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★ (No Subject) / 栗
訂正します
（-3+4+a)/3=3
この式を解くと8になるのですが、
解き方解説をお願いいたします。
失礼しましたm(_ _)m
No.29361 - 2014/10/19(Sun) 10:01:52
☆ Re: / ヨッシー
両辺３を掛ける。カッコの中の−３＋４は計算して１にする。
　１＋ａ＝９
１を移項して
　ａ＝９−１＝８
No.29362 - 2014/10/19(Sun) 11:47:10
★ 解法を頼みます。 / flask
常にan>0である数列{an}と0<k<1である定数kがあり、次の条件A,Bを満たしている。
A...an+k?納1,n](ak)≦k+?納1,n](ak)^2
B...a(n+1)-an<1-k
この時、a(1)≦k⇒全ての自然数nでan≦kが成り立つ事を示せ。
No.29358 - 2014/10/19(Sun) 02:55:44
☆ Re: 解法を頼みます。 / IT
A...an+k?納1,n](ai)≦k+?納1,n](ai)^2 とした方が紛れません。(添え字のkと定数k)

数学的帰納法によります。

○ n=1のとき　a1≦ k　は成立.

○ i≦nなるすべての自然数iについて　ai ≦ k と仮定する.

B　より　a[n+1]＜an + (1-k)
帰納法の仮定より an - k ≦0なのでa[n+1]-1＜0…(1)

Aを移項して
a[n+1]-k≦?納1,n+1](ai)^2-k?納1,n+1](ai)
・２つめのΣの前のkを中に入れる
・２つのΣを統合
・Σ内を因数分解
・Σ内の(a[n+1]-k)を分離し左辺に移項
・帰納法の仮定と(1) を使って　a[n+1] - k≦ 0 を示す
No.29360 - 2014/10/19(Sun) 09:27:05
★ (No Subject) / 栗
−3/(4+a)=3
この式を解くと8になるのですが、解き方がわかりません。
解説よろしくお願いします。
No.29356 - 2014/10/18(Sat) 23:41:17
☆ Re: / ヨッシー
８にはなりません。ａに８を入れても、
　-3/(4+8)＝-3/12＝-1/4
です。
　-3/(4+a)＝3　両辺 4+aを掛けて
　-3＝3(4+a)
　-1＝4+a
　a=-1-4＝-5　・・・答え
です。
No.29357 - 2014/10/19(Sun) 00:14:34
★ (No Subject) / ブルーバード
nを自然数とする。xの関数f(x)＝n/xに対し、領域D(n)＝{(x,y)|0＜x≦n,0＜y≦f(x)}に含まれる格子点の個数をL(n)とする。次の問いに答えよ。

(1)不等式∫(1〜ｎ＋１)f(x)dx−n＜L(n)＜∫(1〜n)f(x)dx＋nが成立することを示せ。

(2)lim(n→∞)L(n)/(n×logn)＝1が成立することを示せ。ただし、対数は自然対数である。
No.29345 - 2014/10/17(Fri) 23:20:04
☆ Re: / ペンギン
f(x)は単調減少なので、k≦x≦k+1のとき
f(k+1)≦f(x)≦f(k)

各辺をk〜k+1で積分すると、
f(k+1)<∫_{k〜k+1}f(x)dx <f(k)・・・?@

?@において、f(k+1)<∫_{k〜k+1}f(x)dxの和をk=1からn-1まで取ると、
Σ_{k=2〜n}f(k)<∫_{1〜n}f(x)dx
f(1)=nを両辺に加えて、
Σ_{k=1〜n}f(k)<∫_{1〜n}f(x)dx + n・・・?A


?@において、∫_{k〜k+1}f(x)dx<f(k)の和をk=1からnまで取ると、∫_{1〜n+1}f(x)dx<Σ_{k=1〜n}f(k)・・・?B

一方、x=k上の格子点の数をL_kとすると、
f(k)-1 < L_k ≦ f(k)
L(n)=Σ_{k=1〜n}L_kなので、

Σ_{k=1〜n}f(k)-n < L_k ≦ Σ_{k=1〜n}f(k)

