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★ 計算について / おまる
いつもお世話になっております。
計算の過程でわからないことがあるので教えてください。

6の問題で、sin{A-π/2-(B+C)}=0 と角度の部分がまとめられていますがどのようにしたのでしょうか？

よろしくお願いします。
No.30697 - 2015/02/15(Sun) 10:58:51
☆ Re: 計算について / おまる
問題はこれです。
No.30698 - 2015/02/15(Sun) 11:00:54
☆ Re: 計算について / おまる
逆さまになったので貼り直しました。
No.30699 - 2015/02/15(Sun) 11:03:44
☆ Re: 計算について / IT
複素数（極形式）の　積・商の　偏角の計算は、習っておられますか？
arg(αβ)=argα+argβ
arg(α/β)=argα-argβ
No.30700 - 2015/02/15(Sun) 13:04:36
☆ Re: 計算について / ヨッシー
Ｄ＝Ａ−π/２ と置きます。
(与式)＝・・・の式の
分子分母に(cosＢ−ｉsinＢ)(cosＣ−ｉsinＣ) を掛けて、
(cosＢ−ｉsinＢ)(cosＣ−ｉsinＣ)(cosＤ＋ｉsinＤ)
虚部だけ抜き出して、加法定理を２回適用すると
　sin{Ｄ−(Ｂ＋Ｃ)}
となります。
No.30704 - 2015/02/15(Sun) 20:18:56
☆ Re: 計算について / おまる
ご回答ありがとうございます。

しっかりと理解することができました。
No.30705 - 2015/02/15(Sun) 20:24:57
★ (No Subject) / ろー
自然数が一つづつかかれている玉が
1l1,2l1,2,3l1,2,3,4l・・
のように一列に並べられている。
1番目から２ｎ＾２番目までの玉を全て袋に入れた。この袋から二つの玉を取り出すとき同じ数が書かれた玉を取り出す確率を求めよ

解
2n^2番目は第2n群のｎ番目である

２ｎ＾２番目までに数ｋが書かれた玉は
（?@）１≦ｋ≦ｎのとき〜
（?A）『ｎ＋１≦ｋ≦２ｎのとき』第ｋ群から第2n-1群に含まれるので個数は２ｎ−ｋ個とあるのですが『　』のようにケースわけする意味が分かりません。
ためしにｎが3のときで考えてみたのですが、２ｎすなわち６が出てこないこともなぞです

以上二つの疑問点、どなたか宜しくお願いします
No.30693 - 2015/02/15(Sun) 02:11:46
☆ Re: / ast
n=3のとき, 袋に入る2*3^2=18個とは
第1群から: 1
第2群から: 1,2
第3群から: 1,2,3
第4群から: 1,2,3,4
第5群から: 1,2,3,4,5
第6群から: 1,2,3
です. こう書けば, それぞれの自然数の数は縦に数えればいいですから, 明らかに数え方の変わる (i) 1≤k≤3 と (ii) 4≤k≤6 で分けるのは自然ではないでしょうか (nを増やしても, 最後の行以外は三角形状に大きくなるいっぽう, 最後の行だけいつも半分までで寸足らずと言うことは変わりません). 疑問があるとするならばどう疑問なのかもうちょっと突っ込んだ話をしてもらわないと回答しづらいです.

もちろん, 2nは第2n群の一番最後にしかない自然数ですから(そこまでは袋に入れないということで)この話には出てきませんので (ii) を 4≤k<n あるいは 4≤k≤(n-1) と書いても問題ありません. ただしこだわってそう書いたところで何が変わるわけでもありません (所期の確率の計算に「k=2n を取り出す確率が0である」というのを入れるか入れないかだけです).
No.30694 - 2015/02/15(Sun) 04:34:55
☆ Re: / ろー
ありがとうございます

＞(ii) を 4≤k<n あるいは 4≤k≤(n-1)
は (ii) を 4≤k<2n あるいは 4≤k≤(2n-1)

の間違いですか？

また、よく考えたら６だけでなく、５も2個取り出すことはありえないことに気が付きました。
ので、正確には
(ii) を 4≤k<2n-1 あるいは 4≤k≤2n-2ですよね？

よろしくおねがいします
No.30695 - 2015/02/15(Sun) 09:07:57
☆ Re: / ast
> > (ii) を 4≤k<2n あるいは 4≤k≤(2n-1)
> の間違いですか？
すみません間違いです. しかし, それもやはり間違いです. 正しくは
(ii) を 4≤k<6 あるいは 4≤k≤5 (または一般に (i)1≤k≤n, (ii)(n+1)≤k≤(2n-1))
などとしても変わりない, です.

