ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / もい

f(x)=(-k^-k＋5050)x＋2k-100(k=1/x　1≦k≦100)のグラフを図示せよ。
傾きと切片が変数になっているときのグラフはどう書けばいいのでしょうか？
k=1、つまりx=1のときのf(x)の直線の傾きは5048
k=2、つまりx=1/2のときのf(x)の直線の傾きは5046
・・・
k=71、つまりx=1/71のときのf(x)の直線の傾きは-62(ここから傾きが負になる)
k=100、つまりx=1/100のときのf(x)の直線の傾きは-5050
グラフは折れ線になるそうなのですが、どういうふうに書けばいいのかわかりません。教えてください。お願いします。

No.30936 - 2015/03/05(Thu) 23:29:25

☆ Re: / ヨッシー

k^ とは k^2 のことでしょうか？
そうであるとして、k=1/x より k を消去すると
　f(x)＝(-1/x^2－1/x＋5050)x＋2/x－100
　　　＝-1/x－1＋5050x＋2/x－100
　　　＝5050x＋1/x－101
となり、「折れ線」という言葉から連想する、直線の組み合わせでできる
グラフにはなりません。

微分は比較的簡単に出来るので、極小値などを求めることは出来ます。

No.30938 - 2015/03/06(Fri) 10:27:16

☆ Re: / もい

kは1≦k≦100の整数です。
f(x)＝5050x＋1/x－101
1/100≦x≦1
f(1)=4950
・・・
f(1/10)=414
・・・
f(1/100)=49.5
となりますが、
x=1/100,1/99,1/98,・・・,1/2,1とそれぞれ代入していってそれぞれのxの値と１対１に対応するf(x)の値が決まるので座標がわかりますよね。
これら平面上の座標点を結んでいってグラフとは言えないですか？
極小値はx=1/71のときになると思うのですが
一つ一つ代入せずに求めるにはどうすればいいのでしょうか。
5050x＋(1/x)　の形から相加相乗平均が使えそうにおもったのですがだめでした。
教えてくだ歳。お願いします。

No.30939 - 2015/03/06(Fri) 14:00:02

☆ Re: / らすかる

> これら平面上の座標点を結んでいってグラフとは言えないですか？
kが整数ならば点と点の間は定義域外ですから、座標点を線で結んではいけません。

> 極小値はx=1/71のときになると思うのですが
> 一つ一つ代入せずに求めるにはどうすればいいのでしょうか。
5050x+1/x={√(5050x)-√(1/x)}^2+2√5050ですから
√(5050x)と√(1/x)が近いほど小さくなります。
√(5050x)=√(1/x)となるxは1/71.06…なので
1/71と1/72のどちらかが最小値となり、この二つを調べれば十分です。
（1/71.06ですから1/71の方が小さそうなことは感覚的にわかりますね。）

No.30940 - 2015/03/06(Fri) 14:37:38

☆ Re: / もい

回答ありがとうございます。
もし、
5050x+(1/x)={√(5050x)-√(1/x)}^2+2√5050のところを
5050x+(1/x)={√(5050x)＋√(1/x)}^2-2√5050
としてしまったら
{√(5050x)＋√(1/x)}^2>0となるので、
5050x＋(1/x)が一番小さくなりそうな値が絞れないので
差になるように工夫したほうがいいということでしょうか？
よろしくお願いします。

No.30943 - 2015/03/06(Fri) 23:16:06

☆ Re: / らすかる

相加相乗平均の証明方法の一つである
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab から
a^2+b^2=(a-b)^2+2ab≧2ab … (1) なので
a^2+b^2≧2ab　（等号はa=bのとき）
a^2=A＞0, b^2=B＞0とすれば
A+B≧2√(AB)　（等号はA=Bのとき）
の途中式(1)に当てはめただけで、特に工夫したわけではありません。
相加相乗平均の式では「等号はA=Bのとき」だけしかわからず、
「√Aと√Bが近いほどA+Bが小さい」ことは含まれていませんので、
相加相乗平均の式ではなく証明の途中式を使ったものです。

No.30945 - 2015/03/07(Sat) 01:19:23

☆ Re: / もい

ありがとうございます。
1≦x≦100より
5050≦5050x≦505000、1/100≦(1/x)≦1のとき
5050x＋(1/x)≧2√｛(5050x)・(1/x)｝・・・?@
=2√(5050)
=√20200
≒√(2・10^6)
≒√2・1000
≒1,4・1000
=1400
相加相乗平均の式を直接用いるとこんな感じになってしまうのですが、相加相乗平均の式は、
教科書等には
a>0 b>0のとき
a＋b≧2√ab(等号成立はa=b)・・・?Aとのってますよね。
?Aはa,bはすべての正の実数で成り立つということだと思いますが、?@は範囲が限られてるのでこういう場合は使えないと考えていいでしょうか？
しつこくてごめんなさい。よろしくお願いします。

No.30946 - 2015/03/07(Sat) 04:15:02

☆ Re: / らすかる

> ?@は範囲が限られてるのでこういう場合は使えないと考えていいでしょうか？
「範囲が限られているから使えない」のではありません。
相加相乗平均では「5050x=1/xのときに等号が成り立つ」ことしか言えないからです。
5050x,1/xとも正の実数ですから、相加相乗平均を使うこと自体は問題ありません。
つまり「x=1/(5√202)のときは等号が成り立つ」ことだけはわかりますが、
x=1/(5√202)という値をとらないため、相加相乗平均を使っても意味がありません。