?A、?Bを合わせて(1)を得ます。

(2)は(1)の結果を利用して、積分を実行し、極限をとるだけです。
No.29348 - 2014/10/18(Sat) 11:03:59
☆ Re: / ペンギン
最後から3行目の不等式におけるL_kはL(n)の間違いです。
すみませんでした。
No.29349 - 2014/10/18(Sat) 11:04:55
★ 整数の性質と、確率の融合問題です / かい
この問題がわかりません。
丁寧におしえていただけるとうれしいです。
No.29342 - 2014/10/17(Fri) 22:22:53
☆ Re: 整数の性質と、確率の融合問題です / X
(1)
3枚のカードの全ての取り出し方は
6C3=20[通り]
条件を満たすのは3枚の内の1枚が5のカードの場合で
5C2=10[通り]
∴求める確率は
10/20=1/2
(2)
3つのさいころの目の出し方は全部で
6^3=216[通り]
このうち、条件を満たさない場合、つまり
3つのさいころが全て5の目ではない場合は
5^3=125[通り]
よって求める確率は
1-125/216=91/216
No.29344 - 2014/10/17(Fri) 23:18:09
☆ Re: 整数の性質と、確率の融合問題です / かい

返事が遅くなってすいません！
丁寧にありがとうございました！
No.29388 - 2014/10/20(Mon) 18:08:04
★ 関数の極限と連続関数 / riko
連投すみません。
関数の極限と連続関数で疑問が出たので質問させてください。


関数の極限
aの近くで定義された関数f(x)において、任意のε>0に対して適当なδ>0を決めると、 0 < | x − a | < δ のすべてのxについて | f ( x ) − b | < ε
連続関数
f(x)はaおよびその近くで定義されているとする。任意のε>0に対して適当なδ>0を決めると、 | x − a | < δ のすべてのxについて | f ( x ) − f(a) | < εとなるならば、f(x)はx=a(あるいは点aで)連続であるという。
とありました。関数の極限は、aの近くでx=aではなから0 < | x − a |であると注意書きがありました。よく説明に使われる例として
lim_[x→1] (x^2-1)/(x-1)=lim_[x→1] (x+1)=2
とx=1ではなからx-1で割ることが出来る、とありました。

ここで(x^2-1)/(x-1)で疑問に思ったのが、x=1での連続性を見ようと思うと関数の極限と同じように
lim_[x→1] (x^2-1)/(x-1)=lim_[x→1] (x+1)=2
となります。関数の極限ではx=1ではないからx-1で割ることが出来たのに、連続性を見るときにはx=1が許されているのにx=1で割られています。
どのように理解したらよいのでしょうか？

お願いします。
No.29338 - 2014/10/17(Fri) 16:32:51
☆ Re: 関数の極限と連続関数 / ast
f(x) = (x^2-1)/(x-1) は x=1 で連続ではありません. たしかに lim_[x→1] f(x) は存在して =2 ですが f(1) は存在しませんので, 連続の定義 lim_[x→1] f(x) = f(1) は成立しません.

ただし, g(1)=2, g(x)=f(x) (for x≠1) として函数 f(x) を連続な函数 g(x) に「(x=1 において) 連続に延長」することはできます.
# 便利なのでこの f と g とを「同一視」することはよく行われますが,
# 別な函数であることは明確に認識すべきです.
No.29340 - 2014/10/17(Fri) 17:24:57
☆ Re: 関数の極限と連続関数 / riko
連続関数
お返事ありがとうございます。

>函数 f(x) を連続な函数 g(x) に「(x=1 において) 連続に延長」することはできます.
この延長というのは、g(x)をx+1 for x+1と(x^2-1)/(x-1) for x≠1で定義するということなんでしょうか？
それともウリゾーンの定理（←全くわかりませんでした）
https://kotobank.jp/word/ウリゾーンの定理-35416
のことなんでしょうか？

連続に延長を掲示板で説明するのは難しいでしょうか？もしできそうでしたらお願いします。
No.29353 - 2014/10/18(Sat) 19:12:01
☆ Re: 関数の極限と連続関数 / ast
説明も何も, 書いた通り, f(x) に対して g(1)=2, g(x)=f(x) (for x≠1) として (f とは別の) 連続な函数 g(x)=x+1 を作る (定義域を広げる) ことができるというだけのことです. それをある種の標語的に「連続に延長する」と呼称することに他に何か説明がひつようとなるのでしょうか.