> ので、正確には
同じことを繰り返しますが, 抜こうが抜くまいが結局 k の個数は 2n-k 個であるという事実は同じことですから, 抜いた方が「正確」ということにはなりません.
# 1個から2個選ぶ選び方 (1C2) や 0個から2個選ぶ選び方 (0C2) が
# 単に 0 通りしかない (したがって確率も 0) ということでしかなく,
# それを (ii) の場合と別にする必要はそもそもない.
### -1 個とかはふつう考えませんから, 断り書きしますが,
### 「n<0のときnCk=0と約束する」ことにすれば
### (ii) は n+1≤k のときとすれば十分です.
本質的に意味があるのは, 第2n群の玉に由来する数がある(i)かない(ii)かの区別だけです.

もしどうしても
> ２ｎすなわち６が出てこない
> ５も2個取り出すことはありえない
を特別に分けないと正確ではないと考えているのであれば, 潔癖症みたいなものですがら, そちらのほうを治療した方が今後のためだと思います.
No.30696 - 2015/02/15(Sun) 09:52:37
★ 計算 / おまる
いつもお世話になっております。
単純な質問かもしれませんが、わからないので教えてください。

|-1/(a^2-1)-1/(b^2-1)|≦2ab/|(a^2-1)(b^2-1)|
|(b^2-1)+(a^2-1)|≦2ab

と、ある問題にあったのですがこの式変形はどのようにしたのでしょうか？分数を1つにして計算すると左辺が |(-b^2+1)+(-a^2+1)| となってしまいます。よろしくお願いします。
No.30688 - 2015/02/14(Sat) 21:12:25
☆ Re: 計算 / IT
|(-b^2+1)+(-a^2+1)| =|(b^2-1)+(a^2-1)| です。
No.30689 - 2015/02/14(Sat) 21:26:22
☆ Re: 計算 / おまる
ご回答ありがとうございました。
よく考えたらそうですね。
単純なことになかなか気付かないときがあるので、また質問するかもしれませんが、その時はよろしくお願いします。
No.30692 - 2015/02/14(Sat) 22:51:23
★ 高校生 / む
こんにちは。はじめまして。さっそくですが、この（３）を教えていただきたいです。どのように考えるのでしょうか？実際に図を描こうとしたらぐちゃぐちゃになりました。笑
No.30684 - 2015/02/14(Sat) 14:41:00
☆ Re: 高校生 / む
答えはこれです。
No.30685 - 2015/02/14(Sat) 14:43:21
☆ Re: 高校生 / X
条件を満たすn組の平行線に新たに一組の平行線を
描きいれた場合、この新たな平行線の内の一本と
の交点が2n個できるのはよろしいですか？
この2n個の交点のうち、隣り合った2個の交点一組に対し
分割されてできる新たな領域1個が対応しています。
更に両端の交点それぞれについて、新たな分割領域
1個が対応していますので、増加する領域数は
新たな直線1本当たり
(2n-1)+2=2n+1[個]
よって新たな平行線一組により
2(2n+1)=4n+2[個]
だけ領域が増加します。
No.30686 - 2015/02/14(Sat) 16:14:30
☆ Re: 高校生 / む
なるほど…ありがとうございます！(>_<)
このような問題は一度は実際に書いて、考えてみるものでしょうか？経験によって解けるようになりますか？
類題が出ても解ける自信が無いもので…(・・;
No.30687 - 2015/02/14(Sat) 20:28:14
☆ Re: 高校生 / X
私の考えの過程を説明すると、(1)の過程がヒントに
なっています。
つまり、平行線を描き入れたときに増える領域の
ある一つと、交点との対応関係がどのように
なっているかということをあれこれ考えて
件のような説明になっています。