No.30948 - 2015/03/07(Sat) 10:03:45

☆ Re: / ぜみ

分かりやすい回答ありがとうございました。

No.30954 - 2015/03/08(Sun) 04:27:03

☆ Re: / ぜみ

２変数を使う方法もあったんですね。
分かりやすい回答ありがとうございました

No.30955 - 2015/03/08(Sun) 04:28:16

★ (No Subject) / もい

S(n)=|n-1|＋|n-2|＋・・・＋|n-100|(nは整数)の最小値とそのときのnの値を求めよ。
?@僕の回答
a[k]=|n-k|(1≦k≦100)とする。
(i)n<1のとき
a[k]の絶対値の中身はすべて負になるので
a[k]=|n-k|=k-n
よってS(n)=Σ(k=1~100)(k-n)=-100n＋5050
(ii)n>100のとき、
a[k]の絶対値の中身はすべて正になるので
a[k]=|n-k|=n-k
よってS(n)=Σ(k=1~100)(n-k)=100n-5050
(iii)1≦n≦100のとき
絶対値の中身が正から負になる境目を調べる。
たとえばn=3の場合、
a[1]、a[2]、a[3]の絶対値の中身は正で、a[4]～a[100]は絶対値の中身が負になる。つまり、1≦k≦nのとき
|n-k|=n-k　n＋1≦k≦100のとき|n-k|=k-n
よってS(n)=Σ(k=1~n)(n-k)＋Σ(k=n＋1~100)(k-n)
=n^2-101n＋5050
(i)(ii)(iii)より
S(n)は折れ線のグラフ。
(中略)
したがってS(n)を最小とするnの値はn=50,51
となりました。
答え自体は正解だったのですが、実は最初の方針が間違っていたのでかなり時間がかかってしまいました。

?A最初の方針
(i)(ii)は?@と同じです。
(iii)1≦n≦100のとき
a[1]、a[2]、a[3]、・・・、a[m]、a[m＋1]、・・・、a[100]
a[1]～a[m]までの絶対値の中身が正で、a[m＋1]～a[100]までの絶対値の中身が負となるような絶対値の中身の正負の境目となる隣接する項a[m]、a[m＋1]があるとする。
a[k]=|n-k|=n-k(1≦k≦m)、k-n(m＋1≦k≦100)
Σ(k=1~m)(n-k)＋Σ(k=ｍ＋1~100)(k-n)
=(2m-100)n-m^2-m＋5050
となってしまい、ここからどうすればよいかわからなくなってしまいました。
?@のようにnとkだけで表せるものを、mを用いてしまったためこのようになってしまいました。?Aのやり方ではこの問題は解けないのでしょうか？またどうしたらこういうミスを防げるのかアドバイスよろしくお願いします。

No.30935 - 2015/03/05(Thu) 18:29:18

☆ Re: / IT

結局　m=n なのでは？

No.30937 - 2015/03/05(Thu) 23:29:30

★ (No Subject) / あと一週間

ｎ個の実数a1,a2、・・・anに対して
（Σ[k=1～ｎ]ak)^2≦ｎΣ[k=1～ｎ]ak^2
が成立することを示せ。また等号が成立するための
a1,a2・・・anについての必要十分条件を求めよ。

どなたか分かる方解答を教えてください。

No.30930 - 2015/03/04(Wed) 10:36:52

☆ Re: / X

(i)n=1のときに問題の不等式は成立。
(ii)n≧2のとき
まずn=2,3の場合で試行をしてみると
nΣ[k=1～n]a[k]^2-(Σ[k=1～n]a[k])^2=Σ[1≦k＜l≦n](a[k]-a[l])^2 (A)
が成立するのでは、という予想がつきます。
そこで(A)であることを示します。
nΣ[k=1～n]a[k]^2-(Σ[k=1～n]a[k])^2=(n-1)Σ[k=1～n]a[k]^2-Σ[1≦k＜l≦n]2a[k]a[l] (B)
ここで
Σ[1≦k＜l≦n](a[k]-a[l])^2=Σ[1≦k＜l≦n](a[k]^2+a[l]^2)-Σ[1≦k≦n,1≦l≦n,k＜l]2a[k]a[l]
∴(n-1)Σ[k=1～n]a[k]^2=Σ[1≦k＜l≦n](a[k]^2+a[l]^2) (C)
を数学的帰納法で示します。
(I)n=2のとき
(C)は成立。
(II)n=mのとき(C)の成立を仮定します。
つまり
(m-1)Σ[k=1～m]a[k]^2=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2) (D)
このとき
mΣ[k=1～m+1]a[k]^2=(m-1)Σ[k=1～m+1]a[k]^2+Σ[k=1～m+1]a[k]^2
=(m-1)Σ[k=1～m]a[k]^2+(m-1)a[m+1]^2+Σ[k=1～m+1]a[k]^2
=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2)+ma[m+1]^2+Σ[k=1～m]a[k]^2 (E)
一方
Σ[1≦k＜l≦m+1](a[k]^2+a[l]^2)=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2)+Σ[k=1～m](a[k]^2+a[m+1]^2)
=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2)+Σ[k=1～m](a[k]^2+a[m+1]^2)
=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2)+ma[m+1]^2+Σ[k=1～m]a[k]^2 (F)
(E)(F)によりn=m+1のときも(D)は成立。
以上から(A)は成立するので問題の不等式は成立します。
(等号成立はa[1]=a[2]=…=a[n]のとき)

