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★ (No Subject) / えな
この写真の問題3問ありますが、どうしても分かりません。解き方を教えて欲しいです。
No.82226 - 2022/05/28(Sat) 21:47:41
☆ Re: / えな
> この写真の問題3問ありますが、どうしても分かりません。解き方を教えて欲しいです。
大学3年、情報理論と確率論の問題です。
No.82227 - 2022/05/28(Sat) 21:48:53
☆ Re: 情報理論と確率論 / えな
件名を入力し忘れてました！ごめんなさい！
No.82228 - 2022/05/28(Sat) 21:53:17
☆ Re: / IT
問題の意味（各用語の定義）が分かれば、ほとんど解けるのでは？　テキストに各用語の定義が書いてないですか？
No.82230 - 2022/05/29(Sun) 08:01:09
★ 曲線の弧長 / あお
大学３年です
s = √2(e^t - e^-t) というのは出ていて
そこからtをsで表す手順が分からないので教えて頂きたいです.
No.82223 - 2022/05/28(Sat) 12:22:26
☆ Re: 曲線の弧長 / IT
e^t＝ｘ　とおいてみると分かり易いのでは？
No.82224 - 2022/05/28(Sat) 12:36:03
☆ Re: 曲線の弧長 / あお
ありがとうございます。解けました。
No.82225 - 2022/05/28(Sat) 13:02:55
★ 円柱の展開図の側面の長さ計算について / ふぶ
小学5年です。円柱の展開図を書く問題です。
円柱の展開図の側面の横の長さを求める計算において、答えが12.56cmで定規で測れない場合、書ける長さをどう求めるのでしょうか。
解答が12.6cmだったり、13cmだったりバラバラでした。
どちらでも正解になるのでしょうか。
No.82219 - 2022/05/27(Fri) 20:04:51
☆ Re: 円柱の展開図の側面の長さ計算について / X
得られた横の長さの数字をどこで四捨五入するかによります。

質問内容から、問題となっている円柱の底面の半径が
恐らく2cmであると思いますが、
円周率を3.14として計算した結果を
そのまま使うのであれば
12.56cm
小数点第2位で四捨五入するのであれば
12.6cm
小数点第1位で四捨五入するのであれば
13cm
がそれぞれ正解になります。

問題に四捨五入の指定がないのであれば
12.56cm
を答えとするのが無難だと思います。
No.82220 - 2022/05/27(Fri) 20:20:08
☆ Re: 円柱の展開図の側面の長さ計算について / ふぶ
> 得られた横の長さの数字をどこで四捨五入するかによります。
>
> 質問内容から、問題となっている円柱の底面の半径が
> 恐らく2cmであると思いますが、
> 円周率を3.14として計算した結果を
> そのまま使うのであれば
> 12.56cm
> 小数点第2位で四捨五入するのであれば
> 12.6cm
> 小数点第1位で四捨五入するのであれば
> 13cm
> がそれぞれ正解になります。
>
> 問題に四捨五入の指定がないのであれば
> 12.56cm
> を答えとするのが無難だと思います。

返信ありがとうございます。
四捨五入指定なしで、実際に展開図を書く際には、定規で測れる12.6cmで書き、辺の下に12.56cmと書く形が無難でしょうか。
No.82237 - 2022/05/30(Mon) 14:55:34
☆ Re: 円柱の展開図の側面の長さ計算について / X
ごめんなさい。スレが流れていて見逃していました。

もう見ていないかもしれませんが、回答を。
定規にこだわらず12.56cmで問題ないと思います。

＞＞定規で測れる〜
とありますが、どのような定規を使うかで
測れる最小の長さも異なりますので、
定規を基準に考えるのは意味がありません。
No.82473 - 2022/06/19(Sun) 20:34:06
★ 数列の発散をε-N論法を用いて示す問題です / ユキオトコ
問
数列(a_n)がa_n→∞(n→∞)をみたすとき、次を示す。

(na_1+(n-1)a_2+…+2a_(n-1)+1a_n) 2/n(n-1) → ∞ (n→∞)

