ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 正負の数計算の工夫 / 天狗@中学一年

文英堂の最高水準特進問題集という物をやっていて2つどうしても理解できない問題があったのですけど…

まず1つ目の問題は、

1/(1×2)＋1/(2×3)＋1/(3×4)＋1/(4＋5)

＝(1/1-1/2)＋(1/2-1/3)＋(1/3-1/4)＋(1/4-1/5)
となると書いてあるんですけど、なぜこのようになるのでしょうか？

ちなみに答えは4/5でした。

2つ目の問題は、

1/(5×6×7)＋1/(6×7×8)＋1(7×8×9)＋1/(8×9×10)

＝1/2(1/｛5×6｝-1/｛6×7｝)＋1/2(1/｛6×7｝-1/｛7×8｝)＋1/2(1/｛7×8｝-1/｛8×9｝)＋1/2（1/｛8×9｝-1/｛9×10｝)
これも上と似た問題です。上の質問と同様に何故こうなるのでしょうか？

ちなみに答えは1/90でした。

文字を読むのがややこしいと思いますが、出来るだけ詳しくお願いします。
長文すいませんでした。

No.29655 - 2014/11/22(Sat) 10:07:01

☆ Re: 正負の数計算の工夫 / WIZ

部分分数への分解ですね。

kを0でも-1でない定数として、1/{k(k+1)} = 1/k-1/(k+1)です。
何故と言われても困りますが、1/k-1/(k+1)を通分すれば1/{k(k+1)}になるのだから仕方ない(!)ですね。

同様にkを0でも-1でも-2でもない定数として、1/{k(k+1)(k+2)} = (1/2)(1/{k(k+1)}-1/{(k+1)(k+2)})です。

ただ、上記変形を知らなくて試験時間中に思い付けるかといったら、無理かも知れませんね!

No.29656 - 2014/11/22(Sat) 11:06:31

☆ Re: 正負の数計算の工夫 / ヨッシー

こちらは御覧になってますか？

No.29657 - 2014/11/22(Sat) 12:11:46

☆ Re: 正負の数計算の工夫 / 天狗@中一

WIZさんご回答ありがとうございます！

No.29666 - 2014/11/22(Sat) 22:25:41

☆ Re: 正負の数計算の工夫 / 天狗@中一

> こちらは御覧になってますか？

すみません見てませんでした…

No.29667 - 2014/11/22(Sat) 22:26:45

★ ﾍﾞｸﾄﾙ / ふぇるまー

222と224を教えてください。

No.29650 - 2014/11/21(Fri) 22:44:38

☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙ / deep make

[222]
それぞれ球面の中心の座標を考えましょう.

(1)は, 明らかに, (2,-1,±3)が球面の中心になります.

(2)は, 球面の中心を(x,0,0)と置くとき, 2点の中心からの距離を比較して,
(x-1)^2+1^2+2^2＝(x-2)+2^2+4^2 ⇒ x=9, 球面の中心は(9,0,0)になります.

(3)は, 球面の中心を(x,y,z)と置くとき,
(x-1)^2+y^2+z^2, (x-4)^2+y^2+z^2, x^2+(y-2)^2+z^2, (x-3)^2+(y-4)^2+(z+2)^2 が
全て等しいので, ここから, x＝5/2, y＝2, z＝-1/2 を得ます.
あとは適当に, 例えば (x-1)^2+y^2+z^2 に代入して,
(x-1)^2+y^2+z^2＝13/2 より,
球面の方程式は, (x-5/2)^2+(y-2)^2+(z+1/2)^2＝13/2 となります.

No.29651 - 2014/11/21(Fri) 23:16:16

☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙ / deep make

[224]
球面の方程式は, (x-3)^2+(y-a)^2+(z-1)^2＝16.
zx平面の方程式は, y＝0.

従って, zx平面と交わってできる円の方程式は,
(x-3)^2+(0-a)^2+(z-1)^2＝16.
これを整理すれば, (x-3)^2+(z-1)^2＝16-a^2.

