101
00111 00110 00011 01001 01011 01101 01001 10011 10011 11011
10110 11011 11010 11110 11100 11001 11000 11100 10011 11000
11010 10011 11100 11010 10100 11100 11110 10101 00110 01100
00001 01000 00101 00001 00011 00100 01001 00011 11001 01001

00010 00101 00110 00010 00001 00011 00010 00001 00100 00101
00100 00001 00001 01001 01101 01101 10001 10111 10111 11110
10111 10110 11011 11001 11110 11100 10111 11010 01011 10110
01110 11110 11010 11110 10010 10010 11011 11001 11000 00001
00010 00101 01100 00100 00001 00011 00010 00001 10001 01001

00010 00101 00100 00010 00010 00011 00010 00101 00110 00101
00101 00001 00110 01001 01100 01111 10011 10011 10111 11110
11100 10110 11101 11001 01110 10100 01100 11100 00010 11010
01110 11110 01100 11110 11001 10010 11101 01100 00110 00001
01000 01001 10001 01000 01000 00011 01000 01001 11001 01001
No.31196 - 2015/04/09(Thu) 10:11:32
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / ヨッシー
私は全て区別して 800 通りと出たのですが、
線対称、点対称、90°回転で一致がないことを考慮すると、
回転４通り、裏返し２通り、白黒反転２通り　で、
　50×4×2×2＝800
なのでらすかるさんの回答と同じです。

↓例

No.31197 - 2015/04/09(Thu) 10:24:13
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / らすかる
私も最初は「800通り」になって、
その後同一視できるものを削除したら50通りになりました。
ところで、ヨッシーさんの右端の例はちょっと違いますね。
多分右端の列の真ん中が間違っているのだと思います。
No.31198 - 2015/04/09(Thu) 11:38:50
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / ヨッシー
あ、塗り忘れです。
修正しました。

ご指摘ありがとうございます。＞＞らすかるさん
No.31199 - 2015/04/09(Thu) 11:57:24
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / sakana
おお！らすかるさん、ヨッシーさん、ありがとうございます。
意外とたくさんあったんですね。驚きです。
No.31200 - 2015/04/09(Thu) 12:28:12
★ 複素数の性質 / おまる
いつもお世話になっております。
少し気になったことが2つあるので教えて欲しいです。
⑴ |α~|=|-α|=|α|(αは複素数)
⑵ |(a~)|={|α|}~=|α|(αは複素数)
はそれぞれ正しいのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.31186 - 2015/04/08(Wed) 13:49:34
☆ Re: 複素数の性質 / X
~が共役複素数を表す記号であれば(1)(2)共に成立します。
No.31188 - 2015/04/08(Wed) 13:59:39
☆ Re: 複素数の性質 / おまる
なるほど、助かりました。
どうもありがとうございました。
No.31190 - 2015/04/08(Wed) 15:23:08
★ 回転体 / Kaori-chan
画像と通りの問題です。

一応,といてみたのですが正しいか見ていただけないでしょうか・

(1) π∫[0..1](√x+3-(x^2+3))^2dx
(2) π∫[0..3](√3-x^3)^2dx,
(3) については回転軸がy軸になるようにx+y=3,2x+y=6を平行移動すると
x=-y+3-π,x=-y/2+6-π. そこで0≦y≦3と3≦y≦6との2つの部分に分けて求めると
π∫[0..3](-y/2+6-π-(-y+3-π))^2dy+π∫[3..6](π-(-y+3-π))^2dy.

