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★ (No Subject) / エセプト
画像の問題の(1)を解いて見たのですがあっていますか
No.31218 - 2015/04/15(Wed) 11:27:28
☆ Re: / エセプト
解答です
No.31219 - 2015/04/15(Wed) 11:28:21
☆ Re: / X
6行目までの計算で正解です。
7行目以降の計算は蛇足な上に計算を
誤っています。
No.31220 - 2015/04/15(Wed) 13:27:48
☆ Re: / エセプト
e^-|x|と絶対値なのでxが+の場合と-の場合で考えなくてもいいのですか
No.31221 - 2015/04/15(Wed) 14:19:44
☆ Re: / X
ごめんなさい。被積分関数が
e^(-|x|)
のみであれば偶関数ですので、積分範囲の対称性から
x≧0の場合のみを考えればよいのですが、この問題では
そうはなっていませんね。
ご指摘の通り、xの符号による場合分けが必要になり

F(p)=∫[-∞→0]e^{(1-ip)x}dx+∫[0→∞]e^{(-1-ip)x}dx
=…
となります。
No.31223 - 2015/04/15(Wed) 15:04:13
☆ Re: / エセプト
そのように計算すればいいのですね
理解できました、ありがとうございます
No.31224 - 2015/04/15(Wed) 15:32:42
★ (No Subject) / ぽー
面積１の△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ上に１点Ｐをとり、Ｐを通り辺ＢＣに平行な直線と辺ＡＣの交点をＱとする。さらに、線分ＰＱの中点に関してＡと対称な点をＲとする。点ＰがＡＢ上を動くとき、△ＡＢＣと△ＰＱＲの共通部分の面積Ｓの最大値を求めよ。

答えは、１／３　になるようなのですが、途中が、まったくわかりません。すみませんが、解説をお願いいたします・・
No.31213 - 2015/04/13(Mon) 16:09:02
☆ Re: / ヨッシー

ＡＰ＝ｓＡＢ　(０＜ｓ＜１）　とおきます。
ｓ≦1/2 の時は、Ｓ＝△ＰＱＲ＝△ＰＱＡ＝s^2△ＡＢＣ
なので、最大は s=1/2 の時の 1/4

ｓ＞1/2 のとき
△ＰＱＲ の内部で、△ＡＢＣからはみ出す部分の面積は
　(2s-1)^2△ＡＢＣ
であるので、
　Ｓ＝△ＰＱＲ−(2s-1)^2△ＡＢＣ
　　＝{s^2−(2s-1)^2}△ＡＢＣ
　　＝−3s^2＋4s−1
　　＝−3(s−2/3)^2＋1/3
より、ｓ＝3/2 のとき　Ｓの最大値 1/3
1/3＞1/4 より、Ｓの最大値は1/3
No.31214 - 2015/04/13(Mon) 16:22:53
☆ Re: / ぽー
早々の返信、ありがとうございます。
こういうのを使うのは初めてだったので、どう書いていいか
分からず書いてしまいました。

三角形の面積を求めるところは、ＡＰ＝ｓＡＢと置いたことで、相似比がｓ：１になり、面積比がｓ＾２：１になるというりかいでいいのですかね？
No.31215 - 2015/04/13(Mon) 16:34:29
☆ Re: / ヨッシー
そういうことです。

ＲがＢＣを突き抜けるときの比率も、同様に
はみ出ている部分の比が、△ＡＢＣに対して、
2s-1：１ なので、面積比は(2s-1)^2：１ になります。
No.31216 - 2015/04/13(Mon) 17:06:55
☆ Re: / ぽー
なるほど、納得です。
こんなところで、相似比が出てくるなんて・・・。
意外な展開で驚きました。
ありがとうございました。また、何かの機会には、よろしくお願いいたします。
No.31217 - 2015/04/13(Mon) 17:11:07
★ 整数 / ふぇるまー
問?@和が406で最小公倍数が2660であるような2つの正の整数をA,Bとする。A,Bの最大公約数Gを求めよ。さらに、A,Bを求めよ。

問?A25m+17n=1623を満たす正の整数の組(m,n)を一つ求めよ。

以上です、ご教授願います。高校3年生となりました。今年度も宜しくお願い申し上げます。
No.31209 - 2015/04/11(Sat) 20:30:34
☆ Re: 整数 / ヨッシー
問１
Ａ＝ＣＧ, Ｂ＝ＤＧ （Ｃ，Ｄは自然数）とおいたとき
ＣとＤは互いに素で
　Ｇ(Ｃ＋Ｄ)＝406
　ＣＤＧ＝2660
ここで、Ｃ＋ＤとＣＤが１以外の公約素因数 a を持つとすると
Ｃ＝ma または Ｄ＝na であり、Ｃ＝ma のとき
　Ｃ＋Ｄ＝pa＝ma＋(p-m)a
となり、ＣとＤが互いに素であることに矛盾します。
Ｄ＝na の場合も同様です。
よって、Ｇは、2660と406 の最大公約数となります。

2660＝2^2×5×7×19
406＝2×7×29
より、Ｇ＝2×7＝14
このとき、Ａ＝ＣＧ, Ｂ＝ＤＧ　とおくと、
　Ｃ＋Ｄ＝29, ＣＤ＝190
よって、Ｃ、Ｄは10と19 となり、Ａ，Ｂは 140と266