n=2,3位の図を描いてみて、一般のnの場合を
考える、といった方法しか思いつきませんね。
No.30690 - 2015/02/14(Sat) 21:53:25
☆ Re: 高校生 / む
わかりました！どうもありがとうございました☆ミ(^∇^)
No.30691 - 2015/02/14(Sat) 21:58:44
★ (No Subject) / すずき
計算を教えてください。
真ん中のtanΘ／2tanΘ=〜の変形かわかりません。なにをつかったのでしょうか・・・
宜しくお願いします。
No.30679 - 2015/02/14(Sat) 01:27:20
☆ Re: / deep make
tan(x)の倍角の公式を思い出しましょう.
No.30680 - 2015/02/14(Sat) 02:03:35
★ (No Subject) / すずき
添付の問題⑷について。
No.30673 - 2015/02/13(Fri) 23:44:14
☆ Re: / すずき
解答です。
No.30674 - 2015/02/13(Fri) 23:45:09
☆ Re: / すずき
解答続きです。
この、書き込んである部分がなぜそうなるかわかりません。
どうか教えてください…お願いします。
No.30675 - 2015/02/13(Fri) 23:46:36
☆ Re: / ヨッシー
左から順に
　ｎ回のうちＹn＝−１が０回、Ｙn＝１がｎ回の確率
　ｎ回のうちＹn＝−１が２回、Ｙn＝１がｎー２回の確率
　ｎ回のうちＹn＝−１が４回、Ｙn＝１がｎー４回の確率
　　　・・・
　ｎ回のうちＹn＝−１がｎ回、Ｙn＝１が０回の確率
です。ちなみに、ｎが奇数の場合は、左から順に
　ｎ回のうちＹn＝−１が０回、Ｙn＝１がｎ回の確率
　ｎ回のうちＹn＝−１が２回、Ｙn＝１がｎー２回の確率
　ｎ回のうちＹn＝−１が４回、Ｙn＝１がｎー４回の確率
　　　・・・
　ｎ回のうちＹn＝−１がｎ−１回、Ｙn＝１が１回の確率
です。
No.30683 - 2015/02/14(Sat) 07:29:44
★ (No Subject) / すずき
こんばんは。
体調を崩していてお返事長らくできずごめんなさい。
また宜しくお願いします。
添付の問題について。
No.30671 - 2015/02/13(Fri) 23:22:30
☆ Re: / すずき
解説が添付の通りです。
ここで、ａ＝ａ'dとおいたあとの式変形が、なぜそうなるかわかりません。
(かきこんであるところです。)
たすけてくださいお願いします。
No.30672 - 2015/02/13(Fri) 23:24:56
☆ Re: / みずき
(2l+1)・2nd=m{2a'd+(m-1)d}
の両辺をdで割っているだけだと思います。
No.30676 - 2015/02/14(Sat) 00:08:30
★ ２次関数 / りんご
(4)の解き方を教えてください。
答えは10/3です。
よろしくお願いします。
No.30667 - 2015/02/13(Fri) 21:20:33
☆ Re: ２次関数 / ヨッシー
(4)
頂点Ｐの座標は（−１，３）であるので、この点を通り
傾き１の直線　ｙ＝ｘ＋４
傾き−１の直線　ｙ＝−ｘ＋２
と、Ｇとの交点をＡ，Ｂとしたとき
　∠ＡＰＢ＝90°
となります。
　ｙ＝３ｘ^2＋６ｘ＋６
と
　ｙ＝ｘ＋４
を連立させて、
　３ｘ^2＋５ｘ＋２＝０
　(ｘ＋１)(３ｘ＋２)＝０
よって、ｘ＝−１．-2/3
ｘ＝−１ は点Ｐのｘ座標であるので、x=-2/3 のとき
　ｙ＝３ｘ^2＋６ｘ＋６
より、
　ｙ＝10/3
よって、ｂ＝10/3。
ちなみに、Ａ，Ｂの座標は
　(-2/3, 10/3) と (-4/3, 10/3)
となります。
No.30668 - 2015/02/13(Fri) 22:23:27
☆ Re: ２次関数 / りんご
有難うございます。
よくわかりました！
No.30678 - 2015/02/14(Sat) 01:00:07
★ (No Subject) / あ
tの長さを求める問題なんですが求め方がわかりません。
解説お願いします
No.30658 - 2015/02/12(Thu) 21:12:58
☆ Re: / あ
問題です
No.30659 - 2015/02/12(Thu) 21:13:45
☆ Re: / X
lと直線y=x-1/4(つまりlがCの接線となる場合)の
y軸との交点をそれぞれA,Bとすると
A(0,a),B(0,-1/4)
∴AB=a+1/4
ここでTを通るy軸平行の直線と直線y=x-1/4との
交点をUとすると
TU=AB
で△TUO'が直角二等辺三角形になっていることから
t=O'T=(1/√2)TU=(1/√2)(a+1/4)
となります。
No.30664 - 2015/02/12(Thu) 23:30:32
★ 確率 / りんご
(4)の解き方を教えてください。
答えは8/21ですが、
何度やり直しても答えが合いません。
よろしくお願いします。
No.30656 - 2015/02/12(Thu) 21:02:52
☆ Re: 確率 / deep make
母集団は84なので, 32通りあることを示せばよい.

