ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学?V / なにゃら

問7を教えてください。
今日授業でやったのですがよくわかりません

No.31685 - 2015/06/09(Tue) 20:54:19

☆ Re: 数学?V / なにゃら

今日習ったこの公式を使ってくれると嬉しいです

No.31686 - 2015/06/09(Tue) 20:54:54

☆ Re: 数学?V / ヨッシー

その公式の根本を理解していないと、なかなか応用しづらいでしょう。
f(x) の原始関数を F(x) とすると
　(公式の左辺)＝(d/dx)(F(x)－F(a))＝f(x)
となります。(F(a) は定数なので、微分すると消えます)

問題に戻ると、
f(x)＝log(x) とし、f(x) の原始関数を F(x) とすると、
　ｙ＝F(x^2)－F(x)
これをｘで微分すると
　dy/dx＝2xf(x^2)－f(x)
　　＝2x・log(x^2)－log(x)
　　＝(4x-1)log(x)
となります。

No.31687 - 2015/06/09(Tue) 22:49:47

☆ Re: 数学?V / なにゃら

根本からよくわかりました！
すごいスッキリしました！ありがとうございます

No.31688 - 2015/06/09(Tue) 23:09:13

★ 内分点の作図 / まゆ

問題
∠ＸＯＹの内部にある点をＰとする。辺ＸＯ、辺ＹＯ上の点をそれぞれＡ，Ｂとする。このとき点Ｐが線分ＡＢの３：２の内分点となるように線分ＡＢを作図する。

よろしくお願いいたします。

No.31673 - 2015/06/08(Mon) 11:45:36

☆ Re: 内分点の作図 / ヨッシー

もっとスマートな方法があるかもしれませんが、

※手違いでＦが２個ありますが、文脈や図から判断して下さい。
また、途中のＰＥ＝ＣＧはＰＦ＝ＣＧの誤りです。

＜解説＞

ＡＰ：ＰＢ＝３：２　となる点Ａ，Ｂが描けたとし、
図のように、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｘ，ｙを決めます。
メネラウスの定理より、
　(y/x){(c-d)/d}{b/(a+b)}＝１　　・・・(1)
　(2/3)(c/d)(b/a)　　　　・・・(2)
(2) よりｄ：ｂ＝２ｃ：３ａ　なので、
　ｄ＝2kc、ｂ＝3ka
とおきます。
(1) に代入して
　(y/x){(c-2kc)/2kc}{3ka/(a+3ka)}＝１
整理して
　(y/x){(3-6k)/(2+6k)}
　ｘ：ｙ＝(3-6k)：(2+6k)
これより
　(x+y)/x＝５：３－６ｋ
ここで、
　ｘ＋ｙ＝ＣＤ＝５
とすると、
　ｘ＝３－６ｋ
であり、ｂ＝3ka であるので、３ｋ＝ｍとすると、
　ｘ＝３－２ｍ
　ｂ＝ｍａ
となるので、上のような作図となります。