問２
25m＋17n＝1623
1623＝25×64＋23
　　＝25×64＋17＋6
　　＝25×63＋17＋6＋17＋8
６に８を何回足したら17の倍数になるかを考えると
　34÷8＝4・・・2
　102÷8＝12・・・6
より１２回足したら良いことが分かり
1623＝25×52＋17×19　(52,19)
これで解答としては十分ですが、あとはm を17減らして n を25 増やしていくと
　(35, 44), (18, 69), (1, 94)
も答えであると分かります。　
No.31211 - 2015/04/11(Sat) 23:20:08
☆ Re: 整数 / ふぇるまー
ﾖｯｼｰ様、有難うございます。またお願いします。
No.31212 - 2015/04/12(Sun) 11:41:10
★ 等式を満たす整数の組 / sakana
お願いがあります。

1以上90以下の整数の組(a,b,c,d)であって,a<bかつc<dかつa<cかつ
sin a°sin b°=sin c°sin d°を満たすようなものを、(コンピュータを用いても構わないので)全て教えてください。

私は今のところ手計算で5個見つけましたが、他にもあるような気がしてなりません。

お手数をかけますが、宜しくお願い致します。
No.31203 - 2015/04/11(Sat) 06:49:39
☆ Re: 等式を満たす整数の組 / ヨッシー
(a,b,c,d)＝
(1,89,2,30),(2,88,4,30),(3,87,6,30),(4,86,8,30),(5,85,10,30),
(6,54,12,24),(6,84,12,30),(7,83,14,30),(8,82,16,30),(9,81,12,48),
(9,81,18,30),(10,80,20,30),(11,79,22,30),(12,48,18,30),(12,78,24,30),
(12,84,18,42),(13,77,26,30),(14,76,28,30),(15,75,18,54),(16,74,30,32),
(17,73,30,34),(18,72,30,36),(18,78,24,48),(19,71,30,38),(20,70,30,40),
(21,69,30,42),(22,68,30,44),(23,67,30,46),(24,66,30,48),(24,84,27,63),
(24,84,30,54),(25,65,30,50),(26,64,30,52),(27,63,30,54),(28,62,30,56),
(29,61,30,58),(30,62,31,59),(30,64,32,58),(30,66,33,57),(30,68,34,56),
(30,70,35,55),(30,72,36,54),(30,74,37,53),(30,76,38,52),(30,78,39,51),
(30,80,40,50),(30,82,41,49),(30,84,42,48),(30,86,43,47),(30,88,44,46),
(48,84,54,66)
の５１組が見つかりました。

多くは
　sinθcosθ＝(1/2)sin(2θ)
から得られる
　sinθsin(90°−θ)＝sin30°sin(2θ)
に当てはまります。
No.31206 - 2015/04/11(Sat) 07:32:37
☆ Re: 等式を満たす整数の組 / sakana
ヨッシーさん、ありがとうございます。

どれも30でないものは全部で7組なんですね。
うち3組は正五角形を考察することで自分でも求められました。
残りの4組も同様の考察で求められそうな感じなので、考えてみることにします。
No.31207 - 2015/04/11(Sat) 08:23:41
☆ Re: 等式を満たす整数の組 / らすかる
「30が含まれているもの」がすべて
sinθsin(90°-θ)=sin30°sin2θ
に当てはまるわけではありません。
(12,48,18,30)
(24,84,30,54)
の二つは上の式に当てはまりませんのでご注意下さい。
（残りの42個は当てはまります。）
No.31208 - 2015/04/11(Sat) 08:40:01
★ 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / sakana
5×5のマス目の各マスを、以下の条件を満たすように白色か黒色に塗り分けることは可能なのでしょうか？

条件：2×2のマス目からなる部分のうち、どの相異なる2つ(重なっていても構わない)に対しても、それらの塗り分けられた色のパターンは異なる。

長いこと条件を満たす塗り分け方を探しているのですが、見つかりません。そのような塗り分け方は存在しないのかもしれませんが、その証明もできません。

どなたかお分かりになる方がいらっしゃいましたら、ご教授ください。
No.31195 - 2015/04/09(Thu) 09:06:19
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / らすかる
例えば
□□□□■
□□■□■
■■■■□
■□■■□
□□□□■

回転と裏返しと白黒反転を同一視して、全部で50通りありました。
以下がその全50通りです。（色を0,1で表しています。）

00001 00011 00101 00101 00010 00010 00101 00010 00110 00110
00101 00101 00001 00111 01001 01100 01000 10011 10011 10111
11110 11100 11010 11010 11110 11110 11110 01101 00110 01100
10110 11010 11110 11000 00110 00101 11001 11100 00110 00100
00001 00011 00101 00101 00100 00100 01001 10001 11001 11001

00001 00010 00101 00001 00011 00010 00101 00010 00110 00010
00101 00110 00001 01001 01010 01100 01001 10011 10011 11010
11110 11001 11010 11110 11100 11110 11000 01111 01100 10111
11010 11101 11110 10110 01100 01001 11110 10100 01100 00011
00001 01000 01001 00001 00011 01000 00101 10001 11001 00100

