ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数Aの質問です。 / komura

59が全く分かりません。詳しく解説してください。お願いしますm(_ _)m

No.31727 - 2015/06/13(Sat) 22:02:51

☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー

８角形の頂点をＡＢＣＤＥＦＧＨとします。
(1)
辺を１つ選ぶと、その辺のみを共有する三角形は４個出来ます。
例えば、辺ＡＢを選ぶと
△ＡＢＤ、△ＡＢＥ、△ＡＢＦ、△ＡＢＧ
の４つが条件を満たします。
辺は８本あるので、
　８×４＝３２(個)
(2)
三角形は全部で
　8Ｃ3＝56(個)
出来ます。
辺を２本共有する三角形は８個（(1) と同様に計算できます)
なので、辺を共有しない三角形は(以下略)

No.31729 - 2015/06/13(Sat) 22:30:28

☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー

備忘録として載せておきます。

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=63442

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=63441

http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=63440

No.31750 - 2015/06/15(Mon) 12:12:56

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

ありがとうございます^_^

No.31753 - 2015/06/15(Mon) 21:42:33

★ (No Subject) / ao

画像の問題を解いてみたのですが(2)(3)がわかりません
(2)はF(p)を図示するとどのようになりますか

No.31723 - 2015/06/13(Sat) 09:30:34

☆ Re: / X

(2)
f(x)についてa→+∞のとき
f(0)=1 (A)
であることに変わりはありませんが
f(x)→0 (x≠0)
つまりy=f(x)のグラフはy軸上の点だけ
x軸から離れた形になります。
(A)の通りf(0)は有限値ですので
このときf(x)はδ関数に近づくわけでもありません。
従ってa→+∞のとき
F(p)→0
これは厳密に計算しても明らかです。
(3)
条件から
F(p)=∫[x:-∞→∞]∫[y:-∞→∞]{g(x-y)h(y)e^(-ipx)}dydx
=lim[k,l→∞]lim[m,n→∞]∫[x:-k→l]∫[y:-m→n]{g(x-y)h(y)e^(-ipx)}dydx
ここで
x-y=t
y=u
と置くと、ヤコビヤンJは
J=1
よって
F(p)=lim[k,l→∞]lim[m,n→∞]∫[t:-k-n→l+m]∫[t:-m→n]{g(t)h(u)e^(-ip(t+u))}dudt
=∫[t:-∞→∞]∫[u:-∞→∞]{g(t)h(u)e^(-ip(t+u))}dudt
=G(p)H(p)

No.31725 - 2015/06/13(Sat) 11:39:45

☆ Re: / ao

ありがとうございます

No.31726 - 2015/06/13(Sat) 14:09:49

★ 微分 / xi

解き方と解答が知りたいです。
よろしくお願いします。

No.31719 - 2015/06/12(Fri) 23:40:09

☆ Re: 微分 / X

(1)
解答通りで問題ありません。
(2)(4)
合成関数の微分を使いましょう。
(3)(6)
積の微分と合成関数の微分を使います。
(5)
商の微分を使いましょう。

No.31721 - 2015/06/13(Sat) 01:03:51

☆ Re: 微分 / xi

出来れば解答もお願いします。

No.31722 - 2015/06/13(Sat) 02:42:35

☆ Re: 微分 / X

(2)
f'(x)=10(cosx-sinx)(sinx+cosx)^9
(3)
f'(x)=(sinx)^2+2xsinxcosx
(4)
f'(x)=-2x/(2x^2+6)^(3/2)
(5)
f'(x)=-2/(1+x)^2
(6)
f'(x)=2xe^(-x^2)-(2x^3)e^(-x^2)

