ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学?V 極限文章題 / なにゃー

（1）からよくわかりません。A1A2の長さがsinθなのはわかりますす。その後からどうすればいいかわかりません。
解答（1）sinθcos^（n-1）θ
（2）sinθ/(1-cosθ）
（3）2

No.30802 - 2015/02/19(Thu) 22:39:49

☆ Re: 数学?V 極限文章題 / ヨッシー

(1)
△Ａ1Ａ2Ａ3は、∠Ａ1Ａ2Ａ3＝θ の直角三角形です、
△Ａ2Ａ3Ａ4、△Ａ3Ａ4Ａ5 ・・・も同様で
　Ａ1Ａ2：Ａ2Ａ3＝Ａ2Ａ3：Ａ3Ａ4＝Ａ3Ａ4：Ａ4Ａ5＝・・・＝１：cosθ
より、
　ＡnＡ[n+1]＝Ａ1Ａ2cos^(n-1)θ
Ａ1Ａ2＝sinθ より
　ＡnＡ[n+1]＝sinθcos^(n-1)θ
(2)
　g(θ)＝Ａ1Ａ2＋Ａ2Ａ3＋Ａ3Ａ4＋・・・・
　　　＝Ａ1Ａ2(１＋cosθ＋cos^2θ＋・・・）
０＜cosθ＜１より、１＋cosθ＋cos^2θ＋・・・は収束し
　１＋cosθ＋cos^2θ＋・・・＝1/(1－cosθ)
よって、
　ｇ(θ)＝sinθ/(1－cosθ)
(3)
　(与式)＝lim[θ→0](θsinθ)/(1－cosθ)
sinθ＝2sin(θ/2)cos(θ/2), 1－cosθ＝2sin^2(θ/2) より
　(与式)＝lim[θ→0](θcos(θ/2))/sin(θ/2)
　　＝lim[θ→0]{(θ/2)/sin(θ/2)}{2cos(θ/2)}
lim[θ→0]{(θ/2)/sin(θ/2)＝１　より
　(与式)＝1×2×1＝２

No.30803 - 2015/02/19(Thu) 23:26:45

☆ Re: 数学?V 極限文章題 / なにゃー

内容は理解できました！けど、一つ教えてもらいたいことがあります。（1）で△A1A2A3は角A1A2A3がθとおっしゃいましたが、それはどうやって示すのですか？

No.30804 - 2015/02/19(Thu) 23:48:30

☆ Re: 数学?V 極限文章題 / ヨッシー

△A1A2A3は直角三角形で、
　∠Ａ3Ａ1Ａ2＋∠Ａ1Ａ2Ａ3＝90°
一方、△ＯＡ1Ａ2 において、
　∠Ａ3Ａ1Ａ2＋∠Ａ1ＯＡ2＝90°
であり、∠Ａ1ＯＡ2＝θなので、∠Ａ1Ａ2Ａ3＝θ です。

No.30805 - 2015/02/20(Fri) 00:00:43

★ 導関数について / おまる

いつもお世話になっております。
微分の定義式についてわからないところがあるので教えて欲しいです。

lim[h→0] {f(α+h)-f(α)}/h のhの部分は、グラフで考えたときには、aとα+hの間の長さ(距離)であらわされるので、h＞0でなければいけないのでしょうか？

No.30798 - 2015/02/19(Thu) 19:10:38

☆ Re: 導関数について / らすかる

グラフで考えると
右側微分係数は lim[h→+0]{f(α+h)-f(α)}/h
左側微分係数は lim[h→+0]{f(α)-f(α-h)}/h = lim[h→-0]{f(α+h)-f(α)}/h
ですから、合わせて lim[h→0]{f(α+h)-f(α)}/h ですね。

