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★ (No Subject) / くちぱっち
解説と解答お願いいたします！
初項から第n項までの和
S(n)がS(n)＝n^2＋nで
表される数列｛a(n)｝の
一般項を求めよ。
No.31344 - 2015/05/09(Sat) 11:37:40
☆ Re: / ヨッシー
公式
　a(1)＝S(1)
　a(n)＝S(n)−S(n-1) ただし n≧2
を利用します。
No.31345 - 2015/05/09(Sat) 11:42:55
☆ Re: / くちぱっち
返信ありがとうございます！
これであってますか?
No.31346 - 2015/05/09(Sat) 11:57:18
☆ Re: / くちぱっち
答えは2nであってますか?
なんどもすいません
No.31348 - 2015/05/09(Sat) 12:25:39
☆ Re: / X
最終的な答えが
a[n]=2n
であることに問題はありませんが
そこに至るNo.31346の記述解答が
ぐちゃぐちゃですね。

余白での下書きであれば問題ないのですが
もし、これが記述解答であるのなら
最低限
a[1]=S[1]「=2」(「」内が抜けています)
であることと
n≧2のとき
a[n]=S[n]-S[n-1]=2n
(記述解答ではなぜか2n^2になってしまっている)
であることは書きましょう。
No.31350 - 2015/05/09(Sat) 14:47:21
☆ Re: / ヨッシー
試しに
　S[n]＝n^2＋n＋1
で表されるときの a[n] を求めてみましょう。

なぜ、a[1]＝S[1] が必要かが分かります。
No.31351 - 2015/05/09(Sat) 14:50:52
★ 「さらに」の解釈 / √
教えてください。

ある有名中学の入試問題です。

閉店セールで、

本日は、５割引
明日は、【さらに】３割引
と書いてあります。

この問題の【さらに】の解釈の仕方ですが

明日は、
?@定価の８割引になる
?A「定価の５割引の金額」の３割引になる

通常、どちらに解釈したら良いのでしょうか？

中学の入試問題は、文章の解釈の仕方で迷うことが
私は多いです。
No.31338 - 2015/05/08(Fri) 22:07:49
☆ Re: 「さらに」の解釈 / X
飽くまで私の考えですが、(1)の方と解釈します。
No.31339 - 2015/05/08(Fri) 23:42:54
☆ Re: 「さらに」の解釈 / √
Ｘさん　ありがとうございます。

私も最初は、?@の方だと解釈しましたが、
実は?Aの方でした。

難関中学の入試問題の一部の文章ですが、
二通りに解釈できる文章の書き方だと感じるのですが。

小学生はエライ！
No.31340 - 2015/05/08(Fri) 23:53:16
☆ Re: 「さらに」の解釈 / angel
「XX割引」といった場合は割合の話なので基準が必要であって、「YYY円引」という基準に依らず減額幅が決まる表現とは事情が異なるのに、その基準が明確でない、という問題ですね。

実生活上は「皆あまり割合の事を深く意識しないから」と「単純に5割引+3割引=8割引の方が話が早いから」とで?@なんだろうなあ、と思いますが、問題として出た場合には、それだと問題が陳腐化してしまうので?Aしか有り得ないよなあ、という感覚です。( 早押しクイズ理論的な )

そういう判断基準もなんだかなあ、という感じですが。
No.31341 - 2015/05/09(Sat) 09:46:40
☆ Re: 「さらに」の解釈 / √
ａｎｇｅｌさん　ありがとうございます。

そうですね。
「割合」ではなく、【さらに】の後には「ＹＹＹ円引」
という表現でしたら迷いはないですね。

それと、余談ですが、
問題に不備があった場合、一般的には、
「全員に点数を与える」ようですが、コレって本当に平等と言えるのか疑問です。
でも、この方法が一番、「平等に近い」のかなぁ〜と思います。
No.31342 - 2015/05/09(Sat) 10:26:56
☆ Re: 「さらに」の解釈 / IT
記述式で私が採点するなら、２つの場合を答えていたら満点、どちらか一方なら9割にするかな。
No.31343 - 2015/05/09(Sat) 11:15:35
☆ Re: 「さらに」の解釈 / √
ＩＴさん　ありがとうございます。

問題作成者は、自分の思い込みで問題を作っているので、
「別の解釈」の仕方があることに気づかないのですよね。

私なら、別解があることに気づかせてくれた２通りの解を書いた人には、ご褒美として「配点ｘ２倍」

どちらか一方の回答者は、どちらの解も正解とし「配点ｘ１」

その他の人には、問題不備の、お詫びとして「配点ｘ０．５」をあげるかも知れません。
No.31347 - 2015/05/09(Sat) 12:24:09
☆ Re: 「さらに」の解釈 / IT
今年のセンター試験でも　数学２Ｂと世界史Ｂで出題ミスがありましたから、中学入試では多々ありそうですね。
http://www.asahi.com/articles/ASH1N5TNNH1NUTIL03F.html
No.31349 - 2015/05/09(Sat) 14:07:56
★ 三角関数の微分 / qvc
nはn≧2の自然数とする。f(x)=n tan^2(x) cos^2n(x)の
0<x<π/2における最大値をMとするとき、f(x)が最大となるxに対して
tan^2(x)と最大値Mを求めよ。