自分で考えてわからなくなったところを下に書きます
（細かい説明は割愛しますがご容赦ください）

(与式) = (na_1+(n-1)a_2+…+(n+1-N)a_N) 2/n(n-1) + (a_n+2a_(n-1)+…+(n-N)a_(N+1))
= A_n + B_n
A_nについて
任意の正の数Mに対してA_n>Mを示す。（ここがわかりません）
B_nについて
ここは大丈夫です。
No.82217 - 2022/05/27(Fri) 18:12:10
☆ Re: 数列の発散をε-N論法を用いて示す問題です / GM
条件より任意の正の数εに対して十分大きなNでN<nとなるnでa_n＞ε
N≧nのnで最も小さいa_nをαとする

na_1+(n-1)a_2+………………………………………+2a_(n-1)+1a_n
＝na_1+(n-1)a_2+…+(n+1-N)a_N+(n-N)a_(N+1)+…+2a_(n-1)+1a_n
＞(n + n-1 + …… + n+1-N)α+(n-N + n-N-1 + … + 2 + 1)ε
２つのかっこの中はそれぞれnからn+1-Nまでの和と
n-Nから1までの和になっているので
＝N(2n+1-N)α/2+…+(n-N)(n-N+1)ε/2
ここでnをNに対して十分大きくとればεの係数のところのnの次数が2であることと
与式の分母のnの次数が2であることを合わせると
与式＞定数×εとすることができ題意が示せます
No.82254 - 2022/05/31(Tue) 14:52:29
★ 式の計算 / みほ
中学1年生です。
解説がないため、どうやって解けばいいかわかりません。教えていただきたいです。

答えは　69と87です。
No.82212 - 2022/05/26(Thu) 23:19:53
☆ Re: 式の計算 / ast
[0: 要点] a がふた桁の奇数であるということは, a の十のくらいの数を n, 一の位の数を m とすれば, n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, m=1,3,5,7,9 のそれぞれ何れかを用いて a=10n+m と書ける, ということです.
[1: 条件] よって, b=10m+n, (a+b)/8 = 11(n+m)/8 となりますから, 不等式 20≤11(n+m)/8≤21 を満たす n,m を上記の中から見つければいい, ということになります.
[2: 方針] 後は調べるだけです. 抜けが無いように n,m を総当たりで調べてもいいと思いますし, あるいは労力を減らすために工夫するなら例えば [1] の不等式を 160/11≤n+m≤168/11 と書き換えると 14 < 160/11 < 15 < 168/11 < 16 なので n+m は 14 より大きく 16 より小さい自然数でないといけないので, n+m=15 となる組合せから探せばよいということになります.
No.82213 - 2022/05/27(Fri) 01:02:10
☆ Re: 式の計算 / みほ
ast様

丁寧に教えていただきありがとうございました！がんばって解いてみます！
No.82214 - 2022/05/27(Fri) 07:32:53
★ 確率漸化式 / イーグルス
n:正の整数
正方形ABCDの頂点上を点Xが、
さいころの出た目が1，2，3の時は出た目の数だけ反時計回りに頂点を移動し、4，5，6の時は移動しない
という規則に従って動く。
初め点Xは頂点Aにある。さいころをn回投げてXが動いた時、Xが頂点Aにいる確率を求めよ

　　　　　　　　　　　　　　　
No.82208 - 2022/05/26(Thu) 15:51:03
☆ Re: 確率漸化式 / ヨッシー
ｎ回後に点Ｘが、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄにある確率を a[n], b[n], c[n], d[n] とします。
初期値は　a[0]＝1, b[0]＝c[0]＝d[0]＝0 です。
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが時計回りに並んでいるとします。

　a[n+1]＝a[n]/2＋b[n]/6＋c[n]/6＋d[n]/6　・・・(i)
　b[n+1]＝a[n]/6＋b[n]/2＋c[n]/6＋d[n]/6　・・・(ii)
　c[n+1]＝a[n]/6＋b[n]/6＋c[n]/2＋d[n]/6　・・・(iii)
　d[n+1]＝a[n]/6＋b[n]/6＋c[n]/6＋d[n]/2　・・・(iv)

ここで、問題になるのは、Ａにいるかどうかなので、b[n]＋c[n]＋d[n]＝e[n] とおくと、
(i) より
　a[n+1]＝a[n]/2＋e[n]/6
(ii)＋(iii)＋(iv) より
　e[n+1]＝a[n]/2＋5e[n]/6
と書けます。

こちらを参照してこれを解くと、
　a[n]＝{1＋(1/3)^(n-1)}/4
となります。
No.82209 - 2022/05/26(Thu) 16:45:47
☆ Re: 確率漸化式 / イーグルス
ありがとうございます。これってXが一度も動かなかった事象も入ってるのでしょうか。
No.82210 - 2022/05/26(Thu) 17:19:23
☆ Re: 確率漸化式 / ヨッシー
入ってますね。
抜く場合は、(1/2)^2 を引きます。ただし ｎ≧１。
No.82211 - 2022/05/26(Thu) 17:36:36
☆ Re: 確率漸化式 / イーグルス
問題文はサイコロをn回投げた時ではなくn回投げてXが動いた時なのですがただ引くだけで大丈夫なのでしょうか。
No.82215 - 2022/05/27(Fri) 08:04:36
☆ Re: 確率漸化式 / ヨッシー
あ、間違いました。
(1/2)^2 ではなく (1/2)^n を引く　でした。

