ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 式変形について / おまる

式変形で分からないところがあるので教えてください。
波線部の式変形が何故こうなるのかわかりません。
よろしくお願いいたします。

No.30560 - 2015/02/03(Tue) 15:38:25

☆ Re: 式変形について / おまる

写真が逆さまになったので貼り直します。

No.30561 - 2015/02/03(Tue) 15:44:28

☆ Re: 式変形について / Masa

複素数zに共役な複素数をz~と表すことにします。
まず、z~+1に共役な複素数は、(z+1)~です。
共役な複素数の性質、α~+β~=(α+β)~を利用しています。
実際に、実数a,bを使って、z=a+biとしてみるといいと思います。
z~+1=(a+bi)~+1=a-bi+1=a+1-bi=(a+1+bi)~=(a+bi+1)~=(z+1)~です。
よって、まず(z+1)(z~+1)=(z+1){(z+1)~}です。
その次に、zz~=|z|^2を利用します。
z=a+biとして、
zz~=(a+bi){(a+bi)~}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=|z|^2とすれば分かると思います。（|z|はzと原点の距離なので|z|=√(a^2+b^2)です）
これより、(z+1){(z+1)~}=|z+1|^2
以上まとめて、(z+1)(z~+1)=(z+1){(z+1)~}=|z+1|^2という変形となります。

No.30562 - 2015/02/03(Tue) 16:26:29

☆ Re: 式変形について / おまる

ご回答ありがとうございました。

(z+1)(z~+1)=(z+1){(z+1)~}とする簡単な操作が出来ていないことに気付くことができました。

どうもありがとうございました。

No.30563 - 2015/02/03(Tue) 17:34:01

★ 数?V　数列・極限 / 由希

これが解けません。

教えてください。お願いします。

No.30558 - 2015/02/02(Mon) 19:56:15

☆ Re: 数?V　数列・極限 / X

問題の無限級数の部分和をS[n]とすると
S[n]=Σ[k=1～n]{5(2/r)^n+2(-3/r)^n}

(i)2/r≠1かつ-3/r≠1、つまりr≠2かつr≠-3のとき
S[n]=5(2/r){1-(2/r)^n}/(1-2/r)+2(-3/r){1-(-3/r)^n}/(1+3/r)
=10{1-(2/r)^n}/(r-2)-6{1-(-3/r)^n}/(r+3)
=10/(r-2)-6/(r+3)-10{(2/r)^n}/(r-2)+6{(-3/r)^n}/(r+3)
=10/(r-2)-6/(r+3)+{(-3/r)^n}{6/(r+3)-10{(-2/3)^n}/(r-2)}
∴|-3/r|＜1、つまりr＜-3,3＜rのとき
lim[n→∞]S[n]=10/(r-2)-6/(r+3)
1≦|-3/r|、つまり-3＜r＜2,2＜r≦3のとき
lim[n→∞]S[n]は発散。
(ii)r=2のとき
S[n]=Σ[k=1～n]{5+2(-3/2)^n}=5n+(6/5){(-3/2)^n-1}
∴lim[n→∞]S[n]は発散。
(iii)r=-3のとき
S[n]=Σ[k=1～n]{5(-2/3)^n+2}=2{(-2/3)^n-1}+2n
∴lim[n→∞]S[n]は発散。

以上をまとめて
-3≦r≦3のとき、発散
r＜-3,3＜rのとき、10/(r-2)-6/(r+3)に収束

No.30559 - 2015/02/03(Tue) 15:29:32

☆ Re: 数?V　数列・極限 / 由希

ありがとうございました。
場合分けするところで間違えていたみたいです。

No.30577 - 2015/02/05(Thu) 16:29:08

★ 確率分布と期待値 / 無名大学生

高校数学の確率分布と期待値を求める問題です。
授業でもらった演習プリントからなのですが、どなたか途中式と答えを教えてください。

あなたが買った宝くじは 09組の 114093 です。
この宝くじは、100.000番から199.999番までの10万通を1組として、01組から25組までの250万通（2億5千万円)を売出し、抽選によって次の当選金をつけます。