No.30799 - 2015/02/19(Thu) 19:53:12

☆ Re: 導関数について / おまる

ご回答ありがとうございました。
学校の先生がグラフで表せるとだけ言っていたので、気になっていたのがスッキリしました。

No.30801 - 2015/02/19(Thu) 20:00:15

★ (No Subject) / さしば

この問題がわかりません

No.30796 - 2015/02/19(Thu) 18:44:52

☆ Re: / ヨッシー

定義通り計算していきます。
(1)
距離を|A(0)A(1)|のように表すこととします。
ｓ≧１なる整数ｓにおいて
　|A(s)A(0)|²＝１
であるので、
　a₁²＋a₂²＋・・・＋a_s²＝１　・・・(i)
これの左辺は、A(s)・A(s) の定義と一致するので、
　A(s)・A(s)＝１

同様に、|A(t)A(0)|²＝１
　b₁²＋b₂²＋・・・＋b_t²＝１　・・・(ii)
また、
　|A(s)A(t)|²＝(a₁－b₁)^2＋(a₂－b₂)^2＋・・・＋(a_s－b_s)^2＋b_s+1²＋・・・＋b_t²
　　＝(a₁²＋・・・＋a_s²)＋(b₁²＋・・・＋b_t²)－2(a₁b₁＋・・・＋a_sb_s)
　　＝１＋１－２A(s)・A(t)＝１
よって、
　A(s)・A(t)＝1/2
(2)
A(2)＝(s, t, 0, 0,・・・), A(3)＝(u, v, w, 0, 0,・・・) とおきます。
　|A(2)A(0)|²＝s²＋t²＝1
　|A(2)A(1)|²＝(s-1)²＋t²＝1
これを、s, t＞０で解いて、
　s=1/2, t=√3/2
　|A(3)A(0)|²＝u²＋v²＋w²＝1
　|A(3)A(1)|²＝(u-1)²＋v²＋w²＝1
　|A(3)A(2)|²＝(u-1/2)²＋(v-√3/2)²＋w²＝1
これを、u, v, w＞0 で解いて
　ｕ＝1/2, ｖ＝√3/6, ｗ＝√6/3

とりあえず、ここまで。

こういう計算が連々続くのでしょう。

No.30813 - 2015/02/20(Fri) 15:32:28

☆ Re: / けんけんぱ

http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/15/k17.html

慶應義塾大　医学部　２０１５年入試問題　のようです

時期により、上記URLは参照できなくなるものと思われます。

No.30839 - 2015/02/22(Sun) 20:56:25

★ (No Subject) / koko

この問題の、4番がわかりません。

No.30789 - 2015/02/19(Thu) 14:29:09

☆ Re: / koko

解説の、印のところまではわかってると思うんですが、それによってどう次に繋がっていくのかわかりません。。回答よろしくお願いします！

No.30790 - 2015/02/19(Thu) 14:33:07

☆ Re: / koko

解説の続きです。

No.30791 - 2015/02/19(Thu) 14:34:10

☆ Re: / ヨッシー

f(8)=f(1), f(9)=f(2), f(10)=f(3) のように、７つ離れたｎ同士では f の価は等しいので、
　f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
　f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)+f(13)+f(14)
　f(15)+f(16)+f(17)+f(18)+f(19)+f(20)+f(21)
などは、全て同じ和となります。
そこで、
　Σ[n=1～2013]f(n)
を考えると、
　Σ[n=1～2013]f(n)
　　＝{f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)}
　　＋{f(8)+f(9)+f(10)+f(11)+f(12)+f(13)+f(14)}
　　　・・・・・・
　　＋f(2003)+f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007)+f(2008)+f(2009)
　　＋f(2010)+f(2011)+f(2012)+f(2013)
これは、f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7) が(2009÷7＝)287個と　
f(1)+f(2)+f(3)+f(4) の和となります。

※ここまでが解説１枚目です。

２枚目の最初は合成の公式によって、√2sin(8n-7)π/28 にまとめています。

あとは、
　√2sin(8n-7)π/28＞０のとき √2sin(8n-7)π/28／|√2sin(8n-7)π/28|＝１
　√2sin(8n-7)π/28＜０のとき √2sin(8n-7)π/28／|√2sin(8n-7)π/28|＝－１
によって、f(n) が１か－１かに分類します。