よろしくお願いいたします。
No.31333 - 2015/05/07(Thu) 14:04:41
☆ Re: 三角関数の微分 / X
このまま処理するよりも置き換えをしたほうが
簡単なようです。

(tanx)^2=t
と置くと
f(x)=nt/(1+t)^n
∴df/dt=n{(1+t)^n-tn(1+t)^(n-1)}/(1+t)^(2n)
=n{(1+t)-tn}/(1+t)^(n+1)
=-n{(n-1)t-1}/(1+t)^(n+1)
t≧0に注意してtに対するf(x)の増減表を書くことにより
f(x)はt=1/(n-1)のときに最大になりますので
求める(tanx)^2は
(tanx)^2=1/(n-1)
又
M={n/(n-1)}/{1+1/(n-1)}^n
=(1-1/n)^(n-1)
No.31334 - 2015/05/07(Thu) 15:08:58
☆ Re: 三角関数の微分 / ヨッシー
では、私は置き換えずに（＾＾；

(tan(x))'＝1/cos^2x
(tan^2(x))'＝2tan(x)(tan(x))'＝2tan(x)/cos^2x＝2sin(x)/cos^3(x)
(cos^(2n)(x))'＝−2ncos^(2n-1)(x)sin(x)
よって、
f'(x)＝n{2sin(x)/cos^3(x)}cos^(2n)(x)−2n^2{sin^2(x)/cos^2(x)}cos^(2n-1)(x)sin(x)
　　＝2nsin(x)cos(2n-3)(x)−2n^2sin^3(x)cos^(2n-3)(x)
　　＝2nsin(x)cos^(2n-3)(x){1−nsin^2(x)}
0＜ｘ＜π/2 の範囲では、0＜sin(x)＜1、0＜cos(x)＜1 より
f'(x)＝０　となるのは
　1−nsin^2(x)＝0
の時のみ。その時のｘの値をｘ0 とすると
　ｘ＜ｘ0 のとき f'(x)＞０ で単調増加
　ｘ＞ｘ0 のとき f'(x)＜０ で単調減少
となり、ｘ＝ｘ0 で、f(x) は最大値を取ります。このとき
sin^2(x)＝1/n より
　cos^2(x)＝1−1/n＝(n-1)/n
　tan^2(x)＝1/(n-1)
さらに、
　cos^(2n)(x)＝(n-1)^n/n^n
より
　Ｍ＝(n-1)^(n-1)/n^(n-1)＝(1−1/n)^(n-1)
となります。
No.31335 - 2015/05/07(Thu) 15:11:58
☆ Re: 三角関数の微分 / qvc
ありがとうございました。
No.31336 - 2015/05/08(Fri) 05:46:16
★ 数学 / いえっさー
数学
問.
命題「X+Y≦4ならばX≦2またはY≦2である」について
(１)上の命題の逆、裏、対偶を述べよ
(２)(１)の各命題の真偽を述べよ

答え.(１)逆「x≦2またはY≦２ならばX+Y≦4である」
裏「X+Y>4ならばX>2かつY>2である」
対偶「X>2かつY>2ならばX+Y>4である」

(２)逆は偽、 裏は偽、 対偶は真

この問題の途中式を教えてください
もしよろしければ解説もお願いします！
No.31327 - 2015/05/05(Tue) 23:24:12
☆ Re: 数学 / ヨッシー
(1) は形式的に置き換えるだけですので、途中式はありません。

(2)
対偶の仮定
　Ｘ＞２，Ｙ＞２
の左辺どうし、右辺どうしを足して
　Ｘ＋Ｙ＞４
となるので、真です。
対偶が真なので、元の命題も真です。
逆はｘ＝１、ｙ＝６　が反例となり偽です。
逆が偽なので、裏も偽です。
No.31329 - 2015/05/05(Tue) 23:40:21
★ (No Subject) / ニンジャ
3x+2y≤2008を満たす0以上の整数の組(x,y)の個数を教えてください。ｙ軸に平行な直線を引いて一本一本数えたのを足すところまで分かりました

よろしくおねがいします
No.31325 - 2015/05/05(Tue) 20:10:25
☆ Re: / らすかる
3x+2y=2008がx軸と交わる点のxの値は整数ではないので
考えやすいようにx≧0,y≧-1とすると
グラフは(670,-1),(0,1004)を通り
0≦x≦670, -1≦y≦1004を満たす整数の個数は671×1006個
0≦x≦670, -1≦y≦1004の範囲で3x+2y=2008を満たす整数の個数は670÷2+1=336個
従って0≦x≦670, -1≦y≦1004, 3x+2y≦2008を満たす整数は
(671×1006+336)÷2個なので、
それから0≦x≦670, y=-1である671個を引いて
(671×1006+336)÷2-671
=(671×1006+336-671×2)÷2
=(671×1004+336)÷2
=(671×1000+671×4+336)÷2
=(671000+2684+336)÷2
=674020÷2
=337010個
No.31326 - 2015/05/05(Tue) 21:19:25
☆ Re: / IT
（別解）
単純に数えて規則性を見つけます。
条件を満たすyの個数は
x=0のとき　1005個
x=1のとき　1003個
x=2のとき　1002個
x=3のとき　1000個
　x=0と2で3個、x=1と3で3個、それぞれ差があります。
　以下も同様です
・・・
x=668のとき　3個
x=669のとき　1個

xが偶数のとき　初項1005,末項3,項数(670/2)個の等差数列
xが奇数のとき　初項1003,末項1,項数(670/2)個の等差数列
であることが分かります。

