ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ twitterで見つけた整数問題 / sakana

twitterで見つけた問題なのですが、解き方がさっぱり分かりません。どなたかヒントだけでも教えて頂けないでしょうか。

No.30634 - 2015/02/11(Wed) 17:11:18

☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / sakana

こちらの問題です。

No.30635 - 2015/02/11(Wed) 17:13:16

☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / みずき

自作問題ということなので、
次のような回答をしても良いだろうと勝手に判断します。

Schinzelという人が
「n≧13のとき2^n-1が2n+1以上の素因数を持つ」
ことを示していますので、n≦12だけを調べればよく
条件を満たすnはn=1,2,4,6だけと分かります。

No.30641 - 2015/02/11(Wed) 20:35:22

☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / sakana

なるほど。そんな定理があるんですね。勉強になりました。
でも、そういった証明が難しそうな定理を使わずに、より初等的に解くことはできないのでしょうか？

No.30648 - 2015/02/12(Thu) 07:25:58

☆ Re: twitterで見つけた整数問題 / らすかる

指針だけですが

2^n-1はnが奇数のときは3で割り切れません。
nが偶数のときはn=2m・3^k（mは3で割り切れない数）とおいて
2^n-1が3^(k+1)で割り切れ3^(k+2)で割り切れないことを示せば
n=1：(分子)=a[1]・3^0、(分母)=b[1]・3^0
n=2：(分子)=a[2]・3^1、(分母)=b[2]・3^1
n=3：(分子)=a[3]・3^1、(分母)=b[3]・3^0
n=4：(分子)=a[4]・3^1、(分母)=b[4]・ 3^1
n=5：(分子)=a[5]・3^2、(分母)=b[5]・ 3^0
n=6：(分子)=a[6]・3^2、(分母)=b[6]・ 3^2
n=7：(分子)=a[7]・3^2、(分母)=b[7]・ 3^0
n=8：(分子)=a[8]・3^4、(分母)=b[8]・ 3^1
n=9：(分子)=a[9]・3^4、(分母)=b[9]・ 3^0
n=10：(分子)=a[10]・3^4、(分母)=b[10]・ 3^1
n=11：(分子)=a[11]・3^5、(分母)=b[11]・ 3^0
n=12：(分子)=a[12]・3^5、(分母)=b[12]・ 3^2
・・・
（a[n],b[n]は3で割り切れない数）
のようになり、分子の方が3の指数が速く増えますので、
3の指数が一致するn=1,2,4,6以外は答えになり得ないことが
わかると思います。

2^(2m・3^k)-1が3^(k+1)で割り切れ3^(k+2)で割り切れないことは、
2^(3a)-1=(2^a)^3-1
=(2^a-1){(2^a)^2+2^a+1}
となって(2^a)^2+2^a+1が3で割り切れ9で割り切れないことを使えば言えます。

No.30649 - 2015/02/12(Thu) 11:15:47

★ 芝浦工大 / 受験生Ｓ

試験でできなかった問題が気になってます。
教えて欲しくて書き込みします。
よろしくお願いします。

自分の考えでは、
左辺と右辺は相加相乗で示せそう。

逆数とって、
(log a-log b)/(a-b)はy=log xにおける平均変化率として解くのかな…と思ったのですが、うまくできませんでした。

No.30630 - 2015/02/11(Wed) 14:35:40

☆ Re: 芝浦工大 / みずき

変数を1つにしてみるというのはいかがでしょうか。

各辺をaで割りb/a=tとおくと
√t＜(1-t)/(-logt)＜(1+t)/2
⇔-(logt)√t＜1-t＜-(logt)(1+t)/2
⇔1-t+(√t)logt＞0かつ2t-2-(1+t)logt＞0
なので、f(t)=1-t+(√t)logt,g(t)=2t-2-(1+t)logtとおくと
「0＜t＜1のときf(t)＞0」と「0＜t＜1のときg(t)＞0」
を示すことに帰着します。（以下略）

