ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 円順列と重複組み合わせ / ふぇるまー

問?@AからGまでの7人が円形に並ぶとき、ABCのうち、少なくとも2人が隣り合う並び方は何通りあるか。

問?Ax+y+z=10を満たす整数の組(x,y,z)のうち、次のようなものは何個か。
(1)xyzが負でない時。
(2)xyzが自然数の時。
宜しくおねがいします。m(__)m

No.30983 - 2015/03/10(Tue) 22:49:23

☆ Re: 円順列と重複組み合わせ / ヨッシー

すべての並べ方は　６！＝７２０(通り)

ＡもＢもＣも隣り合わない並び方は、
図の赤がＡ、青がＢとＣ、白がそれ以外とすると
　3×2×4!＝144(通り)
よって、ABCのうち、少なくとも2人が隣り合う並び方は、
　720－144＝576(通り)

問２
(1)
｜｜○○○○○○○○○○
のように、２個の｜と、１０個の○を並べ、｜で区切られた
３つの部分にある○の数を、左から順に、ｘ、ｙ、ｚに対応させます。
例えば、
○○○○｜○○○｜○○○　は (x,y,z)＝(4,3,3)
○○○｜○○○○○○○｜　は (x,y,z)＝(3,7,0)
｜○○○○○○○○○○｜　は (x,y,z)＝(0,10,0) など。
すると、12個の記号のうち、２個を｜にする組合せと同じなので、
　12Ｃ2＝66(通り)
(2)
｜｜○○○○○○○
のように、○を７個に減らして(1) と同様に考え(０個も許す)
そのあと、x,y,z に１ずつ加えればいいので、
　9Ｃ2＝36(通り)

No.30984 - 2015/03/10(Tue) 23:12:10

☆ Re: 円順列と重複組み合わせ / ふぇるまー

御丁寧にありがとうございます。

No.30987 - 2015/03/11(Wed) 10:31:49

★ 相関係数の共分散 / しつもんびと

相関係数の共分散についてなのですが、
x－xの偏差×y－yの偏差を面積としてみると、
データが一直線上に並んでいても、散らばっていても、面積が同じで、四つに区切った場所のおなじところに位置していれば、
共分散の値も同じになるような気がするのですが、
そうだとしたら、共分散は何の意味があるのでしょうか？相関がある、ないという判断に共分散はどう関係してくるのでしょうか？とても曖昧な質問で申し訳ありません。

No.30964 - 2015/03/08(Sun) 15:09:09

☆ Re: 相関係数の共分散 / ヨッシー

共分散が等しいということは、相関の度合いが同じ程度ということです。
上の図のような相関を正の相関といいます。（共分散も正になります）

上の図において、点のない部分（平均の左上と右下の部分）にのみ、
点がある場合、負の相関といいます。（共分散も負になります）

上の図の点線で区切られた４つの部分いずれにも点がある場合
相関の度合いは、上の２つの場合より小さいと言えます。

No.30974 - 2015/03/09(Mon) 13:54:35

☆ Re: 相関係数の共分散 / しつもんびと

丁寧な解説ありがとうございます。
まだ少しわからないところがあるので、質問させてください。

正の相関を考えるとき、左下と右上の部分に点が散らばっていても、一直線上に点が並んでいても、共分散の値が同じであるときがありますが、相関の度合いは同じであるということでしょうか。
どれだけ、一直線上に近い点があるか、ではなく、どれだけ、左下と右上の部分に点があるか、を考えるということでしょうか。

No.30977 - 2015/03/09(Mon) 19:50:08

☆ Re: 相関係数の共分散 / ヨッシー

共分散は同じでも、相関度はさらにそれを、ｘ、ｙそれぞれの
標準偏差で割った「相関係数」で評価するので、相関度は異なってきます。

No.30980 - 2015/03/10(Tue) 09:00:50

☆ Re: 相関係数の共分散 / しつもんびと

ありがとうございます。度々申し訳ありません。
共分散をなぜ標準偏差で割るのかがわかりません。
xのちらばりとyのちらばりに関連があるか調べるなら、どう式をたてたらよいかわからないのですが、yの散らばり/xの散らばりで、比例しているかどうか調べるのでは、と思ったのですが、これでは負か正かわかりませんし、教科書にある式とおおきく異なるため何を教科書の式でしているのかわからないのです。何度も何度もお忙しいところ申し訳ありません。宜しくお願いいたします。

