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★ 場合の数 / mono25 高1
104でどういう考え方から重複順列を使うのでしょうか？
宜しくお願いいたします。
No.30440 - 2015/01/25(Sun) 23:55:17
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
特に重複順列という言葉は知らなくても、以下のように考えれば計算できます。
７人の子どもをＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ とすると、
　Ａに渡すのは赤、青、黄の３通り
　Ｂに渡すのは赤、青、黄の３通り
　　・・・
　Ｇに渡すのは赤、青、黄の３通り
で、赤、青、黄７本ずつあるので、どの組み合わせも実現可能です。
よって、
　３^7＝2187（通り）　・・・ア

２色以下の色だけを配る方法は
　３×2^7＝384
この中に赤のみ、、青のみ、黄のみ１色だけを配った場合が
１通りずつ、計３通り含まれるので、
すべての色を少なくとも１本は配る配り方は
　2187−(384−3)＝1806（通り）　・・・イ
No.30446 - 2015/01/26(Mon) 09:00:00
★ (No Subject) / 理系のたまご

mojaacuさん2015/1/2416:44:24
複素数平面上において、三角形の頂点O,A,Bを表す複素数をそれぞれ０、α、βとする時、
（１）線分OAの垂直２等分線上を表す複素数Zはα（バー）Z+αZ（バー）-αα（バー）を満たすことを示せ。
（２）△OABの外心を表す複素数をα、α（バー）、β、β（バー）を用いて表せ。
（３）△OABの外心を表す複素数がα+βとなる時のβ/αの値を求めよ。

α（バー）は
−
α
です読みづらくてすみません。


複素数なかなか強敵です・・・
No.30434 - 2015/01/25(Sun) 19:38:27
☆ Re: / ヨッシー
(1)
「満たす」という言い方をするときは、等式とか不等式であるはずですが、
この場合、「満たす」ものは何ですか？
No.30436 - 2015/01/25(Sun) 20:51:02
☆ Re: / ヨッシー
α(バー)をα~ と書くことにします。

(1)
おそらく
　α~ｚ+αｚ~-αα~＝０
であると予測します。

ＯＡの垂直二等分線上の点をＺ(z) とします。
　ＯＺ＝ＡＺ
より
　ｚｚ~＝(α−ｚ)(α~−ｚ~)
　　　＝αα~−α~ｚ−αｚ~＋ｚｚ~
よって、
　α~ｚ+αｚ~-αα~＝０

(2)
同様に
　β~ｚ+βｚ~-ββ~＝０
これらをｚ~ を消してｚだけの式にするように変形すると
　α~βｚ+αβｚ~-αα~β＝０
　αβ~ｚ+αβｚ~-αββ~＝０
引き算して
　(α~β−αβ~)ｚ＝αα~β−αββ~
　ｚ＝(αα~β−αββ~)／(α~β−αβ~)

(3)
　(αα~β−αββ~)／(α~β−αβ~)＝α＋β
　αα~β−αββ~＝(α＋β)(α~β−αβ~)
展開して
　α^2β~＝α~β^2
　β~/α~＝(β/α)^2
β~/α~＝(β/α)~ より
　|β/α|＝１
　２arg(β/α)＝π−arg(β/α)
よって、arg(β/α)＝π／３
以上より
　β/α＝cos(π/3)＋sin(π/3)ｉ
　　　＝1/2＋(√3/2)ｉ　
No.30437 - 2015/01/25(Sun) 22:28:47
☆ Re: / 理系のたまご
かなり近いとこまで辿り着いたのですが。
α＾２/β＾２＝α〜/β〜

α＾３/β＾３＝αα〜/ββ〜
　　　　　　 ＝１

∴α/β＝１、-1/2＋√3/2i、-1/2ー√3/2i

にはならないのでしょうか。
No.30438 - 2015/01/25(Sun) 22:48:19
☆ Re: / ヨッシー
あ、共役複素数の角を間違えてました。
　２arg(β/α)＝−arg(β/α)
　２arg(β/α)＝2π−arg(β/α)
　２arg(β/α)＝4π−arg(β/α)
より、
　arg(β/α)＝0, 2π/3、4π/3
から、
　β/α＝１、-1/2＋√3/2i、-1/2ー√3/2i
が出ます。ただし、
　β/α＝１
は、ＡとＢが同じ点（＝ＯＡＢが三角形にならない)になるので、
除く必要があります。
No.30445 - 2015/01/26(Mon) 06:44:50
★ (No Subject) / くちぱっち
次の定積分の解答と解説お願いします！
∫[上,下]
(1) ∫[1,0](x/√x＋1)dx

(2) ∫[π,0](xsin(x/3))dx
No.30431 - 2015/01/25(Sun) 19:03:23
☆ Re: / くちぱっち
(1) ∫[1,0](x/(√x＋1))dx