等級...当選金...本数
１等...10.000.000円...............2本
１等の前後賞...2.500.000円...............4本
１等の組違い賞...100.000円...............48本
２等...1.000.000円...............5本
３等...100.000円...............25本
４等...10.000円...............500本
５等...3.000円...............5.000本
６等...1.000円...............25.000本
７等...100円...............250.000本

Q 宝くじを1本買ったときに得られる金額をX円とする。

(1)Xの確率分布を求めよ。
(2)Xの期待値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.30557 - 2015/02/02(Mon) 01:58:30

★ (No Subject) / ぽー

放物線A:y＝x^2とy軸上に中心Bをもつ円Cが2点P.Qで接している。∠PBQ＝120度であるとき、円Cの方程式を求めよ。

という問題です。私なりにやってみたのですが、解答とはやり方が違い、答えも出ずにつまってしまいました。このやり方では答えが出ないのでしょうか。よろしくお願いします。

No.30552 - 2015/02/01(Sun) 18:37:02

☆ Re: / ぽー

すみません、件名を入れ忘れました。微積の範囲です。

No.30553 - 2015/02/01(Sun) 18:37:42

☆ Re: / ぽー

すみません、なぜか画像がつけれていませんでした。

No.30554 - 2015/02/01(Sun) 18:38:47

☆ Re: / X

方針に問題はありませんが、途中計算を間違えていますね。

まず、点PにおけるAの接線と点Bとの距離が
円Cの半径に等しいことから
|a+b^2|/√(4b^2+1)=2b/√3 (A)
次にBPが円Cの半径に等しいことから
√{b^2+(b^2-a)^2}=2b/√3 (B)
(A)(B)を連立して解きます。
但し
a＞0,b＞0 (C)
に注意します。
(A)より
{|a+b^2|^2}/(4b^2+1)=(4/3)b^2
整理して
13b^4-(6a-4)b^2-3a^2=0 (A)'
(B)より
b^2+(b^2-a)^2=(4/3)b^2
整理して
3b^4-(6a+1)b^2+3a^2=0 (B)'
(A)'+(B)'より
16b^4-(12a-3)b^2=0
(C)によりb≠0ゆえ
b^2=3(4a-1)/16 (D)
これを(B)'に代入して
(27/256)(4a-1)^2-(3/16)(6a+1)(4a-1)+3a^2=0
(9/256)(4a-1)^2-(1/16)(6a+1)(4a-1)+a^2=0
9(4a-1)^2-16(6a+1)(4a-1)+256a^2=0
{9(4a-1)-16(6a+1)}(4a-1)+256a^2=0
(-60a-25)(4a-1)+256a^2=0
16a^2-40a+25=0
(4a-5)^2=0
∴a=5/4
これを(D)に代入して(C)に注意すると
b=(√3)/2
よって求める円の方程式は
x^2+(y-5/4)^2=1
となります。

No.30555 - 2015/02/01(Sun) 19:49:40

☆ Re: / ぽー

詳しくありがとうございました！
助かりました！（＾Ｏ＾）

No.30556 - 2015/02/01(Sun) 21:40:15

★ (No Subject) / すずき

まず⑴について

No.30533 - 2015/01/31(Sat) 17:36:28

☆ Re: / すずき

ますｆ(４)はこのようにしてといてみたのですか、正しいですか・・・・？？全く自身がありません。答えはあっていました。

No.30534 - 2015/01/31(Sat) 17:39:35

☆ Re: / すずき

次にg(４)について同じように解いてみましたが、こちらはあっていませんでした。だから余計にこのやり方はダメなのかなと思ってしまったのですが・・・・
そもそも題意の解釈に自信がなく、123の順に並んでいることがない、と解釈してときましたが・・・・
間違っている箇所等御指摘ください。どうかよろしくおねがいします。

