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★ 収束について / 山田
(1)Σ(k=1→n-1)1/k
(2)Σ(k=1→n-1)(-1)^k (1/k)
(3)Σ(k=1→n-1)(-1)^k (1/k)^2

の３つがあるのですが、これらが
・コーシー列になる
・条件収束するが絶対収束しない
・絶対収束する
・n>=1/εなら収束値との誤差がε未満になる
のうちどれに当てはまるか

という問題があるのですが、どのように考えていいかよくわかりません。

どのような手順で収束を調べれば良いのでしょうか？
No.30349 - 2015/01/23(Fri) 02:02:13
★ 歯車について / √
「歯車」について教えてください。

歯の数が異なる歯車を４つ、隙間無く並べました。

歯の数は
２４・３０・９・１６
です。

一番左の歯車を右回りに２回転させると、
一番右の歯車は左回りに何回転するか？

という問題で、答えは３回転です。

解き方を見たら、
２４個の歯が２回転するので、
４８個の歯が動いたことになる。
だから
４８÷１６＝３回転
ということですが、あまりピンとこなかったので、
自分で簡単な歯車を２個、作ってみました。

左側
１８０度の間隔で、歯が２個
右側
９０度の間隔で、歯が４個

この２つの歯車を並べて回転させてみました。
すると、
右側の歯車において、
次の歯は、必ず直前の歯があった位置まで動くようになっていないと、左側の歯車が空回りしてしまうことに気づきました。

歯車というのは、必ず、次の歯は直前の歯の位置まで動くように作られているということでしょうか？
No.30345 - 2015/01/22(Thu) 23:14:28
☆ Re: 歯車について / らすかる
> 歯車というのは、必ず、次の歯は直前の歯の位置まで動くように作られているということでしょうか？
歯車の歯の数は一般にもっと多く、空回りすることはありません。
最低でも空回りしない歯数が必要です。
No.30348 - 2015/01/23(Fri) 00:41:05
☆ Re: 歯車について / √
らすかるさん
有り難うございます。

私も、現実的には、歯車としての意味が成り立つように
作られていると思います。

ただ、算数の問題として、何回転するか？　と
問われた時に、
例えば、
「１回転した」ということは、
「１番目の歯が、一回りして、また同じ位置に来た」と
いうことになります。

本当に正確に、元の位置に来たと言えるのか不思議に
思ってしまいます。

本題の答え、３回転というのは正しいのでしょうか？
No.30358 - 2015/01/23(Fri) 12:06:20
☆ Re: 歯車について / らすかる
何が不思議なのかよくわからないのですが、
もしかして歯の隙間があるから正確に1回転しても多少は滑って
進む歯数はちょっと少ないとかそういうことを言っているのですか？

算数の問題ですから、
「１番目の歯車が２回転した」
＝「１番目の歯車の１番目の歯が２周してまた同じ位置に来た」
＝「歯が４８個進んだ」
＝「２番目の歯車も歯が４８個進んだ」
＝「３番目の歯車も歯が４８個進んだ」
＝「４番目の歯車も歯が４８個進んだ」
＝「４番目の歯車の１番目の歯が３周してまた同じ位置に来た」
＝「４番目の歯車は３回転した」
となります。
従って３回転は正しいです。
No.30365 - 2015/01/23(Fri) 16:10:48
☆ Re: 歯車について / √
らすかるさん

歯車というのは、波のように凹凸が連続していて、
隣同士の歯車は、ピッタリ噛み合っているのが通常なのですね。
だから、
左側の歯車の凸の幅と、
右側の歯車の凹の幅は同じと考えないといけなかったのですね。

私は、歯の幅が短く、歯と歯の間が、やたら長い歯車を
イメージしてしまったので、
「必ず、次の歯は直前の歯の位置まで移動しないと、おかしい」と思ってしまいました。

やっと理解できました。
有り難うございました。
No.30367 - 2015/01/23(Fri) 18:20:58
★ 整数 / hiroko
円に内接する四角形ABCDについて、AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,∠ABC=θとし、その面積をS,四角形ABCDの周の長さをlとする。

問１（１）で次の２式を導かせて、
　　　　　S=(1/2)(ab+cd)sinθ・・・（A)
　　　　　a^2+b^2-c^2-d^2=2(ab+cd)cosθ・・・（B)