# 「函数の (あるいは定義域の) "制限" と "延長" (拡張)」については標準的な語法なので, 集合についての入門的なテキストにでも当たってください.
# ウリゾーンとかはどうでもいいです.
No.29354 - 2014/10/18(Sat) 21:16:43
☆ Re: 関数の極限と連続関数 / riko
説明ありがとうございました。勉強になりました。
No.29363 - 2014/10/19(Sun) 14:23:07
★ 数列の極限の問題 / riko
連投すみません。
数列、x(n)、y(n)において、y(n)は+∞に発散する増加数列である。lim_[n→∞] ( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1))=αならば、lim_[n→∞] x(n) / y(n)=αであることを証明せよ。
という問題の解答が途中で終わってしまっていてわからないので質問させてください。

∀ε>0, ∃m: n>m→a-ε<( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1) )<a+ε
y(n)-y(n-1)>0だから、
(a-ε)( y(n)-y(n-1) )< x(n)-x(n-1) <(a+ε)( y(n)-y(n-1) )
これにm+1, m+2,…wを加えると
(a-ε)( y(n)-y(m) )< x(n)-x(m) <(a+ε)( y(n)-y(m) )
y(m)→∞でy(n)>0と考えてよいから
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )
が得られる。以下略す。
となっています。最後の式から、a-ε< x(n)/y(n)<a+εはどうやって得られるのですか？

お願いします。
No.29337 - 2014/10/17(Fri) 16:31:54
☆ 訂正 / riko
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )
は
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
でした。
失礼しました。
No.29352 - 2014/10/18(Sat) 19:09:11
☆ Re: 数列の極限の問題 / 黄桃
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
は
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(n) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
の間違いですね(y(n)で割って、x(m)/y(n)を移項したのだから）。

結論からいえば、
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(n) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
から
a-ε< x(n)/y(n)<a+ε
はでません。出るのは lim[n→∞] x(n)/y(n)=a です。

No.29336のスレッドの理解をみると、説明してもわかってもらえない気がしますが、一応以下に書いておきます。

極限の扱いに慣れていれば、m→∞として挟み撃ち、です。
ただ、lim x(n)/y(n)が存在するとは仮定されてないので、
limsup x(n)/y(n)=liminf x(n)/y(n)=a を経由して示します。

挟み撃ちの原理の証明ができてない初心者のうちは、次のようにします。
a(k)=( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(m+k), b(k)=x(m+k)/y(m+k) とおけば(n=m+k)、
a(k)→0 より、n>N ⇒ |a(k)|<ε/2 となるNがとれます。
このとき、
(a-ε)-ε/2<(a-ε)+a(k)<b(k)=x(m+k)/y(m+k)<(a+ε)+a(k)<a+ε+ε/2
つまり、M=N+m とすれば　
n>M ならば a-3ε/2<x(n)/y(n)<a+3ε/2
となるようなMがとれることがわかりました。
∀ε>0 ∃M n>M ⇒ a-3ε/2<x(n)/y(n)<a+3ε/2
ですから x(n)/y(n)はaに収束します。

＃(3/2)εが気にいらないのであれば、最初の
＃∀ε>0, ∃m: n>m→a-ε<( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1) )<a+ε
＃でεをε/2 にしておけば結論の式がεになります。

＃＃一般に、bを任意の正の数とする時
＃＃「∀ε>0 ∃N n>N ⇒ a-ε<x(n)/y(n)<a+ε」と
＃＃「∀ε>0 ∃N n>N ⇒ a-bε<x(n)/y(n)<a+bε」とは同値です。
No.29359 - 2014/10/19(Sun) 09:26:54
☆ Re: 数列の極限の問題 / riko
ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。

>n=m+k
>M=N+m
これ、全然思いつきませんでした。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=29295
の質問の黄桃さんの回答を見て背理法を考えなおしてみました。
お手数ですが、迷惑でなければ見ていただけないでしょうか。
おねがいします。
No.29364 - 2014/10/19(Sun) 14:34:28
☆ Re: 数列の極限の問題 / 黄桃
>>n=m+k
>>M=N+m
>これ、全然思いつきませんでした。

全然本質的ではないです。x(n)/y(n)が定義されるように y(n)≠0 を仮定したかっただけです（本来は問題文にy(n)>0とか書いておく方が親切だと思います）。

