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★ 複素数平面 / 複素数平面
この問題もお願いします
No.32051 - 2015/07/07(Tue) 23:02:03
☆ 複素数平面への回答 / 複素数平面への回答
まず自分でどこまで考えたかを書いてください。
No.32055 - 2015/07/07(Tue) 23:18:43
★ 複素数平面 / 複素数平面
さっぱりわかりません
教えてください
No.32050 - 2015/07/07(Tue) 23:00:17
☆ 複素数平面への回答 / 複素数平面への回答
まず自分でどこまで考えたかを書いてください。

というか、ただ計算するだけの(1)すら分からないのですか？
それでは話にならないので教科書を読みましょう。あとの2問も解けるはずがありません。
No.32053 - 2015/07/07(Tue) 23:16:52
★ 行列とベクトルが独立であるとは / hobo
行列Aについて，A≠0, A^2=0, Ax=0 とする．
Aとxが独立であることを証明せよ．

という問題が出されているのですが，行列とベクトルが独立であるとはどういう定義なのですか？
ただの出題ミスも疑っているのですが、その場合は本来どのようなものだったと予想されますか？
よろしくお願いします。
No.32049 - 2015/07/07(Tue) 22:49:26
☆ Re: 行列とベクトルが独立であるとは / ast
xとAxが線型独立であることを示せ, ではないですか?
No.32057 - 2015/07/08(Wed) 01:44:25
★ 場合の数 / こん
(3)について質問です。横軸をx,縦軸をy,奥行きをz軸と置いて、x軸方向に3進む前に、y軸方向に少なくとも1進めばよい、という解法を教わったのですが、
xとyを◻︎とおいて、◻︎5つとz2つの並べ替えするというところまでわかったものの、そのから先ぐわかりません。
よろしくお願いしますm(__)m
No.32046 - 2015/07/07(Tue) 16:46:30
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
その□５つに、３つのｘと２つのｙを並べる並べ方を求め、
そこからＰ，Ｑ，Ｒのいずれかを通ってしまう
　ｘｘｘｙｙ
を引いたものが、□５つの埋め方です。
No.32047 - 2015/07/07(Tue) 17:49:04
☆ Re: 場合の数 / こん
なるほど！
ありがとうございましたm(__)m
No.32048 - 2015/07/07(Tue) 18:32:06
★ 平面図形 / MR
平面幾何の問題です。

四角形ABCDの三辺AB、BC、CDの長さがすべて等しくなるとき、この四角形の各辺に下ろした垂線の長さの和が一定kになるような四角形の内部の点の軌跡を求めよ。

見当も付きません。
何卒よろしくお願いします。
No.32045 - 2015/07/07(Tue) 15:46:15
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
ｋが条件をみたすような長さであることが前提ですが、
　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａ
　ＤＡ＝ｂ
とし、条件を満たすある点からＡＤまでの垂線の長さをｃとすると、
残りの３本の垂線の長さは合わせて　ｋ−ｃ　となります。
四角形ＡＢＣＤの面積Ｓは
　Ｓ＝(1/2){ｂｃ＋ａ(ｋ−ｃ)}　・・・(一定)
より、ｃは一定の値でないといけないことがわかります。
つまり、ＡＤと平行な直線になります。
No.32058 - 2015/07/08(Wed) 11:00:07
☆ Re: 平面図形 / MR
四角形の面積と関係付けるというアイデアに全く思いが至りませんでした。
ありがとうございました。
助かりました。
No.32060 - 2015/07/08(Wed) 15:09:38
★ 数列の和 / uw

