ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 回転体 / Kaori-chan

画像と通りの問題です。

一応,といてみたのですが正しいか見ていただけないでしょうか・

(1) π∫[0..1](√x+3-(x^2+3))^2dx
(2) π∫[0..3](√3-x^3)^2dx,
(3) については回転軸がy軸になるようにx+y=3,2x+y=6を平行移動すると
x=-y+3-π,x=-y/2+6-π. そこで0≦y≦3と3≦y≦6との2つの部分に分けて求めると
π∫[0..3](-y/2+6-π-(-y+3-π))^2dy+π∫[3..6](π-(-y+3-π))^2dy.

(5) π∫[0..1](-2x+6-4x^2)^2dx,
(6) π∫[0..4](√(4-x)+1)^2dx-∫[3..4](-√(4-x)+1)^2dx-π∫[0..3](-x+3)^2dx
第一項で全体を求めてそれから第2項(火山の火口部分)を差し引いて,第三項で円錐部分を差し引く。

(7) x=y^2,y=x^2を平行移動してy=x^2+1,y=√x+1して,x軸を回転すればいいから.
π∫[0..1](√x+1-(x^2+1))^2dx

(8) (-2)^2π・4-1^2・π・1-π∫[1..4](-√x)^2dx

No.31185 - 2015/04/08(Wed) 11:19:20

☆ Re: 回転体 / X

(1)
立式に問題はありません。

(2)
間違えています。
領域を囲む曲線の一方は
y=√3
ではなくて
y=√x
です。
当然積分範囲も違ってきます。

(3)
回転させる直線の位置関係を間違えています。
回転軸に関して
x+y=3
は
2x+y=6
より上側にあります。

(4)
これは
底面が辺の長さaの正方形で高さがhである正四角錐の
体積が
(a^2)h/3
となることを示せ。
という問題です。

(5)
積分範囲を間違えています。問題の直線と
曲線の交点のx座標を計算し直しましょう。

(6)(7)(8)
立式に問題はありません。

No.31187 - 2015/04/08(Wed) 13:58:23

☆ Re: 回転体 / ヨッシー

(1) は２乗と３乗を取り違えています。
また、引いて２乗、ではなく２乗したもの同士で引く、です。
半径２の円盤から、半径１の円盤を繰り抜いた面積は
　π(2-1)^2＝π
ではなく
　π(2^2－1^2)＝３π
ですよね、という話です。
(2) も同様の間違いの可能性があります。

No.31189 - 2015/04/08(Wed) 14:08:59

☆ Re: 回転体 / X

>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>Kaori-chanさんへ
ごめんなさい。(1)(2)については、ヨッシーさんの
仰るとおり立式の仕方が誤っています。
又、(2)についてはNo.31187で述べたとおり、曲線の
方程式の認識にも誤りがあります。

No.31191 - 2015/04/08(Wed) 17:20:47

☆ Re: 回転体 / Kaori-chan

大変有難うございます。

(1)はπ∫[0..1](√x+3)^2-(x^3+3)^2dx.
(2)はπ∫[0..1](x^3)^2-(√x)^2dx
(3)はπ∫[0..3](-y+3-π)^2-(-y/2+6-π)^2dy+π∫[3..6](-π)^2-(-y/2+6-π)^2dy
(4)は∫[0..h](ax)^2dxを計算して見せればいいのですね。
(5)y=4x^2,2x^2+y=6の交点は2x+4x^2=6⇒2x^2+x-3=0⇒(2x+3)(x-1)=0だから,x=1,-3/2ですよね?
π∫[0..1](-2x+6)^2-(4x)^2dx
でいいのですね?

No.31194 - 2015/04/09(Thu) 04:28:12

☆ Re: 回転体 / X

(1)(3)はそれで問題ありません。

(2)
領域を囲む曲線の位置関係が逆になってしまっています。
グラフを描いて確かめましょう。

(4)
被積分関数を間違えています。
問題の正四角錐と相似な高さxの正四角錐の
底面の正方形の辺の長さは
ax/h
です。

(5)
＞＞y=4x^2,2x^2+y=6の交点は
が
y=4x^2,2x+y=6の交点は
のミスであることを除けば、交点のx座標の計算は
問題ありません。
しかし、それに伴った積分範囲の下端の修正が
されていません。

後、細かいことですが必要な括弧はきちんとつけましょう。
例えば(1)は
＞＞π∫[0..1](√x+3)^2-(x^3+3)^2dx
ではなくて
π∫[0..1]{(√x+3)^2-(x^3+3)^2}dx
です。