00001 00010 00101 00001 00011 00010 00101 00011 00110 00101
00111 00110 00011 01001 01011 01101 01001 10011 10011 11011
10110 11011 11010 11110 11100 11001 11000 11100 10011 11000
11010 10011 11100 11010 10100 11100 11110 10101 00110 01100
00001 01000 00101 00001 00011 00100 01001 00011 11001 01001

00010 00101 00110 00010 00001 00011 00010 00001 00100 00101
00100 00001 00001 01001 01101 01101 10001 10111 10111 11110
10111 10110 11011 11001 11110 11100 10111 11010 01011 10110
01110 11110 11010 11110 10010 10010 11011 11001 11000 00001
00010 00101 01100 00100 00001 00011 00010 00001 10001 01001

00010 00101 00100 00010 00010 00011 00010 00101 00110 00101
00101 00001 00110 01001 01100 01111 10011 10011 10111 11110
11100 10110 11101 11001 01110 10100 01100 11100 00010 11010
01110 11110 01100 11110 11001 10010 11101 01100 00110 00001
01000 01001 10001 01000 01000 00011 01000 01001 11001 01001
No.31196 - 2015/04/09(Thu) 10:11:32
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / ヨッシー
私は全て区別して 800 通りと出たのですが、
線対称、点対称、90°回転で一致がないことを考慮すると、
回転４通り、裏返し２通り、白黒反転２通り　で、
　50×4×2×2＝800
なのでらすかるさんの回答と同じです。

↓例

No.31197 - 2015/04/09(Thu) 10:24:13
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / らすかる
私も最初は「800通り」になって、
その後同一視できるものを削除したら50通りになりました。
ところで、ヨッシーさんの右端の例はちょっと違いますね。
多分右端の列の真ん中が間違っているのだと思います。
No.31198 - 2015/04/09(Thu) 11:38:50
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / ヨッシー
あ、塗り忘れです。
修正しました。

ご指摘ありがとうございます。＞＞らすかるさん
No.31199 - 2015/04/09(Thu) 11:57:24
☆ Re: 5×5のマス目の上手い塗り分け方 / sakana
おお！らすかるさん、ヨッシーさん、ありがとうございます。
意外とたくさんあったんですね。驚きです。
No.31200 - 2015/04/09(Thu) 12:28:12
★ 複素数の性質 / おまる
いつもお世話になっております。
少し気になったことが2つあるので教えて欲しいです。
⑴ |α~|=|-α|=|α|(αは複素数)
⑵ |(a~)|={|α|}~=|α|(αは複素数)
はそれぞれ正しいのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.31186 - 2015/04/08(Wed) 13:49:34
☆ Re: 複素数の性質 / X
~が共役複素数を表す記号であれば(1)(2)共に成立します。
No.31188 - 2015/04/08(Wed) 13:59:39
☆ Re: 複素数の性質 / おまる
なるほど、助かりました。
どうもありがとうございました。
No.31190 - 2015/04/08(Wed) 15:23:08
★ 回転体 / Kaori-chan
画像と通りの問題です。

一応,といてみたのですが正しいか見ていただけないでしょうか・

(1) π∫[0..1](√x+3-(x^2+3))^2dx
(2) π∫[0..3](√3-x^3)^2dx,
(3) については回転軸がy軸になるようにx+y=3,2x+y=6を平行移動すると
x=-y+3-π,x=-y/2+6-π. そこで0≦y≦3と3≦y≦6との2つの部分に分けて求めると
π∫[0..3](-y/2+6-π-(-y+3-π))^2dy+π∫[3..6](π-(-y+3-π))^2dy.

(5) π∫[0..1](-2x+6-4x^2)^2dx,
(6) π∫[0..4](√(4-x)+1)^2dx-∫[3..4](-√(4-x)+1)^2dx-π∫[0..3](-x+3)^2dx
第一項で全体を求めてそれから第2項(火山の火口部分)を差し引いて,第三項で円錐部分を差し引く。

(7) x=y^2,y=x^2を平行移動してy=x^2+1,y=√x+1して,x軸を回転すればいいから.
π∫[0..1](√x+1-(x^2+1))^2dx

(8) (-2)^2π・4-1^2・π・1-π∫[1..4](-√x)^2dx
No.31185 - 2015/04/08(Wed) 11:19:20
☆ Re: 回転体 / X
(1)
立式に問題はありません。

(2)
間違えています。
領域を囲む曲線の一方は
y=√3
ではなくて
y=√x
です。
当然積分範囲も違ってきます。

(3)
回転させる直線の位置関係を間違えています。
回転軸に関して
x+y=3
は
2x+y=6
より上側にあります。

(4)
これは
底面が辺の長さaの正方形で高さがhである正四角錐の
体積が
(a^2)h/3
となることを示せ。
という問題です。

(5)
積分範囲を間違えています。問題の直線と
曲線の交点のx座標を計算し直しましょう。

(6)(7)(8)
立式に問題はありません。
No.31187 - 2015/04/08(Wed) 13:58:23
☆ Re: 回転体 / ヨッシー
(1) は２乗と３乗を取り違えています。
また、引いて２乗、ではなく２乗したもの同士で引く、です。
半径２の円盤から、半径１の円盤を繰り抜いた面積は
　π(2-1)^2＝π
ではなく
　π(2^2−1^2)＝３π
ですよね、という話です。
(2) も同様の間違いの可能性があります。
No.31189 - 2015/04/08(Wed) 14:08:59
☆ Re: 回転体 / X
>>ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>Kaori-chanさんへ
ごめんなさい。(1)(2)については、ヨッシーさんの
仰るとおり立式の仕方が誤っています。
又、(2)についてはNo.31187で述べたとおり、曲線の
方程式の認識にも誤りがあります。
No.31191 - 2015/04/08(Wed) 17:20:47
☆ Re: 回転体 / Kaori-chan
大変有難うございます。