(5) π∫[0..1](-2x+6-4x^2)^2dx,
(6) π∫[0..4](√(4-x)+1)^2dx-∫[3..4](-√(4-x)+1)^2dx-π∫[0..3](-x+3)^2dx
第一項で全体を求めてそれから第2項(火山の火口部分)を差し引いて,第三項で円錐部分を差し引く。

(7) x=y^2,y=x^2を平行移動してy=x^2+1,y=√x+1して,x軸を回転すればいいから.
π∫[0..1](√x+1-(x^2+1))^2dx

(8) (-2)^2π・4-1^2・π・1-π∫[1..4](-√x)^2dx
No.31185 - 2015/04/08(Wed) 11:19:20
☆ Re: 回転体 / X
(1)
立式に問題はありません。

(2)
間違えています。
領域を囲む曲線の一方は
y=√3
ではなくて
y=√x
です。
当然積分範囲も違ってきます。

(3)
回転させる直線の位置関係を間違えています。
回転軸に関して
x+y=3
は
2x+y=6
より上側にあります。

(4)
これは
底面が辺の長さaの正方形で高さがhである正四角錐の
体積が
(a^2)h/3
となることを示せ。
という問題です。

(5)
積分範囲を間違えています。問題の直線と
曲線の交点のx座標を計算し直しましょう。

(6)(7)(8)
立式に問題はありません。
No.31187 - 2015/04/08(Wed) 13:58:23
☆ Re: 回転体 / ヨッシー
(1) は２乗と３乗を取り違えています。
また、引いて２乗、ではなく２乗したもの同士で引く、です。
半径２の円盤から、半径１の円盤を繰り抜いた面積は
　π(2-1)^2＝π
ではなく
　π(2^2−1^2)＝３π
ですよね、という話です。
(2) も同様の間違いの可能性があります。
No.31189 - 2015/04/08(Wed) 14:08:59
☆ Re: 回転体 / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>Kaori-chanさんへ
ごめんなさい。(1)(2)については、ヨッシーさんの
仰るとおり立式の仕方が誤っています。
又、(2)についてはNo.31187で述べたとおり、曲線の
方程式の認識にも誤りがあります。
No.31191 - 2015/04/08(Wed) 17:20:47
☆ Re: 回転体 / Kaori-chan
大変有難うございます。

(1)はπ∫[0..1](√x+3)^2-(x^3+3)^2dx.
(2)はπ∫[0..1](x^3)^2-(√x)^2dx
(3)はπ∫[0..3](-y+3-π)^2-(-y/2+6-π)^2dy+π∫[3..6](-π)^2-(-y/2+6-π)^2dy
(4)は∫[0..h](ax)^2dxを計算して見せればいいのですね。
(5)y=4x^2,2x^2+y=6の交点は2x+4x^2=6⇒2x^2+x-3=0⇒(2x+3)(x-1)=0だから,x=1,-3/2ですよね?
π∫[0..1](-2x+6)^2-(4x)^2dx
でいいのですね?
No.31194 - 2015/04/09(Thu) 04:28:12
☆ Re: 回転体 / X
(1)(3)はそれで問題ありません。

(2)
領域を囲む曲線の位置関係が逆になってしまっています。
グラフを描いて確かめましょう。

(4)
被積分関数を間違えています。
問題の正四角錐と相似な高さxの正四角錐の
底面の正方形の辺の長さは
ax/h
です。

(5)
＞＞y=4x^2,2x^2+y=6の交点は
が
y=4x^2,2x+y=6の交点は
のミスであることを除けば、交点のx座標の計算は
問題ありません。
しかし、それに伴った積分範囲の下端の修正が
されていません。


後、細かいことですが必要な括弧はきちんとつけましょう。
例えば(1)は
＞＞π∫[0..1](√x+3)^2-(x^3+3)^2dx
ではなくて
π∫[0..1]{(√x+3)^2-(x^3+3)^2}dx
です。
No.31201 - 2015/04/09(Thu) 12:47:46
☆ Re: 回転体 / Kaori-chan
どうも有難うございます。
ようやく解決できました＼(^o^)／
No.31204 - 2015/04/11(Sat) 07:15:50
★ (No Subject) / さくら
いつもお世話になってます‼︎