n
Σ k・2^k の解法を教えてください。
k=0
No.32035 - 2015/07/06(Mon) 15:12:27
☆ Re: 数列の和 / らすかる
Σ[k=0〜n]k・2^k
=1・2^1+2・2^2+3・2^3+4・2^4+…+n・2^n
これをSとおくと
2S=1・2^2+2・2^3+3・2^4+4・2^5+…+n・2^(n+1)
なので
S=2S-S
={1・2^2+2・2^3+3・2^4+4・2^5+・・・+n・2^(n+1)}
　-{1・2^1+2・2^2+3・2^3+4・2^4+・・・+n・2^n}
=-{1・2^1}+{1・2^2-2・2^2}+{2・2^3-3・2^3}+{3・2^4-4・2^4}+…
　+{(n-1)・2^n-n・2^n}+{n・2^(n+1)}
=-2^1-2^2-2^3-2^4-…-2^n+n・2^(n+1)
=-{2^(n+1)-2}+n・2^(n+1)
=(n-1)・2^(n+1)+2
No.32036 - 2015/07/06(Mon) 15:32:03
☆ Re: 数列の和 / uw
ありがとうございました。
No.32038 - 2015/07/06(Mon) 16:16:48
★ (No Subject) / なにぬね
(1)AB=173cm,BC=300cmとなるような長方形ABCDをACを軸に頂点Dが動くように折り曲げ、移動した点DをEとします。BCを軸にこの長方形を線対称移動させたとき、対称移動させた長方形の対角線の交点がほぼEに重なる理由を説明しなさい。
分からないです。
No.32033 - 2015/07/06(Mon) 14:12:23
☆ Re: / ヨッシー

もし、「ほぼ」でなくて、「ぴったり」だとすると、
図のように、ＡＣの中点Ｍと点Ｅが、ＢＣに対して対象になります。
よって、∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＢ、∠ＤＣＡ＝∠ＡＣＥ　より
∠ＡＣＢ＝30°になりますが、AB=173cm,BC=300cm のとき、
∠ＡＣＢが30°にどのくらい近いかという話になります。
AB=173cm,BC=300cm のとき、ＡＢ／ＢＣ＝173/300 なのに対して、
∠ＡＣＢ＝30°のときは、ＡＢ／ＢＣ＝√3/3＝1.732／3
となり、ほぼ等しくなります。
No.32034 - 2015/07/06(Mon) 15:05:47
★ 複素数 / じん
1/3-1/(3+i)=i/{3(3+i)}

なぜこうなるのか理解できません。
どなたか教えて頂けませんか？
No.32029 - 2015/07/06(Mon) 02:50:05
☆ Re: 複素数 / X
左辺を通分しましょう。
No.32030 - 2015/07/06(Mon) 05:53:51
★ 数1の質問です。 / komura
(26)が分かりません。お願いします。
No.32022 - 2015/07/05(Sun) 18:54:34
☆ Re: 数1の質問です。 / X
問題の二次方程式の解の判別式をDとすると
D=(m+3)^2-16m=0
これをmの方程式と見て解きます。
No.32023 - 2015/07/05(Sun) 19:25:33
☆ Re: 数1の質問です。 / komura
そこまで分かるのですが、その後の計算が分かりません。よろしくお願いします。
No.32024 - 2015/07/05(Sun) 19:53:21
☆ Re: 数1の質問です。 / IT
重解をαとすると,
4(x-α)^2=4x^2-(m+3)x+m
xの係数を比較して-8α=-(m+3)
No.32026 - 2015/07/05(Sun) 20:18:05
☆ Re: 数1の質問です。 / X
或いは求めたmの値を問題の二次方程式に
代入してもよいでしょう。
No.32031 - 2015/07/06(Mon) 05:55:10
☆ Re: 数1の質問です。 / IT
Xさんへ
問題には,「その重解をmで表せ。」とあるので、それだと題意に合わないのでは？
No.32032 - 2015/07/06(Mon) 07:29:00
☆ Re: 数1の質問です。 / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>komuraさんへ
ごめんなさい。問題文をよく読んでいませんでした。
私の回答は全て無視して下さい。
No.32039 - 2015/07/06(Mon) 18:56:18
☆ Re: 数1の質問です。 / komura
わざわざありがとうございます^_^ XさんITさんありがとうございます！
No.32040 - 2015/07/06(Mon) 19:06:50
☆ Re: 数1の質問です。 / komura
重解をαとすると,
4(x-α)^2=4x^2-(m+3)x+m
↑
4(x-α)^2は何を指しているのですか？度々すみません
No.32041 - 2015/07/06(Mon) 19:14:04
☆ Re: 数1の質問です。 / ヨッシー
指しているわけではありませんが、
　4(x-α)^2＝0
は、α が重解となる２次方程式です。最初の４は
4x^2-(m+3)x+m＝0 の x^2 の係数と合わせるために付けています。
No.32043 - 2015/07/07(Tue) 09:07:06
☆ Re: 数1の質問です。 / komura
なるほど。ありがとうございます^_^
No.32044 - 2015/07/07(Tue) 14:57:24
★ 作図 / MR
たびたびお世話になります。