No.30931 - 2015/03/04(Wed) 12:08:01

★ 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

次の条件を満たすような実数aで最大のものを求めよ
ーπ/2≦ｘ≦π/2の範囲の全てのｘに対して
cosx≦1-ax^2・・?@
が成り立つ

?@を変形して
a≦(１－cosx)/x^2
で右辺の最小値がとりうるaの最大値である、として
右辺の最小値を求めようにも微分してsin,cosが消えてくれないので最小値が求まりません。どういった解答になるのでしょうか？どなたか教えてください。

No.30906 - 2015/03/03(Tue) 11:04:57

☆ Re: 解けなかった問題 / X

f(x)=(1-cosx)/x^2
と置くと
f'(x)={(x^2)sinx+2x(cosx-1)}/x^4
=(xsinx+2cosx-2)/x^3
ここでf(x)が偶関数であることから
0＜x≦π/2 (A)
におけるf'(x)の符号を考えます。
g(x)=xsinx+2cosx-2
と置くと
g'(x)=xcosx-sinx
g"(x)=-xsinx＜0
よってg'(x)は単調減少であり、更に
lim[x→+0]g'(x)=0
∴g'(x)＜0
となるのでg(x)も単調減少。
これと
lim[x→+0]g(x)=0
により
g(x)＜0
よって(A)において
f'(x)＜0
つまりf(x)は単調減少となります。
よって
-π/2≦x＜0,0＜x≦π/2
におけるf(x)の最小値は
f(π/2)=f(-π/2)=4/π^2
x=0のとき(1)はaの値によらず
成立しますので、求めるaは
a=4/π^2
となります。

No.30909 - 2015/03/03(Tue) 12:25:06

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

Xさんへ
　a=1/2 だとｘ=π/2のとき　cosx≦1-ax^2 の左辺は0、右辺は負になり不適だと思います。

ｘ=π/2で　cosx≦1-ax^2　でないといけないので　a≦4/(π^2)　が必要条件です。

あとはa＝4/(π^2)が条件を満たすことを確認します。
f(x)=cosx-(1-ax^2)とおいて
f'(x)=-sinx+2ax の正負からf(x)の増減をしらべます。

No.30911 - 2015/03/03(Tue) 20:54:41

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

ーπ/2≦ｘ≦π/2の範囲の全てのｘに対して
cosx≧1-ax^2・・?@
が成り立つ実数aで最小のもの

という問題だと aの最小値は1/2になると思います。

No.30912 - 2015/03/03(Tue) 21:24:11

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

Xさんの方法でf'の計算がちがっているようです

f'(x)=(xsinx+2cosx-2)/x^3
分子を微分　xcosx-sinx
もういちど微分　-xsinx
でf'(x)の正負、f(x)の増減が分かります。＃補記＃

No.30913 - 2015/03/03(Tue) 21:46:15

☆ Re: 解けなかった問題 / X

>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>喉を痛めている人さんへ
ごめんなさい。ITさんのご指摘通り、f'(x)の
計算を間違えていました。
只、修正されたf'(x)では符号の判定は困難です。
ITさんの方針をお勧めします。

No.30914 - 2015/03/03(Tue) 21:53:54

☆ Re: 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

ありがとうございます、疑問点は多々ありますが、
まず根本的に、私が書いた記事の
『a≦(１－cosx)/x^2
で右辺の最小値がとりうるaの最大値である』自体が間違っているという事なのでしょうか？間違っているとしたらなぜダメなのでしょうか？

よろしくおねがいします

No.30916 - 2015/03/03(Tue) 22:01:44

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

それで出来ると思います。No.30913　のとおりです。

No.30919 - 2015/03/03(Tue) 22:19:52

☆ Re: 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

ありがとうございます、私の目指した方針自体は間違っていないのですね。ただ、３０９１３の記事が何をやっているのかわかりません。分子の微分だけでf'の増減が分かるということなのでしょうか？

よろしくおねがいします

No.30922 - 2015/03/03(Tue) 22:29:42

☆ Re: 解けなかった問題 / X

>>喉を痛めている人さんへ
ごめんなさい、f'(x)の分子の微分での符号判定が
うまく行かないと勘違いをしていました。
No.30909をf'(x)の分子の符号を判定する方針
(といってもITさんのNo.30913の方針と同じですが)
で修正しましたので再度ご覧ください。

No.30923 - 2015/03/03(Tue) 22:37:48

☆ Re: 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

ありがとうございます、３０９０９，３０９１３ともに理解できました。

お二方、丁寧な解答ありがとうございます。

次に３０９１１の記事のやり方で、
f'(x)=-sinx+2ax の正負からf(x)の増減をしらべる方法がよくわかりません。
f'(x)=-sinx+8x/π^2の-π/2≦ｘ≦π/2の増減が一定にさだまらないのですが。。

No.30925 - 2015/03/03(Tue) 23:22:48

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

> f'(x)=-sinx+8x/π^2の-π/2≦ｘ≦π/2の増減が一定にさだまらないのですが。。
f'(x)の増減は分からなくても正負が分かればいいです。

y=sinxのグラフと直線y=8x/π^2の上下関係を調べればいいです。
２つとも原点をとおり
x=0ではy=sinxの接線は傾き１,y=8x/π^2はそれより傾きが小さいです。
x=π/2　ではsinx＝１で　8x/π^2=4/π＞1です。
またy=sinxは0≦x≦πで上に凸

No.30926 - 2015/03/03(Tue) 23:34:56

☆ Re: 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

2点不明確な点で交わりますが、問題には影響しないようですね。増減表を書いて極大値f(0)=0より常にｆ（ｘ）≦０が成り立ちたしかにa=４/π＾２は※をみたす。よって十分性は示されたので求めるaの値はa=４/π＾２といったところですかね？

