y=x^2の上に異なる3点A(p,p^2),B(1-p,(1-p)^2),c(q,q^2)をとる
三角形ABCが正三角形になるとき、p,qの値を求めよ。
普通にAB,AC,BCと求めていったら計算不能へ・・・
何か上手い方法はありますか
なお答えはp=1/2-√3,q=-5/2またはp=1/2+√3,q=-5/2です
よろしくお願いします
|
No.31430 - 2015/05/21(Thu) 08:06:43
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | 点Ｂを点Ａを中心に60°回転した点を求めます。
点Ａ、点Ｂを(-p,-p^2) 平行移動すると、(0,0), (1-2p, 1-2p)
これを原点周りに 60°回転すると、((1-√3)(1-2p)/2, (1+√3)(1-2p)/2)
これを、(p,p^2) 平行移動して ((1-√3＋2√3p)/2, (1+√3)(1-2p)/2＋p^2)
これが y＝x^2 上にあるためには
(1+√3)(1-2p)/2＋p^2＝(1-√3＋2√3p)^2/4
整理して
4p^2−4(1＋√3)p＋2(1＋√3)＝12p^2＋4√3(1−√3)p＋4−2√3
4p^2＋2(2√3−2)p＋1−2√3＝0
これを解いて、
ｐ＝{(2−2√3)±2√3}/4
＝1/2, 1/2−√3
このうち、p=1/2 は、ＡとＢが同じ点になるため不適。
よって、ｐ＝1/2−√3
このとき、移動後の点のｘ座標ｑは
ｑ＝(1-√3＋2√3p)/2＝-5/2
また、ＡとＢのｘ座標は、ｘ＝1/2 に対して対称であるので、
Ａのｘ座標を x-1/2 に対して対称移動した
ｐ＝1/2＋√3
も答えとなります。
これは、ＡとＢを入れ替えた位置にありＣは変わりません。
また、上の解答を −60°回転させて解いた時の解でもあります。
|
No.31431 - 2015/05/21(Thu) 09:07:50 |
| ☆ Re: / ふみ | | | 素晴らしい解答ありがとうございました！
別解なのかな？学校の先生はヒントでABの傾きが1を利用するとあったんですがどうするんですかね？
もしよかったらお願いします！
|
No.31442 - 2015/05/21(Thu) 22:43:38 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | 最後まで解いていませんが、ＡＢの中点を通って、傾き−１の直線と、
y=x^2 の交点をＣとして、ＡＢ＝ＡＣ からｐを求めるのではないでしょうか？
|
No.31443 - 2015/05/22(Fri) 05:06:01 |
|