また⑵について
まったく見当がつきません・・・・どうしたらよいのでしょうか・・・・易しく教えてください・・・・

No.30535 - 2015/01/31(Sat) 17:43:46

☆ Re: / ヨッシー

(1)
まず、f(1)ですが、C12 を満たさないものは
１だけが４個、２だけが４個、３だけが４個　・・・３通り
１と３だけで４個、２と３だけで４個　　　　・・・２８通り
１と２だけで４個　2111,2211,2221 の３通り
１１２３の並べ替え　
　□□□□　の４つの□のうち１つを３に、残り３つに２１１をこの順に入れる　・・・４通り
１２２３　の並べ替え
　□□□□　の４つの□のうち１つを３に、残り３つに２２１をこの順に入れる　・・・４通り
１２３３　の並べ替え
　□□□□　の４つの□のうち２つを３に、残り２つに２１をこの順に入れる　・・・ 4Ｃ2＝６(通り)
　３＋２８＋３＋４＋４＋６＝４８(通り)

g(4) は、上の表ですと
　１２１３，１２２３，１３２３
が g(4) に含まれないので、正解は72個です。
１２３は連続して並んでいなくても、左から見ていって、
１－２－３の順に出会えたらC123 を満たしていることになります。

こちらは、g(4) に含まれないものを数え上げた方が楽です。
全部の並べ方は 3^4＝81(通り)で、g(4) に含まれないものは
1123 の並べ替え
　□１□２□３□
４個の□に１を入れる。ただし、１の左の□に入れたのと、
１と２の間の□に入れたのとはどちらも１１２３なので、
g(4) に含まないのは、４－１＝３(通り)
1223, 1233 の並べ替えも同様に３通り。計９通りがg(4) に含まれないので、
　８１－９＝７２(通り)

No.30542 - 2015/01/31(Sat) 21:00:55

☆ Re: / ヨッシー

(2)
f(n) で数え上げた数列のうち、１を含まないものの個数を　h(n)、含むものの個数を i(n) とします。
h(1)＝2, i(1)＝1 です。
　h(n), i(n) に含まれる数列の右に、１，２，３のいずれかを付けて
ｎ＋１個の数からなる数列を作るとき、
　h(n) に１が付くと i(n+1) に数えられます。
　h(n) に２か３が付くと　h(n+1) に数えられます。
　i(n) に１か３が付くと i(n+1) に数えられます。
　i(n) に２が付くとＣ12 を満たす数列になります。
よって、
　h(n+1)＝2h(n)
　i(n+1)＝h(n)＋2i(n)
これを解いて、
　h(n)＝2^n
　i(n)＝n・2^(n-1)
よって、
　f(n)＝2^n＋n・2^(n-1)
　　　＝(2+n)2^(n-1)

(3) 以降も、同様の方法でいけるでしょう。

No.30546 - 2015/01/31(Sat) 21:38:41

★ (No Subject) / じょん

【２】　曲線 C ：y= x2 上の相異なる 2 点 P ( p,p2 ) と Q (q ,q2 ) を通る直線を l とし，直線 l と平行な直線が曲線 C と点 R ( r,r2 ) で接するとする．以下の問いに答えよ．
(?@)　直線 l の方程式を求めよ．
(?A)　内積 RP→ ⋅RQ→ を p ， q ，r の式で表せ．
(?B)　 r を p と q の式で表せ．
(?C)　点 P に対して RP→ ⋅RQ→ =0 となるような点 Q がただ 1 つ決まるとき， p の値を求めよ．

（１）ｙ＝（ｐ＋ｑ）ｘーｐｑ
（２）（ｐ－ｒ）（ｑ－ｒ）｛ｐｑ＋（ｐ＋ｑ）ｒ＋ｒ＾２＋１｝

（３）ｒ＝（ｐ＋ｑ）／２

となったんですがあってますか？
あと４番が全くわかりません
お願いします

No.30529 - 2015/01/31(Sat) 02:56:52

☆ Re: / X

(2)(3)は問題ありませんが(1)が間違っています。

(1)
y=x^2
より
y'=2x
∴lの方程式は
y=2r(x-r)+r^2
整理して
y=2rx-r^2
これに(3)の結果でもある
r=(p+q)/2 (導出過程は省略します)
を代入して
y=(p+q)x-(1/4)(p+q)^2

(4)
条件から
p≠rかつq≠r
これらと(2)の結果から
pq+(p+q)r+r^2+1=0
これに(3)の結果を代入すると
pq+(3/4)(p+q)^2+1=0
整理して
3q^2+10pq+3p^2+4=0 (A)
後は(A)をqの二次方程式と見たときの
解が条件より重解になることから
解の判別式を使って、pについての
方程式を立てます。