この円の半径が√7 なので, 16-a^2＝7 より
aの値を計算することができます.

No.29652 - 2014/11/21(Fri) 23:23:47

☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙ / ヨッシー

かぶったけど、違う解き方も含まれるので、載せておきます。

222(1)
中心は(2,-1,3) または (2,-1,-3) なので、
　(x-2)^2＋(y+1)^2＋(z±3)^2＝9
(2)
中心を(x,0,0) とすると、中心から(1,1,2), (2,2,4) までの距離が等しいので
　(x-1)^2＋1^2＋2^2＝(x-2)^2＋2^2＋4^2
これを解いて、
　x＝9
よって、半径は、(9,0,0)から(1,1,2) までの距離 √(8^2＋1^2＋2^2)＝√69
よって、求める球面の式は
　(x-9)^2＋y^2＋z^2＝69
(3)
求める球面の式を
　x^2＋y^2＋z^2＋ax＋by＋cz＋d＝0
と置き、通る４点を代入すると、
　1＋a＋d＝0
　16＋4a＋d＝0
　4＋4b＋d＝0
　29＋3a＋4b－2c＋d＝0
これを解いて、
　a＝－5, b＝-2, c＝5, d＝4
よって、求める球面の式は
　x^2＋y^2＋z^2－5x－2y＋5z＋4＝0
これを標準形に直して、
　(x-5/2)^2＋(y-1)^2＋(z+5/2)^2＝19/2
よって、中心(5/2, 1, -5/2)、半径 √38/2

224
与えられた球面の式は
　(x－3)^2＋(y－a)^2＋(z－1)^2＝16
これを、zx平面 y＝0 で切った切り口の式は
　(x－3)^2＋a^2＋(z－1)^2＝16
より、
　(x－3)^2＋(z－1)^2＝16－a^2＝7
より、a^2＝9、a＝±3

No.29653 - 2014/11/21(Fri) 23:32:57

☆ Re: ﾍﾞｸﾄﾙ / ふぇるまー

お2方ありがとうございます。参考に致します。

No.29662 - 2014/11/22(Sat) 20:25:19

★ 相加相乗平均 / Rio

(1)a^3+b^3 ,ab(a+b) の大小判定をせよ
(2)3(a^3+b^3+c^3),(a+b+c)(a^2+b^2+c^2),(a+b+c)(ab+bc+ca),9abcの大小判定をせよ
いずれも相加相乗平均を利用した解法があるようなのですが思いつきません。よろしくお願いします。

No.29646 - 2014/11/21(Fri) 13:06:45

☆ Re: 相加相乗平均 / ヨッシー

相加相乗平均なので、文字は全部正ですね？
また、相加相乗を使わないとダメですか？

No.29647 - 2014/11/21(Fri) 14:34:40

☆ Re: 相加相乗平均 / ヨッシー

(1)
(a^2＋b^2)/2≧√(a^2b^2) より a^2＋b^2≧2ab を利用して、
　a^3＋b^3＝(a+b)(a^2-ab+b^2)
　　　≧(a+b)(2ab－ab)＝ab(a+b)　(等号は a=b のとき)
(2)
　3(a^3+b^3+c^3)＝{a^3＋b^3＋c^3＋(a^3+b^3)＋(b^3+c^3)＋(c^3+a^3)}
(1) の結果より
　3(a^3+b^3+c^3)≧{a^3＋b^3＋c^3＋ab(a+b)＋bc(b+c)＋ca(c+a)}
　　　　　　　　＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)　（等号は a=b=c のとき)

　(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)＝(1/2)(a+b+c){(a^2+b^2)+(b^2++c^2)+(c^2+a^2)}
　　　　　　　　≧(1/2)(a+b+c)(2ab+2bc+2ca)＝(a+b+c)(ab+bc+ca)　（等号は a=b=c のとき)