長辺と短辺の和が与えられた線分の長さと等しく、かつ面積が与えられた正方形と等しい長方形を作図せよ。

線分の長さを2a、正方形の一辺の長さをbとすれば、a±√(a^2-b^2)を各辺の長さとする長方形なので、
?@xy平面上にA(a,0)、B(a+b,0)、C(-a+b,0)を取る。
?ABCを直径とする円とy軸の交点の一つをDとする。
?B原点を中心としDを通る円とx軸の交点をE、Fとする。
?CAE、AFを各辺の長さとする長方形を描く。
とすれば、一応は作図できると思いました。

しかし、もっと幾何学的な作図の仕方があると思うのですが、思い付きません。

どうかご教授のほどよろしくお願いします。
No.32020 - 2015/07/05(Sun) 14:36:22
☆ Re: 作図 / らすかる
どこまで幾何学的なら幾何学的というのかよくわかりませんが、例えば
線分の長さが2a、与えられた正方形を正方形ABCDとし、
Dを中心とする半径aの円とBCの延長線との交点をE、
Eを中心とする半径aの円と線分BCとの交点をF、
直線BCとのもう一つの交点をGとすれば
CFとCGが長方形の2辺の長さになります。
No.32027 - 2015/07/05(Sun) 20:54:35
☆ Re: 作図 / MR
なるほど！
そのやり方の方がずっと簡潔で分かり易いです。
どうもありがとうございます。
No.32028 - 2015/07/05(Sun) 22:39:24
★ 2項定理、因数定理 / ふぇるまー
問壱　(1+x)^4の展開式におけるx^2の係数は?@である。また、nを2以上の自然数とするとき、(1+2x)^nの展開式におけるx^2の係数が60となるのは、n=?Aのときである。

問弐　a=実数とし、P(x)=x^3+(a-1)^2-(a+2)x-6a+8とする。
(1)　P(x)をx-3で割った余りは?Cである。
　　　また、xの方程式P(x)=0はaの値にかかわらず整数の解　　　x=?Dをもつ。従って、P(x)=(x+?E){x^2+(a-?F)x-?Ga+　　　?H}となる。
(2)　方程式P(x)=0の解がすべて実数となるようなaの値の範　　囲は、a≦?Iまたはa≧?Jである。

多めで申し訳ないのですが?@〜?Jにはいる数字&解説が頂けると幸いです。宜しくお願い致します。
No.32017 - 2015/07/05(Sun) 10:43:31
☆ Re: 2項定理、因数定理 / X
問壱
前半)
二項定理により求める係数は
4C2=6
後半)
二項定理により
(1+2x)^n=Σ[k=0〜n](nCk)(2x)^k
∴条件から
(nC2)・2^2=60
これをnについての方程式と見て解くと…
(nは0以上の整数となることに注意)

問弐
>>P(x)=x^3+(a-1)^2-(a+2)x-6a+8
を
P(x)=x^3+(a-1)x^2-(a+2)x-6a+8
のタイプミスと見て回答します。
(1)
前半)
P(3)=27+9(a-1)-3(a+2)-6a+8=20
∴剰余の定理により求める余りは20
後半)
P(x)=0より
(x^2-x)a+x^3-x^2-8x+8=0
これをaについての恒等式と見て
両辺の係数を比較すると
x^2-x=0 (A)
x^3-x^2-8x+8=0 (B)
∴(A)(B)の共通の整数解により
xの方程式P(x)=0のaによらない整数解は
x=1
よって因数定理によりP(x)はx-1を因数に持つので
P(x)をx-1で実際に割ることにより…

