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★ (No Subject) / すずき

添付の問題⑵について No.29931 - 2014/12/24(Wed) 15:46:51 ☆ Re: / すずき 上の指数の式を添付のようにしたのですが、これを使うと答えが合いませんでしたので、間違っているのかなと思いました。 指数は底を揃えれば指数部分のみの比較に帰着することはできませんでしたでしょうか・・・・？？ あれ？？？？？となっています… 教えてください。 No.29932 - 2014/12/24(Wed) 15:49:09 ☆ Re: / IT -3^3(=3^(-3)) はなぜそういえるのですか？ 計算してみると間違っていることは明らかです。 >指数は底を揃えれば指数部分のみの比較に帰着することはできませんでしたでしょうか・ 3^2=3^x ⇔　2=x は正しいですが 3^1+3^2＝3^x …(1) よって　1+2=x よって　x=3 は間違っていますよね！ x=3のとき(1)の左辺＝12,右辺=27です。 #　少し前のいくつかの質問も同じすずきさんのなら、分かったかどうかなど返信された方がいいと思いますよ。 No.29937 - 2014/12/24(Wed) 18:37:32 ☆ Re: / すずき 有難うございます！ よくみると、そもそも八が指数部分にないのでおかしいですよね・・・・ 指数まるごとおく定石に従います、有難うございます！ No.29956 - 2014/12/27(Sat) 19:56:20

★ Sqrt[5] 等 / D
mを　2以上の自然数とする。 q < 10^m　かつ　Abs[p/q - Sqrt[5]] < 1/10^(2*m - 2) を満たす自然数の組(p,q)が,どんなmに対しても少なくとも4つ存在することを示して下さい。 また　Sqrt[5]　を　Sqrt[3] にかえた時の　命題を述べ証明して下さい。 No.29930 - 2014/12/24(Wed) 11:11:01

★ (No Subject) / すずき

テンプの問題について ⑶ですが、左辺を取り出し、単調増加までは調べられましたが、そこからの方針が全くたちませんでした。ゼロに近い値について考えたいのですがてどうか教えてください。 No.29925 - 2014/12/22(Mon) 18:11:29 ☆ Re: / X (2)の過程で恐らくf(x)の増減表を書かれていると思いますので y=f(x),y=(x^2+2x-2)e^xのグラフにより 0≦x≦πにおいて問題の不等式が成立することを示せば よいことは理解されていると仮定して回答します。 g(x)=(x^2+2x-2)e^x-f(x) と置くと g'(x)=(x^2+4x)e^x-f'(x) f'(x)={e^(sinx)}(sin2x-2cosx)cosx+{e^(sinx)}(2cos2x+2sinx) =2{e^(sinx)}(sinx-1)(cosx)^2+2{e^(sinx)}(1-2(sinx)^2+sinx) =2{e^(sinx)}(sinx-1)(cosx)^2-2{e^(sinx)}(2sinx+1)(sinx-1) =2{e^(sinx)}(sinx-1){(cosx)^2-(2sinx+1)} =2{e^(sinx)}(1-sinx)(sinx+2)sinx ここで 関数(x^2+4x)e^xがx≧0において単調増加 であり、又 0≦x≦πにおいてx≧sinx≧0 ∴ g'(x)≧{(sinx)^2+4sinx}e^(sinx)-2{e^(sinx)}(1-sinx)(sinx+2)sinx ={(sinx+4)-(1-sinx)(sinx+2)}(sinx)e^(sinx) ={(sinx+1)^2+1}(sinx)e^(sinx)≧0 ∴0≦x≦πにおいてg(x)は単調増加 このことと g(0)=0 により 0≦x≦πにおいてg(x)≧0 No.29927 - 2014/12/22(Mon) 19:33:20 ☆ Re: / すずき さ関数をとったんですね。 それでやってみて、できました！ １と2の誘導にのっかってできるかなと思いました今回つまずいたので、その時は基礎に帰ってやってみることにします。 ほんとに助かりました有り難うございました！ No.29963 - 2014/12/27(Sat) 20:35:45

