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入試問題の証明 / ケイチャン
(3)の問題なんですけど、なぜこの解答になるのか証明したいんです。どうか、回答よろしくお願いします。
No.31152 - 2015/04/04(Sat) 00:31:34

Re: 入試問題の証明 / ヨッシー

図のような表を作ります。
また、同じボタンを2回押すと、何も押さないのと同じなので、
押す回数は最大1回とします。
AとBに差を付けられるのはボタンCかボタンDなので、
 CとDはどちらかのみ押す。
BとCがともに奇数なので、
 BとCは同じ回数
同様に
E,Fの偶奇より EとFはどちらかのみ
D,Eの偶奇 および、B,Cが同数であることより FとGはどちらかのみ
これより(B,C,D,E,F,G) の押すパターンとしては(押すボタンを1、押さないボタンを0で表す)
 (1,1,0,1,0,1),(1,1,0,0,1,0),(0,0,1,1,0,1),(0,0,1,0,1,0)
の4通りが考えられ、それぞれ
 
このようになります。
ここからさらにAを押しても、与えられた状態にならないので、
与えられた状態になるのは、
 B,C,E,G
を押したときとなります。

No.31153 - 2015/04/04(Sat) 01:18:31

Re: 入試問題の証明 / ヨッシー
さらに
 FとGの偶奇より DとEはどちらかのみ
を利用すれば
 (1,1,0,1,0,1),(0,0,1,0,1,0)
まで絞れます。

No.31154 - 2015/04/04(Sat) 02:04:47
変わった平方完成 / ロック
x^4−2x^3+1を(二次式の二乗+1次関数)となるように変形すると,
(x^2−x−12)^2−x+3/4

らしいですがどうやったらこの変形を思いつくのでしょうか、
←方向は展開すれば「確かに」と納得できますが→方向の平方完成の仕方が分かりません。

No.31149 - 2015/04/03(Fri) 23:53:40

Re: 変わった平方完成 / IT
まちがっていませんか?
No.31150 - 2015/04/04(Sat) 00:21:05

Re: 変わった平方完成 / IT
(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(2b+a^2)x^2+2abx+b^2なので
2a=-2,2b+a^2=0より,a=-1,b=-1/2 と求めていけばいいです。

No.31151 - 2015/04/04(Sat) 00:22:54

Re: 変わった平方完成 / ロック
(x^2−x−1/2)^2−x+3/4の間違いでした。申し訳ありません

そして大方理解できました、ありがとうございます。

しかしその平方完成したものとは別の他の項は必ず一次関数になるのでしょうか?

よろしくおねがいします

No.31170 - 2015/04/07(Tue) 00:57:54

Re: 変わった平方完成 / ヨッシー
(二次式の二乗+1次関数)と「なるように」変形するので
必ず一次関数になります。

No.31171 - 2015/04/07(Tue) 08:02:40

Re: 変わった平方完成 / ロック
どうやら全く理解できていなかったようです
(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(2b+a^2)x^2+2abx+b^2なので
2a=-2,2b+a^2=0より,a=-1,b=-1/2 と求めていけばいいとのことですが、なぜx^3とx^2の係数比較にしたのですか?
xの係数と定数項の係数比較だと違うa,bの値が出てしまいます。2ab=0かつb^2=1という風に。

No.31181 - 2015/04/07(Tue) 21:50:16

Re: 変わった平方完成 / ヨッシー
この問題は、、
 (x^2+ax+b)^2+cx+d=x^4−2x^3+1
となるように、a,b,c,d を決める問題と見ることが出来ます。
まず、(x^2+ax+b)^2 で、3次の項の係数が−2、2次の項の係数が0 となるように調整して、
1次の項と定数項は cx+d の部分で調整するという手順です。

(x^2+ax+b)^2 の a と b に課せられた使命は、
3次の項と2次の項を合わせることです。
なぜなら、1次の項と定数項は cx+d の部分で、いくらでも調整できますし、
そもそも a, b 2つの文字で、3つ以上の項(3次と2次と1次など)は
調整しきれないのです。
また、a と b で、3次の項と2次の項を合わせることが出来ないと、
二次式の二乗+1次関数 ではなく 二次式の二乗+二次関数 や
二次式の二乗+三次関数 になってしまいます。

