横置きの灯油タンクに油面計付けたい。
円の面積を水平にｎ等分する、計算方法を教えてください。
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No.31244 - 2015/04/22(Wed) 18:04:13
| ☆ Re: 円を当分する。 / X | | | 簡単のため円の半径を1として考えます。
今、座標平面上に円
x^2+y^2=1
を考え、
点P[k](x[k],0)(k=0,1,…,n,x[0]=-1,x[n]=1)
を通るy軸平行の直線
x=x[k] (A)
によって面積がn等分されるとします。
このとき、(A)に分割された左側の領域の面積について
2∫[-1→x[k]]√(1-x^2)dx=kπ/n
これより
x[k]√{1-(x[k])^2}+arcsinx[k]+π/2=kπ/n (B)
(積分の計算過程は省略します。)
(B)をx[k]についての方程式を見て解くわけですが
これは近似的にしか解くことができません。
具体的な値を代入した数値計算に頼るしかない
ようです。
ちなみにx[k]の値が求められた場合の
その後の処理ですが、
灯油タンクの側面の円の半径をrとすれば
タンクの底からk番目の油面の高さh[k]は
h[k]=r(x[k]+1) (C)
として計算できます。
ですので(B)(C)からx[k]を消去して
(h[k]/r-1)√{1-(h[k]/r-1)^2}+arcsin(h[k]/r-1)+π/2=kπ/n
をh[k]についての方程式と見て解いても構いません。
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No.31245 - 2015/04/22(Wed) 18:34:08 |
| ☆ Re: 円を当分する。 / らすかる | | | 具体値を計算してみると、（直径の両端を0と1として）
三等分点
0.36753395770, 0.63246604230
四等分点
0.29801362335, 0.5, 0.70198637665
五等分点
0.25406908362, 0.42113190310, 0.57886809690, 0.74593091638
六等分点
0.22335364385, 0.36753395770, 0.5, 0.63246604230, 0.77664635615
七等分点
0.20046970974, 0.32826108757, 0.44378145212, 0.55621854788,
0.67173891243, 0.79953029026
のようになるようです。
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No.31246 - 2015/04/22(Wed) 19:32:47 |
| ☆ Re: 円を当分する。 / らすかる | | | 具体的な計算方法
面積の割合がt（0＜t＜1）となる水平線の
直径に対する割合x（0＜x＜1）を求めるには、
a={3arccos(1-2t)-πt}/2
b={sin(2a)-2acos(2a)+2πt}/{2-2cos(2a)}
c={sin(2b)-2bcos(2b)+2πt}/{2-2cos(2b)}
d={sin(2c)-2ccos(2c)+2πt}/{2-2cos(2c)}
x=(sin(d/2))^2
とすれば実用的に十分な精度で求まります。
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No.31247 - 2015/04/23(Thu) 01:45:49 |
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