(1,2,4)の形が(回転したものも含めて)16通り,
(1,2,6)の形が(回転又は裏返ったものも含めて)16通りで,
計32通りあります.
No.30660 - 2015/02/12(Thu) 21:51:10
☆ Re: 確率 / りんご
ありがとうございます！
理解できました。
No.30662 - 2015/02/12(Thu) 22:31:34
★ 三角比 / ゆう
下図の10番の問題が、どう考えてもわかりません。
どうにかして、1変数に落としたいのですが、分母が変数になってしまいます。
数学?Tの範囲で解説して頂けると幸いです。
No.30654 - 2015/02/12(Thu) 16:56:30
☆ Re: 三角比 / X
(sinθ+1)/(cosθ+√3)=k
cosθ=x,sinθ=y
と置くと
k=(y+1)/(x+√3) (A)
x^2+y^2=1 (B)
(A)(B)からyを消去して
x^2+{k(x+√3)-1}^2=1
整理して
(k^2+1)x^2-2(k-(k^2)√3)x+(1-k√3)^2-1=0 (C)
(C)が
-1≦x≦1
の範囲で少なくとも一つ実数解を持つような
kの値の範囲を求めることを考えます。
No.30655 - 2015/02/12(Thu) 17:12:09
☆ Re: 三角比 / ゆう
Cの1-k√3の部分がk-k^2√3だと思うのですが、
kの値の範囲の求め方がわかりません。
宜しければ途中式もお願いします。
No.30661 - 2015/02/12(Thu) 22:26:13
☆ Re: 三角比 / X
>>Cの1-k√3の部分がk-k^2√3だと思うのですが、
ごめんなさい。No.30655を修正しておきました。

それで続きですが
(C)をもう少し整理して
(k^2+1)x^2-2(k-(k^2)√3)x+3k^2-2k√3=0
そこで
g(x)=(k^2+1)x^2-2(k-(k^2)√3)x+3k^2-2k√3
とおいてy=g(x)のグラフとx軸との交点が
-1≦x≦1 (D)
の範囲に少なくとも一つ持つ条件を求めます。
(y=g(x)のグラフの対称軸と(D)との位置関係について
場合分けをしましょう。)
No.30663 - 2015/02/12(Thu) 23:14:56
☆ Re: 三角比 / ゆう
ありがとうございます。
大変恐縮ですが、もう少し詳しく教えて頂けないでしょうか。
すいません。
二次関数はわかるのですが、判別式、軸、端点など求め方がわかりません。
お願いします。
No.30666 - 2015/02/13(Fri) 17:27:14
☆ Re: 三角比 / X
y=g(x)のグラフの対称軸について以下のように
場合分けをします。
(i)(k-(k^2)√3)/(k^2+1)＜-1 (E) のとき
y=g(x)のグラフの対称軸は(D)の範囲外左側にあります
(グラフを描きましょう)ので、求める条件は
g(-1)=(k^2+1)+2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≦0 (F)
g(1)=(k^2+1)-2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≧0 (G)
(E)(F)(G)をkの連立不等式と見て解きます。

