問題「「実数x,y,zがx^2+y^2+z^2＝1 をみたすとき、xy+yz+zxの最大値・最小値を求めよ」について質問です。
対称式の解き方で、xy+yz+zx＝u,x+y+z=v とおいて、
x,y,zの実数条件から答えを出したいのですがわかりません。
以下の方法は、技巧的で、対称式の解き方としても一貫性がないような気がします。もっと原則的で基本に沿ったとき方がありそうなのですが。よろしくお願いします。
xy+yz+zx=(1/2){(x+y+z)^2−(x^2+y^2+z^2)}
≧(1/2){−(x^2+y^2+z^2)} (∵ (x+y+z)^2≧0)
＝ −(1/2) (∵ x^2+y^2+z^2＝1)
よって、最小値−(1/2)
xy+yz+zx=x^2+y^2+z^2-(1/2){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}
≦x^2+y^2+z^2 (∵ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 ≧0 )
＝1 (∵ x^2+y^2+z^2＝1)
よって、最大値1
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No.29803 - 2014/12/09(Tue) 16:56:03
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | u=xy+yz+zx とおくと、
(x+y+z)^2＝(x^2+y^2+z^2)＋2u＝1＋2u であるので、
2u＝(x+y+z)^2−1
よって、(x+y+z)^2 が最大の時にｕは最大、
(x+y+z)^2 が最小の時にｕは最小となります。
x+y+z=v とおき、この平面と、球 x^2+y^2+z^2＝1 とが
交点を持ちつつ、ｖを増減させてみます。
平面 x+y+z=v が、球 x^2+y^2+z^2＝1 と接する
ｘ＝ｙ＝ｚ＝1/√3
のとき、x+y+z＝√3 となり、
2u＝３−１＝２
ｕ＝１ ・・・最大
平面 x+y+z=v が、球 x^2+y^2+z^2＝1 と接する
ｘ＝ｙ＝ｚ＝−1/√3
の場合も、ｕ＝１ が得られます。
平面 x+y+z=0 と、球との交点、たとえば、
(1/√2, -1／√2, 0)
などにおいて、
2u＝０−１＝−１
ｕ＝−１／２ ・・・最小
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No.29804 - 2014/12/09(Tue) 17:39:00 |
| ☆ Re: / アカシロトモ | | | ヨッシー さん
お礼が遅くなり大変失礼いたしました。
図形での解き方があるのですね。
詳しい解説ありがとうございました。
とても勉強になりました。
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No.29805 - 2014/12/09(Tue) 19:18:44 |
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