ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ao

x(y-3)y'-4y=0
の微分方程式の解き方は画像の解き方であっていますか

No.31546 - 2015/05/31(Sun) 23:16:41

☆ Re: / X

4行目で左辺の絶対値が消えてしまっていますが
理由もないのに勝手に消してはいけません。
ここは残してlogを外した後に絶対値を外します。
すると6行目が
(e^y)/y^3=(±e^C[1])x^4
となるので
C=±e^C[1]
と置けば
「C≠0なる任意の」Cについて
(e^y)/y^3=Cx^4 (A)
となります。

それと問題の微分方程式は
y=0
も解に持ちますので
注意して下さい。
((A)とは別の解となっています)

No.31548 - 2015/06/01(Mon) 05:55:50

☆ Re: / X

解の形を一つにしたいのであれば
(e^y)/y^3=(±e^C[1])x^4
を
y^3=(±1/e^C[1])(e^y)/x^4
と変形した後で
C=±1/e^C[1]
と置いて
y^3=(Ce^y)/x^4 (A)
とし、
(A)はC=0のときも成立
とするのがいいでしょう。

No.31549 - 2015/06/01(Mon) 06:02:32

☆ Re: / ao

すみませんよくわからないのですが
答えとしては
(e^y)/y^3=Cx^4
まででいいのですか。それとも
y^3=(Ce^y)/x^4
まで計算するのですか

No.31551 - 2015/06/01(Mon) 11:22:25

☆ Re: / X

y^3=(Ce^y)/x^4
まで計算するのが望ましいです。
(答えの式が一つで済みますので。)

No.31554 - 2015/06/01(Mon) 18:58:04

☆ Re: / ao

ありがとうございます

No.31556 - 2015/06/01(Mon) 19:21:49

★ (No Subject) / 法興寺

３０！を素数の累乗の積で表したとき
３と５と７だけを素因数として持つ正の約数の個数を求めよで答えが１５＊８＊５＝６００なのですが、これは問題として不備はないのでしょうか？３だけを素因数にもち、５．７は素因数に持たなくても良い、というケースも含んじゃってますよね？30!=3^14*5^8*7^5*・・・
また、３と５と７だけを素因数にもつなので３＾０＊５＾０＊７＾０は３も５も７も因数に持ってませんよね？（答えとして不備がありますよね？）

No.31545 - 2015/05/31(Sun) 22:00:17

☆ Re: / らすかる

問題が多少不親切な気はしますが、不備ではないと思います。
数学においては、通常
「３と５と７だけを素因数として持つ」は
「３、５、７以外の素因数は持たない」という意味に解釈されます。

No.31550 - 2015/06/01(Mon) 10:20:57

★ (No Subject) / あいか

Cー19(1)についてなのですが、解説に
?@t＜-2のとき
?A-2≦t＜0のとき
?Bt≦0のとき
で場合分けすると書いてあったのですが、なぜこのときに場合分けするのかわかりません

No.31543 - 2015/05/31(Sun) 20:18:43

☆ Re: / あいか

あと(2)についてなのですが、
?@t＜-1
?At=-1
?Bt＞-1
で分けてあるのですが、これもなぜこのとき分けるのか教えてほしいです

No.31544 - 2015/05/31(Sun) 20:28:01

☆ Re: / ヨッシー

図の上の３つは最小値、下の３つは最大値の現れ方を示したものです。
　f(x)＝x^2
とおいたとき、
最小値は左から順に
　f(t+2) が最小、f(0) が最小、f(t) が最小
最大値は左から順に
　f(t) が最大、f(t)およびf(t+2) が最大、f(t+2) が最大
と、現れ方が異なります。

No.31547 - 2015/05/31(Sun) 23:42:05

★ 行列　階段行列 / yk

x + 3y = 1
kx + 2ky = k+1

この連列1次方程式が無限個の解を持つときのkの値の条件を求めよ

答え：k=0

まず答えがk=0から疑問に思います。
2つ目の式にk=0を代入したら0=1となってそもそも成り立たないということです。

自分なりに解くと（ここでの行列の書き方がわかりませんが）

1.3.1
k.2k.k+1
↓
1.3.1
0.-k.1
↓
??

