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★ (No Subject) / すずき
今日もよろしくお願いします。
No.29987 - 2014/12/29(Mon) 14:09:01
☆ Re: / すずき
△ABCに内接円Ｑと内接円Pの二つがとれるようなのです。
Pの方は一枚目の方で定義し、Ｑの方は二枚目の方で定義されています。
ひとつの△に対して内接円は一つにしか定まらないと思うのですが、違うのでしょうか・・・・？
お願いします・・・・
No.29988 - 2014/12/29(Mon) 14:12:09
☆ Re: / ヨッシー
円Ｐは、ＡＢ，ＡＣに接していますが、ＢＣに接していないので、
内接円ではありません。
No.29992 - 2014/12/29(Mon) 16:54:35
☆ Re: / すずき
勝手にBcにも接すると思い込んでいました・・・・有り難うございます。
No.30011 - 2014/12/30(Tue) 12:06:14
★ (No Subject) / すずき
添付の、３辺の和、のところです。
No.29981 - 2014/12/28(Sun) 14:50:21
☆ Re: / すずき
このように、接線を求めてac,bcの長さを求める方法でやってみました。しかしcbを三平方で求める方法しか思いつきませんでした。
ここから３辺の和を証明する方法はありませんか？？
No.29982 - 2014/12/28(Sun) 14:52:53
☆ Re: / ヨッシー


上の図のように、変形させるのが簡単です。

三平方を使うとすると、
Ａ（1, (1−cosθ)/sinθ）
Ｂ（(1−sinθ)/cosθ, 1)
Ｃ（１，１）
として
　ＡＣ＝(sinθ＋cosθ−1)/sinθ
　ＢＣ＝(sinθ＋cosθ−1)/cosθ
であり、Ｘ＝sinθ＋cosθ−1 とおくと、三平方の定理より
　ＡＢ＝Ｘ√(1/sin^2θ＋1/cos^2θ)
sinθ＞０、cosθ＞０　であるので
　ＡＢ＝Ｘ/(sinθcosθ)
よって、
　ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＝Ｘ(1/sinθ＋1/cosθ＋1/sinθcosθ)
　　＝Ｘ(sinθ＋cosθ＋1)/sinθcosθ
　(分子)＝(sinθ＋cosθ)^2−1＝2sinθcosθ
より
　ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＝２　・・・一定
となります。
No.29984 - 2014/12/28(Sun) 18:58:24
☆ Re: / すずき
たしかにそれだととても簡単ですね。ただ思いつかない場合にどうしようもないので、接線から解く方法があれば希望がもてます。
接線からはどうやっても解けないでしょうか・・・・？
No.29989 - 2014/12/29(Mon) 14:13:51
☆ Re: / ヨッシー
>上の図のように、変形させるのが簡単です。
までが、図形的に解く説明で、

>三平方を使うとすると
から下が、接線の式を求めて、ｘ＝１，ｙ＝１との交点を
Ａ，Ｂとする方法で、No.29982 の画像の方針で解いています。
No.29991 - 2014/12/29(Mon) 16:45:57
☆ Re: / すずき
遅くなってごめんなさい！できました、本当に助かりました有難うございます。
No.30088 - 2015/01/03(Sat) 21:53:02
★ (No Subject) / すずき
添付⑵の?@部分について質問です。
No.29979 - 2014/12/28(Sun) 14:17:08
☆ Re: / すずき
このようにといたのですが、これだと少しも点もらえないでしょうか？
ａ固定のｂについて調べてみたのですが・・・・趣旨をとり間違えてますか？？？
おたすけ下さい・・・・
No.29980 - 2014/12/28(Sun) 14:20:19
☆ Re: / みずき
まず、○2において、
b=k(k≧2)ではなくてb=k(k≧1)としなくてはいけませんね。
（そうしないと「帰納法のドミノ」が倒れてくれません。）