背理法の部分は気づきませんでした。さっきフォローしておきましたので、参考にしてください。
No.29373 - 2014/10/19(Sun) 18:44:37
☆ Re: 数列の極限の問題 / riko
お返事ありがとうございます。
背理法のほうもわかりやすい解説ありがとうございます。
背理法のレス付けさせていただきました。
No.29376 - 2014/10/19(Sun) 19:30:41
★ 数列と極限の符号 / riko
lim_[n→∞] x(n)=aでaは0でない。このとき、適当な番号mを決めると、n>mのすべてのnについて、x(n)はaと同符号であることを証明せよ。
と言う問題の答えにわからないことがあったので質問させてください。

答えは、
a>0とする。
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε、だから、a-ε<x(n)<a+ε
ε>0は任意だから、たとえばε=a/2とすれば　　　　　　　　（←ここがわかりませんでした）
a-a/2<x(n)<a+a/2
だから、0<a-a/2<x(n)<a+a/2。a<0も同様。εはa/3やaでもよい。
でした。

ε>0は任意（すべて）なのに、ε=a/2としてよいのでしょうか？εをa/3やa/2やaにすれば、0<x(n)となるのはわかります。
ε>0は任意（すべて）なのだから、εが4a/3や3a/2や2aの可能性があると考えました。
こういう可能性があるのに、0<x(n)と結論づけてもよいのでしょうか？

お願いします。
No.29336 - 2014/10/17(Fri) 16:30:29
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
必要条件と十分条件に対する認識が浅い人が陥りやすい話ですが, lim_[n→∞] x(n)=a であるために「任意の ε>0 で〜が成り立つ」 ***必要*** がありますから, そのために「(何でもいいから) 特定の ε (ここでは ε=a/2) で〜が成り立つ」***必要*** があります. いま lim_[n→∞] x(n)=a は成立しているので, どの特定の ε (とくに ε = a/2) に対しても条件が成立しています.

一方, 「x(n)はaと同符号であること」を言うには何でもいいからひとつ特定の ε (ここでは ε=a/2) で条件が成立していれば ***十分*** であるというのが解答に書かれていることです. (だから, 「εはa/3やaでもよい。」)
No.29341 - 2014/10/17(Fri) 17:34:09
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
たくさんの質問なのにお返事ありがとうございます。

この理解で正しいですか？
a>0とする。
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε
から、｜x(n) -a｜<εは∀ε>0, ∃m: n>mの必要条件。つまり、｜x(n) -a｜<εのεはa>0であり∀ε>0, ∃m: n>mのための候補。
lim_[n→∞] x(n)=a>0を得るための候補を絞り込む条件がa≧ε。
だから、
lim_[n→∞] x(n)=a>0←→∀a≧ε>0, ∃m: n>m←→a≧εかつ｜x(n) -a｜<ε

そう考えると
数列a(n)がa収束する定義
正の任意のεに対して、ある自然数mが存在してmより大きいnについて｜a(n)-α｜<ε
が
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε
となり→が出てくるのでしょうか？
No.29351 - 2014/10/18(Sat) 19:06:55
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
意味不明です.
No.29355 - 2014/10/18(Sat) 21:17:27
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
とんちんかんなこと書いてしまいました。
astさんの回答をよく読み直し
a-εはε>0によってプラスにもマイナスにもなる。
a>0, a-ε<x(n)
が、すべてのε>0について成立するためには0<x(n)でなければならない。
このことを示すためには、ε=a/2の時を示せば十分。
と、考えました。
この理解はどうでしょうか？
No.29365 - 2014/10/19(Sun) 14:49:54
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
何がしたいのかさっぱりわかりません.

> a>0, a-ε<x(n)
> が、すべてのε>0について成立する
必要は全くありません (成立が要求されるとしたら (適当な m に対する) n > m なる全ての n についてでしょう) し, その
> ことを示すためには、ε=a/2の時を示せば十分
でも全くありません.