(2)
(1)の後半の結果と二次方程式の解の判別式を使います。
No.32018 - 2015/07/05(Sun) 12:33:30
☆ Re: 2項定理、因数定理 / ふぇるまー
X様いつもありがとうございます。慌てていたものでﾀｲﾌﾟﾐｽをしておりました。申し訳ありませんm(__)m
No.32021 - 2015/07/05(Sun) 16:56:41
★ 斜線部の面積（中３） / W
次の問題の解き方を教えてください。

図のように１辺が4 cmの正方形ABCDがある。点CおよびDを中心とした半径4 cmの円において、円Cと線分ACとの交点をE、円Dと線分BDとの交点をFとするとき、斜線部の扇型の面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。
No.32014 - 2015/07/05(Sun) 00:10:03
☆ Re: 斜線部の面積（中３） / ヨッシー
ＯＥの長さが分かれば、π×ＯＥ^2÷４ が求める面積になります。
　ＣＥ＝４
　ＣＯ＝2√2
なので、
(以下略)
No.32015 - 2015/07/05(Sun) 01:25:46
★ 平面図形 / MR
任意の四角形ABCD内の一点Pを、この四角形の頂点A、B、C、Dに結びつけるときにできる四つの三角形の面積が、すべて等しくなる様に、点Pを定めることができるか。各種の場合について吟味せよ。

点O、E、Fが与えられたとき、∠EOFの内側に点Gを取って、GからOEに下ろした垂線とGからOFに下ろした垂線の長さの比がOF:OEとなるとき、直線OGのことを仮に「∠EOFを均一に分ける直線」と言うことにします。
∠EOFが与えられれば、このような直線は作図できます。

問題に戻り、□ABCDが与えられたとき、∠A、∠B、∠C を夫々均一に分ける直線が一点Pで交われば、△PAB、△PBC、△PCD、△PDAは全て面積が等しくなりますが、一点Pで交わる条件を見出せずに難航しています。

あるいは、方針が拙いのでしょうか。

どうかよろしくお願いします。
No.32011 - 2015/07/03(Fri) 23:35:01
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
任意の四角形ＡＢＣＤについて・・・点Ｐを定めることが出来るか？
という問いなので、「出来ない」で良いのではないでしょうか？

それとも、こういう場合に限りできる、という条件を求められているのでしょうか？
No.32012 - 2015/07/04(Sat) 00:46:34
☆ Re: 平面図形 / MR
最後の文がなければこれこれの理由で出来ないと解答すれば良いと思いますが、最後の文があるので、どの場合に出来てどの場合に出来ないと吟味しないと満点解答にならないかと思いました。
No.32013 - 2015/07/04(Sat) 10:46:37
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
最初の「方針」のところで、
>∠EOFが与えられれば、
は、角度だけではダメで、最初に書かれたとおり
>点O、E、Fが与えられたとき
が必要、つまり角だけでなく、ＯＥ，ＯＦの長さも重要です。


３点Ａ，Ｂ，Ｃが与えられたとき、△ＡＢＧと△ＣＢＧの面積が
等しくなるような点Ｇが取れたとすると、直線ＢＧと点Ａ，点Ｃまでの
距離が等しくなるので、点Ｇは図のような直線上にあり、
それは、点Ｂと、ＡＣの中点を結んだ直線となります。
同様のことを、３点Ａ、Ｄ、Ｃについて、△ＡＤＨと△ＣＤＨが
等しくなる点Ｈを考えると、点Ｇの存在範囲と、点Ｈの存在範囲となる
それぞれの直線の交点は、ＡＣの中点となります。
同様に、最初の問題の条件を満たす点Ｐは、ＢＤの中点でもある必要があります。
よって、平行四辺形についてのみ、条件を満たす点Ｐが存在し、
それは、対角線の交点ということになります。
No.32016 - 2015/07/05(Sun) 06:02:08
☆ Re: 平面図形 / MR
＞ それは、点Ｂと、ＡＣの中点を結んだ直線となります。
なるほど〜〜！
本当にそうですね！