No.30642 - 2015/02/11(Wed) 21:02:36

☆ Re: 芝浦工大 / 受験生Ｓ

おぉーそういうアイデアもあるんですね。
ありがとうございます。

変数を減らすの考えましたが、片方を固定して…みたいに思ってました。

自分で解いてみます。

No.30643 - 2015/02/11(Wed) 21:20:33

☆ Re: 芝浦工大 / Halt0

調べたら (a-b) / (loga-logb) のことを Logarithmic mean
(対数平均, という訳でいいのかな) と言うらしいですね.
英語ですが, こちらの PDF の 2 ページ目に簡潔な証明があります:
The Geometric, Logarithmic, and Arithmetic Mean Inequality

No.30653 - 2015/02/12(Thu) 15:54:00

☆ Re: 芝浦工大 / 受験生Ｓ

Halt0さん、ありがとうございます。
学校の先生に質問したら、同じようなことを教えてもらいました。
対数平均、入試の背景を知るといろんなことを勉強したくなりました。

No.30677 - 2015/02/14(Sat) 00:43:13

★ 群数列 / 釜

群数列；1/2,1/4,3/4,1/8,3/8,5/8,7/8,1/16,3/16...,15/16,1/32,..

このとき第1項から第175項までの和を求めよ。

よろしくおねがいします。

No.30625 - 2015/02/10(Tue) 21:28:16

☆ Re: 群数列 / ヨッシー

{1/2}, {1/4, 3/4}, {1/8, 3/8, 5/8, 7/8}・・・
のように区切り、最初の {　}を第１群、次の {　} を第２群のように呼びます。
第ｎ群の分母は 2^n であり、項数は2^(n-1)、分母は１から始まる奇数となっています。
また、ｎ個の奇数の合計
　１＋３＋・・・；(2n-1)＝ｎ^2
であることを使うことにします。（必要なら、公式で示してください）
第１群から第７群までの項数は
　１＋２＋４＋・・・＋６４＝１２７
　１７５－１２７＝４８
より、第８群の第４８項が、通算での第１７５項となります。
第ｎ群の全項の和は
　{2^(n-1)}^2/2^n＝２^(n-2)
よって、第７群までの和は
　1/2＋1＋2＋4＋8＋16＋32＝127/2
これに、第８群の第４８項までの和
　(1＋3＋5＋・・・＋95)/128＝48^2/128＝18
を加えて
　127/2＋18＝163/2　・・・答

No.30628 - 2015/02/10(Tue) 22:34:57

★ 中学入試 / ロンメル

中学入試の問題だそうです。
算数の範囲で解答可能なんでしょうか？

三角形ＡＢＣにおいて角Ａの内角を二等分する線と辺ＢＣの交点をＤとし、角Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＨとする。辺ＡＢと辺ＡＣの差が４、辺ＢＤと辺ＣＤの差が３、また三角形ＡＢＣに内接する円の半径が６のとき、ＡＨの長さを求めよ。

No.30623 - 2015/02/10(Tue) 20:41:49

☆ Re: 中学入試 / deep make

点Ｄから辺ＡＢ, 辺ＡＣに下ろした垂線の長さが等しいことを用いてよいのならば,
△ＡＢＤと△ＡＣＤの面積比はＡＢ：ＡＣになることが分かり,
一方でどちらも, ＢＤ, ＣＤを底辺とするときに,
高さはＡＨであることから, ＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣが示せます.

故に, ＢＤ－ＣＤ＝ＢＣ(ＡＢ－ＡＣ)/(ＡＢ＋ＡＣ)＝3 より,
(ＡＢ＋ＡＣ)/ＢＣ＝4/3, (ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)/ＢＣ＝7/3 となることがわかります.

一方, 三角形ＡＢＣの面積をＳとするとき,
2Ｓ＝6(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)＝ＢＣ×ＡＨより,
ＡＨ＝6(ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ)/ＢＣ＝6×(7/3)＝14 を得ます.

上で最初に示した「角の二等分線と辺の比についての性質」は,
小学生によっては知っている場合もあるので, その場合は,
説明抜きに「ＢＤ：ＣＤ＝ＡＢ：ＡＣ」を使えます.