サイコロを何回か投げて、ｎ回Ｘが動いた時
ではなく
サイコロをｎ回投げて、少なくとも１回はＸが動いた時
なので、
１回も動かずにＡに留まっている確率 (1/2)^n を引けばいいと考えました。
No.82216 - 2022/05/27(Fri) 16:45:25
★ 統計学度数分布表階級値について / あり
こんにちは。数学ではないのですが、数学に関連したものなので答えていただけると嬉しいです。
階級値は上限プラス下限の割る2という認識なのですが、画像の食品の株価上昇率1段目では下限の値が-2.3858、上限が-1.5917となっております。数値は以上から未満の数値になっていると条件が課されております。上限の未満がどこなのかがわからないため、階級値と下限の値を使って計算したところ、、(下限+上限)÷2＝階級値で　-2.3858+ X÷2＝-3.1834 、　X ＝-0.7976となってしまい上限の値を超えてしまいました。自分の計算がどこか間違っているのでしょうか、それともこの上限の未満というのは度数分布表を作成するにあたって求める必要がないのでしょうか。
教えていただけると嬉しいです。どうぞよろしくお願いします
No.82205 - 2022/05/26(Thu) 12:29:28
☆ Re: 統計学度数分布表階級値について / らすかる
表を見ると明らかに「階級値は上限プラス下限の割る2」にはなっていませんね。
例えば最下行で(3.3502+0.9623)÷2=2.15625
なので階級値と一致しません。

# そもそも上限は表に出ているのに、何を計算したいのでしょう？
No.82207 - 2022/05/26(Thu) 13:15:18
★ (No Subject) / あいうえおっくん
ゆる募です。
｢空間内の任意の三角形に対して正射影をして正三角形にできるか｣
教えてください！
No.82200 - 2022/05/25(Wed) 19:56:12
☆ Re: / らすかる
正三角形にできます。

「空間内の任意の三角形に対して正射影をして正三角形にできる」
⇔「xyz空間上の平面z=0に描かれたある正三角形の頂点のz座標を変えれば
辺の長さの比が1：p：q（1≦p≦q,q-p＜1）である三角形が作れる」
が成り立つので
A(0,0,s), B(2,0,t), C(1,√3,0)（s≧0, t≧0）
とおいて（s=t=0のときz=0上の正三角形）
AB：BC：CA=1：p：q（1≦p≦q,q-p＜1）としたときにs,tが求まればよい。
AB^2：BC^2：CA^2=4+(s-t)^2：4+t^2：4+s^2から
(4+t^2)/(4+(s-t)^2)=p^2, (4+s^2)/(4+(s-t)^2)=q^2
2式から4+t^2：4+s^2=p^2：q^2なのでs=√{(4+t^2)(q/p)^2-4}
これを(4+t^2)/(4+(s-t)^2)=p^2に代入しsを消去して整理すると
（途中計算は長いので省略）
{2p^2+2q^2-1-(q^2-p^2)^2}(t^2+4)^2-8(p^4+p^2q^2+p^2)(t^2+4)+48p^4=0
これを解いて
t^2=4{{p^2+√(p^4-p^2q^2+q^4-p^2-q^2+1)}^2-q^2}/{{q^2-(p-1)^2}{(p+1)^2-q^2}}
任意のp,q（1≦p≦q,q-p＜1）に対して√の中身や右辺が非負となり
t≧0が定まり、s=√{(4+t^2)(q/p)^2-4}の√の中身も非負なのでsも定まる。
よって辺の比が1：p：q（1≦p≦q,q-p＜1）である任意の三角形が
正三角形に正射影可能なことが示された。
No.82206 - 2022/05/26(Thu) 13:12:14
☆ Re: / あいうえおっくん
返信ありがとうございます。私もXY平面に正三角形をつくり、z軸を動かして考えていました。どうしても計算が煩雑になってしまうのが悩みです。なにか方法ないですかね？
No.82218 - 2022/05/27(Fri) 18:44:01
☆ Re: / らすかる
では全く別の方法。

