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★ 円錐の基本 / √
また教えてください。

「円錐」の展開図を見ると、
「扇形」と「円」がくっついた形になりますが、

なぜ、
絶対に「扇形」になっていると言えるのか疑問でした。

以前、らすかるさんに、
「扇形」は円の中心と、円周上の異なる２点を結んだ図形であって、
涙の形みたいに、曲率に対して中心の位置がおかしい形は
「扇形」とは言わないと教わりました。

そこで、
正確な扇形ではない、扇形みたいな形で円錐を作ろうとすると底面が円ではなく楕円みたいな形になってしまいました。

これは「扇形」でないと「円錐」にはならないという事実として受け止めれば良いのでしょうか？
No.31378 - 2015/05/15(Fri) 22:25:14
☆ Re: 円錐の基本 / らすかる
「直円錐」は頂点から底面に下ろした垂線に関して回転対称ですから、
頂点から底面の円周までの距離は１周どこをとっても一定です。
よってこれを普通に展開すると、側面は扇形になります。
ただし、必ず扇形でなければいけないわけではありません。
扇形の弧の部分は上の理由により変えられませんが、
側面を切り開く時に母線を切る直線部分は、
まっすぐに切らなければいけないわけではありません。
途中で切り方が曲がって一方の線が出っ張った場合、
その分他方がへこんでいればつじつまが合います。
従って必ずしも「扇形でなければ円錐にはならない」わけではありませんが、
「底面の円を切り取り、母線をまっすぐに切る」という条件付きであれば
「扇形でなければ円錐にはならない」と言えます。
No.31380 - 2015/05/16(Sat) 05:39:53
☆ Re: 円錐の基本 / √
らすかるさん　有難うございます。

> 頂点から底面の円周までの距離は１周どこをとっても一定です。

なるほど〜、「弧」に対して頂点が、
やたらと遠い位置にあったり、
やたらと近い位置にあったりすると、
頂点から「弧」までの距離が、一定にならないから、
一定の距離になる「扇形」でなければならないと言うことですね。

> 「扇形でなければ円錐にはならない」と言えます。

らすかるさん
有難うございました。
　
No.31382 - 2015/05/16(Sat) 10:12:34
★ (No Subject) / 名無し
「3ケタの自然数A,Bがあり、A>Bとする。AとBの最小公倍数が最大公約数の24倍であり、2数の和A+Bの約数の個数が6個のとき、この2数A,Bを求めなさい」という問題です。
答えは一応A=392,B=147
A=440,B=165
A=616,B=231
の中のどれか1つです。
答えの導き方を詳しく解説よろしくお願いします
No.31373 - 2015/05/15(Fri) 18:07:11
☆ Re: / ヨッシー
３択の問題なら、実際にやってみるのが確実です。

そうでない場合、
最大公約数をＳ、最小公倍数をＬとし、
　Ａ＝ＣＳ、Ｂ＝ＤＳ （Ｃ＞Ｄ、ＣとＤは互いに素）
と書けたとすると
　Ｌ＝ＣＤＳ
であるので、ＣＤ＝２４。
Ｃ、Ｄの候補は、(C,D)＝(24,1)、(3,8) ですが、(C,D)=(24,1) の場合、
Ａ，Ｂともに３桁の数になることはあり得ないので、
　Ｃ＝８，Ｄ＝３

一方、Ａ＋Ｂ＝（Ｃ＋Ｄ）Ｓ　の約数が６個であることから、
Ａ＋Ｂは　ＭＮ^2 の形に素因数分解できます。

よって、(C,D)＝(8,3) のとき
　Ｃ＋Ｄ＝１１
であるので、Ｓは11以外の素数の平方、または 11×(別の素数)。
また、Ａ，Ｂともに３桁になるには
　34≦Ｓ≦124
より、Ｓ＝49, 55, 77

以上より
　(A,B)＝(392, 147), (440, 165), (616, 231)

３択ではなくて、３つとも答えでした。
No.31381 - 2015/05/16(Sat) 08:07:17
★ (No Subject) / アカシロトモ
問題　「自然数l,m,nに対し、f(l,m,n)=(1/l)+(1/m)+(1/n)とする。
l+m+n=10のとき、f(l,m,n)の値の最小値と最大値を求めよ」

よろしくお願いします。
このような問題で、何か解き方のポイントがあるのでしょうか?
No.31372 - 2015/05/15(Fri) 18:05:30
☆ Re: / IT
l≧m≧n　として考える
l=8,7,6,5,4 のときを調べれば良いのでは。
No.31377 - 2015/05/15(Fri) 18:48:22
☆ Re: / アカシロトモ
ITさんありがとうございました。また、考えてみます。
No.31379 - 2015/05/15(Fri) 22:35:56
★ 高2 ベクトル / トロ
(ウ)までは解けました。
下から3行目の(エ)は、ベクトルの大きさと辺の長さは等しいので問に一辺が1だと書かれているため答えは1だという理由であっていますか？？
(オ)はOAとOBの内積を求めたところ1/2になったので答えも1/2ということでいいのでしょうか？
最後の(カ)はどうすれば解けるのかわかりませんでした。
教えていただけるとありがたいです……。
No.31369 - 2015/05/13(Wed) 01:02:18
☆ Re: 高2 ベクトル / ヨッシー
エは１，オは1/2 でいいです。