No.30985 - 2015/03/11(Wed) 09:07:57

☆ Re: 相関係数の共分散 / ヨッシー

共分散、相関係数についての記事を一読されてはいかがでしょう。
その定義から、意味から、使い道などわかると思います。

また、教科書にある式、とはどのようなものでしょうか？

No.30986 - 2015/03/11(Wed) 10:22:28

☆ Re: 相関係数の共分散 / しつもんびと

教科書にある式はSxy/SxSyです。勉強不足ですみませんでした。もう一度勉強し直そうと思います。丁寧な解説ありがとうございました。

No.30988 - 2015/03/11(Wed) 19:45:04

★ 複素数 / おまる

いつもお世話になっております。
複素数の計算でわからないところがあるので教えて欲しいです。
次の問題で、波線部の不等号の向きが何故このような向きになるのかがわかりません。
どのようにしてこの部分の大小を考えれば良いのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.30961 - 2015/03/08(Sun) 14:54:24

☆ Re: 複素数 / X

一般に
|A|-|B|≦|A-B|
(証明は省略します。)
これを踏まえて問題の不等式を見てみましょう。

No.30970 - 2015/03/08(Sun) 20:11:24

☆ Re: 複素数 / おまる

ご回答ありがとうございます。
複素数に絶対値をつけると実数になることはわかっているのですが、|α^n-1|のα^nが複素数であるために、本当に実数で成り立っている不等号の式が使えるのかと不安に思っておりました。
複素数に絶対値が付いていれば、複素数も実数と同じように不等号で比べられるという認識でよろしいのでしょうか？

No.30971 - 2015/03/08(Sun) 23:31:08

☆ Re: 複素数 / X

それで問題ありません。

No.30972 - 2015/03/09(Mon) 03:55:00

☆ Re: 複素数 / おまる

わかりました。
どうもありがとうございました。

No.30973 - 2015/03/09(Mon) 11:51:31

★ 自然数の性質の証明 / しつもんびと

a,b,cはどの二つも1以外の共通な約数をもたない正の整数とする。a,b,cがa^2＋b^2＝c^2を満たしているとき次の問いに答えよ。
a,bの一方は偶数で他方は奇数であることを証明せよ。
という問題の解説でわからないところがあり質問させていただきました。
写真の解説の、『また、奇数の二乗は奇数、偶数の二乗は偶数であるからcは偶数である。ゆえにc=2kと表せて～』とありますが、いつも平方数であるとは限らないのに偶数になるといえるのでしょうか？

No.30957 - 2015/03/08(Sun) 14:36:53

☆ Re: 自然数の性質の証明 / らすかる

「いつも平方数であるとは限らない」とはどういう意味ですか？
c^2はいつも平方数です。

No.30959 - 2015/03/08(Sun) 14:39:48

☆ Re: 自然数の性質の証明 / しつもんびと

二乗が偶数であるとき、平方数にさらに偶数の条件を加えて考えていたようです。理解できました、ありがとうございました。

No.30960 - 2015/03/08(Sun) 14:51:38

★ 数列 / ぜみ

a[n]=α^(n-1)＋α^(n-2)・(β/α)＋・・・＋α^(n-1)・(β/α)^(n-1)
a[n]は初項α^(n-1)　公比β/αの等比数列の和なので
等比数列の和の公式より、
[α^(n-1)｛1-(β/α)^n}]/｛1-(β/α)}とできますが、
b[1]=α^(n-1) b[2]=α^(n-2)・(β/α)
・・・b[n]=α^(n-1)・(β/α)^(n-1)とすると
a[n]=Σ[k=1~n]b[k]　・・・(※1)
=Σ[k=1~n]｛α^(n-1)・(β/α)^(k-1)｝
としてはいけないですか？
たとえばn=3のとき
a[3]=Σ[k=1~3]｛α^(n-1)・(β/α)^(k-1)｝・・・(※2)
とできるのでしょうか？
(※1)では
b[n]=α^(n-1)・(β/α)^(n-1)
nをkに変えてb[k]を表したいなら
b[k]=α^(k-1)・(β/α)^(k-1)としなければいけないですか？
(※2)も、初項のα^(n-1)のnのところに3をいれなければならないですよね。
こういう場合はシグマは用いないほうがよいのでしょうか。
混乱してきたので教えてください。お願いします。