No.30531 - 2015/01/31(Sat) 04:53:05

★ 円の方程式 / ぽー

こんばんは。
解いてみたのですが、解答と少々やり方が違い、赤波線のところが間違ってるようなきがします。このまま進めたら答えが合わなかったのですが、dのところで二乗をしてしまうのがいけなかったのでしょうか？？
説明をお願いします！！ちなみにa＝(√3)b自体はとりあえずあっていました。

No.30523 - 2015/01/30(Fri) 21:07:25

☆ Re: 円の方程式 / みずき

ご心配されているところが間違いの原因ではありません。
3b^2-10√3b+21=0のあとの解の公式が正しくないことが
間違いの原因だと思います。

ちなみに、赤線のところは正しくはa=-(√3)b/3です。
今、a＞0,b＞0（←気づいておられますか？）なので
これは除外されます。

また、距離のところを2乗しても構いませんが、
2b=|(√3)a-b|⇒(√3)a-b=±2b
とすると早いです。

No.30524 - 2015/01/30(Fri) 21:27:47

☆ Re: 円の方程式 / ぽー

計算ミス気づきませんでした。
わかりやすい説明ありがとうございました！☻

No.30527 - 2015/01/30(Fri) 21:56:31

★ mod / 整数

ｘ＾３＋４ｙ＾３＝９ｚ＾３・・?@
をみたす自然数x,y,zは存在しない事を示せ（東京海洋大）

以下mod3とする
と?@は
x^3+y^3=0・・?A
x^3≡0,±１
ｙも同様であるから
?Aをみたすｘ、ｙが存在するとしたら
ｘ≡ー１かつy≡１
または
x≡１かつy≡－１
または
x≡y≡０
のいずれか

この後が分かりません。どなたか分かるかた教えてくださいませんでしょうか、よろしくおねがいします

No.30518 - 2015/01/30(Fri) 15:15:15

☆ Re: mod / みずき

個人的には mod 3 では難しいのではないかと思います。
mod 9 であれば、無限降下法を使えると思います。

No.30520 - 2015/01/30(Fri) 19:04:40

☆ Re: mod / nohhoso

(x,y)≡(-1,1) (mod3)のとき
x≡-4,-1,2でy≡-2,1,4 (mod9)
x^3≡-1 ,y^3≡1⇒4y^3≡4
だからx^3+4y^3≡3ゆえ9z^3≡0に矛盾する。(x,y)≡(1,-1)のときも同じように。ここまではただの前座です。

x,y≡0 (mod3)のとき。x=3X,y=3Yとおける(X,Y:自然数)
与式は27X^3+4・27Y^3=9z^3ゆえ3X^3+4・3Y^3=z^3この左辺は3の倍数なのでzも3の倍数。そこでz=3Z(Z:自然数)とおくと、
3X^3+4・3Y^3=27Z^3ゆえX^3+4Y^3=9Z^3と。
どこかで見た式が出てきました・・・が、別にそこに戻ってしまったわけではありません。これを用いて矛盾を示すことで題意を証明しましょう。みずきさんの仰る無限降下法ですね。

No.30521 - 2015/01/30(Fri) 19:17:27

☆ Re: mod / 整数

皆さんありがとうございます。
mod3でやるというのは単なる思いつき（ｙ＾３の係数が４≡１で簡単になることと右辺が９≡０であること、modの数字は少ないほうが調べる手間が少ないという思いつき）でやったのですが、mod9ならうまくいく、という発想は一体どこから来たのでしょうか？確かにうまくいきましたがなぜにmod9なのでしょうか。

No.30525 - 2015/01/30(Fri) 21:30:28

☆ Re: mod / みずき

整数さんと同じような感じですよ。
ただ、modの数字は少ない方が調べる手間が少ない
というときの「少ない」に対する感覚の違いがあるだけ
だと思います（人によってどこまでを「少ない」と思うか）。

mod 9で試してみようと思ったのは、私の場合は、
右辺が9の倍数だったからです。
そこでmod 9で「良いこと」が起きないかなと調べてみると
任意の整数nに対してn^3≡0,±1(mod 9)
（これが、候補が少ない、という意味で「良い」こと）
が言えることに気づきました。