最終的には下の段が0.0.0になれば無限個の解を持つはずなのですがその形にさせることができません。
解までの流れをお教え頂けないでしょうか。

No.31539 - 2015/05/31(Sun) 16:06:33

☆ Re: 行列　階段行列 / angel

「まず…」の疑問は尤もかと思います。
恐らく、問題か答えが間違えています。

もし問題文がこのままだと、「解なし」が答えになります。

ただし、この問題を解いていくと途中で k=0 という条件は避けて通れません。k=0 は「必要条件」です。
それは、行列 A を

　A=(1 3)
　　(k 2k)

とした時の行列式 det(A)=0 から来ています。
今回、det(A)=1・2k-3・k=-k ですね。
※書き方に馴染みがなければ det(A) でなくても |A| とか適当に置き換えて見てください。

…えーと、行列式って習ってます…か?

No.31540 - 2015/05/31(Sun) 17:59:36

☆ Re: 行列　階段行列 / yk

返信有難うございます。

> 「まず…」の疑問は尤もかと思います。
> 恐らく、問題か答えが間違えています。
>
> もし問題文がこのままだと、「解なし」が答えになります。

再度問題を確認しましたが写し間違いはないようですのでやはり解なしなのでしょうか。
問題のヒントに「掃き出し法を実行」「両辺をkで割るとき場合分けが必要」となっています。

> …えーと、行列式って習ってます…か?

いえ、学んだのは逆行列までです。
（行列式はこの次のようです。）

No.31542 - 2015/05/31(Sun) 20:06:58

★ 確率 / ふぇるまー

質問で御座います。
問　さいころを繰り返し投げて出た目の数を加えていく。その合計が4以上になるとき投げるのをやめる。

投げる回数が1回で終了する確率は(1)であり、2回目で終了する確率は(2)である。終了するまでに投げる回数が最も多いのは(3)回であり、投げる回数が(3)回で終了する確率は(4)である。

記号には全て数字が入ります。どうぞ御教授くださいまし。<m(__)m>

No.31522 - 2015/05/30(Sat) 20:15:43

☆ Re: 確率 / X

(i)投げる回数が1回で試行が終了する場合
4,5,6いずれかの目が出ればよいので
確率は1/2
(ii)投げる回数が2回で試行が終了する場合
2回の出る目の組は
(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
の15通り。
よって確率は
15/36=5/12

又、さいころの目の数字が1以上であることから
投げる回数が最も大きい回数は
4÷1=4
により4回。
このときのさいころの出る目の組の数は
1,2,3回目に出る目が必ず1となることを考えて
6通り
なので求める確率は
6/6^4=1/216

No.31523 - 2015/05/30(Sat) 20:38:00

☆ Re: 確率 / ふぇるまー

X様、感謝いたします。有難う御座いました。

No.31528 - 2015/05/30(Sat) 23:01:44

★ 数Aの質問です。 / komura

大問9 (4)がわからないです。
お願いしますm(_ _)m

No.31514 - 2015/05/30(Sat) 12:02:01

☆ Re: 数Aの質問です。 / ヨッシー

(4)
男女の並び方は
男男女男女男女
男女男男女男女
男女男女男男女
男女男女男女男
女男男男女男女
女男男女男男女
女男男女男女男
女男女男男男女
女男女男男女男
女男女男女男男
の１０通りで、それぞれについて
男子の並び方　４！＝２４(通り)
女子の並び方　３！＝６(通り)
なので、１０×２４×６＝１４４０(通り)

No.31515 - 2015/05/30(Sat) 12:44:32

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

分かりやすい解説ありがとうございます！

No.31516 - 2015/05/30(Sat) 12:50:59

☆ Re: 数Aの質問です。 / angel

蛇足ながら。

これは、
・女同士が隣合わないように、男用/女用の椅子を並べて ( 10通り )
・椅子にそれぞれ男女を座らせる ( 24×6=144通り )
と2段階に分けて考えていることになります。