No.30626 - 2015/02/10(Tue) 22:08:16

☆ Re: 中学入試 / ヨッシー

ＡＢ＜ＡＣ、ＢＤ＜ＣＤとします。
ＡＢ＞ＡＣ、ＢＤ＞ＣＤであっても、結果は同じです。

角の二等分線の性質より、
　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ
より
　ＡＢ：ＢＤ＝ＡＣ：ＣＤ＝(AC-AB)：(CD-BD)＝４：３
よって、図の△ＡＢＣと△ＢＥＦ（面積は同じ）において、
　ＢＣ：ＢＥ＝３：７
であり、底辺比と高さ比は逆比になるので、
　ＡＨ：ＦＪ＝７：３
FJは、内接円の半径６であるので、
　ＡＨ＝６×7/3＝１４
となります。

No.30627 - 2015/02/10(Tue) 22:20:33

☆ Re: 中学入試 / ロンメル

ありがとうございました
すっきりしました。

No.30629 - 2015/02/10(Tue) 23:46:09

★ 場合の数 / Ruhrung

こんにちは。Ruhrungと申します。宜しくお願い致します。

問　1000以下の自然数で、15と、1以外に公約数を持たない数の個数を求めよ。

解説には次のように書いてありました。

15=3×5だから、3でも5でも割り切れない数を求めればよい。したがって、533個。

私の日本語力の問題だと思うのですが、この解説（15と、1以外に公約数を持たないならば、3でも5でも割り切れない数を求めればよいという部分）がよくわかりません。恐れ入りますが、教えてください。宜しくお願い致します。

No.30619 - 2015/02/10(Tue) 10:27:50

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

別の言い方をすると、「１５と互いに素である数」です。

例えば、
１５と１４の公約数は１だけです。
１５と２７の公約数は１と３です。
１５と２５の公約数は１と５です。
１５と４５の公約数は１，３，５，１５です。
３で割れるか、５で割れる数は、１５との間に１以外の
公約数を持ちますので、そういう数はダメだということです。

No.30620 - 2015/02/10(Tue) 11:37:21

☆ Re: 場合の数 / Ruhrung

ヨッシーさん、こんにちは。返信がとても遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。
「互いに素」と考えればよいのですね。少々理解に時間がかかりましたが、納得できました。
丁寧に教えて頂き、どうもありがとうございました。また宜しくお願い致します。

No.30714 - 2015/02/16(Mon) 10:32:15

★ 上智大学理工学部 / Rio

添付の問題の(3)で悩んでいます。
f(x)をt=sinxで表すと(1+3a)t-4asin^3x
となりますが
f'(x)=0 の2解をα>βとして (2)より(3)の場合は最大値はx=αの時なのでf(α)を計算し、aの関数として最小値を考えるというシンプルな考えで計算しているのですが求まりません。
よろしくお願いします。

No.30617 - 2015/02/09(Mon) 17:26:19

☆ Re: 上智大学理工学部 / ヨッシー

(3)
　０＜√{(3a+1)/12a}＜１のとき、極大値は
　f(√{(3a+1)/12a})＝(3a+1)√{(3a+1)/12a}－4a{(3a+1)/12a}√{(3a+1)/12a}
　　＝{2(3a+1)/3}√{(3a+1)/12a}＝(2/3)√{(3a+1)^3/12a}
これとは別に、
　f(t)＝{2(3a+1)/3}√{(3a+1)/12a}
となるｔの値をγとすると、
　－１≦γ　のとき　f(-1)＝－(3a+1)＋4a＝a－1 が最大値
これは、ａに対して単調増加なので、ａが小さいほど小さい。
よって、γ＝－１のとき、最大値は　(2/3)√{(3a+1)^3/12a}　であり、
結局、(2/3)√{(3a+1)^3/12a}} の値が最小となるａを求めることとなります。
　g(a)＝(3a+1)^3/12a
とおきます。
　g'(a)＝{108a(3a+1)^2－12(3a+1)^3}/144a^2
　　　＝(3a+1)^2(108a－36a－12)/144a^2
　　　＝(3a+1)^2(72a－12)/144a^2
よって、ａ＝1/6 （コ／サ）のとき、g(x) は最小となり、このとき
　g(1/6)＝(3/2)^3/2＝27/16
　(2/3)√{(3a+1)^3/12a}}＝(2/3)√(27/16)＝(√3)/2　(シ／ス)
このとき、最大値を与えるｔは、f(t) の極大値を与える
　ｔ＝√{(3a+1)/12a}＝(√3)/2　(セ／ソ)
となります。