(2) ∫[π,0](xsin(x/3))dxですお願いいたします
No.30432 - 2015/01/25(Sun) 19:04:38
☆ Re: / ヨッシー
こちらがもうすぐ解けそうですので、そちらにお任せします。
No.30435 - 2015/01/25(Sun) 19:47:51
★ 体積 / じょん
y=√ｘ　（ｘ≧０）と直線ｙ＝ｘ−２及びｘ軸で囲まれた
図形をｘ軸周りに１回転してできる回転体の体積

この求め方と途中式を教えてください
No.30421 - 2015/01/25(Sun) 00:41:17
☆ Re: 体積 / ヨッシー

求める立体は、図の黄色の部分をｘ軸中心に回転した立体と同じです。

π∫[0〜1](-x+2)^2dx＋π∫[1〜4](√x)^2dx−8π/3
　＝43π/6
No.30422 - 2015/01/25(Sun) 01:04:08
☆ Re: 体積 / じょん
迅速な対応ありがとうございます

ｘ軸と　√ｘとｙ＝ｘ−２で囲まれたところのみ
だと思ってました
それだとダメなんですか？

ｙ軸とｙ＝√ｘとｙ＝ーｘ＋２で囲まれたところも
黄色くなってますがなぜですか？
No.30424 - 2015/01/25(Sun) 10:27:37
☆ Re: 体積 / ヨッシー
すみません。間違いです。

こちらの図の通りで、
　π∫[0〜4](√x)^2dx−8π/3＝16π/3
でした。
No.30428 - 2015/01/25(Sun) 17:00:35
★ 微分 / kit高3
点Pから次の曲線に引いた接線の方程式を求めよ。

y=√x , P(-2 , 0)

解)（√2/4)x+√2/2

√xの微分がよくわかりません。
途中式どうかよろしくお願いします。
No.30411 - 2015/01/24(Sat) 18:44:13
☆ Re: 微分 / ヨッシー
√x＝ｘ^(1/2) なので、微分公式
　(x^n)’＝nx^(n-1)
が使えます。
　(√x)’＝(1/2)ｘ^(-1/2)
です。
No.30414 - 2015/01/24(Sat) 19:00:58
☆ Re: 微分 / kit高3

解答ありがとうございます！！おかげでとくことができました！
No.30415 - 2015/01/24(Sat) 20:56:55
★ 東大08年 / ｎ
白黒二種類のカードがたくさんある。そのうちｋ枚のカードを手元に持っているとき、次の操作A)を考える

A)手持ちのk枚の中から一枚を問う確率１/kで選び出し、それを違う色のカードに取り替える

最初にしろ三枚黒3枚合計6枚のカードを持っているとき操作Aをｎ回繰り返した後に初めて6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

解）白のカード、黒のカードがそれぞれa,b枚の状態を(a,b)と書く事にする。

求める確率は、ｎが三以上の奇数のとき一回後にBになり（B＝(2,4)または(4,2)）二回ごとにB→Bを(n-3)/2回繰り返し、後２回で(0,6)or(6,0)になるときである

とあるのですが(n-3)/2をどうやって算出したのかがわかりません。よろしくおねがいします
No.30396 - 2015/01/24(Sat) 16:25:57
☆ Re: 東大08年 / ヨッシー
例えば、
７回で同じ色になったとすると
１回目にＢになったあと、
３回目、５回目にもＢになり、７回目にゴールです。
Ｂの繰り返しは２回です。

９回で同じ色になったとすると
１回目にＢになったあと、
３回目、５回目、７回目にもＢになり、９回目にゴールです。
Ｂの繰り返しは３回です。

このように考えると、回数と繰り返し数の関係が出てくるでしょう。
No.30399 - 2015/01/24(Sat) 17:00:43
☆ Re: 東大08年 / ｎ
回答ありがとうございます。繰り返すとはそういうことだったのですね。つまりBの出現回数ー１＝Bの繰り返し数

しかしn-3/2とのつながりが正直見えてきません。
No.30405 - 2015/01/24(Sat) 17:34:32
☆ Re: 東大08年 / ヨッシー
そのあとは、式の調整のみです。
　n=5 のとき 繰り返し数 1
　n=7 のとき 繰り返し数 2
　n=9 のとき 繰り返し数 3
　n=11 のとき 繰り返し数 4
となるように、ｎと繰り返し数の関係を表したのが
　繰り返し数＝(n-3)/2
です。
No.30407 - 2015/01/24(Sat) 17:48:27
☆ Re: 東大08年 / ｎ
回答ありがとうございます。
ｎｙ平面のグラフを考えて
ｙ＝{(2-1)/(7-5)}(n-5)+1
=(1/2)(n-5)+1=(1/2)(n-3)
と出ましたが、他に方法はありますでしょうか？