No.30947 - 2015/03/07(Sat) 07:31:53

☆ Re: 数列 / X

これはパラメータを1つだけとすることを前提とする
b[n]を導入すること自体間違えています。
a[n]においてnはパラメータですが
右辺において第k項の公比β/αにかかる
指数k-1はnとは別に考える必要がある
パラメータとなっています。
よって、b[n]ではなくて、例えば
b[n,k]={α^(n-1)}(β/α)^(k-1)
なる2変数の一般項b[n,k]を導入して
a[n]=Σ[k=1～n]b[n,k]
=Σ[k=1～n]{α^(n-1)}(β/α)^(k-1) (A)
というように表します。
(A)において例えばn=3のときは
a[3]=Σ[k=1～3]b[3,k]
=Σ[k=1～3]{α^(3-1)}(β/α)^(k-1)
となります。

No.30949 - 2015/03/07(Sat) 12:20:02

☆ Re: 数列 / ぜみ

２変数を使う方法もあったんですね。
分かりやすい回答ありがとうございました。

No.30953 - 2015/03/08(Sun) 04:26:31

★ 複素数について / おまる

いつもお世話になっております。
複素数についてわからないところがあるので教えて欲しいです。

Z^4=1+i を解け

という問題で、答えの部分(波線部)の書き方の意味がよくわかりません。
共役な複素数を表していると考えても書き方がおかしいとおもいました。
これはどういう意味なのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.30941 - 2015/03/06(Fri) 21:22:34

☆ Re: 複素数について / らすかる

解が
a(b+ci),-a(b+ci),a(c-bi),-a(c-bi)
の4個なので、2個ずつまとめて
±a(b+ci),±a(c-bi)
と書いているだけですが、どこがわかりませんか？
（ただしa=[8]√2/2, b=√{2+√(2+√2)}, c=√{2-√(2+√2)}）

No.30942 - 2015/03/06(Fri) 21:32:19

☆ Re: 複素数について / おまる

ご回答ありがとうございます。
遅くなってしまい申し訳ありませんでした。
どうしてb+ciとc+biというbとcが入れ替わったものが答えになっているのかというのがよくわからないのです。

No.30950 - 2015/03/07(Sat) 17:23:28

☆ Re: 複素数について / ast

「入れ替わっ」て見えるのはたまたま (四乗根だから) です.

> a(b+ci),-a(b+ci),a(c-bi),-a(c-bi)
が a(b+ci)*i^k (k=0,1,2,3) とまとめられていたらわかりますか?
# i が 1 の虚四乗根 (のひとつ) であることに注意しましょう.
# (例えば立方根を求める問題なら, 一つの根に残りは 1 の虚立方根 ω の冪を掛けます)
# 本質的には破線部の右側の図の意味が分かっているのかどうかの確認です.

No.30951 - 2015/03/07(Sat) 22:06:31

☆ Re: 複素数について / おまる

なるほどそういうことでしたか。
大変勉強になりました。
どうもありがとうございました。

No.30952 - 2015/03/07(Sat) 22:52:08

★ (No Subject) / もい

f(x)=(-k^-k＋5050)x＋2k-100(k=1/x　1≦k≦100)のグラフを図示せよ。
傾きと切片が変数になっているときのグラフはどう書けばいいのでしょうか？
k=1、つまりx=1のときのf(x)の直線の傾きは5048
k=2、つまりx=1/2のときのf(x)の直線の傾きは5046
・・・
k=71、つまりx=1/71のときのf(x)の直線の傾きは-62(ここから傾きが負になる)
k=100、つまりx=1/100のときのf(x)の直線の傾きは-5050
グラフは折れ線になるそうなのですが、どういうふうに書けばいいのかわかりません。教えてください。お願いします。