＞ よって、平行四辺形についてのみ、条件を満たす点Ｐが存在し、
＞ それは、対角線の交点ということになります。
理解できました。
ありがとうございます。
No.32019 - 2015/07/05(Sun) 12:57:06
★ 微分問題について / むっく
y=f(x)はx = 1 で極小値をとる。

(1) 定数 a,bの満たす条件を求めなさい。

(2)f(x)=0の異なる実数解が2個のとき、a,bの値を求めなさい。

全くと言っていいほど解方がわかりません。
どなたか私にご教示お願いいたします。
No.32005 - 2015/07/03(Fri) 17:45:31
☆ Re: 微分問題について / X
(1)
条件から
f'(x)=3x^2+6ax+3b (A)
題意を満たすためにはxの二次方程式
f'(x)=0
が異なる二つの実数解を持ち、かつ
そのうちの大きいほうの解がx=1
とならなければならないので
まず
f'(1)=0
により
3+6a+3b=0
∴b=-2a-1 (B)
このとき(A)は
f'(x)=3x^2+6ax-3(2a+1)
=3(x-1)(x+2a+1)
∴f'(x)=0の解について
2a-1＜1
これより
a＜1
ということで求める条件は
b=-2a-1かつa＜1

(2)
条件を満たすためには
f(x)が極値を持ち
かつ
(極小値=0又は極大値=0)
とならなければなりません。
ここで(1)の過程から
f(x)の極小値は
f(1)=…
f(x)の極大値は
f(-2a-1)=…
以上のことからa,bについての
方程式が導かれますので、
これと(1)の結果をa,bについての
連立方程式と見て解きます。
(場合分けが必要です)
No.32007 - 2015/07/03(Fri) 18:36:39
☆ Re: 微分問題について / むっく
すべて納得することができました。
基本的なことを丁寧に解説して頂き、ありがとうございました。

また利用させて頂くことがあるかもしれないので、その時に時間が許されるなら解説して頂けると嬉しいです。

この度は貴重な時間を私に割いてくださり、ありがとうございました。
No.32010 - 2015/07/03(Fri) 21:08:37
★ (No Subject) / さくら
昨日に引き続きお世話になりますm(__)m

sinα＝1/2 (0<α<π/2)
sinβ＝1/3 (π/2<β<π)のとき
sin(α/2)の値はどうなるのでしょうか
友達は二重根号がでてくると言っているんですが…

どなたか答えを教えてください
No.32003 - 2015/07/03(Fri) 15:53:57
☆ Re: / ヨッシー
この問題について言えば、とりあえずβは関係ないですね。
半角の公式
　sin^2(α/2)＝(1−cosα)/2
において、0＜α＜π/2 では
　cosα＝√3/2
なので、
　sin^2(α/2)＝(2−√3)/4＝(4−2√3)/8
sin(α/2)＞0 より
　sin(α/2)＝√(4−2√3)/2√2
　　＝(√3−1)/2√2
　　＝(√6−√2)/4

なお、βはともかく、αはπ/6 なので、
　sin(α/2)＝sin(π/12)＝sin(π/3−π/4)
　　＝sin(π/3)cos(π/4)−cos(π/3)sin(π/4)
　　＝(√6−√2)/4
と求められます。
No.32004 - 2015/07/03(Fri) 17:04:45
☆ Re: / さくら
詳しくありがとうございます‼︎
確かに二重根号、でてますね
下の解法はまさに目から鱗って感じでした
私もその発想力を身につけられるように、もっと頑張ります！笑

本当にありがとうございましたm(__)m
No.32006 - 2015/07/03(Fri) 18:20:34
★ 長方形から円錐を切り取る / To
次の問題が最後まで解けません。
No.31998 - 2015/07/03(Fri) 14:31:18
☆ Re: 長方形から円錐を切り取る / To
高さ√15，底面の半径1より，母線の長さは三平方の定理より4と出ました。
また，中心角は，360×(2×π×1)/（2×π×4）=90°

