nを自然数とする。ｎ＋１項の等差数列x(0),x(1),…,x(n)と等比数列y(0),y(1),…,y(n)が、1＝x(0)＜x(1)＜x(2)＜…＜x(n)＝2,1＝y(0)＜y(1)＜y(2)＜…＜y(n)＝2を満たすとし、P(n),Q(n),R(n),S(n)を次で定める。
P(n)＝{x(1)＋x(2)＋x(3)＋…＋x(n)}/n
Q(n)＝{x(1)x(2)x(3)…x(n)}^(1/n)
R(n)＝{y(1)＋y(2)＋y(3)＋…＋y(n)}/n
S(n)＝{y(1)y(2)y(3)…y(n)}^(1/n)
このとき極限値lim(n→∞)P(n),lim(n→∞)Q(n),lim(n→∞)R(n),lim(n→∞)S(n)をそれぞれ求めよ。
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No.29676 - 2014/11/25(Tue) 06:34:59
| ☆ Re: / WIZ | | | kを非負整数で0 ≦ k ≦ nとし、xy座標でx = k/nのときy = x[k]となる不連続な関数を考えます。
{x[0],x[1],・・・,x[n]}は等差数列ですから、n→∞のとき上記の不連続関数はy = x+1に収束する(?)と考えられます。
よって、
lim[n→∞]P(n) = lim[n→∞]{Σ[k=0,n]{x[k]/n}} = ∫[0,1]{x+1}dx = [(x^2)/2+x]_[0,1] = 3/2
となります。
log(Q(n)) = Σ[k=0,n]{log(x[k])/n}ですから、x = k/nのときy = log(x[k])となる不連続な関数を考えれば、
lim[n→∞]log(Q(n)) = lim[n→∞]{Σ[k=0,n]{log(x[k])/n}} = ∫[0,1]{log(x+1)}dx = [(x+1)*log(x+1)-x]_[0,1] = 2*log(2)-1
よって、
lim[n→∞]Q(n) = e^{2*log(2)-1} = 4/e
となります。
{y[0],y[1],・・・,y[n]}の公比は2^(1/n)ですから、x = k/nのときy = y[k] = 2^(k/n)となる不連続な関数を考えれば、
lim[n→∞]R(n) = lim[n→∞]{Σ[k=0,n]{y[k]/n}} = ∫[0,1]{2^x}dx = [(2^x)/log(2)]_[0,1] = 1/log(2)
となります。
log(S(n)) = Σ[k=0,n]{log(y[k])/n}ですから、x = k/nのときy = log(y[k]) = (k/n)log(2)となる不連続な関数を考えれば、
lim[n→∞]log(S(n)) = lim[n→∞]{Σ[k=0,n]{(k/n)log(2)}} = log(2)∫[0,1]{x}dx = log(2){(x^2)/2]_[0,1] = log(2)/2
よって、
lim[n→∞]S(n) = e^{log(2)/2} = √2
となります。
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No.29678 - 2014/11/25(Tue) 13:46:25 |
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