ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / restart(grade 1

100⑴で何故2点で接する時のみに重解の考え方が使えるのか教えてくださいm(__)m

No.30824 - 2015/02/21(Sat) 19:07:29

☆ Re: / X

問題の円と放物線がy軸に関して対称であることから
これらが2点で接している場合は、2つの接点のy座標が
等しくなっているからです。

No.30825 - 2015/02/21(Sat) 19:13:53

☆ Re: / restart(grade 1

Ｘさんありがとうございます(^^)
[2]でもyの値が等しい様に感じてしまうのですが、、

No.30832 - 2015/02/22(Sun) 15:33:06

☆ Re: / X

[2]の場合は接点(Pとします)の他に接点でない交点が
２つ存在します(これらをR、Sとします)。
y軸に対する対称性からR,Sのy座標が等しくなっている
ことに注意すると、Pのy座標とR,Sのy座標は問題の
二次方程式(1)の異なる二つの実数解となります。
つまり、この場合は(1)の解は重解とはなりません。

No.30835 - 2015/02/22(Sun) 16:40:06

★ (No Subject) / アカシロトモ

問題　点P(x,y)が平面上の領域|x|+|y|≦1を動くとする。X=x+y,Y=xyとするとき、点Q(X,Y)の領域を求めよ

t^2-Xt+Y=0の判別式＞＝0 以外の|x|+|y|≦1の処理で分からなくなりました。|x|+|y|≦1は単純に両辺を２乗すると、同値性の問題がありますし・・・

よろしくお願いいたします。

No.30819 - 2015/02/21(Sat) 13:06:45

☆ Re: / IT

地道に　x,yの正負で４通りに場合分けして考えればどうですか？
全部調べなくても、例えば
　(x,y)が(負,負)に対応する(X,Y)の領域は
　(x,y)が(正,正)に対応する(X,Y)の領域とY軸に関して対称な領域になります。

No.30820 - 2015/02/21(Sat) 17:02:24

☆ Re: / IT

>|x|+|y|≦1は単純に両辺を２乗すると、同値性の問題がありますし・・・
任意の実数x,yについて|x|+|y|≧0なので、
|x|+|y|≦1は、(|x|+|y|)^2≦1と同値だと思いますが？

No.30821 - 2015/02/21(Sat) 17:13:45

☆ Re: / アカシロトモ

IT さん

お礼が遅くなってすみませんでした。ご回答ありがとうございました。

No.30827 - 2015/02/22(Sun) 08:47:40

★ (No Subject) / なにゃー

問題次の極限を求めよ。（4）と（6）を教えてください。
（4）はx=-tと置いてだけでつまってしまいました。
（6）は有理化をしたいのですが、三乗根なのでどうすればいいのか…。
解答（4）-√2/2 （6）2/3
最近、何度も投稿してすみませんm(_ _)m

No.30806 - 2015/02/20(Fri) 01:51:09

☆ Re: / X

(4)
x=-tと置くと
(与式)=lim[t→+0](-1/t)√(1-cost)
=lim[t→+0](-1/t)|sin(t/2)|・√2
=lim[t→+0](-1/√2){sin(t/2)}/(t/2)
((注)t→+0を考えるのでsin(t/2)＞0)
=-1/√2

(6)
展開公式である
(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3
を使います。
ということで分母分子に
(1+x)^(2/3)+{(1+x)(1-x)}^(1/3)+(1-x)^(2/3)
をかけましょう。

No.30807 - 2015/02/20(Fri) 02:28:45

☆ Re: / ast

(4)別解(分子の有理化)
lim[x→-0]√(1-cos(x))/x
= lim[x→-0]√((1-cos(x))(1+cos(x)))/(x√1+cos(x))
= lim[x→-0]|sin(x)|/(x√(1+cos(x)))
= lim[x→-0]-(sin(x)/x)*(1/√(1+cos(x)))
= -1*1*(1/√(1+1)) = -1/√2
# 絶対値を外す際の注意はXさんの半角公式による解法の場合と共通.

