a,b,c,p,q,r を実数、q≠rとする。f(x)=xxxx+axx+bx+c、g(x)=px+q、h(x)=px+rとおく。直線l：y=g(x)が曲線C：y=f(x)と異なる2点で接していて、直線m：y=h(x)がCと接しているとする。
(1)p,rをそれぞれa,b,cで表せ。
(2)lとCで囲まれた部分の面積をS、mとCで囲まれた2つの部分の面積の和をTとする。T/Sを求めよ。
(解答)Cとlの接点のx座標をα,βとすると
x^4+ax^2+bx+c-(px+q)=(x-α)^2(x-β)^2
解と係数の関係により
2α+2β=0
β=-α
したがって
x^4+ax^2+(b-p)x+(c-q)=(x^2-α^2)^2よりb=p
Cの接線で傾きがbになるものは
y'=4x^3+2ax+b=b
2x(2x^2+a)=0
より
x=±√(-a/2),0での接線と分かるので
Cとmの接点のx座標は0でy座標の値からr=c
α=√(-a/2)とすると
S=∫[-α,α](x-α)^2(x+α)^2dx
=-(2/3)∫[-α,α](x-α)^3(x+α)dx
=(1/6)∫[-α,α](x-α)^4dx=(16/15)α^5
x^4+ax^2+bx+c-(bx+c)=x^2(x^2+a)=x^2(x^2-2α^2)よりCとmの共有点は
x=0,±(√2)α
T=-∫[-(√2)α,(√2)α]{x^2(x^2-2α^2)}dx
x=(√2)tと置換すると
T/√2=-4∫[-α,α]{t^2(t^2-α^2)}dt
=-4S-4α^2∫[-α,α](t^2-α^2)dt
=-4S+2α^2{∫[-α,α](t+α)^2dt
=-4S+(16/3)α^5
=(16/15)α^5
T/S=√2
この解答に何か誤りはありますでしょうか？、あったら教えてください！
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No.31498 - 2015/05/29(Fri) 19:21:00
| ☆ Re: / 53 | | | できれば、件名をつけていただけるとヨッシーさんも答えやすいかと思います
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No.31501 - 2015/05/29(Fri) 20:24:09 |
| ☆ Re: / X | | | まず、解答する問題の番号は必ず書きましょう。
解答の内容としては大筋で問題ありません。
計算結果も誤りはないと思います。
が、(1)での
>>解と係数の関係により
>>2α+2β=0
について。
これは4次方程式の解と係数の関係を使っていると
思われますが、問題で
「4次方程式の解と係数の関係を使ってもよい」
とでもされていない限り、使わないほうが無難です。
似た方針を使いたいのであれば
>>x^4+ax^2+bx+c-(px+q)=(x-α)^2(x-β)^2
の右辺を展開してx^3の項を係数比較、
というように進めた方がいいでしょう。
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No.31505 - 2015/05/29(Fri) 22:38:57 |
| ☆ Re: / 出典が気になる | | | せめて締切の後に質問するぐらいの良心はあってもいいのでは
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No.31552 - 2015/06/01(Mon) 17:57:39 |
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