No.30792 - 2015/02/19(Thu) 16:43:37

★ (No Subject) / ゆ

★ 数学１A?UBまで / ゆ引用
この問題の(３)がわからないです。教えてください。

No.30711 - 2015/02/16(Mon) 09:55:32
☆ Re: 数学１A?UBまで / ゆ引用
答えです。注がヒントなのかもしれませんが、それもわかりません…

No.30712 - 2015/02/16(Mon) 10:11:14
☆ Re: 数学１A?UBまで / ヨッシー引用
ここで言おうとしているのは、点（-b/3a, f(-b/3a)) のｘ座標について
左右対称な位置にある、-b/3a＋t、-b/3a－t における
y=f(x) 上の点、(-b/3a＋t, f(-b/3a＋t)), (-b/3a－t, f(-b/3a－t)) の中点が
（-b/3a, f(-b/3a)) になることを示そうとしています。
ｘ座標は自明であるので、ｙ座標について
　f(-b/3a＋t)＋f(-b/3a－t)＝２f(-b/3a)
が言えれば良いことになります。
実際に f(-b/3a＋t) などを、
　f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d
にx=-b/3a＋t を代入することで、求めることも出来ますし、そうしても良いのですが、
この問題では、以下の様なイメージをしていると思われます。

ｙ＝ａｘ^3 は (2) で求めたように、原点に関して対称です。
これに、同じく、原点について対称なｙ＝ｋｘを加えた
　ｙ＝ａｘ^3＋ｋｘ
も、原点について対称です。これを、ｘ軸方向にｍ，ｙ軸方向にｎ移動した
　ｙ＝ａ(x－m)^3＋ｋ(x－m)＋ｎ
は、点(m,n) に関して対称です。そこで、f(x)＝ax^3＋bx^2＋cx＋d　が
　f(x)＝ａ(x＋b/3a)^3＋ｋ(x＋b/3a)＋f(-b/3a)
と書けたなら、f(x) は、点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称と言えます。
果たして、f(x) は
　f(x)＝ａ(x＋b/3a)^3＋(-b^2/3a＋c)(x＋b/3a)＋f(-b/3a)
のように書け、これに、x=-b/3a＋t, x=-b/3a－t を代入した、
　f(-b/3a＋t)＝ａｔ^3＋(-b^2/3a＋c)ｔ＋f(-b/3a)
　f(-b/3a－t)＝－ａｔ^3－(-b^2/3a＋c)ｔ＋f(-b/3a)
を辺々足して
　f(-b/3a＋t)＋f(-b/3a－t)＝２f(-b/3a)
が得られることより、(A) のグラフは点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称ということが示せました。
No.30719 - 2015/02/16(Mon) 11:57:20

No.30787 - 2015/02/19(Thu) 09:50:58

☆ Re: / ゆ

この前はお答えいただき、ありがとうございました。これについて、再質問なのですが、f(x) は
　f(x)＝ａ(x＋b/3a)^3＋(-b^2/3a＋c)(x＋b/3a)＋f(-b/3a)のように書けたら、それでもうこのグラフは点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称とは言えないのでしょうか？>>>これに、x=-b/3a＋t, x=-b/3a－t を代入した、
　f(-b/3a＋t)＝ａｔ^3＋(-b^2/3a＋c)ｔ＋f(-b/3a)
　f(-b/3a－t)＝－ａｔ^3－(-b^2/3a＋c)ｔ＋f(-b/3a)
を辺々足して
　f(-b/3a＋t)＋f(-b/3a－t)＝２f(-b/3a)
が得られることより、(A) のグラフは点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称ということが示せました。
。。という過程はどうして必要のなのですか？教えてください(><)

No.30788 - 2015/02/19(Thu) 09:56:26

☆ Re: / ast

> 書けたら、それでもうこのグラフは点（-b/3a, f(-b/3a)) に関して対称とは言えないのでしょうか？
ヨッシーさんは「言える」とお書きですよ. ただし, 少なくとも無根拠で点対称と言えるほど対称性が明らかな式とは思われません (それゆえにヨッシーさんのレスでは引き続いてその根拠が提示されている). 仮にこれだけで言えていると主張する場合、ゆさんご自身は何を根拠に対称性が示されているとお考えになるのでしょうか?