私は No.29341 で
> lim_[n→∞] x(n)=a であるために〜***必要***
および
> 「x(n)はaと同符号であること」を言うに〜***十分***
と言っています. 必要条件とか十分条件とか言うときには, それが***何となるために***必要/十分なのかという部分をいい加減に扱うべきではありません. 結局のところ本問では
　[lim_[n→∞] x(n)=a(>0)]⇒P⇒[x(n)はaと同符号(>0)である]
となる命題P(のひとつ)が
　P: ∃m s.t. n > m → ｜x(n)-a｜< a/2 (すなわち, a-a/2 < x(n) < a+a/2)
で与えられるという話をしています.
No.29366 - 2014/10/19(Sun) 15:47:29
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
お返事ありがとうございます。
もっと、考え直してみます。
No.29370 - 2014/10/19(Sun) 17:47:29
★ 収束する数列が有界？ / riko
収束する数列が有界であることを証明せよという問題で疑問が出たので質問させてください。

この証明は

数列a(n)がαに収束する定義は正の任意のεに対して、ある自然数Nが存在してN以上のnについて｜a(n)-α｜<ε
である。このことから、a(N+1)以降は(α-ε,α-ε)にある。
だからa(1)からa(N)とα-ε,α-εから、最大最小を選べば有界となることがわかる。

とありました。

ここで疑問に思ったのが、答えにはa(1)からa(N)でどれかが無限大になるようなケースが排除されていません。
a(1)からa(N)でどれかが無限大になるようなら、収束とは言わない、ということになれば、この問題の答えは収束の定義より収束する数列は発散しないから、有界が答えとなるのではと思ってしまいました。
このことはどのように考えたらよいのでしょうか？

解説をお願いします。
No.29329 - 2014/10/16(Thu) 19:29:20
☆ Re: 収束する数列が有界？ / ast
文脈上, 単に数列といっているものは厳密には「実数列」(= 自然数の集合上で定義される実数値の函数) ではありませんか. もしそうならば
> a(1)からa(N)でどれかが無限大になるようなら、収束とは言わない、
という以前に, どれかが無限大であるようならそもそも実数列ではありません.
No.29330 - 2014/10/16(Thu) 19:58:34
☆ Re: 収束する数列が有界？ / riko
> 文脈上, 単に数列といっているものは厳密には「実数列」(= 自然数の集合上で定義される実数値の函数) ではありませんか.
イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書 20) 田島 一郎
解析入門 (岩波全書 325) 田島 一郎
を読んでいるのですが、実数の世界でとあったのできっとそうだと思います。

> どれかが無限大であるようならそもそも実数列ではありません.
例えば、a(n)=1/(n-5)は、n=5に近づくとa(n)は発散しマイナス無限大に近づき、さらにnが大きくなるとa(n)は0に近づきます。
これは発散？収束？どう理解したらよいのでしょうか？
No.29335 - 2014/10/17(Fri) 16:28:58
☆ Re: 収束する数列が有界？ / ast
単純に実数列 a(n)=1/(n-5)はそもそも n=5 で定義されていません (ので無視して a(5) は飛ばします).
また数列の極限 (収束/発散) は n が十分大きいところでどのような挙動をとるかという話なので, 「n=5 に近づく」という文自体が意味を成しませんし, 有限個の例外 (とくに最初の有限個の項, つまりいわゆる ε-N でとった N より前の項) を取り除いても結論に影響しません (というか, 結論が変わるなら数列の極限という概念が ill-defined ということになってしまう).
No.29339 - 2014/10/17(Fri) 17:18:51
☆ Re: 収束する数列が有界？ / riko
>単純に実数列 a(n)=1/(n-5)はそもそも n=5 で定義されていません
そうでした。分母0は定義できないですね。失礼しました。

>また数列の極限 (収束/発散) は n が十分大きいところでどのような挙動をとるかという話
挙動、このワードで何かクリアーになった気がします。収束なら、極限値になるかもしれないし、近づくだけかもしれないという理解で大丈夫ですか？

>無限大であるようならそもそも実数列ではありません.
たとえば、数列は１京の１京乗やマイナス１京の１京乗であっても実数であるから有限個のなかにはかならず最大最小をもつ。
無限大は数ではなく、とんでもなく大きくなり続ける状態。
と言う理解で大丈夫ですか？
No.29350 - 2014/10/18(Sat) 19:05:33
★ 現在高３です。 / ringo
学校で出された問題がわかりません。
来週の黒板で答えなければならないので、何とかしたいのですが、良い方針が立ちません。

（問）
領域Dを、原点を中心とする単位円の周および内部とする．
また、f(x)=ax+bとし、点A(1，1)を通る傾きm，f(m)の直線をM，Nとする．
bの値をうまくとれば，全ての実数mに対して，以下の条件を満たす線分Lが存在するという．
このとき，aの値の範囲を求めよ。