したがって合計個数は
(1005+3)×335/2 + (1003+1)×335/2
=2012×335/2=337010個　となります。
No.31330 - 2015/05/06(Wed) 13:11:27
☆ Re: / IT
>ｙ軸に平行な直線を引いて一本一本数えたのを足すところまで分かりました
この方針では、出来たということでしょうか？
だとすると、私の上の回答は無用だったですね。
No.31331 - 2015/05/06(Wed) 13:43:03
☆ Re: / ニンジャ
御二方回答ありがとうございます

>私の上の回答は無用だったですね。
いえむしろ質問内容はこちらのｙ軸に平行な直線を引く、ということでしたのでありがたいです、じっくり読ませていただきます
No.31337 - 2015/05/08(Fri) 21:22:28
★ 面積&確率 / ふぇるまー
いつもお世話になっております。
GWの宿題で御座います。
問?@　a=正の定数
C1:y=x^2とC2:y=-(x-3)^2+aについて
(1)　C1とC2が異なる2点で交わるようなaの値の範囲=?また、このときC1とC2で囲まれた部分の面積が9となるaの値=?

(2)　C1上のx=aにおける接線がC2に接するときaの値=?

問?A　袋の中に2,3,5の数を1つずつ書いたｶｰﾄﾞが各1枚計3枚ある。この中から1枚を取り出し、数を確認した後戻すことを4回繰り返す。4回の数の積をxとする。

?T　x=24,x=60となる確率をそれぞれ求めよ。
?U　xが12の倍数となる確率を求めよ。
?V　xが12の倍数であったという条件のもとで、4回の中に5が含まれる確率を求めよ。

以上です。多くなり申し訳ありません。御教授願います。(面積問題は使うようなら1/6公式etc.使う方法で教えて頂きたいです。)
No.31321 - 2015/05/03(Sun) 18:04:29
☆ Re: 面積&確率 / X
問1
(1)
前半)
C[1]とC[2]の交点のx座標に関する二次方程式((A)とします)
の解の判別式に対する条件を考えましょう。
後半)
C[1]とC[2]の交点のx座標をα、β(α＜β)として、
問題の面積を積分を使ってα、βの式で表します。
次にα、βが(A)の解であることから解と係数の
関係を使い、件のα、βで表した面積の式から
α、βを消去します。
すると、件の面積はaの式で表すことができますので…。

(2)
C[1]の方程式から
y'=2x
∴C[1]上の点(a,a^2)における接線の方程式は
y=2a(x-a)+a^2
整理して
y=2ax-a^2 (B)
(B)がC[2]に接する条件を考えます。
(ここからは数学Iの問題です。微分を使う必要はありません。)
No.31322 - 2015/05/03(Sun) 19:16:55
☆ Re: 面積&確率 / X
問2
まず1回カードを引く試行で2,3,5のカードを引く確率は
いずれも1/3であることに注意します。