他にこのような例としてn^3≡0,±1(mod 7)もありましたが、
こちらではうまくいきませんでした。

No.30526 - 2015/01/30(Fri) 21:52:00

★ (No Subject) / すずき

⑴について質問です。
まず、２の累乗のところで、ｆ(ｎ)のこすうがひとつ増えることに着目して数学的きのう法において場合わけしました

No.30512 - 2015/01/29(Thu) 19:22:06

☆ Re: / すずき

それが以下です。
二点質問です

波線ひいたところが、なぜ１／２^ｆ(l＋１)と表せるかわからないのでおしえてください。

また、l＋１が２の累乗を満たさないとき
偶奇でまた場合わけをするらしいのですが。さらにそのように場合わけが必要な理由がわかりません。なぜなら、ｆの個数は変わらないと思うからです。

難しくて困りました・・・・どうか易しく教えてください。

No.30513 - 2015/01/29(Thu) 19:26:03

☆ Re: / ヨッシー

実際に解いてみます。
(1)
f[1]＝0
f[2]＝f[3]＝1
f[4]＝f[5]＝f[6]＝f[7]＝2
　・・・
f[2^p]＝・・・・f[2^(p+1)-1]＝p
であることをまず確認しておきます。

n=1 のとき
f[1]＝0 より、a[1]＝b[1]＝1 とすれば
　S[1]＝1＝a[1]/2^(f[1])b[1]
と表せる。

n=k のとき
　S[k]＝1＝a[k]/2^(f[k])b[k]　　a[k], b[k] は奇数
と書けたとします。

このとき n=k+1 について
i)
f[k]＜f[k+1] つまり、k+1 が、k+1＝2^p の形の数である時
　f[k+1]＝f[k]＋1＝p　ただし k+1＝2^p
　S[k+1]＝S[k]＋1/(k+1)
　　　＝a[k]/2^(f[k])b[k]＋1/2^p
　　　＝a[k]/2^(f[k])b[k]＋1/2^(f[k+1])
　　　＝a[k]/2^(f[k+1]－1)b[k]＋1/2^(f[k+1])
　　　＝2・a[k]/2^(f[k+1])b[k]＋b[k]/2^(f[k+1])b[k]
　　　＝(2・a[k]＋b[k])/2^(f[k+1])b[k]
2・a[k]＋b[k], b[k] は奇数であるので、
　S[k+1]＝1＝a[k+1]/2^(f[k+1])b[k+1]　　a[k+1], b[k+1] は奇数
の形に書けたことになります。
ii)
k+1 が、k+1＝2^p の形の数でない時
　f[k+1]＝f[k]
であり、
　S[k+1]＝S[k]＋1/(k+1)
　　　＝a[k]/2^(f[k])b[k]＋1/(k+1)
　　　＝a[k]/2^(f[k+1])b[k]＋1/(k+1)
　　　＝{(k+1)a[k]＋2^(f[k+1])b[k]}/2^(f[k+1])b[k](k+1)

k+1 が奇数の時
(k+1)a[k]＋2^(f[k+1])b[k],b[k](k+1) は共に奇数であるので、
　S[k+1]＝1＝a[k+1]/2^(f[k+1])b[k+1]　　a[k+1], b[k+1] は奇数
の形に書けます。

k+1 が偶数の時
　2^p＜k+1＜2^(p+1)
となる p に対して、f[k+1]＝p であり、k+1 に掛けられている２の個数は高々 p-1 であり、それを q とします。
つまり、k+1＝2^q×c (cは奇数、q＜p) と書けます。
すると、
　 S[k+1]＝{(2^q×c)a[k]＋2^p・b[k]}/2^(f[k+1])b[k](2^q×c)
分母分子 2^q で割って、
　 S[k+1]＝{c・a[k]＋2^(p-q)・b[k]}/2^(f[k+1])b[k]・c
c・a[k]＋2^(p-q)・b[k]、b[k]・c は共に奇数であるので、
　S[k+1]＝1＝a[k+1]/2^(f[k+1])b[k+1]　　a[k+1], b[k+1] は奇数
の形に書けます。