さらに、b=k+1での成立を言うのなら、
(k+1)!/a!≦k^(k+1-a)
ではなくて
(k+1)!/a!≦(k+1)^(k+1-a)
を導かないといけませんね。
（それに(k+1)・k^(k-a)≦k・k^(k-a)は言えないと思います)
No.29983 - 2014/12/28(Sun) 18:36:52
☆ Re: / すずき
たしかに、指数の底もk＋1にしないといけませんね・・・・
するとこの方法だと解けませんか？？？？？
No.29990 - 2014/12/29(Mon) 14:16:15
☆ Re: / みずき
帰納法だと難しい気がしますね。
No.29993 - 2014/12/29(Mon) 18:40:32
☆ Re: / IT
a＞bとa≦bに分けないといけないようですね。

a≦b側は、すずきさんの帰納法の方針でいいと思いますが、a＞b側は別に言う必要がありそうです。
No.30006 - 2014/12/30(Tue) 10:36:24
☆ Re: / すずき
やり直ししてみて、なんとかしっくりきました。有難うございます。
ちなみに、私の方法で指数の底を(K＋１)にして示す方法があれば教えてください。
No.30092 - 2015/01/03(Sat) 22:09:19
★ 日本医科大学の過去問 / じゅけん
xyz空間においてz軸を軸とする半径2の円柱面Tと,点A(1,0,0)を中心とする半径1の球面Sがある.点P(rcosθ,rsinθ,z)(r>0,-π≦θ≦π)を中心とする半径1の球面KがSに外接し,Tに内接しながら動く.KとTの接点をQとするとき,以下の問に答えよ.
(1)rの値を求め,zをθを用いて表せ
(2)T上においてQが描く曲線で囲まれる部分の面積を求めよ

ヨッシーさん、お願いします。
No.29972 - 2014/12/27(Sat) 23:14:00
☆ Re: 日本医科大学の過去問 / じゅけん
(2)の答えが
8(π+4)
になったのですがあってるのでしょうか
自信がありません
No.29973 - 2014/12/28(Sun) 01:54:15
☆ Re: 日本医科大学の過去問 / じゅけん
失礼しました。
32
になりました。
No.29974 - 2014/12/28(Sun) 02:15:53
☆ Re: 日本医科大学の過去問 / ヨッシー
32 が正しいようです。

(1)
Ｋの半径が１であることと、ＫがＴに内接することから、ｒ＝１ は明らかです。

ＡＰの距離が２であることより
　(1−cosθ)^2＋sin^2θ＋ｚ^2＝４
　ｚ＝±√(2cosθ＋2)

(2)
Ｔを x=-2, y=0 で切り開いて、円周方向をＸ、ｚ軸方向をＹとする座標系を考えます。
Ｑ：（2cosθ, 2sinθ, ±√(2cosθ＋2)）であるので、
Ｘ＝2θ、Ｙ＝±√(2cosθ＋2) と表せます。
ここで、対称性から、Ｙ＝√(2cosθ＋2) とＸ軸、Ｙ軸とで囲まれた面積を４倍することにします。
0≦Ｘ≦2π において、
　Ｙ＝√(2cos(X/2)＋2)　　　　
　　＝２√{(cos(X/2)＋1)/2}
　　＝２√cos^2(X/4)
　　＝２cos(X/4)
よって、求める面積をＳとすると
　Ｓ／４＝２∫[0〜2π]cos(X/4)dX
　　　　＝８[sin(X/4)][0〜2π]＝８
よって、Ｓ＝8×4＝32
No.29975 - 2014/12/28(Sun) 06:30:49
★ 小学算数です / めぐ
どなたか分かる方がいましたら教えてください！

260ｍのトラックがあります。A、Bはスタート地点から出てそれぞれ一定の速さで同じ向きにコースを回ります。Aは1周するのに36秒かかります。

?@　BはAがスタートしてから27秒後に出発しました。Bがちょうど1周したのと同時にAは5周しました。BがAに追い越されたとき、Bはスタート地点から何mまわっていましたか。（180ｍ）

?A　CはBと同時に出発し、Bと同じ速さで回っていましたが、Aに最初に追い越されたときにペースを上げ、その後一定の速さで回りました。その結果、Aがちょうど4周したのと同時にCはちょうど1周しました。CがAに最後に追い越されたとき、Cはスタート地点から何m離れていましたか。（140ｍ）

宜しくお願いします！
No.29965 - 2014/12/27(Sat) 20:51:40
☆ Re: 小学算数です / ヨッシー

ピッチダイヤグラムは上の図のようになります。
黒がＡ、赤がＢ、青がＣを表します。

これに

のように記号をつけます。

?@ こちらも ?A と同様「最後に」追い越されたときであるとします。
つまり、Ｓの位置を求めます。
△ＤＯＥと△ＧＯＦは相似であり、相似比は
　ＤＥ：ＦＧ＝９：１０８＝１：１２
よって、Ｖの位置は１周を１：１２に分ける点であるので
　260÷1/13＝20(m)
スタート地点からＶ（Ａが最初にＢを抜く点）までは２０ｍ。
残り２４０ｍを３等分する点がＵ、Ｓであるので、
ＶからＵ、ＵからＳ、Ｓからゴールはそれぞれ
　２４０÷３＝８０（ｍ）
であり、Ｓ地点のスタート地点からの距離は
　２０＋８０＋８０＝１８０（ｍ）　・・・答え