(1)はπ∫[0..1](√x+3)^2-(x^3+3)^2dx.
(2)はπ∫[0..1](x^3)^2-(√x)^2dx
(3)はπ∫[0..3](-y+3-π)^2-(-y/2+6-π)^2dy+π∫[3..6](-π)^2-(-y/2+6-π)^2dy
(4)は∫[0..h](ax)^2dxを計算して見せればいいのですね。
(5)y=4x^2,2x^2+y=6の交点は2x+4x^2=6⇒2x^2+x-3=0⇒(2x+3)(x-1)=0だから,x=1,-3/2ですよね?
π∫[0..1](-2x+6)^2-(4x)^2dx
でいいのですね?
No.31194 - 2015/04/09(Thu) 04:28:12
☆ Re: 回転体 / X
(1)(3)はそれで問題ありません。

(2)
領域を囲む曲線の位置関係が逆になってしまっています。
グラフを描いて確かめましょう。

(4)
被積分関数を間違えています。
問題の正四角錐と相似な高さxの正四角錐の
底面の正方形の辺の長さは
ax/h
です。

(5)
＞＞y=4x^2,2x^2+y=6の交点は
が
y=4x^2,2x+y=6の交点は
のミスであることを除けば、交点のx座標の計算は
問題ありません。
しかし、それに伴った積分範囲の下端の修正が
されていません。


後、細かいことですが必要な括弧はきちんとつけましょう。
例えば(1)は
＞＞π∫[0..1](√x+3)^2-(x^3+3)^2dx
ではなくて
π∫[0..1]{(√x+3)^2-(x^3+3)^2}dx
です。
No.31201 - 2015/04/09(Thu) 12:47:46
☆ Re: 回転体 / Kaori-chan
どうも有難うございます。
ようやく解決できました＼(^o^)／
No.31204 - 2015/04/11(Sat) 07:15:50
★ (No Subject) / さくら
いつもお世話になってます‼︎

画像の問題の(2)(3)が解説を読んでも理解できなくて…
多分全体を通して何の問題かよく理解できてないんだろうと思います(*_*)
No.31175 - 2015/04/07(Tue) 19:13:42
☆ Re: / さくら
無理やりくっつけたから見にくくてすみません
No.31178 - 2015/04/07(Tue) 19:16:29
☆ Re: / さくら
上の解説2枚の矢印をつけた部分がちんぷんかんぷんです
どなたか、どういうことか教えてくださいm(._.)m
(2)の方を詳しく教えてもらえると嬉しいです
No.31179 - 2015/04/07(Tue) 19:18:21
☆ Re: / X
(2)
t＞2 (A)
により
{t+√(t^2-4)}/2＞0
t^2-(√(t^2-4))^2=4＞0
∴t^2＞(√(t^2-4))^2
これと(A)により
t＞√(t^2-4)
∴{t-√(t^2-4)}/2＞0
更に(A)より
√(t^2-4)≠0
に注意すると
{t+√(t^2-4)}/2,{t-√(t^2-4)}/2
は異なる正の数であることが分かります。

(3)
(2)の結果から、(A)においてtの値一つに対して
xの値が一つ対応していることが分かります。
従って、問題の方程式をtの方程式と見たときの
(A)における解1つに対して、解xは2つ対応する
ことになります。
No.31180 - 2015/04/07(Tue) 20:11:56
☆ Re: / さくら
遅れてすみません
Xさんありがとうございました‼︎
ようやく理解出来て本当にスッキリしました！