No.31183 - 2015/04/08(Wed) 06:42:04
(No Subject) / 杏
整数mについて、m2乗が7の倍数ならばmは7の倍数である。
このことを用いて、√7は無理数であることを証明せよ。

4stepの数学1演習問題Aの8番です
背理法を使うことはわかるのですが、うまくいきません。
よろしくお願いします。

No.31144 - 2015/04/03(Fri) 21:32:06

Re: / ヨッシー
√7=a/b (a, b は互いに素な自然数) と書けたとすると、両辺二乗して
a^2=7b^2
これより a^2 は7の倍数、すなわち a は7の倍数となります。
そこで、a=7k (k は整数) とおくと、
49k^2=7b^2
b^2=7k^2
となり、b は 7 の倍数となり、a と b が互いに素であること矛盾します。
(以下略)

No.31146 - 2015/04/03(Fri) 22:06:13
関数の増減 / ゆう
「f(x)=(1/4)x^4-x^3+3ax+bについて、f(x)が一つだけ極値を持つ条件を求めよ。」という問いの解説が、「f'(x)=0の符号変化が1回あるものを選べばよい。よって、a≦0、4/3≦aとなる。」と書いてあって、〜選べばよい。というところまでは分かったのですが、それの求め方がわかりません。三次関数の判別式を使うのでしょうか?答えまでの解説をもう少し詳しく教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いいたします。
No.31141 - 2015/04/03(Fri) 17:41:23

Re: 関数の増減 / IT
まずf'(x)を求める
y=f'(x)のグラフを考えると
f'(x)の符号変化が1回だけ
 ⇔(f'(x)は極大値・極小値を持たない)または(f'(x)の極大値≦0)または(f'(x)の極小値≧0)
ですから

f''(x)を計算してf'(x)の極大値、f'(x)の極小値を求めればいいと思います。

#「f'(x)=0の符号変化」というのは変ですね。 

No.31142 - 2015/04/03(Fri) 18:38:23
数学?Tの関数の作成 / 高1
線が引いてあるところの(x-2)はどうやったら出てくるんですか?そしてAM=…というのはどうやったら出てくるんですか?また、PC=x-4とはどうやったら出てくるんですか?
最後にグラフですが、一番左のグラフはどうやって頂点を決めているんですか?
質問が多くて申し訳ないですが、回答よろしくお願いします。

No.31138 - 2015/04/03(Fri) 15:51:59

Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー
x=2.5 のとき、点Pはどの位置にあって、BPの長さはいくらですか?
x=3 のとき、x=3.5 のとき、と考えると x-2 になる理由が分かります。
PC=x-4 も同様です。

AMは△ABMについての三平方の定理から求めます。

左のグラフというのは y=x^2 のグラフのことでしょうか?
逆に、他の2つのグラフの頂点の求め方は分かるのでしょうか?

No.31139 - 2015/04/03(Fri) 16:10:09

Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1
X-2、x-4の件は分かりました。
AM はABを2、BMを1で計算するんですか?
あと、グラフはy=x^2のことです。
残りの2つは分かりました。

No.31140 - 2015/04/03(Fri) 17:01:42

Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1
AM の求め方は分かったので、y=x^2の求め方を教えてください。
No.31143 - 2015/04/03(Fri) 18:51:31

Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー
y=x^2 の求め方ではなくて、y=x^2 の頂点の求め方ですよね?
で、他の2つのグラフの頂点の求め方は分かるのでしょうか?

No.31145 - 2015/04/03(Fri) 21:57:13

Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1
そうですね。すみません。頂点の求め方です。それ以外はわかります。
No.31147 - 2015/04/03(Fri) 22:20:02

Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー
では、それと同じようにやって下さい、という回答になるのですが、
他の2つをどのようにやったか、書いてみてください。
 y=x^2
だけ、別のやり方をするわけではありませんので。

No.31148 - 2015/04/03(Fri) 22:32:08

Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1
Y=(x-3)^2+3は頂点が(3、3)
Y=(x-6)^2はy=(x-6)^2+0となるから、頂点が(6、0)という感じで考えたんですが、y=x^2はy=(x-3)^2+3のような形になってないので、いまいち分かりません。

No.31156 - 2015/04/04(Sat) 13:35:18

Re: 数学?Tの関数の作成 / 歌声喫茶
y=(x-6)^2をy=(x-6)^2+0とする発想があるのなら、
y=x^2をy=(x-0)^2+0とする発想も自然では。