?A

図のように記号を取り直します。
Ｔ地点の位置を求めます。
△ＯＨＫと△ＪＨＬは合同であるので、Ｔ地点は
Ｖ地点からゴールまでの距離の中間点に当たり、
ＶからＴは
　２４０÷２＝１２０（ｍ）
スタート地点からＴまでの距離は
　２０＋１２０＝１４０（ｍ）　・・・答え
No.29969 - 2014/12/27(Sat) 21:42:37
☆ Re: 小学算数です / めぐ
すごく分かりやすいでです！
こんな風に解くんですね…感動しました。
本当にありがとうございました！
No.29986 - 2014/12/29(Mon) 01:37:42
★ (No Subject) / ひぐ
θ=2π/9,α=cosθ+isinθとする.ただし,i^2=-1
β=α+α^8とするとき,βは有理数でない実数であることを示したい
(1)βは実数であることを示せ
(2)βはある整数係数の三次方程式の解である.その方程式f（x）＝０を求めよ.ただし,整式f(x)はx^3の係数を1として表せ.
(3)(2)で求めた三次方程式は解をもたないことを示せ.

おねがいします。
No.29961 - 2014/12/27(Sat) 20:19:33
☆ Re: / IT
> (3)(2)で求めた三次方程式は解をもたないことを示せ.
解を持たないことはないと思いますが？
No.29966 - 2014/12/27(Sat) 21:11:54
☆ Re: / ひぐ
失礼しました。有理数の解をもたないことを示せ
です
No.29967 - 2014/12/27(Sat) 21:14:20
☆ Re: / IT
途中までの略解
(1)
α^9＝1
両辺に~αをかけて (~αはαの共役複素数を表す）
α^8＝~α
β=α+α^8＝α+~α＝2cosθ

(2)β^3=(α+~α)^3
=α^3+3α+3~α+(~α)^3
=α^3+(~α)^3+3β
=cos(2π/3)+isin(2π/3)+cos(2π/3)-isin(2π/3)+3β
=2cos(2π/3)+3β
=-1+3β
すなわちβ^3-3β+1=0
求める方程式はx^3-3x+1=0

３倍角の公式を使っても出来ます。
No.29968 - 2014/12/27(Sat) 21:36:03
☆ Re: / IT
(3) ３次方程式x^3-3x+1=0が有理数解p/q(p,qは互いに素な整数,q＞0）を持つとすると
(p/q)^3-3(p/q)+1=0
　q^3を掛けて整理
　p^3=(3pq-q^2)q
　p,qは互いに素なので q=1
　よってp^3-3p+1=0
　p(p^2-3)=-1 このような整数pは存在しない。

したがって３次方程式x^3-3x+1=0は有理数解を持たない。
No.29970 - 2014/12/27(Sat) 21:49:44
☆ Re: / IT
(1)の計算は
α^9=(cosθ+isinθ)^9 （ド・モアブルの定理）
=cos9θ+isin9θ
=cos2π+isin2π
=1
α^8＝１/α=cos(-θ)+isin(-θ)
=cosθ-isinθ
とか

α^8=cos(8θ)+isin(8θ)
=cos(16π/9)+isin(16π/9)
=cos(2π-(2π/9))+isin(2π-(2π/9))
=cos(2π/9)-isin(2π/9)
=cosθ-isinθ とか　いくつか計算方法があります。
No.29971 - 2014/12/27(Sat) 21:59:03
★ (No Subject) / はなまる
正の整数nに対して,n!の桁数をT(n)とする.例えば,n=5のとき,5!=120であるから,T(5)=3である.(※以下底はすべて10です）
(1)T(n)を[logn!]を用いた式で表せ.ここで,実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数である.
(2)任意の正の整数nに対して,
インテグラル[1→n]lodxdx<T(n)<インテグラル[1→n+1]logxdx+1
が成り立つことを示せ.
(3)lim[n→∞]T(n)/(nlogn)を求めよ