No.30936 - 2015/03/05(Thu) 23:29:25

☆ Re: / ヨッシー

k^ とは k^2 のことでしょうか？
そうであるとして、k=1/x より k を消去すると
　f(x)＝(-1/x^2－1/x＋5050)x＋2/x－100
　　　＝-1/x－1＋5050x＋2/x－100
　　　＝5050x＋1/x－101
となり、「折れ線」という言葉から連想する、直線の組み合わせでできる
グラフにはなりません。

微分は比較的簡単に出来るので、極小値などを求めることは出来ます。

No.30938 - 2015/03/06(Fri) 10:27:16

☆ Re: / もい

kは1≦k≦100の整数です。
f(x)＝5050x＋1/x－101
1/100≦x≦1
f(1)=4950
・・・
f(1/10)=414
・・・
f(1/100)=49.5
となりますが、
x=1/100,1/99,1/98,・・・,1/2,1とそれぞれ代入していってそれぞれのxの値と１対１に対応するf(x)の値が決まるので座標がわかりますよね。
これら平面上の座標点を結んでいってグラフとは言えないですか？
極小値はx=1/71のときになると思うのですが
一つ一つ代入せずに求めるにはどうすればいいのでしょうか。
5050x＋(1/x)　の形から相加相乗平均が使えそうにおもったのですがだめでした。
教えてくだ歳。お願いします。

No.30939 - 2015/03/06(Fri) 14:00:02

☆ Re: / らすかる

> これら平面上の座標点を結んでいってグラフとは言えないですか？
kが整数ならば点と点の間は定義域外ですから、座標点を線で結んではいけません。

> 極小値はx=1/71のときになると思うのですが
> 一つ一つ代入せずに求めるにはどうすればいいのでしょうか。
5050x+1/x={√(5050x)-√(1/x)}^2+2√5050ですから
√(5050x)と√(1/x)が近いほど小さくなります。
√(5050x)=√(1/x)となるxは1/71.06…なので
1/71と1/72のどちらかが最小値となり、この二つを調べれば十分です。
（1/71.06ですから1/71の方が小さそうなことは感覚的にわかりますね。）

No.30940 - 2015/03/06(Fri) 14:37:38

☆ Re: / もい

回答ありがとうございます。
もし、
5050x+(1/x)={√(5050x)-√(1/x)}^2+2√5050のところを
5050x+(1/x)={√(5050x)＋√(1/x)}^2-2√5050
としてしまったら
{√(5050x)＋√(1/x)}^2>0となるので、
5050x＋(1/x)が一番小さくなりそうな値が絞れないので
差になるように工夫したほうがいいということでしょうか？
よろしくお願いします。

No.30943 - 2015/03/06(Fri) 23:16:06

☆ Re: / らすかる

相加相乗平均の証明方法の一つである
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab から
a^2+b^2=(a-b)^2+2ab≧2ab … (1) なので
a^2+b^2≧2ab　（等号はa=bのとき）
a^2=A＞0, b^2=B＞0とすれば
A+B≧2√(AB)　（等号はA=Bのとき）
の途中式(1)に当てはめただけで、特に工夫したわけではありません。
相加相乗平均の式では「等号はA=Bのとき」だけしかわからず、
「√Aと√Bが近いほどA+Bが小さい」ことは含まれていませんので、
相加相乗平均の式ではなく証明の途中式を使ったものです。

No.30945 - 2015/03/07(Sat) 01:19:23

☆ Re: / もい

ありがとうございます。
1≦x≦100より
5050≦5050x≦505000、1/100≦(1/x)≦1のとき
5050x＋(1/x)≧2√｛(5050x)・(1/x)｝・・・?@
=2√(5050)
=√20200
≒√(2・10^6)
≒√2・1000
≒1,4・1000
=1400
相加相乗平均の式を直接用いるとこんな感じになってしまうのですが、相加相乗平均の式は、
教科書等には
a>0 b>0のとき
a＋b≧2√ab(等号成立はa=b)・・・?Aとのってますよね。
?Aはa,bはすべての正の実数で成り立つということだと思いますが、?@は範囲が限られてるのでこういう場合は使えないと考えていいでしょうか？
しつこくてごめんなさい。よろしくお願いします。