No.30929 - 2015/03/04(Wed) 10:31:35

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

そうですね。

f'(x)=-sinx+2ax をもう一度微分する方法もありますね

No.30934 - 2015/03/04(Wed) 18:10:26

★ 数列 / もい

初項から第10項までの和が3 第11項から第30項までの和が18の等比数列がある。
(1)公比をrとするときr^10の値を求めなさい
r=1なのかr≠1なのかの確認を行うと
r≠1であることがわかったので、この条件のもとで
等比数列の和の公式を用いて初項aから第n項までの和をS[n]とすると
S[10]＝a(r^10-1)/(r-1)=3・・・?@
S[30]=a(r^30-1)/(r-1)=21・・・?A
?Aにおいて
a(r^10-1)｛(r^20)＋r^10＋1}/(r-1)=21・・・?B
?Bに?@を代入すると
(r^10)^2＋r^10-6=0
r^10=pとすると
p^2＋p-6=0
(p＋3)(p-2)=0
p=-3,2
つまりr^10=-3,2
となったのですが
答えはr^10=2でした。
rが実数であればr^10も実数で、r^10=(r^5)^2>0となりr^10=2に限られると思うのですが、r^10=-3だと公比rが虚数になりますが、
rの条件について問題には何も書いていないので
r^10=-3でもおかしくないのではと思ったのですが、
どうしてr^10=-3はだめなのでしょうか。
教えてください。

No.30900 - 2015/03/03(Tue) 04:35:39

☆ Re: 数列 / ヨッシー

一般には r^10＝-3 となる複素数ｒに対し、初項を
　(3/4)(1－r)
にすれば、上の条件を満たす数列は作れます。

手元に教科書がないので、なんとも言えませんが、例えば、
等比数列の単元の最初の方で、公比を実数に限るような
ことわりがあれば、この問題自体に記述がなくても、虚数はダメです。

>どうしてr^10=-3はだめなのでしょうか。
のポイントはそこしかありません。

No.30902 - 2015/03/03(Tue) 09:41:14

☆ Re: 数列 / もい

ありがとうございます。
まだ少しわからないところがあるので質問させてください。
r^10=-3となる公比rに対して初項が(3/4)(1－r)になるというのはどうすれば導出できるのでしょうか？
また、この問題は、問題集の問題の一つでことわりに関する記述はありませんでした。
この問題集のこの問題に限らず、実数などの明確な記述がなくても、虚数は考えないという暗黙の了解のような問題がいくつかあったのですが、これは常識のようなものなのでしょうか？よくわからないのでお願いします。

No.30904 - 2015/03/03(Tue) 10:11:23

☆ Re: 数列 / ヨッシー

暗黙の了解のことについては、やはり教科書を見ないと何とも言えません。
例えば、４と６の最小公倍数は？と聞かれたとき、１２と答えるのが
一般的で０を考えないのは暗黙の了解のようになっていますが、
実は教科書に「今後０は考えない」と書いてあります。
これと同じようなことが、公比についてもある可能性はあります。

さて、質問の方ですが、
　初項をａ、公比をｒとすると、初項から第１０項までの和は
　a(1+r+r^2＋・・・＋r^9)＝３
となり、初項は
　a＝3/(1+r+r^2＋・・・＋r^9)
で求められます。一方、
　(1-r)(1+r+r^2＋・・・＋r^9)＝1－r^10
を利用するために、分子分母に1-r を掛けると、
　a＝3(1-r)/(1-r^10)
r^10＝-3 なので、
　a＝(3/4)(1-r)
となります。
これは、等比数列の和の公式からも求めることが出来ます。

No.30905 - 2015/03/03(Tue) 10:26:11

☆ Re: 数列 / もい

回答ありがとうございます。
最後に、rについては条件が分からないのでこれは問題がよくないと思っていいのでしょうか。
お願いします。

No.30907 - 2015/03/03(Tue) 12:04:45

★ 集合 / ユウマックス

答えが3なのですが、ベン図をつかってもまったくわかりません。
わかりやすく教えてくださるとありがたいです。

よろしくお願いします。

No.30892 - 2015/03/02(Mon) 20:45:45

☆ Re: 集合 / ヨッシー

図のようにベン図に順々に値を入れていきます。

最終の図において、魚の部分を見ると、
　18＋x＋x＋(x+4)＝28
が成り立つので、
　ｘ＝２
これより、ｙを含む部分の和は
　ｙ＋(ｙ＋１)＝５７－２－２８－(ｘ＋２)＝２３
よって、
　ｙ＝１１　・・・答え

となります。

No.30895 - 2015/03/02(Mon) 23:57:54

☆ Re: 集合 / ユウマックス

ヨッシー先生お答えありがとうございます。

ｘ、ｘ+4などがなぜあの場所に入るのかわかりません。

おしえてください。
よろしくお願いします。

No.30898 - 2015/03/03(Tue) 00:48:39

☆ Re: 集合 / ヨッシー

イの後半に、卵及び魚が好きな園児は牛肉及び魚が好きな園児より４人少ない。
とあります。
　卵及び魚が好きな園児は、図の１８の部分とｘの部分を合わせた部分です。
　牛肉及び魚が好きな園児は、図の１８の部分とｘ＋４の部分を合わせた部分です。
１８の部分は共通なので、残りの部分の差が４になるように、一方をｘ，他方をｘ＋４としました。