どなたか解けましたら教えてください。
No.29958 - 2014/12/27(Sat) 19:58:56
★ (No Subject) / すずき
添付の問題についてです
加法定理を使って散々試したのですが、全くできません。
どこか、目の付け所はありますか？そしてどうしたら良いのでしょうか・・・・？
お助けください・・・・
No.29952 - 2014/12/27(Sat) 19:45:18
☆ Re: / ヨッシー
とりあえず、(1) でいいですか？
加法定理だけで行けます。

cos^2(θ−φ) を (cosθcosφ＋sinθsinφ)^2
これと第４項
−2cosθcosφ(cosθcosφ＋sinθsinφ)
とを (cosθcosφ＋sinθsinφ)でくくって
(−cosθcosφ＋sinθsinφ)(cosθcosφ＋sinθsinφ)
展開して
sin^2θ＝1−cos^2θ
sin^2φ＝1−cos^2φ
と置き換えると、余計なものは全部消えます。
No.29957 - 2014/12/27(Sat) 19:57:21
☆ Re: / すずき
今やり直ししてみています。
No.29977 - 2014/12/28(Sun) 14:14:43
☆ Re: / すずき
できました！遅くなりごめんなさい。本当にありがとうございます！
No.30081 - 2015/01/03(Sat) 21:35:01
☆ Re: / ヨッシー
それは何より。
No.30083 - 2015/01/03(Sat) 21:38:19
★ (No Subject) / たこちゃん
双曲線xy=1上の動点をPとする.Pにおけるこの双曲線の接線lに原点Oから下ろした垂線の足をQとし,OQ=r(r>0),OQとx軸の正方向とのなす角をθ(0≦θ<2π)とする.
(1)rをθの関数として表せ.
(2)Qの描く曲線Cに1点Oを付け加えた図形が囲む領域の面積を求めよ.

お願いいたします。
No.29949 - 2014/12/27(Sat) 18:10:33
☆ Re: / ヨッシー
こちらをご覧下さい。
No.29953 - 2014/12/27(Sat) 19:47:36
★ van den bergの定理 / たこちゃん
a,bをa>b>oを満たす定数とし,f(x)=x^3-3b^2x+2a(4a^2-3b^2)とおく.
また,f'(x)をf(x)の導関数とする.
いま,複素数p+qi(p,qは実数)に対して,点(p,q)を複素数p+qiに対応する点と呼ぶことにし,3次方程式f(x)=0の実数解α,虚部が正の虚数解βに対応する点をそれぞれA,Bとする.また２次方程式f'(x)=0に対応する点をF,F'とする.
(1)A,Bの座標を求めよ
(2)線分ABの中点をMとすると,FM+F'Mはaのみに関係する定数となることを示し,その値を求めよ
(3)2点F,F'を焦点とし,(2)の点Mを通る楕円は直線ABに点Mで接することを示せ

解ける方いましたら、お願いします。
No.29943 - 2014/12/26(Fri) 17:42:04
☆ Re: van den bergの定理 / gu
>a,bをa>b>oを満たす定数とし,f(x)=x^3-3b^2x+2a(4a^2-3b^2)とおく.
.
.

>解ける方いましたら、お願いします。

解けました　ので

a = 7, b = 5 と　して　その　証　を　;

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/004/141960640883088057178.gif

　　　　　　一般の　場合の　A,B ,F,F' 等はおまかせ致します。
No.29945 - 2014/12/27(Sat) 00:19:04
★ (No Subject) / すずき
せんたー2013の問題についてです。とても困っているのでお願いします。
No.29934 - 2014/12/24(Wed) 15:57:24
☆ Re: / すずき
全問題文です。
No.29935 - 2014/12/24(Wed) 15:58:10
☆ Re: / すずき
最後のほうのニヌ部分なんですが、
六分の一公式を使ってＳ＝Ｔを表現して、添付のようにしたのですが、ａ^4がうまくでません。
単純に三乗の中身だけ比較しましたが、どうやってもまちがいをみつけられなくて…
助けてください？
No.29936 - 2014/12/24(Wed) 16:00:58
☆ Re: / みずき
S=(a/6){(4a^4+1)/(2a^3)}^3 ですね。
（トは 2 ではなくて 4 だと思います。）
No.29938 - 2014/12/24(Wed) 18:58:07
☆ Re: / すずき
ずっと悩んでいたのがばかみたいです・・・・とても助かりました！有難うございます！
No.29954 - 2014/12/27(Sat) 19:48:45
★ (No Subject) / すずき
また指数の問題です。
2(log3の2)^2を2^(log2のα)＝αと直すことはできませんか？？
2の分数乗になってしまうのですが…
基礎的なコトですが、お願いいたします。
No.29933 - 2014/12/24(Wed) 15:53:19
☆ Re: / ヨッシー
画像を見ると、
　２の(log３底の２)乗
に見えますが、2(log3の2)^2　つまり
　２かける(log３底の２)の２乗
なのですか？
No.29939 - 2014/12/25(Thu) 00:15:43
☆ Re: / すずき
ごめんなさい表記を間違えました。
画像の方が、正しいです。
重ねて宜しくお願いします。
No.29955 - 2014/12/27(Sat) 19:52:38
☆ Re: / ヨッシー
α＝2^(1/log[2]3) です。
log が消えるような式変形は出来ません。
No.29959 - 2014/12/27(Sat) 19:59:54
☆ Re: / すずき
指数部分が分数ではダメだということですね？？
わかりました！
No.29978 - 2014/12/28(Sun) 14:15:31
★ (No Subject) / すずき
添付の問題⑵について
No.29931 - 2014/12/24(Wed) 15:46:51
☆ Re: / すずき
上の指数の式を添付のようにしたのですが、これを使うと答えが合いませんでしたので、間違っているのかなと思いました。
指数は底を揃えれば指数部分のみの比較に帰着することはできませんでしたでしょうか・・・・？？
あれ？？？？？となっています…
教えてください。
No.29932 - 2014/12/24(Wed) 15:49:09
☆ Re: / IT
-3^3(=3^(-3)) はなぜそういえるのですか？
計算してみると間違っていることは明らかです。