　 （２）で（A)（B)式から16S^2=(l-2a)(l-2b)(l-2c)(l-2d)
　　　　 を導かせています。

問２　四角形の４辺の長さa,b,c,dがa<b<c<dを満たす自然数とするとき、S=42ならば、(a,b,c,d)の組は何通りありますか。そのうちlが最小となる組ではdの値はいくつですか。ちなみに、答えは３通り、ｄ＝12です。
　　問２の解き方をお願いします。
No.30341 - 2015/01/22(Thu) 21:01:15
☆ Re: 整数 / ヨッシー
Ｓ＝４２ のとき
　16S^2＝2^6×3^2×7^2
これを４つの約数
　Ｐ＝l-2a, Ｑ＝l-2b, Ｒ＝l-2c, Ｓ＝l-2d
に分解したとします。
　Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＋Ｓ＝2l
より、
　ａ＝(-P+Q+R+S)/4, ｂ＝(P-Q+R+S)/4,
　ｃ＝(P+Q-S+R)/4,　ｄ＝(P+Q+R-S)/4
から、
　-P+Q+R+S, P-Q+R+S, P+Q-R+S, P+Q+R-S
は４の倍数。P,Q,R,S のうち少なくとも１つは偶数であり、
仮にＰが偶数だとすると、
　P+Q+R+S＝(-P+Q+R+S)＋2P
より、P+Q+R+S は４の倍数。同時に
　２Ｑ＝(P+Q+R+S)−(P-Q+R+S)　・・・４の倍数どうしの引き算
より、Ｑは偶数、同様に、Ｒ，Ｓも偶数。

16S^2＝2^6・3^2・7^2 に含まれる６つの２を
Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ に最低１つずつは分配しないといけない。
残り２つの２を、例えばＰに２つとも与えると
　Ｐ・・・４の倍数
　Ｑ、Ｒ、Ｓ・・・２×(奇数)
より
　Ｑ＋Ｒ＋Ｓ・・・２×(奇数)
となり、Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＋Ｓ が４の倍数にならない
よって、６つの２は、２個、２個、１個、１個 と分配される

一方、３，３，７，７ を、４，４，２，２ に適当に掛けて、
ことなる４つの数（Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ）を作ることにします。
(1,1,1,441)･･･同じ数が2つできるので不可
(1,1,3,147)･･･最小の辺が負となり不可
(1,1,7,63)･･･ 同上
(1,1,9,49)･･･ 同上
(1,1,21,21)･･･同上
(1,3,3,49)･･･同上
(1,3,7,21)･･･同上
(1,7,7,9)→(36,28,14,2)→ l=40, a=2, b=6, c=13, d=19 OK
(1,7,7,9)→(28,18,14,4)→ l=32, a=2, b=7, c=9, d=14 OK
(3,3,7,7)→(28,14,12,6)→ l=30, a=1, b=8, c=9, d=12 OK
以上より、３通り、ｌが最小のとき、ｄ＝１２
No.30343 - 2015/01/22(Thu) 22:21:10
☆ Re: 整数 / hiroko
ありがとうございました。
No.30366 - 2015/01/23(Fri) 18:19:18
★ (No Subject) / すずき
連投失礼します。
三角関数についてです。
1／n {cos(πnｘ)-cos(πn／2)ｘ}
について、ｎ＝１を代入した時の値が知りたいのてすが、
-⒉になりませんか？？？
-１のようなんですが・・・・基礎的なことごめんなさい・・・・お願いいたします・・・・
No.30339 - 2015/01/22(Thu) 20:26:53
☆ Re: / ヨッシー
ｘは何ですか？

たぶん
　cos(0)＝1
　cos(π/2)＝0
　cos(π)＝ー1
これだけで、解決すると思います。
No.30340 - 2015/01/22(Thu) 20:33:57
☆ Re: / すずき
この⑵⑶です。
No.30452 - 2015/01/26(Mon) 16:04:16
☆ Re: / すずき
このようにときまして、この最後の部分を聞きました。
聞き方が悪くごめんなさい、お願いいたします・・・・
No.30453 - 2015/01/26(Mon) 16:06:32
★ (No Subject) / すずき
添付の問題３についてです。
画像がまた横になってしまったら、ほんっとに申しわけないです・・・・向きを変えて編集してから投稿してるのですが・・・・
No.30334 - 2015/01/22(Thu) 19:48:08
☆ Re: / すずき
このように
考えました。
No.30335 - 2015/01/22(Thu) 19:53:16
☆ Re: / すずき
これが最後の立式です、