以上より、任意の自然数ｎについて
　S[n]＝1＝a[n]/2^(f[n])b[n]　　a[n], b[n] は奇数
の形に書けます。

No.30516 - 2015/01/30(Fri) 11:50:43

☆ Re: / すずき

長々と丁寧に本当に有り難うございます！偶奇が必要となる箇所は、a(k等が奇数かどうか調べるためなんですね、
ところで、
２^pをみたすK＋１が存在するとき、
１／(k＋１)＝１／２^ｆ(k＋１)となるのはどうしてですか？？？？

No.30538 - 2015/01/31(Sat) 18:32:58

☆ Re: / ヨッシー

>２^pをみたすK＋１が存在するとき、
>１／(k＋１)＝１／２^ｆ(k＋１)となるのはどうしてですか？？？？
ｋ＋１＝２^p なので
　１／(k+1)＝１／2^p
f[k+1]＝f[2^p]＝ｐ　なので、
　１／(k+1)＝１／2^p＝１／2^f[k+1]
です。
　

No.30543 - 2015/01/31(Sat) 21:12:50

★ (No Subject) / すずき

２点質問があります

No.30506 - 2015/01/29(Thu) 17:45:49

☆ Re: / すずき

面積の方です。
ここまで材料はだすますた。
⑴引き算でやる方法のとき
三角OAM と三角形OBHの二倍を引けば良いということですが、のこりの白の面積がなぜこの三角形のにばの2倍となるかわかりません。
三角形OABはなぜその面積に該当しますか？

No.30507 - 2015/01/29(Thu) 17:49:22

☆ Re: / すずき

また、引き算は思いつかなかったので、そのまま直接求めて式変形していきました。
しかしここまでやってつまずきました。
この方法で続きはできませんか？？

No.30508 - 2015/01/29(Thu) 17:56:49

☆ Re: / X

＞＞No.30507の回答
△OABを△OAPと△OBPに分割して、この二つの
三角形と合同な三角形を探してみましょう。

No.30514 - 2015/01/29(Thu) 23:44:58

☆ Re: / X

＞＞No.30508の回答
その方針でも計算はできます。
が、Aの値の範囲の計算を間違えていますね。
0＜θ＜π/2
より
π/4＜θ+π/4＜3π/4
∴1/√2＜sin(θ+π/4)≦1
(1/√2＜sin(θ+π/4)＜1ではありません)
従って
1＜A≦√2
後は横軸にA、縦軸に件の三角形の面積を取った
グラフを考えましょう。

No.30515 - 2015/01/29(Thu) 23:56:27

☆ Re: / すずき

合同について
合同条件を教えていただけますか？？
この場合どの条件にも当てはまらないように思えてならないので・・・・
半径なので１が等しい
共通辺
直角
まではわかりました。

No.30536 - 2015/01/31(Sat) 17:54:44

☆ Re: / すずき

質問ふたつめについて
なる程です。この場合Aが最小となる値を代入してとおわりではないのでしょうか？？
すると、最小の方に＝を含まないためまた、できないのですが・・・(＞＜)

No.30537 - 2015/01/31(Sat) 18:02:20

☆ Re: / X

>>合同について～
問題の三角形が直角三角形であることに注目します。
斜辺は共通で、斜辺以外の辺の一つが円の半径に
なっていますので、直角三角形の合同条件を
満たしています。

>>この場合Aが最小となる値を代入して～
問題の場合、Aが最大のときに△ABNの面積も最大になります。
(横軸にA、縦軸にS(=(△ABNの面積))を取って
S=1-2/(A+1) (1＜A≦√2)
のグラフを描きましょう。)

No.30544 - 2015/01/31(Sat) 21:28:54

☆ Re: / すずき

具合悪くしていてお返事長らくできずごめんなさい。
ほんとに有り難うございました！

No.30670 - 2015/02/13(Fri) 23:20:46

★ (No Subject) / すずき

まず、題意より2πーα＝βがいえるそうなのですが、それはRがα、βのとき等しいという条件からですか？？
そもそも、もしβが2πーαだとしても、cosは等しくなりますが、sinが等しくならないので、一致するときがあるのだろうかと思います・・・・