・△ABCでBCが最長辺とします。
・△ABCをxy平面上に、△ABCの重心Gが原点、BCがx軸と平行になるように置きます。
・△ABCをy軸中心に適当にk倍に拡大(縮小)すれば
　　A→A'、B→B'、C→C'、A'B'=B'C'となるようにできます。
・C'A'の中点をMとし、直線B'M中心に適当にm倍に拡大(縮小)すれば
　　A'→A''、C'→C''、A''B'=B'C''=C''A''となるようにできます。
・正三角形A''B'C''の内接円を描きます。
・内接円を直線B'M中心に1/m倍にすると、内接円は△A'B'C'の各辺の
　　中点で接する内接楕円になります。
・この内接楕円をy軸中心に1/k倍すると、内接楕円は△ABCの各辺の
　　中点で接する内接楕円になります。
・楕円は長軸方向から斜めに見れば真円に見える方向がありますが、
　　△ABCの内接楕円が真円に見える方向から見れば
　　その真円は△ABCの各辺の中点で接していますので、
　　△ABCは正三角形に見えます。
・よってその方向に正射影すれば正三角形になります。

# 原点中心の楕円をy軸中心に拡大(縮小)するとまた楕円になることは、
# 原点中心の楕円の式がax^2+bxy+cy^2=1と表されることから明らかです。
No.82222 - 2022/05/28(Sat) 09:03:04
★ (No Subject) / コペ隊
a,bを自然数とする。二つの集合A＝｛1,3a+1,2b｝, B=｛a+1, b-1, 2a+2b, 5a+b｝ に対して、A∩B＝｛4,10｝である。このとき、a,b
の値を求めなさい。

この問題でそれぞれa,b２つずつ解が出てきました。（a=1,3 b=5,2）回答に二組書いていいんでしょうか。
No.82196 - 2022/05/25(Wed) 18:36:04
☆ Re: / IT

２組あるのなら、２組とも書かなければいけません。
a,b をペアにして解を記述する必要があります。
No.82197 - 2022/05/25(Wed) 18:59:47
★ 証明 / アジャス
命題「m,nを整数とする時m^2+n^2が奇数ならば、m,nの少なくとも一方は偶数」が真であることを対偶をとることで証明しなさい。

という問題です。対偶のとり方やそれを数値化するのがわからないので、解説お願いします。
No.82194 - 2022/05/25(Wed) 16:57:46
☆ Re: 証明 / ヨッシー
対偶は
「m,nを整数とする時、m,nがともに奇数ならば、m^2+n^2 は偶数である」
です。
ともに奇数なので、整数 s,t に対して
　m=2s+1, n=2t+1
と置けば出来ます。
No.82195 - 2022/05/25(Wed) 17:06:47
☆ Re: 証明 / コペ隊
理解できました。ありがとうございます。
No.82201 - 2022/05/25(Wed) 20:52:37
★ 物理 / おらい
川幅が500mで川岸に沿って右向きに速さ3m/sで水が流れている川がある。この川を、静止している水に対する速さが５m/sの船が渡ろうとしている。このとき、船の船首を上流に傾けて進ませたところ、地面に静止している人には川岸に対して垂直に進んでいるように見えた。船が川を渡るのにかかる時間を答えなさい。

普通に自分で解いたら100sになったのですが答えは恐らく125sです。なぜそうなったのかがわからないので解説お願いします。
No.82187 - 2022/05/25(Wed) 00:33:15
☆ Re: 物理 / ヨッシー

こういうことです。
No.82189 - 2022/05/25(Wed) 06:30:47
☆ Re: 物理 / おらい
なるほど！三平方で求めればいけますね。ありがとうございます！
No.82190 - 2022/05/25(Wed) 07:10:43
★ 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / やま

(1)
f(x) は C1 級関数、f′(a) > 0 とする。a の近くにある x について、x > a の
ときは f(x) > f(a), x < a のときは f(x) < f(a) が成立つことを説明せよ。
(2)
f(x) は C2 級関数、f′(a) = 0, f′′(a) > 0 とする。f(x) は x = a で極小値を とることを説明せよ。
(3)
n を奇数とし、f(x) は Cn 級関数、f′(a) = · · · = f(n−1)(a) = 0, f(n)(a) > 0 とする。x が a の近くにあるとき、x > a ならば f(x) > f(a), x < a ならば f(x) < f(a) が成立つことを説明せよ。
(4)
n を偶数とし、f(x) は Cn 級関数、f′(a) = ··· = f(n−1)(a) = 0, f(n)(a) > 0 とする。f(x) は x = a で極小値をとることを説明せよ。
No.82172 - 2022/05/24(Tue) 18:25:28
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / ast
(1) は平均値の定理で示せるのでは?
# もしそれができるなら, 後の問題は適当な次数までのテイラー展開を考えれば同様にできる.
## (平均値の定理は本質的には "1-次のテイラー展開" と同じことなので)