I)
24=(2^3)×3
であることからx=24となるカードの引き方は
4!/3!=4[通り]
∴x=24となる確率は
4・(1/3)^4=4/81
又
60=(2^2)×3×5
であることからx=60となるカードの引き方は
…
II)
12=(2^2)×3
であることから条件を満たすためには4回の試行において
少なくとも
2のカードを2回
3のカードを1回
引く必要があります。
後はこのような場合の数を数えます。
III)
4回の試行で引いたカードの組み合わせが
{2,2,3,5}
となるような確率は
…
これとII)の結果を条件付き確率の定義式に使うと…。
No.31323 - 2015/05/03(Sun) 19:25:54
☆ Re: 面積&確率 / ふぇるまー
X様、いつもありがとうございます。お休み中時間を割いて説いてくださって感謝です(๑´ㅂ`๑)♡*.+゜
No.31324 - 2015/05/03(Sun) 22:41:20
★ 面積の最小値 / なにゃー
何度も考えたのですが最小値が求められません…
この問題は数学?Bの微分法の応用という範囲で出てきた問題なので微分を使うと思うのですがさっぱりわかりません…
微分を使わない解き方でもいいので教えてくれると嬉しいです。
ちなみに解答は2abです。
No.31317 - 2015/05/03(Sun) 00:50:53
☆ Re: 面積の最小値 / X
問題の直線の方程式は
y=m(x-a)+b
∴P(a-b/m,0),Q(0,-ma+b)
∴△OPQの面積をSとすると
S=(1/2)(-ma+b)(a-b/m) (A)
この後の方針ですが２通り考えられます。
(未だあるかもしれません)
(i)
(A)をmの関数と見て微分をし、m＜0の範囲で
Sの増減表を書く。
(ii)
(A)を展開し、更に
m=-t
と置いて整理をして相加平均と相乗平均の
関係を使う。
No.31318 - 2015/05/03(Sun) 01:22:32
★ 極限 / どー
ｎ/√{(n^2+2)-√n}
ｎを無限大（∞）に近づけたときの極限値の解き方と答えを教えてください
No.31312 - 2015/05/02(Sat) 17:26:02
☆ Re: 極限 / どー
ミスりました
ｎ/｛√(n^2+2)-√n}　です
No.31313 - 2015/05/02(Sat) 17:26:59
☆ Re: 極限 / らすかる
分子分母をnで割りましょう。答えは1です。
No.31314 - 2015/05/02(Sat) 17:46:20
★ 数学?B 微分の応用 / なにゃー
この問題の（2）なのですが
増減表を書くときに2段目の+-を書く所で質問があります。
具体的な数値を代入する以外で+-を判断する方法があるのでしょうか？
No.31303 - 2015/05/01(Fri) 23:02:44
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / X
例えばf'(x)が正の値の範囲を求めるのであれば
f'(x)＞0
をxの不等式として解きます。
No.31305 - 2015/05/02(Sat) 00:29:01
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / なにゃー
申し訳ないのですが
(2sinx-1)(sinx+1)>0の解き方がわかりません…
(2sinx-1)(sinx+1)=0になるのはx=π/6,5π/6,3π/2
まではできたのですが…
No.31306 - 2015/05/02(Sat) 01:02:42
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / らすかる
二つの数の積が正になるのは
二つとも正の場合か二つとも負の場合ですから
(2sinx-1)(sinx+1)＞0 は
「2sinx-1＞0かつsinx+1＞0」または
「2sinx-1＜0かつsinx+1＜0」
と分解できます。
このそれぞれを解けば範囲が求まりますね。
No.31307 - 2015/05/02(Sat) 02:01:55
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / なにゃー
できました！みなさんありがとうございます！
でも+-を考えるだけでこんなに時間とっていいのでしょうか？
皆さんは今回のようなものはどうやって+-を判断しているのですか？
No.31315 - 2015/05/02(Sat) 18:37:09
☆ Re: 数学?B 微分の応用 / IT
地道にやるのが、確実で早道だと思います。

なお、この問題では、常にsinx+1≧0　なので、考える量が少し減ると思います。
sinx+1=0 のところを除けば、
2sinx-1＝(1/2){sinx - (1/2)}の正負を調べれば良いです。
No.31316 - 2015/05/02(Sat) 19:17:41
★ 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
xy平面上に存在する三点A,B,Cは以下の条件を満たす
点Aはx軸上正方向の部分、点Bはy軸上正方向の部分、点Cは原点中心半径1の円周上に存在する
この時、三角形ABCが正三角形をとるときの面積のとれる範囲を求めよ

上記の問題に全く歯が立ちませんでした。どれかの値を固定してみても、そこから進みません。

どのように解けば良いのでしょうか？
宜しくお願いします
No.31296 - 2015/04/30(Thu) 22:22:00
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
追記です

A(a,0) B(0,b)とおき、ベクトルの回転を利用して点C
の座標を出した後、x^2+y^2=1に代入し、a^2+b^2±（√3）=1までは出せました

面積はa^2+b^2の範囲が分かれば出せると思うのですが、ここからが出せません

どうすれば良いでしょうか？
No.31297 - 2015/04/30(Thu) 22:28:38
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / 歌声喫茶
面積の範囲ということはつまり辺の長さの範囲が分かればいいので、あとどうせ座標平面が絡むので辺の長さの2乗を考えたほうが楽だろうなあと最初に考えます。これが「面積はa^2+b^2の範囲が分かれば…」の部分ですね。

そして、せっかくの「原点中心半径1の円周上」という条件なので扱いやすいまま扱うといいです。つまり、C(cosθ,sinθ)とおけば、a,b,θの式で条件を表せて、そうすればa^2+b^2は範囲を求めやすい形で表せます。なお、θの範囲にも留意してください。
No.31298 - 2015/04/30(Thu) 23:36:49
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
C(cosθ,sinθ)と置いて解いて見ようとしましたが、上手くいきません。正三角形の成立条件の際、回転する方向によって±、θの範囲共に複雑になります

具体的な計算過程を教えていただきたいです
No.31301 - 2015/05/01(Fri) 00:35:14
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / 歌声喫茶
それなら一度にやろうとせずにそれぞれの方向の場合を別々に考えればよいのでは？
No.31302 - 2015/05/01(Fri) 11:03:51
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
三角関数が上手く行かないので下記のようにやってみました。不備がありましたら教えていただきたいです