なお、等分する、平行線を引くなど基本的な作図は省略しました。

No.31676 - 2015/06/08(Mon) 17:08:09

☆ Re: 内分点の作図 / まゆ

詳細なご解説をして頂き、ありがとうございます。

助かりました。

No.31684 - 2015/06/09(Tue) 15:27:01

☆ Re: 内分点の作図 / ヨッシー

蛇足ながら、一般的に、ＡＰ：ＢＰ＝ｍ：ｎとなるような点Ａの取り方を調べてみました。

ＡＰ：ＰＢ＝ｍ：ｎ　となる点Ａ，Ｂが描けたとし、
図のように、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｘ，ｙを決めます。
メネラウスの定理より、
　(y/x){(c-d)/d}{b/(a+b)}＝１　　・・・(1)
　(n/m)(c/d)(b/a)　　　　・・・(2)
(2) よりｄ：ｂ＝nc：ma　なので、
　ｄ＝knc、ｂ＝kma
とおきます。
(1) に代入して
　(y/x){(c-knc)/knc}{kma/(a+kma)}＝１
整理して
　(y/x){(m-kmn)/(n+kmn)}＝１
　ｘ：ｙ＝(m-kmn)：(n+kmn)
これより
　(x+y)/x＝(m+n)：(m－kmn)
ここで、
　ｘ＋ｙ＝ＣＤ＝ｍ＋ｎ
とすると、
　ｘ＝ｍ－kmn
であり、ｂ＝kma であるので、km＝ｔとすると、
　ｘ＝ｍ－ｔｎ
　ｂ＝ｔａ
となるので、
ＣＤを(m+n)等分し、Ｃからｍ個目の点をＦ、１個目の点をＧとします。
ＰＦをｎ等分した長さをＣからＤ方向に取り、ＣＨとします。
Ｈを通って、ＯＧに平行な直線とＯＸの交点をＩとし、
ＣＡ＝ＣＩとなる点Ａを、Ｃから見てＩと反対側に取ります。
ＡＰとＯＹの交点がＢとなります。

図は、７：２に内分する場合の作図です。

No.31693 - 2015/06/10(Wed) 17:13:13

★ (No Subject) / アカシロトモ

問題　
ｆn(x)=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+・・・+x^n/n! （nは自然数）
このとき方程式fn(x)=0は、nが奇数ならばただひとつの実数解をもち、nが偶数ならば実数解をもたないことを証明せよ。

よろしくお願いいたします。

No.31665 - 2015/06/07(Sun) 20:26:12

☆ Re: / らすかる

nが奇数のとき、lim[x→±∞]f[n](x)=±∞（複号同順）ですから
f[n](x)=0は少なくとも一つの実数解を持ちます。…(1)

f[1](x)=0は解x=-1を持ち、またy=f[1](x)は増加関数です。
nが偶数かつy=f[n-1](x)が増加関数で、f[n-1](x)=0がちょうど一つの解を持つならば
f[n-1](x)=0の解をα[n-1]とするとf[n-1](α[n-1])=0ですから
f[n](α[n-1])=f[n-1](α[n-1])+(α[n-1])^n/n!＞0
f'[n](x)=f[n-1](x)
からf[n]はx＜α[n-1]で減少し、x=α[n-1]で正の極小値をとり、
x＞α[n-1]で増加します。
従ってnが偶数かつf[n-1](x)が増加関数ならばf[n](x)は常に正の値をとりますので
実数解を持ちません。
nが奇数かつf[n-1](x)が常に正ならば、f[n](x)=0は増加関数ですから
(1)と合わせてただひとつの実数解を持ちます。
よって数学的帰納法によりすべてのnについて命題が成り立ちます。

# なんかまとめ方がうまくない気がしますので、
# 適当にまとめ直して下さい。

No.31668 - 2015/06/07(Sun) 21:07:31

☆ Re: / アカシロトモ

らすかる　さん

　詳しい回答ありがとうございました。
じっくりと読ませていただいて、
理解できるようにしたいと思います。
　いつもありがとうございます。

No.31670 - 2015/06/07(Sun) 21:44:41

★ (No Subject) / ao

画像の問題を(2)までといたのですがあっていますか

No.31663 - 2015/06/07(Sun) 11:49:54

☆ Re: / X

問題文をよく読みましょう。
題意からfはrのスカラー関数ではありますが
f=r
ということではありません。
ということで
(1)
∇f=(∂f/∂x)↑i+(∂f/∂y)↑j+(∂f/∂z)↑k
=(∂r/∂x)f'↑i+(∂r/∂y)f'↑j+(∂r/∂z)f'↑k
=(x/r)f'↑i+(y/r)f'↑j+(z/r)f'↑k
=(f'/r)↑r
(2)
Δf=∇・∇f
=(∂/∂x){(x/r)f'}+(∂/∂y){(y/r)f'}+(∂/∂z){(z/r)f'}
=f'{(∂/∂x)(x/r)+(∂/∂y)(y/r)+(∂/∂z)(z/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
=(f'/r^2){(r-(x^2)/r)+(r-(y^2)/r)+(r-(y^2)/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
=(f'/r^2)(3r-r)+f"{(x/r)^2+(y/r)^2+(z/r)^2}
=2f'/r+f"