条件：
・Lは領域Dに含まれる
・Lの長さは√2 である
・Lを直線Mに関して対称移動した後、さらに直線Nに関して対象移動した線分は，再び領域Dに含まれる

・・・・・

線分Ｌの両端を(s,t) (u,v) とし、
s^2+t^2≦1　u^2+v^2≦1　(s-u)^2+(t-v)^2≦2　を満たしている。

M： y=m(x-1)+1
N： y=(am+b)(x-1)+1
に関する対象移動をf,gとすると、

対象移動後の点(g(f(s)),g(f(t))),(g(f(u)),g(f(v)))が

g(f(s))^2+g(f(t))^2≦1　g(f(u))^2+g(f(v))^2≦1　(g(f(s))-g(f(u)))^2+(g(f(t))-g(f(v)))^2≦2

を満たすようなｍ,ｂが存在するようなaの範囲・・・と考えてみたのですが、

式があまりにも複雑でｍ,ｂの存在条件に帰着できませんでした。

方針がいけないのでしょうか？

また、この問題は大学入試としてはどれぐらいのレベルなのでしょうか？
No.29327 - 2014/10/16(Thu) 19:01:10
☆ Re: 現在高３です。 / ヨッシー
まずは、
(s-u)^2+(t-v)^2≦2 ではなく (s-u)^2+(t-v)^2＝2 ですね。

それはともかく、発想を逆転してみましょう。

図の上の列のように、線分ＬをＭに対称→Ｎに対称と動かす代わりに
下の列のように、円と直線ＮをＭに対して対称移動し、直線Ｎの移動先をＮ’とする。
移動先の円を直線Ｎ’に対して対称移動する。
としても、移動後の円と線分Ｌとの相対的な位置関係は変わりません。
これを利用すると、元々の円の中心(０，０）が２回の移動によって、
円x^2＋y^2＝1 の円の内部または周上に移ってきたら、
両円の重なった部分に長さ√２の線分を取ることが出来ます。
この方法でやってみてはどうでしょうか？

入試レベルとしては何とも言えませんが、一般の国立大よりは
上だと思います。
No.29334 - 2014/10/17(Fri) 09:03:10
☆ Re: 現在高３です。 / ringo
返信遅れて申し訳ありません。
ご丁寧に図までありがとございます！！

無事、解けました。
ありがとうございました！
No.29402 - 2014/10/22(Wed) 14:27:05
★ (No Subject) / アカシロトモ
次の問題の（2）を教えてください。
（1）は、授業で加法定理を用いた解法の説明があり、
（1）を利用して（2）を解くことが課題です。
よろしくお願いします


（1）0＜𝒙＜π、0＜𝒚＜πのとき、
sin（𝒙+𝒚）＜ sin𝒙+sin𝒚 が成立することを証明せよ
（2）𝒙＞0、 𝒚＞0、 𝒛＞0　、𝒙+𝒚+𝒛＜πのとき、
sin(𝒙+𝒚+𝒛）＜ sin𝒙+sin𝒚+sin𝒛
が成立することを証明せよ
No.29315 - 2014/10/16(Thu) 15:28:08
☆ Re: / X
(1)(2)共に問題文になっていません。
問題文は正確にアップして下さい。
No.29317 - 2014/10/16(Thu) 16:52:21
☆ Re: / アカシロトモ
X さん　ご返信ありがとうございます。
問題文の件ですが、プリントの文をそのまま載せています。
再度確認しました。省略しておりません。先生の作られた問題かもしれません。よく作問され、解き方の指示まで細かくされる先生です。
私の学力では、どこが不適切なのかさえ分かりません。申し訳ありません。
No.29318 - 2014/10/16(Thu) 17:01:17
☆ Re: / ヨッシー
なんか、おかしな文字が使われてますね。
（1）0＜ｘ＜π、0＜ｙ＜πのとき、
sin（ｘ＋ｙ）＜ sinｘ+sinｙ が成立することを証明せよ
（2）ｘ＞0、 ｙ＞0、 ｚ＞0　、ｘ＋ｙ＋ｚ＜πのとき、
sin(ｘ＋ｙ＋ｚ）＜ sinｘ+sinｙ+sinｚ
が成立することを証明せよ
と書かれています。