No.31201 - 2015/04/09(Thu) 12:47:46

☆ Re: 回転体 / Kaori-chan

どうも有難うございます。
ようやく解決できました＼(^o^)／

No.31204 - 2015/04/11(Sat) 07:15:50

★ (No Subject) / さくら

いつもお世話になってます‼︎

画像の問題の(2)(3)が解説を読んでも理解できなくて…
多分全体を通して何の問題かよく理解できてないんだろうと思います(*_*)

No.31175 - 2015/04/07(Tue) 19:13:42

☆ Re: / さくら

無理やりくっつけたから見にくくてすみません

No.31178 - 2015/04/07(Tue) 19:16:29

☆ Re: / さくら

上の解説2枚の矢印をつけた部分がちんぷんかんぷんです
どなたか、どういうことか教えてくださいm(._.)m
(2)の方を詳しく教えてもらえると嬉しいです

No.31179 - 2015/04/07(Tue) 19:18:21

☆ Re: / X

(2)
t＞2 (A)
により
{t+√(t^2-4)}/2＞0
t^2-(√(t^2-4))^2=4＞0
∴t^2＞(√(t^2-4))^2
これと(A)により
t＞√(t^2-4)
∴{t-√(t^2-4)}/2＞0
更に(A)より
√(t^2-4)≠0
に注意すると
{t+√(t^2-4)}/2,{t-√(t^2-4)}/2
は異なる正の数であることが分かります。

(3)
(2)の結果から、(A)においてtの値一つに対して
xの値が一つ対応していることが分かります。
従って、問題の方程式をtの方程式と見たときの
(A)における解1つに対して、解xは2つ対応する
ことになります。

No.31180 - 2015/04/07(Tue) 20:11:56

☆ Re: / さくら

遅れてすみません
Xさんありがとうございました‼︎
ようやく理解出来て本当にスッキリしました！

でも、解き直してどーしてもしっくりこない部分があったのでもう一つだけ質問させて下さいorz
解答(2)(?A)ではなぜt＝2^x+2^(-x)の式に2^xをかける(かけることを思いつく)のしょうか??

No.31192 - 2015/04/08(Wed) 22:39:28

☆ Re: / X

2^x=uと置いてみましょう。

No.31193 - 2015/04/08(Wed) 23:13:32

☆ Re: / さくら

あぁ2^xについての二次関数として解くって考えれば良かったんですね‼︎
いろいろとありがとうございました

No.31202 - 2015/04/09(Thu) 19:10:14

★ (No Subject) / アヤト

lim(n→∞)Σ(k=1→n)(a+k/n){1+k/√(n^2+1)}が収束するときのaの値を求めよ

No.31166 - 2015/04/05(Sun) 14:49:05

☆ Re: / アヤト

奈良県立医大の問題です！

No.31167 - 2015/04/05(Sun) 23:16:37

☆ Re: / X

Σ(k=1→n)(a+k/n){1+k/√(n^2+1)}=Σ(k=1→n)[(k^2)/{n√(n^2+1)}+{1/n+a/√(n^2+1)}k+a]
=(1/6)n(n+1)(2n+1)/{n√(n^2+1)}+{1/n+a/√(n^2+1)}・(1/2)n(n+1)+an
=(n+1)(2n+1)/{6√(n^2+1)}+{1+an/√(n^2+1)}・(1/2)(n+1)+an
=(n+1)((3a+2)n+1)/{6√(n^2+1)}+(1/2)((2a+1)n+1)
=[(n+1){(3a+2)n+1}+3{(2a+1)n+1}√(n^2+1)]/{6√(n^2+1)}
=[(1+1/n){(3a+2)n+1}+3{(2a+1)n+1}√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[n{(3a+2)+(2a+1)√(1+1/n^2)}+3a+3+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)} (A)
よって題意を満たすためには
lim[n→∞]{(3a+2)+(2a+1)√(1+1/n^2)}=0
が必要となります。
これより
(3a+2)+(2a+1)=0
∴a=-3/5
逆にこのとき
(A)=[n{1/5-(1/5)√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[-(n/5)(1/n^2){1+√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[-{1/(5n)}{1+√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
→(6/5+3)/6=7/10 (n→∞)
となり、収束します。

No.31168 - 2015/04/06(Mon) 17:32:53

★ 極値、数列 / ふぇるまー

お世話になっております。
質問です。
問?@　関数f(x)=x^3+ax^2-6x+bはx=2のとき極小となり、x=cのとき極大値2をとる。このとき定数a,b,cろ極小値を求めよ。
問?A第50項が2013,第500項が213である等差数列の初項から第n項までの和をSnとするときSn=?
また、Snが最大となるn=?