No.31664 - 2015/06/07(Sun) 16:27:21

☆ Re: / ao

=(f'/r^2){(r-(x^2)/r)+(r-(y^2)/r)+(r-(y^2)/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
の部分ですが
(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
とr^2になりませんか

No.31667 - 2015/06/07(Sun) 21:03:36

☆ Re: / X

>>(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
>>とr^2になりませんか
(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
+r^2
という意味であればそうはならないと思います。
どのような計算でこの結果を得たのか過程を
アップしてもらえますか？
或いは模範解答がそのようになっているのでしょうか？

No.31669 - 2015/06/07(Sun) 21:43:52

☆ Re: / ao

申し訳ないです、計算式を見間違えていました
計算してみたら同じ答えになりました
それと(3)を画像のように解いて見たのですがわかりません
教えてください、よろしくお願いします

No.31671 - 2015/06/07(Sun) 22:39:12

☆ Re: / X

球座標で計算するのであれば、ヤコビヤンである
(r^2)sinθ
を被積分関数にかけないといけません。
その点に注意してもう一度計算し直してみて下さい。

それから(2)の結果を使おうとしているのは
問題ないのですが、fはrのみの関数ですので
f',f"
はいずれも偏微分ではなくて常微分です。
間違えて偏微分の記号を使わないようにしましょう。

No.31672 - 2015/06/08(Mon) 00:13:14

☆ Re: / ao

∫[0→a](2f'/r+f'')r^2dr
をどのように計算すればいいのかわかりません

No.31674 - 2015/06/08(Mon) 14:22:44

☆ Re: / X

∫[0→a](2f'/r+f'')r^2dr=∫[0→a]{2rf'+(r^2)f''}dr
=[(r^2)f'][0→a] (∵)積の微分
=(a^2)f'(a)
となります。

No.31675 - 2015/06/08(Mon) 14:47:59

☆ Re: / ao

詳しく教えていただきありがとうございます

No.31677 - 2015/06/08(Mon) 20:31:01

★ 数列 / ふぇるまー

いつもお世話になってます。
質問です。
問?@　a[1]=1,a[n+1]=a[n]/a[n]+2　(n=1,2,3,…)
で定められる数列{an}がある。
(1) b[n]=1/a[n]とすると、　b[n+1]とb[n]の関係式を求めよ。
(2)　数列{an}の一般項　a[n]=?

問?A　数列{an}の初項から第n項までの和S[n]が　a[n]=2Sn+an-3(n=1,2,3,…)を満たすとき、
a[n]=?
以上ご教授をできれば、(月)ぐらいまでご返事戴きたいのです。

No.31659 - 2015/06/07(Sun) 00:00:17

☆ Re: 数列 / X

問1
>>a[n+1]=a[n]/a[n]+2
を
a[n+1]=a[n]/(a[n]+2)
のタイプミスと見て回答します。
(1)
条件のとき問題の漸化式は
1/b[n+1]=(1/b[n])/(1/b[n]+2)
これより
b[n+1]=2b[n]+1
(2)
(1)の結果を使ってb[n]を求めます。
但し
b[1]=1/a[1]=1
に注意します。

問2
問題文にタイプミスはありませんか？
必要な括弧はきちんと付けて下さい。

No.31660 - 2015/06/07(Sun) 02:15:48

☆ Re: 数列 / ふぇるまー

すいませんでした。自己解決いたしましたので大丈夫でございます。ありがとうございました。

No.31666 - 2015/06/07(Sun) 20:39:20

★ (No Subject) / ao

画像の連立微分方程式の問題で
左は行列からλを求めて、右は演算子から求めたのですが一致しません
右が間違っていると思うのですがどこが間違っていますか

No.31653 - 2015/06/06(Sat) 21:21:46

☆ Re: / X

左の計算では行列を対角化する際に
(x[1],x[2],x[3])
を別のベクトルに変換します。
これに対して右の計算では
x[1],x[2],x[3]を別の変数に変換していない
ので、一致していないのは当然です。

