aを正の定数とする。曲線C:y=−x^3−4x^2−x＋5上の点(a,−a^3−4a^2−a＋5)における接線をlとする。Cとlで囲まれる部分の面積を求めよ。
計算が煩雑で答えまでたどり着きません。計算の工夫をするのでしょうか?
|
No.31006 - 2015/03/16(Mon) 23:36:41
| ☆ Re: 積分 / IT | | | 曲線Cと接線lとの交点のx座標をbとおくと下記の通りb=-2a-4であることが分かります。
曲線C:y=-x^3-4x^2-x+5=f(x)とおく
接線l:y=f'(a)(x-a)+f(a)=g(x)とおくと
f(x)-g(x)=0の重解がx=a,もう一つの解がb
よってf(x)-g(x)=-x^3-4x^2-x+5-{f'(a)(x-a)+f(a)}=-{(x-a)^2}(x-b) これは恒等式です。
x^2の係数を比較して-4=2a+b,すなわちb=-2a-4 (＜0＜a)
後は定積分|∫[b..a]{f(x)-g(x)}dx|を計算すれば良いのでは。
|
No.31007 - 2015/03/17(Tue) 00:44:29 |
| ☆ Re: 積分 / ast | | | 特に工夫が思いつかないので力技でゴリ押ししてみましたが, 問題がよくできているのか, それほど汚い計算にもなりませんでした.
# どこまでできていて, どこの計算が煩瑣と感じるのかというところまで
# 書いてくださった方が集中的に詳説できるので, 双方にとって有益と思います.
1. 接線は定石通り y-(-a^3-4a^2^a+5)=(-3a^2-8a-1)(x-a) だから y について解いて l: y=-(3a^2+8a+1)x+(2a^3+4a^2+5).
2. これを C の式と連立しますが, (接点の x-座標は a と分かっているから) y を消去したものは (x-a)^2 で割り切れると分かっているので, 適当に組み立て除算でもやって (x-a)^2(x+2a+4)=0. つまりもう一つの交点は (x,y)=(-2a-4,8a^3+32a^2+34a+9).
3. 囲む領域では接線の方が上だから
∫[-2a-4,a] {(-(3a^2+8a+1)x+(2a^3+4a^2+5))-(-x^3-4x^2-x+5)}dx
=∫[-2a-4,a] (x-a)^2(x+2a+4)dx
=∫[-2a-4,a] (x-a)^2((x-a)+(3a+4))dx
=∫[-2a-4,a] (x-a)^3+(x-a)^2(3a+4) dx
=[(x-a)^4/4]_[-2a-4,a] +(3a+4)[(x-a)^3/3]_[-2a-4,a]
=-((-2a-4-a)^4/4)+(3a+4)(-(-2a-4-a)^3/3)
=-(3a+4)^4/4 + (3a+4)^4/3
=(3a+4)^4/12
# 回答がかぶってしまいましたが, せっかくなのでこのまま投稿します.
|
No.31008 - 2015/03/17(Tue) 00:50:36 |
|