問?B 関数f(x)=x^3+ax^2-a^2xの極小値が-5であるとき、定数a=?(ただし、a>0)

以上です。出来ればお早い御教授願います。<m(__)m>

No.31159 - 2015/04/04(Sat) 18:13:08

☆ Re: 極値、数列 / ふぇるまー

間違えました。問?@で　……このとき定数a,b,cと極小値を求めよ。

です。

No.31160 - 2015/04/04(Sat) 18:14:31

☆ Re: 極値、数列 / X

投稿する前にパスワードを設定しておけば、この掲示板の
最下部で記事Noとパスワードを入力することで、記事の
修正ができますよ。

問1
条件から
f(c)=c^3+ac^2-6c+b=2 (A)
又
f'(x)=3x^2+2ax-6
でxの方程式f'(x)=0の解がx=c,2となりますので
解と係数の関係から
c+2=-2a/3 (B)
2c=-6/3 (C)
(A)(B)(C)を連立して解きa,b,cの値を求めます。
但し、得られたa,b,cの値に対し
f(2)＜f(c)
となっていることを最後に確かめましょう。

問2
前半)
問題の等差数列の一般項をa[n]、初項をa、公差をdとすると
a[50]=a+49d=2013 (A)
a[500]=a+499d=213 (B)
(A)(B)を連立して解いてa,dを求めると
a[n]=a+(n-1)d=…
∴S[n]=Σ[k=1～n]a[k]=…
後半)
前半の過程により、a[n]がnに関して単調減少
になっていることから
求めるnは
a[n]≧0 (C)
を満たす最大のnになります。
ということで(C)をnの不等式と見て解きます。

問3)
f'(x)=3x^2+2ax-a^2=(3x-a)(x+a)
∴f'(x)=0の解はx=a/3,-a
f(x)の極小値が-5であることと
a＞0 (A)
であることから
f(a/3)=(a/3)^3+a(a/3)^2-(a^2)(a/3)=-5 (B)
(A)に注意して(B)をaについての方程式と見て解きます。

No.31162 - 2015/04/04(Sat) 19:28:33

☆ Re: 極値、数列 / ふぇるまー

ありがとうございます。修正の仕方も初めて知りました。またおねがいします。

No.31163 - 2015/04/04(Sat) 21:39:39

★ 入試問題の証明 / ｹｲﾁｬﾝ

(3)の問題なんですけど、なぜこの解答になるのか証明したいんです。どうか、回答よろしくお願いします。

No.31152 - 2015/04/04(Sat) 00:31:34

☆ Re: 入試問題の証明 / ヨッシー

図のような表を作ります。
また、同じボタンを２回押すと、何も押さないのと同じなので、
押す回数は最大１回とします。
ＡとＢに差を付けられるのはボタンＣかボタンＤなので、
　ＣとＤはどちらかのみ押す。
ＢとＣがともに奇数なので、
　ＢとＣは同じ回数
同様に
Ｅ，Ｆの偶奇より　ＥとＦはどちらかのみ
Ｄ，Ｅの偶奇　および、Ｂ，Ｃが同数であることより　ＦとＧはどちらかのみ
これより(B,C,D,E,F,G) の押すパターンとしては（押すボタンを１、押さないボタンを０で表す）
　(1,1,0,1,0,1),(1,1,0,0,1,0),(0,0,1,1,0,1),(0,0,1,0,1,0)
の４通りが考えられ、それぞれ

　
このようになります。
ここからさらにＡを押しても、与えられた状態にならないので、
与えられた状態になるのは、
　Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｇ
を押したときとなります。

No.31153 - 2015/04/04(Sat) 01:18:31

☆ Re: 入試問題の証明 / ヨッシー

さらに
　ＦとＧの偶奇より　ＤとＥはどちらかのみ
を利用すれば
　(1,1,0,1,0,1),(0,0,1,0,1,0)
まで絞れます。

No.31154 - 2015/04/04(Sat) 02:04:47

★ 変わった平方完成 / ロック

x＾４−2x＾３+1を（二次式の二乗＋１次関数）となるように変形すると，
(x＾2−x−12)＾2−x+3/4

らしいですがどうやったらこの変形を思いつくのでしょうか、
←方向は展開すれば「確かに」と納得できますが→方向の平方完成の仕方が分かりません。

No.31149 - 2015/04/03(Fri) 23:53:40

☆ Re: 変わった平方完成 / IT

まちがっていませんか？

No.31150 - 2015/04/04(Sat) 00:21:05

☆ Re: 変わった平方完成 / IT

(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(2b+a^2)x^2+2abx+b^2なので
2a=-2,2b+a^2=0より,a=-1,b=-1/2 と求めていけばいいです。