> という過程はどうして必要のなのですか？
過程はどうあれ, 点対称と言えるという根拠として
> f(-b/3a＋t)＋f(-b/3a－t) = 2f(-b/3a)
という式が成り立つことというのが挙げられているということです. これが根拠になるという理由はさらに前の最初の段落で先に述べられています.

つまり, ヨッシーさんのレスは
　一般的な話⇒○○と書けたなら対称と言える⇒その根拠は××だから（一般的な話に帰着）
という順番で書いてあります. (文章の骨子を強調する場合などで) 根拠などの付帯的な文章が, あちこちに分散してあるいは前後して書いてあるということは, 特段珍しいことではないと思います.

如何でしょう?

No.30794 - 2015/02/19(Thu) 17:41:23

★ 数学?V 極限 / なにゃー

練習130（4）を途中式含めて教えてください。
ちなみに答えは「-π」です。

No.30775 - 2015/02/19(Thu) 00:22:36

☆ Re: 数学?V 極限 / ヨッシー

(4)
ｙ＝ｘ－１とおくと、
(与式)＝lim[y→0]sin(πy＋π)/ｙ
　　　＝lim[y→0]－sinπy/ｙ
　　　＝lim[πy→0]－πsinπy/πｙ
lim[θ→0]sinθ/θ＝1 より
(与式)＝－π

No.30777 - 2015/02/19(Thu) 00:55:23

☆ Re: 数学?V 極限 / なにゃー

置き換えをするのですね！
でも、いつ置き換えすればいいのかいまいち分からないのですが
…

No.30778 - 2015/02/19(Thu) 01:08:16

☆ Re: 数学?V 極限 / ヨッシー

狙い目は
　lim[θ→0]sinθ/θ＝1
に持って行くことなので、そのためには、０に近づく変数が
必要です。
この問題は x→1 が与えられているので、x→1 のときに
０に近づく変数としてｙ＝ｘ－１を設定しています。
（ちょうど分母にｘ－１が見えていることでもありますので）

No.30782 - 2015/02/19(Thu) 05:57:09

☆ Re: 数学?V 極限 / なにゃー

なるほど。そういう意図があったのですか。
ヨッシーさん、いつも詳しくありがとうございます！

No.30793 - 2015/02/19(Thu) 17:30:46

★ (No Subject) / チョコ

あの、質問?@この手書きの式変形は、解説の意図するところと合致してますか？
質問?Aわたしは、文系で、双曲線のことがいまいちわかっていないのですが、この最後の曲線の方程式は、どのようになっていて、どうグラフに描けばいいのですか？双曲線について、調べてみたのですが、どうも双曲線の標準形の方程式らしきものと、この解説に出てくる方程式は違っている(？)のでよくわからず、質問しました。

No.30772 - 2015/02/18(Wed) 22:19:42

☆ Re: / X

質問1)
それで問題ありません。

質問2)
双曲線の標準形と聞いて私は
(x/a)^2-(y/b)^2=1
を思い浮かべたのですが、
今回はそんなに難しいことを
持ち出さなくても
大丈夫です。

双曲線というと最も簡単な形の式は
中学校で習った反比例の式である
y=a/x (A)
(aは定数)
がありますよね？
今回の問題の双曲線の式は(A)を
x軸、y軸方向にそれぞれp,qだけ
平行移動させた
y=a/(x-p)+q (B)
という形になっています。
これのグラフですが、(A)のグラフが
x軸、y軸を漸近線に持つように
直線x=p,y=q
を漸近線に持つことを押さえておけば
同じように描くことができます。
((A)と同じように、漸近線もまた平行移動しています)