話としては少なくとも (1),(2) は高校内容 (高校でも増減表をバリバリ書くわけですから) のはずですが, 高校の教科書・参考書等ではどう扱ってるのだろう……?
# 平均値の定理は一応高校範囲のはずなので, もし本問同様の主張が書かれてるなら
# 証明は本質的に同じ話になっているはず (よく知らない)
No.82173 - 2022/05/24(Tue) 19:31:29
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / IT
理解できていれば、完全かどうかは別にしてある程度の証明（言語化）ができるのでは？
(1)　まず、「f(x) は C1 級関数、f′(a) > 0 とする。」をεδ方式を使って表現するとどうなりますか？
その上で、ast さんのヒントを使うと良いと思います。
No.82179 - 2022/05/24(Tue) 20:24:40
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / やま
εδ方式や1次のテイラー展開がよく分かりません(教授による説明が一切ないのです)。出来れば答え教えて欲しいです。
1次のテイラー展開はf(a)+f'(a)(x-a)なのは分かりました。ですがどのように活用したら良いのかが分かりません。εδ方式については教科書を見ても意味不明でした。課題提出期限が明後日までなのでどうかお願いします。。。
No.82181 - 2022/05/24(Tue) 22:13:22
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / IT
> εδ方式については教科書を見ても意味不明でした。

教科書には、例えば、どのような記述がありますか？
（なんという教科書ですか？　タイトル・出版社・著者
No.82182 - 2022/05/24(Tue) 22:23:20
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / やま
入門微分積分です。
No.82183 - 2022/05/24(Tue) 22:28:59
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / ast
ん? 多様体やら確率論やらいろいろ訊いてきていた過去ログの「やま」さんとは別人なのかな……?
# それにしては色々似てる感じがするのだけど……
No.82184 - 2022/05/24(Tue) 22:54:50
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / やま
別人です。今回初めてこの掲示板を使いました。
No.82185 - 2022/05/24(Tue) 23:06:37
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / ast
> 1次のテイラー展開はf(a)+f'(a)(x-a)なのは分かりました。ですがどのように活用したら良いのかが分かりません。

活用というかもう終わってるのでは (もうちょっと正確な式を書くべきですが, 少なくともその式の左辺として "f(x)=" を付ければ f(x) と f(a) の大きさはもう比べられるはずです).
No.82186 - 2022/05/24(Tue) 23:08:23
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / IT
> εδ方式については教科書を見ても意味不明でした。
「a の近くにある x について」とあるので、εδ方式で記述せず、「a の近くにある x について」というような表現を使えばいいかも知れませんね。
No.82191 - 2022/05/25(Wed) 07:15:54
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / やま
f(x)= f(a)+f'(a)(x-a)にしたら比べられるんですか？なら(1)は、「f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)より、x が a の近くにあるとき、x > a ならば f(x) > f(a), x < a ならば f(x) < f(a) が成立つ。」でいいですか？
No.82193 - 2022/05/25(Wed) 16:33:54
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / IT

> f(x)= f(a)+f'(a)(x-a)にしたら比べられるんですか？

教科書にどう書いてありますか？　
ピッタリf(x)= f(a)+f'(a)(x-a)になるとは限らないと思いますが？
No.82198 - 2022/05/25(Wed) 19:06:50
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / やま
x=aでの関数値と微分係数値がf(x)一致するような一次式は、f(a)+f'(a)(x-a)とありました。
No.82202 - 2022/05/25(Wed) 21:18:27
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / IT
f(x) は、一次式とは限らないのでf(x)= f(a)+f'(a)(x-a)になるとは限りません。

テイラー展開について教科書に書いてあるとおり、そっくりそのまま書いてみてください。
No.82203 - 2022/05/25(Wed) 21:53:40
☆ Re: 理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。 / IT
(1)だけ解答を書いてみます。
x ＞ a のとき
f(x)は微分可能なので、平均値の定理により　f(x)=f(a)+f'(c)(x-a) となる　a＜c＜x が存在する。

ここで、f(x) は C1 級関数なのでf'(x)は連続関数であり、f′(a) ＞ 0 かつ、xはa の近くにあるので、f'(c)＞0.

したがって、f(x)-f(a)=f'(c)(x-a)＞0.
x＜a のときも　同様にf(x)-f(a)=f'(c)(x-a)＜0.