前者の10通りについては、次のような考え方で計算することができます。

・まず女同士が隣合わない最小構成を考える
　→ 女男女男女
・残りの男を配置できる場所を洗い出す
　→ ○女男○女男○女○ とした時の○の4エリア
・この○4エリアに残り2個の男用椅子を配置する ( 重複可 )
　→ 重複組み合わせ 4H2=10通り

…って、重複組み合わせって習ってましたっけ。

No.31517 - 2015/05/30(Sat) 12:59:55

☆ Re: 数Aの質問です。 / komura

ごめんなさい。習ってないですが、参考にしておきます。ありがとうございますm(_ _)m

No.31525 - 2015/05/30(Sat) 21:12:49

★ 複素数 / おまる

いつもお世話になっております。
式変形でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題の波線部の変形の意味がよくわかりません。
なぜこのように式変形しているのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.31503 - 2015/05/29(Fri) 22:11:53

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

?@ の式の次の目標は、絶対値を外してｗ＝(ｚの式) にすることです。
ａｚと同じ向きの単位ベクトルを表す複素数が（ｚ－ａ）/|ｚ－ａ| であるのと同様に、
ａｗと同じ向きの単位ベクトルを表す複素数は（ｗ－ａ）/|ｗ－ａ| であり、
両者とも向きも大きさも同じなので、同じベクトルです。
?@ の左辺に（ｗ－ａ）/|ｗ－ａ| 、右辺に（ｚ－ａ）/|ｚ－ａ| を掛けると
左辺は |ｗ－ａ|×（ｗ－ａ）/|ｗ－ａ|＝ｗ－ａ
右辺は、解説に書いてあるとおりで、これで絶対値が外れて、ｗが露わになったので、
－ａを移項して、ｗ＝・・・の形に持って行くことが出来るようになりました。

No.31504 - 2015/05/29(Fri) 22:26:22

☆ Re: 複素数 / おまる

遅くなってすいません。
どうもありがとうございました。

No.31536 - 2015/05/31(Sun) 13:45:09

★ 平面幾何(2題) / MR

平面幾何の問題です。

１、鋭角三角形 ABC の底辺 BC を直径とする円を描き、A からこの円に引いた一つの接線の接点を F とし、AB 上に AF = AD を満たす点 D を定め、D において AB と直交する直線が AC と交わる点を E とすれば、△ABC と △ADE は、面積が等しいことを証明せよ。

２、円の弦 AB の中点 M を通る任意の弦 PQ の両端における接線が、AB の延長と交わる点を、C および D とすれば、BC と AD の長さは等しいことを証明せよ。

よろしくお願いします。

No.31502 - 2015/05/29(Fri) 20:49:06

☆ Re: 平面幾何(2題) / ヨッシー

まず１番

ＡＢと円の交点をＧとすると、ＢＣが直径なので
　ＡＢ⊥ＣＧ
であり、ＡＢ⊥ＤＥより、ＣＧ//ＤＥ
△ＡＧＣ∝△ＡＤＥ　より
　ＡＧ/ＡＤ＝ＡＣ/ＡＥ
一方、方べきの定理　ＡＧ・ＡＢ＝ＡＦ^2（＝ＡＤ^2)より
　ＡＧ/ＡＤ＝ＡＤ/ＡＢ
より　ＡＣ/ＡＥ＝ＡＤ/ＡＢ　となり
　△ＡＤＣ∝△ＡＢＥ
よりＤＣ//ＢＥ
よって、△ＤＣＢ＝△ＤＣＥ　(底辺ＤＣ共通、高さ一定より)
以上より
　△ＡＢＣ＝△ＡＤＥ

No.31509 - 2015/05/30(Sat) 05:27:55

☆ Re: 平面幾何(2題) / MR

ありがとうございます。
なるほどです。

できましたら、二番の方もよろしくお願いします。

No.31518 - 2015/05/30(Sat) 17:42:24

☆ Re: 平面幾何(2題) / MR

二番は、何とか自力で解けました。
どうもお騒がせしました。
(^^;;