No.31151 - 2015/04/04(Sat) 00:22:54

☆ Re: 変わった平方完成 / ロック

(x＾2−x−1/2)＾2−x+3/4の間違いでした。申し訳ありません

そして大方理解できました、ありがとうございます。

しかしその平方完成したものとは別の他の項は必ず一次関数になるのでしょうか？

よろしくおねがいします

No.31170 - 2015/04/07(Tue) 00:57:54

☆ Re: 変わった平方完成 / ヨッシー

（二次式の二乗＋１次関数）と「なるように」変形するので
必ず一次関数になります。

No.31171 - 2015/04/07(Tue) 08:02:40

☆ Re: 変わった平方完成 / ロック

どうやら全く理解できていなかったようです
(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(2b+a^2)x^2+2abx+b^2なので
2a=-2,2b+a^2=0より,a=-1,b=-1/2 と求めていけばいいとのことですが、なぜｘ＾３とｘ＾２の係数比較にしたのですか？
ｘの係数と定数項の係数比較だと違うa,bの値が出てしまいます。2ab=0かつｂ＾２＝１という風に。

No.31181 - 2015/04/07(Tue) 21:50:16

☆ Re: 変わった平方完成 / ヨッシー

この問題は、、
　(x^2＋ax＋b)^2＋cx＋d＝x^4－2ｘ^3＋1
となるように、a,b,c,d を決める問題と見ることが出来ます。
まず、(x^2＋ax＋b)^2 で、３次の項の係数が－２、２次の項の係数が０　となるように調整して、
１次の項と定数項は cx＋d の部分で調整するという手順です。

(x^2＋ax＋b)^2 の a と b に課せられた使命は、
３次の項と２次の項を合わせることです。
なぜなら、１次の項と定数項は cx＋d の部分で、いくらでも調整できますし、
そもそも a, b ２つの文字で、３つ以上の項（３次と２次と１次など）は
調整しきれないのです。
また、a と b で、３次の項と２次の項を合わせることが出来ないと、
二次式の二乗＋１次関数　ではなく　二次式の二乗＋二次関数　や
二次式の二乗＋三次関数　になってしまいます。

No.31183 - 2015/04/08(Wed) 06:42:04

★ 関数の増減 / ゆう

「f(x)=(1/4)x^4-x^3+3ax+bについて、f(x)が一つだけ極値を持つ条件を求めよ。」という問いの解説が、「f'(x)=0の符号変化が１回あるものを選べばよい。よって、a≦0、4/3≦aとなる。」と書いてあって、～選べばよい。というところまでは分かったのですが、それの求め方がわかりません。三次関数の判別式を使うのでしょうか？答えまでの解説をもう少し詳しく教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いいたします。

No.31141 - 2015/04/03(Fri) 17:41:23

☆ Re: 関数の増減 / IT

まずf'(x)を求める
y=f'(x)のグラフを考えると
f'(x)の符号変化が１回だけ
　⇔（f'(x)は極大値・極小値を持たない）または(f'(x)の極大値≦0)または(f'(x)の極小値≧0)
ですから

f''(x)を計算してf'(x)の極大値、f'(x)の極小値を求めればいいと思います。

＃「f'(x)=0の符号変化」というのは変ですね。　

No.31142 - 2015/04/03(Fri) 18:38:23

★ 数学?Tの関数の作成 / 高1

線が引いてあるところの(x-2)はどうやったら出てくるんですか？そしてAM=…というのはどうやったら出てくるんですか？また、PC=x-4とはどうやったら出てくるんですか？
最後にグラフですが、一番左のグラフはどうやって頂点を決めているんですか？
質問が多くて申し訳ないですが、回答よろしくお願いします。

No.31138 - 2015/04/03(Fri) 15:51:59

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー

x=2.5 のとき、点Ｐはどの位置にあって、BPの長さはいくらですか?
x=3 のとき、x=3.5 のとき、と考えると x-2 になる理由が分かります。
ＰＣ=x-4 も同様です。