正の数a、bに対しA：(a,0)、B：(0,b)　とするとき、
線分ABを一辺にもつ正三角形の第3の頂点が円x^2+y^2=1上にあるための条件として
実正数a,bはa^2+b^2±(√3)ab=1　を満たす

a,bが実数である条件は　(a+b)^2≧0　かつ　(a-b)^2≧0　なので、
ab=±(1-a^2-b^2)/√3　を　a^2+b^2≧2abの右辺に代入すれば
2/(2+√3)≦a^2+b^2＜1　または　1＜a^2+b^2≦2/(2-√3)　
最初の不等式の等号は　a^2=b^2=1/(2+√3)、後の不等式の等号は　a^2=b^2=1/(2-√3)
の時に起こります。
正三角の一辺の長さは　√(a^2+b^2)　なので、以上を総合して正三角形ABCの面積を得る

略解ですが、このような感じです。どうでしょうか？
No.31304 - 2015/05/01(Fri) 23:50:56
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / 歌声喫茶
あ、おおむねそんな感じです。代数で押してもあまり面倒にはならないんですね。

a,bの関係式から楕円を見抜くという手もあります。…実用的かはさておいて。
No.31308 - 2015/05/02(Sat) 09:24:18
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / ヨッシー

一応、参考に。
No.31309 - 2015/05/02(Sat) 11:18:26
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
歌声喫茶さん、ヨッシーさん有り難うございました

しかし、もうひとつだけ疑問があります
自分で解答しといて馬鹿みたいな内容なのですが、a,bが正であることは自分で設定しただけで、条件を満たすとき本当にa,bが正であるか示せていない気がします
平気なのでしょうか？
No.31310 - 2015/05/02(Sat) 12:46:38
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / 歌声喫茶
>a^2+b^2±(√3)ab=1

これをa,bのうち少なくとも1つが負であるような値の組が満たしたとすると、その負であるものを-1倍したものもこの式を当然満たします(2乗と復号ですから)。略解という事で細かいとこには触れませんでしたが、きちんと答案に起こすなら当然その辺りは詰めておくべきでしょう。

原点についての対称性を考えてみれば、実はa,bが正というのはa,b≠0ぐらいの意味しか持ちません…というのは、言われてみればそりゃそうだという気がしますよね。
No.31311 - 2015/05/02(Sat) 15:16:12
☆ Re: 正三角形の面積　高校三年生 / とむとむ
遅くなり申し訳ありません
無事解決出来ました
有り難うございました
No.31320 - 2015/05/03(Sun) 10:50:07
★ 漸化式と極限 / トーマス高3
a［1］＝a（0＜a＜1）、a［ｎ+1］＝-（1/2）a^3［ｎ］+（3/2）a［ｎ］　（ｎ＝1、2、3・・・）によって定められる数列｛a［ｎ］｝について、次のことを示せ。
（1）0＜a［ｎ］＜1
（2）ｒ＝（1-a［2］）/（1-a［1］）の時1-a［ｎ+1］≦ｒ（1-a［ｎ］）
とあるのですが（1）は帰納法を使って求まるのがわかりました。
（2）なのですが、
ｒ-（1-a［ｎ+1］）/（1-a［ｎ］）≧0を示していけばよいと分かるのですが、
ｒ-（1-a［ｎ+1］）/（1-a［ｎ］）＝（1/2）（a［ｎ］-a［1］）（a［ｎ］+a［1］+1）
となり、ここでa［ｎ］＜a［ｎ+1］を示すと
0＜a［1］≦a［ｎ］＜1よりｒ-（1-a［ｎ+1］）/（1-a［ｎ］）≧0となるとあるのですが、なぜa［ｎ］＜a［ｎ+1］を示すことがｒ-（1-a［ｎ+1］）/（1-a［ｎ］）≧0へとつながるのでしょうか。
また、（1/2）（a［ｎ］-a［1］）（a［ｎ］+a［1］+1）
においてa［ｎ］-a［1］≧0、a［ｎ］+a［1］+1＞0となるのでしょうか。
長々と申し訳ありませんか、どうか教えてください。
No.31288 - 2015/04/29(Wed) 22:48:39
☆ Re: 漸化式と極限 / トーマス高三
すみません「何故」がぬけてました。
「また、何故（1/2）（a［ｎ］-a［1］）（a［ｎ］+a［1］+1）
においてa［ｎ］-a［1］≧0、a［ｎ］+a［1］+1＞0となるのでしょうか。」
No.31291 - 2015/04/30(Thu) 15:36:37
☆ Re: 漸化式と極限 / ヨッシー
ａ[n]＜ａ[n+1] の n には n=1 も含んでいますから、
ａ[n]＜ａ[n+1] が成り立つと、
ａ[1]≦ａ[n] が成り立ちます。（等号は n=1 のとき）
(1) の結果より
0＜ａ[1]≦ａ[n]＜1 と書けます。　・・・(i)
このとき、(1/2)(ａ[n]−ａ[1])(ａ[n]＋ａ[1]＋1) において、
(i) より、ａ[n]−ａ[1]≧0
(1) の結果より ａ[n]＋ａ[1]＋1≧1＞0
よって、
　(1/2)(ａ[n]−ａ[1])(ａ[n]＋ａ[1]＋1)≧0
となるので、
　ｒ−(1−ａ[n+1])/(1−ａ[n])＝(1/2)(ａ[n]−ａ[1])(ａ[n]＋ａ[1]＋1)≧0
となり、
　ｒ−(1−ａ[n+1])/(1−ａ[n])≧0
が言えたことになります。
No.31292 - 2015/04/30(Thu) 17:22:21
☆ Re: 漸化式と極限 / トーマス高3
ａ[n]＋ａ[1]＋1≧1においてどのような場合等号になりうるのでしょうか。
（1）の結果から行くと
0＜a［ｎ］＜1
0＜a［ｎ］+a［1］＜2
1＜a［ｎ］+a［1］+1＜3
のようになり等号は成り立たないような気がしますが、どうでしょうか。
No.31293 - 2015/04/30(Thu) 18:43:31
☆ Re: 漸化式と極限 / ヨッシー
成り立ちませんね。
No.31294 - 2015/04/30(Thu) 19:55:47
☆ Re: 漸化式と極限 / トーマス高3
すべて納得がいって、スッキリしました！！
本当にありがとうございました。
またこのようにわからない問題が出たときよろしくお願いします。
No.31295 - 2015/04/30(Thu) 20:25:31
★ 三角関数 / ナッサン
三角形ABCの3つの角A、B、Cが変化するとき、
cosA+cosB+cosC
のとり得る値の範囲を求めよ。