★ (No Subject) / すずき

添付の問題１について No.29922 - 2014/12/22(Mon) 14:48:57 ☆ Re: / すずき 置換せずにそのまま部分積分など利用して解きましたが何度もループしてしまいました。 でも以前おなじようにといた時はできた筈なのです・・・・どこが間違っているか教えてください。 No.29923 - 2014/12/22(Mon) 14:50:57 ☆ Re: / ヨッシー 部分積分 　∫f'g＝fg−∫fg' において、ｆ＝−ｅ^(-t)、ｇ＝ｔ と置けばうまくいくはずです。 上の解答ではどう置きましたか？ No.29926 - 2014/12/22(Mon) 18:17:12 ☆ Re: / すずき 画像で載せた通り、e^-t＊tの部分積分をしましたが、ループしてしまったのです・・・・ それが添付の画像のわたしの解答軌跡です・・・・ No.29928 - 2014/12/23(Tue) 00:48:19 ☆ Re: / ヨッシー ｆ＝−ｅ^(-t)、ｇ＝ｔ と置けば ∫f'g＝fg−∫fg' のｇ’のところで、ｔは消えるはずなのです。 なのに上の画像で∫の中にｔが残っているのは、 ｆ＝−ｅ^(-t)、ｇ＝ｔ とは違う別の置き方をしていると 思われますので、「どう置いた」のか聞いています。 No.29929 - 2014/12/23(Tue) 04:19:06 ☆ Re: / すずき わたしは、ｔなど置かないままで部分積分にてときました。（e）^t部分を∫の中で微分として捉えてです。 質問に答えていないでしょうか・・・・？ No.29962 - 2014/12/27(Sat) 20:19:47 ☆ Re: / ヨッシー ｔに関する積分の式なので、ｇ＝ｔ は置換積分の置換ではなくて、 部分積分のための設定です。 当面の目標は?@の部分の 　Ｓ＝∫ｔｅ^(-t)dt を計算することですね？ (表記が面倒なので、不定積分にしています) これを部分積分で変形するには、 1) 　ｆ＝t^2/2、ｇ＝ｅ^(-t) とおいて、 　Ｓ＝∫[0〜x](t^2/2)’ｅ^(-t)dt 　　＝(t^2/2)ｅ^(-t)＋∫(t^2/2)ｅ^(-t)dt となるか 2) 　ｆ＝−ｅ^(-t)、ｇ＝ｔ とおいて、 　Ｓ＝−ｅ^(-t)・ｔ＋∫ｅ^(-t)dt となるかのどちらかです。 うまくいくのは 2) の方です。 ところが、上の画像では、どちらでもないので、どういう計算を されたのかと思いまして、 No.29964 - 2014/12/27(Sat) 20:44:53

★ (No Subject) / haruki

この問題の解説をお願いします。 No.29919 - 2014/12/21(Sun) 22:22:34 ☆ Re: / ヨッシー ａが偶数であれば a^b は偶数、ａが奇数であれば a^b は奇数であるので、 ｍ，ｎがともに偶数となる確率は 　1/2×1/2＝1/4　・・・チ／ツ ともに奇数の場合も同様に　1/4　・・・テ／ト ｍ＝ｎ となるのは 　(a,b)＝(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(2,4),(4,2) の８通りなので、確率は 8/36＝2/9　・・・ナ／ニ ｍ−ｎ＝１ となるのは 　(a,b)＝(2,1),(3,2)　・・・ヌ、ネ、ノ ０＜ｍ−ｎ＜１０ となるのは 　(a,b)＝(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(2,5) に対応した 　(m,n)＝(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(9,8),(32,25) ｘ^2＋mx＋ｎ＝０ が重解を持つのは 　x^2＋2x＋1＝０ のときで、(m,n)=(2,1)、(a,b)＝(2,1)　・・・　ハ、ヒ、フ、ヘ ２つの整数解となるのは　(m,n)＝(9,8)、(a,b)＝(3,2) No.29920 - 2014/12/21(Sun) 23:08:45 ☆ Re: / haruki 丁寧な解説ありがとうございます！ No.29921 - 2014/12/22(Mon) 09:31:54

★ 面積 / ふぇるまー
?@底面の半径と高さの和が6である直円柱がある。この直円柱の体積が最大となるときの底面の半径と体積を求めよ。 この問を教えてください。 No.29911 - 2014/12/20(Sat) 18:27:51 ☆ Re: 面積 / らすかる 底面の半径をxとすると高さは6-xなので体積はπx^2(6-x) f(x)=x^2(6-x)とおくとf'(x)=-3x(x-4)なのでx=4のとき最大となり、 f(4)=32なので、体積が最大となるときの底面の半径は4、体積は32π No.29915 - 2014/12/20(Sat) 20:46:46 ☆ Re: 面積 / ふぇるまー 御教授ありがとうございます No.29918 - 2014/12/21(Sun) 20:09:30