でも、解き直してどーしてもしっくりこない部分があったのでもう一つだけ質問させて下さいorz
解答(2)(?A)ではなぜt＝2^x+2^(-x)の式に2^xをかける(かけることを思いつく)のしょうか??
No.31192 - 2015/04/08(Wed) 22:39:28
☆ Re: / X
2^x=uと置いてみましょう。
No.31193 - 2015/04/08(Wed) 23:13:32
☆ Re: / さくら
あぁ2^xについての二次関数として解くって考えれば良かったんですね‼︎
いろいろとありがとうございました
No.31202 - 2015/04/09(Thu) 19:10:14
★ √3,√(√3),√(√(√3)),…の極限値 / hozumi
√3,√(√3),√(√(√3)),…
という数列の極限値の求め方を教えてください。
No.31172 - 2015/04/07(Tue) 09:23:29
☆ Re: √3,√(√3),√(√(√3)),…の極限値 / らすかる
lim[n→∞]3^(1/2^n)=3^0=1となります。
No.31174 - 2015/04/07(Tue) 11:27:48
☆ Re: √3,√(√3),√(√(√3)),…の極限値 / hozumi
有難うございます。
No.31182 - 2015/04/07(Tue) 23:09:25
★ (No Subject) / アヤト
lim(n→∞)Σ(k=1→n)(a+k/n){1+k/√(n^2+1)}が収束するときのaの値を求めよ
No.31166 - 2015/04/05(Sun) 14:49:05
☆ Re: / アヤト
奈良県立医大の問題です！
No.31167 - 2015/04/05(Sun) 23:16:37
☆ Re: / X
Σ(k=1→n)(a+k/n){1+k/√(n^2+1)}=Σ(k=1→n)[(k^2)/{n√(n^2+1)}+{1/n+a/√(n^2+1)}k+a]
=(1/6)n(n+1)(2n+1)/{n√(n^2+1)}+{1/n+a/√(n^2+1)}・(1/2)n(n+1)+an
=(n+1)(2n+1)/{6√(n^2+1)}+{1+an/√(n^2+1)}・(1/2)(n+1)+an
=(n+1)((3a+2)n+1)/{6√(n^2+1)}+(1/2)((2a+1)n+1)
=[(n+1){(3a+2)n+1}+3{(2a+1)n+1}√(n^2+1)]/{6√(n^2+1)}
=[(1+1/n){(3a+2)n+1}+3{(2a+1)n+1}√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[n{(3a+2)+(2a+1)√(1+1/n^2)}+3a+3+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)} (A)
よって題意を満たすためには
lim[n→∞]{(3a+2)+(2a+1)√(1+1/n^2)}=0
が必要となります。
これより
(3a+2)+(2a+1)=0
∴a=-3/5
逆にこのとき
(A)=[n{1/5-(1/5)√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[-(n/5)(1/n^2){1+√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
=[-{1/(5n)}{1+√(1+1/n^2)}+6/5+1/n+3√(1+1/n^2)]/{6√(1+1/n^2)}
→(6/5+3)/6=7/10 (n→∞)
となり、収束します。
No.31168 - 2015/04/06(Mon) 17:32:53
★ 極値、数列 / ふぇるまー
お世話になっております。
質問です。
問?@　関数f(x)=x^3+ax^2-6x+bはx=2のとき極小となり、x=cのとき極大値2をとる。このとき定数a,b,cろ極小値を求めよ。
問?A第50項が2013,第500項が213である等差数列の初項から第n項までの和をSnとするときSn=?
また、Snが最大となるn=?

問?B 関数f(x)=x^3+ax^2-a^2xの極小値が-5であるとき、定数a=?(ただし、a>0)

以上です。出来ればお早い御教授願います。<m(__)m>
No.31159 - 2015/04/04(Sat) 18:13:08
☆ Re: 極値、数列 / ふぇるまー
間違えました。問?@で　……このとき定数a,b,cと極小値を求めよ。

です。
No.31160 - 2015/04/04(Sat) 18:14:31
☆ Re: 極値、数列 / X
投稿する前にパスワードを設定しておけば、この掲示板の
最下部で記事Noとパスワードを入力することで、記事の
修正ができますよ。

問1
条件から
f(c)=c^3+ac^2-6c+b=2 (A)
又
f'(x)=3x^2+2ax-6
でxの方程式f'(x)=0の解がx=c,2となりますので
解と係数の関係から
c+2=-2a/3 (B)
2c=-6/3 (C)
(A)(B)(C)を連立して解きa,b,cの値を求めます。
但し、得られたa,b,cの値に対し
f(2)＜f(c)
となっていることを最後に確かめましょう。

問2
前半)
問題の等差数列の一般項をa[n]、初項をa、公差をdとすると
a[50]=a+49d=2013 (A)
a[500]=a+499d=213 (B)
(A)(B)を連立して解いてa,dを求めると
a[n]=a+(n-1)d=…
∴S[n]=Σ[k=1〜n]a[k]=…
後半)
前半の過程により、a[n]がnに関して単調減少
になっていることから
求めるnは
a[n]≧0 (C)
を満たす最大のnになります。
ということで(C)をnの不等式と見て解きます。

問3)
f'(x)=3x^2+2ax-a^2=(3x-a)(x+a)
∴f'(x)=0の解はx=a/3,-a
f(x)の極小値が-5であることと
a＞0 (A)
であることから
f(a/3)=(a/3)^3+a(a/3)^2-(a^2)(a/3)=-5 (B)
(A)に注意して(B)をaについての方程式と見て解きます。
No.31162 - 2015/04/04(Sat) 19:28:33
☆ Re: 極値、数列 / ふぇるまー
ありがとうございます。修正の仕方も初めて知りました。またおねがいします。
No.31163 - 2015/04/04(Sat) 21:39:39
★ 関数とグラフ / ハナ
中学3年生です。
写真の青く囲んであるところがわかりません。
回答よろしくお願いします‼️
No.31157 - 2015/04/04(Sat) 17:03:56
☆ Re: 関数とグラフ / K
oAと同じ求め方で三平方の定理を使って求めればいいです。
No.31158 - 2015/04/04(Sat) 18:10:20
☆ Re: 関数とグラフ / ハナ
ありがとうございます
わかりました‼️
No.31164 - 2015/04/04(Sat) 22:01:22
★ 入試問題の証明 / ｹｲﾁｬﾝ
(3)の問題なんですけど、なぜこの解答になるのか証明したいんです。どうか、回答よろしくお願いします。
No.31152 - 2015/04/04(Sat) 00:31:34
☆ Re: 入試問題の証明 / ヨッシー