No.30773 - 2015/02/18(Wed) 23:20:17

☆ Re: / チョコ

回答ありがとうございますm(__)m
Xさんのおっしゃる、Bの形、というものに、今回の問題の方程式をどう変形したら良いのかわからないです(*_*)…

No.30784 - 2015/02/19(Thu) 07:18:07

☆ Re: / X

(k-1/3)(l-1/3)=1/9
の両辺を(k-1/3)で割って
l-1/3=(1/9)/(k-1/3)
∴l=(1/9)/(k-1/3)+1/3
となります。

No.30786 - 2015/02/19(Thu) 09:23:07

★ (No Subject) / なぎ

OA=a,OB=b,OC=c,∠AOB=γ,∠BOC=α,∠COA=βのとき，四面体OABCの体積は，
V=abc61+2cosαcosβcosγ−(cos2α+cos2β+cos2γ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

を高校の範囲でどなたか証明できないでしょうか

No.30771 - 2015/02/18(Wed) 21:57:00

☆ Re: / みずき

こちら(↓)なんていかがでしょう。
http://mathtrain.jp/shimentaiseki

# 高校範囲という条件を満たしているかどうかは
# 良くわかりませんが参考までに。

No.30779 - 2015/02/19(Thu) 01:55:00

☆ Re: / なぎ

１．「ここからは完全に大学内容です」
とあるように、高校の範囲ではありませんね

２．転置行列、３×３行列の行列式は旧課程でも大学の範囲です、２×２行列自体は今年までギリギリ旧課程措置としてOKかもしれません

３．行列を使わずに求める事はできるのかという質問内容です

No.30780 - 2015/02/19(Thu) 02:28:27

☆ Re: / みずき

> 「ここからは完全に大学内容です」

そのように書かれていたんですね。気づきませんでした。
また、何が高校範囲内で何が高校範囲外かを
よく分かっていないまま回答してしまい、失礼しました。

No.30781 - 2015/02/19(Thu) 02:58:42

☆ Re: / なぎ

引きつづき回答お願いします

No.30809 - 2015/02/20(Fri) 13:32:23

★ (No Subject) / K

こんばんは。この問題の(2)の解説の→印からわからないです,..教えてください。

No.30769 - 2015/02/18(Wed) 21:12:12

☆ Re: / K

解説です

No.30770 - 2015/02/18(Wed) 21:13:48

☆ Re: / ヨッシー

１ページ目の(2)実験してみようの、
ｎ＝７の場合が、ｎ＝３の場合から導かれる部分は理解されてますか？

No.30774 - 2015/02/18(Wed) 23:38:53

☆ Re: / K

あ…そこからわかってないですね(・・;)…
教えてください(@_@)

No.30783 - 2015/02/19(Thu) 06:25:36

☆ Re: / ヨッシー

通常の数学的帰納法は
　ｎ＝１　のとき成り立つことがわかっている
　ｎ＝ｋ　のとき成り立つならｎ＝ｋ＋１のときも成り立つことが証明された。
この２つでもって、
　ｎ＝１　のときＯＫ
　ｎ＝１がＯＫなら、ｎ＝２もＯＫ
　ｎ＝２がＯＫなら、ｎ＝３もＯＫ
　ｎ＝３がＯＫなら、ｎ＝４もＯＫ
と連続的に、すべての自然数について成り立つことを証明する手法です。
この問題では、示すべきｎはすべての自然数ではなく
　ｎ＝３，７，１１，１５・・・
という４で割ったら３余る組と
　ｎ＝４，８，１２，１６
という４の倍数の組についてです。示し方は
　ｎ＝３　のとき成り立つことがわかっている
　ｎ＝ｋ　のとき成り立つならｎ＝ｋ＋４のときも成り立つことが証明された。
この２つでもって、
　ｎ＝３　のときＯＫ
　ｎ＝３がＯＫなら、ｎ＝７もＯＫ
　ｎ＝７がＯＫなら、ｎ＝１１もＯＫ
　ｎ＝１１がＯＫなら、ｎ＝１５もＯＫ
また、
　ｎ＝４　のとき成り立つことがわかっている
　ｎ＝ｋ　のとき成り立つならｎ＝ｋ＋４のときも成り立つことが証明された。
この２つでもって、
　ｎ＝４　のときＯＫ
　ｎ＝４がＯＫなら、ｎ＝８もＯＫ
　ｎ＝８がＯＫなら、ｎ＝１２もＯＫ
　ｎ＝１２がＯＫなら、ｎ＝１６もＯＫ
これら２つによって、
　ｎ＝３，７，１１，１５・・・
　ｎ＝４，８，１２，１６
に含まれるすべての自然数について、条件(和が等しい２つの組に分ける)を満たすことが証明されます。