という問題です。答えは、1<(与式)≦3/2です。
お願いします。
No.31285 - 2015/04/29(Wed) 18:38:57
☆ Re: 三角関数 / ナッサン
すみません、補足です。
自分なりに解いてみたのですが、どうしても答えが違ってしまいます。
添付した自己答案の中で、「ここが間違っている」というところを、よろしければ教えていただきたいです。
お願いします。
No.31286 - 2015/04/29(Wed) 19:14:09
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
等号がないと表現しにくいので、
とりあえず、
　0≦A≦π, 0≦B≦π, 0≦C≦π
　0≦x≦1, 0≦y≦1
とします。
　f(x=1,y)＝2y-1
より、下限の -1 を出されていますが、これは、
　x=1 かつ y=0
のときに当たりますが、
　cos{(A+B)/2}＝1, cos{(A-B)/2}＝0
を満たすような Ａ，Ｂ は存在しないという点が、上の解答の誤りです。
ｘとｙはＡ，Ｂを介して互いに関連付いていますので、
それぞれが勝手な値を取れるわけではありません。
No.31287 - 2015/04/29(Wed) 22:28:13
☆ Re: 三角関数 / ナッサン
ありがとうございます。0<x<1、0<y≦1としてしまうと、A+BとA-Bをきちんと関連出来ていないから駄目なのですね。

可能でしたら、解答まで導いた答案を書いていただけると嬉しいです。
No.31289 - 2015/04/30(Thu) 07:04:48
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
こちらなど。

cosA+cosB+cosC で検索すると出て来ます。
No.31290 - 2015/04/30(Thu) 12:14:14
☆ Re: 三角関数 / ナッサン
ありがとうございます！
はじめにAを固定し、そのあとAを考慮したBとCの範囲を調べることで解くことができました。
No.31332 - 2015/05/07(Thu) 09:27:25
★ 等差数列 / ふぇるまー
初項から第１０項までの和が2，第２０項までの和が8のとき、第３０項までの和を求めよ。

おねがいします。
No.31280 - 2015/04/29(Wed) 12:24:34
☆ Re: 等差数列 / ふぇるまー
すいません、等比数列でした。
No.31281 - 2015/04/29(Wed) 12:25:17
☆ Re: 等差数列 / ヨッシー
公比をｒとすると
第11項は第1項のr^10倍
第12項は第2項のr^10倍
第13項は第3項のr^10倍
　・・・
第20項は第10項のr^10倍
であり、
第11項から第20項までの和は
第1項から第10項までの和のr^10倍となります。
今、
第1項から第10項までの和が２
第11項から第20項までの和が６なので、
r^10＝３
一方、
第21項は第11項のr^10倍
　・・・
第30項は第20項のr^10倍
より、
第21項から第30項までの和は
第11項から第20項までの和のr^10倍，すなわち３倍となり
第21項から第30項までの和は 6×3=18
よって、求める和は
　２＋６＋１８＝２６
となります。
No.31282 - 2015/04/29(Wed) 12:31:14
☆ Re: 等差数列 / ふぇるまー
ありがとうございました。
No.31284 - 2015/04/29(Wed) 16:33:00
★ 展開した式の係数　多項定理の利用 / 高校2年
こんばんは。PR7についてですが、2行目の=から後がいまいち分かりません。詳しい説明お願いしますm(__)m
No.31275 - 2015/04/28(Tue) 00:17:43
☆ Re: 展開した式の係数　多項定理の利用 / 高校2年
こちらが答えです。
No.31276 - 2015/04/28(Tue) 00:18:32
☆ Re: 展開した式の係数　多項定理の利用 / ヨッシー
＝の左の式は理解されているとして、
＝の右はその展開で、
　(x^2)^p・(-3x)^q・1^r
を　(x^2)^p＝x^2p、(-3x)^q＝(-3)^q・x^q を使って展開すると
　(-3)^q・x^2p・x^q＝(-3)^q・x^(2p+q)
となります。このうち、x^3 の項に相当するためには、
　2p+q＝3
である必要があり、これをp≧０、q≧０、r≧０、p+q+r-10 の
条件下で解いているのがその続きです。
No.31277 - 2015/04/28(Tue) 08:50:20
☆ Re: 展開した式の係数　多項定理の利用 / 高校2年
詳しい説明ありがとうございます。あと、1^rはどうなったんですか？
No.31278 - 2015/04/28(Tue) 18:44:33
☆ Re: 展開した式の係数　多項定理の利用 / ヨッシー
1^r＝1 なので掛けたら見えなくなります。
No.31279 - 2015/04/28(Tue) 20:02:03
☆ Re: 展開した式の係数　多項定理の利用 / 高校2年
なるほど。よく分かりました。ありがとうございましたm(__)m
No.31283 - 2015/04/29(Wed) 14:52:01
★ (No Subject) / あいか
このページ全部わかりません！
明日授業であてられるので困ってます
わかる方よろしくお願いします
No.31271 - 2015/04/27(Mon) 20:25:47
☆ Re: / X
77
丸に数字は文字化けする可能性がありますので
問題の二つの不等式を左から順に(A)(B)とします。