他の部分も、それぞれ差を考えて、ｘなどがすでに入っている部分との
差で表せる部分は、ｘを含んだ式で、全く新しい部分は、ｙなどの別の文字で表現しています。

No.30903 - 2015/03/03(Tue) 09:48:06

★ 変換公式 / 横綱相撲

Σ(k=0～ｎ）(k+1)^2*nCk=(n+1)(n+4)2^(n-2)を示せ
解答をよろしくおねがいします

No.30889 - 2015/03/02(Mon) 17:06:10

☆ Re: 変換公式 / X

合成関数の微分を学習されているのであれば以下の方針が
考えられます。

二項定理により
(x+1)^n=Σ[k=0～n](nCk)x^k (A)
x=1を代入して
Σ[k=0～n]nCk=2^n (A)'
一方(A)を両辺をxで微分すると
n(x+1)^(n-1)=Σ[k=1～n]k(nCk)x^(k-1) (B)
x=1を代入すると
Σ[k=1～n]k(nCk)=n・2^(n-1)
k=0のとき
k(nCk)=0
に注意すると
Σ[k=0～n]k(nCk)=n・2^(n-1) (B)'
更に(B)の両辺をxで微分すると
n(n-1)(x+1)^(n-2)=Σ[k=2～n]k(k-1)(nCk)x^(k-2) (C)
x=1を代入すると
Σ[k=2～n]k(k-1)(nCk)=n(n-1)・2^(n-2)
k=0,1のとき
k(k-1)(nCk)=0
に注意すると
Σ[k=0～n]k(k-1)(nCk)=n(n-1)・2^(n-2) (C)'
(A)'+(B)'×3+(C)'により
Σ[k=0～n](k^2+2k+1)(nCk)=2^n+3n・2^(n-1)+n(n-1)・2^(n-2)
これより
Σ[k=0～n]{(k+1)^2}(nCk)=(n^2+5n+4)・2^(n-2)
∴Σ[k=0～n]{(k+1)^2}(nCk)=(n+1)(n+4)・2^(n-2)

No.30890 - 2015/03/02(Mon) 17:30:48

☆ Re: 変換公式 / 横綱相撲

すばやい解答ありがとうございます。

大方理解できたのですが、
AからBに微分する際にｋ＝0～ｎが１～ｎに変わるのはなぜなのでしょうか？

また、
k{nCk}=n*{(n-1)C(k-1)}
の変換公式を使った解答が可能なら
どなたでもかまいません、ご教授ください。

Σ[k=０～ｎ]k^2nCkがどうなるかが肝かと思います。

No.30891 - 2015/03/02(Mon) 18:17:29

☆ Re: 変換公式 / X

>>AからBに微分する際にｋ＝0～ｎが１～ｎに変わるのはなぜなのでしょうか？
k=0のときの項、つまり
nC0
は定数ですので微分することで消えます。

No.30893 - 2015/03/02(Mon) 22:50:18

☆ Re: 変換公式 / X

>>また、
>>k{nCk}=n*{(n-1)C(k-1)}
>>～

k(nCk)=n((n-1)C(k-1)) (A)
の両辺にk-1をかけると
k(k-1)(nCk)=n{(k-1)((n-1)C(k-1))}
∴k(k-1)(nCk)=n(n-1)((n-2)C(k-2)) (B)
更に二項定理により
(x+1)^n=Σ[k=0～n](nCk)x^k
∴x=1を代入して
Σ[k=0～n](nCk)=2^n (C)
以上(A)(B)(C)により
n≧2のとき
Σ[k=0～n]{(k+1)^2}(nCk)=Σ[k=0～n]{(k^2+2k+1)(nCk)
=Σ[k=0～n]{(k^2-k+3k+1)(nCk)
=Σ[k=0～n]k(k-1)(nCk)+3Σ[k=0～n]k(nCk)+Σ[k=0～n]nCk
=Σ[k=2～n]k(k-1)(nCk)+3Σ[k=1～n]k(nCk)+Σ[k=0～n]nCk
=n(n-1)Σ[k=2～n]((n-2)C(k-2))+3nΣ[k=1～n]((n-1)C(k-1))+Σ[k=0～n]nCk
=n(n-1)Σ[k=0～n-2]((n-2)Ck)+3nΣ[k=0～n-1]((n-1)Ck)+Σ[k=0～n]nCk
=n(n-1)・2^(n-2)+3n・2^(n-1)+2^n
={n(n-1)+6n+4}・2^(n-2)
=(n^2+5n+4)・2^(n-2)
=(n+1)(n+4)・2^(n-2)

n=1のときも問題の等式は成立しますので、任意の自然数nに対して
問題の等式は成立します。

No.30894 - 2015/03/02(Mon) 23:50:42

☆ Re: 変換公式 / 横綱相撲

>>AからBに微分する際にｋ＝0～ｎが１～ｎに変わるのはなぜなのでしょうか？
k=0のときの項、つまり
nC0
は定数ですので微分することで消えます。
理解しました。
これについて、初歩的な質問で申し訳ないのですが、ｘで微分する際に、ｋの範囲って考慮しないとダメなのでしょうか？つまりｋの値の範囲は無視して、シグマの中だけ微分しちゃダメなのでしょうか？ｋ＝０～ｎからわざわざk=１～ｎにした点が気になっています。

よろしくおねがいします

No.30901 - 2015/03/03(Tue) 09:38:56

☆ Re: 変換公式 / X

その通りです。
既に答えたとおりですが、kの値を考慮しているのは
Σで表されている式の中にnC0なる定数項が含まれて
いるためです。
ですので
f(x)=nC0+Σ[k=1～n](nCk)x^k
というように先に定数項をΣの外に出してから
微分します。