となりました。

No.31724 - 2015/06/13(Sat) 11:11:17

★ 平面幾何（４） / MR

平面図形の問題です。

中心がCの円の外の一点Pから、円に二つの接線PA、PBを引き、弦ABの中点を通る任意の弦MNを作るときは、四つの点P、C、M、Nは同じ円周上にあることを示せ。

どうかよろしくお願いします。

No.31713 - 2015/06/12(Fri) 12:16:31

☆ Re: 平面幾何（４） / ヨッシー

ＡＢの中点をＨとするとき、
　ＣＨ・ＨＰ＝ＭＨ・ＮＨ
が言えたら、方べきの定理の逆から、四点ＰＣＭＮは同一円周上にあると言えます。

円Ｃ上での方べきの定理より
　ＭＨ・ＮＨ＝ＡＨ・ＢＨ＝ＡＨ^2
△ＡＣＨ∽△ＰＡＨ　より
　ＣＨ：ＡＨ＝ＡＨ：ＨＰ
これより
　ＣＨ・ＨＰ＝ＡＨ^2
となるので、
　ＣＨ・ＨＰ＝ＭＨ・ＮＨ
が導けます。

No.31715 - 2015/06/12(Fri) 13:29:40

☆ Re: 平面幾何（４） / MR

なるほど～～
方べきの定理を活用するのですね。
全く思いつきませんでした。
ありがとうございます。

No.31716 - 2015/06/12(Fri) 16:26:16

★ (No Subject) / くちぱっち

解答と解説お願いいたします!

No.31709 - 2015/06/12(Fri) 10:08:34

☆ Re: / ヨッシー

ｘ軸とｙ軸、もしくはｉとｊを完全に取り違えています。

(2) は答えは合っていますが、そんなにデカデカと
　(3,6) (-4,3)
と書いてあっては、×にせざるを得ないでしょう。

Ａは目盛り(座標)が曖昧、Ｂは向きが逆です。
共に、成分でまず計算してから、グラフ上に描きましょう。

No.31710 - 2015/06/12(Fri) 10:39:34

☆ Re: / らすかる

iとjは、何も定義されていなくても
「iはx軸方向、jはy軸方向」と決まっているんですかね？
でなければ、問題不備の気がしますが…

No.31712 - 2015/06/12(Fri) 10:58:31

☆ Re: / くちぱっち

ありがとうございます(´｡✪ω✪｡｀)

No.31714 - 2015/06/12(Fri) 12:38:59

★ 数Aの質問です。 / komura

52が分かりません。(2)です。

No.31701 - 2015/06/11(Thu) 09:58:31

☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー

(2)
7×{(1)の答え} です。

色をＡＢＣＤＥＦＧとすると、
Ａを除いたＢＣＤＥＦＧの６色で塗る方法＝(1)の答え
Ｂを除いたＡＣＤＥＦＧの６色で塗る方法＝(1)の答え
　・・・
Ｇを除いたＡＢＣＤＥＦの６色で塗る方法＝(1)の答え
です。

No.31702 - 2015/06/11(Thu) 10:02:50

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

なるほど。ありがとうございますm(_ _)m

No.31703 - 2015/06/11(Thu) 10:32:10

★ 数Aの質問です。 / komura

46が分かりません。解説を見て円順列を作ると裏返して同じになるものが2個ずつできるという意味が分かりませんでした。

No.31696 - 2015/06/10(Wed) 23:08:59

☆ Re: 数Aの質問です。 / X

問題は色の異なる7個の玉を単に円上に並べるのではなくて
首輪を作るという条件がついています。
ですので円上に並べた場合には異なる円順列であっても
裏返した場合に同じになるものは除かなくてはなりません。
その意味で
裏返して同じ「円順列」になるものが2つできる
と解説には書かれてあります。

No.31699 - 2015/06/10(Wed) 23:18:36

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

ありがとうございますm(_ _)m

No.31700 - 2015/06/11(Thu) 09:30:46

★ 数学?V / なにゃら

問7を教えてください。
今日授業でやったのですがよくわかりません

No.31685 - 2015/06/09(Tue) 20:54:19

☆ Re: 数学?V / なにゃら

今日習ったこの公式を使ってくれると嬉しいです

No.31686 - 2015/06/09(Tue) 20:54:54

☆ Re: 数学?V / ヨッシー

その公式の根本を理解していないと、なかなか応用しづらいでしょう。
f(x) の原始関数を F(x) とすると
　(公式の左辺)＝(d/dx)(F(x)－F(a))＝f(x)
となります。(F(a) は定数なので、微分すると消えます)