この程度書けば、少しは点があると思います。

>理解はできるんですが証明の仕方が分かりません。
ということですので後は真似してやってください。
No.82204 - 2022/05/25(Wed) 23:03:11
★ (No Subject) / 10th
k:正の整数
x≦k
2^x≦y≦3^x
が表す領域内の格子点の個数を求めよ
No.82170 - 2022/05/24(Tue) 18:00:36
☆ Re: / ast
直前のスレッドの回答と同じく, 正整数 j (≤ k) に対して直線 x=j 上にある格子点の数が 3^j-2^j+1 個だからそれを j=1,2,…,k についてすべて足せばいい.
# 両端点 (j,2^j),(j,3^j) は必ず格子点だから, むしろ前問より単純で容易のはずだが…….
No.82171 - 2022/05/24(Tue) 18:22:01
★ 逆関数 / Gm
逆関数は元の関数が単調増加または単調減少のときのみ作れると知ったのですが、
試しに、y=x^3-2x^2(x>=4/3)の逆関数を作ろうとしましたが、出来そうにありませんでした。どのようにして解けばいいんですか？
No.82166 - 2022/05/24(Tue) 14:38:34
☆ Re: 逆関数 / らすかる
y=x^3-2x^2(x≧4/3)の逆関数を求めるには
x^3-2x^2-y=0というxに関する三次方程式を解かなければなりません。
過程は省略しますが、これを解いてx,yを交換すると
x≧0のとき
y=({108x+64+12√(81x^2+96x)}^(1/3)+{108x+64-12√(81x^2+96x)}^(1/3)+4)/6
-32/27≦x＜0のとき
y=(4cos(arccos(27x/16+1)/3)+2)/3
となります。
No.82167 - 2022/05/24(Tue) 15:44:39
☆ Re: 逆関数 / Gm
答えが難解すぎてよくわかりませんが、そのような複雑な答えになるということは、その関数の逆関数を直接求めるような問題はほぼ出ない(大学入試範囲で)のですが？
というのも、逆関数の微分の所で「関数f(x)=2x^3+3xの逆関数をg(x)とするとき、微分係数g’(5)の値を求めよ」という問題でどうやってf(x)を求めるのかと思ったからです。
この場合どのように解いていけばいいのですか？
No.82174 - 2022/05/24(Tue) 19:35:23
☆ Re: 逆関数 / Gm
すいません、上の「どうやってf(x)」は「どうやってg(x)」です
No.82175 - 2022/05/24(Tue) 19:37:25
☆ Re: 逆関数 / ast
逆函数の微分公式があります (これは f(x) の言葉で記述できる) のでそれでやれば g(x) を陽に求める必要はありません.
# g の微分を求めるのに f や f' だけ分かってればいい理由は, 公式の証明を参照してください.
## (f と g は陰伏的な函数関係を持つので陰函数の微分が使える, というようなことです)
No.82176 - 2022/05/24(Tue) 19:54:47
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
蛇足ですが、
f(x)＝2x^3＋3x において、(1, 5) における接線はすぐ出ます。
f(x) と g(x) のグラフが、ｙ＝ｘに対して対称なことより、
(1, 5) は、g(x) 上の (5, 1) に移ります。
(5, 1) における接線はどうなるでしょうか？

その傾きが g'(5) であることは言うまでもありません。
No.82177 - 2022/05/24(Tue) 20:02:22
☆ Re: 逆関数 / Gm
なるほど、ありがとうございます！
No.82192 - 2022/05/25(Wed) 07:21:17
★ 高1 データ(センター試験類題) / SS
すみません。こないだもこちらに投稿させていただいたのですが、(3)の答えが「誤」になるのですが、個数16以下は満たしているので、「データの範囲は不変である」というのが間違っていると思うのですが、どこが間違ってるかわからないです。教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.82157 - 2022/05/23(Mon) 21:59:50
☆ Re: 高1 データ(センター試験類題) / SS
解いた痕跡です。
No.82158 - 2022/05/23(Mon) 22:01:15
☆ Re: 高1 データ(センター試験類題) / ヨッシー
手書きの図の番号で、
(１)〜(９)　が１　、(10) から２以上の数が適当に並んでいる
データを考えると．．．
(27)〜(35) が同じデータの場合も同じです。
No.82161 - 2022/05/24(Tue) 06:25:01
★ (No Subject) / 10th
k:正の整数
x≦k...?@
0≦y≦(2x-3)・3^x...?A
?@かつ?Aが示す領域内の格子点の個数を求めよ
考え方がわかりません。
No.82154 - 2022/05/23(Mon) 19:24:01
☆ Re: / 10th
文字化けしてしまいました。
2行目と3行目が表す領域内の格子点です。
No.82155 - 2022/05/23(Mon) 19:28:44
☆ Re: / X
問題の不等式を上から順に(A)(B)とします。