これでこたえがあわないのですが、どこが間違っているか御指摘いただきたいです。お願いいたします・・・・
No.30336 - 2015/01/22(Thu) 20:00:31
☆ Re: / ヨッシー
詳しく見ていませんが、とりあえず
　２・４・５　→　４０
が抜けています。
5Ｃ3＝10(通り) になるはずですよね。
No.30337 - 2015/01/22(Thu) 20:09:01
☆ Re: / ヨッシー
そこだけ直せば、行けると思います。
No.30338 - 2015/01/22(Thu) 20:19:46
☆ Re: / すずき
確かに抜けてます有難うございます

そのあと計算直しても合わないので、数え上げのあと立式もみていただけませんか？
お願いいたします。
また、もっと簡単な立式ありましたら教えてください。
No.30450 - 2015/01/26(Mon) 15:53:44
☆ Re: / ヨッシー
正しい答えは何ですか？
No.30451 - 2015/01/26(Mon) 16:02:59
☆ Re: / すずき
⒉／75です。
No.30454 - 2015/01/26(Mon) 16:07:48
★ (No Subject) / gp
ラグランジュの未定乗数法を用いて x^2+y^2=1の条件の下で f(x,y)=x^2+2xy+3y^2
の最大値最小値を求める問題なんですが
最大値、最小値は
それぞれ2+√2,2-√2
とわかるのですがそのときのx,yの値が出せなくて困っています
どなたか計算過程を含めて教えて下さい。
お願いします。
No.30331 - 2015/01/22(Thu) 18:35:29
☆ Re: / X
x^2+y^2=1 (A)
x^2+2xy+3y^2=2+√2 (B)
とします。

(A)より
x=cosθ
y=sinθ
(0≦θ＜2π (C))
と置くことができるので(B)は
(cosθ)^2+2sinθcosθ+3(sinθ)^2=2+√2
これより
1+sin2θ+(1-cos2θ)=2+√2
sin(2θ-π/4)=1
ここで(C)より
-π/4≦2θ＜4π-π/4
∴2θ-π/4=π/2,2π+π/2
よって
θ=3π/8,π+3π/8
となるので
(x,y)=(cos(3π/8),sin(3π/8)),(-cos(3π/8),-sin(3π/8))
cos(3π/8),sin(3π/8)の値は半角の公式を使って求めます。

f(x,y)=2-√2
の場合も方針は同じです。
No.30333 - 2015/01/22(Thu) 19:01:59
★ (No Subject) / すずき
添付問題⑵について質問させてください。
これは、平行六面体の、性質を生かせば簡単に解けるということがわかりましたが、もし平行六面体ではなく特性がない平面体のような場合、平面emn上の点をRなどとおき、それをベクトル表記するのが一般的でしょうか・・・・？
分析研究したいので、どうぞよろしくおねがいします。
鈴木
No.30325 - 2015/01/22(Thu) 16:38:48
☆ Re: / ヨッシー
平行六面体でなくとも、Ｂ，Ｅ，Ｆ，Ｇを何らかの形で
定めてやらないと、ＭもＮも決まりません。