#「回りくどい」と考えるかはさておいて。

No.31161 - 2015/04/04(Sat) 19:09:29

Re: 数学?Tの関数の作成 / 高校1年
分かりました。ありがとうございました。
No.31165 - 2015/04/04(Sat) 22:15:54
(No Subject) / アカシロトモ
確率漸化式の問題です。全くわかりません。よろしく、お願いします。
(問題)
次のようなルールのゲームを行う
1 硬貨を投げて表が出れば(確率2/3)1円獲得,
裏が出れば(確率1/3)1円支払う
2 目標額(c円)到達か、所持金ゼロになればゲーム終了 
3 最初の所持金n円からスタートして、所持金ゼロでゲームを終了する確率をPn(n=0,1,2,3,・・・,c)とする。したがってP0=1、Pc=0
 (1) Pn+1(n=1,2,3,・・・,c-1)をPn とPn-1 を用いて表せ
(2)Pnを求めよ 

No.31133 - 2015/04/02(Thu) 17:49:04

Re: / ヨッシー
(1)
P[0]=1, P[c]=0 は書いてある通りで、それ以外のnのとき
n円の状態から、
2/3 の確率で n+1円になり、その先、所持金0になる確率はP[n+1]です。
1/3 の確率で n-1円になり、その先、所持金0になる確率はP[n-1]です。
よって、
 P[n]=(2/3)P[n+1]+(1/3)P[n-1]
変形して
 P[n+1]=(3/2)P[n]−(1/2)P[n-1]

(2)
 P[n+1]=(3/2)P[n]−(1/2)P[n-1]
を変形して
 P[n+1]−P[n]=(1/2)(P[n]−P[n-1])・・・(i)
 P[n+1]−(1/2)P[n]=P[n]−(1/2)P[n-1] ・・・(ii)
(i) より
 P[c]−P[c-1]=(1/2)^(c-1)(P[1]−P[0])・・・(i)’
 P[c]−(1/2)P[c-1]=P[1]−(1/2)P[0] ・・・(ii)'
これらに、P[0]=1, P[c]=0 を代入して
 −P[c-1]=(1/2)^(c-1)(P[1]−1)・・・(i)”
 −(1/2)P[c-1]=P[1]−(1/2) ・・・(ii)”
これを解いて、
 P[c-1]=1/(2^c−1)
 P[1]={2^(c-1)−1}/(2^c−1)

(i) より
 P[n]−P[n-1]=(1/2)^(n-1)・(P[1]−P[0])=Q[n]
とおくと
 P[n]=P[0]+Σ[k=1〜n]Q[n]
   =1+{2−1/2^(n-1)}(P[1]−P[0])
   =1+{2−1/2^(n-1)}{2^(c-1)−2^c}/(2^c−1)

ちょっと詰めが甘いかも。

No.31134 - 2015/04/02(Thu) 19:56:10

Re: / アカシロトモ
ヨッシー さん

早速投稿いただきありがとうございます。
今からじっくり読ませていただきます。

No.31135 - 2015/04/02(Thu) 20:25:37
割り算 / さとし 高2
一応自力で解けたのですが、別解に書いてあることがわかりません。
No.31128 - 2015/04/02(Thu) 16:32:33

Re: 割り算 / さとし 高2
最初の3行について説明していただけると助かります。
No.31129 - 2015/04/02(Thu) 16:33:29

Re: 割り算 / ヨッシー
条件より
 f(x)=s(x)(2x^2+x−1)+2x+1
 f(x)=t(x)(x^2−2x+1)+4x−5
これを因数分解した形で書くと
 f(x)=s(x)(2x−1)(x+1)+2x+1 ・・・(1)
 f(x)=t(x)(x−1)^2+4x−5   ・・・(2)
であり、
 2x^3−x^2−2x+1=(x+1)(x−1)(2x−1)
であるので、
 f(x)=g(x)(x+1)(x−1)(2x−1)+h(x) (h(x) は、2次以下の整式)
と書けたとする時、h(x) から (2x−1)(x+1) をくくりだすと、(1) と
同等の式になることに気づき
 h(x)=a(2x−1)(x+1)+j(x)  (j(x) は1次以下の整式)
とおくと、
 f(x)=g(x)(x+1)(x−1)(2x−1)+a(2x−1)(x+1)+j(x)
  ={g(x)(x−1)+a}(2x−1)(x+1)+j(x)
となり、(1) と比較すると、j(x)=2x+1 となります。

No.31130 - 2015/04/02(Thu) 16:47:39

Re: 割り算 / さとし 高2
ありがとうございます。
No.31131 - 2015/04/02(Thu) 16:56:24
平面上の5、7点 / sakana
自分で考えておきながら、完全に解けきれていない問題があります。

(問)「nを4以上の整数とする.平面上のちょうどn個の点からなる集合Sであって,以下の条件を満たすものが存在するようなnを全て求めよ.