No.30618 - 2015/02/09(Mon) 18:26:58

☆ Re: 上智大学理工学部 / Rio

わかりやすくありがとうございました！

No.30665 - 2015/02/13(Fri) 12:16:46

★ 集合についての質問 / 匿名希望

こんにちは、経済数学の入門書の問題についての質問です。アドバイスいただければ幸いです。

次の集合を要素を書き並べる方法で表せ。

B={n^2|-2以上 n 2以下}
回答　B={0,1,4}

なぜゼロが含まれるのかよくわかりません。
初歩的な質問で恐れ入りますが、アドバイスをお願いいたします。

No.30615 - 2015/02/09(Mon) 05:33:04

☆ Re: 集合についての質問 / ヨッシー

まず最初に、「ｎは整数」という条件が付いているはずです。
そうすると、－２以上２以下の整数は
　－２，－１，０，１，２
であり、それらを２乗すると
　４，１，０，１，４
重複しているものを除くと、
　０，１，４
です。

No.30616 - 2015/02/09(Mon) 06:36:46

★ (No Subject) / くちぱっち

相加・相乗平均の意味がわかりません。
詳しく説明お願いします！
また,どんな時に使うですか？

No.30608 - 2015/02/07(Sat) 17:23:37

☆ Re: / ヨッシー

変数２つの場合についていうと、正の数ａ，ｂについて
　(ａ＋ｂ)÷２　を　相加平均（一般にいうところの平均です)
　√（ａｂ）　を相乗平均といいます。
両者には
　(相加平均)≧(相乗平均)
の関係があり、ａ＝ｂのときのみ　(相加平均)＝(相乗平均) となります。

証明
　相加平均、相乗平均ともに正なので、
　(相加平均)^2－(相乗平均)^2≧０
が示せれば証明完了です。
　(相加平均)^2－(相乗平均)^2＝(ａ^2＋２ａｂ＋ｂ^2)／４ーａｂ
　　＝(ａ^2－２ａｂ＋ｂ^2)／４＝(ａ－ｂ)^2／４≧０
等号はａ＝ｂのとき。

どんな時に使うかは、こちらを見てみてください。

No.30609 - 2015/02/08(Sun) 01:57:05

☆ Re: / くちぱっち

ありがとうございます👏(・_・)ｗｗｗｗｗ

No.30613 - 2015/02/08(Sun) 14:36:39

★ 組み合わせについて / 初心者

基本かもしれませんがよろしくお願いします。

「コインを８回投げるとき、３回だけ表が出るような、表裏の出方は何通りあるか。」
という問題で、
なぜ8Ｃ3という式が導き出せるのかが分かりません。
8Ｃ3というのは、８個の中から３個を選ぶという組み合わせの公式であるのに、この問題で採用できる理由がどれだけ考えてもわかりません。

よろしくお願いします！

No.30601 - 2015/02/06(Fri) 19:08:59

☆ Re: 組み合わせについて / ヨッシー

例えば、
　ＡＢＣＤＥＦＧＨ
の８つの文字から３つを選ぶ選び方は　8Ｃ3 ですね？
Ａ，Ｂ，Ｃを選んだ場合を　１，２，３回目に表
Ａ，Ｃ，Ｄを選んだ場合を　１，３，４回目に表
Ｆ，Ｇ，Ｈを選んだ場合を　６，７，８回目に表
のように、Ａ～Ｈを１～８に対応させて、その回数に表が出るように考えれば、
８個から３個を選ぶ組み合わせと、８回のうち３回表が出る出方とを、漏れなく、重複なく結びつけることが出来ます。

No.30602 - 2015/02/06(Fri) 19:30:55

☆ Re: 組み合わせについて / 初心者

回答していただいた説明で、分かったようでわからないのですが、
これがコインではなくサイコロであったらまた解答が変わってきますよね？
つまり、この問題はコインという一回の試行で表と裏の二通りがあるものを扱っているからこそ成立しているのでしょうか？
だとすれば、なぜコインなら成立するのに、サイコロならば答えが変わってしまうのでしょうか。