(F)(G)は整理するといずれもkの二次不等式になります。
kの係数に√が混じっているのでややこしそうに見えますが
丁寧に処理していきます。(F)だけやってみますので
参考にして下さい。
(F)より
(4-2√3)k^2+(2-2√3)k+1≦0 (F)'
ここで
4-2√3=(√3-1)^2 (F)"
ですので
{(√3-1)k}^2-2(√3-1)k+1≦0
{(√3-1)k-1}^2≦0
∴解は
k=1/(√3-1)=(√3+1)/2

注)
本来であれば(F)'を解くに当たり、
(4-2√3)k^2+(2-2√3)k+1=0
を解の公式を使って解くのがセオリーです。
((F)"であることは気付きにくいですので)
その場合、
k=(1-√3)±√{(1-√3)^2-(4-2√3)}
となるのですが、第二項は最悪でも二重根号を外す方針で
計算をしていきます。

(E)は(分母)≠0という条件を付けて両辺に(分母)^2を
かけるのがセオリーですが、この場合は
k^2+1＞0
であることから単に両辺にk^2+1をかけるだけで問題はなく
k-(k^2)√3＜-(k^2+1)
ということでこれも整理するとkの二次不等式になります。
(続く)
No.30681 - 2015/02/14(Sat) 03:04:26
☆ Re: 三角比 / X
(続き)
(ii)-1≦(k-(k^2)√3)/(k^2+1)≦1 (H)のとき
y=g(x)のグラフの対称軸は(D)の範囲内にあります
(グラフを描きましょう)。
よって(C)の解の判別式をDとして
D/4=(k-(k^2)√3)^2-(k^2+1){(1-k√3)^2-1}≧0 (I)
g(-1)=(k^2+1)+2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≧0 (J)
g(1)=(k^2+1)-2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≧0 (K)
としたとき、求める条件は
(H)かつ(I)かつ{(J)又は(K)}
となります。

不等式の計算方針は(i)のときと同じです。
但し、(H)は
-1≦(k-(k^2)√3)/(k^2+1)
(k-(k^2)√3)/(k^2+1)≦1
なる連立不等式として計算します。

(I)は計算が煩雑なようですので
こちらで解いておきます。
(I)より
(k^2)(1-k√3)^2-(k^2+1)(-k√3)(2-k√3)≧0
k{k(1-k√3)^2+(k^2+1)(2-k√3)√3}≧0
k{k(1-k√3)^2-(k^2+1)(3k-2√3)}≧0
{}内を展開して整理すると
k(-2k+2√3)≧0
k(k-√3)≦0
∴0≦k≦√3


(iii)1＜(k-(k^2)√3)/(k^2+1) (L)のとき
y=g(x)のグラフの対称軸は(D)の範囲外右側にあります
(グラフを描きましょう)ので、求める条件は
g(-1)=(k^2+1)+2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≧0 (M)
g(1)=(k^2+1)-2(k-(k^2)√3)+3k^2-2k√3≦0 (N)
(L)(M)(N)をkの連立不等式と見て解きます。
不等式の計算方針は(i)のときと同じです。
No.30682 - 2015/02/14(Sat) 03:32:34
☆ Re: 三角比 / ゆう
納得しました！
ありがとうごさいました。
No.30703 - 2015/02/15(Sun) 20:04:04
★ (No Subject) / あ
数学3の質問です体積の式の立式の部分なんですが、解説のところの(右図の斜線部分をy軸の周りに回転させてできる立体の体積をvとすると)の下のVの式の作り方がわかりません。
解説お願いします
No.30650 - 2015/02/12(Thu) 13:47:25
☆ Re: / あ
問題文です
No.30651 - 2015/02/12(Thu) 13:48:06
☆ Re: / X
(x-1)^2+y^2=4
より
x=1±√(1-y^2)
つまり
x=1+√(1-y^2) (A)
又は
y=1-√(1-y^2) (B)
とあることはよろしいですか？
(A)(B)が解説の図の中の曲線の
どの部分になるかを考えた上で
Vの第1項、第2項の積分がどのような
回転体の体積になるかを考えて
みましょう。
ポイントはVがある回転体の体積
(つまり第1項)から余分な部分の
体積(つまり第2項)を差し引いて
求められているという点です。
No.30652 - 2015/02/12(Thu) 14:19:07
☆ Re: / あ
理解できました。ありがとうございました
No.30657 - 2015/02/12(Thu) 21:08:08
★ 高一数B / たんたん
357の2番がわかりません。
教えて下さい。
No.30644 - 2015/02/11(Wed) 22:15:44
☆ Re: 高一数B / ヨッシー