問題に戻ると、
f(x)＝log(x) とし、f(x) の原始関数を F(x) とすると、
　ｙ＝F(x^2)－F(x)
これをｘで微分すると
　dy/dx＝2xf(x^2)－f(x)
　　＝2x・log(x^2)－log(x)
　　＝(4x-1)log(x)
となります。

No.31687 - 2015/06/09(Tue) 22:49:47

☆ Re: 数学?V / なにゃら

根本からよくわかりました！
すごいスッキリしました！ありがとうございます

No.31688 - 2015/06/09(Tue) 23:09:13

★ 整数問題至急よろしくお願いします / るろ

N=2^n(ただし，nは自然数)とおくとき，2015^Nを2^27で割った余りをR(n)とする．
(1)R(18)を求めよ．必要なら2015=2^11-33を用いよ．
(2)R(n)=1を満たすnを求めよ．

これの(2)が分かりません
よろしくお願いします

No.31681 - 2015/06/08(Mon) 22:46:09

☆ Re: 整数問題至急よろしくお願いします / 今月号は

やたら（別の掲示板でも）各問を質問してるのが散見されるんだけれども、これ全部同じ人が質問してたとしたらすごく必死でおもしろいのになあって思います。

No.31683 - 2015/06/09(Tue) 04:10:23

★ 内分点の作図 / まゆ

問題
∠ＸＯＹの内部にある点をＰとする。辺ＸＯ、辺ＹＯ上の点をそれぞれＡ，Ｂとする。このとき点Ｐが線分ＡＢの３：２の内分点となるように線分ＡＢを作図する。

よろしくお願いいたします。

No.31673 - 2015/06/08(Mon) 11:45:36

☆ Re: 内分点の作図 / ヨッシー

もっとスマートな方法があるかもしれませんが、

※手違いでＦが２個ありますが、文脈や図から判断して下さい。
また、途中のＰＥ＝ＣＧはＰＦ＝ＣＧの誤りです。

＜解説＞

ＡＰ：ＰＢ＝３：２　となる点Ａ，Ｂが描けたとし、
図のように、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｘ，ｙを決めます。
メネラウスの定理より、
　(y/x){(c-d)/d}{b/(a+b)}＝１　　・・・(1)
　(2/3)(c/d)(b/a)　　　　・・・(2)
(2) よりｄ：ｂ＝２ｃ：３ａ　なので、
　ｄ＝2kc、ｂ＝3ka
とおきます。
(1) に代入して
　(y/x){(c-2kc)/2kc}{3ka/(a+3ka)}＝１
整理して
　(y/x){(3-6k)/(2+6k)}
　ｘ：ｙ＝(3-6k)：(2+6k)
これより
　(x+y)/x＝５：３－６ｋ
ここで、
　ｘ＋ｙ＝ＣＤ＝５
とすると、
　ｘ＝３－６ｋ
であり、ｂ＝3ka であるので、３ｋ＝ｍとすると、
　ｘ＝３－２ｍ
　ｂ＝ｍａ
となるので、上のような作図となります。