(1) はヒントの通り、加法定理で展開し、
　sinｘ＞０　sinｙ＞０ であることと、それらに掛けられている
値の大小を調べます。
この項は sinｘより小さい、この項は sinｙ より小さい
という具合です。
(2) もヒントの通り (1) を使って、
　sin(ｘ＋ｙ＋ｚ)＜sin(ｘ＋ｙ)＋sinｚ
から始まる式変形をします。
No.29319 - 2014/10/16(Thu) 17:07:26
☆ Re: / ヨッシー
蛇足ですが、人によっては、

（1）0＜□＜π、0＜□＜πのとき、
sin（□+□）＜ sin□+sin□ が成立することを証明せよ

とか

（1）0＜＆#119961;＜π、0＜＆#119962;＜πのとき、
sin（＆#119961;+＆#119962;）＜ sin＆#119961;+sin＆#119962; が成立することを証明せよ

とか

（1）0＜　＜π、0＜　＜πのとき、
sin（　+　）＜ sin　+sin　 が成立することを証明せよ

と見えているかもしれません。
No.29320 - 2014/10/16(Thu) 17:11:35
☆ Re: / アカシロトモ
ヨッシー　さん　教えていただいてありがとうございます。
wordの文をそのまま張りつけてはいけなかったのですね。
文字化けして見えるのですね。私のPCでは、きちんと表示されていたのでご指摘いただかなければわかりませんでした。
再度、直接入力した問題文が次の通りです。
大変ご迷惑おかけいたしました。

（1）0 < x < π、0 < y < πのとき、
sin(x+y) < sinx + siny が成立することを証明せよ
（2）x > 0 , y > 0 , z > 0 , x + y + z < π　のとき
sin(x+y+z) < sinx + siny + sinz　 が成立することを証明せよ
No.29322 - 2014/10/16(Thu) 17:24:07
☆ Re: / ヨッシー
上の記事で、回答もしてありますので、見て下さいね。
No.29323 - 2014/10/16(Thu) 17:33:16
☆ Re: / アカシロトモ
ヨッシーさん　ありがとうございます。
今から、できるかどうかわかりませんが、がんばって解いてみたいと思います。
No.29324 - 2014/10/16(Thu) 17:40:54
☆ Re: / アカシロトモ
X さん
前回も大変お世話になっていながら、こちらの不手際で大変ご迷惑おかけいたしました。本当に申し訳ありませんでした。
No.29325 - 2014/10/16(Thu) 17:42:59
☆ Re: / アカシロトモ
ヨッシーさん

なんとかできました。このたびは、大変お世話になりました。ありがとうございました。
No.29328 - 2014/10/16(Thu) 19:03:20
★ お願いします / mayu
√((2400/0.8)^2-2400^2)=2400/0.8√(1-0.64)

参考書の問題で上の式がイコールに
なる過程がわかりません
教えてきださい
No.29308 - 2014/10/15(Wed) 17:16:17
☆ Re: お願いします / X
√{(2400/0.8)^2-2400^2}=√{(1-0.8^2)(2400^2)/0.8^2}
=(2400/0.8)√(1-0.64)
となります。
No.29309 - 2014/10/15(Wed) 17:31:26
☆ (No Subject) / mayu
ありがとうございます
(1-0.8^2)にどうしてなるんですか？

数学が苦手なのでお願いします
No.29314 - 2014/10/16(Thu) 10:21:42
☆ Re: お願いします / X
(2400/0.8)^2-2400^2=(2400^2)/0.8^2-2400^2 (A)
=(1/0.8^2-1)×2400^2 (A)'

ここからですが通分をして
(A)'={(1-0.8^2)/0.8^2}×2400^2
=(1-0.8^2)×(2400^2)/0.8^2
としてもいいですし、或いは1/0.8^2をくくりだして
(A)'={1-1/(1/0.8^2)}(1/0.8^2)×2400^2
=(1-0.8^2)×(2400^2)/0.8^2
と計算してもいいでしょう。
或いは(A)から(2400^2)/0.8^2をくくりだして
(A)={1-(2400^2)/((2400^2)/0.8^2)}×{(2400^2)/0.8^2}
=(1-0.8^2)×{(2400^2)/0.8^2}
という計算もできます。
No.29316 - 2014/10/16(Thu) 16:45:35
☆ (No Subject) / mayu
詳しくありがとうございます
納得できました