ＭＮ＝(-1/2)ＯＡ＋(1/2)ＯＢ＋(1/2)ＯＣ
の両辺を自信の内積（２乗のようなもの）を取って、
　ＭＮ・ＭＮ＝((-1/2)ＯＡ＋(1/2)ＯＢ＋(1/2)ＯＣ)・((-1/2)ＯＡ＋(1/2)ＯＢ＋(1/2)ＯＣ)
　(左辺)＝|ＭＮ|2
　(右辺)＝(1/4)(|ＯＡ|2＋|ＯＢ|2＋|ＯＣ|^2)＋(1/2)(−ＯＡ・ＯＢ＋ＯＢ・ＯＣ−ＯＣ・ＯＡ)
これに、エ、オ の結果を入れると求められます。
No.31371 - 2015/05/13(Wed) 05:13:04
★ 数学?B 微分 / なにゃー
連続ですみません…（テスト勉強中なもので…）
この問題なのですが僕には初めてみるパターンなのでどうやって解くのがわかりません…
僕の考えでは（極大値）×（極小値）＝0となれば実数解は2個もつと思うのですが0以上3以下という範囲があるのでよくわからなくなってしまいました…
No.31365 - 2015/05/12(Tue) 01:36:23
☆ Re: 数学?B 微分 / ヨッシー

条件を満たすグラフは上の４通りです。
No.31366 - 2015/05/12(Tue) 07:02:55
☆ Re: 数学?B 微分 / なにゃー
すみませんが、これらはどうやって数式で表すのでしょうか？
No.31367 - 2015/05/12(Tue) 16:44:19
☆ Re: 数学?B 微分 / ヨッシー
f(x) の極大を与えるｘの値をα、極小を与えるｘの値をβとします。
要するに3x^2−ａ＝０の解です。

グラフの特徴を言葉で言うと、
左上：
ｘ＝０のときf(x) が正
ｘ＝３のときf(x) が正
ｘ＝β　が０と３の間にある。
ｘ＝βのときf(x) が負
右上
ｘ＝０のときf(x) が負
ｘ＝３のときf(x) が負
ｘ＝α　が０と３の間にある。
ｘ＝αのときf(x) が正
左下
ｘ＝３のときf(x) が正
ｘ＝α　が０と３の間にある。
ｘ＝αのときf(x) が０
右下
ｘ＝０のときf(x) が負
ｘ＝β　が０と３の間にある。
ｘ＝βのときf(x) が０

となります。
上記で、正とか負と言っているのは、０を含む場合もありますので、
注意して下さい。
No.31368 - 2015/05/12(Tue) 16:51:20
★ 数学?@ 二次方程式 / なにゃー
56番の問題の解法がよくわかりません…
No.31362 - 2015/05/11(Mon) 21:53:36
☆ Re: 数学?@ 二次方程式 / X
問題の二つの方程式をx,mについての連立方程式と見て解き、
得られた結果のうちで条件を満たすものを求めます。
No.31363 - 2015/05/11(Mon) 22:53:21
☆ Re: 数学?@ 二次方程式 / なにゃー
なるほど…
判別式Dは使わないのですね！
No.31364 - 2015/05/12(Tue) 01:06:28
★ 条件付き確率の問題 / ペーン
とある病気にかかっているか判定する検査について考える。この病気は10万人に一人が罹患している。「病気なのに陰性と判定してしまう確率」「病気でないのに陽性と判定してしまう確率」はともに0.01であるとする。太郎さんが陽性と判定されたとき，本当に病気にかかっている確率を求めよ。

この問題の解き方をわかり易く教えてください…
No.31360 - 2015/05/10(Sun) 22:55:16
☆ Re: 条件付き確率の問題 / ヨッシー
1000万人の人がいるとします。
このうち罹患者は100人、健常者は9999900人です。
罹患者のうち１人は陰性、９９人は陽性、
健常者のうち9899901人は陰性、99999人は陽性の結果が出ます。

陽性と判断された 100098人のうち、本当の罹患者は99人なので、
99/100098＝11/11122
となります。

確率の計算のみでやるなら、
　罹患していて陽性の確率　1/100000×99/100＝99/10000000
　健常者で陽性の確率　99999/100000×1/100＝99999/10000000
よって、陽性の人のうち本当に病気なのは、
　99/(99+99999)＝11/11122
となります。
No.31361 - 2015/05/11(Mon) 09:10:58
★ ベクトル / もち
情報理工のベクトルの質問です。
ds1=dp
ds2=pdφ
ds3=dz なので

ds1=1dp
ds2=pdφ
ds3=1dz

h1=1
h2=ph3=1 となるこのときの球座標系の係数と同質の求め方と答えを教えてください。
あとそのときのベクトルの図も知りたいです。
No.31359 - 2015/05/10(Sun) 11:58:05
★ 高校数学 / 最澄
ヒストグラムという縦長の棒グラフのようなものがあって
その棒の一つ一つの端点に例えば２３，２４などのデータが婦ってあります（一つ目の長方形の左下に２３、右下に２４、隣接する二つ目の長方形の左下に２４、右下に２５と刻まれています）ここで疑問があるのですが、隣接する二つの長方形が接する部分の数値（ここでは２４）はどちらに属するとかいう決まりはあるのでしょうか？　解答では右側の長方形の階級に含めていますが、問題文には長方形が接する部分の数値についての注意書きなどは何も書かれていません。（横軸は２００ｍ走の時間で、縦軸はその人数となっています）　　