★ 算数・数学 / みどり

比重が0.9、1.0、1.2の溶液、Ａ、Ｂ、Ｃがある。この３種類の溶液を混ぜ合わせて10ｍｌの混合溶液をつくり、質量を計ったところ10.1ｇであった。このとき、ＢとＣの比率を間違えていたことに気がついた。そこで３種類の溶液を追加して20ｍｌの目的の混合溶液をつくり、質量を計ったところ19.8ｇであった。追加した溶液Ｂの体積を求めよ。 最初に加えるA,B,Cの溶液量をそれぞれa、b、c(ml)とします。 a,b,cの合計が10mlなのでa＋b＋c=10 また、比重が0,9、1,0、1,2であることから 0,9a＋b＋1,2=10,1 ところがBとCの溶液の量が逆だったので 正しくは0,9a＋1.2b＋cであった。 「そこで溶液A,B,Cをそれぞれ追加したところ20mlとなった」・・・?@とあるので溶液A,B,Cをそれぞれx、y、z(ml)追加したとすると a＋x＋b＋y＋c＋z=10＋x＋y＋z=20 となったのですが、これでは文字が多すぎて消去がうまくできないこと、「溶液A,B,Cをそれぞれ追加」とは間違えた溶液の加え方のほうに追加を考えればよいのか混乱してしまったことから行き詰ってしまいました。 また?@とa＋b＋c=10より この式の両辺に2をかけてやれば 2a＋2b＋2c=20となるのでこれはA,B,Cそれぞれの溶液を最初に混ぜるA,B,Cの溶液の量と同量分だけ増やせば合計が20mlになるということを表していると思うのですがあっているのかわかりません。 「追加」という言葉の通り、実際にx,y,zだけ追加させて考えてみたのですがこの方法では解けないのでしょうか？ 算数・数学がかなり苦手なので教えてください。お願いします。 No.29903 - 2014/12/19(Fri) 22:52:16 ☆ Re: 算数・数学 / ヨッシー 上記のやり方を吟味する前に、まず解いてみます。 図の左上は、誤った場合の図、右上は目的の混合の図です。 20ml で19.8g が目的の混合溶液なので、10ml だと 9.9gです。 このとき、ＢとＣの量の差に0.2 を掛けたものが、 　10.1−9.9＝0.2(g) に当たります。よって、ＢとＣの差は 　0.2÷0.2＝1(ml) となります。 一方、ＡとＣを２：１の比で混ぜると比重1.0の液体になります。 これにＢを任意の量で混ぜても比重は1.0です。 これに Ｃ を混ぜて比重1.01の溶液10ml を作ったとします。 あとで混ぜたＣの量に0.2 を掛けたものが 　10×0.01＝0.1g になるので、Ｃの量は 　0.1÷0.2＝0.5(ml) となります。 先に混ぜたＣの量をｘmlとするとＡの量は２ｘml、Ｂの量は 10−0.5−3x＝9.5−3x(ml) ＢとＣの差は1mlなので、 　(0.5+x)−(9.5-3x)＝4x−9＝1 よって、ｘ＝2.5 最初に混ぜた量は（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝(５，２，３) 正しく混ぜていれば、（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝(５，３，２) 20ml の混合液の内訳は　（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（１０，６，４） よって、加えたＢの量は４ｍｌ。 No.29904 - 2014/12/20(Sat) 00:37:22 ☆ Re: 算数・数学 / ヨッシー では、方程式で解いてみます。 最初に加えるA,B,Cの溶液量をそれぞれa、b、c(ml)とします。 a,b,cの合計が10mlなので 　a＋b＋c=10 また、比重が0,9、1,0、1,2であることから 　0,9a＋b＋1,2=10,1 ところがBとCの溶液の量が逆だったので 正しくは0,9a＋1.2b＋cであり、これが 19.8÷2＝9.9 であるので、 　0,9a＋1.2b＋c＝9.9 これを解いて 　a=5, b=2, c=3 （以下略） No.29906 - 2014/12/20(Sat) 06:08:39 ☆ Re: 算数・数学 / みどり 回答ありがとうございます。 追加質問です。 ?@自分の考えたのは A,B,Cに追加した量をそれぞれx,y,z(ml)とすると a＋b＋c＋x＋y＋z=20 0.9a＋b＋1.2c＋0.9x＋1.2y＋z=19.8 としたのですが、文字が6つもでてしまっているのでこの方針は間違いですよね？ ?Aまた「20mlで19.8g」なので比を考えれば「10mlで9.9g」となると思うのですが、「追加」という言葉にとらわれすぎてしまいます。 「３種類の溶液を追加して20ｍｌの目的の混合溶液」ということは20mlの溶液は正しいものという意味ですよね？ 20mlの半分は10mlで、このとき重さを決める水(水分子)も半分になってしまうので19.8gを半分にした重さの9.9gが10mlのときの重さとしてよいということでしょうか？ わからないのでよろしくおねがいします。 No.29907 - 2014/12/20(Sat) 07:28:30 ☆ Re: 算数・数学 / みどり ?Bヨッシーさんが示してくれた図を用いた解き方についてなんですが、一番最初の図は左から溶液Aの比重の面積図？なのでしょうか？斜線の図がなんなのかよくわかりません。 「ＢとＣの量の差に0.2 を掛けたものが、 　10.1−9.9＝0.2(g)」 の「BとCの量の差」は図の網掛けの部分で、 0,2というのは溶液Ｂと溶液Ｃの比重の差ですか？ よろしくお願いします。。 No.29908 - 2014/12/20(Sat) 12:13:50 ☆ Re: 算数・数学 / ヨッシー ?@文字が６つあっても、式が６つ出来れば解くことは出来ます。 ?A分子云々はともかく、20ml の溶液を、混合比はそのままに 10ml だけ取り出せば、重さも半分になります。 ?B横が体積、縦が比重で、面積が重さです。 網掛けの部分は、誤った配合の液の重さと、正しい配合の液の重さの差です。 下の図は、左の３つ（Ｂ、Ａ、Ｃ）合わせて比重1.0の液を表しており、横は 体積を表しています。 No.29909 - 2014/12/20(Sat) 12:54:09 ☆ Re: 算数・数学 / みどり 回答ありがとうございます。 方程式で解く方法はヨッシーさんのおかげで理解できました。 ヨッシーさんの別解の図で整理して解いていく方法は面積図(たしか小学生の頃に習った記憶が・・・)の応用のような感じなのでしょうか？ 10.1gのときの図と9.9gの図とにらめっこしているのですがどうしたらその図を思いついて書けるのでしょうか？ それと斜線の部分は上に乗っかっているという意味なんでしょうか？ 理解力が乏しくてごめんなさい。 最後によろしくお願いします。 No.29912 - 2014/12/20(Sat) 19:46:04 ☆ Re: 算数・数学 / ヨッシー 9.9g の図と 10.1g の図とで、増えた分の面積が斜線の部分です。 斜線なしで描くとそれぞれ、次のようになります。 No.29916 - 2014/12/21(Sun) 01:15:53