(B)より
3/2≦x
ゆえ
(i)k=1のとき
(A)(B)の共通領域は存在しないので
格子点の数は0

(ii)2≦kのとき
(A)(B)の共通領域内の格子点のうち
直線x=l(l=2,…,k)
の上にあるものの個数は
1+(2l-3)・3^l[個]
∴求める格子点の数をN[個]とすると
N=Σ[l=2〜k]{1+(2l-3)・3^l}
=k-1+Σ[l=2〜k](2l-3)・3^l (C)
後は
S[k]=Σ[l=2〜k](2l-3)・3^l
と置いてS[k]を求めて(C)に代入するわけですが、
S[k]の計算方針は、教科書の
等比数列の和の公式の証明
の方針と全く同じです。
No.82156 - 2022/05/23(Mon) 19:46:31
★ (No Subject) / 雨のち晴れ
素因数が2と3だけである自然数の最初の30個を求めよ。またその様な自然数の最初の100個の逆数の和はいくらか。
解き方を教えてください。
お願いします。
No.82151 - 2022/05/23(Mon) 12:26:33
☆ Re: / IT
前半は、数表を作成して調べる　ぐらいしか思いつきません。
No.82159 - 2022/05/23(Mon) 22:44:32
☆ Re: / 雨のち晴れ
> 素因数が2と3だけである自然数の最初の30個を求めよ。またその様な自然数の最初の100個の逆数の和はいくらか。
> 解き方を教えてください。
> お願いします。
最初の20項の逆数の和にします。
プログラムコードを使って解く方法でも構いません。
No.82160 - 2022/05/24(Tue) 05:16:28
☆ Re: / ヨッシー
答えさえ出れば良いのなら、

2, 3, 4, 6, ・・・ を変数に格納する。
20個の数の最小公倍数を求める。・・・これが分母
この分母を、2, 3, 4, 6, ・・・で割った答えを出し
合計する。・・・これが分子。
答えは　9985/5184
分子は２でも３でも割り切れないので、これ以上約分は出来ません。
No.82162 - 2022/05/24(Tue) 08:08:52
☆ Re: / 雨のち晴れ
詳しい解説有り難うございました。
No.82163 - 2022/05/24(Tue) 08:44:27
☆ Re: / らすかる
「素因数が2と3だけである自然数」には1も含まれるのでは？
No.82164 - 2022/05/24(Tue) 10:34:46
☆ Re: / ヨッシー
そこは、悩んだ末外しました。
　２m３n　(m, n は０以上の整数）
の形で表される整数、であれば１も含まれますが、
２は１の素因数である　に違和感があったので。
No.82165 - 2022/05/24(Tue) 10:44:00
☆ Re: / らすかる
まあ微妙なところなので解釈は分かれると思いますが、とりあえず
「2は1の素因数」である必要はないですね。
「素因数が2と3だけである」⇔「2,3以外の素因数を含まない」
のように考えた場合は1も含むものと解釈される、ということです。
（高等数学ではこう解釈されるのが一般的かと思います）

別の考え方もありますね。
「素因数が2か3だけ」ならば4や27も含みますが、
「素因数が2と3だけ」の場合で1を除外するならば
少なくとも6の倍数でなければならないような気もします。
No.82168 - 2022/05/24(Tue) 15:55:31
★ 物理 / 時雨
解答は高校物理の公式を用いても、微積を用いても構いません。

なめらかな水平面上で，ばね定数 1.8[N/m] の軽いばねの一端を壁に固定し，他端に質量 3.2[kg] の物体を取り付ける.ばねが自然長であるときの物体の位置を x 軸上の原点 O にとる，

(a)物体が x = 5.5[m] の位置に来るまでばねを伸ばしてからそっと手を放すとき，物体が初めて原点 O に達するのは，手を放してから何秒後か.

(b)自然長の状態で静止しているばねの先の物体に，ばねを伸ばす方向に 周期的な力 6.4 cos(0.5t)[N] を加えるとき，物体が再び原点 O に達するのは，力を加えてから何秒後か.
No.82150 - 2022/05/23(Mon) 10:03:42
☆ Re: 物理 / X
問題のばねのばね定数をk[N/m],物体の質量をm[kg]
とすると
k=1.8[N/m],m=3.2[kg]
(a)
問題のばねと物体による単振動の角周波数をω[rad/s]
とすると
ω=√(k/m)
∴単振動の周期をTとすると、求める時間は
T/4=(1/4)・2π/ω
=(π/2)√(m/k)
=(π/2)(4/3)[s]
≒2.1[s]
により2.1秒後になります。