>指数は底を揃えれば指数部分のみの比較に帰着することはできませんでしたでしょうか・

3^2=3^x ⇔　2=x は正しいですが

3^1+3^2＝3^x …(1)
よって　1+2=x
よって　x=3
は間違っていますよね！
x=3のとき(1)の左辺＝12,右辺=27です。

#　少し前のいくつかの質問も同じすずきさんのなら、分かったかどうかなど返信された方がいいと思いますよ。
No.29937 - 2014/12/24(Wed) 18:37:32
☆ Re: / すずき
有難うございます！
よくみると、そもそも八が指数部分にないのでおかしいですよね・・・・
指数まるごとおく定石に従います、有難うございます！
No.29956 - 2014/12/27(Sat) 19:56:20
★ Sqrt[5] 等 / D
mを　2以上の自然数とする。
q < 10^m　かつ　Abs[p/q - Sqrt[5]] < 1/10^(2*m - 2)
を満たす自然数の組(p,q)が,どんなmに対しても少なくとも4つ存在することを示して下さい。

また　Sqrt[5]　を　Sqrt[3] にかえた時の　命題を述べ証明して下さい。
No.29930 - 2014/12/24(Wed) 11:11:01
★ (No Subject) / すずき
テンプの問題について
⑶ですが、左辺を取り出し、単調増加までは調べられましたが、そこからの方針が全くたちませんでした。ゼロに近い値について考えたいのですがてどうか教えてください。
No.29925 - 2014/12/22(Mon) 18:11:29
☆ Re: / X
(2)の過程で恐らくf(x)の増減表を書かれていると思いますので
y=f(x),y=(x^2+2x-2)e^xのグラフにより
0≦x≦πにおいて問題の不等式が成立することを示せば
よいことは理解されていると仮定して回答します。