３変数の相加相乗平均　(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3) より、(a+b+c)≧3(abc)^(1/3)
　(a+b+c)(ab+bc+ca)≧3(abc)^(1/3)×3(a^2b^2c^2)^(1/3)＝9abc　（等号は a=b=c のとき)

以上より
　3(a^3+b^3+c^3)≧(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)≧(a+b+c)(ab+bc+ca)≧9abc　（等号は a=b=c のとき)

No.29648 - 2014/11/21(Fri) 16:07:20

☆ Re: 相加相乗平均 / ヨッシー

３変数の相加相乗平均は、例えば以下のようにして示せます。
a,b,c　はいずれも正の数として、
　a^3＋b^3＋c^3－3abc＝(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)
　　　＝(1/2)(a+b+c)(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)
　　　＝(1/2)(a+b+c){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}≧0

ここで、aをa^(1/3)、bをb^(1/3)、cをc^(1/3) （いずれも正の数）に
置き換えると、
　a＋b＋c－3(abc)^(1/3)≧0
より、
　(a+b+c)/3≧(abc)^(1/3)
が示せます。

No.29649 - 2014/11/21(Fri) 16:14:55

☆ Re: 相加相乗平均 / Rio

ありがとうございます！詳しいご説明で理解できました。またよろしくお願いします。

No.29654 - 2014/11/22(Sat) 07:37:34

★ 計算問題の謎 / ネクロス

(k＋1)!-2^｛(k＋1)-1｝＝(k＋1)・k!-2k
↓
↓
↓
(k＋1)!と(k＋1)・k!が＝になってるみたいですが
なんでですか?

No.29641 - 2014/11/21(Fri) 05:51:44

☆ Re: 計算問題の謎 / らすかる

(k+1)!=(k+1)・k・(k-1)・(k-2)・…・1
(k+1)・k!=(k+1)・k・(k-1)・(k-2)・…・1
ですね。

No.29642 - 2014/11/21(Fri) 06:09:13

☆ Re: 計算問題の謎 / ネクロス

> (k+1)!=(k+1)・k・(k-1)・(k-2)・…・1
> (k+1)・k!=(k+1)・k・(k-1)・(k-2)・…・1
> ですね。

えっと、(k+1)!は1の部分が-1づつ減るってことで

(k+1)・k!=はk!が-1づつ減るってことですか?

No.29643 - 2014/11/21(Fri) 06:47:41

☆ Re: 計算問題の謎 / らすかる

k!の意味はわかってますか？

No.29644 - 2014/11/21(Fri) 07:01:12

★ 答えがどうしても合いません / KNPI

問: 数列{ａn}の初項から第n項までの和をＳnとするとき、関係式Ｓn=2ａn+ｎが成り立っている。このとき、次の問いに答えよ。
(1)n≧2のとき、ａnをａn-1を用いて表すと、ａn=?@となる。
(2)n≧1のとき、ｂn=ａn+1-ａnとおく。ｂnをnを用いて表すと、ｂn=?Aとなる。
(3)ａnをnを用いて表すと、ａn=?Bとなる。
?@〜?Bをうめよ。

分かる方教えて下さい。
お願いします。

答えは?@2a[n-1]-1?A-2^n?B-2^n+1です

No.29640 - 2014/11/21(Fri) 05:05:45

☆ Re: 答えがどうしても合いません / ヨッシー

(1)
　Ｓ[n]＝２ａ[n]＋ｎ　・・・(i)
　Ｓ[n-1]＝２ａ[n-1]＋ｎ－１　・・・(ii)
(i)－(ii) および、ａ[n]＝Ｓ[n]－Ｓ[n-1] より
　ａ[n]＝２ａ[n]－２ａ[n-1]＋１
移項して整理すると
　ａ[n]＝２ａ[n-1]－１