１番のポイントは
　ｎ＝ｋ　のとき成り立つならｎ＝ｋ＋４のときも成り立つことが証明された。
ですが、これは、
　１，２，３・・・ｋ
が和が等しい２つの組　Ａ＝｛・・・｝、Ｂ＝｛・・・｝に
分けられているとしたとき、ここに４つの自然数
　ｋ＋１，ｋ＋２，ｋ＋３，ｋ＋４
を付け加えたとき
　ｋ＋１とｋ＋４をＡに、
　ｋ＋２とｋ＋３をＢに（ＡとＢは逆でも可）
加えれば、
　(ｋ＋１)＋(ｋ＋４)＝(ｋ＋２)＋(ｋ＋３)
なので、ＡとＢは和が等しいままです。
よって、
　１，２，３・・・ｋ＋４
についても、条件を満たす分け方が出来たことになります。

解説の矢印のついた部分の
>ｎ＝ｍで分割可能なとき、ｎ＝ｍ＋４でも分割可能である。
という書き出しはよくありません。せめて、
>ｎ＝ｍで分割可能なとき、ｎ＝ｍ＋４でも分割可能である。
>なぜなら、ｎ＝ｍのとき、Ａ＝Ｂの・・・
となっていたら、読みやすい解説になっていたでしょう。

No.30785 - 2015/02/19(Thu) 08:47:16

★ (No Subject) / おまる

いつもお世話になっております。
問題を解く上での解答方法についてお聞きしたいことがあります。
次のような必要十分を示す問題で、「～が存在するための必要十分条件」という記述があるときの解答方法で、「ある数を代入したときに条件式を満たしているので、必要条件や十分条件を満たしている。」とする解答方法は、他の問題でもよく使われる手法なのでしょうか？
また、その問題で、適当な値を代入するときは条件を満たすような値を考えてから値を代入するのでしょうか？
例えば、この問題ではz/β=-1/2という値を適当に入れてから、z+αz~+β=0を満たすということを確認してから解答を書くのでしょうか？
わからないのでよろしくお願いします。

No.30768 - 2015/02/18(Wed) 19:54:30

☆ Re: / ast

条件式を「満たす」というのは「代入した式が正しい内容になっている」ということなので, 代入してどうか見るのはそのままの行為ですし
> とする解答方法は、他の問題でもよく使われる手法なのでしょうか？
と問われても, いま一つ何を疑問とされているのか雲をつかむような感じですが……

> 例えば、この問題ではz/β=-1/2という値を
という部分に関して言えば, (記述の便宜のために w=z/β, その共軛を w~ と書きますが) 右辺の式から「w+w~+1=0 となるものが「(何でもいいからひとつでも) 取れればいい, それは(今の仮定のもとで)実際にある」というのがここでの十分性を本質的に表しています.

ところで, 複素数の基本的な性質のひとつとして w+w~=2Re(w) (wの実部の二倍) なので, w としては Re(w)=-1/2 となる複素数ならばなんでもよいということが分かります. そういう意味でふつうならある程度の見当を付けることはできるので, むやみやたらと代入して確認するということはしませんから, 「適当(妥当)な値を考えてから代入」していることになるでしょうか.
# が, 当然もっと複雑な場合や何か例外的に特別な値でのみ成立する場合であれば, 多少の実験的な代入を試みたりあるいは天下り的に与えられることもあり得ると思いますので, そういう意味では「適当(むやみやたら)に代入」してはいけないということにもならないと思います.