宜しくお願いします
No.30409 - 2015/01/24(Sat) 18:19:13
☆ Re: 東大08年 / ヨッシー
繰り返し数をｙとすると、ｎが２増えるとｙが１増えるので、
傾きが1/2 つまり、ｙ＝(1/2)ｎ＋ｂ　という形の式になるので、
あとは、(5,1) とか (7,2) とか、どれか１つの点を通るように
ｂを調節します。

または、回数は奇数なので、ｎ＝２ｍ−１ とおくと、
　ｙ＝ｍ−２
の関係があるので、これに、ｍ＝(n+1)/2 を代入して、
　ｙ＝(n-3)/2
を得ます。
No.30413 - 2015/01/24(Sat) 18:59:23
★ (No Subject) / 理系のたまご
整式x^n -kは（ｋは定数の実数）、x^2+2x+4で割り切れ、（x-2）^2で割るとαx-384が余るという。この時n,k,αを求めよ。

すみません、友達が持ってきた問題なのですが・・・手が出ませんでした。
No.30394 - 2015/01/24(Sat) 16:17:17
☆ Re: / IT
やってないですが
x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)を使うといいかも知れません。
No.30401 - 2015/01/24(Sat) 17:06:03
☆ Re: / X
既にITさんが的確なヒントを与えて下さっていますが
気づかずに解いてしまったのでアップしておきます。

条件から
剰余の定理により
b^n-k=0 (A)
(但しb^2+2b+4=0 (B))
一方
x^n-k=g(x)(x-2)^2+ax-384 (C)
(g(x)は整式)
と置くことができるので
x=2を代入して
2^n-k=2a-384 (D)
更に(C)の両辺をxで微分して
x=2を代入すると
n・2^(n-1)=a (E)
(A)(B)(D)(E)をn,a,k,bについての
連立方程式と見て解く方向で進めます。
まず(B)より
(b-2)(b^2+2b+4)=0
∴b^3=8 (B)'
一方(A)より
k=b^n (A)'
(B)によりbは実数ではありませんので
(A)'が成立するためには
n=3l(lは自然数) (F)
でなければなりません。
このとき(A)'(B)'より
k=8^l (A)"
(A)"(F)を(D)に代入して
a=192 (D)'
(D)'(F)を(E)に代入して整理すると
l・2^(3l-1)=2^6 (E)'
ここでl＞0において(E)'の左辺が
lの単調増加関数になっている
ことから(E)'を満たすlは
l=2
のみであることが分かります。
よって(A)"(F)にこれを代入することにより
n=6
k=64
となります。
No.30403 - 2015/01/24(Sat) 17:14:46
★ ベクトル / A. A

この問題の⑴⑵は解けたのですが⑶が分かりません。
教えてください。よろしくお願いします。
No.30383 - 2015/01/24(Sat) 12:39:19
☆ Re: ベクトル / X
(3)
↑PH=t↑PD
より
↑OH-↑OP=t(↑OD-↑OP)
↑OH=t↑OD+(1-t)↑OP
∴↑GH=↑OH-↑OG
=t↑OD+(1-t)↑OP-↑OG
となるので↑GHを↑a,↑bで表すと
↑GH=… (A)
一方↑PDをa,↑bで表すと
↑PD=… (B)
更に条件から
↑GH⊥↑PD
∴↑GH・↑PD=0 (C)
(C)に(A)(B)を代入して左辺を展開し
(1)の結果などを用いると…
No.30384 - 2015/01/24(Sat) 13:57:16
☆ Re: ベクトル / A. A
分かりました。
ありがとうございました。
No.30426 - 2015/01/25(Sun) 12:08:58
★ 論理 / じょん
必要十分条件の問題です
実数ｘ　ｙで

-1≦ｘ≦１　　かつ　-1≦ｙ≦１　は
|x|+|y|≦１　であるための「　　　　　」
これはどうやってとくのですか
No.30381 - 2015/01/24(Sat) 10:52:26
☆ Re: 論理 / IT
それぞれをみたす(x,y)の範囲をｘｙ平面に図示して、包含関係を調べるのがわかりやすいと思います。
No.30382 - 2015/01/24(Sat) 11:24:02
☆ Re: 論理 / じょん
ありがとうございます
|x|+|y|≦１の図示は数?Tですか？数?Uですか？
No.30425 - 2015/01/25(Sun) 10:29:02
☆ Re: 論理 / masuta
数?Tでしょうね。
No.30439 - 2015/01/25(Sun) 23:27:06
★ 条件付確率 / ガンツ
5回に一回の割合で帽子を忘れるクセのあるK君が、正月にA,B,C三軒をこの順に年始回りをして家に帰ったとき、帽子を忘れてきた事に気づいた。二番目の家Bに忘れてきた確率を求めよ。