それが分からないと解けないであろう設問があります。宜しくお願いします
No.31352 - 2015/05/09(Sat) 15:43:34
☆ Re: 高校数学 / 最澄
緑のヒストグラムのようなタイプです。しかし度数分布表が与えられていないのでどこで区切るかが与えられていないというのが本問です
No.31353 - 2015/05/09(Sat) 16:32:53
☆ Re: 高校数学 / X
横軸の単位が[秒]であると仮定して回答を。
左端が23,右端が24である長方形は23秒台の人数、
つまり23秒以上24秒「未満」の人数と見るのが
自然だと思います。
従って24の数値は24秒台を表す長方形である
右側の長方形に属している、と考えます。
No.31354 - 2015/05/09(Sat) 17:01:02
☆ Re: 高校数学 / 最澄
ありがとうございます。

「自然」ということは明確にはそういった決まりはないということですか？
No.31355 - 2015/05/09(Sat) 18:15:24
☆ Re: 高校数学 / X
ないとは言い切れませんが、少なくとも私はそのような
明確な決まりがあるということを聞いたことはありません。
No.31356 - 2015/05/09(Sat) 20:21:24
☆ Re: 高校数学 / 最澄
ありがとうございます。

つまり○秒以上〜■秒未満で棒グラフは作られていると見るのが自然ということですね。なぜこれが自然なのか教えていただいてもよろしいでしょうか。
また、「一つの長方形について左端は、隣の長方形に譲る」ということはヒストグラムの山の最も右端例えばｔ＝５０秒でｙ軸（縦軸、度数を表す軸）に平行に線が降りてきてｔ軸と交わってはいるが、５０秒ジャストの人はいないということでいいんですよね？

よろしくおねがいします
No.31357 - 2015/05/10(Sun) 07:11:01
☆ Re: 高校数学 / X
これはヒストグラムそのものというよりも
ヒストグラムを作る以前に、集められた
200m走のタイムのデータをどう分類するか
の問題になります。
ですので集められたデータの分類に関する
前提条件がない以上、できたヒストグラムの
見方もこちらで推測せざるを得ません。

只、一般的にこのような数値データを重なりが
ないように分類する場合、範囲の両端は一律に
設定するのが見やすく、その設定も
〜「より大きく」、〜以下 (A)
とするよりは
〜以上、〜未満 (B)
とするのが自然です。
((A)のように設定されたヒストグラムを
見たことがない、というのが理由ですが)

只、ヒストグラムの見方に条件がない以上
右端の50秒ジャストの人はいない
とは言えず、右端の長方形に50秒ジャストの
人を含めるという変則条件を付けることも
ありえます。

こうなると数学の問題というよりは
問題を見ている方の感性の問題に
なってしまいます。
ということで最澄さんの仰るとおり、
右端の50秒ジャストの人はいない
としても問題はないと思います。
(私は右端のみ
50秒以下
という変則条件を付け加えてしまいますが。)
No.31358 - 2015/05/10(Sun) 08:09:18
★ (No Subject) / くちぱっち
解説と解答お願いいたします！
初項から第n項までの和
S(n)がS(n)＝n^2＋nで
表される数列｛a(n)｝の
一般項を求めよ。
No.31344 - 2015/05/09(Sat) 11:37:40
☆ Re: / ヨッシー
公式
　a(1)＝S(1)
　a(n)＝S(n)−S(n-1) ただし n≧2
を利用します。
No.31345 - 2015/05/09(Sat) 11:42:55
☆ Re: / くちぱっち
返信ありがとうございます！
これであってますか?
No.31346 - 2015/05/09(Sat) 11:57:18
☆ Re: / くちぱっち
答えは2nであってますか?
なんどもすいません
No.31348 - 2015/05/09(Sat) 12:25:39
☆ Re: / X
最終的な答えが
a[n]=2n
であることに問題はありませんが
そこに至るNo.31346の記述解答が
ぐちゃぐちゃですね。

余白での下書きであれば問題ないのですが
もし、これが記述解答であるのなら
最低限
a[1]=S[1]「=2」(「」内が抜けています)
であることと
n≧2のとき
a[n]=S[n]-S[n-1]=2n
(記述解答ではなぜか2n^2になってしまっている)
であることは書きましょう。
No.31350 - 2015/05/09(Sat) 14:47:21
☆ Re: / ヨッシー
試しに
　S[n]＝n^2＋n＋1
で表されるときの a[n] を求めてみましょう。