(2)
　ａ[n+1]＝２ａ[n]－１　　　・・・(iii)
　ａ[n+2]＝２ａ[n+1]－１　　・・・(iv)
(iv)－(iii) より
　ｂ[n+1]＝２ｂ[n]
Ｓ[1]＝ａ[1]＝２ａ[1]＋1 より　ａ[1]＝－１
ａ[2]＝２ａ[1]－1＝－３
よって、　ｂ[1]＝ａ[2]－ａ[1]＝－２
ｂ[n] は初項－２、公比２の等比数列なので、
　ｂ[n]＝－2・2^(n-1)＝－2^n

(3)
ａ[n] の階差数列がｂ[n] であるので、ｎ≧２のとき
　ａ[n]＝ａ[1]＋Σ[k=1～n-1]ｂ[k]
　　　＝－１＋(－２^n＋２)
　　　＝－２^n＋１

No.29645 - 2014/11/21(Fri) 09:43:02

★ 正負の数計算の工夫 / 天狗@中一です。

No.29638 - 2014/11/20(Thu) 21:53:07

☆ Re: 正負の数計算の工夫 / らすかる

1/1-1/2=(2-1)/(1×2)=1/(1×2)
1/2-1/3=(3-2)/(2×3)=1/(2×3)
1/3-1/4=(4-3)/(3×4)=1/(3×4)
1/4-1/5=(5-4)/(4×5)=1/(4×5)
ですから、一つ目の問題はそのように変形できますね。
二つ目も同じです。
1/(5×6)-1/(6×7)=(7-5)/(5×6×7)=2/(5×6×7) なので
1/(5×6×7)=(1/2){1/(5×6)-1/(6×7)}
1/(6×7)-1/(7×8)=(8-6)/(6×7×8)=2/(6×7×8) なので
1/(6×7×8)=(1/2){1/(6×7)-1/(7×8)}
・・・
のようになりますね。

No.29639 - 2014/11/20(Thu) 22:25:08

★ 計算方法が謎 / ネクロス

a_(n＋1)＝-2(a_(n＋1)-a_n)-2
↑
途中式をお願いします。ここがわかりません。
↓
＝a_(n＋1)＝2/3(a_n)-2/3

No.29635 - 2014/11/20(Thu) 02:16:06

☆ Re: 計算方法が謎 / らすかる

a[n+1]=-2(a[n+1]-a[n])-2
カッコを外して
a[n+1]=-2a[n+1]+2a[n]-2
右辺の-2a[n+1]を左辺に移項して
3a[n+1]=2a[n]-2
両辺を3で割って
a[n+1]=(2/3)a[n]-(2/3)

No.29636 - 2014/11/20(Thu) 02:40:02

☆ Re: 計算方法が謎 / ネクロス

にょい

No.29637 - 2014/11/20(Thu) 04:41:03

★ 確率 / すずき

添付の問題⑶についてです。

No.29628 - 2014/11/18(Tue) 19:14:24

☆ Re: 確率 / すずき

このように式を立て、ときました。
しかし、答えが合いません。
どこが間違っているか見当がつきません。
すみませんが教えてください。

No.29629 - 2014/11/18(Tue) 19:15:43

☆ Re: 確率 / deep make

[6]C[3] は, 考えられる3種類の目のパターンであって,
一度その3種類が決定すれば,
サイコロを n 回投げたときに, 出た目の数がその3種になる確率は,
どれも等しい(選んだ3種類には依存しない)ので,
まずはその確率を計算して, 最後に[6]C[3]を掛ければよいと思います.

つまり,
[6]C[3]×(サイコロを n 回投げて, 出た目が1,2,3になる確率)
で計算することになります.

すずきさんの式の中にある[6]C[2], [6]C[1] の意味が分かりません.