ある形で、Ｅ，Ｍ，Ｎ ３つとも決まったとき、ベクトルという制約が
なければ、平面の式に持って行く方法もあります。
ベクトルを使うなら、上に書かれたように、Ｒとおいて、
　ＯＲ＝ｓＯＥ＋ｔＯＭ＋ｕＯＮ　　（ｓ＋ｔ＋ｕ＝１）
とおいて、Ｒがｙ軸（ｘ＝０　かつ　ｚ＝０）との交点となるように
ｓ，ｔ，ｕを決めていきます。
No.30327 - 2015/01/22(Thu) 17:10:02
☆ Re: / すずき
平面の式というとどういったものになりますか？？？？
重ね重ねよろしくおねがいします。
No.30459 - 2015/01/26(Mon) 18:33:31
☆ Re: / ヨッシー
例えば、上の問題だと
Ｅ（１，０，√６）、Ｍ（２，3/2，０）、Ｎ（−１，1/2，√６）
とすると、これらを通る平面の式は
　ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０
に代入して、
　ａ＋√６c＋ｄ＝０
　２ａ＋3b/2＋ｄ＝０
　−ａ＋b/2＋√６c＋ｄ＝０
これらより
　ａ：ｂ：ｃ：ｄ＝６：２４：７√６：−４８
を得ますので、平面の式は
　６ｘ＋２４ｙ＋７√６ｚ＝４８
となります。これと、ｙ軸（ｘ＝０，ｚ＝０）との交点は
　２４ｙ＝４８
より　（０，２，０）　となります。
No.30461 - 2015/01/26(Mon) 18:51:01
☆ Re: / すずき
なるほどです。ご丁寧にどうもありがとうございました！！
No.30502 - 2015/01/29(Thu) 16:01:17
★ (No Subject) / すずき
指数の問題です。
No.30318 - 2015/01/22(Thu) 14:21:28
☆ Re: / すずき
続きです。 この問題の正答例を提示してもらえませんでしょうか。
というのも、全然計算があわないのです・・・・
できれば計算を詳細にお願いしたいです。よろしくおねがいします・・・・
No.30319 - 2015/01/22(Thu) 14:23:58
☆ Re: / ヨッシー
[2]
(1)
x√(y^3)＝a を２乗して
　x^2y^3＝a^2　・・・(i)
3√xｙ＝b を３乗して
　xy^3＝b^3　・・・(ii)
(i)÷(ii) より
　x＝a^2・b^(-3)　・・・(iii)
(ii) に代入して
　y^3＝a^(-2)・b^6
　ｙ＝a^(-2/3)b^2　・・・(iv)
　ｐ＝-2/3

(2)
ｂ＝２a^(4/3) より　b^(-3)＝2^(-3)a^(-4), b^2＝2^2・a^(8/3)
(iii) より
　ｘ＝2^(-3)a^(-2)
(iv) より
　ｙ＝2^2・a^2
相加相乗平均より
　ｘ＋ｙ≧２√(xy)＝２√(1/2)＝√２
等号成立は、ｘ＝ｙ　つまり
　2^(-3)a^(-2)＝2^2・a^2
　a^4＝2^(-5)
　ａ＝2^(-5/4)
のとき。
No.30322 - 2015/01/22(Thu) 14:42:12
☆ Re: / すずき
２乗せず分数の指数にしたら答えをまちがいました。そうすればよかったのですね・・・・有り難うございます・・・・
No.30503 - 2015/01/29(Thu) 16:03:32
★ (No Subject) / すずき
この問題の続きで、
最小値がｆ(⒉)になるようなｐの範囲、を求めよ
とあります。
それは、軸を考えて
４≦１＋ｐ
と考えたのですがこたえと違うようです。
この考えかたのどこが違いますか？？？お願いします・・・・
No.30316 - 2015/01/22(Thu) 13:59:54
☆ Re: / ヨッシー
それだけでは伝わりません。ちゃんと、
２≦ｘ≦４ におけるf(x) の最小値が f(2)
と書かないと。

グラフを描くと分かりますが、軸が
　ｘ＝３
を含め、それより右にあると f(2) が最小になるので、
　１＋ｐ≧３　→　ｐ≧２
です。

上に凸のグラフなので、最大値の方は、頂点がポイントになりますが、
最小値は考え方が異なります。

４≦１＋ｐ　は、最大値が f(4) になる範囲です。
No.30320 - 2015/01/22(Thu) 14:26:03
★ (No Subject) / くちぱっち
訂正です。
どうかお願いします！

定積分の問題です。
解説と解答お願いします
(1)
∫[2,1](x＋1/ 【x^2 (x＋2)】)dx＝○/○×(1＋log○/○)
ただし,正の数Aに対して,logAの自然対数を表す。

(2)
∫[1,-2](√4- x^2 )dx＝○/○π＋√○/○
No.30303 - 2015/01/22(Thu) 11:12:28
☆ Re: / ヨッシー
∫[下の数, 上の数] で構いません。

直す前のものを、下に解きました。
直したもののほうが正しければ、全体にマイナスを付けて下さい。
No.30307 - 2015/01/22(Thu) 11:54:50
☆ Re: / くちぱっち
ありがとうございます！
No.30310 - 2015/01/22(Thu) 12:41:08
★ (No Subject) / wataru(大学受験）
以下の問いについて質問があります。
No.30302 - 2015/01/22(Thu) 11:03:05
☆ Re: / wataru(大学受験）
解答の青線部分について

f(x)が連続関数であることと

f(x)が実数を係数とするxの多項式えあることは

同値なのでしょうか。
No.30304 - 2015/01/22(Thu) 11:21:01
☆ Re: / wataru(大学受験）
多項式えある→多項式である

