座標平面に、原点を中心とした半径が1の円があり、その円周上に3点A(1,0),B(-1/2,√3/2),C(-1/2,-√3/2)をとる。
円周上の弧BC(点Aを含まないほうの弧BC)を考え、弧BC上を点Bから点Cまで動く点をPとする。
∠PAD＝θとし、点Pと3点A,B,Cを結ぶ3つの線分のながさをそれぞれPA,PB,PCとするとき
(1)PA,PB,PCをθを用いて表せ。
(2)PA+PB+PCの最大値とその時のθの値を求めよ。
(3)PA^2+PB^2+PC^2の値を求めよ。
長いですが、すみません、お願いします
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No.29483 - 2014/11/01(Sat) 11:35:52
| ☆ Re: / ぶんぶん | | | No.29484 - 2014/11/01(Sat) 11:36:43 |
| ☆ Re: / ぶんぶん | | | No.29486 - 2014/11/01(Sat) 18:17:00 |
| ☆ Re: / ヨッシー  | | | ∠ＰＡＣ＝θ として解き始めてましたので、そのままやっています。
適当に読み替えてください。
Ｏ(0,0)、Ｄ(-1,0) とします。
∠ＰＯＣ＝2θ、∠ＤＯＣ＝π/3 より
∠ＤＯＰ＝2θ−π/3 ：Ｐが弧ＤＢ上のとき
∠ＤＯＰ＝π/3−2θ ：Ｐが弧ＤＣ上のとき
であり、Ｐの座標は
(−cos(2θ−π/3), sin(2θ−π/3))
と書けます。
ＰＡ^2＝(1＋cos(2θ−π/3))^2＋sin^2(2θ−π/3)
＝２＋２cos(2θ−π/3)
＝２＋cos2θ＋√3sin2θ
ＰＢ^2＝(1/2−cos(2θ−π/3))^2＋(√3/2−sin(2θ−π/3))^2
＝２−cos(2θ−π/3)−√3sin(2θ−π/3)
＝２−２sin(2θ−π/6)
＝２＋cos2θ−√3sin2θ
ＰＣ^2＝(1/2−cos(2θ−π/3))^2＋(√3/2＋sin(2θ−π/3))^2
＝２−cos(2θ−π/3)＋√3sin(2θ−π/3)
＝２−２sin(2θ＋π/2)
＝２−２cos2θ
(1)
ＰＡ＝√(２＋cos2θ＋√3sin2θ)
ＰＢ＝√(２＋cos2θ−√3sin2θ)
ＰＣ＝√(２−２cos2θ)
(2)
ｆ(θ)＝√(２＋cos2θ＋√3sin2θ)＋√(２＋cos2θ−√3sin2θ)＋√(２−２cos2θ)
とおきます。
ｆ’(θ）＝(-sin2θ＋√3cos2θ)/√(２＋cos2θ＋√3sin2θ)
−(sin2θ＋√3cos2θ)/√(２＋cos2θ−√3sin2θ)
＋2cosθ
＝2cos(θ＋π/3)−2sin(θ＋π/6)＋2cosθ
＝2√3cos(θ＋π/6)−2sin(θ＋π/6)
＝4sin(θ＋5π/6)
f'(π/6)＝０
であり、0≦θ＜π/6 で f'(θ)＞０，π/6＜θ≦π/3 でf'(θ)＜０ となるため、
θ＝π/6 でf(θ) は極大かつ最大となり、その時の値は
f(π/6)＝４
(3)
ＰＡ^2＋ＰＢ^2＋ＰＣ^2
＝(２＋cos2θ＋√3sin2θ)＋(２＋cos2θ−√3sin2θ)＋(２−２cos2θ)
＝６
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No.29502 - 2014/11/02(Sun) 18:50:14 |
| ☆ Re: / ヨッシー | | | No.29503 - 2014/11/02(Sun) 18:52:25 |
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