g(x)=(x^2+2x-2)e^x-f(x)
と置くと
g'(x)=(x^2+4x)e^x-f'(x)
f'(x)={e^(sinx)}(sin2x-2cosx)cosx+{e^(sinx)}(2cos2x+2sinx)
=2{e^(sinx)}(sinx-1)(cosx)^2+2{e^(sinx)}(1-2(sinx)^2+sinx)
=2{e^(sinx)}(sinx-1)(cosx)^2-2{e^(sinx)}(2sinx+1)(sinx-1)
=2{e^(sinx)}(sinx-1){(cosx)^2-(2sinx+1)}
=2{e^(sinx)}(1-sinx)(sinx+2)sinx
ここで
関数(x^2+4x)e^xがx≧0において単調増加
であり、又
0≦x≦πにおいてx≧sinx≧0
∴
g'(x)≧{(sinx)^2+4sinx}e^(sinx)-2{e^(sinx)}(1-sinx)(sinx+2)sinx
={(sinx+4)-(1-sinx)(sinx+2)}(sinx)e^(sinx)
={(sinx+1)^2+1}(sinx)e^(sinx)≧0
∴0≦x≦πにおいてg(x)は単調増加
このことと
g(0)=0
により
0≦x≦πにおいてg(x)≧0
No.29927 - 2014/12/22(Mon) 19:33:20
☆ Re: / すずき
さ関数をとったんですね。
それでやってみて、できました！
１と2の誘導にのっかってできるかなと思いました今回つまずいたので、その時は基礎に帰ってやってみることにします。
ほんとに助かりました有り難うございました！
No.29963 - 2014/12/27(Sat) 20:35:45
★ (No Subject) / すずき
添付の問題１について
No.29922 - 2014/12/22(Mon) 14:48:57
☆ Re: / すずき
置換せずにそのまま部分積分など利用して解きましたが何度もループしてしまいました。
でも以前おなじようにといた時はできた筈なのです・・・・どこが間違っているか教えてください。
No.29923 - 2014/12/22(Mon) 14:50:57
☆ Re: / ヨッシー
部分積分
　∫f'g＝fg−∫fg'
において、ｆ＝−ｅ^(-t)、ｇ＝ｔ と置けばうまくいくはずです。
上の解答ではどう置きましたか？
No.29926 - 2014/12/22(Mon) 18:17:12
☆ Re: / すずき
画像で載せた通り、e^-t＊tの部分積分をしましたが、ループしてしまったのです・・・・
それが添付の画像のわたしの解答軌跡です・・・・
No.29928 - 2014/12/23(Tue) 00:48:19
☆ Re: / ヨッシー
ｆ＝−ｅ^(-t)、ｇ＝ｔ と置けば
∫f'g＝fg−∫fg'
のｇ’のところで、ｔは消えるはずなのです。
なのに上の画像で∫の中にｔが残っているのは、
ｆ＝−ｅ^(-t)、ｇ＝ｔ とは違う別の置き方をしていると
思われますので、「どう置いた」のか聞いています。
No.29929 - 2014/12/23(Tue) 04:19:06
☆ Re: / すずき
わたしは、ｔなど置かないままで部分積分にてときました。（e）^t部分を∫の中で微分として捉えてです。
質問に答えていないでしょうか・・・・？
No.29962 - 2014/12/27(Sat) 20:19:47
☆ Re: / ヨッシー
ｔに関する積分の式なので、ｇ＝ｔ は置換積分の置換ではなくて、
部分積分のための設定です。

当面の目標は?@の部分の
　Ｓ＝∫ｔｅ^(-t)dt
を計算することですね？
(表記が面倒なので、不定積分にしています)
これを部分積分で変形するには、
1)
　ｆ＝t^2/2、ｇ＝ｅ^(-t)
とおいて、
　Ｓ＝∫[0〜x](t^2/2)’ｅ^(-t)dt
　　＝(t^2/2)ｅ^(-t)＋∫(t^2/2)ｅ^(-t)dt
となるか
2)
　ｆ＝−ｅ^(-t)、ｇ＝ｔ
とおいて、
　Ｓ＝−ｅ^(-t)・ｔ＋∫ｅ^(-t)dt
となるかのどちらかです。
うまくいくのは 2) の方です。

ところが、上の画像では、どちらでもないので、どういう計算を
されたのかと思いまして、
No.29964 - 2014/12/27(Sat) 20:44:53
★ (No Subject) / haruki
この問題の解説をお願いします。
No.29919 - 2014/12/21(Sun) 22:22:34
☆ Re: / ヨッシー
ａが偶数であれば a^b は偶数、ａが奇数であれば a^b は奇数であるので、
ｍ，ｎがともに偶数となる確率は
　1/2×1/2＝1/4　・・・チ／ツ
ともに奇数の場合も同様に　1/4　・・・テ／ト
ｍ＝ｎ となるのは
　(a,b)＝(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(2,4),(4,2)
の８通りなので、確率は 8/36＝2/9　・・・ナ／ニ

ｍ−ｎ＝１ となるのは
　(a,b)＝(2,1),(3,2)　・・・ヌ、ネ、ノ

０＜ｍ−ｎ＜１０ となるのは
　(a,b)＝(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(2,5) に対応した
　(m,n)＝(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(9,8),(32,25)
ｘ^2＋mx＋ｎ＝０ が重解を持つのは
　x^2＋2x＋1＝０
のときで、(m,n)=(2,1)、(a,b)＝(2,1)　・・・　ハ、ヒ、フ、ヘ