ＡＭは△ＡＢＭについての三平方の定理から求めます。

左のグラフというのは y=x^2 のグラフのことでしょうか？
逆に、他の2つのグラフの頂点の求め方は分かるのでしょうか？

No.31139 - 2015/04/03(Fri) 16:10:09

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1

X-2、x-4の件は分かりました。
AM はABを2、BMを1で計算するんですか？
あと、グラフはy=x^2のことです。
残りの２つは分かりました。

No.31140 - 2015/04/03(Fri) 17:01:42

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1

AM の求め方は分かったので、y=x^2の求め方を教えてください。

No.31143 - 2015/04/03(Fri) 18:51:31

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー

y=x^2 の求め方ではなくて、y=x^2 の頂点の求め方ですよね？
で、他の2つのグラフの頂点の求め方は分かるのでしょうか？

No.31145 - 2015/04/03(Fri) 21:57:13

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1

そうですね。すみません。頂点の求め方です。それ以外はわかります。

No.31147 - 2015/04/03(Fri) 22:20:02

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー

では、それと同じようにやって下さい、という回答になるのですが、
他の２つをどのようにやったか、書いてみてください。
　ｙ＝ｘ^2
だけ、別のやり方をするわけではありませんので。

No.31148 - 2015/04/03(Fri) 22:32:08

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1

Y=(x-3)^2+3は頂点が(3、3)
Y=(x-6)^2はy=(x-6)^2+0となるから、頂点が(6、0)という感じで考えたんですが、y=x^2はy=(x-3)^2+3のような形になってないので、いまいち分かりません。

No.31156 - 2015/04/04(Sat) 13:35:18

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 歌声喫茶

y=(x-6)^2をy=(x-6)^2+0とする発想があるのなら、
y=x^2をy=(x-0)^2+0とする発想も自然では。

#「回りくどい」と考えるかはさておいて。

No.31161 - 2015/04/04(Sat) 19:09:29

☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高校1年

分かりました。ありがとうございました。

No.31165 - 2015/04/04(Sat) 22:15:54

★ (No Subject) / アカシロトモ

確率漸化式の問題です。全くわかりません。よろしく、お願いします。
(問題）
次のようなルールのゲームを行う
1　硬貨を投げて表が出れば（確率2/3）1円獲得,
裏が出れば（確率1/3）1円支払う
2　目標額（c円）到達か、所持金ゼロになればゲーム終了　
3　最初の所持金n円からスタートして、所持金ゼロでゲームを終了する確率をPn(n=0,1,2,3,・・・,c)とする。したがってP0＝1、Pc＝0
　(1) Pn+1(n=1,2,3,・・・,c-1)をPn とPn-1 を用いて表せ
（2）Pnを求めよ　

No.31133 - 2015/04/02(Thu) 17:49:04

☆ Re: / ヨッシー

(1)
Ｐ[0]＝1, Ｐ[c]＝0 は書いてある通りで、それ以外のｎのとき
ｎ円の状態から、
2/3 の確率で n+1円になり、その先、所持金０になる確率はＰ[n+1]です。
1/3 の確率で n-1円になり、その先、所持金０になる確率はＰ[n-1]です。
よって、
　Ｐ[n]＝(2/3)Ｐ[n+1]＋(1/3)Ｐ[n-1]
変形して
　Ｐ[n+1]＝(3/2)Ｐ[n]－(1/2)Ｐ[n-1]

(2)
　Ｐ[n+1]＝(3/2)Ｐ[n]－(1/2)Ｐ[n-1]
を変形して
　Ｐ[n+1]－Ｐ[n]＝(1/2)(Ｐ[n]－Ｐ[n-1])・・・(i)
　Ｐ[n+1]－(1/2)Ｐ[n]＝Ｐ[n]－(1/2)Ｐ[n-1]　・・・(ii)
(i) より
　Ｐ[c]－Ｐ[c-1]＝(1/2)^(c-1)(Ｐ[1]－Ｐ[0])・・・(i)’
　Ｐ[c]－(1/2)Ｐ[c-1]＝Ｐ[1]－(1/2)Ｐ[0]　・・・(ii)'
これらに、Ｐ[0]＝1, Ｐ[c]＝0 を代入して
　－Ｐ[c-1]＝(1/2)^(c-1)(Ｐ[1]－1)・・・(i)”
　－(1/2)Ｐ[c-1]＝Ｐ[1]－(1/2)　・・・(ii)”
これを解いて、
　Ｐ[c-1]＝1/(2^c－1)
　Ｐ[1]＝{2^(c-1)－1}/(2^c－1)