<条件>Sの任意の異なる2元A,Bに対して,あるSの異なる2元C,D(ただしA,Bとは異なる)が存在して,AB⊥CDが成り立つ.」

n=4,6,およびn≧8のときは正(n-1)角形の頂点とその外接円の中心が条件を満たすことまでは分かりましたが、n=5,7のときは条件を満たすSが存在するのか、しないのならばそれをどう示せばいいのかが分かりません。
どなたかお分かりになる方がいらっしゃいましたらご教授ください。

No.31126 - 2015/04/02(Thu) 09:09:59

Re: 平面上の5、7点 / らすかる
n=5のときは
正三角形ABCと重心DとABの中点Eの
5点A,B,C,D,Eが条件を満たします。

n=7のときは、
正五角形ABCDEと重心F、そして直線ABと直線CDの交点Gの
7点A,B,C,D,E,F,Gが条件を満たします。

No.31137 - 2015/04/03(Fri) 04:34:18
小学生の問題 / boom

(1) 0.2より大きく、12/13より小さい分数のうち、分母が9の分数で、約分できないものは何個か。


(2) 分母と分子の和が72で、約分すると2/7になる分数の分子に当てはまる数を求めよ。


(3) 分母が64の分数がある。
1より小さくて約分のできない分数は何個か。


(4) (3)の分数の中で、分子が5の倍数である分数の和を求めよ。



長々と申し訳ありません。
よろしくお願いします!

No.31124 - 2015/04/01(Wed) 21:27:59

Re: 小学生の問題 / ヨッシー
(1)
0.2=1.8/9, 12/13=(108/13)/9≒8.3/9
よって、条件を満たす分数の分子は
 2以上8以下
このうち、約分できないのは、3,6 以外の5個

(2)
2/7 の分子分母の和は9。
分子分母を2倍した4/14の分子分母の和は18。
和が72になるには、分子分母を8倍して16/56
分子は16。

(3)
1より小さい分数の分子は1から63までで、
 64=2×2×2×2×2×2
であるので、偶数は必ず約分でき、奇数は必ず約分できない。
よって、個数は32個(偶数は31個)

(4)
分子が5の倍数の奇数であるので、
 5+15+25+35+45+55
 =(5+55)+(15+45)+(25+35)
 =60×3=180
180/64=45/16=2と13/16

No.31125 - 2015/04/01(Wed) 22:12:06

Re: 小学生の問題 / boom

ありがとうございます!

助かりました!

No.31132 - 2015/04/02(Thu) 17:27:33
(No Subject) / あいか
この問題がわかりません。
分かるかた教えてください
よろしくお願いします

No.31120 - 2015/04/01(Wed) 19:03:40

Re: / ヨッシー

図のように、△AMCを移動してBMとCMが重なるようにすると、
四角形ABMCと同じ面積の△AMA’が出来ます。

四角形ABMC=△ABC+△BMC
であり、
△AMA’=(1/2)AM・A’Msin∠AMA’
△ABC=(1/2)AB・ACsin∠BAC
△BMC=(1/2)BM・CMsin∠BMC
および、
 BM=CM
 AM=A’M
 ∠AMA’=∠BMC=π−∠ABC
 → sin∠AMA’=sin∠BMC=sin∠ABC≠0
より、
 AB・ACsin∠BAC+BM・CMsin∠BMC=AM・A’Msin∠AMA’
両辺 sin∠AMA’=sin∠BMC=sin∠ABC≠0 で割って、
 AB・AC+BM^2=AM^2
が得られます。

No.31121 - 2015/04/01(Wed) 19:52:34

Re: / ヨッシー
以前の記事から、どうやら高校入学前のようですので、
三角関数が使えないということで、無理矢理ですが、
以下のように考えます。
(これを知っておくと、三角関数(sin など)が出て来たとき、有利です)