No.30946 - 2015/03/07(Sat) 04:15:02

☆ Re: / らすかる

> ?@は範囲が限られてるのでこういう場合は使えないと考えていいでしょうか？
「範囲が限られているから使えない」のではありません。
相加相乗平均では「5050x=1/xのときに等号が成り立つ」ことしか言えないからです。
5050x,1/xとも正の実数ですから、相加相乗平均を使うこと自体は問題ありません。
つまり「x=1/(5√202)のときは等号が成り立つ」ことだけはわかりますが、
x=1/(5√202)という値をとらないため、相加相乗平均を使っても意味がありません。

No.30948 - 2015/03/07(Sat) 10:03:45

☆ Re: / ぜみ

分かりやすい回答ありがとうございました。

No.30954 - 2015/03/08(Sun) 04:27:03

☆ Re: / ぜみ

２変数を使う方法もあったんですね。
分かりやすい回答ありがとうございました

No.30955 - 2015/03/08(Sun) 04:28:16

★ (No Subject) / もい

S(n)=|n-1|＋|n-2|＋・・・＋|n-100|(nは整数)の最小値とそのときのnの値を求めよ。
?@僕の回答
a[k]=|n-k|(1≦k≦100)とする。
(i)n<1のとき
a[k]の絶対値の中身はすべて負になるので
a[k]=|n-k|=k-n
よってS(n)=Σ(k=1~100)(k-n)=-100n＋5050
(ii)n>100のとき、
a[k]の絶対値の中身はすべて正になるので
a[k]=|n-k|=n-k
よってS(n)=Σ(k=1~100)(n-k)=100n-5050
(iii)1≦n≦100のとき
絶対値の中身が正から負になる境目を調べる。
たとえばn=3の場合、
a[1]、a[2]、a[3]の絶対値の中身は正で、a[4]～a[100]は絶対値の中身が負になる。つまり、1≦k≦nのとき
|n-k|=n-k　n＋1≦k≦100のとき|n-k|=k-n
よってS(n)=Σ(k=1~n)(n-k)＋Σ(k=n＋1~100)(k-n)
=n^2-101n＋5050
(i)(ii)(iii)より
S(n)は折れ線のグラフ。
(中略)
したがってS(n)を最小とするnの値はn=50,51
となりました。
答え自体は正解だったのですが、実は最初の方針が間違っていたのでかなり時間がかかってしまいました。

?A最初の方針
(i)(ii)は?@と同じです。
(iii)1≦n≦100のとき
a[1]、a[2]、a[3]、・・・、a[m]、a[m＋1]、・・・、a[100]
a[1]～a[m]までの絶対値の中身が正で、a[m＋1]～a[100]までの絶対値の中身が負となるような絶対値の中身の正負の境目となる隣接する項a[m]、a[m＋1]があるとする。
a[k]=|n-k|=n-k(1≦k≦m)、k-n(m＋1≦k≦100)
Σ(k=1~m)(n-k)＋Σ(k=ｍ＋1~100)(k-n)
=(2m-100)n-m^2-m＋5050
となってしまい、ここからどうすればよいかわからなくなってしまいました。
?@のようにnとkだけで表せるものを、mを用いてしまったためこのようになってしまいました。?Aのやり方ではこの問題は解けないのでしょうか？またどうしたらこういうミスを防げるのかアドバイスよろしくお願いします。

No.30935 - 2015/03/05(Thu) 18:29:18

☆ Re: / IT

結局　m=n なのでは？

No.30937 - 2015/03/05(Thu) 23:29:30

★ (No Subject) / あと一週間

ｎ個の実数a1,a2、・・・anに対して
（Σ[k=1～ｎ]ak)^2≦ｎΣ[k=1～ｎ]ak^2
が成立することを示せ。また等号が成立するための
a1,a2・・・anについての必要十分条件を求めよ。