No.30808 - 2015/02/20(Fri) 06:28:55

☆ Re: / なにゃー

Xさん、（4）の3行目でなぜcosがsinに変わったのか教えて欲しいです。

No.30814 - 2015/02/20(Fri) 16:44:39

☆ Re: / X

半角の公式を使っています。

No.30826 - 2015/02/21(Sat) 19:14:52

★ 数学?V 極限文章題 / なにゃー

（1）からよくわかりません。A1A2の長さがsinθなのはわかりますす。その後からどうすればいいかわかりません。
解答（1）sinθcos^（n-1）θ
（2）sinθ/(1-cosθ）
（3）2

No.30802 - 2015/02/19(Thu) 22:39:49

☆ Re: 数学?V 極限文章題 / ヨッシー

(1)
△Ａ1Ａ2Ａ3は、∠Ａ1Ａ2Ａ3＝θ の直角三角形です、
△Ａ2Ａ3Ａ4、△Ａ3Ａ4Ａ5 ・・・も同様で
　Ａ1Ａ2：Ａ2Ａ3＝Ａ2Ａ3：Ａ3Ａ4＝Ａ3Ａ4：Ａ4Ａ5＝・・・＝１：cosθ
より、
　ＡnＡ[n+1]＝Ａ1Ａ2cos^(n-1)θ
Ａ1Ａ2＝sinθ より
　ＡnＡ[n+1]＝sinθcos^(n-1)θ
(2)
　g(θ)＝Ａ1Ａ2＋Ａ2Ａ3＋Ａ3Ａ4＋・・・・
　　　＝Ａ1Ａ2(１＋cosθ＋cos^2θ＋・・・）
０＜cosθ＜１より、１＋cosθ＋cos^2θ＋・・・は収束し
　１＋cosθ＋cos^2θ＋・・・＝1/(1－cosθ)
よって、
　ｇ(θ)＝sinθ/(1－cosθ)
(3)
　(与式)＝lim[θ→0](θsinθ)/(1－cosθ)
sinθ＝2sin(θ/2)cos(θ/2), 1－cosθ＝2sin^2(θ/2) より
　(与式)＝lim[θ→0](θcos(θ/2))/sin(θ/2)
　　＝lim[θ→0]{(θ/2)/sin(θ/2)}{2cos(θ/2)}
lim[θ→0]{(θ/2)/sin(θ/2)＝１　より
　(与式)＝1×2×1＝２

No.30803 - 2015/02/19(Thu) 23:26:45

☆ Re: 数学?V 極限文章題 / なにゃー

内容は理解できました！けど、一つ教えてもらいたいことがあります。（1）で△A1A2A3は角A1A2A3がθとおっしゃいましたが、それはどうやって示すのですか？

No.30804 - 2015/02/19(Thu) 23:48:30

☆ Re: 数学?V 極限文章題 / ヨッシー

△A1A2A3は直角三角形で、
　∠Ａ3Ａ1Ａ2＋∠Ａ1Ａ2Ａ3＝90°
一方、△ＯＡ1Ａ2 において、
　∠Ａ3Ａ1Ａ2＋∠Ａ1ＯＡ2＝90°
であり、∠Ａ1ＯＡ2＝θなので、∠Ａ1Ａ2Ａ3＝θ です。

No.30805 - 2015/02/20(Fri) 00:00:43

★ 導関数について / おまる

いつもお世話になっております。
微分の定義式についてわからないところがあるので教えて欲しいです。

lim[h→0] {f(α+h)-f(α)}/h のhの部分は、グラフで考えたときには、aとα+hの間の長さ(距離)であらわされるので、h＞0でなければいけないのでしょうか？

No.30798 - 2015/02/19(Thu) 19:10:38

☆ Re: 導関数について / らすかる

グラフで考えると
右側微分係数は lim[h→+0]{f(α+h)-f(α)}/h
左側微分係数は lim[h→+0]{f(α)-f(α-h)}/h = lim[h→-0]{f(α+h)-f(α)}/h
ですから、合わせて lim[h→0]{f(α+h)-f(α)}/h ですね。

No.30799 - 2015/02/19(Thu) 19:53:12

☆ Re: 導関数について / おまる

ご回答ありがとうございました。
学校の先生がグラフで表せるとだけ言っていたので、気になっていたのがスッキリしました。

No.30801 - 2015/02/19(Thu) 20:00:15

★ (No Subject) / さしば

この問題がわかりません

No.30796 - 2015/02/19(Thu) 18:44:52

☆ Re: / ヨッシー

定義通り計算していきます。
(1)
距離を|A(0)A(1)|のように表すこととします。
ｓ≧１なる整数ｓにおいて
　|A(s)A(0)|²＝１
であるので、
　a₁²＋a₂²＋・・・＋a_s²＝１　・・・(i)
これの左辺は、A(s)・A(s) の定義と一致するので、
　A(s)・A(s)＝１