２つの整数解となるのは　(m,n)＝(9,8)、(a,b)＝(3,2)
No.29920 - 2014/12/21(Sun) 23:08:45
☆ Re: / haruki
丁寧な解説ありがとうございます！
No.29921 - 2014/12/22(Mon) 09:31:54
★ 面積 / ふぇるまー
?@底面の半径と高さの和が6である直円柱がある。この直円柱の体積が最大となるときの底面の半径と体積を求めよ。
この問を教えてください。
No.29911 - 2014/12/20(Sat) 18:27:51
☆ Re: 面積 / らすかる
底面の半径をxとすると高さは6-xなので体積はπx^2(6-x)
f(x)=x^2(6-x)とおくとf'(x)=-3x(x-4)なのでx=4のとき最大となり、
f(4)=32なので、体積が最大となるときの底面の半径は4、体積は32π
No.29915 - 2014/12/20(Sat) 20:46:46
☆ Re: 面積 / ふぇるまー
御教授ありがとうございます
No.29918 - 2014/12/21(Sun) 20:09:30
★ 算数・数学 / みどり
比重が0.9、1.0、1.2の溶液、Ａ、Ｂ、Ｃがある。この３種類の溶液を混ぜ合わせて10ｍｌの混合溶液をつくり、質量を計ったところ10.1ｇであった。このとき、ＢとＣの比率を間違えていたことに気がついた。そこで３種類の溶液を追加して20ｍｌの目的の混合溶液をつくり、質量を計ったところ19.8ｇであった。追加した溶液Ｂの体積を求めよ。

最初に加えるA,B,Cの溶液量をそれぞれa、b、c(ml)とします。
a,b,cの合計が10mlなのでa＋b＋c=10
また、比重が0,9、1,0、1,2であることから
0,9a＋b＋1,2=10,1
ところがBとCの溶液の量が逆だったので
正しくは0,9a＋1.2b＋cであった。
「そこで溶液A,B,Cをそれぞれ追加したところ20mlとなった」・・・?@とあるので溶液A,B,Cをそれぞれx、y、z(ml)追加したとすると
a＋x＋b＋y＋c＋z=10＋x＋y＋z=20
となったのですが、これでは文字が多すぎて消去がうまくできないこと、「溶液A,B,Cをそれぞれ追加」とは間違えた溶液の加え方のほうに追加を考えればよいのか混乱してしまったことから行き詰ってしまいました。
また?@とa＋b＋c=10より
この式の両辺に2をかけてやれば
2a＋2b＋2c=20となるのでこれはA,B,Cそれぞれの溶液を最初に混ぜるA,B,Cの溶液の量と同量分だけ増やせば合計が20mlになるということを表していると思うのですがあっているのかわかりません。
「追加」という言葉の通り、実際にx,y,zだけ追加させて考えてみたのですがこの方法では解けないのでしょうか？
算数・数学がかなり苦手なので教えてください。お願いします。
No.29903 - 2014/12/19(Fri) 22:52:16
☆ Re: 算数・数学 / ヨッシー

上記のやり方を吟味する前に、まず解いてみます。
図の左上は、誤った場合の図、右上は目的の混合の図です。
20ml で19.8g が目的の混合溶液なので、10ml だと 9.9gです。
このとき、ＢとＣの量の差に0.2 を掛けたものが、
　10.1−9.9＝0.2(g)
に当たります。よって、ＢとＣの差は
　0.2÷0.2＝1(ml)
となります。

一方、ＡとＣを２：１の比で混ぜると比重1.0の液体になります。
これにＢを任意の量で混ぜても比重は1.0です。
これに Ｃ を混ぜて比重1.01の溶液10ml を作ったとします。
あとで混ぜたＣの量に0.2 を掛けたものが
　10×0.01＝0.1g
になるので、Ｃの量は
　0.1÷0.2＝0.5(ml)
となります。

先に混ぜたＣの量をｘmlとするとＡの量は２ｘml、Ｂの量は 10−0.5−3x＝9.5−3x(ml)
ＢとＣの差は1mlなので、
　(0.5+x)−(9.5-3x)＝4x−9＝1
よって、ｘ＝2.5
最初に混ぜた量は（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝(５，２，３)
正しく混ぜていれば、（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝(５，３，２)
20ml の混合液の内訳は　（Ａ，Ｂ，Ｃ）＝（１０，６，４）
よって、加えたＢの量は４ｍｌ。
No.29904 - 2014/12/20(Sat) 00:37:22
☆ Re: 算数・数学 / ヨッシー
では、方程式で解いてみます。