どなたか分かる方解答を教えてください。

No.30930 - 2015/03/04(Wed) 10:36:52

☆ Re: / X

(i)n=1のときに問題の不等式は成立。
(ii)n≧2のとき
まずn=2,3の場合で試行をしてみると
nΣ[k=1～n]a[k]^2-(Σ[k=1～n]a[k])^2=Σ[1≦k＜l≦n](a[k]-a[l])^2 (A)
が成立するのでは、という予想がつきます。
そこで(A)であることを示します。
nΣ[k=1～n]a[k]^2-(Σ[k=1～n]a[k])^2=(n-1)Σ[k=1～n]a[k]^2-Σ[1≦k＜l≦n]2a[k]a[l] (B)
ここで
Σ[1≦k＜l≦n](a[k]-a[l])^2=Σ[1≦k＜l≦n](a[k]^2+a[l]^2)-Σ[1≦k≦n,1≦l≦n,k＜l]2a[k]a[l]
∴(n-1)Σ[k=1～n]a[k]^2=Σ[1≦k＜l≦n](a[k]^2+a[l]^2) (C)
を数学的帰納法で示します。
(I)n=2のとき
(C)は成立。
(II)n=mのとき(C)の成立を仮定します。
つまり
(m-1)Σ[k=1～m]a[k]^2=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2) (D)
このとき
mΣ[k=1～m+1]a[k]^2=(m-1)Σ[k=1～m+1]a[k]^2+Σ[k=1～m+1]a[k]^2
=(m-1)Σ[k=1～m]a[k]^2+(m-1)a[m+1]^2+Σ[k=1～m+1]a[k]^2
=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2)+ma[m+1]^2+Σ[k=1～m]a[k]^2 (E)
一方
Σ[1≦k＜l≦m+1](a[k]^2+a[l]^2)=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2)+Σ[k=1～m](a[k]^2+a[m+1]^2)
=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2)+Σ[k=1～m](a[k]^2+a[m+1]^2)
=Σ[1≦k＜l≦m](a[k]^2+a[l]^2)+ma[m+1]^2+Σ[k=1～m]a[k]^2 (F)
(E)(F)によりn=m+1のときも(D)は成立。
以上から(A)は成立するので問題の不等式は成立します。
(等号成立はa[1]=a[2]=…=a[n]のとき)

No.30931 - 2015/03/04(Wed) 12:08:01

★ 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

次の条件を満たすような実数aで最大のものを求めよ
ーπ/2≦ｘ≦π/2の範囲の全てのｘに対して
cosx≦1-ax^2・・?@
が成り立つ

?@を変形して
a≦(１－cosx)/x^2
で右辺の最小値がとりうるaの最大値である、として
右辺の最小値を求めようにも微分してsin,cosが消えてくれないので最小値が求まりません。どういった解答になるのでしょうか？どなたか教えてください。

No.30906 - 2015/03/03(Tue) 11:04:57

☆ Re: 解けなかった問題 / X

f(x)=(1-cosx)/x^2
と置くと
f'(x)={(x^2)sinx+2x(cosx-1)}/x^4
=(xsinx+2cosx-2)/x^3
ここでf(x)が偶関数であることから
0＜x≦π/2 (A)
におけるf'(x)の符号を考えます。
g(x)=xsinx+2cosx-2
と置くと
g'(x)=xcosx-sinx
g"(x)=-xsinx＜0
よってg'(x)は単調減少であり、更に
lim[x→+0]g'(x)=0
∴g'(x)＜0
となるのでg(x)も単調減少。
これと
lim[x→+0]g(x)=0
により
g(x)＜0
よって(A)において
f'(x)＜0
つまりf(x)は単調減少となります。
よって
-π/2≦x＜0,0＜x≦π/2
におけるf(x)の最小値は
f(π/2)=f(-π/2)=4/π^2
x=0のとき(1)はaの値によらず
成立しますので、求めるaは
a=4/π^2
となります。