No.30915 - 2015/03/03(Tue) 22:00:05

★ 証明方法について / おまる

証明の方法がいまいち分かりません。

自然数nについて、2000^nを3で割った余りが、nが奇数であるとき2、偶数であるとき1であることを用いて、2000^nを12でわった余りが、nが奇数のとき8、偶数のとき4であることを証明せよ。」という問題があるとして次のように途中まで記述したのですが、このまま続けることは可能でしょうか？
また、できない場合は、どのように証明すればよいのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.30881 - 2015/03/01(Sun) 11:59:03

☆ Re: 証明方法について / おまる

画像が逆さまになったので貼り直しました。

No.30882 - 2015/03/01(Sun) 12:01:51

☆ Re: 証明方法について / ヨッシー

　2000^n=3a+2 (n は奇数)
の両辺に 2000 を掛けて
　2000^(n+1)＝2000・3a＋4000
　　　＝12(500a＋333)＋4
よって、
　2000^m＝12b＋4　(m は偶数)

のようにやればどうでしょう？

No.30887 - 2015/03/02(Mon) 13:58:20

☆ Re: 証明方法について / おまる

ご回答ありがとうございました。
確かにその方法では2000^(自然数) の形が崩れないので最適ですね。
大変勉強になりました。

No.30888 - 2015/03/02(Mon) 16:04:56

★ (No Subject) / おまる

公式の示し方についてわからないところがあるので教えて欲しいです。

lim[h→0]{log(1+h)/h}=1 (底はe) から lim[h→0](e^h-1)/h=1を示す方法がいまいちよく分かりません。

よろしくお願いします。

No.30880 - 2015/03/01(Sun) 10:39:46

☆ Re: / X

e^h-1=t
と置くと
h=log(t+1)
∴lim[h→0](e^h-1)/h=lim[t→0]t/log(t+1)=1

No.30883 - 2015/03/01(Sun) 13:36:45

☆ Re: / おまる

h→0をt→0にするとき、h→0ならばt→0なのでこのように書き換えることができるという理解でいいのでしょうか？

No.30884 - 2015/03/01(Sun) 14:41:46

☆ Re: / X

>>h→0をt→0にするとき、
していません。
lim[h→0]{log(1+h)}/h=1
を使うため
h→0のときt→0
となり、かつ
{log(1+t)}/t
が出現するようなtによる置き換えをしている、
ということです。

No.30885 - 2015/03/01(Sun) 14:59:47

☆ Re: / おまる

なるほど、よくわかりました。
{log(1+t)}/tを出現させるために、e^h-1=tとおくことによりh=log(t+1)となり、これを両辺tで割ると、h/t={log(t+1)}/tとなり、h/(e^h-1)={log(t+1)}/tがでてきました。
このとき必然的に、h→0のときt→0となっているということですね。
どうもありがとうございました。

No.30886 - 2015/03/01(Sun) 16:08:52

★ (No Subject) / じゃん

a,bが実数で
aAB→＋bAC→=0→が成り立っているとき
a=b=0になるのはどうしてなのかわかりません。
教えてください。お願いします。

No.30875 - 2015/02/27(Fri) 01:02:55

☆ Re: / ast

A,B,Cが同一直線上にあるとき
> aAB→＋bAC→=0→
でも
> a=b=0になる
とは限りません.

No.30876 - 2015/02/27(Fri) 01:46:59

☆ Re: / じゃん

回答ありがとうございます。
aAB→＋bAC→=0→
AB→≠0→　AC→≠0→　AB→とAC→は平行でない
場合ならa=b=0は成り立ちますか？
図を書いてみると左辺が0→になるためにはaとbがともに0でないといけないのかな？と思ったのですがどうなんでしょうか。よろしくお願いします。

No.30877 - 2015/02/27(Fri) 03:07:48

☆ Re: / X

そのような条件付きなら成立します。
参考)
参考書やネットで次のキーワードを調べてみて下さい。
　一次独立

No.30878 - 2015/02/27(Fri) 03:11:36

☆ Re: / ast

a=0 または b=0 のとき, aAB→+bAC→=0→ に代入すれば a=b=0.
そうでないとき, すなわち a≠0 かつ b≠0 のとき, aAB→＋bAC→=0→ から AB→= (-b/a)AC→ と書けるが, これは「AB→とAC→は平行でない」に矛盾.

No.30879 - 2015/02/27(Fri) 07:19:19

★ (No Subject) / じゃん

-Π/2<x<y<Π/2(x,yは実数)・・・?@というx,yの条件について、?@より-Π/2<x<Π/2・・・?A　かつ-Π/2<y<Π/2・・・?B
x-yの範囲を知りたいとき、
?Bより、Π/2<-y<Π/2とし、
これの各辺を?Aの各辺に足し合わせて
-Π<x-y<Πとすることは大丈夫でしょうか？
お願いします。

No.30860 - 2015/02/25(Wed) 18:59:45

☆ Re: / IT

x<yよりx-y<0 ですよね？

No.30861 - 2015/02/25(Wed) 20:05:05

☆ Re: / じゃん

-Π/2<x<y<Π/2(x,yは実数)のとき
cos(x-y)=0を解け
という問題があるのですが範囲をどうすればよいかわからないため解けません。教えてください。お願いします。