同様に、|A(t)A(0)|²＝１
　b₁²＋b₂²＋・・・＋b_t²＝１　・・・(ii)
また、
　|A(s)A(t)|²＝(a₁－b₁)^2＋(a₂－b₂)^2＋・・・＋(a_s－b_s)^2＋b_s+1²＋・・・＋b_t²
　　＝(a₁²＋・・・＋a_s²)＋(b₁²＋・・・＋b_t²)－2(a₁b₁＋・・・＋a_sb_s)
　　＝１＋１－２A(s)・A(t)＝１
よって、
　A(s)・A(t)＝1/2
(2)
A(2)＝(s, t, 0, 0,・・・), A(3)＝(u, v, w, 0, 0,・・・) とおきます。
　|A(2)A(0)|²＝s²＋t²＝1
　|A(2)A(1)|²＝(s-1)²＋t²＝1
これを、s, t＞０で解いて、
　s=1/2, t=√3/2
　|A(3)A(0)|²＝u²＋v²＋w²＝1
　|A(3)A(1)|²＝(u-1)²＋v²＋w²＝1
　|A(3)A(2)|²＝(u-1/2)²＋(v-√3/2)²＋w²＝1
これを、u, v, w＞0 で解いて
　ｕ＝1/2, ｖ＝√3/6, ｗ＝√6/3

とりあえず、ここまで。

こういう計算が連々続くのでしょう。

No.30813 - 2015/02/20(Fri) 15:32:28

☆ Re: / けんけんぱ

http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/15/k17.html

慶應義塾大　医学部　２０１５年入試問題　のようです

時期により、上記URLは参照できなくなるものと思われます。

No.30839 - 2015/02/22(Sun) 20:56:25

★ (No Subject) / koko

この問題の、4番がわかりません。

No.30789 - 2015/02/19(Thu) 14:29:09

☆ Re: / koko

解説の、印のところまではわかってると思うんですが、それによってどう次に繋がっていくのかわかりません。。回答よろしくお願いします！

No.30790 - 2015/02/19(Thu) 14:33:07

☆ Re: / koko

解説の続きです。

No.30791 - 2015/02/19(Thu) 14:34:10

☆ Re: / ヨッシー

f(8)=f(1), f(9)=f(2), f(10)=f(3) のように、７つ離れたｎ同士では f の価は等しいので、
　f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
　f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)+f(13)+f(14)
　f(15)+f(16)+f(17)+f(18)+f(19)+f(20)+f(21)
などは、全て同じ和となります。
そこで、
　Σ[n=1～2013]f(n)
を考えると、
　Σ[n=1～2013]f(n)
　　＝{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)}
　　＋{f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)+f(13)+f(14)}
　　　・・・・・・
　　＋f(2003)+f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007)+f(2008)+f(2009)
　　＋f(2010)+f(2011)+f(2012)+f(2013)
これは、f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7) が(2009÷7＝)287個と　
f(1)+f(2)+f(3)+f(4) の和となります。

※ここまでが解説１枚目です。

２枚目の最初は合成の公式によって、√2sin(8n-7)π/28 にまとめています。

あとは、
　√2sin(8n-7)π/28＞０のとき √2sin(8n-7)π/28／|√2sin(8n-7)π/28|＝１
　√2sin(8n-7)π/28＜０のとき √2sin(8n-7)π/28／|√2sin(8n-7)π/28|＝－１
によって、f(n) が１か－１かに分類します。

No.30792 - 2015/02/19(Thu) 16:43:37

★ (No Subject) / ゆ

★ 数学１A?UBまで / ゆ引用
この問題の(３)がわからないです。教えてください。

No.30711 - 2015/02/16(Mon) 09:55:32
☆ Re: 数学１A?UBまで / ゆ引用
答えです。注がヒントなのかもしれませんが、それもわかりません…

No.30712 - 2015/02/16(Mon) 10:11:14
☆ Re: 数学１A?UBまで / ヨッシー引用
ここで言おうとしているのは、点（-b/3a, f(-b/3a)) のｘ座標について
左右対称な位置にある、-b/3a＋t、-b/3a－t における
y=f(x) 上の点、(-b/3a＋t, f(-b/3a＋t)), (-b/3a－t, f(-b/3a－t)) の中点が
（-b/3a, f(-b/3a)) になることを示そうとしています。
ｘ座標は自明であるので、ｙ座標について
　f(-b/3a＋t)＋f(-b/3a－t)＝２f(-b/3a)
が言えれば良いことになります。
実際に f(-b/3a＋t) などを、
　f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d
にx=-b/3a＋t を代入することで、求めることも出来ますし、そうしても良いのですが、
この問題では、以下の様なイメージをしていると思われます。