No.30909 - 2015/03/03(Tue) 12:25:06

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

Xさんへ
　a=1/2 だとｘ=π/2のとき　cosx≦1-ax^2 の左辺は0、右辺は負になり不適だと思います。

ｘ=π/2で　cosx≦1-ax^2　でないといけないので　a≦4/(π^2)　が必要条件です。

あとはa＝4/(π^2)が条件を満たすことを確認します。
f(x)=cosx-(1-ax^2)とおいて
f'(x)=-sinx+2ax の正負からf(x)の増減をしらべます。

No.30911 - 2015/03/03(Tue) 20:54:41

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

ーπ/2≦ｘ≦π/2の範囲の全てのｘに対して
cosx≧1-ax^2・・?@
が成り立つ実数aで最小のもの

という問題だと aの最小値は1/2になると思います。

No.30912 - 2015/03/03(Tue) 21:24:11

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

Xさんの方法でf'の計算がちがっているようです

f'(x)=(xsinx+2cosx-2)/x^3
分子を微分　xcosx-sinx
もういちど微分　-xsinx
でf'(x)の正負、f(x)の増減が分かります。＃補記＃

No.30913 - 2015/03/03(Tue) 21:46:15

☆ Re: 解けなかった問題 / X

>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>喉を痛めている人さんへ
ごめんなさい。ITさんのご指摘通り、f'(x)の
計算を間違えていました。
只、修正されたf'(x)では符号の判定は困難です。
ITさんの方針をお勧めします。

No.30914 - 2015/03/03(Tue) 21:53:54

☆ Re: 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

ありがとうございます、疑問点は多々ありますが、
まず根本的に、私が書いた記事の
『a≦(１－cosx)/x^2
で右辺の最小値がとりうるaの最大値である』自体が間違っているという事なのでしょうか？間違っているとしたらなぜダメなのでしょうか？

よろしくおねがいします

No.30916 - 2015/03/03(Tue) 22:01:44

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

それで出来ると思います。No.30913　のとおりです。

No.30919 - 2015/03/03(Tue) 22:19:52

☆ Re: 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

ありがとうございます、私の目指した方針自体は間違っていないのですね。ただ、３０９１３の記事が何をやっているのかわかりません。分子の微分だけでf'の増減が分かるということなのでしょうか？

よろしくおねがいします

No.30922 - 2015/03/03(Tue) 22:29:42

☆ Re: 解けなかった問題 / X

>>喉を痛めている人さんへ
ごめんなさい、f'(x)の分子の微分での符号判定が
うまく行かないと勘違いをしていました。
No.30909をf'(x)の分子の符号を判定する方針
(といってもITさんのNo.30913の方針と同じですが)
で修正しましたので再度ご覧ください。

No.30923 - 2015/03/03(Tue) 22:37:48

☆ Re: 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

ありがとうございます、３０９０９，３０９１３ともに理解できました。

お二方、丁寧な解答ありがとうございます。

次に３０９１１の記事のやり方で、
f'(x)=-sinx+2ax の正負からf(x)の増減をしらべる方法がよくわかりません。
f'(x)=-sinx+8x/π^2の-π/2≦ｘ≦π/2の増減が一定にさだまらないのですが。。

No.30925 - 2015/03/03(Tue) 23:22:48

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

> f'(x)=-sinx+8x/π^2の-π/2≦ｘ≦π/2の増減が一定にさだまらないのですが。。
f'(x)の増減は分からなくても正負が分かればいいです。

y=sinxのグラフと直線y=8x/π^2の上下関係を調べればいいです。
２つとも原点をとおり
x=0ではy=sinxの接線は傾き１,y=8x/π^2はそれより傾きが小さいです。
x=π/2　ではsinx＝１で　8x/π^2=4/π＞1です。
またy=sinxは0≦x≦πで上に凸

No.30926 - 2015/03/03(Tue) 23:34:56

☆ Re: 解けなかった問題 / 喉を痛めている人

2点不明確な点で交わりますが、問題には影響しないようですね。増減表を書いて極大値f(0)=0より常にｆ（ｘ）≦０が成り立ちたしかにa=４/π＾２は※をみたす。よって十分性は示されたので求めるaの値はa=４/π＾２といったところですかね？