No.31655 - 2015/06/06(Sat) 21:38:14

☆ Re: / ao

λは同じにならないのですか
よくわからないのですがどのように書いたらいいのでしょうか

No.31656 - 2015/06/06(Sat) 21:43:44

☆ Re: / X

ごめんなさい。勘違いをしていたようです。
確かに右の計算でλに対応する値が演算子に絡んで
現れないとおかしいですね。

では何故λ=1が現れないかですが以下の通りです。
左の計算においてλ=1に対応する固有ベクトルを求めると
(0,1,1)
従ってx[1]についてはλ=1に関する項、つまり
e^t
の項が消えますので、右側の計算でλ=1に対応する部分は現れません。

ちなみにλ=i,-iについてですが、右の計算において
(D+1/D)x[1]=0
から
(D^2+1)x[1]=0
∴(D+i)(D-i)x[1]=0
となり、対応する部分が現れています。

No.31658 - 2015/06/06(Sat) 22:44:46

☆ Re: / ao

ありがとうございます

No.31662 - 2015/06/07(Sun) 11:47:44

★ (No Subject) / さくら

写真の図で、ある本に、頂点2,3,...から辺ABまでの距離について、
|2AB| < |3AB|<....
が成立しする。同様に反対側でも
∠n1A < ∠ (n-1)1A < …… ?@
∠n1B < ∠ (n-1)1B<…… ?A
・
・
と書いてありました。どうしても?Aの意味が分かりません教えて下さい

No.31639 - 2015/06/05(Fri) 22:13:07

☆ Re: / らすかる

距離ではなく、角度では？
それと、下に ∠21B＜∠31B＜… と書いてありますが、
|2AB|＜|3AB|＜… は間違いではありませんか？
もしそうだとすると、成り立つのは
∠n1A＜∠(n-1)1A＜… と
∠n1B＞∠(n-1)1B＞…
で、不等号の向きが逆だと思います。

No.31642 - 2015/06/05(Fri) 23:31:19

★ 自作問題です！ / Π

自作問題です！
難易度判断と解答をお願いします
高校範囲の問題です
1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,0…
と1が一つずつ増えていく数列をCnとする
この数列の一般項を求めよ
ただし場合分け、ガウス記号、絶対値記号などは無しでお願いします

No.31637 - 2015/06/05(Fri) 19:47:46

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

難易度は「など」の内容によると思います。
（条件をつけるならば、「使ってよいもの」を全部書くのが良いと思います。）

No.31638 - 2015/06/05(Fri) 21:08:07

☆ Re: 自作問題です！ / Π

そうですね、確かに説明が不十分でした。
数3数2数1数A数Bのうちのガウス記号、場合分け、絶対値記号以外を使ってお願いします。

No.31640 - 2015/06/05(Fri) 22:29:37

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

では、G.C.D.(a,b)とかΣや∫は使って良いのですね？

# それを使った解答があるというわけではありません。
# 確認せずに考えても無駄になる可能性がありますので、
# 考える前にきちんと確認したいだけです。

No.31641 - 2015/06/05(Fri) 23:26:53

☆ Re: 自作問題です！ / Π

返信遅れてすみません！
つかって大丈夫です！
お願いします

No.31643 - 2015/06/06(Sat) 07:27:51

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

ガウス記号と場合分けと絶対値以外何でもありならば、例えば
C[n]=1-lim[m→∞]{cos((√(8n+9)-3)π/2)}^(2m)
難易度は、こういう類の問題を高校まででは習わないことを考えれば、
高校生以下には難しいと思います。

No.31644 - 2015/06/06(Sat) 09:57:37

☆ Re: 自作問題です！ / Π

逆関数を使う自分的に新鮮な問題だったので質問させてもらいました！
僕は高校3年なのですが、独学でしか数学をやってないので、あんまりわからないんですけど、やはり、あまり高校範囲でやらないんですか…
らすかるさんは高校生じゃないのかなって思い質問なんですけど大学にはいったらこのような考え方もするんですか？

No.31649 - 2015/06/06(Sat) 15:04:10

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

大学でも、そういう特殊な数列に対して
「この数列を表す式を作れ」というような問題は
扱わないと思います。
私個人的にはその類の問題を考えたことは数多くありますし、
人の自作問題でも見たことはありますが、
数学的な価値があまりありませんので
学校ではやらないでしょうね。