★ 高1 数A / りす

よろしくお願いします！！ No.29899 - 2014/12/19(Fri) 11:39:07 ☆ Re: 高1 数A / deep make Ａ地点からＢ地点に達する最短経路は, 右に1マス進む動作をＲ, 上に1マス進む動作をＵと表したとき, (ＲＲＲＲＲＲＵＵＵＵ)を並べ替えた数だけ存在します. これは, 最短経路の問題において基本的な考え方なので, もし知らなかったのならば覚えておきましょう. 道路ＣＤを通る最短経路は, Ａ地点からＣ地点に達する最短経路と Ｄ地点からＢ地点に達する最短経路との組で決まります. 同様に, 道路ＣＤと道路ＥＦの両方を通る最短経路は, Ａ地点からＣ地点に達する最短経路と Ｆ地点からＢ地点に達する最短経路との組で決まります. 道路ＣＤと道路ＥＦの少なくとも1本を通る最短経路は, 以下で計算できます. (道路ＣＤを通る経路の数)＋(道路ＥＦを通る経路の数)−(道路ＣＤ, ＥＦを通る経路の数) No.29900 - 2014/12/19(Fri) 13:35:06

★ 円周角の利用 / ふぃ

こちらの問題についても解説お願い致します。 何度も申し訳ありません。 中３・ふぃ （1）はPQ、（2)はXの値を求めよ。 下図は（１） No.29884 - 2014/12/18(Thu) 18:15:50 ☆ Re: 円周角の利用 / ふぃ （２）です No.29885 - 2014/12/18(Thu) 18:17:17 ☆ Re: 円周角の利用 / X (1) 線分OCの延長線とmとの交点をRとすると △OBR∽△AOP 従って相似比により OR=… よって CR=OR-OC=… 更に △CQR∽△AOP ですので相似比により CQ=… よって PQ=CP+CQ=AP+CQ=… No.29887 - 2014/12/18(Thu) 18:40:04 ☆ Re: 円周角の利用 / X (2) 円周角により △BDP∽△ACP このことから相似比を使って xについての方程式を立てましょう。 No.29889 - 2014/12/18(Thu) 18:44:13 ☆ Re: 円周角の利用 / ふぃ 解説有難うございます。 (1)ですが解説通りに解ききれず分からなくなってしまいました。解き方として直線Lから点Qに対して垂線を引き三平方の定理を利用する方法もあるらしいのですが、どの長さを利用して答えを導き出していけば良いのか分かりません••• No.29893 - 2014/12/18(Thu) 23:16:33 ☆ Re: 円周角の利用 / to (1)について ●Ｑから直線Lに引いた垂線を考え三平方の定理を利用する例です ?@Ｑから直線Lに引いた垂線の足をＴとして各線分の長さを考えます 四角形ＡＢＱＴは長方形となり、ＡＢ＝ＴＱ＝8，ＢＱ＝ＡＴ 円外の１点から引いた接線の長さが等しいことから、ＰＡ＝ＰＣ，ＢＱ＝ＱＣ ＢＱ＝ＡＴ＝ＱＣ＝xとすると、ＰＴ＝8−x，ＰＱ＝8＋x ?A直角三角形ＱＴＰで三平方の定理を利用します ＴＱ^2＋ＰＴ^2＝ＰＱ^2で{ＴＱ＝8，ＰＴ＝8−x，ＰＱ＝8＋x}から x＝2となり、ＰＱ＝8+(2)＝10 ●別解の一例です ?@△ＡＯＰ∽△ＢＱＯから{ＡＯ：ＢＱ＝ＡＰ：ＢＯ}で {ＡＯ＝4，ＡＰ＝8，ＢＯ＝4}より、ＢＱ＝2 ?A円外の１点から引いた接線の長さが等しいことから ＰＣ＝ＰＡ＝8，ＱＣ＝ＱＢ＝2 よって、ＰＱ＝ＰＣ＋ＱＣ＝10 No.29894 - 2014/12/19(Fri) 01:30:55 ☆ Re: 円周角の利用 / X ＞＞ふぃさんへ ごめんなさい。(1)ですが方針を誤っていました。 △CQRに相似な三角形を使って相似比から 計算していく方針でしたが、相似と なっている三角形を間違えていたので 計算ができないことがわかりました。 ということでNo.29887の内容は無視して下さい。 No.29895 - 2014/12/19(Fri) 01:37:51