なお、等分する、平行線を引くなど基本的な作図は省略しました。

No.31676 - 2015/06/08(Mon) 17:08:09

☆ Re: 内分点の作図 / まゆ

詳細なご解説をして頂き、ありがとうございます。

助かりました。

No.31684 - 2015/06/09(Tue) 15:27:01

☆ Re: 内分点の作図 / ヨッシー

蛇足ながら、一般的に、ＡＰ：ＢＰ＝ｍ：ｎとなるような点Ａの取り方を調べてみました。

ＡＰ：ＰＢ＝ｍ：ｎ　となる点Ａ，Ｂが描けたとし、
図のように、ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｘ，ｙを決めます。
メネラウスの定理より、
　(y/x){(c-d)/d}{b/(a+b)}＝１　　・・・(1)
　(n/m)(c/d)(b/a)　　　　・・・(2)
(2) よりｄ：ｂ＝nc：ma　なので、
　ｄ＝knc、ｂ＝kma
とおきます。
(1) に代入して
　(y/x){(c-knc)/knc}{kma/(a+kma)}＝１
整理して
　(y/x){(m-kmn)/(n+kmn)}＝１
　ｘ：ｙ＝(m-kmn)：(n+kmn)
これより
　(x+y)/x＝(m+n)：(m－kmn)
ここで、
　ｘ＋ｙ＝ＣＤ＝ｍ＋ｎ
とすると、
　ｘ＝ｍ－kmn
であり、ｂ＝kma であるので、km＝ｔとすると、
　ｘ＝ｍ－ｔｎ
　ｂ＝ｔａ
となるので、
ＣＤを(m+n)等分し、Ｃからｍ個目の点をＦ、１個目の点をＧとします。
ＰＦをｎ等分した長さをＣからＤ方向に取り、ＣＨとします。
Ｈを通って、ＯＧに平行な直線とＯＸの交点をＩとし、
ＣＡ＝ＣＩとなる点Ａを、Ｃから見てＩと反対側に取ります。
ＡＰとＯＹの交点がＢとなります。

図は、７：２に内分する場合の作図です。

No.31693 - 2015/06/10(Wed) 17:13:13

★ (No Subject) / アカシロトモ

問題　
ｆn(x)=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+・・・+x^n/n! （nは自然数）
このとき方程式fn(x)=0は、nが奇数ならばただひとつの実数解をもち、nが偶数ならば実数解をもたないことを証明せよ。

よろしくお願いいたします。

No.31665 - 2015/06/07(Sun) 20:26:12

☆ Re: / らすかる

nが奇数のとき、lim[x→±∞]f[n](x)=±∞（複号同順）ですから
f[n](x)=0は少なくとも一つの実数解を持ちます。…(1)

f[1](x)=0は解x=-1を持ち、またy=f[1](x)は増加関数です。
nが偶数かつy=f[n-1](x)が増加関数で、f[n-1](x)=0がちょうど一つの解を持つならば
f[n-1](x)=0の解をα[n-1]とするとf[n-1](α[n-1])=0ですから
f[n](α[n-1])=f[n-1](α[n-1])+(α[n-1])^n/n!＞0
f'[n](x)=f[n-1](x)
からf[n]はx＜α[n-1]で減少し、x=α[n-1]で正の極小値をとり、
x＞α[n-1]で増加します。
従ってnが偶数かつf[n-1](x)が増加関数ならばf[n](x)は常に正の値をとりますので
実数解を持ちません。
nが奇数かつf[n-1](x)が常に正ならば、f[n](x)=0は増加関数ですから
(1)と合わせてただひとつの実数解を持ちます。
よって数学的帰納法によりすべてのnについて命題が成り立ちます。

# なんかまとめ方がうまくない気がしますので、
# 適当にまとめ直して下さい。

No.31668 - 2015/06/07(Sun) 21:07:31

☆ Re: / アカシロトモ

らすかる　さん

　詳しい回答ありがとうございました。
じっくりと読ませていただいて、
理解できるようにしたいと思います。
　いつもありがとうございます。

No.31670 - 2015/06/07(Sun) 21:44:41

★ (No Subject) / ao

画像の問題を(2)までといたのですがあっていますか

No.31663 - 2015/06/07(Sun) 11:49:54

☆ Re: / X

問題文をよく読みましょう。
題意からfはrのスカラー関数ではありますが
f=r
ということではありません。
ということで
(1)
∇f=(∂f/∂x)↑i+(∂f/∂y)↑j+(∂f/∂z)↑k
=(∂r/∂x)f'↑i+(∂r/∂y)f'↑j+(∂r/∂z)f'↑k
=(x/r)f'↑i+(y/r)f'↑j+(z/r)f'↑k
=(f'/r)↑r
(2)
Δf=∇・∇f
=(∂/∂x){(x/r)f'}+(∂/∂y){(y/r)f'}+(∂/∂z){(z/r)f'}
=f'{(∂/∂x)(x/r)+(∂/∂y)(y/r)+(∂/∂z)(z/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
=(f'/r^2){(r-(x^2)/r)+(r-(y^2)/r)+(r-(y^2)/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
=(f'/r^2)(3r-r)+f"{(x/r)^2+(y/r)^2+(z/r)^2}
=2f'/r+f"