No.30795 - 2015/02/19(Thu) 18:21:14

☆ Re: / おまる

ご回答ありがとうございました。
質問が下手くそになってしまい、申し訳ありませんでした。
中盤からのastさんのおっしゃっていることが、この問題の大事な部分を示していると感じたので感激いたしました。
私の疑問点であった、「値の代入についての考え方」も大変わかりやすく指導してくださったので本当に助かりました。
どうもありがとうございました。

No.30800 - 2015/02/19(Thu) 19:54:19

★ (No Subject) / ゆう

こんにちは、この問題の解説の最後の所って、どうしてaの範囲によって最小値が変化してるんでしょうか？

No.30760 - 2015/02/18(Wed) 13:49:15

☆ Re: / ヨッシー

最後の部分は、
|ＰＱ|^2＝(1/2)(cosθ－2a)^2－a^2＋1/2
において、ａを定数として、θにより、|ＰＱ|^2 が
変化する時、ＰＱが最小となるθを見つける問題です。

(cosθ－2a)^2 の部分が０になるθがあれば、その時ＰＱは
最小になりますが、cosθは最大でも１なので、
　2a≦1
の時でないと、cosθ－2a＝０になりません。
場合分けの１つ目はこの状態で、
　2a＞1
の場合は cosθ＝1 のときが cosθ－2a の絶対値が最小になります。
これが場合分けの２つ目です。

No.30763 - 2015/02/18(Wed) 14:20:44

☆ Re: / ゆう

分かりやすい解説で納得です★ありがとうございました★

No.30764 - 2015/02/18(Wed) 15:25:58

★ 空間ベクトル / なにゃー

79番の（1）（2）ともにわかりません…
（1）については図を書いてみてもBCとADが垂直に見えません

No.30746 - 2015/02/17(Tue) 23:25:36

☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー

(1)
太字はベクトルを表します。
　|ＣＡ|＝|ＣＢ|＝|ＤＡ|＝|ＤＢ|＝|ＡＢ|＝ｋ
　ＣＡ・ＣＢ＝k^2/2
　ＤＡ・ＤＢ＝k^2/2
　ＢＡ・ＢＤ＝k^2/2
　ＡＣ・ＡＢ＝k^2/2
　ＣＡ・ＤＢ＝０
などの条件下で、ＣＢ・ＤＡを計算します。
　ＣＢ・ＤＡ＝(ＡＢ－ＡＣ)・(ＢＡ－ＢＤ)
　＝－|ＡＢ|^2＋ＢＡ・ＢＤ＋ＡＣ・ＡＢ＋ＣＡ・ＤＢ
　＝－k^2＋k^2/2＋k^2/2＋０
　＝０
よって、ＢＣ⊥ＡＤ
(2)
　|ＣＤ|^2＝(ＡＤ－ＡＣ)・(ＢＤ－ＢＣ)
　＝ＡＤ・ＢＤ－ＡＤ・ＢＣ－ＡＣ・ＢＤ＋ＡＣ・ＢＣ
　＝k^2/2－０ー０＋k^/2
　＝k^2
よって、ＣＤ＝ｋ
となり、すべての面が正三角形となるので、四面体ＡＢＣＤは正四面体となります。

No.30754 - 2015/02/18(Wed) 06:27:06

☆ Re: 空間ベクトル / なにゃー

なるほど！内積を利用するのですね。
納得しました。ありがとうございます！

No.30776 - 2015/02/19(Thu) 00:25:54

★ (No Subject) / 百期

S=（cosθ＋sinθー１）＾２/sin2θ（０＜θ＜π/2)
を最大にするθを求めよ、という問題で
微分しました

解）
S'の符号は以下と一致
２（cosθ＋sinθー１）(2cos^2θ-cosθ+sinθ-1)