No.31651 - 2015/06/06(Sat) 19:39:43

☆ Re: 自作問題です！ / Π

そうなんですか、わかりました(￣^￣)ゞ
ありがとうございましたm(_ _)m
らすかるさんは理学部の方ですか？教えていただければ光栄です！

No.31652 - 2015/06/06(Sat) 20:33:19

☆ Re: 自作問題です！ / らすかる

個人情報については控えさせていただきます。

No.31654 - 2015/06/06(Sat) 21:26:41

☆ Re: 自作問題です！ / Π

わかりましたm(_ _)m
失礼な質問すみませんでした(´･_･`)

No.31657 - 2015/06/06(Sat) 22:38:41

★ (No Subject) / さくら

最大の正多角形は正方形の対角線を対称軸としてもつ
という定理があります。証明をしていく中で、8角形や12角形の内接円と正方形の内接円が同じになるとあるのですが
、いまいち分かりません
図でも構いませんので、教えてください

No.31625 - 2015/06/05(Fri) 09:22:48

☆ Re: / ヨッシー

>最大の正多角形
とは何ですか？

どんな本に出てきた、また、どんな問題を解く時に使われる定理でしょうか？

No.31626 - 2015/06/05(Fri) 09:27:35

☆ Re: / さくら

説明分かりにくくてすみません。
正方形に内接する正多角形のことです。
折紙を使った証明で出てきます！

No.31627 - 2015/06/05(Fri) 09:55:26

☆ Re: / ヨッシー

図は正８角形、正１２角形、正２４角形の例です。
４辺が正方形の辺と重なっているとき、各正多角形の内接円と
正方形の内接円が一致します。

内接円の半径が大きいほど、正多角形の１辺も大きく、また、
正方形の内部に描ける円で、半径が最大のものは内接円であるので、
図のような状態で、各正多角形の１辺が最大になります。

No.31629 - 2015/06/05(Fri) 10:49:24

★ 平面幾何（３） / MR

平面幾何の問題です。

角Cが直角である三角形ABCの頂点Aを通り、底辺BCに平行な直線ℓを引く。
角Bの中に点Bを通る直線を引き、ℓとDで交わり、ACとEで交わるとき、EDの長さがABの長さの二倍になった。
このとき、角ABEは角ABCの三分の二であることを示せ。

さっぱり分かりません。
どうかよろしくお願いします。

No.31612 - 2015/06/04(Thu) 21:34:29

☆ Re: 平面幾何（３） / IT

DE の中点をFとしてFAを結んで見てください
△FDA,△FAE,△ABFは二等辺三角形になります。

No.31613 - 2015/06/04(Thu) 22:37:52

☆ Re: 平面幾何（３） / IT

∠ABF=∠AFB=2∠FDA=2∠CBE となります。

No.31614 - 2015/06/04(Thu) 22:43:17

☆ Re: 平面幾何（３） / MR

なるほどです。
補助線FAを引けば即決ですね。
見事です！

No.31624 - 2015/06/05(Fri) 08:36:12

★ 相加平均と相乗平均の大小関係 / Hoppag

次の証明で間違っている所を教えて下さいm(__)m

0＜xのとき、
X+2/x≧2√2
両辺にxをかけて、 x(x+2/x)≧x(2√2)
両辺に2xを足して、 2x+x(x+2/x)≧2x+x(2√2)

等号成立は x=√2のときだから、
2x+x(x+2/x)の最小値はx=√2のときで、 4+2√2

証明ここまでなんですが、

2x+x(x+2/x)=x^2+2x+2

y=x^2+2x+2 (0＜x) のとき、yの最小値は求められないですよね？

長文の上分かりずらくてすみません、よろしくお願いしますm(__)m

No.31597 - 2015/06/04(Thu) 01:08:58

☆ Re: 相加平均と相乗平均の大小関係 / X

確かに
2x+x(x+2/x)≧2x+x(2√2)
の不等号の下の等号はx=√2のときに
成立はしますが、それは飽くまで
等号が成立する「だけ」であって
左辺の最小値がx=√2のときの値で
あるわけではありません。

y=2x+x(x+2/x)(=x^2+2x+2) (A)
y=2x+x(2√2)(=2(1+√2)x) (B)
のグラフをx＞0の範囲で描いて
(A)(B)の大小関係とグラフとの
関連性から調べてみましょう。