なぜ、a[1]＝S[1] が必要かが分かります。
No.31351 - 2015/05/09(Sat) 14:50:52
★ 「さらに」の解釈 / √
教えてください。

ある有名中学の入試問題です。

閉店セールで、

本日は、５割引
明日は、【さらに】３割引
と書いてあります。

この問題の【さらに】の解釈の仕方ですが

明日は、
?@定価の８割引になる
?A「定価の５割引の金額」の３割引になる

通常、どちらに解釈したら良いのでしょうか？

中学の入試問題は、文章の解釈の仕方で迷うことが
私は多いです。
No.31338 - 2015/05/08(Fri) 22:07:49
☆ Re: 「さらに」の解釈 / X
飽くまで私の考えですが、(1)の方と解釈します。
No.31339 - 2015/05/08(Fri) 23:42:54
☆ Re: 「さらに」の解釈 / √
Ｘさん　ありがとうございます。

私も最初は、?@の方だと解釈しましたが、
実は?Aの方でした。

難関中学の入試問題の一部の文章ですが、
二通りに解釈できる文章の書き方だと感じるのですが。

小学生はエライ！
No.31340 - 2015/05/08(Fri) 23:53:16
☆ Re: 「さらに」の解釈 / angel
「XX割引」といった場合は割合の話なので基準が必要であって、「YYY円引」という基準に依らず減額幅が決まる表現とは事情が異なるのに、その基準が明確でない、という問題ですね。

実生活上は「皆あまり割合の事を深く意識しないから」と「単純に5割引+3割引=8割引の方が話が早いから」とで?@なんだろうなあ、と思いますが、問題として出た場合には、それだと問題が陳腐化してしまうので?Aしか有り得ないよなあ、という感覚です。( 早押しクイズ理論的な )

そういう判断基準もなんだかなあ、という感じですが。
No.31341 - 2015/05/09(Sat) 09:46:40
☆ Re: 「さらに」の解釈 / √
ａｎｇｅｌさん　ありがとうございます。

そうですね。
「割合」ではなく、【さらに】の後には「ＹＹＹ円引」
という表現でしたら迷いはないですね。

それと、余談ですが、
問題に不備があった場合、一般的には、
「全員に点数を与える」ようですが、コレって本当に平等と言えるのか疑問です。
でも、この方法が一番、「平等に近い」のかなぁ〜と思います。
No.31342 - 2015/05/09(Sat) 10:26:56
☆ Re: 「さらに」の解釈 / IT
記述式で私が採点するなら、２つの場合を答えていたら満点、どちらか一方なら9割にするかな。
No.31343 - 2015/05/09(Sat) 11:15:35
☆ Re: 「さらに」の解釈 / √
ＩＴさん　ありがとうございます。

問題作成者は、自分の思い込みで問題を作っているので、
「別の解釈」の仕方があることに気づかないのですよね。

私なら、別解があることに気づかせてくれた２通りの解を書いた人には、ご褒美として「配点ｘ２倍」

どちらか一方の回答者は、どちらの解も正解とし「配点ｘ１」

その他の人には、問題不備の、お詫びとして「配点ｘ０．５」をあげるかも知れません。
No.31347 - 2015/05/09(Sat) 12:24:09
☆ Re: 「さらに」の解釈 / IT
今年のセンター試験でも　数学２Ｂと世界史Ｂで出題ミスがありましたから、中学入試では多々ありそうですね。
http://www.asahi.com/articles/ASH1N5TNNH1NUTIL03F.html
No.31349 - 2015/05/09(Sat) 14:07:56
★ 三角関数の微分 / qvc
nはn≧2の自然数とする。f(x)=n tan^2(x) cos^2n(x)の
0<x<π/2における最大値をMとするとき、f(x)が最大となるxに対して
tan^2(x)と最大値Mを求めよ。

よろしくお願いいたします。
No.31333 - 2015/05/07(Thu) 14:04:41
☆ Re: 三角関数の微分 / X
このまま処理するよりも置き換えをしたほうが
簡単なようです。

(tanx)^2=t
と置くと
f(x)=nt/(1+t)^n
∴df/dt=n{(1+t)^n-tn(1+t)^(n-1)}/(1+t)^(2n)
=n{(1+t)-tn}/(1+t)^(n+1)
=-n{(n-1)t-1}/(1+t)^(n+1)
t≧0に注意してtに対するf(x)の増減表を書くことにより
f(x)はt=1/(n-1)のときに最大になりますので
求める(tanx)^2は
(tanx)^2=1/(n-1)
又
M={n/(n-1)}/{1+1/(n-1)}^n
=(1-1/n)^(n-1)
No.31334 - 2015/05/07(Thu) 15:08:58
☆ Re: 三角関数の微分 / ヨッシー
では、私は置き換えずに（＾＾；