ｙ＝ａｘ^3 は (2) で求めたように、原点に関して対称です。
これに、同じく、原点について対称なｙ＝ｋｘを加えた
　ｙ＝ａｘ^3＋ｋｘ
も、原点について対称です。これを、ｘ軸方向にｍ，ｙ軸方向にｎ移動した
　ｙ＝ａ(x－m)^3＋ｋ(x－m)＋ｎ
は、点(m,n) に関して対称です。そこで、f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d　が
　f(x)＝ａ(x＋b/3a)^3＋ｋ(x＋b/3a)＋f(-b/3a)
と書けたなら、f(x) は、点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称と言えます。
果たして、f(x) は
　f(x)＝ａ(x＋b/3a)^3＋(-b^2/3a＋c)(x＋b/3a)＋f(-b/3a)
のように書け、これに、x=-b/3a＋t, x=-b/3a－t を代入した、
　f(-b/3a＋t)＝ａｔ^3＋(-b^2/3a＋c)ｔ＋f(-b/3a)
　f(-b/3a－t)＝－ａｔ^3－(-b^2/3a＋c)ｔ＋f(-b/3a)
を辺々足して
　f(-b/3a＋t)＋f(-b/3a－t)＝２f(-b/3a)
が得られることより、(A) のグラフは点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称ということが示せました。
No.30719 - 2015/02/16(Mon) 11:57:20

No.30787 - 2015/02/19(Thu) 09:50:58

☆ Re: / ゆ

この前はお答えいただき、ありがとうございました。これについて、再質問なのですが、f(x) は
　f(x)＝ａ(x＋b/3a)^3＋(-b^2/3a＋c)(x＋b/3a)＋f(-b/3a)のように書けたら、それでもうこのグラフは点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称とは言えないのでしょうか？>>>これに、x=-b/3a＋t, x=-b/3a－t を代入した、
　f(-b/3a＋t)＝ａｔ^3＋(-b^2/3a＋c)ｔ＋f(-b/3a)
　f(-b/3a－t)＝－ａｔ^3－(-b^2/3a＋c)ｔ＋f(-b/3a)
を辺々足して
　f(-b/3a＋t)＋f(-b/3a－t)＝２f(-b/3a)
が得られることより、(A) のグラフは点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称ということが示せました。
。。という過程はどうして必要のなのですか？教えてください(><)

No.30788 - 2015/02/19(Thu) 09:56:26

☆ Re: / ast

> 書けたら、それでもうこのグラフは点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称とは言えないのでしょうか？
ヨッシーさんは「言える」とお書きですよ. ただし, 少なくとも無根拠で点対称と言えるほど対称性が明らかな式とは思われません (それゆえにヨッシーさんのレスでは引き続いてその根拠が提示されている). 仮にこれだけで言えていると主張する場合、ゆさんご自身は何を根拠に対称性が示されているとお考えになるのでしょうか?

> という過程はどうして必要のなのですか？
過程はどうあれ, 点対称と言えるという根拠として
> f(-b/3a＋t)＋f(-b/3a－t) = 2f(-b/3a)
という式が成り立つことというのが挙げられているということです. これが根拠になるという理由はさらに前の最初の段落で先に述べられています.

つまり, ヨッシーさんのレスは
　一般的な話⇒○○と書けたなら対称と言える⇒その根拠は××だから（一般的な話に帰着）
という順番で書いてあります. (文章の骨子を強調する場合などで) 根拠などの付帯的な文章が, あちこちに分散してあるいは前後して書いてあるということは, 特段珍しいことではないと思います.

如何でしょう?