図のように、△AMA’、△BMC、△ABC を並べます。
●で示した角は全て等しく、また、●の角を含む直角三角形を考え、
斜辺を1、図の縦方向の辺をsとします。
(●が鈍角の場合も、同様の図が書けますし、●が直角の場合は、
このような考え方をしなくても、AM^2=AB・AC+BM^2 が導けます)

 △AMA’=(1/2)A’M・AE
 △ABC=(1/2)AB・CF
 △BMC=(1/2)BM・CD
これに、
 AE=sAM
 CF=sAC
 CD=sCM
を代入すると
 △AMA’=(s/2)A’M・AM
 △ABC=(s/2)AB・AC
 △BMC=(s/2)BM・CM
より、
 △AMA’=△ABC+△BMC および、A’M=AM
から、
 AM^2=AB・AC+BM^2
が得られます。

No.31123 - 2015/04/01(Wed) 20:30:38

Re: / のぼりん
別解です。

AM と BC の交点を、D とします。
   ∠ACD=AMB、 ∠CBM=∠CAM=∠MAB
だから、
   △ACD∽△AMB∽△BMD
です。
   AM:AB=AC:AD、 AM:MB=BM:MD
だから、
   AM=AM×AD+AM×DM=AB×AC+BM
です。

No.31155 - 2015/04/04(Sat) 11:15:51
二次関数 / あいか
はじめまして
この問題の(2)から先が分かりません
解答も解説もないのですが、分かるかたがいらっしゃれば教えてください。よろしくお願いします

No.31116 - 2015/04/01(Wed) 16:43:34

Re: 二次関数 / あいか
問題が横になっていたので撮りなおしました
No.31117 - 2015/04/01(Wed) 16:49:47

Re: 二次関数 / X
(2)
条件から
P(t,t^2)
((1-√17)/2≦t≦0 (A))
と置くことができるので
Q(-t,t^2)
S(t,t+4)
R(-t,t+4)
ここで直線(2)と直線SQは垂直ので、少なくとも
t≠0
(図でt=0の場合を考えてみましょう)
よって直線SQの傾きは
(t^2-t-4)/(-t-t)=(t^2-t-4)/(-2t)
よって直線(2)と直線SQの傾きについて
(t^2-t-4)/(-2t)・1=-1
これより
(t-4)(t+1)=0
(A)より
t=-1
後はこれにより点P,Q,R,Sの座標を定めて
長方形PQRSの面積を計算します。

(3)
(2)の仮定のようにtを置き、
R(X,Y)
と置くと
X=-t (B)
Y=t+4 (C)
(B)(C)よりtを消去すると
Y=-X+4
よって点Rは直線
y=-x+4 (D)
(0≦x≦(-1+√17)/2)
の上に存在することが分かります。
この条件に沿って線分BRを動かすと問題の
面積を求める図形は
点B((1+√17)/2,(9+√17)/2),点(0,4),点((-1+√17)/2,(9-√17)/2)
を結んでできる三角形の周及び内部
となります。
で、この面積ですが分かりにくいので
点C(0,4),点D((-1+√17)/2,(9-√17)/2)
というようにすると、まず
直線(2),(D)の傾きの積が-1であることから
(2)の問題文中にあるように
直線(2),(D)は垂直
ですので
BC⊥CD
よって求める面積は
(1/2)BC・CD
後は辺BC,CDの長さを計算します。
(条件から
直線(2),(D)とx軸となす角が45°
となっていることを使えば、いくらか
簡単に計算できます。)

No.31118 - 2015/04/01(Wed) 17:26:08

Re: 二次関数 / あいか
丁寧な解説ありがとうございます
質問なのですが、(2)の途中に
(t-4)(t+1)=0
とあるのですが、どうしてこうなるのですか?

No.31119 - 2015/04/01(Wed) 17:49:44

Re: 二次関数 / X
(t^2-t-4)/(-2t)・1=-1
の両辺に-2tをかけて
t^2-t-4=2t
移項して
t^2-3t-4=0
左辺を因数分解すると
(t-4)(t+1)=0
となります。

No.31122 - 2015/04/01(Wed) 20:10:29

Re: 二次関数 / あいか
なるほどです
分かりやすくありがとうございました
とても助かりました

No.31136 - 2015/04/02(Thu) 20:46:14
級数展開可能,解析的,微分可能 / Sakura
こんにちは。

A⊂R,f:A→Rの時,実数空間では

Aで級数展開可能⇒Aで解析的⇒Aで微分可能

で逆は一般になりませんよね?