図のような表を作ります。
また、同じボタンを２回押すと、何も押さないのと同じなので、
押す回数は最大１回とします。
ＡとＢに差を付けられるのはボタンＣかボタンＤなので、
　ＣとＤはどちらかのみ押す。
ＢとＣがともに奇数なので、
　ＢとＣは同じ回数
同様に
Ｅ，Ｆの偶奇より　ＥとＦはどちらかのみ
Ｄ，Ｅの偶奇　および、Ｂ，Ｃが同数であることより　ＦとＧはどちらかのみ
これより(B,C,D,E,F,G) の押すパターンとしては（押すボタンを１、押さないボタンを０で表す）
　(1,1,0,1,0,1),(1,1,0,0,1,0),(0,0,1,1,0,1),(0,0,1,0,1,0)
の４通りが考えられ、それぞれ
　
このようになります。
ここからさらにＡを押しても、与えられた状態にならないので、
与えられた状態になるのは、
　Ｂ，Ｃ，Ｅ，Ｇ
を押したときとなります。
No.31153 - 2015/04/04(Sat) 01:18:31
☆ Re: 入試問題の証明 / ヨッシー
さらに
　ＦとＧの偶奇より　ＤとＥはどちらかのみ
を利用すれば
　(1,1,0,1,0,1),(0,0,1,0,1,0)
まで絞れます。
No.31154 - 2015/04/04(Sat) 02:04:47
★ 変わった平方完成 / ロック
x＾４−2x＾３+1を（二次式の二乗＋１次関数）となるように変形すると，
(x＾2−x−12)＾2−x+3/4

らしいですがどうやったらこの変形を思いつくのでしょうか、
←方向は展開すれば「確かに」と納得できますが→方向の平方完成の仕方が分かりません。
No.31149 - 2015/04/03(Fri) 23:53:40
☆ Re: 変わった平方完成 / IT
まちがっていませんか？
No.31150 - 2015/04/04(Sat) 00:21:05
☆ Re: 変わった平方完成 / IT
(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(2b+a^2)x^2+2abx+b^2なので
2a=-2,2b+a^2=0より,a=-1,b=-1/2 と求めていけばいいです。
No.31151 - 2015/04/04(Sat) 00:22:54
☆ Re: 変わった平方完成 / ロック
(x＾2−x−1/2)＾2−x+3/4の間違いでした。申し訳ありません

そして大方理解できました、ありがとうございます。

しかしその平方完成したものとは別の他の項は必ず一次関数になるのでしょうか？

よろしくおねがいします
No.31170 - 2015/04/07(Tue) 00:57:54
☆ Re: 変わった平方完成 / ヨッシー
（二次式の二乗＋１次関数）と「なるように」変形するので
必ず一次関数になります。
No.31171 - 2015/04/07(Tue) 08:02:40
☆ Re: 変わった平方完成 / ロック
どうやら全く理解できていなかったようです
(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(2b+a^2)x^2+2abx+b^2なので
2a=-2,2b+a^2=0より,a=-1,b=-1/2 と求めていけばいいとのことですが、なぜｘ＾３とｘ＾２の係数比較にしたのですか？
ｘの係数と定数項の係数比較だと違うa,bの値が出てしまいます。2ab=0かつｂ＾２＝１という風に。
No.31181 - 2015/04/07(Tue) 21:50:16
☆ Re: 変わった平方完成 / ヨッシー
この問題は、、
　(x^2＋ax＋b)^2＋cx＋d＝x^4−2ｘ^3＋1
となるように、a,b,c,d を決める問題と見ることが出来ます。
まず、(x^2＋ax＋b)^2 で、３次の項の係数が−２、２次の項の係数が０　となるように調整して、
１次の項と定数項は cx＋d の部分で調整するという手順です。

(x^2＋ax＋b)^2 の a と b に課せられた使命は、
３次の項と２次の項を合わせることです。
なぜなら、１次の項と定数項は cx＋d の部分で、いくらでも調整できますし、
そもそも a, b ２つの文字で、３つ以上の項（３次と２次と１次など）は
調整しきれないのです。
また、a と b で、３次の項と２次の項を合わせることが出来ないと、
二次式の二乗＋１次関数　ではなく　二次式の二乗＋二次関数　や
二次式の二乗＋三次関数　になってしまいます。
No.31183 - 2015/04/08(Wed) 06:42:04
★ (No Subject) / 杏
整数mについて、m2乗が7の倍数ならばmは7の倍数である。
このことを用いて、√7は無理数であることを証明せよ。