(tan(x))'＝1/cos^2x
(tan^2(x))'＝2tan(x)(tan(x))'＝2tan(x)/cos^2x＝2sin(x)/cos^3(x)
(cos^(2n)(x))'＝−2ncos^(2n-1)(x)sin(x)
よって、
f'(x)＝n{2sin(x)/cos^3(x)}cos^(2n)(x)−2n^2{sin^2(x)/cos^2(x)}cos^(2n-1)(x)sin(x)
　　＝2nsin(x)cos(2n-3)(x)−2n^2sin^3(x)cos^(2n-3)(x)
　　＝2nsin(x)cos^(2n-3)(x){1−nsin^2(x)}
0＜ｘ＜π/2 の範囲では、0＜sin(x)＜1、0＜cos(x)＜1 より
f'(x)＝０　となるのは
　1−nsin^2(x)＝0
の時のみ。その時のｘの値をｘ0 とすると
　ｘ＜ｘ0 のとき f'(x)＞０ で単調増加
　ｘ＞ｘ0 のとき f'(x)＜０ で単調減少
となり、ｘ＝ｘ0 で、f(x) は最大値を取ります。このとき
sin^2(x)＝1/n より
　cos^2(x)＝1−1/n＝(n-1)/n
　tan^2(x)＝1/(n-1)
さらに、
　cos^(2n)(x)＝(n-1)^n/n^n
より
　Ｍ＝(n-1)^(n-1)/n^(n-1)＝(1−1/n)^(n-1)
となります。
No.31335 - 2015/05/07(Thu) 15:11:58
☆ Re: 三角関数の微分 / qvc
ありがとうございました。
No.31336 - 2015/05/08(Fri) 05:46:16
★ 数学 / いえっさー
数学
問.
命題「X+Y≦4ならばX≦2またはY≦2である」について
(１)上の命題の逆、裏、対偶を述べよ
(２)(１)の各命題の真偽を述べよ

答え.(１)逆「x≦2またはY≦２ならばX+Y≦4である」
裏「X+Y>4ならばX>2かつY>2である」
対偶「X>2かつY>2ならばX+Y>4である」

(２)逆は偽、 裏は偽、 対偶は真

この問題の途中式を教えてください
もしよろしければ解説もお願いします！
No.31327 - 2015/05/05(Tue) 23:24:12
☆ Re: 数学 / ヨッシー
(1) は形式的に置き換えるだけですので、途中式はありません。

(2)
対偶の仮定
　Ｘ＞２，Ｙ＞２
の左辺どうし、右辺どうしを足して
　Ｘ＋Ｙ＞４
となるので、真です。
対偶が真なので、元の命題も真です。
逆はｘ＝１、ｙ＝６　が反例となり偽です。
逆が偽なので、裏も偽です。
No.31329 - 2015/05/05(Tue) 23:40:21
★ (No Subject) / ニンジャ
3x+2y≤2008を満たす0以上の整数の組(x,y)の個数を教えてください。ｙ軸に平行な直線を引いて一本一本数えたのを足すところまで分かりました

よろしくおねがいします
No.31325 - 2015/05/05(Tue) 20:10:25
☆ Re: / らすかる
3x+2y=2008がx軸と交わる点のxの値は整数ではないので
考えやすいようにx≧0,y≧-1とすると
グラフは(670,-1),(0,1004)を通り
0≦x≦670, -1≦y≦1004を満たす整数の個数は671×1006個
0≦x≦670, -1≦y≦1004の範囲で3x+2y=2008を満たす整数の個数は670÷2+1=336個
従って0≦x≦670, -1≦y≦1004, 3x+2y≦2008を満たす整数は
(671×1006+336)÷2個なので、
それから0≦x≦670, y=-1である671個を引いて
(671×1006+336)÷2-671
=(671×1006+336-671×2)÷2
=(671×1004+336)÷2
=(671×1000+671×4+336)÷2
=(671000+2684+336)÷2
=674020÷2
=337010個
No.31326 - 2015/05/05(Tue) 21:19:25
☆ Re: / IT
（別解）
単純に数えて規則性を見つけます。
条件を満たすyの個数は
x=0のとき　1005個
x=1のとき　1003個
x=2のとき　1002個
x=3のとき　1000個
　x=0と2で3個、x=1と3で3個、それぞれ差があります。
　以下も同様です
・・・
x=668のとき　3個
x=669のとき　1個

xが偶数のとき　初項1005,末項3,項数(670/2)個の等差数列
xが奇数のとき　初項1003,末項1,項数(670/2)個の等差数列
であることが分かります。

したがって合計個数は
(1005+3)×335/2 + (1003+1)×335/2
=2012×335/2=337010個　となります。
No.31330 - 2015/05/06(Wed) 13:11:27
☆ Re: / IT
>ｙ軸に平行な直線を引いて一本一本数えたのを足すところまで分かりました
この方針では、出来たということでしょうか？
だとすると、私の上の回答は無用だったですね。
No.31331 - 2015/05/06(Wed) 13:43:03
☆ Re: / ニンジャ
御二方回答ありがとうございます

>私の上の回答は無用だったですね。
いえむしろ質問内容はこちらのｙ軸に平行な直線を引く、ということでしたのでありがたいです、じっくり読ませていただきます
No.31337 - 2015/05/08(Fri) 21:22:28
★ 面積&確率 / ふぇるまー
いつもお世話になっております。
GWの宿題で御座います。
問?@　a=正の定数
C1:y=x^2とC2:y=-(x-3)^2+aについて
(1)　C1とC2が異なる2点で交わるようなaの値の範囲=?また、このときC1とC2で囲まれた部分の面積が9となるaの値=?