★ (No Subject) / ふぃ

連投失礼致します。 こちらの問題もお願い致します。 図で４点が一つの円周上にある組み合わせをすべて答えよ。 点A、E、C、Dが円周上にあるという事は分かりましたが他の点が見つけられません・・・ 中３・ふぃ No.29882 - 2014/12/18(Thu) 18:08:17 ☆ Re: / らすかる 4点の中にA,B,Cを含む場合 残りのD,E,Pはいずれも円周上にありません。 4点の中にA,Bを含みCを含まない場合 Eは円周上になく、残りのD,Pが同時に円周上にある円は描けません。 4点の中にA,Cを含みBを含まない場合 Pを含むと他の点は円の外に位置します。 Pを含まない(A,C,D,E)は同一円周上に位置します。 4点の中にB,Cを含みAを含まない場合 Dは円周上になく、残りのE,Pが同時に円周上にある円は描けません。 残りはA,B,Cのうち一つだけが4点の中に含まれる場合ですが、 (A,D,E,P)と(C,D,E,P)は同一円周上になく、(B,D,P,E)は同一円周上にあります。 従って答えは(A,C,D,E)と(B,D,P,E)の2組となります。 No.29888 - 2014/12/18(Thu) 18:40:37

★ 円周角の利用 / ふぃ

昨日は解説等有難うございました。 今回も円周角の問題について教えて頂きたいです。 次の１〜１０のうち４点ABCDが一つの円周上にあるのはどれですか。 ３、４、５、８、９、１０が答えになると思っていたのですが違うようなので・・・ 円周上にあるといえる理由等も解説お願い致します。 申し訳ありませんが図は手書きなので角度や長さがあまり正しく表せておりません。 中３・ふぃ No.29878 - 2014/12/18(Thu) 17:59:55 ☆ Re: 円周角の利用 / ふぃ 続きの画像です No.29879 - 2014/12/18(Thu) 18:01:15 ☆ Re: 円周角の利用 / ふぃ すいません。続きです No.29880 - 2014/12/18(Thu) 18:03:01 ☆ Re: 円周角の利用 / ふぃ 続き No.29881 - 2014/12/18(Thu) 18:03:48 ☆ Re: 円周角の利用 / らすかる 1は∠BAC≠∠BDCですから同一円周上にありません。 2は∠ACB=83°-28°=55°≠∠ADBですから同一円周上にありません。 3は∠ACD=101°-34°=67°=∠ABDですから同一円周上にあります。 4は∠ABD=180°-50°-75°=55°≠∠ACDですから同一円周上にありません。 5は∠ACB=∠ADBですから同一円周上にあります。 6は左上の角が180°-25°-37°=118°で、対角との和が208°となって 180°になりませんので、同一円周上にありません。 7は∠BDC=180°-60°-30°-35°=55°≠∠BACですから同一円周上にありません。 8は∠ABD=∠ACDですから同一円周上にあります。 （B,CはADを直径とする円周上にあります。） 9は∠CAD=180°-85°-42°=53°≠∠CBDですから同一円周上にありません。 10は∠ADB=135°-30°=105°=∠ACBですから同一円周上にあります。 従って4点が同一円周上にあるのは3,5,8,10です。 No.29886 - 2014/12/18(Thu) 18:19:03

★ (No Subject) / すずき

テンプの問題について増減表のところです No.29875 - 2014/12/18(Thu) 16:14:55 ☆ Re: / すずき −√⒉から−１の間のf'の増減はどうやって調べたら良いでしょうか？ グラフからもよくわからず、任意の数値を入れるにもいい数字が見当たりません… 困ってしまいました、どうか教えてください。 No.29876 - 2014/12/18(Thu) 16:17:26 ☆ Re: / ヨッシー f'(x)＝−x/√(2−x^2)−1　であるので、 ｘが負の時 　-x＞√(2−x^2) ならば f'(x)＞０ 　-x＜√(2−x^2) ならば f'(x)＜０ よって、第２式は 　x^2＜2−x^2 より x^2＜1, -1＜ｘ＜1 これより 　-√2＜ｘ＜-1 は、 　-x＞√(2−x^2) ならば f'(x)＞０ の方に含まれ、f'(x)＞０ です。 No.29877 - 2014/12/18(Thu) 16:54:34 ☆ Re: / すずき かなり考えで、やっとピンときました。有難うございます。 No.29960 - 2014/12/27(Sat) 20:15:05

★ ベクトル 内積の計算 / みき

長さの条件から とはなんですか？ベクトルやっていて初めて拝見しました！ よろしくお願いします No.29864 - 2014/12/18(Thu) 00:08:00 ☆ Re: ベクトル 内積の計算 / らすかる 画像を何度見直しても「長さの条件から」という文が 見つけられないのですが、この画像の中に書いてあるのですか？ No.29867 - 2014/12/18(Thu) 05:37:42 ☆ Re: ベクトル 内積の計算 / みき ごごめんなさい、貼り間違えました！ こちらです No.29871 - 2014/12/18(Thu) 12:24:14 ☆ Re: ベクトル 内積の計算 / らすかる ここで言っている「長さの条件」は 「対角線の長さがAC=2, BD=6であるとする」 のことですね。 「長さに関して問題文で与えられている条件」という意味です。 No.29872 - 2014/12/18(Thu) 12:44:36