No.31664 - 2015/06/07(Sun) 16:27:21

☆ Re: / ao

=(f'/r^2){(r-(x^2)/r)+(r-(y^2)/r)+(r-(y^2)/r)}
+(x/r)(∂f'/∂x)+(y/r)(∂f'/∂y)+(z/r)(∂f'/∂z)
の部分ですが
(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
とr^2になりませんか

No.31667 - 2015/06/07(Sun) 21:03:36

☆ Re: / X

>>(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
>>とr^2になりませんか
(f'/r^2){(r^2-(x^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)+(r^2-(y^2)/r)}
+r^2
という意味であればそうはならないと思います。
どのような計算でこの結果を得たのか過程を
アップしてもらえますか？
或いは模範解答がそのようになっているのでしょうか？

No.31669 - 2015/06/07(Sun) 21:43:52

☆ Re: / ao

申し訳ないです、計算式を見間違えていました
計算してみたら同じ答えになりました
それと(3)を画像のように解いて見たのですがわかりません
教えてください、よろしくお願いします

No.31671 - 2015/06/07(Sun) 22:39:12

☆ Re: / X

球座標で計算するのであれば、ヤコビヤンである
(r^2)sinθ
を被積分関数にかけないといけません。
その点に注意してもう一度計算し直してみて下さい。

それから(2)の結果を使おうとしているのは
問題ないのですが、fはrのみの関数ですので
f',f"
はいずれも偏微分ではなくて常微分です。
間違えて偏微分の記号を使わないようにしましょう。

No.31672 - 2015/06/08(Mon) 00:13:14

☆ Re: / ao

∫[0→a](2f'/r+f'')r^2dr
をどのように計算すればいいのかわかりません

No.31674 - 2015/06/08(Mon) 14:22:44

☆ Re: / X

∫[0→a](2f'/r+f'')r^2dr=∫[0→a]{2rf'+(r^2)f''}dr
=[(r^2)f'][0→a] (∵)積の微分
=(a^2)f'(a)
となります。

No.31675 - 2015/06/08(Mon) 14:47:59

☆ Re: / ao

詳しく教えていただきありがとうございます

No.31677 - 2015/06/08(Mon) 20:31:01

★ 数列 / ふぇるまー

いつもお世話になってます。
質問です。
問?@　a[1]=1,a[n+1]=a[n]/a[n]+2　(n=1,2,3,…)
で定められる数列{an}がある。
(1) b[n]=1/a[n]とすると、　b[n+1]とb[n]の関係式を求めよ。
(2)　数列{an}の一般項　a[n]=?

問?A　数列{an}の初項から第n項までの和S[n]が　a[n]=2Sn+an-3(n=1,2,3,…)を満たすとき、
a[n]=?
以上ご教授をできれば、(月)ぐらいまでご返事戴きたいのです。

No.31659 - 2015/06/07(Sun) 00:00:17

☆ Re: 数列 / X

問1
>>a[n+1]=a[n]/a[n]+2
を
a[n+1]=a[n]/(a[n]+2)
のタイプミスと見て回答します。
(1)
条件のとき問題の漸化式は
1/b[n+1]=(1/b[n])/(1/b[n]+2)
これより
b[n+1]=2b[n]+1
(2)
(1)の結果を使ってb[n]を求めます。
但し
b[1]=1/a[1]=1
に注意します。

問2
問題文にタイプミスはありませんか？
必要な括弧はきちんと付けて下さい。

No.31660 - 2015/06/07(Sun) 02:15:48

☆ Re: 数列 / ふぇるまー

すいませんでした。自己解決いたしましたので大丈夫でございます。ありがとうございました。

No.31666 - 2015/06/07(Sun) 20:39:20