また、⑵の軌跡をどう考えたらよいかさっぱりです。緒すらないので、どこから緒にして考えたら良いのでしょうか・・・・

どうぞよろしくおねがいします。

No.30500 - 2015/01/29(Thu) 15:57:31

☆ Re: / ヨッシー

角θだけ回転した時のＲの座標は
　ｘ＝θ＋ｒsinθ
　ｙ＝１＋ｒcosθ
であり、β＝２π－α とし、
　ｘ1＝α＋ｒsinα
　ｙ1＝１＋ｒcosα
　ｘ2＝β＋ｒsinβ＝(２π－α)－ｒsinα
　ｙ2＝１＋ｒcosβ＝１＋ｒcosα
とおくと、
　ｘ1＋ｘ2＝2π
　ｙ1＝ｙ2
であるので、Ｒの軌跡はｘ＝π に関して対称といえます。
特に、ｘ1＝ｘ2＝π のとき、（Ｘ1, ｙ1) と (ｘ2, ｙ2) は一致します。

軌跡は図のようになります。

No.30505 - 2015/01/29(Thu) 17:18:25

☆ Re: / すずき

ということは、β＝２πーαというのは、だいいからわかることではなく、そのように綺麗に考えるために仮定したということですか？？？

No.30509 - 2015/01/29(Thu) 18:06:24

☆ Re: / ヨッシー

題意から直接はわかりませんが、
こちらに貼った図のようなものから、サイクロイドおよびトロコイドの図形が想像できることと、θ＝２πで１周すること、および図形の対称性からθ＝πでぶつかるな、と予測することは出来ます。

No.30511 - 2015/01/29(Thu) 18:58:42

☆ Re: / すずき

わたしにはなかなか難しい推測でした…ほんとに有り難うございます！

No.30669 - 2015/02/13(Fri) 23:18:59

★ (No Subject) / くちぱっち

(3)がわかりません。解答と解説お願いします。

No.30497 - 2015/01/29(Thu) 14:45:55

☆ Re: / くちぱっち

> (3)がわかりません。解答と解説お願いします。

再送させていただきました。

No.30498 - 2015/01/29(Thu) 14:52:20

☆ Re: / ヨッシー

(1)
△ＡＱＢの外接円の半径をR1とすると、正弦定理より
　２R1＝ＡＢ/sin60°＝２、　R1＝１
同様に
　ＡＱ＝２R1sinθ＝２sinθ　　・・・　う

(2)
∠ＣＢＲ＝90°－θ
∠ＢＣＲ＝180°－60°－(90°－θ)＝θ＋30°
∠ＰＣＡ＝180°－60°－(θ＋30°)＝90°－θ
△ＡＰＣの外接円の半径をR2とすると、正弦定理より
　２R2＝ＡＣ/sin60°＝4/√3、　R2＝2√3/3
同様に
　ＡＰ＝２R2sin∠ＰＣＡ＝4√3/3sin(90°－θ)＝4√3/3cosθ
よって、
　ＰＱ＝2sinθ＋4√3/3cosθ

(3)
　ＰＱ＝√(4＋16/3)sin(θ＋α)＝√(28/3)sin(θ＋α)
　　＝(4/3)√21sin(θ＋α)
cosα＝√21/7、sinα＝2√7/7 の角αに対し
　θ＝90°－α
のときに、ＰＱの最大値は(4/3)√21 となります。

No.30499 - 2015/01/29(Thu) 15:51:33

☆ Re: / くちぱっち

有り難うございます！

No.30504 - 2015/01/29(Thu) 16:17:27

★ 逆関数 / wataru(大学受験）

添付の問い92番について質問があります。

No.30492 - 2015/01/28(Wed) 09:09:47

☆ Re: 逆関数 / wataru(大学受験）

解答の青線部分はどうして成り立つのでしょうか。
回答よろしくおねがいします。

No.30493 - 2015/01/28(Wed) 09:11:51

☆ Re: 逆関数 / wataru(大学受験）

自分ではここまでしか分かりませんでした。

No.30494 - 2015/01/28(Wed) 09:13:58

☆ Re: 逆関数 / ヨッシー

文字が変わっただけで、関数の中身は同じなので、
　g^(-1)(y)＝f(y)　⇔　g^(-1)(x)＝f(x)
であるし、
　　⇔　g^(-1)(u)＝f(u)
　　⇔　g^(-1)(v)＝f(v)
なんでも良いのです。