解）（うつします）

A,B,Cで忘れるという事象をA,B,Cとし（例えばBはAの家で忘れずにBで忘れるという事）、三家のうちどこかで忘れるという事象をXとすると、求める確率は
Px(B)=P(XかつB)/P(X)=P(B)/P(X)
ここでP(A)=1/5,P(B)=4/5*1/5,P(C)=4/5*4/5*1/5
とあるのですが

AはB,Cでは忘れないのだからP(A)=1/5＊4/5*4/5
BはA,Cでは忘れないのだからP(B)=4/5*1/5*4/5
などとなるのではないでしょうか？どうしても納得できません。

宜しくお願いします
No.30376 - 2015/01/24(Sat) 08:20:28
☆ Re: 条件付確率 / らすかる
Aで忘れたとき、BやCで忘れない確率は4/5ではありません。
Aで忘れた場合にBやCで忘れることはできませんので、
Aで忘れたときにBやCで忘れない確率は1です。
従ってP(A)=1/5×1×1となります。
P(B)も同様です。
No.30377 - 2015/01/24(Sat) 08:26:26
☆ Re: 条件付確率 / ガンツ
＞Aで忘れたときにBやCで忘れない確率は1です。
とありますが今は忘れる確率を求めています。
BやCで忘れない確率が1ならBやCで忘れる確率は０
従ってP(A)=1/5*0*0=0となってしまいおかしくなるのですが。。
No.30380 - 2015/01/24(Sat) 10:13:25
☆ Re: 条件付確率 / ヨッシー
>P(A)=1/5*0*0=0
それは、Ａでも、Ｂでも、Ｃでも忘れる確率です。
そんなことは起こり得ないので、確率は０です。
No.30392 - 2015/01/24(Sat) 15:43:46
☆ Re: 条件付確率 / ガンツ
ありがとうございます。
この問題を疑問に思った根本的な原因が分かったかもしれません。P(A)=1/5＊4/5*4/5などとできるのはA,B,Cが独立の場合だが本問ではA,B,Cは独立ではないからこのように積の法則を使う事はできない！

P(B)=「（Aで忘れない）*(Bで忘れる）」*(Aで忘れずBで忘れるという条件の下でCが忘れない）
＝（1/5*4/5*1)なのではないでしょうか？

※A,Bは独立⇔P(A)P(B)

※P(aかつB)＝P(a)Pa(B)が積の法則の正体です

の文言を参照

という考えであっていますでしょうか？よろしくおねがいします
No.30404 - 2015/01/24(Sat) 17:20:21
☆ Re: 条件付確率 / ヨッシー
>P(B)＝（1/5*4/5*1)なのではないでしょうか？
起こった順を表現するなら、
　P(B)＝4/5*1/5*1
ですが、それはともかく、Ｃでは忘れ得ないことはわかりきったことなので、書かないのが普通です。

同様に P(A)＝1/5*1*1 とは書きません。

また、この話と、独立の話との関連性が分かりません。
No.30406 - 2015/01/24(Sat) 17:45:05
★ 等比数列 / mono25 高1
和がTnですが、⑴で一般項を求めているのは何故でしょうか？
宜しくお願いします(^^;;
No.30374 - 2015/01/24(Sat) 07:13:18
☆ Re: 等比数列 / X
T[n]は{a[n]}の初項からの和ではなくて
「第n項から第2n-1項までの」和
です。従って
(i)n=1のとき
T[n]は第1項からの第2・1-1項までの和
つまりa[1]に等しくなります。
模範解答ではS[1]に等しくなることを
使っていますが
S[1]=a[1]
ですので同じことです。
(ii)n≧2のとき
{a[n]}の初項から第2n-1項までの和
から不要な項を差し引いてT[n]を
求めます。つまり
T[n]=({a[n]}の初項から第2n-1項までの和)
-({a[n]}の初項から第n-1項までの和)
=S[2n-1]-S[n-1]
=…
No.30378 - 2015/01/24(Sat) 09:56:15
★ シグマの計算 / A. A
計算方法を教えてください。よろしくお願いします。
No.30373 - 2015/01/24(Sat) 05:36:01
☆ Re: シグマの計算 / X
S[n]=Σ[k=1〜n]k(a[k]+3)
と置くと
S[n]=Σ[k=1〜n]5k・2^(k-1) (A)
∴2S[n]=Σ[k=1〜n]5k・2^k
これより
2S[n]=Σ[k=2〜n+1]5(k-1)・2^(k-1) (B)
(k+1を改めてkと置いた)
(A)-(B)より
-S[n]=Σ[k=1〜n]5・2^(k-1)-5n・2^n
∴S[n]=-Σ[k=1〜n]5・2^(k-1)+5n・2^n
=5(1-2^n)/(1-2)+5n・2^n
=5(n+1)・2^n-5
No.30379 - 2015/01/24(Sat) 10:03:19
★ 過去問 / ぽー
ケの部分がこうなるのはどうしてでしょうか。
よろしくお願いします！！
No.30370 - 2015/01/23(Fri) 22:25:17
☆ Re: 過去問 / ぽー
こうなるみたいなのですが…
No.30371 - 2015/01/23(Fri) 22:26:08
☆ Re: 過去問 / IT
f(n),f(n+1),f(n+2),f(n+3)がそれぞれどうなるかは分かりますか？
No.30372 - 2015/01/23(Fri) 23:46:03
☆ Re: 過去問 / ぽー
こうでしょうか？？
No.30387 - 2015/01/24(Sat) 15:20:41
☆ Re: 過去問 / IT
上下ただしく貼り付けられませんか？