変な質問ですいません。

No.30603 - 2015/02/06(Fri) 21:49:04

☆ Re: 組み合わせについて / ヨッシー

サイコロならば答えが変わってしまう
とは、どういう問題を想定されていますか？
（まぁ、色々あるでしょうが）

サイコロでも、８回のうち３回奇数が出る、とか
８回のうち３回１が出るの場合は同じ考え方が出来ます。
要するに、二者択一のものであれば、場合の数は同じ結果となります。

ただし、これは場合の数の話で、確率まで考えると違ってきます。

No.30604 - 2015/02/06(Fri) 22:34:22

☆ Re: 組み合わせについて / 初心者

「２者択一のものならば成立する」というのは理解できた気がします。

しかし、
> ８回のうち３回１が出るの場合は同じ考え方が出来ます。
ということですが、
そのような問題を想定していました。
８回のうち３回１が出る場合だと、
たとえば１１１２２２２２
　　　　１１１２２２２３
　　　　１１１２２２２４
という風に見ていくとものすごい膨大な数の通りになるように思うのですが・・・

これは２者択一といえるのでしょうか？

No.30605 - 2015/02/06(Fri) 22:53:51

☆ Re: 組み合わせについて / ヨッシー

あ、すみません。
普通のサイコロじゃダメですね。

１の目の面が１つと、それ以外の５つの面はすべて２、のようなサイコロと考えて下さい。

No.30606 - 2015/02/06(Fri) 22:58:29

☆ Re: 組み合わせについて / 初心者

なるほど、それなら確かに確率を考えると違ってきますね。

分かりやすい回答ありがとうございました。

No.30607 - 2015/02/06(Fri) 23:10:34

★ 複素数について / おまる

こんにちは。
気になったことがあるので教えてください。

あるf(x)がxーω,xーω^2 (ωは複素数に含まれる) それぞれで割り切れるならば、ω≠ω^2の時、f(x)はx^2+x+1=(xーω)(xーω^2)で割り切れることは真ですが、ω=ω^2の時に上記のことが成り立たない反例はあるのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.30592 - 2015/02/06(Fri) 12:17:15

☆ Re: 複素数について / X

その質問は仮定から間違っています。
x^2+x+1=(x-ω)(x-ω^2)
ですので
ω=ω^2
とはなりえません。

No.30594 - 2015/02/06(Fri) 12:22:25

☆ Re: 複素数について / らすかる

ω=ω^2 とすると
ω^2-ω=0
ω(ω-1)=0
ω=0,1
つまり複素数ωがω=ω^2を満たすということは
ω=0またはω=1ということになります。
例えばω=1のとき
「f(x)がx-ω,x-ω^2でそれぞれ割り切れる」
というのは
「f(x)がx-1,x-1でそれぞれ割り切れる」
という意味になりますが、このときの「それぞれ」とは
どういう意味ですか？
もし「x-1で割り切れ、かつx-1で割り切れる」という意味ならば、
例えばf(x)=x-1のとき
f(x)はx-1で割り切れ、かつx-1で割り切れますが、
(x-1)(x-1)では割り切れません。

No.30595 - 2015/02/06(Fri) 14:29:01

☆ Re: 複素数について / おまる

Xさん、らすかるさん、ご回答ありがとうございました。複素数の範囲でω=ω^2である数はないのかなと思っていたのですが、ラスカルさんの丁寧な説明で理解できました。
「それぞれ」の意味は、らすかるさんのおっしゃっているとおり「f(x)が、xーωで割り切れるかつxーω^2で割り切れる」という解釈です。

No.30599 - 2015/02/06(Fri) 16:05:39

★ (No Subject) / くちぱっち

(2)が解けません。解説と解答お願いします！

No.30588 - 2015/02/06(Fri) 00:14:18

☆ Re: / X

x^2+2xy+4y^2=9 (A)
とします。
(1)
x-2y=X (B)
と置くと
x=2y+X
これを(A)に代入した式をyの二次方程式と見たときの
解の判別式に対する条件から
Xについての不等式を立てます。

(2)
(B)のとき(A)から
X^2=9-6xy
∴xy=(9-X^2)/6 (C)
(B)(C)から
z=X^2+8(9-X^2)/6+2X
=-(1/3)X^2+2X+12 (D)
横軸にX,縦軸にzを取って(1)の結果の
Xの値の範囲で(D)のグラフを描きます。