No.30929 - 2015/03/04(Wed) 10:31:35

☆ Re: 解けなかった問題 / IT

そうですね。

f'(x)=-sinx+2ax をもう一度微分する方法もありますね

No.30934 - 2015/03/04(Wed) 18:10:26

★ 数列 / もい

初項から第10項までの和が3 第11項から第30項までの和が18の等比数列がある。
(1)公比をrとするときr^10の値を求めなさい
r=1なのかr≠1なのかの確認を行うと
r≠1であることがわかったので、この条件のもとで
等比数列の和の公式を用いて初項aから第n項までの和をS[n]とすると
S[10]＝a(r^10-1)/(r-1)=3・・・?@
S[30]=a(r^30-1)/(r-1)=21・・・?A
?Aにおいて
a(r^10-1)｛(r^20)＋r^10＋1}/(r-1)=21・・・?B
?Bに?@を代入すると
(r^10)^2＋r^10-6=0
r^10=pとすると
p^2＋p-6=0
(p＋3)(p-2)=0
p=-3,2
つまりr^10=-3,2
となったのですが
答えはr^10=2でした。
rが実数であればr^10も実数で、r^10=(r^5)^2>0となりr^10=2に限られると思うのですが、r^10=-3だと公比rが虚数になりますが、
rの条件について問題には何も書いていないので
r^10=-3でもおかしくないのではと思ったのですが、
どうしてr^10=-3はだめなのでしょうか。
教えてください。

No.30900 - 2015/03/03(Tue) 04:35:39

☆ Re: 数列 / ヨッシー

一般には r^10＝-3 となる複素数ｒに対し、初項を
　(3/4)(1－r)
にすれば、上の条件を満たす数列は作れます。

手元に教科書がないので、なんとも言えませんが、例えば、
等比数列の単元の最初の方で、公比を実数に限るような
ことわりがあれば、この問題自体に記述がなくても、虚数はダメです。

>どうしてr^10=-3はだめなのでしょうか。
のポイントはそこしかありません。

No.30902 - 2015/03/03(Tue) 09:41:14

☆ Re: 数列 / もい

ありがとうございます。
まだ少しわからないところがあるので質問させてください。
r^10=-3となる公比rに対して初項が(3/4)(1－r)になるというのはどうすれば導出できるのでしょうか？
また、この問題は、問題集の問題の一つでことわりに関する記述はありませんでした。
この問題集のこの問題に限らず、実数などの明確な記述がなくても、虚数は考えないという暗黙の了解のような問題がいくつかあったのですが、これは常識のようなものなのでしょうか？よくわからないのでお願いします。

No.30904 - 2015/03/03(Tue) 10:11:23

☆ Re: 数列 / ヨッシー

暗黙の了解のことについては、やはり教科書を見ないと何とも言えません。
例えば、４と６の最小公倍数は？と聞かれたとき、１２と答えるのが
一般的で０を考えないのは暗黙の了解のようになっていますが、
実は教科書に「今後０は考えない」と書いてあります。
これと同じようなことが、公比についてもある可能性はあります。

さて、質問の方ですが、
　初項をａ、公比をｒとすると、初項から第１０項までの和は
　a(1+r+r^2＋・・・＋r^9)＝３
となり、初項は
　a＝3/(1+r+r^2＋・・・＋r^9)
で求められます。一方、
　(1-r)(1+r+r^2＋・・・＋r^9)＝1－r^10
を利用するために、分子分母に1-r を掛けると、
　a＝3(1-r)/(1-r^10)
r^10＝-3 なので、
　a＝(3/4)(1-r)
となります。
これは、等比数列の和の公式からも求めることが出来ます。

No.30905 - 2015/03/03(Tue) 10:26:11

☆ Re: 数列 / もい

回答ありがとうございます。
最後に、rについては条件が分からないのでこれは問題がよくないと思っていいのでしょうか。
お願いします。

No.30907 - 2015/03/03(Tue) 12:04:45