A⊂C,f:A→Cの時,複素数空間では
A級数展開可能⇔Aで解析的⇒Aで微分可能

という構図で正しいでしょうか?

No.31115 - 2015/04/01(Wed) 02:14:14
微分可能 / 鶴
初めまして。
微分可能の方法がどうしてもわからないので質問します。
解説を一通り読んだのですが鉛筆で指してある式でどうしてこうなるのか、っていうのがわかりません。
(下記より問題)
次の関数がx=1で微分可能となるような定数a,bの値を求めよ
f(x)=ax^2(x<1)
2x+b(x≧1)

No.31113 - 2015/03/31(Tue) 01:55:21

Re: 微分可能 / X
h→-0を考えるのでh<0
∴1+h<1ですのでf(x)の定義から
f(1+h)=a(1+h)^2
f(1)=2・1+b=2+b
となります。

No.31114 - 2015/03/31(Tue) 01:59:00
二次関数 / poem

平面上の点(3,19)を通る放物線がある。
この、放物線をx軸方向に3、y軸方向に3だけ平行移動した放物線は点(1,12)を通る。
移動後の放物線の式は y=2x^2+ax+b である。
aとbを求めよ。


考え方から分かりません...


よろしくお願いします!

No.31106 - 2015/03/30(Mon) 11:16:16

Re: 二次関数 / ヨッシー
移動後の式が y=2x^2+ax+b と与えられているので、ここから逆にたどると楽だと思います。
つまり、
y=2x^2+ax+b は点(1,12) を通る。
y=2x^2+ax+b をx軸方向に−3、y軸方向に−3だけ平行移動した放物線は(3,19) を通る。
と書き換えます。
第1の条件より
 12=2+a+b よって、 a+b−10=0  ・・・(i)
第2の条件より
 (y+3)=2(x+3)^2+a(x+3)+b
 y=2x^2+(a+12)x+(3a+b+15)
これが (3,19) を通ることより
 19=18+3(a+12)+(3a+b+15)
 6a+b+50=0   ・・・(ii)
(i)(ii) を解いて、
 a=-12, b=22

No.31108 - 2015/03/30(Mon) 11:58:35
群数列 / AYUMI 高2
わかりやすく教えてください。
特に(?A)が良くわかりません。

No.31101 - 2015/03/29(Sun) 18:05:20

Re: 群数列 / AYUMI 高2
解答を見てもわかりません。
よろしくお願いします。

No.31102 - 2015/03/29(Sun) 18:07:05

Re: 群数列 / IT
分かりにくいときは、具体的に考えると分かりやすくなるときがあります。

{a[1],a[2]}, {a[3],a[4],a[5]}, [a[6],a[7],a[8],a[9]}, {a[10],...,a[14]},... で

a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9],a[10]がどうなるか考えて,計算して書いてみてください。

No.31103 - 2015/03/29(Sun) 19:36:49

Re: 群数列 / AYUMI 高2
ITさんありがとうございました。

今回具体的に考えられなくて質問しました。
ですから、どうなるか考えて計算することもできませんでした。
どの様に考えるのか、そこを具体的に教えていただけるとありがたいです。

No.31104 - 2015/03/30(Mon) 10:00:19

Re: 群数列 / ヨッシー
この問題の出典は何ですか?
大いに誤解を与える、もしくは解答不能な問題です。

最初の書き出しを
数列{a[M]} (M=1,2,3,…) において、
とすれば、正しい問題になります。

その上で問題を見ると、
(i) 第n区の最初の項を第N項(a[N])とするとき、Nをnで表わせ。
(ii) 第n区の最初の項(a[N])と、最後の項(a[N+n])をnで表わせ。
となります。

(i) は解答の通り、特に付け加えることはありません。
(ii) は、まず最初の14項もしくは20項を、書き上げられるようになってからですね。

No.31107 - 2015/03/30(Mon) 11:25:38

Re: 群数列 / AYUMI 高2
ヨッシーさんありがとうございます。

これは受験サプリの問題です。

a[1]=1,a[2]=2,a[3]=4,a[4]=6,a[5]=8,a[6]=11,a[7]=14,a[8]=17,a[9]=20,a[10]=24,a[11]=28,a[12]=32,a[13]=36,a[14]=40

各区の最初の項は、1,4,11,24・・・なので、
cn=2n+2
bn=3+Σ[k=1〜n-1]ck
a[N]=1+Σ[k=1〜n-1]bk=1/3n(n^2+2)
解答とは違うのですが、これでも良いのでしょうか?