No.31598 - 2015/06/04(Thu) 02:07:35

☆ Re: 相加平均と相乗平均の大小関係 / Hoppag

回答ありがとうございますm(__)m

でも、a≧bのとき、aはbと同じかbより大きいことなので、すなわち、等号が成立するとき、aは最小になるという考えは間違ってないとおもうのですが、どうでしょうか？

No.31601 - 2015/06/04(Thu) 07:35:30

☆ Re: 相加平均と相乗平均の大小関係 / らすかる

それが必ず言えるのはbが定数の場合だけです。
bにも変数が入っている場合は成り立ちません。
実際、2x+x(x+2/x)≧2x+x(2√2) で
x=√2 のとき a=4√2, b=4√2 で確かに等号が成り立ちますが
x=1 のとき a=5, b=2+2√2≒4.8 のようになり、
x=1のときの方がaが小さくなります。

もうすこし視覚的にわかりやすい例を挙げるならば、
例えば f(x)=-x^2, g(x)=-2x^2 として
グラフを描いてみて下さい。
常にf(x)≧g(x)であり、等号が成り立つのはx=0の時ですが
x=0のときにf(x)が最小になりませんね。
（最小にならないどころか、最大になります。）
上の 2x+x(x+2/x)≧2x+x(2√2) の左辺と右辺は
そのような関係になっているということです。

No.31602 - 2015/06/04(Thu) 09:52:54

☆ Re: 相加平均と相乗平均の大小関係 / Hoppag

わかりました！

分かりやすい説明ありがとうございましたm(__)m

No.31605 - 2015/06/04(Thu) 12:29:01

★ 数学の二次関数です / 特命係長

解き方を教えてください

No.31590 - 2015/06/03(Wed) 22:17:09

☆ Re: 数学の二次関数です / ヨッシー

(1)
t^2＝x^4＋4x^3＋4x^2 であるので、
　ｙ＝t^2＋t＋3
(2)
-2≦ｘ≦1 のとき、ｔは
　ｘ＝－１　で最小値ー１、
　ｘ＝１　で最大値３
を取るので、-1≦t≦3。この範囲内で
　ｙ＝t^2＋t＋3
　　＝(t＋1/2)^2＋11/4
の最大最小を考えると
　ｔ＝-1/2 のとき、最小値 11/4
　ｔ＝３　のとき最大値15
を取ります。また、t=-1/2 となるｘは
　x^2＋2x＝-1/2
を -2≦ｘ≦1 の範囲で解いて
　ｘ＝-1±√2/2
ｔ＝３となるｘは　ｘ＝１

No.31593 - 2015/06/03(Wed) 22:57:21

☆ Re: 数学の二次関数です / 特命係長

ありがとうございます！

No.31610 - 2015/06/04(Thu) 17:45:56

★ (No Subject) / ao

画像の問題の(1)の解き方を教えてください
よろしくお願いします

No.31589 - 2015/06/03(Wed) 21:45:13

☆ Re: / X

Sを表面とする球の表面および内部をVとすると
ガウスの発散定理により
(与式)=∫∫∫[V]∇・(↑r/r^3)dxdydz
ここで
∇・(↑r/r^3)
={1/r^3-(3x/r^4)(∂r/∂x)}+y{1/r^3-(3y/r^4)(∂r/∂y)}+{1/r^3-(3z/r^4)(∂r/∂z)}
=3/r^3-(3/r^4){(x^2)/r+(y^2)/r+(z^2)/r}
=0
∴(与式)=0
となります。

No.31595 - 2015/06/03(Wed) 23:38:57

☆ Re: / ao

∇・(↑r/r^3)
={1/r^3+(3x/r^4)(∂r/∂x)}+y{1/r^3+(3y/r^4)(∂r/∂y)}+{1/r^3+(3z/r^4)(∂r/∂z)}