(2)　C1上のx=aにおける接線がC2に接するときaの値=?

問?A　袋の中に2,3,5の数を1つずつ書いたｶｰﾄﾞが各1枚計3枚ある。この中から1枚を取り出し、数を確認した後戻すことを4回繰り返す。4回の数の積をxとする。

?T　x=24,x=60となる確率をそれぞれ求めよ。
?U　xが12の倍数となる確率を求めよ。
?V　xが12の倍数であったという条件のもとで、4回の中に5が含まれる確率を求めよ。

以上です。多くなり申し訳ありません。御教授願います。(面積問題は使うようなら1/6公式etc.使う方法で教えて頂きたいです。)
No.31321 - 2015/05/03(Sun) 18:04:29
☆ Re: 面積&確率 / X
問1
(1)
前半)
C[1]とC[2]の交点のx座標に関する二次方程式((A)とします)
の解の判別式に対する条件を考えましょう。
後半)
C[1]とC[2]の交点のx座標をα、β(α＜β)として、
問題の面積を積分を使ってα、βの式で表します。
次にα、βが(A)の解であることから解と係数の
関係を使い、件のα、βで表した面積の式から
α、βを消去します。
すると、件の面積はaの式で表すことができますので…。

(2)
C[1]の方程式から
y'=2x
∴C[1]上の点(a,a^2)における接線の方程式は
y=2a(x-a)+a^2
整理して
y=2ax-a^2 (B)
(B)がC[2]に接する条件を考えます。
(ここからは数学Iの問題です。微分を使う必要はありません。)
No.31322 - 2015/05/03(Sun) 19:16:55
☆ Re: 面積&確率 / X
問2
まず1回カードを引く試行で2,3,5のカードを引く確率は
いずれも1/3であることに注意します。

I)
24=(2^3)×3
であることからx=24となるカードの引き方は
4!/3!=4[通り]
∴x=24となる確率は
4・(1/3)^4=4/81
又
60=(2^2)×3×5
であることからx=60となるカードの引き方は
…
II)
12=(2^2)×3
であることから条件を満たすためには4回の試行において
少なくとも
2のカードを2回
3のカードを1回
引く必要があります。
後はこのような場合の数を数えます。
III)
4回の試行で引いたカードの組み合わせが
{2,2,3,5}
となるような確率は
…
これとII)の結果を条件付き確率の定義式に使うと…。
No.31323 - 2015/05/03(Sun) 19:25:54
☆ Re: 面積&確率 / ふぇるまー
X様、いつもありがとうございます。お休み中時間を割いて説いてくださって感謝です(๑´ㅂ`๑)♡*.+゜
No.31324 - 2015/05/03(Sun) 22:41:20
★ 面積の最小値 / なにゃー
何度も考えたのですが最小値が求められません…
この問題は数学?Bの微分法の応用という範囲で出てきた問題なので微分を使うと思うのですがさっぱりわかりません…
微分を使わない解き方でもいいので教えてくれると嬉しいです。
ちなみに解答は2abです。
No.31317 - 2015/05/03(Sun) 00:50:53
☆ Re: 面積の最小値 / X
問題の直線の方程式は
y=m(x-a)+b
∴P(a-b/m,0),Q(0,-ma+b)
∴△OPQの面積をSとすると
S=(1/2)(-ma+b)(a-b/m) (A)
この後の方針ですが２通り考えられます。
(未だあるかもしれません)
(i)
(A)をmの関数と見て微分をし、m＜0の範囲で
Sの増減表を書く。
(ii)
(A)を展開し、更に
m=-t
と置いて整理をして相加平均と相乗平均の
関係を使う。
No.31318 - 2015/05/03(Sun) 01:22:32
★ 極限 / どー
ｎ/√{(n^2+2)-√n}
ｎを無限大（∞）に近づけたときの極限値の解き方と答えを教えてください
No.31312 - 2015/05/02(Sat) 17:26:02
☆ Re: 極限 / どー
ミスりました
ｎ/｛√(n^2+2)-√n}　です
No.31313 - 2015/05/02(Sat) 17:26:59
☆ Re: 極限 / らすかる
分子分母をnで割りましょう。答えは1です。
No.31314 - 2015/05/02(Sat) 17:46:20
★ 数学?B 微分の応用 / なにゃー
この問題の（2）なのですが
増減表を書くときに2段目の+-を書く所で質問があります。
具体的な数値を代入する以外で+-を判断する方法があるのでしょうか？
No.31303 - 2015/05/01(Fri) 23:02:44
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / X
例えばf'(x)が正の値の範囲を求めるのであれば
f'(x)＞0
をxの不等式として解きます。
No.31305 - 2015/05/02(Sat) 00:29:01
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / なにゃー
申し訳ないのですが
(2sinx-1)(sinx+1)>0の解き方がわかりません…
(2sinx-1)(sinx+1)=0になるのはx=π/6,5π/6,3π/2
まではできたのですが…
No.31306 - 2015/05/02(Sat) 01:02:42
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / らすかる
二つの数の積が正になるのは
二つとも正の場合か二つとも負の場合ですから
(2sinx-1)(sinx+1)＞0 は
「2sinx-1＞0かつsinx+1＞0」または
「2sinx-1＜0かつsinx+1＜0」
と分解できます。
このそれぞれを解けば範囲が求まりますね。
No.31307 - 2015/05/02(Sat) 02:01:55
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / なにゃー
できました！みなさんありがとうございます！
でも+-を考えるだけでこんなに時間とっていいのでしょうか？
皆さんは今回のようなものはどうやって+-を判断しているのですか？
No.31315 - 2015/05/02(Sat) 18:37:09
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / IT
地道にやるのが、確実で早道だと思います。