ここで，長辺の長さの最小値を求めるので，扇型は角に中心角を合わせておく。

ここからわからなくなりました。
よろしくお願いします。
No.31999 - 2015/07/03(Fri) 14:32:05
☆ Re: 長方形から円錐を切り取る / ヨッシー
側面はそれでＯＫですので、底面の半径1cmの円を、できるだけ紙を長く取らないような位置に置いて、必要な長さを求めます。
途中で、３：４：５の直角三角形が出てきます。
答えは 5cm のはずです。
No.32000 - 2015/07/03(Fri) 14:59:46
☆ Re: 長方形から円錐を切り取る / To
ヨッシーさんの3：4：5でひらめいた気がします。
次の解き方であっているでしょうか？（側面については省略してあります）


出来るだけ横幅をとらないように円を置くと，側面の扇形の円周と長方形の長辺のうち下の辺に接するようにとる。
青い点線部分＝√{(4+1)^2−(4−1)^2} = √(25−9)＝√16=4（←3：4：5の三角形）
赤い点線は底面の半径なので，1 cm
円の円周が長方形の紙の端ギリギリにあるとすれば，
長方形の横の長さは4＋1＝5 cm
No.32001 - 2015/07/03(Fri) 15:28:07
☆ Re: 長方形から円錐を切り取る / ヨッシー
答えるのを忘れてました。

合っています。
No.32042 - 2015/07/06(Mon) 19:14:58
★ 底をaとする複素対数関数の定義 / Tamari
底をaとする複素対数関数log_a(z)の定義について質問です。

a≠0とする。
z=e^w⇔w=ln(z)(=ln|z|+i(Arg(z)+2nπ)),
z=a^w⇔w=log_a(z)
から
z=a^w⇔z=e^{wln(a)}⇔z=(e^w)^ln(a)だから,
e^w=z^{1/ln(a)}.
従って,
w=ln(z^{1/ln(a)})=(1/ln(a))ln(z)=ln(z)/ln(a).
即ち,
log_a(z):=ln(z)/ln(a).
でいいのでしょうか?
No.31997 - 2015/07/03(Fri) 08:29:12
★ 数Aの質問です / komura
77(3)の解き方を詳しく教えてください。お願いしますm(_ _)m
No.31994 - 2015/07/03(Fri) 06:19:38
☆ Re: 数Aの質問です / ヨッシー
たとえば
　ＡＢＣＤＥＦＧＨ
という並べ方の、ＤＥＦＧＨはそのままにして、ＡＢＣを並べ換えたものは６通りあります。
そのうち、条件を満たすものは、１通りだけです。
他の並べ方についても、ＡＢＣだけを入れ換えたものが６通りずつあるうち、条件を満たすものは１通りだけあるので、求める確率は、
　１／６
です。
No.31995 - 2015/07/03(Fri) 06:41:24
☆ Re: 数Aの質問です / komura
とても分かりやすかったです！ありがとうございます。朝早くからありがとうございます^_^
No.31996 - 2015/07/03(Fri) 06:55:34
★ (No Subject) / ロングNO
5.cosxがマクローリン展開可能なことを示して,マクローリン展開せよ.

上の問の解答をよろしくお願いします.
No.31992 - 2015/07/02(Thu) 21:51:16
★ 定数関数であることの証明 / さすけ
4.関数f(x)が区間Iで微分可能で,つねにf'(x)=0ならば,f(x)は定数値関数であることを示せ.

上の問の解答をよろしくお願いします.
No.31990 - 2015/07/02(Thu) 21:41:07
☆ Re: 定数関数であることの証明 / IT
「平均値の定理」はご存知ですか？　「平均値の定理」を使っていいのですか？

a,x∈Ｉについて
　f(x)-f(a)=∫[a..x]f'(t)dt=0 からでも言えると思いますがどうでしょうか？
No.31993 - 2015/07/02(Thu) 22:23:58
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