No.30590 - 2015/02/06(Fri) 01:17:57

☆ Re: / くちぱっち

さすがです。
ありがとうございます(((o(*ﾟ▽ﾟ*)o)))

No.30591 - 2015/02/06(Fri) 01:24:54

★ (No Subject) / くちぱっち

自分で考えたのですが,解説お願いします！

No.30580 - 2015/02/05(Thu) 18:12:08

☆ Re: / くちぱっち

こちらが私の考えです。

No.30581 - 2015/02/05(Thu) 18:13:54

☆ Re: / X

(1)
方針に問題はないようですが
最後の解の公式の適用の仕方が
間違っていますね。
分子の第1項は8ではなくて-8です。
只、
16x^2+16x-5=0
は解の公式を使わなくても
たすきがけにより
(4x+5)(4x-1)=0
と変形できます。

又、与式をわざわざ二乗するよりは
絶対値を外して
2x+1=3/2,-3/2
と変形して処理をしたほうが計算が簡単な分
間違いが少なくなるでしょう。

No.30583 - 2015/02/05(Thu) 18:35:46

☆ Re: / X

(2)
(1)
方針に問題はないようです。
そのまま
P(1)=4
P(4)=13
であることを使ってa,bについての連立方程式を立てます。

只、記述式としての計算過程の一部として見るならば
P(x)を(x-1)^2,x-4で割ったときの商をいずれも
Q(x)としている時点で×です。

(2)
求める余りの次数が2以下であることと
(1)の結果から
P(x)={(x-1)^2}(x-4)S(x)+a(x-1)(x-4)+3x+1
(但し、S(x)は整式)
つまり求める余りを
a(x-1)(x-4)+3x+1 (A)
と置くことができます。
ここで条件から(A)を(x-1)^2で割った余りが
-3x+7 (B)
であることから(A)を実際に(x-1)^2で割り
得られた余りを(B)と比較して、aについての
方程式を立てます。

No.30584 - 2015/02/05(Thu) 18:41:07

☆ Re: / X

(3)
(1)の方針に問題はないようです。
(2)についてですが、(1)の結果を使って
↑AB・↑AC
の値を計算しておけば、途中計算を見る限り
問題の値は計算できると思います。

No.30585 - 2015/02/05(Thu) 18:45:11

☆ Re: / くちぱっち

ありがとうございます。

No.30586 - 2015/02/05(Thu) 18:59:34

★ 積分 / じょん

ｙ＝e^(-x+1) y=e^(-x/2 +1-log2) y=1/x

これら３つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ

この解き方なんですがおしえてください

No.30574 - 2015/02/05(Thu) 01:36:11

☆ Re: 積分 / 受験生Ｓ

問題文を信じて、囲まれる様子を観察してみました。

No.30636 - 2015/02/11(Wed) 18:10:45

☆ Re: 積分 / 受験生Ｓ

> ｙ＝e^(-x+1) y=e^(-x/2 +1-log2) y=1/x
>
> これら３つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ
>
> この解き方なんですがおしえてください

No.30637 - 2015/02/11(Wed) 18:12:16

☆ Re: 積分 / 受験生Ｓ

続きです

No.30638 - 2015/02/11(Wed) 18:13:13

☆ Re: 積分 / 受験生Ｓ

あとは計算すれば良さそうです

No.30639 - 2015/02/11(Wed) 18:14:02

☆ Re: 積分 / 受験生Ｓ

答えって、分かっているんですか？

log2－(e/4)

計算あってますかね…(；´∀｀)･

No.30640 - 2015/02/11(Wed) 19:01:41

★ 三角形の内角を求める / 三浦

http://jan.2chan.net/may/25/src/1422927829163.png

補助線引いて二等辺三角形作って角の和について2つ立式しても同じ式になるし
2つの小さい三角形について正弦定理とか積和定理使って整理しても
sinX°=sin54°-1/2とかになって解けません