(1) で、上のような図が描けているはずですので、
　△ＡＢＣ：△ＡＢＤ＝５：２
　△ＡＢＤ：△ＡＰＢ＝９：５
より、
　△ＡＢＣ：△ＡＰＢ＝９：２
No.30645 - 2015/02/11(Wed) 22:50:03
☆ Re: 高一数B / たんたん
ありがとうございました。
No.30647 - 2015/02/11(Wed) 23:09:10
★ twitterで見つけた整数問題 / sakana
twitterで見つけた問題なのですが、解き方がさっぱり分かりません。どなたかヒントだけでも教えて頂けないでしょうか。
No.30634 - 2015/02/11(Wed) 17:11:18
☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / sakana
こちらの問題です。
No.30635 - 2015/02/11(Wed) 17:13:16
☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / みずき
自作問題ということなので、
次のような回答をしても良いだろうと勝手に判断します。

Schinzelという人が
「n≧13のとき2^n-1が2n+1以上の素因数を持つ」
ことを示していますので、n≦12だけを調べればよく
条件を満たすnはn=1,2,4,6だけと分かります。
No.30641 - 2015/02/11(Wed) 20:35:22
☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / sakana
なるほど。そんな定理があるんですね。勉強になりました。
でも、そういった証明が難しそうな定理を使わずに、より初等的に解くことはできないのでしょうか？
No.30648 - 2015/02/12(Thu) 07:25:58
☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / らすかる
指針だけですが

2^n-1はnが奇数のときは3で割り切れません。
nが偶数のときはn=2m・3^k（mは3で割り切れない数）とおいて
2^n-1が3^(k+1)で割り切れ3^(k+2)で割り切れないことを示せば
n=1：(分子)=a[1]・3^0、(分母)=b[1]・3^0
n=2：(分子)=a[2]・3^1、(分母)=b[2]・3^1
n=3：(分子)=a[3]・3^1、(分母)=b[3]・3^0
n=4：(分子)=a[4]・3^1、(分母)=b[4]・ 3^1
n=5：(分子)=a[5]・3^2、(分母)=b[5]・ 3^0
n=6：(分子)=a[6]・3^2、(分母)=b[6]・ 3^2
n=7：(分子)=a[7]・3^2、(分母)=b[7]・ 3^0
n=8：(分子)=a[8]・3^4、(分母)=b[8]・ 3^1
n=9：(分子)=a[9]・3^4、(分母)=b[9]・ 3^0
n=10：(分子)=a[10]・3^4、(分母)=b[10]・ 3^1
n=11：(分子)=a[11]・3^5、(分母)=b[11]・ 3^0
n=12：(分子)=a[12]・3^5、(分母)=b[12]・ 3^2
・・・
（a[n],b[n]は3で割り切れない数）
のようになり、分子の方が3の指数が速く増えますので、
3の指数が一致するn=1,2,4,6以外は答えになり得ないことが
わかると思います。

2^(2m・3^k)-1が3^(k+1)で割り切れ3^(k+2)で割り切れないことは、
2^(3a)-1=(2^a)^3-1
=(2^a-1){(2^a)^2+2^a+1}
となって(2^a)^2+2^a+1が3で割り切れ9で割り切れないことを使えば言えます。
No.30649 - 2015/02/12(Thu) 11:15:47
★ 高２数?U　　247 / 8821
sinα＝2√5/5 sinβ＝3√10/10
sin（α＋β）が１/√２　
α＋β=π/4 3π/4
答えは3π/4でした。π/4はどこへいったのでしょうか？
No.30632 - 2015/02/11(Wed) 15:26:46
☆ Re: 高２数?U　　247 / 8821
解決しました。申し訳ありません。
No.30633 - 2015/02/11(Wed) 15:47:56
★ 芝浦工大 / 受験生Ｓ
試験でできなかった問題が気になってます。
教えて欲しくて書き込みします。
よろしくお願いします。