なぜこのように式変形できるかわかりません
教えてください。よろしくお願いします

No.31608 - 2015/06/04(Thu) 15:39:31

☆ Re: / X

↑r=(x,y,z)
ですので
∇・(↑r/r^3)=(∂/∂x)(x/r^3)+(∂/∂y)(y/r^3)+(∂/∂z)(z/r^3) (P)
ここで商の微分により
(∂/∂x)(x/r^3)={r^3+x・(3r^2)(∂r/∂x)}/r^6
=1/r^3+(3x/r^4)(∂r/∂x)
(P)の第二項、第三項も同様の変形をします。

No.31609 - 2015/06/04(Thu) 17:13:46

☆ Re: / ao

(∂/∂x)(x/r^3)={r^3+x・(3r^2)(∂r/∂x)}/r^6
ではなく
(∂/∂x)(x/r^3)={r^3-x・(3r^2)(∂r/∂x)}/r^6
となり、プラスではなくマイナスになりませんか

No.31611 - 2015/06/04(Thu) 19:10:25

☆ Re: / X

ごめんなさい。その通りですね。
No.31595を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.31615 - 2015/06/04(Thu) 23:25:14

☆ Re: / ao

ありがとうございます
(2)を画像のように解いて見たのですがあっていますか

No.31622 - 2015/06/05(Fri) 00:20:40

☆ Re: / X

(∂^2/∂x^2)(1/r)
の計算を間違えていますね。

(∂^2/∂x^2)(1/r)=(∂/∂x){(∂/∂x)(1/r)}
=(∂/∂x){-x(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)}
=-(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)-x・{(-3/2)・2x}(x^2+y^2+z^2)^(-5/2)
=-(x^2+y^2+z^2)^(-3/2)+(3x^2)(x^2+y^2+z^2)^(-5/2)
=-1/r^3+(3x^2)/r^5
∴∇・↑E=(-1/r^3+(3x^2)/r^5)+(-1/r^3+(3y^2)/r^5)+(-1/r^3+(3z^2)/r^5)
=-3/r^3+3(x^2+y^2+z^2)/r^5
=0
∴…
となります。

No.31623 - 2015/06/05(Fri) 00:36:42

☆ Re: / ao

確かに間違えていますね…
(3)を解いてみて画像のようになったのですがあっていますでしょうか

No.31628 - 2015/06/05(Fri) 10:06:59

☆ Re: / X

3行目の変形が不十分です。
(∂/∂x)(f(r)x)=x∂f(r)/∂x+f(r)
=xf'(r)(∂r/∂x)+f(r)
=f'(r){(x^2)/r}+f(r)
となります。
これを使って、4行目以降を計算し直して
みましょう。

No.31630 - 2015/06/05(Fri) 13:57:34

☆ Re: / ao

あっていますか

No.31631 - 2015/06/05(Fri) 14:17:12

☆ Re: / ao

画像を添付し忘れていました

No.31632 - 2015/06/05(Fri) 14:17:58

☆ Re: / X

計算そのものは間違っていませんが
最終行はまだ微分方程式のままですので
解いたことにはなりませんよ。

No.31634 - 2015/06/05(Fri) 16:15:22

☆ Re: / ao

この続きはどうなりますかね？

No.31635 - 2015/06/05(Fri) 16:36:29

☆ Re: / X

rf'(r)+3f(r)=0
を解くと
f(r)=D/r^3
(Dは任意定数)
そこで求める解を
f(r)=g(r)/r^3
とおいて問題の微分方程式に代入すると
g'(r)/r^2=k
これより
g(r)=(k/3)r^3+C
(Cは任意定数)
となるので求める解は
f(r)=k/3+C/r^3
(Cは任意定数)
(初期条件が与えられていないので
Cの値を定めることはできません。)

No.31645 - 2015/06/06(Sat) 11:11:46

☆ Re: / ao

最後まで詳しく教えてくださりありがとうございます
理解することができました

No.31647 - 2015/06/06(Sat) 12:46:57