どのように解けばいいのでしょうか？お願いします

No.30573 - 2015/02/04(Wed) 23:00:09

☆ Re: 三角形の内角を求める / みずき

正弦定理などに言及されているので、
次のような解法も許容されると勝手に判断して回答します。

おっしゃるように補助線を引き二等辺三角形を作ります。
12°と42°が集まっている頂点をA
x°と21-(x/2)°が集まっている頂点をB
84°と21-(x/2)°が集まっている頂点をC
三角形の内部の点をDとそれぞれおくと、
チェバの定理の角度版から、
sin(∠DBA)sin(∠DAC)sin(∠DCB)=sin(∠DBC)sin(∠DAB)sin(∠DCA)
が言えるので、
sin(x°)
=sin(12°)sin(84°)/sin(42°)
=(-1/2)(cos(96°)-cos(72°))/sin(42°)
=(cos(84°)+cos(72°))/(2sin(42°))
={(√(30-6√5)-√5-1)/8+(√5-1)/4}/{(√(30+6√5)-√5+1)/4}
=(√5-1)/4
∴ x°=18°

No.30575 - 2015/02/05(Thu) 08:12:54

☆ Re: 三角形の内角を求める / ヨッシー

sinX°=sin54°-1/2
まで来たなら、以下のようにも出来ます。

図のような、36°、72°、72°の二等辺三角形を考えます。
●１個が36°です。
ＡＢ＝ＡＣ＝１、ＢＣ＝ｘ　とすると、
△ＡＢＣ∽△ＢＣＤより
　ＡＢ：ＢＣ＝ＢＣ：ＣＤ
　１：ｘ＝ｘ：１－ｘ
　ｘ^2＋ｘ－１＝０
これをｘ＞０の範囲で解いて
　ｘ＝（－１＋√５）／２
よって、
　cos72°＝sin18°＝ｘ／２＝（√5－１）／４
　cos18°＝sin72°＝√(10＋2√5)／４
これより
　sin36°＝cos54°＝√(10－2√5)／４
　sin54°＝cos36°＝（√5＋１）／４
を得ます。

これを知った上でなら、
　sinＸ＝sin54°－1/2＝（√5－１）／４＝sin18°
が導けます。

No.30576 - 2015/02/05(Thu) 09:52:27

☆ Re: 三角形の内角を求める / 三浦

みずきさん、ヨッシーさんありがとうございます。理解できました。
みずきさんの解法ではcos84°とsin42°の値も求める必要があると思いますが、どのように求めるのでしょうか？
cos84°=sin6°=sin(36°-30°)
cos6°=cos(36°-30°)
sin42°=sin(36°+6°)
とするのですか？

No.30578 - 2015/02/05(Thu) 17:18:17

☆ Re: 三角形の内角を求める / ヨッシー

お察しの通り加法定理でしょうね。
上の方法の他に
　84°＝30°＋54°
　42°＝72°－30°
などでも出来ます。
（18°、36°、54°、72°はクリアしているとします）

No.30579 - 2015/02/05(Thu) 17:36:30

☆ Re: 三角形の内角を求める / みずき

> みずきさんの解法ではcos84°とsin42°の値も求める必要があると思いますが、どのように求めるのでしょうか？

もう蛇足かもしれませんが・・・
私は42=60-18と84=2×42から求めました。

No.30582 - 2015/02/05(Thu) 18:24:03

☆ Re: 三角形の内角を求める / 三浦

なるほど～。
42°のような中途半端な角度でも何通りか和の作り方があって求められるんですね。お2人ともどうもありがとうございました！

No.30587 - 2015/02/05(Thu) 21:16:44

★ あと2週間 / 確率漸化式

袋の中に赤青白の玉が一つづつはいっている。この袋の中から無作為に一個の玉を取り出してから元に戻すという試行をｎ≧３回くりかえす。

全てのi（i=1,2,,,n)についてi回目に出た玉の色とi+1回目に出た玉の色が異なる確率を求めよ。ただしn+1回目に出た玉の色は1回目に出た玉の色の事だとみなす。

題意の確率をPnとおく

n-1回目まで色の連続が無く、しかも一回目とn-1回目に出た色が同じ場合（確率(2/3)^(n-1)-P(n-1)),n回目には最初の色と異なる色が出ればよい（確率2/3)

とあるのですがどうして(2/3)^(n-1)-P(n-1)