No.29632 - 2014/11/18(Tue) 22:48:36

☆ Re: 確率 / すずき

⑶種類のみについてかんがえれば良かったのですね。
あまりに誘導を意識しすぎました。
有り難うございます！

No.29634 - 2014/11/19(Wed) 17:15:04

★ 累乗根の問題について / かわりびと

この(4)の式を計算して値をもとめたいのですが解き方がわかりません。教えて頂けませんか？

No.29623 - 2014/11/16(Sun) 23:20:28

☆ Re: 累乗根の問題について / X

(与式の分母)=[6]√(6^2)=[3]√6
∴(与式)=([3]√8)√12=4√3

No.29624 - 2014/11/17(Mon) 02:47:56

☆ Re: 累乗根の問題について / deep make

(3)については, 全て4乗根の形で書かれていることから,
(27×9×162)/(6^5) を計算し, その4乗根を考えてみましょう.

このとき, 直接掛け算をせずに, 約分をして,
それを素因数分解の形で書き直すことがポイントです.

すると, (3×3×3×3)/(2×2×2×2) となるので,
この4乗根は簡単に計算できます.

(4)について,
全て同じ6乗根の形にすることも1つの方法ですが,
この場合は, [3]√48, √12, [6]√36 をもっと簡単な形にすることを考えましょう.

48＝6×2^3, 12＝3×2^2, 36＝6^2 と書けることを用いて, それぞれ,
[3]√48＝2[3]√6, √12＝2√3, [6]√36＝[3]√6 となります.

No.29625 - 2014/11/17(Mon) 04:21:05

★ (No Subject) / もも

こんにちは

三角関数の問題を解いていたら、
計算がわからないところが出て来たので教えてくださいm(__)m

わからないのは、画像の赤線で囲ってある部分です

No.29621 - 2014/11/16(Sun) 13:22:47

☆ Re: / X

教科書、参考書で二重根号の外し方の項目を
復習しましょう。

No.29622 - 2014/11/16(Sun) 14:31:46

☆ Re: / deep make

a,b＞0 に対し, (√a＋√b)^2＝(a+b)＋2√(a×b) と書けます.
この式と, よく見比べてみましょう.

No.29626 - 2014/11/17(Mon) 04:27:52

☆ Re: / もも

ものすごく遅くなってしまいすみません‼︎

Xさん、deep makeさんありがとうございます
すっきりと理解することができました♪

また機会があればよろしくお願いします

No.29673 - 2014/11/24(Mon) 01:27:43

★ (No Subject) / ぬぬ

図の平行四辺形ABCDで、AM=DM, BE：EC=1：2とする。 CMとDMの交点をFとするとき、次の問いに答えなさい。
(1) AM=6cmのとき、ECの長さを求めよ。
(2) DF：FEを求めよ。

No.29618 - 2014/11/16(Sun) 11:30:24

☆ Re: / らすかる

「CMとDMの交点をFとするとき」は
「CMとDEの交点をFとするとき」の誤りですね。
(1)
AM=6cmからAD=12cm
AD=BCなのでBC=12cm
BE：EC=1：2なのでEC=8cm
(2)
△FDM∽△FECなので
DF：FE=MD：EC=6cm：8cm=3：4

No.29619 - 2014/11/16(Sun) 11:43:03

★ (No Subject) / m

f[x]= (1/2)*x^2 - x - 3
　　　　　　
　　　　に対して，

(1) yを与えてxy－f[x] を最大にするxをyの関数として求め，
(2)それに対するxy－f[x]の最大値をg[y]とする。g[y]を求めよ
を　お願いします。

(他所でも　お願いしました　が　未だ　なので　是非願います）

No.29615 - 2014/11/14(Fri) 23:21:55

☆ Re: / angel

> 他所でも　お願いしました　が
別に複数のサイトで質問するのは構いませんし、それを申告して頂くのは良いと思うのですが、何処で聞いたか情報が無いと意味はないですよ?
※こちらで回答したけれど、既にその「他所」で同じように回答されていたら…。回答者は無駄足踏まされたことになりますよ?