また、解答のa[N]=a[1]+Σ[k=1〜n-1]k^2+Σ[k=1〜n-1](k+1)がよくわからないのですが。

No.31109 - 2015/03/30(Mon) 15:11:47

Re: 群数列 / ヨッシー
答えは合っていますが、最初の数項の階差(の階差)から推測しただけということで、減点されるかもしれませんね。

a[N]=a[1]+Σ[k=1〜n-1]k^2+Σ[k=1〜n-1](k+1)

は、上で AYUMI 高2 さんが求めた b[n]=n^2+n+1 と同じ式ととらえることも出来ますが、これだとやはり
階差による推測となりますので、別の演繹的な見方をしてみます。

第1区の初項から、第2区の初項に行くまでには、1を2つ分+1
第2区の初項から、第3区の初項に行くまでには、2を3つ分+1
第3区の初項から、第4区の初項に行くまでには、3を4つ分+1
 ・・・
第k区の初項から、第k+1区の初項に行くまでには、kを(k+1)個分+1  ←実際に必要なのはこれだけ
それぞれ増えているので、
 k(k+1)+1=k^2+k+1
これを、k=1 から k=n-1 まで足したものを a[1] に加えると a[N](第n区の初項)になるという具合です。

No.31110 - 2015/03/30(Mon) 16:17:55

Re: 群数列 / AYUMI 高2
ヨッシーさん、お忙しい中、丁寧に教えていただきありがとうございました。
おかげさまで、とても良く理解することができました。

No.31111 - 2015/03/30(Mon) 17:43:18

Re: 群数列 / ヨッシー
上の説明は
第1区の初項から、第2区の初項に行くまでには、1を1つ分と1+1
第2区の初項から、第3区の初項に行くまでには、2を2つ分と2+1
第3区の初項から、第4区の初項に行くまでには、3を3つ分と3+1
 ・・・
第k区の初項から、第k+1区の初項に行くまでには、kをk個分とk+1
と書いたほうが、k^2+k+1 の式に直接もっていけますね。

No.31112 - 2015/03/30(Mon) 18:31:11
トレミーの定理逆の証明について。 / コルム
すみません・・。
トレミーの定理の証明は、わかったのですが、
逆がわかりません・・。
図が、わからなくて・・。
教えていただけないでしょうか・・?

No.31096 - 2015/03/28(Sat) 22:25:46

Re: トレミーの定理逆の証明について。 / のぼりん
マルチ先に回答しました。
No.31099 - 2015/03/29(Sun) 01:20:20

Re: トレミーの定理逆の証明について。 / コルム
ありがとうございました。
No.31100 - 2015/03/29(Sun) 06:52:19
(No Subject) / えるさ
問題と答えあります。
この問題をもう少し噛み砕いて教えてくださいm(__)m

No.31094 - 2015/03/28(Sat) 16:00:05

Re: / ヨッシー
>周期4で繰り返す
まではいいですか?
すると、sin(2π/n) が0になる項は省いて書き直すと
 S[4m]=・・・
の式になります。4項ごとに、一区切りになりますので、
まずは、n が4の倍数の時のS[n] および、その収束性を
調べます。
その結果が S[4m]=3/10 です。
ただし、これは n が4の倍数の時にのみ言えることかもしれませんので、
それ以外の n=4m+1, 4m+2, 4m+3 についての収束性を調べているのが、
>また
以降の4行です。

No.31095 - 2015/03/28(Sat) 17:25:15
(No Subject) / らる
a〈1〉=2,a〈n+1〉=a〈n〉/2+1/a〈n〉で定義される数列{a〈n〉}に対して,

(1)a〈n〉≧√2(n=1,2,・・・)・・・を示せ

(2)a〈n+1〉-√2≦1/2(a〈n〉-√2)(n=1,2,・・・)を示せ

(3)lim【n→∞】a〈n〉を求めよ

どなたか宜しくです

No.31092 - 2015/03/25(Wed) 14:35:44

Re: / ヨッシー
(1)
全ての自然数nについて
a[n]>0 は明らかなので、
a[1]=2>√2 および、
n≧2 のとき
 a[n]=a[n-1]/2+1/a[n-1]
   ≧2√{(a[n-1]/2)(1/a[n-1])}
   =√2  (相加相乗平均より)