No.30794 - 2015/02/19(Thu) 17:41:23

★ 数学?V 極限 / なにゃー

練習130（4）を途中式含めて教えてください。
ちなみに答えは「-π」です。

No.30775 - 2015/02/19(Thu) 00:22:36

☆ Re: 数学?V 極限 / ヨッシー

(4)
ｙ＝ｘ－１とおくと、
(与式)＝lim[y→0]sin(πy＋π)/ｙ
　　　＝lim[y→0]－sinπy/ｙ
　　　＝lim[πy→0]－πsinπy/πｙ
lim[θ→0]sinθ/θ＝1 より
(与式)＝－π

No.30777 - 2015/02/19(Thu) 00:55:23

☆ Re: 数学?V 極限 / なにゃー

置き換えをするのですね！
でも、いつ置き換えすればいいのかいまいち分からないのですが
…

No.30778 - 2015/02/19(Thu) 01:08:16

☆ Re: 数学?V 極限 / ヨッシー

狙い目は
　lim[θ→0]sinθ/θ＝1
に持って行くことなので、そのためには、０に近づく変数が
必要です。
この問題は x→1 が与えられているので、x→1 のときに
０に近づく変数としてｙ＝ｘ－１を設定しています。
（ちょうど分母にｘ－１が見えていることでもありますので）

No.30782 - 2015/02/19(Thu) 05:57:09

☆ Re: 数学?V 極限 / なにゃー

なるほど。そういう意図があったのですか。
ヨッシーさん、いつも詳しくありがとうございます！

No.30793 - 2015/02/19(Thu) 17:30:46

★ (No Subject) / チョコ

あの、質問?@この手書きの式変形は、解説の意図するところと合致してますか？
質問?Aわたしは、文系で、双曲線のことがいまいちわかっていないのですが、この最後の曲線の方程式は、どのようになっていて、どうグラフに描けばいいのですか？双曲線について、調べてみたのですが、どうも双曲線の標準形の方程式らしきものと、この解説に出てくる方程式は違っている(？)のでよくわからず、質問しました。

No.30772 - 2015/02/18(Wed) 22:19:42

☆ Re: / X

質問1)
それで問題ありません。

質問2)
双曲線の標準形と聞いて私は
(x/a)^2-(y/b)^2=1
を思い浮かべたのですが、
今回はそんなに難しいことを
持ち出さなくても
大丈夫です。

双曲線というと最も簡単な形の式は
中学校で習った反比例の式である
y=a/x (A)
(aは定数)
がありますよね？
今回の問題の双曲線の式は(A)を
x軸、y軸方向にそれぞれp,qだけ
平行移動させた
y=a/(x-p)+q (B)
という形になっています。
これのグラフですが、(A)のグラフが
x軸、y軸を漸近線に持つように
直線x=p,y=q
を漸近線に持つことを押さえておけば
同じように描くことができます。
((A)と同じように、漸近線もまた平行移動しています)

No.30773 - 2015/02/18(Wed) 23:20:17

☆ Re: / チョコ

回答ありがとうございますm(__)m
Xさんのおっしゃる、Bの形、というものに、今回の問題の方程式をどう変形したら良いのかわからないです(*_*)…

No.30784 - 2015/02/19(Thu) 07:18:07

☆ Re: / X

(k-1/3)(l-1/3)=1/9
の両辺を(k-1/3)で割って
l-1/3=(1/9)/(k-1/3)
∴l=(1/9)/(k-1/3)+1/3
となります。

No.30786 - 2015/02/19(Thu) 09:23:07

★ (No Subject) / なぎ

OA=a,OB=b,OC=c,∠AOB=γ,∠BOC=α,∠COA=βのとき，四面体OABCの体積は，
V=abc61+2cosαcosβcosγ−(cos2α+cos2β+cos2γ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

を高校の範囲でどなたか証明できないでしょうか

No.30771 - 2015/02/18(Wed) 21:57:00

☆ Re: / みずき

こちら(↓)なんていかがでしょう。
http://mathtrain.jp/shimentaiseki

# 高校範囲という条件を満たしているかどうかは
# 良くわかりませんが参考までに。

No.30779 - 2015/02/19(Thu) 01:55:00

☆ Re: / なぎ

１．「ここからは完全に大学内容です」
とあるように、高校の範囲ではありませんね

２．転置行列、３×３行列の行列式は旧課程でも大学の範囲です、２×２行列自体は今年までギリギリ旧課程措置としてOKかもしれません

３．行列を使わずに求める事はできるのかという質問内容です

No.30780 - 2015/02/19(Thu) 02:28:27

☆ Re: / みずき

> 「ここからは完全に大学内容です」

そのように書かれていたんですね。気づきませんでした。
また、何が高校範囲内で何が高校範囲外かを
よく分かっていないまま回答してしまい、失礼しました。

No.30781 - 2015/02/19(Thu) 02:58:42

☆ Re: / なぎ

引きつづき回答お願いします

No.30809 - 2015/02/20(Fri) 13:32:23