さて、問題文に出てくる xy-f(x) これをまずxの関数として F(x) と置きます ( yは定数扱い )
そうしてまとめてみると、F(x)は二次関数なので、平方完成により最大値が分かります。
※微分を使っても良いけど、そこまでするまでもない。

　F(x)=xy-f(x)
　= -1/2・x^2 + (y+1)x + 3
　= -1/2・( x-(y+1) )^2 + 1/2・(y+1)^2 + 3

そのため、F(x)は、x=y+1 の時、最大値 1/2・(y+1)^2+3 を取ります。
これでもう答え。g(y)=1/2・(y+1)^2+3 です。
別に展開して整理しなくとも良いと思いますが、やるなら g(y)=1/2・y^2+y+7/2 です。

なお、「最大にするxをyの関数として求め」は途中の計算の話なので、特に強調していませんが「x=y+1の時」と言っているのが相当します。

No.29661 - 2014/11/22(Sat) 17:47:17

★ 極値 / T

問題　xが実数のとき、
(x^2+2x+3)/(x^2+1) の最大値・最小値　を求めよ

　　　この問題について　先生　に　たずねたら

即座に「与式＝定数とおいて判別式を利用する解法」で解かれ

　　　　　「どんなもんじゃい　顔」　を　された。

で　先生　に　(x^4 + x^3 - x^2 - 2*x + 3)/(x^2 + x + 1)　　の　極値　を

　　　　　「与式＝定数とおいて判別式を利用する解法」　で　お願いしたら

　　　　　忙しい　から　後日　に　と　言われて　しまいました。

　　　　　　　　　数日　待ちましたが　まだ　です。

「与式＝定数とおいて判別式を利用する解法」で　お願いします。

また y = (x^4 + x^3 - x^2 - 2*x + 3)/(x^2 + x + 1) の　グラフの

二重接線をも　お願いします。

　

No.29611 - 2014/11/14(Fri) 08:57:59

☆ Re: 極値 / ヨッシー

うまく解けるかわかりませんが、方針としては、
　(x^4 + x^3 - x^2 - 2*x + 3)/(x^2 + x + 1)＝k
とおいて、分母をはらい、重解をもつ所が極値になります。

また、二重接線は
　(x^4 + x^3 - x^2 - 2*x + 3)/(x^2 + x + 1)＝ax+b
とおいて、分母をはらい、２組の重解を持つような a,b の
値を見つけることになります。

No.29612 - 2014/11/14(Fri) 16:16:30

☆ Re: 極値 / T

いただいた　方針達　は　理解できました。

おそらく　先生　も　そこの　具現　に

困難点　を　見出し

生徒に　解答を　未だ　為されない　の　だろう　と

推測　致します。

示唆された　方針　の　具体化　を　是非　お願い致します

No.29614 - 2014/11/14(Fri) 23:13:38

★ (No Subject) / アカシロトモ

問題　xが実数のとき、
(x^2+2x+3)/(x^2+1) の最大値・最小値　を求めよ

この問題について、「微分法・グラフによる解法」、「与式＝定数とおいて２次関数の実数解条件を利用する解法」以外の解法で解くようにとの先生の指示です。もっと簡単な方法があるとのことですがわかりません。よろしくお願いいたします。

No.29606 - 2014/11/13(Thu) 22:57:37

☆ Re: / IT

(x^2+2x+3)/(x^2+1)=1+2(x+1)/(x^2+1)なので

(x^2+2x+3)/(x^2+1)の増減は
x+1≠0のとき(x^2+1)/(x+1)=(x+1)+2/(x+1)-2の増減と逆になる。
後は相加相乗平均の関係を使う。
　

No.29608 - 2014/11/14(Fri) 00:15:57

☆ Re: / ＿

そういう指示があったら「それ以外の解法だったらいいんでしょ」とばかりにヘンテコな解法を取りたくなります。

なんとなく文字を変えて(y^2+2y+3)/(y^2+1)の最大最小を求めることにします。
ITさんのものと同様に変形し、1+2(y+1)/(y^2+1)として、
(y+1)/(y^2+1)={y-(-1)}/{y^2-(-1)}の最大最小を考えればよいということになる。
これはxy平面上での点(-1,-1)と曲線x=y^2上の点との傾きを表すので、最大最小としては接線になる場合を考えればよいので…