でした。すみません。
No.30305 - 2015/01/22(Thu) 11:24:21
☆ Re: / ヨッシー
同値ではありませんが、
f(x)が実数を係数とするxの多項式である　ならば
f(x)は連続関数です。
No.30308 - 2015/01/22(Thu) 11:58:08
☆ Re: / wataru(大学受験）
ヨッシーさん、回答ありがとうございます。

以下の図のようになるということですか？
No.30309 - 2015/01/22(Thu) 12:25:19
☆ Re: / ヨッシー
そうです。
　ｙ＝sinｘ
は、多項式ではありませんが、連続です。
No.30314 - 2015/01/22(Thu) 13:22:15
☆ Re: / wataru(大学受験生)
何度もすみません。

よろしければもう一点だけ質問させていただきたいのですが。
No.30321 - 2015/01/22(Thu) 14:26:58
☆ Re: / ヨッシー
はい。
No.30323 - 2015/01/22(Thu) 14:47:36
☆ Re: / wataru(大学受験）
ヨッシーさんは

f(x)が実数を係数とするxの多項式である
⇒f(x)は連続関数

とおっしゃいましたが、

f(x)がガウス記号を持つ関数であれば
実数を係数とするxの多項式であっても
連続関数でない場合があるのではないかと考えました。
（具体例は思いつきませんでした。）

であるので

f(x)が実数を係数とするxの多項式である
⇒f(x)は連続関数

とはいえないのではないでしょうか？
No.30326 - 2015/01/22(Thu) 17:03:11
☆ Re: / ヨッシー
ガウス記号を持つ関数は、多項式とは言えません。
No.30328 - 2015/01/22(Thu) 17:16:30
☆ Re: / wataru(大学受験）
たとえばf(x)=[x^2+x]

という関数があればそれは多項式ではないでしょうか。

多項式の定義は「単項式の和の形で表される式」

ですよね。
No.30329 - 2015/01/22(Thu) 17:37:22
☆ Re: / ヨッシー
それは　f(x)＝sin(x^2＋x) が多項式と主張するのと同じです。
単項式の和以外の操作を加えている点で sin と変わりありません。
No.30330 - 2015/01/22(Thu) 17:55:08
☆ Re: / wataru（大学受験）
理解できました。
ありがとうございます。
No.30332 - 2015/01/22(Thu) 18:44:20
★ (No Subject) / くちぱっち
定積分の問題です。
解説と解答お願いします
(1)
∫[1,2](x＋1/ 【x^2 (x＋2)】)dx＝○/○×(1＋log○/○)
ただし,正の数Aに対して,logAの自然対数を表す。

(2)
∫[-2,1](√4- x^2 )dx＝○/○π＋√○/○
No.30301 - 2015/01/22(Thu) 11:00:05
☆ Re: / ヨッシー
いずれも、カッコが不適切です。
(1) は、先に解いた方が与えられた式なら、問題はありません。

(1)
　1/{x^2(x+2)}＝a/x＋b/x^2＋c/(x+2)
と書けたとします。通分して計算すると、分母はx^2(x+2) であり、
　(分子)＝ax(x+2)＋b(x+2)＋cx^2
　　　　＝(a+c)x^2＋(2a+b)x＋2b＝1
よって、b=1/2, a=-1/4, c=1/4
(与式)＝∫[1,2]ｘdx＋∫[1,2](-1/4x＋(1/2)x^(-2)＋1/4(x+2))dx
　　＝[x^2/2][1,2]＋[(-1/4)logx−1/2x＋(1/4)log(x+2)][1,2]
　　＝3/2 ＋ (-1/4)log２−1/4＋(1/4)log４ ＋(1/4)log１＋1/2−(1/4)log３
　　＝7/4 ＋(1/4)log(4/2・3)
　　＝(1/4)(7＋log(2/3))
枠と合わないので、
∫[1,2](x＋1)/{x^2 (x＋2)}dx として解いてみます。途中まで同じで、
　　(a+c)x^2＋(2a+b)x＋2b＝x+1
よって、b=1/2, a=1/4, c=-1/4
(与式)＝∫[1,2](1/4x＋(1/2)x^(-2)−1/4(x+2))dx
　　＝[(1/4)logx−1/2x−(1/4)log(x+2)][1,2]
　　＝(1/4)log２−1/4−(1/4)log４＋1/2＋(1/4)log３
　　＝(1/4){1＋log(3/2)}