なお、この問題では、常にsinx+1≧0　なので、考える量が少し減ると思います。
sinx+1=0 のところを除けば、
2sinx-1＝(1/2){sinx - (1/2)}の正負を調べれば良いです。
No.31316 - 2015/05/02(Sat) 19:17:41
★ 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
xy平面上に存在する三点A,B,Cは以下の条件を満たす
点Aはx軸上正方向の部分、点Bはy軸上正方向の部分、点Cは原点中心半径1の円周上に存在する
この時、三角形ABCが正三角形をとるときの面積のとれる範囲を求めよ

上記の問題に全く歯が立ちませんでした。どれかの値を固定してみても、そこから進みません。

どのように解けば良いのでしょうか？
宜しくお願いします
No.31296 - 2015/04/30(Thu) 22:22:00
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
追記です

A(a,0) B(0,b)とおき、ベクトルの回転を利用して点C
の座標を出した後、x^2+y^2=1に代入し、a^2+b^2±（√3）=1までは出せました

面積はa^2+b^2の範囲が分かれば出せると思うのですが、ここからが出せません

どうすれば良いでしょうか？
No.31297 - 2015/04/30(Thu) 22:28:38
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / 歌声喫茶
面積の範囲ということはつまり辺の長さの範囲が分かればいいので、あとどうせ座標平面が絡むので辺の長さの2乗を考えたほうが楽だろうなあと最初に考えます。これが「面積はa^2+b^2の範囲が分かれば…」の部分ですね。

そして、せっかくの「原点中心半径1の円周上」という条件なので扱いやすいまま扱うといいです。つまり、C(cosθ,sinθ)とおけば、a,b,θの式で条件を表せて、そうすればa^2+b^2は範囲を求めやすい形で表せます。なお、θの範囲にも留意してください。
No.31298 - 2015/04/30(Thu) 23:36:49
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
C(cosθ,sinθ)と置いて解いて見ようとしましたが、上手くいきません。正三角形の成立条件の際、回転する方向によって±、θの範囲共に複雑になります

具体的な計算過程を教えていただきたいです
No.31301 - 2015/05/01(Fri) 00:35:14
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / 歌声喫茶
それなら一度にやろうとせずにそれぞれの方向の場合を別々に考えればよいのでは？
No.31302 - 2015/05/01(Fri) 11:03:51
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
三角関数が上手く行かないので下記のようにやってみました。不備がありましたら教えていただきたいです

正の数a、bに対しA：(a,0)、B：(0,b)　とするとき、
線分ABを一辺にもつ正三角形の第3の頂点が円x^2+y^2=1上にあるための条件として
実正数a,bはa^2+b^2±(√3)ab=1　を満たす

a,bが実数である条件は　(a+b)^2≧0　かつ　(a-b)^2≧0　なので、
ab=±(1-a^2-b^2)/√3　を　a^2+b^2≧2abの右辺に代入すれば
2/(2+√3)≦a^2+b^2＜1　または　1＜a^2+b^2≦2/(2-√3)　
最初の不等式の等号は　a^2=b^2=1/(2+√3)、後の不等式の等号は　a^2=b^2=1/(2-√3)
の時に起こります。
正三角の一辺の長さは　√(a^2+b^2)　なので、以上を総合して正三角形ABCの面積を得る

略解ですが、このような感じです。どうでしょうか？
No.31304 - 2015/05/01(Fri) 23:50:56
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / 歌声喫茶
あ、おおむねそんな感じです。代数で押してもあまり面倒にはならないんですね。

a,bの関係式から楕円を見抜くという手もあります。…実用的かはさておいて。
No.31308 - 2015/05/02(Sat) 09:24:18
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / ヨッシー

一応、参考に。
No.31309 - 2015/05/02(Sat) 11:18:26
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
歌声喫茶さん、ヨッシーさん有り難うございました