（cosθ＋sinθー１）＞０ですが(2cos^2θ-cosθ+sinθ-1)が解きようが無いのですが計算結果の間違いでしょうか？何回も微分したのでたぶんあってるとは思いますが・・

よろしくおねがいします

No.30744 - 2015/02/17(Tue) 22:50:46

☆ Re: / IT

2cos^2θ-cosθ+sinθ-1
=2cos^2θ-cosθ+sinθ-cos^2θ-sin^2θ
=cos^2θ-cosθ+sinθ-sin^2θ
=(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ-1)
となります。

No.30749 - 2015/02/18(Wed) 00:20:03

☆ Re: / IT

> S'の符号は以下と一致
> ２（cosθ＋sinθー１）(2cos^2θ-cosθ+sinθ-1)
S'はどうなりましたか？　途中も含めて書いてみてください。
下記の結果と違うみたいですけど、変形したらそうなるのかな？
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28cosx%2Bsinx-1%29%5E2+%2Fsin2x

No.30750 - 2015/02/18(Wed) 00:28:49

☆ Re: / 百期

S'は分母の二乗を省略しただけです。

S'=｛２（cosθ＋sinθー１）(2cos^2θ-cosθ+sinθ-1)*（sin^2(2θ))です。

答えがθ＝π/4なので合ってると思います。こんな因数分解ができたんですね、まさか最後にこんな因数分解が待っていようとはという感じです。ありがとうございました。

No.30753 - 2015/02/18(Wed) 01:36:24

★ (No Subject) / おまる

いつもお世話になっております。
式の立て方がわからないので教えてください。
問題8の(2)なのですが、こたえのf(αβ)がどのように立てられているのかわかりません。
よろしくお願いします。

No.30737 - 2015/02/17(Tue) 09:24:13

☆ Re: / おまる

これが答えです。

No.30738 - 2015/02/17(Tue) 09:25:02

☆ Re: / ヨッシー

f は複素数を変数とする関数で、
　ａ＋ｂω
の形で表された複素数に対して、
　(ａ＋ｂω){ａ－ｂ(ω＋１)}
を値に持ちます。つまり、ｘ＋ｙω に対しては、
　f(ｘ＋ｙω)＝(ｘ＋ｙω){ｘ－ｙ(ω＋１)}
ですし、ｓ^2＋ｔ^2ω　に対しては
　f(ｓ^2＋ｔ^2ω)＝(ｓ^2＋ｔ^2ω){ｓ^2－ｔ^2(ω＋１)}
です。

ちなみに、(1) の計算の途中で、
　f(α)＝ａ^2－ａｂ＋ｂ^2
を出しているはずですので、以下ではこれを使います。

f(αβ)を計算するためには、まずαβを　Ａ＋Ｂω の形にしないといけません。そこで
　αβ＝(ａ＋ｂω)(ｃ＋ｄω)＝ａｃ＋(ａｄ＋ｂｃ)ω＋ｂｄω^2
を計算します。
ω^2＋ω＋１＝０より ω^2＝－ω－１なので、
　αβ＝ａｃ＋(ａｄ＋ｂｃ)ω－ｂｄ(ω＋１)
　　　＝(ａｃ－ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ－ｂｄ)ω
これを、
　　f(α)＝f(ａ＋ｂω)＝ａ^2－ａｂ＋ｂ^2
を適用して、f(αβ) を計算すると
　f(αβ)＝f((ａｃ－ｂｄ)＋(ａｄ＋ｂｃ－ｂｄ)ω)
　　　　＝・・・・（以下解答の通りです）
となります。

No.30739 - 2015/02/17(Tue) 10:36:58

☆ Re: / おまる

ご回答ありがとうございます。
ヨッシーさんの立式から、αβでもf(x)の形と同じように表せればf(αβ)も同じ形に式が変形できることを学ぶことができました。

No.30740 - 2015/02/17(Tue) 13:51:46