(i) より
　Ｐ[n]－Ｐ[n-1]＝(1/2)^(n-1)・(Ｐ[1]－Ｐ[0])＝Q[n]
とおくと
　Ｐ[n]＝Ｐ[0]＋Σ[k=1～n]Q[n]
　　　＝1＋{2－1/2^(n-1)}(Ｐ[1]－Ｐ[0])
　　　＝1＋{2－1/2^(n-1)}{2^(c-1)－2^c}/(2^c－1)

ちょっと詰めが甘いかも。

No.31134 - 2015/04/02(Thu) 19:56:10

☆ Re: / アカシロトモ

ヨッシーさん

早速投稿いただきありがとうございます。
今からじっくり読ませていただきます。

No.31135 - 2015/04/02(Thu) 20:25:37

★ 割り算 / さとし高2

一応自力で解けたのですが、別解に書いてあることがわかりません。

No.31128 - 2015/04/02(Thu) 16:32:33

☆ Re: 割り算 / さとし高2

最初の3行について説明していただけると助かります。

No.31129 - 2015/04/02(Thu) 16:33:29

☆ Re: 割り算 / ヨッシー

条件より
　f(x)＝s(x)(2x^2＋x－1)＋2x＋1
　f(x)＝t(x)(x^2－2x＋1)＋4x－5
これを因数分解した形で書くと
　f(x)＝s(x)(2x－1)(x＋1)＋2x＋1　・・・(1)
　f(x)＝t(x)(x－1)^2＋4x－5　　　・・・(2)
であり、
　2x^3－x^2－2x＋1＝(x＋1)(x－1)(2x－1)
であるので、
　f(x)＝g(x)(x＋1)(x－1)(2x－1)＋h(x)　(h(x) は、２次以下の整式)
と書けたとする時、h(x) から (2x－1)(x＋1) をくくりだすと、(1) と
同等の式になることに気づき
　h(x)＝a(2x－1)(x＋1)＋j(x)　　(j(x) は１次以下の整式)
とおくと、
　f(x)＝g(x)(x＋1)(x－1)(2x－1)＋a(2x－1)(x＋1)＋j(x)
　　＝{g(x)(x－1)＋a}(2x－1)(x＋1)＋j(x)
となり、(1) と比較すると、j(x)＝2x＋1 となります。

No.31130 - 2015/04/02(Thu) 16:47:39

☆ Re: 割り算 / さとし高2

ありがとうございます。

No.31131 - 2015/04/02(Thu) 16:56:24

★ 平面上の５、7点 / sakana

自分で考えておきながら、完全に解けきれていない問題があります。

（問）「nを4以上の整数とする.平面上のちょうどn個の点からなる集合Sであって,以下の条件を満たすものが存在するようなnを全て求めよ.

<条件>Sの任意の異なる2元A,Bに対して,あるSの異なる2元C,D(ただしA,Bとは異なる)が存在して,AB⊥CDが成り立つ.」

n=4,6,およびn≧8のときは正(n-1)角形の頂点とその外接円の中心が条件を満たすことまでは分かりましたが、n=5,7のときは条件を満たすSが存在するのか、しないのならばそれをどう示せばいいのかが分かりません。
どなたかお分かりになる方がいらっしゃいましたらご教授ください。

No.31126 - 2015/04/02(Thu) 09:09:59

☆ Re: 平面上の５、7点 / らすかる

n=5のときは
正三角形ABCと重心DとABの中点Eの
5点A,B,C,D,Eが条件を満たします。

n=7のときは、
正五角形ABCDEと重心F、そして直線ABと直線CDの交点Gの
7点A,B,C,D,E,F,Gが条件を満たします。

No.31137 - 2015/04/03(Fri) 04:34:18

★ 小学生の問題 / boom

(1) 0.2より大きく、12/13より小さい分数のうち、分母が9の分数で、約分できないものは何個か。

(2) 分母と分子の和が72で、約分すると2/7になる分数の分子に当てはまる数を求めよ。

(3) 分母が64の分数がある。
1より小さくて約分のできない分数は何個か。

(4) (3)の分数の中で、分子が5の倍数である分数の和を求めよ。

長々と申し訳ありません。
よろしくお願いします！

No.31124 - 2015/04/01(Wed) 21:27:59

☆ Re: 小学生の問題 / ヨッシー

(1)
0.2＝1.8/9, 12/13＝(108/13)/9≒8.3/9
よって、条件を満たす分数の分子は
　２以上８以下
このうち、約分できないのは、３，６以外の５個