4stepの数学1演習問題Aの8番です
背理法を使うことはわかるのですが、うまくいきません。
よろしくお願いします。
No.31144 - 2015/04/03(Fri) 21:32:06
☆ Re: / ヨッシー
√7=a/b (a, b は互いに素な自然数) と書けたとすると、両辺二乗して
a^2=7b^2
これより a^2 は7の倍数、すなわち a は7の倍数となります。
そこで、a=7k (k は整数) とおくと、
49k^2=7b^2
b^2=7k^2
となり、b は 7 の倍数となり、a と b が互いに素であること矛盾します。
(以下略)
No.31146 - 2015/04/03(Fri) 22:06:13
★ 関数の増減 / ゆう
「f(x)=(1/4)x^4-x^3+3ax+bについて、f(x)が一つだけ極値を持つ条件を求めよ。」という問いの解説が、「f'(x)=0の符号変化が１回あるものを選べばよい。よって、a≦0、4/3≦aとなる。」と書いてあって、〜選べばよい。というところまでは分かったのですが、それの求め方がわかりません。三次関数の判別式を使うのでしょうか？答えまでの解説をもう少し詳しく教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いいたします。
No.31141 - 2015/04/03(Fri) 17:41:23
☆ Re: 関数の増減 / IT
まずf'(x)を求める
y=f'(x)のグラフを考えると
f'(x)の符号変化が１回だけ
　⇔（f'(x)は極大値・極小値を持たない）または(f'(x)の極大値≦0)または(f'(x)の極小値≧0)
ですから

f''(x)を計算してf'(x)の極大値、f'(x)の極小値を求めればいいと思います。

＃「f'(x)=0の符号変化」というのは変ですね。　
No.31142 - 2015/04/03(Fri) 18:38:23
★ 数学?Tの関数の作成 / 高1
線が引いてあるところの(x-2)はどうやったら出てくるんですか？そしてAM=…というのはどうやったら出てくるんですか？また、PC=x-4とはどうやったら出てくるんですか？
最後にグラフですが、一番左のグラフはどうやって頂点を決めているんですか？
質問が多くて申し訳ないですが、回答よろしくお願いします。
No.31138 - 2015/04/03(Fri) 15:51:59
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー
x=2.5 のとき、点Ｐはどの位置にあって、BPの長さはいくらですか?
x=3 のとき、x=3.5 のとき、と考えると x-2 になる理由が分かります。
ＰＣ=x-4 も同様です。

ＡＭは△ＡＢＭについての三平方の定理から求めます。

左のグラフというのは y=x^2 のグラフのことでしょうか？
逆に、他の2つのグラフの頂点の求め方は分かるのでしょうか？
No.31139 - 2015/04/03(Fri) 16:10:09
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1
X-2、x-4の件は分かりました。
AM はABを2、BMを1で計算するんですか？
あと、グラフはy=x^2のことです。
残りの２つは分かりました。
No.31140 - 2015/04/03(Fri) 17:01:42
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1
AM の求め方は分かったので、y=x^2の求め方を教えてください。
No.31143 - 2015/04/03(Fri) 18:51:31
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー
y=x^2 の求め方ではなくて、y=x^2 の頂点の求め方ですよね？
で、他の2つのグラフの頂点の求め方は分かるのでしょうか？
No.31145 - 2015/04/03(Fri) 21:57:13
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1
そうですね。すみません。頂点の求め方です。それ以外はわかります。
No.31147 - 2015/04/03(Fri) 22:20:02
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / ヨッシー
では、それと同じようにやって下さい、という回答になるのですが、
他の２つをどのようにやったか、書いてみてください。
　ｙ＝ｘ^2
だけ、別のやり方をするわけではありませんので。
No.31148 - 2015/04/03(Fri) 22:32:08
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高1
Y=(x-3)^2+3は頂点が(3、3)
Y=(x-6)^2はy=(x-6)^2+0となるから、頂点が(6、0)という感じで考えたんですが、y=x^2はy=(x-3)^2+3のような形になってないので、いまいち分かりません。
No.31156 - 2015/04/04(Sat) 13:35:18
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 歌声喫茶
y=(x-6)^2をy=(x-6)^2+0とする発想があるのなら、
y=x^2をy=(x-0)^2+0とする発想も自然では。

#「回りくどい」と考えるかはさておいて。
No.31161 - 2015/04/04(Sat) 19:09:29
☆ Re: 数学?Tの関数の作成 / 高校1年
分かりました。ありがとうございました。
No.31165 - 2015/04/04(Sat) 22:15:54
★ (No Subject) / アカシロトモ
確率漸化式の問題です。全くわかりません。よろしく、お願いします。
(問題）
次のようなルールのゲームを行う
1　硬貨を投げて表が出れば（確率2/3）1円獲得,
裏が出れば（確率1/3）1円支払う
2　目標額（c円）到達か、所持金ゼロになればゲーム終了　
3　最初の所持金n円からスタートして、所持金ゼロでゲームを終了する確率をPn(n=0,1,2,3,・・・,c)とする。したがってP0＝1、Pc＝0
　(1) Pn+1(n=1,2,3,・・・,c-1)をPn とPn-1 を用いて表せ
（2）Pnを求めよ　
No.31133 - 2015/04/02(Thu) 17:49:04
☆ Re: / ヨッシー
(1)
Ｐ[0]＝1, Ｐ[c]＝0 は書いてある通りで、それ以外のｎのとき
ｎ円の状態から、
2/3 の確率で n+1円になり、その先、所持金０になる確率はＰ[n+1]です。
1/3 の確率で n-1円になり、その先、所持金０になる確率はＰ[n-1]です。
よって、
　Ｐ[n]＝(2/3)Ｐ[n+1]＋(1/3)Ｐ[n-1]
変形して
　Ｐ[n+1]＝(3/2)Ｐ[n]−(1/2)Ｐ[n-1]