No.30496 - 2015/01/29(Thu) 14:21:11

☆ Re: 逆関数 / wataru(大学受験）

やっと理解できました。ありがとうございます。

No.30528 - 2015/01/30(Fri) 22:12:03

★ (No Subject) / くちぱっち

解答と解説お願いします！

No.30484 - 2015/01/27(Tue) 20:36:02

☆ Re: / くちぱっち

面積求めるとこまでわかりました！

No.30485 - 2015/01/27(Tue) 20:39:14

☆ Re: / ヨッシー

△ＡＣＤの面積は△ＡＢＣの面積の２倍なので、
　△ＡＣＤ＝(1/2)ＡＤ・ＣＤsin∠ＡＤＣ
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＢＣsin∠ＡＢＣ
において
　∠ＡＢＣ＝120°、∠ＡＤＣ＝60°
より
　sin∠ＡＤＣ＝sin∠ＡＢＣ＝√3/2
よって、
　ＡＤ・ＣＤ＝２ＡＢ・ＢＣ＝８
△ＡＣＤにおける余弦定理より
　ＡＤ^2＋ＣＤ^2＝ＡＣ^2＋２ＡＤ・ＣＤcos∠ＡＤＣ
　　　　　　＝１６＋２・８cos60°
　　　　　　＝２４
(ＡＤ＋ＣＤ)^2＝ＡＤ^2＋ＣＤ^2＋２ＡＤ・ＣＤ
　　　＝２４＋１６＝４０
よって、ＡＤ＋ＣＤ＝2√10
四角形ＡＢＣＤの周の長さは
　(√5－1)＋(√5＋1)＋2√10＝2√5＋2√10＝2√5(1＋√2)

No.30486 - 2015/01/27(Tue) 20:57:41

☆ Re: / くちぱっち

ありがとうございました♪

No.30487 - 2015/01/27(Tue) 21:19:31

★ 一次関数について / きむら

「関数y=2x+mは、xの変域が2≦x≦5のとき、yの変域はn≦y≦7である。このときm,nの変域を求めなさい。」
という問題なのですが、答えの導き方が分かりません。
詳しく教えてください。よろしくお願いします。
ちなみに答えは、m=-3,n=1です。

No.30482 - 2015/01/27(Tue) 19:17:11

☆ Re: 一次関数について / Masa

直線y=2x+mの傾きは2、つまりxが1増えるとyは2増えますよね。
つまりxが大きいほどyも大きくなります。
これより、x=2のときy=n、x=5のときy=7となります。
これをy=2x+mに代入して、

n=2・2+m…?@
7=2・5+m…?A

これをm,nについて解けば出ます。

No.30483 - 2015/01/27(Tue) 19:55:37

★ 必要条件と十分条件 / Ruhrung

こんにちは。Ruhrungと申します。宜しくお願い致します。

問　自然数nについて、n^2が8の倍数ならば、nは4の倍数である。この命題の真偽を答えよ。

解説には次のように書いてありました。

n^2が8の倍数である時、n^2は素因数2を3個以上持つので、nは素因数2を2個以上持ち、4の倍数となる。

この解説が良く分かりません。恐れ入りますが、教えてください。宜しくお願い致します。

No.30478 - 2015/01/27(Tue) 15:13:00

☆ Re: 必要条件と十分条件 / ヨッシー

ｎが 2×3 とか 2×5 とかのように、素因数に２を１個しか持たない数だと、ｎ^2 は 2^2 × 3^2 や 2^2×5^2 のように、２を２個しか持たない数になります。
（もちろん、ｎが２を１つも持たないというのは論外です）

よって、ｎに２が２個以上含まれていないと、ｎ^2 に２が３個（実際には４個以上になりますが）含まれることはないので、ｎには少なくとも２個の２が含まれていないといけないことになります。

No.30479 - 2015/01/27(Tue) 15:22:04

☆ Re: 必要条件と十分条件 / Ruhrung

ヨッシーさん、丁寧な解説ありがとうございました。
理解することができました。
また宜しくお願い致します。

No.30480 - 2015/01/27(Tue) 16:41:33