★ 円周角の利用 / ふぃ

連投失礼致します。以下の問題についても解説等頂けると有り難いです。こちらも同様に先に証明をしてから面積比を求めなければならないのでそちらについてもお願い致します。 中３・ふぃ △ABEと△ADEの面積比を求めよ。（相似の証明も） No.29861 - 2014/12/17(Wed) 23:16:21 ☆ Re: 円周角の利用 / ヨッシー ＡＣとＢＤの交点がＥであるとします。 相似の証明は下と同じですので省略しますが、 　△ＡＢＥ∝△ＤＣＥ 相似比は ＢＥ：ＣＥ＝３：４ よって、ＡＥ：ＤＥ＝３：４であるので、 　ＤＥ＝６×4/3＝８ △ＡＢＥ：△ＡＤＥ＝ＢＥ：ＤＥ＝３：８　・・・答え No.29863 - 2014/12/17(Wed) 23:32:17 ☆ Re: 円周角の利用 / deep make 同じことではありますが, もし, 方冪の定理を御存じであれば, EA・EC＝EB・ED より, 6・4＝3・ED, ED＝8 がわかり, 後は同様に, △ABE：△ADE＝BE：ED＝3：8 となります. No.29866 - 2014/12/18(Thu) 00:42:34 ☆ Re: 円周角の利用 / ふぃ 解説ありがとうございました！ とても分かり易かったです。 面積比については理解できたのですが、考え方も表さなければならずどうも図に表すことが出来ないのでそちらも教えて頂けると有り難いです。 中３・ふぃ No.29883 - 2014/12/18(Thu) 18:10:32 ☆ Re: 円周角の利用 / ヨッシー 図には、ＢＥ＝３、ＤＥ＝８を書けば十分です。 ＢＥ＝３は既に書かれているので、ＤＥ＝８を上の図に書けば良いのです。 文章で、高さが共通なので、面積比は底辺比と一致する。 と書いておけば、解答として成り立ちますし、この文があれば、 図は要らないくらいです。 No.29891 - 2014/12/18(Thu) 19:02:20

★ 円周角の利用 / ふぃ
以下の問題について解説や解き方等を教えて下さい。 証明をしてから辺の長さを出さなければならないのでその証明についても教えて下さると有り難いです。 中３・ふぃ 半径５cm、AB=8cmの円があり、△ACDと△EBDの面積比が１：４である。ADの長さを求めよ。（相似の証明も） No.29860 - 2014/12/17(Wed) 23:13:11 ☆ Re: 円周角の利用 / ヨッシー ＣＥは直径であるとします。 相似の証明は、円周角より 　∠ＣＡＤ＝∠ＢＥＤ 　∠ＡＣＤ＝∠ＥＢＤ 二角相等より△ＡＣＤ∝△ＥＢＤ 相似比１：４より 　ＡＤ＝ｘ、ＥＤ＝４ｘ 　ＤＣ＝ｙ、ＤＢ＝４ｙ とおくと、 　ｘ＋４ｙ＝８ 　４ｘ＋ｙ＝１０ これを解いて 　ｘ＝32/15　・・・答え No.29862 - 2014/12/17(Wed) 23:29:17