(2)
　Ｐ[n+1]＝(3/2)Ｐ[n]−(1/2)Ｐ[n-1]
を変形して
　Ｐ[n+1]−Ｐ[n]＝(1/2)(Ｐ[n]−Ｐ[n-1])・・・(i)
　Ｐ[n+1]−(1/2)Ｐ[n]＝Ｐ[n]−(1/2)Ｐ[n-1]　・・・(ii)
(i) より
　Ｐ[c]−Ｐ[c-1]＝(1/2)^(c-1)(Ｐ[1]−Ｐ[0])・・・(i)’
　Ｐ[c]−(1/2)Ｐ[c-1]＝Ｐ[1]−(1/2)Ｐ[0]　・・・(ii)'
これらに、Ｐ[0]＝1, Ｐ[c]＝0 を代入して
　−Ｐ[c-1]＝(1/2)^(c-1)(Ｐ[1]−1)・・・(i)”
　−(1/2)Ｐ[c-1]＝Ｐ[1]−(1/2)　・・・(ii)”
これを解いて、
　Ｐ[c-1]＝1/(2^c−1)
　Ｐ[1]＝{2^(c-1)−1}/(2^c−1)

(i) より
　Ｐ[n]−Ｐ[n-1]＝(1/2)^(n-1)・(Ｐ[1]−Ｐ[0])＝Q[n]
とおくと
　Ｐ[n]＝Ｐ[0]＋Σ[k=1〜n]Q[n]
　　　＝1＋{2−1/2^(n-1)}(Ｐ[1]−Ｐ[0])
　　　＝1＋{2−1/2^(n-1)}{2^(c-1)−2^c}/(2^c−1)

ちょっと詰めが甘いかも。
No.31134 - 2015/04/02(Thu) 19:56:10
☆ Re: / アカシロトモ
ヨッシー さん

早速投稿いただきありがとうございます。
今からじっくり読ませていただきます。
No.31135 - 2015/04/02(Thu) 20:25:37
★ 割り算 / さとし 高2
一応自力で解けたのですが、別解に書いてあることがわかりません。
No.31128 - 2015/04/02(Thu) 16:32:33
☆ Re: 割り算 / さとし 高2
最初の3行について説明していただけると助かります。
No.31129 - 2015/04/02(Thu) 16:33:29
☆ Re: 割り算 / ヨッシー
条件より
　f(x)＝s(x)(2x^2＋x−1)＋2x＋1
　f(x)＝t(x)(x^2−2x＋1)＋4x−5
これを因数分解した形で書くと
　f(x)＝s(x)(2x−1)(x＋1)＋2x＋1　・・・(1)
　f(x)＝t(x)(x−1)^2＋4x−5　　　・・・(2)
であり、
　2x^3−x^2−2x＋1＝(x＋1)(x−1)(2x−1)
であるので、
　f(x)＝g(x)(x＋1)(x−1)(2x−1)＋h(x)　(h(x) は、２次以下の整式)
と書けたとする時、h(x) から (2x−1)(x＋1) をくくりだすと、(1) と
同等の式になることに気づき
　h(x)＝a(2x−1)(x＋1)＋j(x)　　(j(x) は１次以下の整式)
とおくと、
　f(x)＝g(x)(x＋1)(x−1)(2x−1)＋a(2x−1)(x＋1)＋j(x)
　　＝{g(x)(x−1)＋a}(2x−1)(x＋1)＋j(x)
となり、(1) と比較すると、j(x)＝2x＋1 となります。
No.31130 - 2015/04/02(Thu) 16:47:39
☆ Re: 割り算 / さとし 高2
ありがとうございます。
No.31131 - 2015/04/02(Thu) 16:56:24
★ 平面上の５、7点 / sakana
自分で考えておきながら、完全に解けきれていない問題があります。

（問）「nを4以上の整数とする.平面上のちょうどn個の点からなる集合Sであって,以下の条件を満たすものが存在するようなnを全て求めよ.

<条件>Sの任意の異なる2元A,Bに対して,あるSの異なる2元C,D(ただしA,Bとは異なる)が存在して,AB⊥CDが成り立つ.」

n=4,6,およびn≧8のときは正(n-1)角形の頂点とその外接円の中心が条件を満たすことまでは分かりましたが、n=5,7のときは条件を満たすSが存在するのか、しないのならばそれをどう示せばいいのかが分かりません。
どなたかお分かりになる方がいらっしゃいましたらご教授ください。
No.31126 - 2015/04/02(Thu) 09:09:59
☆ Re: 平面上の５、7点 / らすかる
n=5のときは
正三角形ABCと重心DとABの中点Eの
5点A,B,C,D,Eが条件を満たします。

n=7のときは、
正五角形ABCDEと重心F、そして直線ABと直線CDの交点Gの
7点A,B,C,D,E,F,Gが条件を満たします。
No.31137 - 2015/04/03(Fri) 04:34:18
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