(B)より
3＜x (B)'
(1)
数直線上に(A)(B)'を図示して(図を描きましょう)
考えると、条件を満たすためには
3＜2a
∴3/2＜a

(2)
条件を満たすときの連立不等式(A)(B)の解は
3＜x＜2a
よって、これを満たす整数がx=4のみであるためには
4＜2a≦5
これを解いて
2＜a≦5/2

79
aの値により場合分けが必要です。
(1)
a=0のとき、解は存在しません。
a≠0のとき、解はx=2/a
(2)
問題の不等式より
(a-1)(x-2)＞0
∴
a=1のとき、解は存在しません。
a＜1のとき、解はx＜2
1＜aのとき、解は2＜x

81
場合分けして絶対値を外して解きます。
但し、解いた結果が場合分けした範囲に
含まれるかどうかを確認しましょう。
(1)
(i)x-4＜0、つまりx＜4のとき
問題の方程式は
-(x-4)=2x
∴x=4/3
(ii)0≦x-4、つまり4≦xのとき
問題の方程式は
x-4=2x
∴x=-4となり不適。
よって解はx=4/3となります。
(2)
(i)x＜0かつx-3＜0、つまりx＜0のとき
問題の方程式は
-x-(x-3)=5
∴…
(ii)0≦xかつx-3＜0、つまり0≦x＜3のとき
問題の方程式は
…
(iii)0≦xかつ0≦x-3、つまり3≦xのとき
問題の方程式は
…
(注：x＜0かつ0≦x-3となるようなxの値の範囲は
存在しませんので場合分けから外されています。)

83
これも81と同様に場合分けをして絶対値を外して
解くわけですが、今度は場合分けの範囲との
共通範囲が解となります。
(2)は81(2)と同様に３通りの場合分けが必要に
なることに注意しましょう。
No.31272 - 2015/04/27(Mon) 21:55:02
☆ Re: / X
85
100枚印刷したときの1枚当たりの費用は
3000[円]÷100[枚]=30[円/枚]
よって少なくとも求める枚数は100枚より多いことに
注意して、条件を満たす枚数をn[枚]とすると
かかる費用について
3000+20(n-100)≦25n
これを解きます。
No.31273 - 2015/04/27(Mon) 22:01:40
☆ Re: / あいか
ありがとうございます！
とても分かりやすい説明でよく分かりました
詳しくありがとうございました
No.31274 - 2015/04/27(Mon) 22:06:22
★ 三角比 / Ruhrung
こんにちは。Ruhrungと申します。宜しくお願い致します。

問　2sin^2θ-3cosθ>0を0°≦θ≦180°の範囲で解きなさい。

解答には次のように書いてありました。

与式を因数分解して整理すると
(cosθ+2) (2cosθ-1)<0
-1≦cosθ≦1よりcosθ< (1/2)
ゆえに60°≦θ≦180°

私は次のように答案を書きましたが、表現として問題ないでしょうか。

与式を因数分解して整理すると
(cosθ+2) (2cosθ-1)<0
-2<cosθ< (1/2)
0°≦θ≦180°で上式の範囲を満たすのは60°≦θ≦180

恐れ入りますが、教えてください。宜しくお願い致します。
No.31268 - 2015/04/27(Mon) 15:10:03
☆ Re: 三角比 / ヨッシー
良いと思います。
No.31269 - 2015/04/27(Mon) 15:32:09
☆ Re: 三角比 / Ruhrung
ヨッシーさん、こんにちは。
記述の参考になりました。
また宜しくお願い致します。
No.31270 - 2015/04/27(Mon) 16:19:13
★ 内接円の問題 / ペーン
座標平面上の３点 A(9,12), B(0,0), C(25,0) を頂点とする三角形について、三角形ABCの内接円の半径と中心の座標を求めよ。
答えは 半径が５で、中心(10,5) なのですが、考え方が分かりません！解説お願いします！
No.31265 - 2015/04/26(Sun) 20:15:41
☆ Re: 内接円の問題 / ヨッシー
ＡＢ＝１５，ＢＣ＝２５，ＡＣ＝２０　より
△ＡＢＣは∠Ａ＝90°の直角三角形。
　内接円の半径をｒとすると
　△ＡＢＣ＝25×12÷2＝150
　　　　　＝(1/2)(15+25+20)ｒ＝30r
より、ｒ＝５