★ (No Subject) / すずき

テンプの問題について No.29855 - 2014/12/17(Wed) 16:22:33 ☆ Re: / すずき ⑵についてです 添付のように、極大極小の積の符号が負、ではとけませんか？？ kだけの式にならず解ききれなかったのですが・・・・ いつもすみませんが、宜しくお願いします。 No.29856 - 2014/12/17(Wed) 16:24:52 ☆ Re: / ヨッシー 極値が、異符号だけだと、３つの実数解を持つまでは言えますが、 それだけでは、すべての解が正であるとは言えません。 また、積を取ると、無闇に次数を増やすだけなので、 極小値が負、極大値が正と分けたほうが楽になります。 No.29858 - 2014/12/17(Wed) 16:56:09 ☆ Re: / すずき 極小値が負、と定めると、どのような回答になりますか？？？ 誘導を使わないでとくとしたら、どう解くのかが非常に気になっています。 どうか宜しくお願いします。 No.29873 - 2014/12/18(Thu) 16:12:07 ☆ Re: / ヨッシー まだ最後まで解いていませんが、１つ見つけたのは 上の回答では 　f’(α)f’(β)＜０ を計算していますが、正しくは 　f(α)f(β)＜０ です。 この問題では、積を取ったほうが良いかもしれません。 No.29897 - 2014/12/19(Fri) 10:00:27 ☆ Re: / ヨッシー 誘導というのは(i) のことでしょうか？ でも、a+b+c, abc, bc+ca+ab が揃っていたら、どうしたって 解と係数が思いつきますので、 　x^3−6x^2＋kx−4＝0 は使います。 　f(x)＝x^3−6x^2＋kx−4 とおくと、ｘで微分して、 　f'(x)＝3x^2−12x＋k f'(x)＝0 が異なる２実根を持つことより 　D/4＝36−3k＞0　より　k＜12　　　　　・・・(i) この条件下で 3x^2−12x＋k＝0 を解くと 　ｘ＝{6±√(36−3k)}/3 α＝{6−√(36−3k)}/3, β＝{6＋√(36−3k)}/3 とおくと f(α)f(β)＜０　　　・・・ａ，ｂ，ｃが異なる３実数になる条件 この条件下で α＞０，f(0)＜０　　・・・ａ，ｂ，ｃがいずれも正になる条件 f(0)＝-4＜0 は既に満たしています。 α＝{6−√(36−3k)}/3＞0 より 　36−3k＜36, ｋ＞０　　　　　・・・(ii) 　f(α)f(β)＝(α^3−6α^2＋kα−4)(β^3−6β^2＋kβ−4) 　　　　　　＝α^3β^3＋36α^2β^2＋k^2αβ＋16 　　　　　　　−6α^2β^2(α＋β)＋kαβ(α^2＋β^2)−4(α^3＋β^3) 　　　　　　　−6kαβ(α＋β)＋24(α^2＋β^2)−4k(α＋β) ここで、解と係数の関係より 　α＋β＝４, αβ＝k/3 　α^2＋β^2＝(α＋β)^2−２αβ＝16−2k/3 　α^3＋β^3＝(α＋β)^3−３αβ(α＋β)＝64−4k これらを代入して、 　f(α)f(β)＝k^3/27＋4k^2＋k^3/3＋16 　　　　　　　−8k^2/3＋(k^2/3)(16−2k/3)−4(64−4k) 　　　　　　　−8k^2＋24(16−2k/3)−16k 　　　　　　＝4k^3/27−4k^2/3−16k＋144 　　　　　　＝(4/27)(k^3−9k^2−108k＋972) 　　　　　　＝(4/27)(k-9)(k^2-108) 　　　　　　＝(4/27)(k-9)(k-6√3)(k+6√3) より、f(α)f(β)＜０ となるのは 　k＜−6√3　または　9＜k＜6√3　　・・・(iii) (i)(ii)(iii) より　9＜k＜6√3 積を取るほうが楽でした。 No.29901 - 2014/12/19(Fri) 14:19:46 ☆ Re: / すずき ご丁寧に有り難うございます！ 積でやってみましたが、計算が大変ですね・・・・いつもこの方法はこんなに計算が大変だったかなあ、と思いました。 ちなみに、微分のせきをとるミスはよくやってしまうのですまた間違えてました御指摘ほんとうに有り難うございます！ No.29917 - 2014/12/21(Sun) 16:20:32

★ (No Subject) / wataru

以下の問題について質問があります。 No.29849 - 2014/12/17(Wed) 13:04:47 ☆ Re: / wataru 解答の（２）で、どのように漸近線を求めているのでしょうか？ 上下型や左右型の双曲線だと分かるのですが、斜めになると分からなくなってしまいました。 No.29850 - 2014/12/17(Wed) 13:16:04 ☆ Re: / ヨッシー 　一般の反比例の式　ｘｙ＝ａ　の知識（漸近線はｘ軸とｙ軸） をそのまま使ってもいいですし、 　x^2/a^2−y^2/b^2＝1 の形に持って行きたいのであれば、原点周りに45°回転させてみると良いでしょう。 No.29852 - 2014/12/17(Wed) 13:27:57 ☆ Re: / deep make 双曲線の方程式を変形し, 2つの平行でない直線の方程式 f(x,y)＝0, g(x,y)＝0 を用いて, f(x,y)g(x,y)＝定数 の形に書けるとき, この2直線が, 双曲線の漸近線となります. (ただし, ここで定数とは, x,yに依存しない数という意味です) 例えば, 一般の形 x^2/a^2−y^2/b^2＝1 に対しては, (bx+ay)(bx-ay)＝(ab)^2 から, 漸近線 bx+ay＝0, bx-ay＝0 が得られます. 同様に今回の場合は, xy＝a^2/2 より, (f(x,y)＝x, g(x,y)＝y なので) 漸近線 x＝0, y＝0 を得ます. No.29853 - 2014/12/17(Wed) 13:50:22 ☆ Re: / wataru ヨッシーさん、deep makeさん、ありがとうございます。理解できました。 No.29869 - 2014/12/18(Thu) 11:48:45