α,βは具体的な値を求めることができたのではないですか？
No.30389 - 2015/01/24(Sat) 15:27:00
☆ Re: 過去問 / ぽー
αは-1でβは1/4ですが、代入するときに、n＋2やn＋3乗のnの値によってその式の符号が変わるのかな、と思うのですが普通に代入するのでしょうか。

すみません、何回やってみてもだめだったのですがようやく正しく貼るやり方がわかりました。お手数おかけしてすみません。
No.30393 - 2015/01/24(Sat) 16:11:42
☆ Re: 過去問 / IT
もう一息です。

=(-1)^(n+3)-(-1)^(n+1)-4(-1)^(n+2)+4(-1)^n
ここから(-1)^2=1を使えばいいと思います
No.30397 - 2015/01/24(Sat) 16:48:32
☆ Re: 過去問 / ぽー
すみません、写真の一番下の段は解答に書いてあったものを書いたもので私ができたのは下から2段目までなのですが、どう計算すると最後の行になるのか教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.30410 - 2015/01/24(Sat) 18:24:37
☆ Re: 過去問 / IT
>αは-1でβは1/4ですが、代入するときに、n＋2やn＋3乗のnの値によってその式の符号が変わるのかな、と思うのですが普通に代入するのでしょうか。

はい、それでやって見てください。（いろいろ試してみることも大切です）
No.30412 - 2015/01/24(Sat) 18:49:28
★ 私立過去問 / ゆうり
真ん中の問題について質問があります。

答えは30平方センチメートルです。
解き方が分かりません。 解説をおねがいします。
No.30368 - 2015/01/23(Fri) 20:53:49
☆ Re: 私立過去問 / らすかる
どこの真ん中ですか？
No.30369 - 2015/01/23(Fri) 21:14:25
★ 数A 確率 / じゃがりこ
添付した写真の(2),(3)について質問があります。
No.30359 - 2015/01/23(Fri) 12:25:48
☆ Re: 数A 確率 / じゃがりこ
(2)の二つ目の空欄について
⑴より、1/9✳︎4/9＝4/81だと考えたのですが、答えは25/81でした。
解説をお願いいたします。
No.30360 - 2015/01/23(Fri) 12:32:41
☆ Re: 数A 確率 / ヨッシー
i)Ａが勝ってＢが勝つ確率
　1/9×1＝1/9
ii)Ｂが勝ってＡが勝つ確率
　4/9×4/9＝16/81
両者足して　25/81 です。

i) で、１回目にＡが勝つと、持っている球は
　Ａ(白白白）Ｂ（赤赤赤）となり、２回目にＢの勝つ確率は１００%です。
ii) で、１回目にＢが勝つと、持っている球は
　Ａ（赤赤白）Ｂ（赤白白）となり（以下略）
No.30361 - 2015/01/23(Fri) 13:35:50
☆ Re: 数A 確率 / じゃがりこ
わかりやすく教えてくださってありがとうございました！
⑶なのですが、
Aの勝ち数がBの勝ち数より多くなるのは
?@)引き分け→引き分け→A
?A)A→B→A
の2パターンだと考え、
?@) (1/3✳︎2/3＋2/3✳︎1/3)✳︎4/9✳︎1/9＝16/729
?A) 1/9✳︎1✳︎1/9＝1/81
?@)＋?A)より25/729と出したのですが、答えは41/729でした。解説をお願いいたしますm(__)m
No.30362 - 2015/01/23(Fri) 14:04:41
☆ Re: 数A 確率 / ヨッシー
Ｂ→Ａ→Ａ というパターンが抜けています。
No.30363 - 2015/01/23(Fri) 14:38:20
☆ Re: 数A 確率 / じゃがりこ
わかりました。ありがとうございましたm(__)m
No.30364 - 2015/01/23(Fri) 14:48:02
★ (No Subject) / wataru(大学受験）
添付した問いの118番について質問があります。
No.30355 - 2015/01/23(Fri) 11:47:57
☆ Re: / wataru(大学受験）
自分なりに答案を作成したのですが
論理に自信がありません。
間違っている箇所があれば教えていただけないでしょうか。
No.30356 - 2015/01/23(Fri) 11:52:56
☆ Re: / wataru(大学受験）
これで最後です。
No.30357 - 2015/01/23(Fri) 11:54:01
☆ Re: / IT
b=-(π/2)aの条件下ではlim...=-a ですから、