(2) はほぼ間違いなく ∫[-2,1](√(4- x^2))dx と思われます。
ｘ＝2cosθ とおくと、dx＝−2sinθdθ
-2≦ｘ≦1 は π≧θ≧π/3 に相当
√(4-x^2)＝2sinθ
(与式)＝∫[π, π/3](−4sin^2θ)dθ
　　　＝2∫[π/3, π](2sin^2θ)dθ
　　　＝2∫[π/3, π](1−cos2θ)dθ
　　　＝2[θ][π/3, π]−[sin2θ][π/3, π]
　　　＝(4/3)π＋√3/2

なお、(2) は図のように半径２の半円をｘ＝１ の所で切った部分の面積ですので、
図形的にも求めることが出来ます。
No.30306 - 2015/01/22(Thu) 11:52:11
☆ Re: / くちぱっち
ありがとうございます！！
No.30311 - 2015/01/22(Thu) 12:41:38
★ (No Subject) / くちぱっち
この問題の解答と解説お願いします！

(1)座標平面上で,連立不等式
│x-y│+│x+y│≦2,y≦xの２乗,の表す領域Dとする。
点(x,y)がDを動くとき,y+5xの最小値は-○である。
(2)直線y+5x＝-○と曲線y ＝xの２乗で囲まれた図形の面積は○/○である。
No.30296 - 2015/01/22(Thu) 02:09:27
☆ Re: / ヨッシー

(1)
Ｄを表す領域は上の図の黄色の部分(周上の点を含む)なので、
これと、直線ｙ＋５ｘ＝ｋ が共有点を持ちつつ、ｋを変化させると、
図の位置で、ｋが最小となります。
このとき、直線ｙ＋５ｘ＝ｋは (-1,-1) を通るので、
　ｋ＝−６
(2)
この問題の冒頭の「直線y+5x＝-○」は(1)で求めたものと同じものとします。
　ｙ＋５ｘ＝−６　と　ｙ＝ｘ2
の交点は(-2,4)(-3,9) であるので、求める面積は
　∫[2〜3](-5x-6-x^2)dx＝(3-2)^3/6＝1/6
No.30297 - 2015/01/22(Thu) 06:34:10
☆ Re: / くちぱっち
ありがとうございます！
No.30313 - 2015/01/22(Thu) 12:42:01
★ (No Subject) / ここ
α=1,λ=1の時、微分方程式の正の解(et) t=1より、e"と差分方程式の近似解との差がどうへんかするのか論じなさい。
また、真の解と近似解との差が10-8以下になるためには?冲をいくついかにしなければならないでしょうか。
No.30295 - 2015/01/22(Thu) 00:13:32
★ (No Subject) / くちぱっち
この問題の解答と解説お願いします！

m,tはm＞0,0＜t＜1を満たす実数とする。座標平面上の直線y＝mx,y＝-tをそれぞれl(1),l(2)とし,円x２乗＋y２乗＝1をCとする。また,Oを原点とする。
(1)C とl(1)との交点で,第一象限の点をP(1)とし,P(1)におけるCの接線をl(3)とする。また,l(3)とx軸との交点をP(2)とし,l(3)とy軸との交点をP(3)とする。三角形OP(2)P(3)の面積が5であるときm＝○±○√○である。

(2)Cとl(2)との２つの交点をQ(1),Q(2)とし,点(0,1-t＋t２乗)をQ(3)とする。三角形Q(1)Q(2)Q(3)の面積をSとし,X＝t２乗とすると,
S２乗＝-○X3乗-○X２乗＋○X＋○となる。
よって,t＝○/○√○のとき,三角形Q(1)Q(2)Q(3)の面積が最大となる。このとき,S＝○/○√○である。
No.30294 - 2015/01/21(Wed) 21:34:52
☆ Re: / ヨッシー
(1)
　ＯＰ(1)：Ｐ(1)Ｐ(2)＝１：ｍ
　ＯＰ(1)：Ｐ(1)Ｐ(3)＝ｍ：１
であり、ＯＰ(1)＝1 であるので、
　P(2)P(3)＝ｍ＋1/m
△OP(2)P(3) において、P(2)P(3) を底辺とみなすと、高さはOP(1)＝1 であるので、
　P(2)P(3)＝ｍ＋1/m＝10
両辺ｍを掛けて
　m^2−10m＋1＝0
これを解いて
　ｍ＝５±２√６