★ (No Subject) / wataru

以下の問題について質問があります。 No.29847 - 2014/12/17(Wed) 12:24:31 ☆ Re: / wataru 解答の青線が引いてある箇所について まず、 ∠FQR＝∠FRQ⇒直線Lが直線L1とL2のなす角を二等分する と言っておいて、あとから 直線Lが直線L1とL2のなす角を二等分する⇔?僥QRはFR＝FQの二等辺三角形⇒∠FQR＝∠FRQ としていると思ったのですが合っていますか？ No.29848 - 2014/12/17(Wed) 12:36:27 ☆ Re: / deep make この問題を解くポイントは, 直線Lが直線L1とL2のなす角を二等分する⇔FR＝FQ に気付くことです. 直線Lが直線L1とL2のなす角を二等分する ⇔ ∠FQR＝∠HQR ⇔ ∠FQR＝∠FRQ ⇔ FR＝FQ なので, 放物線の性質を用いて, FR＝FQ を確認することで, 直線Lが直線L1とL2のなす角を二等分することを証明しています. No.29851 - 2014/12/17(Wed) 13:20:39 ☆ Re: / wataru 分かりやすい説明ありがとうございます。そういうことだったんですね。 No.29868 - 2014/12/18(Thu) 11:47:07 ☆ Re: / wataru すみません、もう一つ質問があるのですが、 「−であればよい。」という表現は十分条件を表すと習いました。であるので最初の青線の部分は、 「直線Lが直線L1とL2のなす角を二等分するのを示すのは、 ∠FQR＝∠FRQ を示す事と同値である」としたほうが適切なのでしょうか？ No.29870 - 2014/12/18(Thu) 12:02:36 ☆ Re: / ヨッシー 同値である必要はないので、「示せばよい」で十分です。 No.29890 - 2014/12/18(Thu) 18:58:29 ☆ Re: / wataru ヨッシーさん、返信ありがとうございます。 ヨッシーさんは同値である必要はないとおっしゃっていますが、deep makeさんのしてくださった回答を見ると 「直線Lが直線L1とL2のなす角を二等分する ⇔ ∠FQR＝∠HQR ⇔ ∠FQR＝∠FRQ ⇔ FR＝FQ」 というように 直線Lが直線L1とL2のなす角を二等分することは ∠FQR＝∠FRQであることと同値であると書かれています。 よろしければもう少し詳しくおしえていただけないでしょうか No.29898 - 2014/12/19(Fri) 11:23:31 ☆ Re: / ヨッシー Ａであることを示すためには、Ａであるための十分条件Ｂを 示すだけで十分です。 例えば（実際の問題で登場するかは別ですが）Ａ^2＝４ を示すのに Ａ＝２ が示されたらそれで十分です。仮にＡ≠−２ であっても Ａ^2＝４ は示されたことになります。 上の二等分線の問題も含め、多くの場合、同値関係にあることが 多いですが、同値（必要十分条件）には十分条件も含まれるので、 　Ｂ→Ａ という進め方が出来るのです。 今回、言葉の問題として「示せばよい」よりも「同値である」の方が 適しているかという話でしたので、「示せばよい」でも別段 適していないわけではなく「同値である」に置き換える必要は ないと申し上げました。 もちろん「同値である」でも良いですが、そう言うからには 同値であることが明白でないといけなく、却って制限が出てくる 可能性もあります。 No.29902 - 2014/12/19(Fri) 15:55:54 ☆ Re: / wataru 回答ありがとうございます。 そういうことだったんですね。 数学は同値であることが大事だと思っていました。 （恒等式や軌跡で逆の確認をするように） 数学の論理は難しいですね。 論理の分野のコツみたいなものがあれば、よろしければ教えていただけないでしょうか。 No.29913 - 2014/12/20(Sat) 20:41:42

★ 平均値の定理 / はお

ln(1+x)<x if x≧1 を示す問題です。 f(x):=x-ln(1+x)と置いた時にf(x)>0 if x≧0を示せばいいんだと思います。 f(1)=1-ln2>0で, ∀ε>0を採ると,1<∃c<1+ε; (f(1+ε)-f(1))/ε=f'(c)=1-1/(1+c)>0 (平均値の定理より) だから, f(x)はx≧0で増加関数. 従って,f(x)>0でいいんでしょうか? No.29846 - 2014/12/17(Wed) 11:31:22 ☆ Re: 平均値の定理 / IT > ln(1+x)<x if x≧1 を示す問題です。 > > f(x):=x-ln(1+x)と置いた時にf(x)>0 if x≧0を示せばいいんだと思います。 if x≧1 かif x≧0　どちらですか？ > f(1)=1-ln2>0で, > ∀ε>0を採ると,1<∃c<1+ε; (f(1+ε)-f(1))/ε=f'(c)=1-1/(1+c)>0 > (平均値の定理より) > だから, > f(x)はx≧0で増加関数. どこから「f(x)はx≧0で増加関数. 」が言えますか？ No.29896 - 2014/12/19(Fri) 08:23:59

★ なぜ間違い? / trigono

下記の解答で間違いらしいんですがどこから間違ってますでしょうか? [Q] sincos^-1√(16-(x+1)^2)を簡単にせよ。 z:=cos^-1√(16-(x+1)^2)と置くと, cos(z)=√(16-(x+1)^2), cos^2(z)=16-(x+1)^2なので, 1-sin^2(z)=16-(x+1)^2 sin^2(z)=(x+1)^2-15 z=√((x+1)^2-15). 従って, sincos^-1√((x+1)^2-15)=sinsin^-1(z) =sinsin^-1√((x+1)^2-15). =√((x+1)^2-15) No.29839 - 2014/12/16(Tue) 15:20:12 ☆ Re: なぜ間違い? / ヨッシー z=√((x+1)^2-15) は z=Sin^(-1)√((x+1)^2-15) の誤り、 sincos^-1√((x+1)^2-15)=sinsin^-1(z) は、 sincos^-1√(16-(x+1)^2)=sin(z) の誤りです。 結果は合っています。 No.29843 - 2014/12/16(Tue) 16:34:17 ☆ Re: なぜ間違い? / trigono どうも有難うございます。 No.29845 - 2014/12/17(Wed) 02:28:56

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