自分の考えでは、
左辺と右辺は相加相乗で示せそう。

逆数とって、
(log a-log b)/(a-b)はy=log xにおける平均変化率として解くのかな…と思ったのですが、うまくできませんでした。
No.30630 - 2015/02/11(Wed) 14:35:40
☆ Re: 芝浦工大 / みずき
変数を1つにしてみるというのはいかがでしょうか。

各辺をaで割りb/a=tとおくと
√t＜(1-t)/(-logt)＜(1+t)/2
⇔-(logt)√t＜1-t＜-(logt)(1+t)/2
⇔1-t+(√t)logt＞0かつ2t-2-(1+t)logt＞0
なので、f(t)=1-t+(√t)logt,g(t)=2t-2-(1+t)logtとおくと
「0＜t＜1のときf(t)＞0」と「0＜t＜1のときg(t)＞0」
を示すことに帰着します。（以下略）
No.30642 - 2015/02/11(Wed) 21:02:36
☆ Re: 芝浦工大 / 受験生Ｓ
おぉーそういうアイデアもあるんですね。
ありがとうございます。

変数を減らすの考えましたが、片方を固定して…みたいに思ってました。

自分で解いてみます。
No.30643 - 2015/02/11(Wed) 21:20:33
☆ Re: 芝浦工大 / Halt0
調べたら (a-b) / (loga-logb) のことを Logarithmic mean
(対数平均, という訳でいいのかな) と言うらしいですね.
英語ですが, こちらの PDF の 2 ページ目に簡潔な証明があります:
The Geometric, Logarithmic, and Arithmetic Mean Inequality
No.30653 - 2015/02/12(Thu) 15:54:00
☆ Re: 芝浦工大 / 受験生Ｓ
Halt0さん、ありがとうございます。
学校の先生に質問したら、同じようなことを教えてもらいました。
対数平均、入試の背景を知るといろんなことを勉強したくなりました。
No.30677 - 2015/02/14(Sat) 00:43:13
★ 群数列 / 釜
群数列；1/2,1/4,3/4,1/8,3/8,5/8,7/8,1/16,3/16...,15/16,1/32,..

このとき第1項から第175項までの和を求めよ。


よろしくおねがいします。
No.30625 - 2015/02/10(Tue) 21:28:16
☆ Re: 群数列 / ヨッシー
{1/2}, {1/4, 3/4}, {1/8, 3/8, 5/8, 7/8}・・・
のように区切り、最初の {　}を第１群、次の {　} を第２群のように呼びます。
第ｎ群の分母は 2^n であり、項数は2^(n-1)、分母は１から始まる奇数となっています。
また、ｎ個の奇数の合計
　１＋３＋・・・；(2n-1)＝ｎ^2
であることを使うことにします。（必要なら、公式で示してください）
第１群から第７群までの項数は
　１＋２＋４＋・・・＋６４＝１２７
　１７５−１２７＝４８
より、第８群の第４８項が、通算での第１７５項 となります。
第ｎ群の全項の和は
　{2^(n-1)}^2/2^n＝２^(n-2)
よって、第７群までの和は
　1/2＋1＋2＋4＋8＋16＋32＝127/2
これに、第８群の第４８項までの和
　(1＋3＋5＋・・・＋95)/128＝48^2/128＝18
を加えて
　127/2＋18＝163/2　・・・答
No.30628 - 2015/02/10(Tue) 22:34:57
★ 中学入試 / ロンメル
中学入試の問題だそうです。
算数の範囲で解答可能なんでしょうか？


三角形ＡＢＣにおいて角Ａの内角を二等分する線と辺ＢＣの交点をＤとし、角Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＨとする。辺ＡＢと辺ＡＣの差が４、辺ＢＤと辺ＣＤの差が３、また三角形ＡＢＣに内接する円の半径が６のとき、ＡＨの長さを求めよ。
No.30623 - 2015/02/10(Tue) 20:41:49
☆ Re: 中学入試 / deep make
点Ｄから辺ＡＢ, 辺ＡＣに下ろした垂線の長さが等しいことを用いてよいのならば,
△ＡＢＤと△ＡＣＤの面積比はＡＢ：ＡＣになることが分かり,
一方でどちらも, ＢＤ, ＣＤを底辺とするときに,
高さはＡＨであることから, ＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣが示せます.

