問題 「nが３以上の自然数のとき、
x+y+z=n,x≦y+z,y≦z+x,z≦x+y を同時に満たす
自然数の組の(x,y,z)の個数を求めよ」
数列の問題としての出題です。よろしくお願いします
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No.31009 - 2015/03/18(Wed) 16:47:19
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | いくつか見当をつけると
n=10 とすると、x,y,z の最大値４
ｘ＝４のとき(y,z)＝(2,4)(3,3)(4,2)
ｘ＝３のとき(y,z)＝(3,4)(4,3)
ｘ＝２のとき(y,z)＝(4,4)
ｘ＝１のとき 該当する組はなし
合計 １＋２＋３＝６
n=11 とすると、x,y,z の最大値５
ｘ＝５のとき(y,z)＝(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)
・・・
ｘ＝１のとき(y,z)＝(5,5)
合計１＋２＋３＋４＋５＝１５
＜＜この間、一般的な検討をしたものとして＞＞
ｎが奇数のとき
１から(n-1)/2 までの和で
{(n-1)/2}{(n+1)/2}/2＝(n^2−1)/8
ｎが偶数のとき
１からn/2−2 までの和で
(n/2−2)(n/2−1)/2＝(n^2−6n＋8)/8
となります。
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No.31010 - 2015/03/18(Wed) 17:13:41 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | ヨッシー さん
よくわかりました。ほんとに助かりました。
早速回答いただいてありがとうございました。
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No.31011 - 2015/03/18(Wed) 17:50:08 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | ヨッシー さん
何度もすみません。
n=10のとき、「複号≦」は「＝」でもよいので、
x=5のとき(y,z)＝（1,4）,(2,3）,（3,2）,(4,1）で全ての式を満たすと考えられないのでしょうか。
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No.31012 - 2015/03/18(Wed) 18:23:36 |
| ☆ Re: / らすかる | | | # 数列の問題ならばこういう解き方ではダメだと思いますが、
# 答え合わせにはなりますので書きます。
n個の○の間n-1箇所中2箇所に仕切りを入れるのは(n-1)C2通り
そのうち左端仕切りより左の○がn/2より大きくなるものは
nが偶数のとき (n/2-1)C2通り
nが奇数のとき ((n-1)/2)C2通り
よって条件を満たす自然数の組の個数は
nが偶数のとき (n-1)C2-3・(n/2-1)C2 = (n^2+6n-16)/8個
nが奇数のとき (n-1)C2-3・((n-1)/2)C2 = (n^2-1)/8個
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No.31013 - 2015/03/18(Wed) 18:42:36 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | らすかる さん
回答ありがとうございます。今から読ませていただきます。
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No.31014 - 2015/03/18(Wed) 18:45:07 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | ＝が入っていましたね。
すると上の記事の偶数の方は
n=10 とすると、x,y,z の最大値５
ｘ＝５のとき(y,z)＝(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)
ｘ＝４のとき(y,z)＝(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)
ｘ＝３のとき(y,z)＝(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)
ｘ＝２のとき(y,z)＝(3,5)(4,4)(5,3)
ｘ＝１のとき(y,z)＝(4,5)(5,4)
合計 ２＋３＋４＋５＋４＝１８
これを、０も許して
ｘ＝５のとき(y,z)＝(0,5)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)(5,0)
ｘ＝４のとき(y,z)＝(1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)
ｘ＝３のとき(y,z)＝(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)
ｘ＝２のとき(y,z)＝(3,5)(4,4)(5,3)
ｘ＝１のとき(y,z)＝(4,5)(5,4)
ｘ＝０のとき(y,z)＝(5,5)
の １＋２＋３＋４＋５＋６−３＝１８
と考えると、
ｎが偶数の場合
１からn/2＋1 までの和から３を引いて、
(n/2＋1)(n/2＋2)/2−3＝(n^2＋6n−16)/8
となります。
失礼しました。
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No.31018 - 2015/03/18(Wed) 21:20:11 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | ヨッシー さん
何度もすみません。「0を許す」という技がすごいですね。
とても感動しました。ありがとうございました。
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No.31020 - 2015/03/18(Wed) 21:52:35 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | らすかる さん
作日はありがとうございました。
昨日いただいた解答 の中で、3・(n/2-1)C2 の係数の3について教えてください。
これは、(n/2-1)C2のそれぞれの組み合わせ（３つの数字の組み合わせ）に対して、
x,y,zを加味するので、3ではなく６通りになるようにしか考えられませんでした。
3の意味を解説お願いいたします。
何度もすみません。
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No.31031 - 2015/03/19(Thu) 17:16:28 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 2個の仕切りで区切られる○の個数を左から順にx,y,zと考えると
(n/2-1)C2 は「xがn/2より大きい場合の数」
であり、「yがn/2より大きい場合の数」と「zがn/2より大きい場合の数」も
同数ですから、3倍となります。
6通りというと
「xがn/2より大きい場合の、yとzの入れ替え」
も考えるという意味だと思いますが、
(n/2-1)C2 は「xがn/2より大きい全ての場合」であり、
y＞zの組合せもy＜zの組合せも含んでいますので、
これを2倍するとダブルカウントしてしまいます。
つまり「xがn/2より大きい」となる場合が
全部で(n/2-1)C2通りですから、3倍となります。
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No.31032 - 2015/03/19(Thu) 19:39:47 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | らすかる さん
何度もありがとうございます。
おかげさまで理解できました。
力不足でご迷惑おかけしました。
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No.31033 - 2015/03/19(Thu) 19:43:56 |
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