「このとき」、
「これは題意を満たす。よってa=-2/3,b=π/3」
の記述はなくても良いと思います。
No.30385 - 2015/01/24(Sat) 14:33:18
☆ Re: / wataru(大学受験)
ITさん、回答ありがとうございます。

「このとき」は、今までただの便利なつなぎ言葉だと思っていました。反省します。
どのような場面で「このとき」という言葉を用いれば適切なのでしょうか。教えていただけませんか。

また、ITさんは「これは題意を満たす。よってa=-2/3,b=π/3」
の記述はいらないとおっしゃっていますが、

lim[x→a]f(x)/g(x)=α(αは有限確定値)
かつlim[x→a]g(x)=0⇒lim[x→a]f(x)=0

という議論しているので、得られたa,bの値が本当に正しいのか、与えられた式に代入して確かめないといけないと思います。なのでこの記述は必要なのではないでしょうか。

例を挙げると

√(x+1)=√(2)x⇒x+1=2x^2
で、x+1=2x^2を解くとx=-1/2,1が得られますが
実際に√(x+1)=√(2)xを満たす解はx=1だけです。

よろしけれればその点についても教えていただけませんか。
No.30388 - 2015/01/24(Sat) 15:21:55
☆ Re: / IT
繰り返しになりますが,

b=-(π/2)aの条件下では
　lim[x→π/2][(ax+b)/cosx]=-a ですから
　a=-2/3⇔lim[x→π/2][(ax+b)/cosx]=2/3 です。
No.30390 - 2015/01/24(Sat) 15:33:44
☆ Re: / wataru(大学受験)
それはつまり、十分性の確認（得られたa,bの値が本当に正しいのかの確認）はいらないということですか？
No.30395 - 2015/01/24(Sat) 16:17:27
☆ Re: / IT
十分性も確認されている。ということです。
No.30398 - 2015/01/24(Sat) 16:49:41
☆ Re: / wataru(大学受験)
すみません、言い方を変えます。
答案の最後に
「逆に、a=-2/3、b=π/3のとき与式は成り立つ。」
と書くと蛇足になる、ということですか？
No.30400 - 2015/01/24(Sat) 17:01:46
☆ Re: / IT
>蛇足になる、ということですか？
そう思います。
No.30402 - 2015/01/24(Sat) 17:08:59
☆ Re: / wataru(大学受験)
よろしければもう少し質問にお付き合いいただけますか。
No.30408 - 2015/01/24(Sat) 17:52:16
☆ Re: / wataru(大学受験)
調べていたら以下の(1)のような問題を見つけました。

僕には最初に質問した問題と数字は違いますが中身は同じ問題に見えます。(違っていたらご指摘くださると幸いです）

以下の(1)の解答には最後に逆の確認が示されていますがこれは蛇足となるのでしょうか。
No.30416 - 2015/01/24(Sat) 21:03:58
☆ Re: / IT
同様の問題ですね。
これも蛇足だと思いますが、
「√6a＝bを与式の左辺に代入して、・・・」の論理の流れが
やや不明確なので書かないといけない気がしたのかも知れません。

いったん「・・√6a＝bが必要、このとき（この条件のもとで）・・・」などと記述すれば、最後の「逆に・・・与式は成り立つ」は不要(書かない方が良い）と思います.

出典は何ですか？いくつかの問題集（青チャ、チョイス、１対１、標問）を確認したところ
いずれも「逆に・・・」は書いてありませんでした。
No.30417 - 2015/01/24(Sat) 21:35:41
☆ Re: / wataru(大学受験)
FocusGold数学?Vという参考書です。
Z会の通信教育のテキスト、数学?V基礎問題精講にも書いてありました。(一応、画像を貼っておきます。）