No.31565 - 2015/06/02(Tue) 00:17:24

★ (No Subject) / たき

平面上に4つの定点O,A,B,Cがあり、3点A,B,Cは三角形を作るものとする。点PをOP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→で定める。いまx、y、zをx+y+z=5、x≧1、y≧2、z≧0を満たすように変化させる。
(1)点Pの動く範囲をDとし、Dの面積をT、?僊BCの面積をSとする。T:Sを求めよ。
(2)OA=OB=OC=1、∠AOBは鋭角、∠BOCと∠COAは鈍角とする。このとき、｜OP→｜の最大値を与えるx,y,zの値の組を求めよ。

の解答か考え方だけでも良いので教えて下さい！

No.31500 - 2015/05/29(Fri) 19:55:26

☆ Re: / ヨッシー

まずは、こちらをご覧下さい。

No.31506 - 2015/05/29(Fri) 23:02:27

☆ Re: / たき

ありがとうございます。(1)は分かったのですが,(2)が分からないので教えていただけないでしょう
。

No.31510 - 2015/05/30(Sat) 06:41:14

★ (No Subject) / かりん

a,b,c,p,q,r を実数、q≠rとする。f(x)=xxxx+axx+bx+c、g(x)=px+q、h(x)=px+rとおく。直線l：y=g(x)が曲線C：y=f(x)と異なる2点で接していて、直線m：y=h(x)がCと接しているとする。
(1)p,rをそれぞれa,b,cで表せ。
(2)lとCで囲まれた部分の面積をS、mとCで囲まれた2つの部分の面積の和をTとする。T/Sを求めよ。
(解答)Cとlの接点のx座標をα,βとすると
x^4+ax^2+bx+c-(px+q)=(x-α)^2(x-β)^2
解と係数の関係により
2α+2β=0
β=-α
したがって
x^4+ax^2+(b-p)x+(c-q)=(x^2-α^2)^2よりb=p

Cの接線で傾きがbになるものは
y'=4x^3+2ax+b=b
2x(2x^2+a)=0
より
x=±√(-a/2),0での接線と分かるので
Cとmの接点のx座標は0でy座標の値からr=c
α=√(-a/2)とすると
S=∫[-α,α](x-α)^2(x+α)^2dx
=-(2/3)∫[-α,α](x-α)^3(x+α)dx
=(1/6)∫[-α,α](x-α)^4dx=(16/15)α^5

x^4+ax^2+bx+c-(bx+c)=x^2(x^2+a)=x^2(x^2-2α^2)よりCとmの共有点は
x=0,±(√2)α
T=-∫[-(√2)α,(√2)α]{x^2(x^2-2α^2)}dx
x=(√2)tと置換すると
T/√2=-4∫[-α,α]{t^2(t^2-α^2)}dt
=-4S-4α^2∫[-α,α](t^2-α^2)dt
=-4S+2α^2{∫[-α,α](t+α)^2dt
=-4S+(16/3)α^5
=(16/15)α^5
T/S=√2

この解答に何か誤りはありますでしょうか？、あったら教えてください！

No.31498 - 2015/05/29(Fri) 19:21:00

☆ Re: / 53

できれば、件名をつけていただけるとヨッシーさんも答えやすいかと思います

No.31501 - 2015/05/29(Fri) 20:24:09

☆ Re: / X

まず、解答する問題の番号は必ず書きましょう。
解答の内容としては大筋で問題ありません。
計算結果も誤りはないと思います。

が、(1)での
>>解と係数の関係により
>>2α+2β=0
について。
これは4次方程式の解と係数の関係を使っていると
思われますが、問題で
「4次方程式の解と係数の関係を使ってもよい」
とでもされていない限り、使わないほうが無難です。
似た方針を使いたいのであれば
>>x^4+ax^2+bx+c-(px+q)=(x-α)^2(x-β)^2
の右辺を展開してx^3の項を係数比較、
というように進めた方がいいでしょう。