(2)
a[n+1]−√2≦(1/2)(a[n]−√2) ですね?
(左辺)−(右辺)=a[n+1]−a[n]/2−√2/2
 =1/a[n]−√2/2
1/a[n]≦1/√2=√2/2 より
(左辺)−(右辺)≦0
よって
a[n+1]−√2≦(1/2)(a[n]−√2)

(3)
a[n]−√2≦(1/2)(a[n-1]−√2)≦(1/2)^2(a[n-2]−√2)≦・・・≦(1/2)^(n-1)(a[1]−√2)
これと、a[n]≧√2 より
n→∞ のとき
a[n]−√2→+0
よって、lim[n→∞]a[n]=√2

No.31093 - 2015/03/25(Wed) 15:03:59
幾何 / 神大志望
三角形ABCがあり、へんの長さをAB=c,BC=a,CA=bで定める。次の二つの条件を満たすとき、a:b:cを求めよ。
1、∠C=2∠A
2、a,b,cの順に等差数列となる

御手数かけますがお願いします

No.31088 - 2015/03/25(Wed) 01:41:32

Re: 幾何 / X
条件1より
∠B=π-3∠A (P)
∴△ABCの外接円の半径をRとすると正弦定理により
a/sin∠A=b/sin3∠A=c/sin2∠A=2R
となるので
a=2Rsin∠A (A)
b=2Rsin3∠A (B)
c=2Rsin2∠A (C)
一方、条件2から公差について
b-a=c-b (D)
(D)に(A)(B)(C)を代入して
4Rsin3∠A=2Rsin∠A+2Rsin2∠A
これより
2sin3∠A=sin∠A+sin2∠A
更にsin∠A≠0に注意すると
2(3-4(sin∠A)^2)=1+2cos∠A
2(-1+4(cos∠A)^2)=1+2cos∠A
8(cos∠A)^2-2cos∠A-3=0
(2cos∠A+1)(4cos∠A-3)=0
条件1より0<∠A<π/3ゆえ
1/2<cos∠A<1
∴cos∠A=3/4 (E)
以上(E)と(A)(B)(C)により
a:b:c=sin∠A:sin3∠A:sin2∠A
=1:{3-4(sin∠A)^2}:2cos∠A
=1:{-1+4(cos∠A)^2}:2cos∠A
=1:5/4:3/2
=4:5:6

No.31089 - 2015/03/25(Wed) 02:40:24

Re: 幾何 / sakana
正弦定理を用いるのが正攻法ですが、やや巧妙な補助線を引けば初等幾何の範囲でも解けます。

具体的には、∠Bの二等分線とACの交点をDとして、AB上に点EをBC=BEとなるようにとります。
そこで三角形の合同と条件1を用いることでAE=ED=DC=c-aなどが導け、さらに角の二等分線の性質と条件2を用いることでa:b:c=4:5:6が導けます。

No.31127 - 2015/04/02(Thu) 09:36:14
組み合わせ / 神大志望
問題 13個が横一列に並んだマスと、このマスの上を左右に1つあるいは1つとばしで動かせる(つまり2マス動かせる)コマがある。コマは最初左端に止まっているが、全てのマスに1回ずつ止まって最後右端に到達するような場合は何通りあるか

お願いします

No.31087 - 2015/03/25(Wed) 01:37:37

Re: 組み合わせ / らすかる
止まっていないマスを2回連続飛ばしてしまうと条件を満たすことが不可能だから、
左に戻るとしても1→3→2→4のように連続2マスを逆順に進むだけ。
逆順に止まれるのは(2マス目,3マス目)、(3マス目,4マス目)、…、(11マス目、12マス目)の
10組で、しかも連続2組を逆順に進む(例えば1→3→2→5→4)のは不可能だから、
それを考慮して2マス目から11マス目の中から逆順に進む0〜4箇所を決めればよい。
0箇所のとき1通り
1箇所のとき(10-0)C1通り
2箇所のとき(10-2)C2通り
3箇所のとき(10-4)C3通り
4箇所のとき(10-6)C4通り
だから、全部で60通り。

No.31090 - 2015/03/25(Wed) 02:48:39
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