ＡＢを１：２に内分する点Ｄ(6,8) を通り、ＡＣに平行な直線
　ｙ＝(-4/3)(x-6)+8
と、直線ｙ＝５との交点(10,5) が内心となります。
No.31266 - 2015/04/26(Sun) 20:44:46
☆ Re: 内接円の問題 / ペーン
良く分かりました！図付きでありがとうございます！
No.31267 - 2015/04/26(Sun) 21:17:08
★ 総合問題 / 名無し
121人の生徒が100点満点の数学のテストを受けたところ、平均点は62点であった。このテストを受けたA君は65点であった。A君のこのテストで順位について、正しいものを次の?@〜
?Dから1つ選べ。

?@-必ず61番より上位である。
?A-115番より下位になることもある。
?B-必ず60番より下位である。
?C-60番より下位になることもある。
?D-1番になることはない。

という問題です。
答えの判定の仕方をくわしく解説お願いします。
答えは?Cです。
No.31263 - 2015/04/26(Sun) 18:58:44
☆ Re: 総合問題 / X
以下は飽くまで私の考え方であることに注意して下さい。


反例となるような点数の分布を作ることができるかを
考えます。

条件から、生徒全員の点数の合計から
A君の点数を引いた点数は
121・62-65=7437[点]
よってA君以外の120人の平均点は
7437/120=61+117/120[点]
従って、例えばA君以外の
3人が61点
117人が62点
なるような点数分布であるなら
条件を満たしつつ、A君が１位
となりますので、
(3)(5)は除外されます。

又、例えば66点の生徒が60人いた場合
彼らとA君以外の生徒54人の点数の合計は
7437-66・60-65=3412[点]＞0[点]
従って、少なくともA君より点数の高い人が
60人存在するような点数の分布を作ることは
可能ですので(1)も除外されます。

(1)(3)が除外されたことで(4)は正しいことが
分かります。

残りの(2)についてですが、これは以下の理由で
除外されます。
仮にA君が116位だった場合、上位115位までの
点数の合計の最小値は
115・66=7590[点] (A)
これは条件となる121人の点数の合計点である
121・62=7502[点]
より大きいですので、点数分布として不適です。
(A)はA君が116位以下だった場合の、A君より
順位が上の生徒の点数の合計点の最小値です
ので、A君が116位以下となるような点数分布を
作ることはできない、ということになります。
No.31264 - 2015/04/26(Sun) 19:52:53
★ (No Subject) / 名無し
P=a(x+1)＾3+b(x+1)＾2+c(x+1)とする。
Q=ax＾3+bx＾2+cx とする。
P-Qをxについて整理すると
P-Q=(ア)ax＾2+((カ)a+(キ)b)x+(a+b+c)になる。

わかりづらくて申し訳ないですが、どうかよろしくお願いします。
No.31259 - 2015/04/26(Sun) 16:11:41
☆ Re: / ヨッシー
普通に展開していって、
Ｐ−Ｑ＝a{(x+1)^3−x^3}＋b{(x+1)^2−x^2}＋c{(x+1)−x}
　　　＝a(3x^2＋3x＋1)＋b(2x+1)＋c
　　　＝3ax^2＋(3a+2b)x＋(a+b+c)
となります。
No.31260 - 2015/04/26(Sun) 16:27:00
★ (No Subject) / Juice
aを整数とする。3次方程式x^3＋ax−2=0の解のうち、1つだけは整数である。 残りの解が虚数となるのは、a=(ア)の時であり、残りの解が実数となるのは、a=(イウ)のときで、
整数解はx=(エオ)、実数解はx=(カ)±√キ である。

お願いします！
No.31256 - 2015/04/26(Sun) 00:34:13
☆ Re: / ヨッシー
f(x)＝x^3＋ax−2 とおきます。
ある整数ｍについて、ｘ＝ｍ が f(x)＝0 の解であるとすると
　m^3＋am＝2
であり、m は２の約数と分かるので、整数解の候補は
　x=1,2,-1,-2
の４つです。
ｘ＝１が解のとき
　f(1)＝a-1＝0 より a=1
　このとき　x^3＋x−2＝(x-1)(x^2+x+2)
　残りの解は虚数
ｘ＝２が解のとき
　f(2)＝2a＋6＝0 より a=-3
　このとき　x^3−3x−2＝(x-2)(x^2+2x+1)
　残りの解は　ｘ＝−１(重解)
ｘ＝−１ が解のときは、ｘ＝２ が解のときと共通
ｘ＝−２ が解のとき
　f(-2)＝-2a−10＝0 より a=-5
　このとき　x^3−4x−2＝(x+2)(x^2-2x-1)
　残りの解は　ｘ＝1±√2
(以下略)
No.31261 - 2015/04/26(Sun) 16:40:51
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