(b)
ばねを伸ばす方向が正の向きになるように
x軸を取るとすると、ばねにつけた物体
の運動方程式は
mx"=-kx+6.4cos0.5t
これより
x"=-kx/m+(6.4/m)cos0.5t
∴x"+(9/16)x=2cos0.5t (A)
(A)を
x|[t=0]=0,x'|[t=0]=0
の下で解くと
x=(8/5){cos0.5t-cos(3t/4)}
=(16/5)sin(5t/8)sin(t/8)
∴x=0[m]のとき
t=0[s],8nπ/5[s],8mπ[s](m,nは自然数)
従って求める時間は
8π/5[s]≒5.0[s]
により、5.0秒後となります。
No.82153 - 2022/05/23(Mon) 18:29:03
☆ Re: 物理 / X
ごめんなさい。(a)の回答に誤りがありましたので
No.82153を直接修正しました。
再度ご覧下さい。
No.82169 - 2022/05/24(Tue) 17:43:43
☆ Re: 物理 / GandB
(b)自然長の状態で静止しているバネの先の物体に、バネを伸ばす方向に周期的な力 6.4 cos(0.5t)[N] を加える
　この表現、ちょっと気になったのだけど、バネの縮む方向には外力が働くのか、働かないのかちょっと微妙。

　(b)が普通の強制振動の問題だとしても、高校物理の公式などではとても解けないと思うけど（笑）。
No.82178 - 2022/05/24(Tue) 20:06:50
★ (No Subject) / おらい
高一です
全体集合U＝｛nlnは整数、26≦n≧35｝と定める　　　　　
P＝｛nln∈U、nは2の倍数｝
Q＝｛nln∈U、nは3の倍数｝
R＝｛nln∈U、nは4の倍数｝
S＝｛nln∈U、nは5の倍数｝
とするとき、次の問いに答えなさい

１）集合（P∪Q）∩S、P∪R∪Sの補集合を、書き並べて表しなさい。

２）Rが集合（Qの補集合）∩（Sの補集合）の部分集合であること（すなわちR⊂（Qの補集合）∩（Sの補集合））となることを示しなさい。

これを僕が解いたところ、全て空集合になってしまったので質問しました。解説よろしくお願いします。
No.82147 - 2022/05/23(Mon) 00:11:45
☆ Re: / X
以下、例えばAの補集合を\Aと表すことにします。
1)
条件から
(P∪Q)∩S={30}
∴\{(P∪Q)∩S}={26,27,28,29,31,32,33,34,35}
又
\{P∪R∪S}=\P∩\R∩\S
={27,29,31}

2)
条件から
\Q∩\S=\(Q∪S)={26,28,29,31,32,34}
R={28,32}
∴R⊂\Q∩\S
No.82148 - 2022/05/23(Mon) 06:30:58
★ 等比数列をなす3つの数 / Mone
等比数列をなす3つの数の和は26で、各々の平方の和は364である。このとき、この等比数列を求めよ。

この問題文の条件となる式は求められたのですがその後の計算がよく分かりません、、
教えて欲しいですお願いします。🙇🏻♀
No.82139 - 2022/05/22(Sun) 18:47:07
☆ Re: 等比数列をなす3つの数 / IT
>この問題文の条件となる式は求められた

どれらの式ですか？
No.82140 - 2022/05/22(Sun) 18:55:03
☆ Re: 等比数列をなす3つの数 / Mone
等比数列をなす3つの数の和は26で、各々の平方の和は364であるっていう部分です！！
No.82141 - 2022/05/22(Sun) 19:06:33
☆ Re: 等比数列をなす3つの数 / IT
中項をa,公比をrとおくと
r=0のときは条件を満たさないので、r≠0で、等比数列は　a/r,a,ar
条件から　(a/r)+a+ar=26,(a/r)^2+a^2+(ar)^2=364

整理すると、a(r+1+(1/r))=26 …（1）　(a^2)(r^2+1+(1/r)^2)=364…(2)

x=r+(1/r) とおくと、 a(x+1)=26…（1)',(a^2)(x+1)(x-1)=364…(2)'
(1)'を(2)'に代入、a(x-1)=364/26=14…(3)
(1)'-(3)、2a=12 ∴a=6
...
No.82142 - 2022/05/22(Sun) 19:41:01
☆ Re: 等比数列をなす3つの数 / IT
等比数列　a,ar,ar^2 としても同じことですね。（適当に置き換えて考えてください）
No.82143 - 2022/05/22(Sun) 20:02:22
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