(2)
2/7 の分子分母の和は９。
分子分母を２倍した4/14の分子分母の和は１８。
和が７２になるには、分子分母を８倍して16/56
分子は１６。

(3)
１より小さい分数の分子は１から６３までで、
　６４＝２×２×２×２×２×２
であるので、偶数は必ず約分でき、奇数は必ず約分できない。
よって、個数は３２個（偶数は３１個）

(4)
分子が５の倍数の奇数であるので、
　５＋１５＋２５＋３５＋４５＋５５
　＝(５＋５５)＋(１５＋４５)＋(２５＋３５)
　＝６０×３＝１８０
180/64＝45/16＝2と13/16

No.31125 - 2015/04/01(Wed) 22:12:06

☆ Re: 小学生の問題 / boom

ありがとうございます！

助かりました！

No.31132 - 2015/04/02(Thu) 17:27:33

★ (No Subject) / あいか

この問題がわかりません。
分かるかた教えてください
よろしくお願いします

No.31120 - 2015/04/01(Wed) 19:03:40

☆ Re: / ヨッシー

図のように、△ＡＭＣを移動してＢＭとＣＭが重なるようにすると、
四角形ＡＢＭＣと同じ面積の△ＡＭＡ’が出来ます。

四角形ＡＢＭＣ＝△ＡＢＣ＋△ＢＭＣ
であり、
△ＡＭＡ’＝(1/2)ＡＭ・Ａ’Ｍsin∠ＡＭＡ’
△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsin∠ＢＡＣ
△ＢＭＣ＝(1/2)ＢＭ・ＣＭsin∠ＢＭＣ
および、
　ＢＭ＝ＣＭ
　ＡＭ＝Ａ’Ｍ
　∠ＡＭＡ’＝∠ＢＭＣ＝π－∠ＡＢＣ
　→　sin∠ＡＭＡ’＝sin∠ＢＭＣ＝sin∠ＡＢＣ≠０
より、
　ＡＢ・ＡＣsin∠ＢＡＣ＋ＢＭ・ＣＭsin∠ＢＭＣ＝ＡＭ・Ａ’Ｍsin∠ＡＭＡ’
両辺　sin∠ＡＭＡ’＝sin∠ＢＭＣ＝sin∠ＡＢＣ≠０　で割って、
　ＡＢ・ＡＣ＋ＢＭ^2＝ＡＭ^2
が得られます。

No.31121 - 2015/04/01(Wed) 19:52:34

☆ Re: / ヨッシー

以前の記事から、どうやら高校入学前のようですので、
三角関数が使えないということで、無理矢理ですが、
以下のように考えます。
（これを知っておくと、三角関数(sin など)が出て来たとき、有利です）

図のように、△ＡＭＡ’、△ＢＭＣ、△ＡＢＣを並べます。
●で示した角は全て等しく、また、●の角を含む直角三角形を考え、
斜辺を１、図の縦方向の辺をｓとします。
（●が鈍角の場合も、同様の図が書けますし、●が直角の場合は、
このような考え方をしなくても、ＡＭ^2＝ＡＢ・ＡＣ＋ＢＭ^2 が導けます）

　△ＡＭＡ’＝(1/2)Ａ’Ｍ・ＡＥ
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＣＦ
　△ＢＭＣ＝(1/2)ＢＭ・ＣＤ
これに、
　ＡＥ＝ｓＡＭ
　ＣＦ＝ｓＡＣ
　ＣＤ＝ｓＣＭ
を代入すると
　△ＡＭＡ’＝(s/2)Ａ’Ｍ・ＡＭ
　△ＡＢＣ＝(s/2)ＡＢ・ＡＣ
　△ＢＭＣ＝(s/2)ＢＭ・ＣＭ
より、
　△ＡＭＡ’＝△ＡＢＣ＋△ＢＭＣ　および、Ａ’Ｍ＝ＡＭ
から、
　ＡＭ^2＝ＡＢ・ＡＣ＋ＢＭ^2
が得られます。

No.31123 - 2015/04/01(Wed) 20:30:38

☆ Re: / のぼりん

別解です。

ＡＭとＢＣの交点を、Ｄとします。
　　　∠ＡＣＤ＝ＡＭＢ、　∠ＣＢＭ＝∠ＣＡＭ＝∠ＭＡＢ
だから、
　　　△ＡＣＤ∽△ＡＭＢ∽△ＢＭＤ
です。
　　　ＡＭ：ＡＢ＝ＡＣ：ＡＤ、　ＡＭ：ＭＢ＝ＢＭ：ＭＤ
だから、
　　　ＡＭ^２＝ＡＭ×ＡＤ＋ＡＭ×ＤＭ＝ＡＢ×ＡＣ＋ＢＭ^２
です。