(2)
Q(1) (−√(1-t^2), −t), Q(2) (√(1-t^2), −t) であるので、
　Q(1)Q(2)＝2√(1-t^2)
これを底辺とすると、高さは t^2＋1 であるので、
　Ｓ＝(t^2+1)√(1-t^2)
　Ｓ^2＝(t^2+1)^2(1-t^2)＝(t^2+1)(1-t^4)
　　＝−t^6−t^4＋t^2＋1
　　＝−X^3−X^2＋X＋1
X で微分して
　(S^2)'＝−3X^2−2X＋1＝(-3X＋1)(X＋1)
よって、Ｘ＞０ では Ｘ＝1/3 で極大かつ最大となります。
ｔ＝√3/3 のとき、Ｓ＝4√6/9 となります。
No.30300 - 2015/01/22(Thu) 10:32:30
★ (No Subject) / ガンツ
硬貨を繰り返し投げる。三回続けて同じ面が出たらそこで投げるのをやめる。ちょうどｎ回投げてやめる確率をPnとおく。P７をもとめよ。


硬貨をｎ回投げた時点で
?@最後の二枚が別の面である状態をA
?A最後の二枚が同じ面である状態をBとする
遷移グラフを作ると右のようになり、（略）ｎ回後に状態Aとなる確率をQn、ｎ回後に状態Bになる確率をRｎとすると
Q1=1,R1=0というのが分かりません。

Q1については、まだ一回しか振っていないのに別の面もくそもないでしょうし、R1については一枚しか振ってないのに二枚が同じ面かもふってみないと分かりませんし。。どういうことなのでしょうか。宜しくお願いします
No.30293 - 2015/01/21(Wed) 20:53:29
☆ Re: / ヨッシー
確かに、おかしな状況ですね。

次のように解釈すれば、解答で与えられている（であろう）
漸化式などそのまま使えるでしょう。

?@次にいかなる面が出ても終了にならない状態
?A次に終了になる確率が１／２である状態

これを、表裏の状態の表現に置き換えた時に、ｎ＝１のときを
失念したのかもしれません。
No.30299 - 2015/01/22(Thu) 09:47:19
☆ Re: / ガンツ
ありがとうございます。よくわかりました
No.30375 - 2015/01/24(Sat) 08:11:32
★ 微分 / やくみ
m=2x^(0,3)y^(0,2)を全微分する問題があるのですが
教科書をみながらやってみたところ
dm=(∂m/∂x)dx＋(∂m/∂y)dy
=0,6x^(-0,7)y^(0,2)dx＋0,4x^(0,3)y^(-0,8)dy
ここまでしかできませんでした。
ここからどうすればいいのでしょうか？教えてください。
No.30289 - 2015/01/21(Wed) 16:59:32
☆ Re: 微分 / X
それで計算は終わりです。
No.30292 - 2015/01/21(Wed) 20:17:13
★ 微分 / やくみ
y(x)={g(x)}^2をg(x)で微分
⇒dy(x)/dg(x)=2g(x)^(2-1)
という記述があるのですが
これは正しいのでしょうか？
たとえばg(x)=x^2＋x＋1というxの関数だとすると、
このxの関数で{g(x)}^2を微分するということですよね？
いままでxでの微分しかしたことないのでわかりません。
教えてください。お願いします。
No.30285 - 2015/01/21(Wed) 05:41:32
☆ Re: 微分 / ヨッシー
正しいです。
dy/dx はｘに対するｙの変化率のようなものですが、
dy/dg はg(x) に対するｙの変化率です。

ただし、g(x)=x^2＋x＋1 に対し、
　y＝{g(x)}^2＝x^4+2x^3+3x^2+2x+1
のように、４次関数のグラフをイメージしていては、理解は
難しいでしょう、いっそ、ｘは無関係のものとして、
　ｙ＝ｇ^2
と二次関数だけを考えれば、良いでしょう。