No.31505 - 2015/05/29(Fri) 22:38:57

☆ Re: / 出典が気になる

せめて締切の後に質問するぐらいの良心はあってもいいのでは

No.31552 - 2015/06/01(Mon) 17:57:39

★ 二次関数の最大値、最小値の場合分け / むっく

場合分けで躓いています。
ご教示お願いします。

No.31475 - 2015/05/26(Tue) 20:03:01

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / むっく

問題を貼り忘れておりました

No.31476 - 2015/05/26(Tue) 20:04:13

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / IT

どういう場合分けを考えておられますか？
y=f(x)のグラフはどんなグラフか分かりますか？(頂点の座標など）

No.31477 - 2015/05/26(Tue) 20:09:24

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / むっく

返答ありがとうございます。

平方完成して頂点などはわかりますが、与式にa、かつ定義域にaがある場合の最大値、最小値の場合分けがあまり理解出来ていません。

No.31478 - 2015/05/26(Tue) 20:40:37

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / IT

> 返答ありがとうございます。
>
> 平方完成して頂点などはわかりますが、与式にa、かつ定義域にaがある場合の最大値、最小値の場合分けがあまり理解出来ていません。

頂点の座標はどうなりましたか？
頂点のx座標がa≦x≦a+1の範囲内にある場合は
　f(x)はそこで最小値をとります。
　f(a)とf(a+1)の大きいほうが最大値です。

頂点のx座標がa≦x≦a+1の範囲外の場合は
　f(a)とf(a+1)の小さいほうが最小値、大きいほうが最大値です。　

No.31479 - 2015/05/26(Tue) 20:45:52

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / むっく

頂点は(a/2,-a^2/4)となり、軸はx=a/2となりました。

最大値は定義域の中央値の左外、右外で、最小値は定義域より左外、定義域内、右外で場合分けという考えでよろしいのでしょうか？

No.31480 - 2015/05/26(Tue) 21:02:45

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / IT

>「定義域の中央値の左外・・・　で場合分け」
「軸が定義域の中央値の左側、・・・で場合分け」などということなら、そういうことです。

No.31481 - 2015/05/26(Tue) 21:09:41

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / IT

最大値はf(a)とf(a+1)を比較する方法でも分かります。
x^2-ax=x(x-a)とすると計算が少し簡単になります。

No.31482 - 2015/05/26(Tue) 21:15:37

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / むっく

再三の返答ありがとうございます。
計算したところ、
最大値はa>-1の時にa+1、a<=-1の時に0。
最小値はa>0のとき0、-2<=a<=0の時に-a^2/4、a<-1の時にa+1。
となりました。
ここから差であるdはどう求めていくのでしょうか？

No.31483 - 2015/05/26(Tue) 21:25:48

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / IT

そうすると-2,-1,0 が分かれ目になりますね
それぞれの場合の最大値-最小値を計算すればいいと思います。

No.31484 - 2015/05/26(Tue) 21:32:47

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / IT

>最小値はa>0のとき0、-2<=a<=0の時に-a^2/4、a<-1の時にa+1。

a<-2 の時a+1 では？

No.31485 - 2015/05/26(Tue) 21:39:58

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / むっく

IT様のおかげで(1)は突破できました。ありがとうございます。

(2)はどのような手口で解答を進めるのでしょうか？
さっぱりわかりません。

No.31486 - 2015/05/26(Tue) 21:41:05

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / むっく

> >最小値はa>0のとき0、-2<=a<=0の時に-a^2/4、a<-1の時にa+1。
>
> a<-2 の時a+1 では？

ご指摘の通り、a<-2の時です。失礼致しました。

No.31487 - 2015/05/26(Tue) 21:42:04

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / IT

>(2)はどのような手口で解答を進めるのでしょうか？
(1)の結果を書いて見て下さい。
そのdが最小になるときを考えればいいだけです。

No.31488 - 2015/05/26(Tue) 21:55:52

☆ Re: 二次関数の最大値、最小値の場合分け / むっく

成る程。そのような解法でいいのですか。

この度は貴重な時間を私に割いて頂き、ありがとうございました。
また、顔をひょっこりと出すかもしれません。その時、お付き合い頂けると幸いです。

No.31489 - 2015/05/26(Tue) 22:02:02