となるのかがわかりません。
一回目は何でもよく確率１、残りのｎ－3回は連続しない色（確率(2/3)^(n-3),ｎ－１回目は一回目と同じ色だから確率１、ゆえに１*(2/3)^(n-3)*1となってしまいます。

よろしくおねがいします

No.30569 - 2015/02/04(Wed) 18:55:38

☆ Re: あと2週間 / ヨッシー

本当に　（確率(2/3)^(n-1)-P(n-1))　と書いてありますか？
（確率(2/3)^(n-2)-P(n-1)) ではなく？

No.30570 - 2015/02/04(Wed) 21:37:35

☆ Re: あと2週間 / 確率漸化式

転載ミスです、確かに(2/3)^(n-2)-P(n-1)でした。もうしわけありません

No.30571 - 2015/02/04(Wed) 22:15:27

☆ Re: あと2週間 / ヨッシー

だとすると、こういう回答になります。

n-1回目に１回目と同じ色にしようと思ったら、n-2回目は１回目と違う色でないといけないですよね？
すると、n-3回目が・・・と考えていくとキリがないので、以下のように考えます。
とりあえず、１回目とn-1回目が同じかどうかは考えずに、n-1回目まで違う色が出る確率を求めると
１回目は何でもよく、残りのｎ－２回が、前の色と違えばいいので、
　(2/3)^(n-2)
これから、P(n-1) つまり、１回目とｎ－１回目の色が違う場合の確率を引くと、１回目とｎ－１回目の色が同じ場合の
確率になります。よって、
　(2/3)^(n-2)－P(n-1)
です。

No.30572 - 2015/02/04(Wed) 22:31:23

★ (No Subject) / かくりつう

コインの表が二回連続したとき試行は終わるものとする。このときｎ（≧２）回目に試行が終わる確率Snをもとめよ。

直前に表が出ていない・・状態０
直前にに表が出ていてさらにその前は表でない・・状態１

の2通りしかない。ｎ回施行後に状態０である確率をPn、状態１である確率をQｎとすると
Pn=1/2*P(n-1)+1/2*Q(n-1)
Qn=1/2*P(n-1)
(n≧1)

P0=1,Q1=0,P1=Q1=1/2

とあるのですが、状態０，１の「直前に」という表現がよく分かりません。ｎ回後に「ｘ」の状態になるのが状態０、「XO」の状態になるのが状態１なのではないでしょうか？

0回または1回しかやってないのに直前に、ってのは一体何のことなのかよく分かりません。P0=1,Q1=0,P1=Q1=1/2となる理由を教えてください、よろしくおねがいします

No.30564 - 2015/02/04(Wed) 13:46:43

☆ Re: / ヨッシー

こちらがわかったのなら、この問題も同じく言葉の言い回しだけの問題です。

ちなみに、
　P0=1,Q0=0,P1=Q1=1/2
ですね。

No.30565 - 2015/02/04(Wed) 13:56:38

☆ Re: / かくりつう

表を○、裏を×と表現しました

No.30566 - 2015/02/04(Wed) 13:56:58

☆ Re: / かくりつう

ありがとうございます

「こちら」の記事はわかりました。
つまりｎ回降った後

状態０：次にいかなる面が出ても終了にならない状態（先頭が×の状態、次に○が来ても×が来ても終了にならない）

状態１：次に終了になる確率が１／２である状態（先頭が×○の状態、次に○が来るとアウト）

と書き直せるということですね？

No.30567 - 2015/02/04(Wed) 16:15:31

☆ Re: / ヨッシー

そういう理解でいいですが、強いて言うなら、書き直さなくても
理解できるように訓練するのが、数学を勉強するということです。

０回施行後の直前とは０回目のことなので、
「０回目に表が出たのか？」「いや、出ていない」
「ではＰ０＝１，Ｑ０＝０　だ。それで何か計算上の不都合があるか？」
「いや、ない」「ではそれで行こう」
という思考を養うのも数学の勉強のひとつです。

一方で、この解説の方に難を言うなら、
Ｐ１＝Ｑ１＝１／２　は自明であり、かつ、これだけでこの問題は解けるので、
Ｐ０，Ｑ０を持ち出す必要はなく、蛇足である。
ということです。

No.30568 - 2015/02/04(Wed) 17:01:49