長い時間質問に答えていただき、本当にありがとうございました。
No.30418 - 2015/01/24(Sat) 23:15:29
☆ Re: / wataru(大学受験)
Z会の通信教育のテキストです。
No.30419 - 2015/01/24(Sat) 23:21:42
☆ Re: / wataru(大学受験)
数学?V基礎問題精講です。
No.30420 - 2015/01/24(Sat) 23:22:55
☆ Re: / IT
答案全体の流れによると思います。
No.30427 - 2015/01/25(Sun) 12:42:38
☆ Re: / wataru(大学受験)
失礼しました。
数学?V基礎問題精講の解答を貼っておきます。
（z会は貼った画像以外ありませんでした。）
No.30429 - 2015/01/25(Sun) 18:03:37
☆ Re: / wataru(大学受験)
もう一枚です。
No.30430 - 2015/01/25(Sun) 18:05:12
★ (No Subject) / wataru(大学受験）
以下の問いについて質問があります。
No.30353 - 2015/01/23(Fri) 09:43:10
☆ Re: / wataru(大学受験）
解答の青線部分について質問があります。

lim[n→∞](3-a[n])=0から

いきなりlim[n→∞]a[n]=3

とはいえないのではないでしょうか。
（なぜならまだa[n]が収束する事が分かっていないため）

たしかに
a[n+1]=√(1+a[n])からf(x)=1+√(1+x)
として
f(x)とy=xの交点を求めれば
lim[n→∞]a[n]=3である事は予測できますが
添付した解答にはそれがまったく記述されていません。
また、もし記述されていたとしても
あくまで推測なので、a[n]が収束する事を示す根拠には
ならないと思います。
No.30354 - 2015/01/23(Fri) 09:44:10
☆ Re: / IT
> lim[n→∞](3-a[n])=0から
> いきなりlim[n→∞]a[n]=3
> とはいえないのではないでしょうか。
> （なぜならまだa[n]が収束する事が分かっていないため）

これは、証明なしに使っていいと思います。

直観的には明らかですが、極限の場合は直観と違うこともあるので、念のため証明すると、
lim[n→∞]a[n]
=lim[n→∞]{3-(3-a[n])}
=lim[n→∞]3-lim[n→∞](3-a[n])
=3-0
=3
No.30386 - 2015/01/24(Sat) 14:42:08
☆ Re: / wataru(大学受験)
ITさん回答ありがとうございました。
理解することができました。証明、とても分かりやすかったです。
No.30391 - 2015/01/24(Sat) 15:43:04
★ 収束について / 山田
(1)Σ(k=1→n-1)1/k
(2)Σ(k=1→n-1)(-1)^k (1/k)
(3)Σ(k=1→n-1)(-1)^k (1/k)^2

の３つがあるのですが、これらが
・コーシー列になる
・条件収束するが絶対収束しない
・絶対収束する
・n>=1/εなら収束値との誤差がε未満になる
のうちどれに当てはまるか

という問題があるのですが、どのように考えていいかよくわかりません。

どのような手順で収束を調べれば良いのでしょうか？
No.30349 - 2015/01/23(Fri) 02:02:13
★ 歯車について / √
「歯車」について教えてください。

歯の数が異なる歯車を４つ、隙間無く並べました。

歯の数は
２４・３０・９・１６
です。

一番左の歯車を右回りに２回転させると、
一番右の歯車は左回りに何回転するか？

という問題で、答えは３回転です。

解き方を見たら、
２４個の歯が２回転するので、
４８個の歯が動いたことになる。
だから
４８÷１６＝３回転
ということですが、あまりピンとこなかったので、
自分で簡単な歯車を２個、作ってみました。

左側
１８０度の間隔で、歯が２個
右側
９０度の間隔で、歯が４個

この２つの歯車を並べて回転させてみました。
すると、
右側の歯車において、
次の歯は、必ず直前の歯があった位置まで動くようになっていないと、左側の歯車が空回りしてしまうことに気づきました。

歯車というのは、必ず、次の歯は直前の歯の位置まで動くように作られているということでしょうか？
No.30345 - 2015/01/22(Thu) 23:14:28
☆ Re: 歯車について / らすかる
> 歯車というのは、必ず、次の歯は直前の歯の位置まで動くように作られているということでしょうか？
歯車の歯の数は一般にもっと多く、空回りすることはありません。
最低でも空回りしない歯数が必要です。
No.30348 - 2015/01/23(Fri) 00:41:05
☆ Re: 歯車について / √
らすかるさん
有り難うございます。

私も、現実的には、歯車としての意味が成り立つように
作られていると思います。

ただ、算数の問題として、何回転するか？　と
問われた時に、
例えば、
「１回転した」ということは、
「１番目の歯が、一回りして、また同じ位置に来た」と
いうことになります。

本当に正確に、元の位置に来たと言えるのか不思議に
思ってしまいます。

本題の答え、３回転というのは正しいのでしょうか？
No.30358 - 2015/01/23(Fri) 12:06:20
☆ Re: 歯車について / らすかる
何が不思議なのかよくわからないのですが、
もしかして歯の隙間があるから正確に1回転しても多少は滑って
進む歯数はちょっと少ないとかそういうことを言っているのですか？