No.30862 - 2015/02/25(Wed) 23:16:00

☆ Re: / X

条件が足りません。他に条件式はありませんか？。

No.30863 - 2015/02/26(Thu) 00:04:56

☆ Re: / じゃん

解説には
-Π/2<x<y<Π/2(x,yは実数)、cos(x-y)=0より
x-y=-Π/2となる。
とだけあります。

No.30864 - 2015/02/26(Thu) 00:23:28

☆ Re: / X

cos(x-y)=0
より
x-y=π/2+nπ
(nは任意の整数)
∴y=x-(π/2+nπ)
これを
-π/2＜x＜y＜π/2
に代入すると
-π/2＜x＜x-(π/2+nπ)＜π/2
∴
-π/2＜x (A)
x＜x-(π/2+nπ) (B)
x-(π/2+nπ)＜π/2 (C)
(B)より
n＜-1/2 (B)'
(C)より
x＜(n+1)π (C)'
(A)(B)'(C)'より
-π/2＜x＜(n+1)π＜π/2
これを満たすためには
n+1=0
∴n=-1
よって
x-y=-π/2
となります。

No.30865 - 2015/02/26(Thu) 01:24:45

☆ Re: / じゃん

回答ありがとうございます。
「-Π/2<x<y<Π/2(x,yは実数)・・・?@というx,yの条件について、?@より-Π/2<x<Π/2・・・?A　かつ-Π/2<y<Π/2・・・?B、
?Bより、Π/2<-y<Π/2とし、
これの各辺を?Aの各辺に足し合わせて
-Π<x-y<Π
この範囲でcos(x-y)=0を考えると
x-y=-Π/2」とするのは間違いですか？
問題集では
「-Π/2<x<y<Π/2とcos(x-y)=0よりx-y=-Π/2であるから～(略」となぜか当然のように出しています。
ここを求める部分の記述がないのがとても不自然です。
ちなみに-Π/2<x<y<Π/2(x,yは実数)・・・?@、tanx＋tany=1
tan(x＋y)=1/2 cos(x-y)=cosxcosy(1＋tanxtany)=0・・・?Aを満たすときにcos^2x＋cos^2yの値を求める問題で、
cosyのyをxの形にしたいのでそのために、?@?Aからx-y=-Π/2となると書いています。
回答お願いします。

※誤って同じ質問をしてしまいました。ごめんなさい。

No.30867 - 2015/02/26(Thu) 02:00:27

☆ Re: / X

間違いです。
もし
-π＜x-y＜π (A)
であれば
x-y=π/2
も条件を満たすことになってしまいます。

既にITさんが書かれていますが、
-π/2＜x＜y＜π/2
により
x＜y
つまり
x-y＜0 (B)
も条件に加えないといけません。
(A)(B)により
-π＜x-y＜0
∴x-y=-π/2
となります。

No.30868 - 2015/02/26(Thu) 02:19:22

★ (No Subject) / めっし

複素数の問題で、

「　(2+11i)の3乗根　を簡単にしなさい。　」

という問題です。

答えは、2+i。

計算の途中過程がよくわかりません。
どのように導いたら良いのでしょうか？

No.30851 - 2015/02/24(Tue) 06:49:38

☆ Re: / ヨッシー

３乗根の定義と、「簡単に」の意味が不明確ですが、
３乗根を求めるというと以下のようになります。

２＋１１ｉ＝ｒｅ^(iθ) ただし、ｒ＝5√5, sinθ＝11/5√5, cosθ＝2/5√5
と書けます。
求める複素数をａ＋ｂｉとすると、
　ａ＋ｂｉ＝ｓｅ^(iφ) ただし、ｓ＝√5, 3φ＝θ, sinφ＝ｂ/√5, cosφ＝ａ/√5
３倍角の公式
　sin(3α)＝3sinα－4sin^3α
　cos(3α)＝4cos^3α－3cosα
より、
　sinθ＝3b/√5－4b^3/5√5＝11/5√5
　cosθ＝4a^3/5√5－3a/√5＝2/5√5
よって、
　15b－4b^3＝11
　4a^3－15a＝2
4a^3－15a－2＝(a-2)(4a^2＋8a＋1)＝0 より
　a＝2, (-2±√3)/2
4b^3－15b＋11＝(b-1)(4b^2＋4b－11)＝0 より
　b＝1, (-1±2√3)/2
これらの組み合わせで
　ｓ^2＝ａ^2＋ｂ^2＝5
を満たすものは
　(a, b)＝(2,1), ((-2+√3)/2, (-1-2√3)/2), ((-2-√3)/2, (-1+2√3)/2)
よって、2+11i の３乗根は
　２＋ｉ
　{(-2+√3)－(1＋2√3)ｉ}/2
　{－(2＋√3)＋(-1+2√3)ｉ}/2
の３つです。

No.30852 - 2015/02/24(Tue) 14:41:07

☆ Re: / めっし

回答ありがとうございます。

3乗根の定義は、
例えば、
「８の3乗根が、2と定義する。」
という事だと思います。
つまり、2*e^(2πi/3)や2*e^(4πi/3)を考えないという事だと思います。

x=(2+11i)^(1/3)

3次方程式　x^3=2+11i　から導き出せると思っていたんです。(ただ「i」の消し方が、わからないのでどうしようもなかったんです。)

どうもありがとうございました。

No.30855 - 2015/02/24(Tue) 17:26:48

☆ Re: / らすかる

x^3=2+11i から導き出せます。
x^3=2+11i
x^3-2=11i
(x^3-2)^2=-121
x^6-4x^3+125=0
(x^2-4x+5)(x^4+4x^3+11x^2+20x+25)=0
x^2-4x+5=0から x=2±i
(2+i)^3=2+11iなのでx=2+iが（一つの）答え。

No.30858 - 2015/02/25(Wed) 17:51:05

☆ Re: / めっし

らすかるさん、回答ありがとうございます。

6次方程式　x^6-4x^3+125=0　へ持っていく事は、考えませんでした。
(6次方程式だと、次数が高くなってしまうと思ったからです。)