最初に加えるA,B,Cの溶液量をそれぞれa、b、c(ml)とします。
a,b,cの合計が10mlなので
　a＋b＋c=10
また、比重が0,9、1,0、1,2であることから
　0,9a＋b＋1,2=10,1
ところがBとCの溶液の量が逆だったので
正しくは0,9a＋1.2b＋cであり、これが 19.8÷2＝9.9 であるので、
　0,9a＋1.2b＋c＝9.9
これを解いて
　a=5, b=2, c=3
（以下略）
No.29906 - 2014/12/20(Sat) 06:08:39
☆ Re: 算数・数学 / みどり
回答ありがとうございます。
追加質問です。
?@自分の考えたのは
A,B,Cに追加した量をそれぞれx,y,z(ml)とすると
a＋b＋c＋x＋y＋z=20
0.9a＋b＋1.2c＋0.9x＋1.2y＋z=19.8
としたのですが、文字が6つもでてしまっているのでこの方針は間違いですよね？
?Aまた「20mlで19.8g」なので比を考えれば「10mlで9.9g」となると思うのですが、「追加」という言葉にとらわれすぎてしまいます。
「３種類の溶液を追加して20ｍｌの目的の混合溶液」ということは20mlの溶液は正しいものという意味ですよね？
20mlの半分は10mlで、このとき重さを決める水(水分子)も半分になってしまうので19.8gを半分にした重さの9.9gが10mlのときの重さとしてよいということでしょうか？
わからないのでよろしくおねがいします。
No.29907 - 2014/12/20(Sat) 07:28:30
☆ Re: 算数・数学 / みどり
?Bヨッシーさんが示してくれた図を用いた解き方についてなんですが、一番最初の図は左から溶液Aの比重の面積図？なのでしょうか？斜線の図がなんなのかよくわかりません。
「ＢとＣの量の差に0.2 を掛けたものが、
　10.1−9.9＝0.2(g)」
の「BとCの量の差」は図の網掛けの部分で、
0,2というのは溶液Ｂと溶液Ｃの比重の差ですか？

よろしくお願いします。。
No.29908 - 2014/12/20(Sat) 12:13:50
☆ Re: 算数・数学 / ヨッシー
?@文字が６つあっても、式が６つ出来れば解くことは出来ます。
?A分子云々はともかく、20ml の溶液を、混合比はそのままに
10ml だけ取り出せば、重さも半分になります。
?B横が体積、縦が比重で、面積が重さです。
網掛けの部分は、誤った配合の液の重さと、正しい配合の液の重さの差です。

下の図は、左の３つ（Ｂ、Ａ、Ｃ）合わせて比重1.0の液を表しており、横は
体積を表しています。
No.29909 - 2014/12/20(Sat) 12:54:09
☆ Re: 算数・数学 / みどり
回答ありがとうございます。
方程式で解く方法はヨッシーさんのおかげで理解できました。
ヨッシーさんの別解の図で整理して解いていく方法は面積図(たしか小学生の頃に習った記憶が・・・)の応用のような感じなのでしょうか？
10.1gのときの図と9.9gの図とにらめっこしているのですがどうしたらその図を思いついて書けるのでしょうか？
それと斜線の部分は上に乗っかっているという意味なんでしょうか？
理解力が乏しくてごめんなさい。
最後によろしくお願いします。
No.29912 - 2014/12/20(Sat) 19:46:04
☆ Re: 算数・数学 / ヨッシー
9.9g の図と 10.1g の図とで、増えた分の面積が斜線の部分です。
斜線なしで描くとそれぞれ、次のようになります。

No.29916 - 2014/12/21(Sun) 01:15:53
★ 高1 数A / りす
よろしくお願いします！！
No.29899 - 2014/12/19(Fri) 11:39:07
☆ Re: 高1 数A / deep make
Ａ地点からＢ地点に達する最短経路は,
右に1マス進む動作をＲ, 上に1マス進む動作をＵと表したとき,
(ＲＲＲＲＲＲＵＵＵＵ)を並べ替えた数だけ存在します.

これは, 最短経路の問題において基本的な考え方なので,
もし知らなかったのならば覚えておきましょう.

道路ＣＤを通る最短経路は, Ａ地点からＣ地点に達する最短経路と
Ｄ地点からＢ地点に達する最短経路との組で決まります.

同様に, 道路ＣＤと道路ＥＦの両方を通る最短経路は,
Ａ地点からＣ地点に達する最短経路と
Ｆ地点からＢ地点に達する最短経路との組で決まります.

道路ＣＤと道路ＥＦの少なくとも1本を通る最短経路は, 以下で計算できます.
(道路ＣＤを通る経路の数)＋(道路ＥＦを通る経路の数)−(道路ＣＤ, ＥＦを通る経路の数)
No.29900 - 2014/12/19(Fri) 13:35:06
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