No.29609 - 2014/11/14(Fri) 01:00:43

☆ Re: / アカシロトモ

ITさん、＿さん　お二人ともご回答ありがとうございます。
昨夜12：00に寝てしまいました。お礼が遅れて申し訳ありませんでした。今から、早速、教えていただいた内容を勉強いたします。
　

No.29610 - 2014/11/14(Fri) 06:44:30

★ 証明２題 / ふぇるまー

?@四面体ABCDにおいて、
AC⊥BDならばAD^2+BC=AB^2+CD^2
が成り立つことをベクトルで証明せよ。
?Amを整数とする。
m^2-1が8で割り切れるための必要十分条件は、mが奇数であることを示せ。
以上です。お願いいたします。

No.29604 - 2014/11/13(Thu) 21:13:53

☆ Re: 証明２題 / ヨッシー

(1)
AD^2+BC^2=AB^2+CD^2 であるとして解きます。

ｂ＝ＡＢ、ｃ＝ＡＣ、ｄ＝ＡＤとおきます。
条件より　ｃ・(ｄ－ｂ)＝０
よって、　ｃ・ｂ＝ｃ・ｄ　・・・(i)

　ＡＤ^2＋ＢＣ^2＝ＡＤ^2＋(ｃ－ｂ)・(ｃ－ｂ)
　　　　　　　　＝ＡＤ^2＋ＡＣ^2＋ＡＢ^2－２・ｃ
　ＡＢ^2＋ＣＤ^2＝ＡＢ^2＋(ｄ－ｃ)・(ｄ－ｃ)
　　　　　　　　＝ＡＢ^2＋ＡＤ^2＋ＡＣ^2－２ｃ・ｄ
(i) より
　　ＡＤ^2＋ＢＣ^2＝ＡＢ^2＋ＣＤ^2

(2)
ｍが偶数ならば　m^2－１は奇数であり、８では割り切れない。
よって、対偶を取って、
　m^2－1 が8で割り切れるならば、ｍは奇数である。
ｍが奇数ならば、ｍ＝２ｎ＋１　（ｎは整数）とおくと
　m^2－1＝(2n+1)^2－１＝4n^2＋4n＝４ｎ（ｎ＋１）
続く２整数のうちどちらかは偶数であるので、ｎ（ｎ＋１）は偶数となり、
４ｎ（ｎ＋１）は８の倍数となります。
よって、m^2－1 は８の倍数。
以上より、証明できた。

No.29605 - 2014/11/13(Thu) 21:30:11

☆ Re: 証明２題 / ふぇるまー

ありがとうございます。参考になります。

No.29613 - 2014/11/14(Fri) 19:10:59

★ 一次関数のグラフについて / 流れ星

中2です。
2x-3y=11の二元一次方程式のグラフをかく問題です。
式はy=(2/3)x-11/3と出たのですが、どちらも分数なので
グラフの交点に点をとれないのでグラフを作れません。
整数でx座標,y座標を求めるにはどのようにしたらよいのでしょうか?
よろしくお願いします。

No.29599 - 2014/11/13(Thu) 20:51:21

☆ Re: 一次関数のグラフについて / IT

x=1,2,3,4 あたりで調べてみてはどうですか。

No.29600 - 2014/11/13(Thu) 20:59:53

☆ Re: 一次関数のグラフについて / ヨッシー

たとえば、ｘに１，４，７などを入れてみては？

No.29601 - 2014/11/13(Thu) 21:00:46

☆ Re: 一次関数のグラフについて / 流れ星

あてずっぽうで数を代入する方法しかないのでしょうか?

No.29602 - 2014/11/13(Thu) 21:04:05

☆ Re: 一次関数のグラフについて / ヨッシー

分母が３の場合は、最初の最大２つまでは試行錯誤になりますが、
１つ見つかったら、あとは３ずつ増やします。

No.29603 - 2014/11/13(Thu) 21:11:27