この問題は、

3次方程式　　y^3+ay+b=0　の解は、

R=b^2/4 + a^3/27　とすると、

解の一つは、　y=(-b/2 +√R )^(1/3)　+ (-b/2 -√R )^(1/3)　　ですが、

この形だと、簡約されていないので、良くないと疑問に思ったからです。

回答してくださいました方々、ありがとうございました。

No.30869 - 2015/02/26(Thu) 05:20:35

★ 三角関数 / じゃん

0≦x<2Π、0≦y<2Πにおいてcosx＋siny=1 sinx＋cosy=0の解をすべて求めなさい。

まず、cosx＋siny=1・・・?@　sinx＋cosy=0・・・?Aとして、?@はcosxを、?Aはsinxをそれぞれ右辺に移項して
siny=1-cosx　cosy=-sinxとなります。

sin^2y＋cos^2y=1を利用すると、
sin^2y＋cos^2y=1-2cosx＋cos^2x＋sin^2x
1=1-2cosx＋1　よってcosx=1/2・・・(※)
となり、あとはこの(※)を解いてx、yを求めればいいと思うのですが、わからないところがあります。
cosx=1/2・・・(※)はsin^2y＋cos^2y=1に
siny=1-cosx　cosy=-sinxを代入することで得られたものなので、siny=1-cosx　cosy=-sinxならば(※)は真なので
(※)はsiny=1-cosx、cosy=-sinxであるための必要条件だと思います。
であるなら、この(※)が十分条件でもあれば、siny=1-cosx、cosy=-sinxを満たすx,yがすべて求まると思うのですが、(※)が十分条件であることは必要ないのでしょうか？
よくわからないのでお願いします。

No.30849 - 2015/02/23(Mon) 18:39:59

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

cosx=1/2 は、siny=1-cosx、cosy=-sinxであるための必要条件です。
そして、cosx=1/2 であるだけでは siny=1-cosx、cosy=-sinx は
必ずしも成立しないので、十分条件ではありません。
そのために、具体的に、x はいくら、y はいくらと解を求めていくのです。
そして、その手続きを踏んだと言っても、cosx=1/2 が十分条件になるわけではありません。

No.30853 - 2015/02/24(Tue) 16:53:27

☆ Re: 三角関数 / じゃん

回答ありがとうございます。cosx=1/2は十分条件ではないというのはわかりました。
「そのために、具体的に、x はいくら、y はいくらと解を求めていくのです。」・・・?@
必要条件であるcosx=1/2は0≦x<2Πにおいてx=Π/3、5Π/3
なのでこれらそれぞれの場合におけるyの値を求めるということですよね。この手続きを踏めば解答としては十分ということですか？なんとなくわかるのですがちょっと釈然としません。
もう少し?@の、とくの「xはいくら、yはいくらと解を求めていけ」ばＯＫというところの説明をよろしくお願いします。

No.30854 - 2015/02/24(Tue) 17:24:45

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

もし仮に、cosx＝1/2 が十分条件であれば、この問題の回答は
　x=π/3 または x=5π/3、y は任意の実数
で終わりです。ところがそうなっていないのは明らかで、
x=π/3 のとき cosx＝1/2, sinx＝√3/2
　このとき、siny＝1/2,　cosy＝-√3/2
　これを解いて、y=5π/6
x=5π/3 のとき cosx＝1/2, sinx＝-√3/2
　このとき、siny＝1/2,　cosy＝√3/2
　これを解いて、y=π/6
まで持っていかないといけません。

この結果を踏まえて
(x=π/3 かつ y=5π/6) または (x=5π/3 かつ y=π/6)
は、
　siny=1-cosx、cosy=-sinx
であるための、必要かつ十分条件となります。

No.30857 - 2015/02/25(Wed) 09:14:05

☆ Re: 三角関数 / じゃん

ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。

No.30859 - 2015/02/25(Wed) 18:54:38

★ 数学 / じゃん

A,B,Cを実数とする。
A,B,Cの中の最大値をM、最小値をmとするとき、
m≦A≦M、m≦B≦M、m≦C≦M
とあるのですが、
「A,B,Cの中の最大値をM、最小値をmとする」・・・?@
というのはたとえば、
AがM　Bがm　Cがm～Mの間
という場合も考えられるし、
Aがm～Mの間　BがM　Cがm
という場合も考えられるので、
A,B,Cはそれぞれm～M(m、Mを含む)の値を取り得るので
m≦A≦M、m≦B≦M、m≦C≦Mということでしょうか？
もう一つ気になるのは、?@には
A,B,Cがすべて最大値Mの場合や、すべて最小値mの場合やすべてM～mの間の場合といった意味も含まれているのでしょうか？
「A,B,Cの中の」ということは最大値Mと最小値mはA,B,Cのうちのどれかで、たとえばAが最大でCが最小ならその値をそれぞれM,mということだと思ってしまいました。
よくわからないので教えてください。お願いします。

No.30845 - 2015/02/23(Mon) 02:41:26

☆ Re: 数学 / ヨッシー

>A,B,Cがすべて最大値Mの場合や、すべて最小値mの場合やすべてM～mの間の場合といった意味も含まれているのでしょうか？
この記述は、（Ａ＝Ｂ＝Ｃの場合を除いて）一般には正しくありません

解釈の仕方は、そもそもこれはどんな問題なのかにより、変わりますが、大体書かれている通りで行けると思います。

No.30847 - 2015/02/23(Mon) 08:30:08

☆ Re: 数学 / じゃん

ありがとうございました。

No.30850 - 2015/02/23(Mon) 18:40:23