しかし、もうひとつだけ疑問があります
自分で解答しといて馬鹿みたいな内容なのですが、a,bが正であることは自分で設定しただけで、条件を満たすとき本当にa,bが正であるか示せていない気がします
平気なのでしょうか？
No.31310 - 2015/05/02(Sat) 12:46:38
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / 歌声喫茶
>a^2+b^2±(√3)ab=1

これをa,bのうち少なくとも1つが負であるような値の組が満たしたとすると、その負であるものを-1倍したものもこの式を当然満たします(2乗と復号ですから)。略解という事で細かいとこには触れませんでしたが、きちんと答案に起こすなら当然その辺りは詰めておくべきでしょう。

原点についての対称性を考えてみれば、実はa,bが正というのはa,b≠0ぐらいの意味しか持ちません…というのは、言われてみればそりゃそうだという気がしますよね。
No.31311 - 2015/05/02(Sat) 15:16:12
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
遅くなり申し訳ありません
無事解決出来ました
有り難うございました
No.31320 - 2015/05/03(Sun) 10:50:07
★ 漸化式と極限 / トーマス高3
a［1］＝a（0＜a＜1）、a［ｎ+1］＝-（1/2）a^3［ｎ］+（3/2）a［ｎ］　（ｎ＝1、2、3・・・）によって定められる数列｛a［ｎ］｝について、次のことを示せ。
（1）0＜a［ｎ］＜1
（2）ｒ＝（1-a［2］）/（1-a［1］）の時1-a［ｎ+1］≦ｒ（1-a［ｎ］）
とあるのですが（1）は帰納法を使って求まるのがわかりました。
（2）なのですが、
ｒ-（1-a［ｎ+1］）/（1-a［ｎ］）≧0を示していけばよいと分かるのですが、
ｒ-（1-a［ｎ+1］）/（1-a［ｎ］）＝（1/2）（a［ｎ］-a［1］）（a［ｎ］+a［1］+1）
となり、ここでa［ｎ］＜a［ｎ+1］を示すと
0＜a［1］≦a［ｎ］＜1よりｒ-（1-a［ｎ+1］）/（1-a［ｎ］）≧0となるとあるのですが、なぜa［ｎ］＜a［ｎ+1］を示すことがｒ-（1-a［ｎ+1］）/（1-a［ｎ］）≧0へとつながるのでしょうか。
また、（1/2）（a［ｎ］-a［1］）（a［ｎ］+a［1］+1）
においてa［ｎ］-a［1］≧0、a［ｎ］+a［1］+1＞0となるのでしょうか。
長々と申し訳ありませんか、どうか教えてください。
No.31288 - 2015/04/29(Wed) 22:48:39
☆ Re: 漸化式と極限 / トーマス高三
すみません「何故」がぬけてました。
「また、何故（1/2）（a［ｎ］-a［1］）（a［ｎ］+a［1］+1）
においてa［ｎ］-a［1］≧0、a［ｎ］+a［1］+1＞0となるのでしょうか。」
No.31291 - 2015/04/30(Thu) 15:36:37
☆ Re: 漸化式と極限 / ヨッシー
ａ[n]＜ａ[n+1] の n には n=1 も含んでいますから、
ａ[n]＜ａ[n+1] が成り立つと、
ａ[1]≦ａ[n] が成り立ちます。（等号は n=1 のとき）
(1) の結果より
0＜ａ[1]≦ａ[n]＜1 と書けます。　・・・(i)
このとき、(1/2)(ａ[n]−ａ[1])(ａ[n]＋ａ[1]＋1) において、
(i) より、ａ[n]−ａ[1]≧0
(1) の結果より ａ[n]＋ａ[1]＋1≧1＞0
よって、
　(1/2)(ａ[n]−ａ[1])(ａ[n]＋ａ[1]＋1)≧0
となるので、
　ｒ−(1−ａ[n+1])/(1−ａ[n])＝(1/2)(ａ[n]−ａ[1])(ａ[n]＋ａ[1]＋1)≧0
となり、
　ｒ−(1−ａ[n+1])/(1−ａ[n])≧0
が言えたことになります。
No.31292 - 2015/04/30(Thu) 17:22:21
☆ Re: 漸化式と極限 / トーマス高3
ａ[n]＋ａ[1]＋1≧1においてどのような場合等号になりうるのでしょうか。
（1）の結果から行くと
0＜a［ｎ］＜1
0＜a［ｎ］+a［1］＜2
1＜a［ｎ］+a［1］+1＜3
のようになり等号は成り立たないような気がしますが、どうでしょうか。
No.31293 - 2015/04/30(Thu) 18:43:31
☆ Re: 漸化式と極限 / ヨッシー
成り立ちませんね。
No.31294 - 2015/04/30(Thu) 19:55:47
☆ Re: 漸化式と極限 / トーマス高3
すべて納得がいって、スッキリしました！！
本当にありがとうございました。
またこのようにわからない問題が出たときよろしくお願いします。
No.31295 - 2015/04/30(Thu) 20:25:31
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