故に, ＢＤ−ＣＤ＝ＢＣ(ＡＢ−ＡＣ)/(ＡＢ＋ＡＣ)＝3 より,
(ＡＢ＋ＡＣ)/ＢＣ＝4/3, (ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)/ＢＣ＝7/3 となることがわかります.

一方, 三角形ＡＢＣの面積をＳとするとき,
2Ｓ＝6(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)＝ＢＣ×ＡＨ より,
ＡＨ＝6(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)/ＢＣ＝6×(7/3)＝14 を得ます.

上で最初に示した「角の二等分線と辺の比についての性質」は,
小学生によっては知っている場合もあるので, その場合は,
説明抜きに「ＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ」を使えます.
No.30626 - 2015/02/10(Tue) 22:08:16
☆ Re: 中学入試 / ヨッシー
ＡＢ＜ＡＣ、ＢＤ＜ＣＤ とします。
ＡＢ＞ＡＣ、ＢＤ＞ＣＤ であっても、結果は同じです。

角の二等分線の性質より、
　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ
より
　ＡＢ：ＢＤ＝ＡＣ：ＣＤ＝(AC-AB)：(CD-BD)＝４：３
よって、図の△ＡＢＣと△ＢＥＦ（面積は同じ）において、
　ＢＣ：ＢＥ＝３：７
であり、底辺比と高さ比は逆比になるので、
　ＡＨ：ＦＪ＝７：３
FJは、内接円の半径６であるので、
　ＡＨ＝６×7/3＝１４
となります。
No.30627 - 2015/02/10(Tue) 22:20:33
☆ Re: 中学入試 / ロンメル
ありがとうございました
すっきりしました。
No.30629 - 2015/02/10(Tue) 23:46:09
★ 領域 / restart
ラインを引いた部分が分かりません。何故ABの位置がわかるのでしょうか？
No.30621 - 2015/02/10(Tue) 20:37:50
☆ Re: 領域 / restart
宜しくお願いします(^^;;
No.30622 - 2015/02/10(Tue) 20:38:37
☆ Re: 領域 / ヨッシー
Ａ，Ｂの両方が y=ax+b に対して同じ側にあると、図のように
線分ＡＢと y=ax+b が共有点を持たないからです。

No.30624 - 2015/02/10(Tue) 21:12:44
☆ Re: 領域 / restart
見落としていました、、ありがとうございました！
No.30631 - 2015/02/11(Wed) 14:46:18
★ 場合の数 / Ruhrung
こんにちは。Ruhrungと申します。宜しくお願い致します。

問　1000以下の自然数で、15と、1以外に公約数を持たない数の個数を求めよ。

解説には次のように書いてありました。

15=3×5だから、3でも5でも割り切れない数を求めればよい。したがって、533個。

私の日本語力の問題だと思うのですが、この解説（15と、1以外に公約数を持たないならば、3でも5でも割り切れない数を求めればよいという部分）がよくわかりません。恐れ入りますが、教えてください。宜しくお願い致します。
No.30619 - 2015/02/10(Tue) 10:27:50
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
別の言い方をすると、「１５と互いに素である数」です。

例えば、
１５と１４の公約数は１だけです。
１５と２７の公約数は１と３です。
１５と２５の公約数は１と５です。
１５と４５の公約数は１，３，５，１５です。
３で割れるか、５で割れる数は、１５との間に１以外の
公約数を持ちますので、そういう数はダメだということです。
No.30620 - 2015/02/10(Tue) 11:37:21
☆ Re: 場合の数 / Ruhrung
ヨッシーさん、こんにちは。返信がとても遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。
「互いに素」と考えればよいのですね。少々理解に時間がかかりましたが、納得できました。
丁寧に教えて頂き、どうもありがとうございました。また宜しくお願い致します。
No.30714 - 2015/02/16(Mon) 10:32:15
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