算数の問題ですから、
「１番目の歯車が２回転した」
＝「１番目の歯車の１番目の歯が２周してまた同じ位置に来た」
＝「歯が４８個進んだ」
＝「２番目の歯車も歯が４８個進んだ」
＝「３番目の歯車も歯が４８個進んだ」
＝「４番目の歯車も歯が４８個進んだ」
＝「４番目の歯車の１番目の歯が３周してまた同じ位置に来た」
＝「４番目の歯車は３回転した」
となります。
従って３回転は正しいです。
No.30365 - 2015/01/23(Fri) 16:10:48
☆ Re: 歯車について / √
らすかるさん

歯車というのは、波のように凹凸が連続していて、
隣同士の歯車は、ピッタリ噛み合っているのが通常なのですね。
だから、
左側の歯車の凸の幅と、
右側の歯車の凹の幅は同じと考えないといけなかったのですね。

私は、歯の幅が短く、歯と歯の間が、やたら長い歯車を
イメージしてしまったので、
「必ず、次の歯は直前の歯の位置まで移動しないと、おかしい」と思ってしまいました。

やっと理解できました。
有り難うございました。
No.30367 - 2015/01/23(Fri) 18:20:58
★ 整数 / hiroko
円に内接する四角形ABCDについて、AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,∠ABC=θとし、その面積をS,四角形ABCDの周の長さをlとする。

問１（１）で次の２式を導かせて、
　　　　　S=(1/2)(ab+cd)sinθ・・・（A)
　　　　　a^2+b^2-c^2-d^2=2(ab+cd)cosθ・・・（B)

　 （２）で（A)（B)式から16S^2=(l-2a)(l-2b)(l-2c)(l-2d)
　　　　 を導かせています。

問２　四角形の４辺の長さa,b,c,dがa<b<c<dを満たす自然数とするとき、S=42ならば、(a,b,c,d)の組は何通りありますか。そのうちlが最小となる組ではdの値はいくつですか。ちなみに、答えは３通り、ｄ＝12です。
　　問２の解き方をお願いします。
No.30341 - 2015/01/22(Thu) 21:01:15
☆ Re: 整数 / ヨッシー
Ｓ＝４２ のとき
　16S^2＝2^6×3^2×7^2
これを４つの約数
　Ｐ＝l-2a, Ｑ＝l-2b, Ｒ＝l-2c, Ｓ＝l-2d
に分解したとします。
　Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＋Ｓ＝2l
より、
　ａ＝(-P+Q+R+S)/4, ｂ＝(P-Q+R+S)/4,
　ｃ＝(P+Q-S+R)/4,　ｄ＝(P+Q+R-S)/4
から、
　-P+Q+R+S, P-Q+R+S, P+Q-R+S, P+Q+R-S
は４の倍数。P,Q,R,S のうち少なくとも１つは偶数であり、
仮にＰが偶数だとすると、
　P+Q+R+S＝(-P+Q+R+S)＋2P
より、P+Q+R+S は４の倍数。同時に
　２Ｑ＝(P+Q+R+S)−(P-Q+R+S)　・・・４の倍数どうしの引き算
より、Ｑは偶数、同様に、Ｒ，Ｓも偶数。

16S^2＝2^6・3^2・7^2 に含まれる６つの２を
Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ に最低１つずつは分配しないといけない。
残り２つの２を、例えばＰに２つとも与えると
　Ｐ・・・４の倍数
　Ｑ、Ｒ、Ｓ・・・２×(奇数)
より
　Ｑ＋Ｒ＋Ｓ・・・２×(奇数)
となり、Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＋Ｓ が４の倍数にならない
よって、６つの２は、２個、２個、１個、１個 と分配される

一方、３，３，７，７ を、４，４，２，２ に適当に掛けて、
ことなる４つの数（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）を作ることにします。
(1,1,1,441)･･･同じ数が2つできるので不可
(1,1,3,147)･･･最小の辺が負となり不可
(1,1,7,63)･･･ 同上
(1,1,9,49)･･･ 同上
(1,1,21,21)･･･同上
(1,3,3,49)･･･同上
(1,3,7,21)･･･同上
(1,7,7,9)→(36,28,14,2)→ l=40, a=2, b=6, c=13, d=19 OK
(1,7,7,9)→(28,18,14,4)→ l=32, a=2, b=7, c=9, d=14 OK
(3,3,7,7)→(28,14,12,6)→ l=30, a=1, b=8, c=9, d=12 OK
以上より、３通り、ｌが最小のとき、ｄ＝１２
No.30343 - 2015/01/22(Thu) 22:21:10
☆ Re: 整数 / hiroko
ありがとうございました。
No.30366 - 2015/01/23(Fri) 18:19:18
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