画像の問題の(2)(3)が解説を読んでも理解できなくて…
多分全体を通して何の問題かよく理解できてないんだろうと思います(*_*)
No.31175 - 2015/04/07(Tue) 19:13:42
☆ Re: / さくら
無理やりくっつけたから見にくくてすみません
No.31178 - 2015/04/07(Tue) 19:16:29
☆ Re: / さくら
上の解説2枚の矢印をつけた部分がちんぷんかんぷんです
どなたか、どういうことか教えてくださいm(._.)m
(2)の方を詳しく教えてもらえると嬉しいです
No.31179 - 2015/04/07(Tue) 19:18:21
☆ Re: / X
(2)
t＞2 (A)
により
{t+√(t^2-4)}/2＞0
t^2-(√(t^2-4))^2=4＞0
∴t^2＞(√(t^2-4))^2
これと(A)により
t＞√(t^2-4)
∴{t-√(t^2-4)}/2＞0
更に(A)より
√(t^2-4)≠0
に注意すると
{t+√(t^2-4)}/2,{t-√(t^2-4)}/2
は異なる正の数であることが分かります。

(3)
(2)の結果から、(A)においてtの値一つに対して
xの値が一つ対応していることが分かります。
従って、問題の方程式をtの方程式と見たときの
(A)における解1つに対して、解xは2つ対応する
ことになります。
No.31180 - 2015/04/07(Tue) 20:11:56
☆ Re: / さくら
遅れてすみません
Xさんありがとうございました‼︎
ようやく理解出来て本当にスッキリしました！

でも、解き直してどーしてもしっくりこない部分があったのでもう一つだけ質問させて下さいorz
解答(2)(?A)ではなぜt＝2^x+2^(-x)の式に2^xをかける(かけることを思いつく)のしょうか??
No.31192 - 2015/04/08(Wed) 22:39:28
☆ Re: / X
2^x=uと置いてみましょう。
No.31193 - 2015/04/08(Wed) 23:13:32
☆ Re: / さくら
あぁ2^xについての二次関数として解くって考えれば良かったんですね‼︎
いろいろとありがとうございました
No.31202 - 2015/04/09(Thu) 19:10:14
★ √3,√(√3),√(√(√3)),…の極限値 / hozumi
√3,√(√3),√(√(√3)),…
という数列の極限値の求め方を教えてください。
No.31172 - 2015/04/07(Tue) 09:23:29
☆ Re: √3,√(√3),√(√(√3)),…の極限値 / らすかる
lim[n→∞]3^(1/2^n)=3^0=1となります。
No.31174 - 2015/04/07(Tue) 11:27:48
☆ Re: √3,√(√3),√(√(√3)),…の極限値 / hozumi
有難うございます。
No.31182 - 2015/04/07(Tue) 23:09:25
★ (No Subject) / アヤト
lim(n→∞)Σ(k=1→n)(a+k/n){1+k/√(n^2+1)}が収束するときのaの値を求めよ
No.31166 - 2015/04/05(Sun) 14:49:05
☆ Re: / アヤト
奈良県立医大の問題です！
No.31167 - 2015/04/05(Sun) 23:16:37
☆ Re: / X
Σ(k=1→n)(a+k/n){1+k/√(n^2+1)}=Σ(k=1→n)[(k^2)/{n√(n^2+1)}+{1/n+a/√(n^2+1)}k+a]
=(1/6)n(n+1)(2n+1)/{n√(n^2+1)}+{1/n+a/√(n^2+1)}・(1/2)n(n+1)+an
=(n+1)(2n+1)/{6√(n^2+1)}+{1+an/√(n^2+1)}・(1/2)(n+1)+an
=(n+1)((3a+2)n+1)/{6√(n^2+1)}+(1/2)((2a+1)n+1)
=[(n+1){(3a+2)n+1}+3{(2a+1)n+1}√(n^2+1)]/{6√(n^2+1)}
=[(1+1/n){(3a+2)n+1}+3{(2a+1)n+1}√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[n{(3a+2)+(2a+1)√(1+1/n^2)}+3a+3+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)} (A)
よって題意を満たすためには
lim[n→∞]{(3a+2)+(2a+1)√(1+1/n^2)}=0
が必要となります。
これより
(3a+2)+(2a+1)=0
∴a=-3/5
逆にこのとき
(A)=[n{1/5-(1/5)√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[-(n/5)(1/n^2){1+√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[-{1/(5n)}{1+√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
→(6/5+3)/6=7/10 (n→∞)
となり、収束します。
No.31168 - 2015/04/06(Mon) 17:32:53
★ 極値、数列 / ふぇるまー
お世話になっております。
質問です。
問?@　関数f(x)=x^3+ax^2-6x+bはx=2のとき極小となり、x=cのとき極大値2をとる。このとき定数a,b,cろ極小値を求めよ。
問?A第50項が2013,第500項が213である等差数列の初項から第n項までの和をSnとするときSn=?
また、Snが最大となるn=?