ｘは内部的にはｇの値に影響しますが、dy/dg で考えるのは
あくまでも、ｇとｙの関係だけです。

またその先に、
　dy/dx＝(dy/dg)(dg/dx)
　　　＝(2g)(2x+1)
　　　＝2(x^2+x+1)(2x+1)
という計算も出て来ます。もちろんこれは、
　y＝{g(x)}^2＝x^4+2x^3+3x^2+2x+1
のｘに関する微分
　dy/dx＝4x^3＋6x^2＋6x＋2
と一致します。
No.30287 - 2015/01/21(Wed) 09:42:45
☆ Re: 微分 / やくみ
「g(x)=x^2＋x＋1 に対し、
　y＝{g(x)}^2＝x^4+2x^3+3x^2+2x+1
のように、４次関数のグラフをイメージしていては、理解は
難しいでしょう、」仰るとおりこのように考えてしまいます。
どうしてxを無視してy=g^2を考えれるのでしょうか。y=g^2はgy平面上のすべての実数を表すのでたとえばxを無視せずにg=g(x)=x^2＋x＋1・・・?@だとすると
?@を満たさないgもありますよね。
どうすればイメージできるのですかね；
アドバイスお願いします。
No.30290 - 2015/01/21(Wed) 18:54:59
☆ Re: 微分 / やくみ
「ｘは内部的にはｇの値に影響しますが、dy/dg で考えるのは
あくまでも、ｇとｙの関係だけです。」
ここのところをもう少し詳しくおしえていただけないでしょうか。高校数学2レベルの微分の知識しかありませんがおしえてください。おねがいします。
No.30291 - 2015/01/21(Wed) 18:58:16
☆ Re: 微分 / ヨッシー
図のように、ｘは水面下で動き、ｙにも変化をもたらすのですが、
dy/dg と言った時に、見ているのは、上のグラフだけです。

たとえば、ｇ＝１ のときの微分係数は２である、というような
ことだけで、そのときｘがいくつだったとかは気にしません。
No.30298 - 2015/01/22(Thu) 09:34:40
★ 逆関数 / やくみ
y=f(x)の逆関数がy=f^(-1)(x)と表されると習いました。(^-1は-1乗ではなくただのfの右上にある添え字)
そしてy=f^(-1)(x)のとき、x=f(y)となると書いてあるのですが、どうしてなのでしょうか？
逆関数をまなびはじめたばかりでよくわかりません。
わかる方教えてください。お願いします。　
No.30284 - 2015/01/21(Wed) 03:51:52
☆ Re: 逆関数 / ヨッシー
関数　ｙ＝f(x) において、ｘとｙを入れ替えた
　ｘ＝ｆ（ｙ）
が　ｙ＝ｇ（ｘ） のように、ｘの関数で表させるとき
ｇ（ｘ）をｆ（ｘ）の逆関数といい、ｆ-1(x)
で表す。
というのが逆関数の定義なので、どうしてもこうしてもありません。
　
No.30286 - 2015/01/21(Wed) 09:30:32
★ (No Subject) / d
a[0]=3、a[1]=0とするとき差分方程式a[n]=a[n-1]＋2a[n-2]
を満たす数列a[n]の一般解を求めよ。

大学の課題なのですが分からないです。
No.30282 - 2015/01/20(Tue) 23:44:43
☆ Re: / deep make
既に某所でたけちゃんさんから回答を得ているとも思いましたが,
高校の問題としてではなく, 大学の課題として出たのであれば,
他の方法による回答を望んでいるのかもしれません.

…ということで, いくつか解法を述べます.

工学部であれば, 例えば,
x^2−x−2＝(x−2)(x＋1)＝0 より p＝2, q＝−1 と置くとき,
定数 a, b を用いて, a[n]＝a(p^n)＋b(q^n) と書けます.
この a, b は, a[0]＝3＝a＋b, a[1]＝0＝2a−b から得られます.

理学部(特に線型代数の講義)であれば,
V＝{(x[0],x[1],x[2],…) | x[k]:有理数, x[n]=x[n-1]＋2x[n-2]} という
有理数体上の2次元ベクトル空間を定義し,
f:V→V; f(x[0],x[1],…)＝(x[1],x[2],…)という線型変換を考えます.
基底を適当に取り, 写像fの表現行列を求め,
その行列を対角化することで, 解を求める方法です.

これはあまり効率のよい解き方ではありませんが,
計算練習として時々紹介される方法です.
No.30283 - 2015/01/21(Wed) 01:31:12
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