No.31155 - 2015/04/04(Sat) 11:15:51

★ 二次関数 / あいか

はじめまして
この問題の(2)から先が分かりません
解答も解説もないのですが、分かるかたがいらっしゃれば教えてください。よろしくお願いします

No.31116 - 2015/04/01(Wed) 16:43:34

☆ Re: 二次関数 / あいか

問題が横になっていたので撮りなおしました

No.31117 - 2015/04/01(Wed) 16:49:47

☆ Re: 二次関数 / X

(2)
条件から
P(t,t^2)
((1-√17)/2≦t≦0 (A))
と置くことができるので
Q(-t,t^2)
S(t,t+4)
R(-t,t+4)
ここで直線(2)と直線SQは垂直ので、少なくとも
t≠0
(図でt=0の場合を考えてみましょう)
よって直線SQの傾きは
(t^2-t-4)/(-t-t)=(t^2-t-4)/(-2t)
よって直線(2)と直線SQの傾きについて
(t^2-t-4)/(-2t)・1=-1
これより
(t-4)(t+1)=0
(A)より
t=-1
後はこれにより点P,Q,R,Sの座標を定めて
長方形PQRSの面積を計算します。

(3)
(2)の仮定のようにtを置き、
R(X,Y)
と置くと
X=-t (B)
Y=t+4 (C)
(B)(C)よりtを消去すると
Y=-X+4
よって点Rは直線
y=-x+4 (D)
(0≦x≦(-1+√17)/2)
の上に存在することが分かります。
この条件に沿って線分BRを動かすと問題の
面積を求める図形は
点B((1+√17)/2,(9+√17)/2),点(0,4),点((-1+√17)/2,(9-√17)/2)
を結んでできる三角形の周及び内部
となります。
で、この面積ですが分かりにくいので
点C(0,4),点D((-1+√17)/2,(9-√17)/2)
というようにすると、まず
直線(2),(D)の傾きの積が-1であることから
(2)の問題文中にあるように
直線(2),(D)は垂直
ですので
BC⊥CD
よって求める面積は
(1/2)BC・CD
後は辺BC,CDの長さを計算します。
(条件から
直線(2),(D)とx軸となす角が45°
となっていることを使えば、いくらか
簡単に計算できます。)

No.31118 - 2015/04/01(Wed) 17:26:08

☆ Re: 二次関数 / あいか

丁寧な解説ありがとうございます
質問なのですが、(2)の途中に
(t-4)(t+1)=0
とあるのですが、どうしてこうなるのですか？

No.31119 - 2015/04/01(Wed) 17:49:44

☆ Re: 二次関数 / X

(t^2-t-4)/(-2t)・1=-1
の両辺に-2tをかけて
t^2-t-4=2t
移項して
t^2-3t-4=0
左辺を因数分解すると
(t-4)(t+1)=0
となります。

No.31122 - 2015/04/01(Wed) 20:10:29

☆ Re: 二次関数 / あいか

なるほどです
分かりやすくありがとうございました
とても助かりました

No.31136 - 2015/04/02(Thu) 20:46:14

★ 二次関数 / poem

平面上の点(3,19)を通る放物線がある。
この、放物線をx軸方向に3、y軸方向に3だけ平行移動した放物線は点(1,12)を通る。
移動後の放物線の式は y=2x^2+ax+b である。
aとbを求めよ。

考え方から分かりません...

よろしくお願いします！

No.31106 - 2015/03/30(Mon) 11:16:16

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

移動後の式が　y＝2x^2＋ax＋b と与えられているので、ここから逆にたどると楽だと思います。
つまり、
y＝2x^2＋ax＋b は点(1,12) を通る。
y＝2x^2＋ax＋b をｘ軸方向に－３、ｙ軸方向に－３だけ平行移動した放物線は(3,19) を通る。
と書き換えます。
第１の条件より
　12＝2＋a＋b　よって、　a＋b－10＝0　　・・・(i)
第２の条件より
　(y+3)＝2(x+3)^2＋a(x+3)＋b
　y＝2x^2＋(a+12)x＋(3a＋b＋15)
これが (3,19) を通ることより
　19＝18＋3(a+12)＋(3a＋b＋15)
　6a＋b＋50＝0　　　・・・(ii)
(i)(ii) を解いて、
　a＝-12, b＝22

No.31108 - 2015/03/30(Mon) 11:58:35