問?B 関数f(x)=x^3+ax^2-a^2xの極小値が-5であるとき、定数a=?(ただし、a>0)

以上です。出来ればお早い御教授願います。<m(__)m>
No.31159 - 2015/04/04(Sat) 18:13:08
☆ Re: 極値、数列 / ふぇるまー
間違えました。問?@で　……このとき定数a,b,cと極小値を求めよ。

です。
No.31160 - 2015/04/04(Sat) 18:14:31
☆ Re: 極値、数列 / X
投稿する前にパスワードを設定しておけば、この掲示板の
最下部で記事Noとパスワードを入力することで、記事の
修正ができますよ。

問1
条件から
f(c)=c^3+ac^2-6c+b=2 (A)
又
f'(x)=3x^2+2ax-6
でxの方程式f'(x)=0の解がx=c,2となりますので
解と係数の関係から
c+2=-2a/3 (B)
2c=-6/3 (C)
(A)(B)(C)を連立して解きa,b,cの値を求めます。
但し、得られたa,b,cの値に対し
f(2)＜f(c)
となっていることを最後に確かめましょう。

問2
前半)
問題の等差数列の一般項をa[n]、初項をa、公差をdとすると
a[50]=a+49d=2013 (A)
a[500]=a+499d=213 (B)
(A)(B)を連立して解いてa,dを求めると
a[n]=a+(n-1)d=…
∴S[n]=Σ[k=1〜n]a[k]=…
後半)
前半の過程により、a[n]がnに関して単調減少
になっていることから
求めるnは
a[n]≧0 (C)
を満たす最大のnになります。
ということで(C)をnの不等式と見て解きます。

問3)
f'(x)=3x^2+2ax-a^2=(3x-a)(x+a)
∴f'(x)=0の解はx=a/3,-a
f(x)の極小値が-5であることと
a＞0 (A)
であることから
f(a/3)=(a/3)^3+a(a/3)^2-(a^2)(a/3)=-5 (B)
(A)に注意して(B)をaについての方程式と見て解きます。
No.31162 - 2015/04/04(Sat) 19:28:33
☆ Re: 極値、数列 / ふぇるまー
ありがとうございます。修正の仕方も初めて知りました。またおねがいします。
No.31163 - 2015/04/04(Sat) 21:39:39
★ 関数とグラフ / ハナ
中学3年生です。
写真の青く囲んであるところがわかりません。
回答よろしくお願いします‼️
No.31157 - 2015/04/04(Sat) 17:03:56
☆ Re: 関数とグラフ / K
oAと同じ求め方で三平方の定理を使って求めればいいです。
No.31158 - 2015/04/04(Sat) 18:10:20
☆ Re: 関数とグラフ / ハナ
ありがとうございます
わかりました‼️
No.31164 - 2015/04/04(Sat) 22:01:22
全22552件 [ ページ : << 1 ... 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 ... 1128 >> ]