Xさんありがとうございました
No.29331 - 2014/10/16(Thu) 21:07:14
★ (No Subject) / sakana
a,b,cが正の整数で,
a/b+b/c+c/aとa/c+c/b+b/aがどちらも整数であるとき,a,b,cは全て等しいと言えるでしょうか？ずっと反例を探しているのですが,見つかりません.
No.29307 - 2014/10/15(Wed) 16:42:52
☆ Re: / IT
以前他のサイトで回答した下記問題と同値だと思います。

a,b,cを正の整数とする。aab+bbc+cca,abb+bcc+caaが共にabcの倍数のときa＝b＝cとなることを示せ
-------------------------------------------------------
まず見通しよくするため概要を説明すると

a,b,cを素数ｐについての指数の大きさ順に　大,中,小と書く
a,b,cが入れ替わっても
aab+bbc+cca、abb+bcc+caaは、
大大中+中中小+小小大…(1),大中中+中小小+小大大…(2)のパターン（順不同）となる

(2)において　大中中、小大大≧大中小で
　大中中+中小小+小大大がabcの倍数なので、中小小≧大中小
　よって大＝中＝小
注）大大中、小大大≧大中小 としたのは、ｐについての指数の大小関係です
-------------------------------------------------------
（証明）
a,b,cを素因数分解したときの
ある素数ｐについての指数をそれぞれp[a],p[b],p[c]として

aab+bbc+ccaがabcの倍数…(1)
abb+bcc+caaがabcの倍数…(2)

e=p[a]+p[b]+p[c]とおくと　abcはp^eの倍数

・p[a],p[b],p[c]の大きさの順番６通りについて考える

p[a]≧p[b]≧p[c]の場合
　abb,caaはp^eの倍数なので(2)よりbccはp^eの倍数
　よってp[b]+2p[c]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[a]≧p[c]≧p[b]の場合
　aab,ccaはp^eの倍数なので(1)よりbbcはp^eの倍数
　よって2p[b]+p[c]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[b]≧p[a]≧p[c]の場合
　aab,bbcはp^eの倍数なので(1)よりccaはp^eの倍数
　よって2p[c]+p[a]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[b]≧p[c]≧p[a]の場合
　abb,bccはp^eの倍数なので(2)よりcaaはp^eの倍数
　よってp[c]+2p[a]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[c]≧p[a]≧p[b]の場合
　bcc,caaはp^eの倍数なので(2)よりabbはp^eの倍数
　よってp[a]+2p[b]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[c]≧p[b]≧p[a]の場合
　bbc,ccaはp^eの倍数なので(1)よりaabはp^eの倍数
　よって2p[a]+p[b]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

以上からa=b=c


#　場合分けをもっとスッキリ出来るかも知れません。
No.29311 - 2014/10/15(Wed) 18:55:33
☆ Re: / sakana
なるほど.各素数についての指数を見れば,a=b=cが示せるんですね.すっきりしました.ありがとうございます.

ちなみに,ITさんが以前回答されたというのは何という名前のサイトでしょうか？差し支えなければ教えて頂けると有り難いです.
No.29312 - 2014/10/15(Wed) 19:15:26
☆ Re: / IT
数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=52

ですが９月20日に回答したので消えてます。
No.29313 - 2014/10/15(Wed) 20:05:57
★ 数Bの問題です / パスカル
2つのベクトルa＝(2,1,3)とb＝(1,-1,0)の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ

という問題で、解説に求める単位ベクトルをeとしてe＝(x,y,z)とする、と書いてあるのですが、その後で、|e|＝1だから、と急に出てきます。何故、eの絶対値が1になるのでしょうか?教えてください
No.29303 - 2014/10/15(Wed) 12:02:59
☆ Re: 数Bの問題です / deep make
>何故、eの絶対値が1になるのでしょうか?

？？？
単位ベクトルeとは|e|＝1となるベクトルと定義されています.

つまり, e＝(x,y,z)と置くとき, x,y,z は,
2x＋y＋3z＝0, x−y＝0, x^2＋y^2＋z^2＝1 を
満たすことになります.
No.29304 - 2014/10/15(Wed) 12:05:38
☆ Re: 数Bの問題です / パスカル
あぁ、その公式忘れてましたすいませんw
No.29305 - 2014/10/15(Wed) 12:08:13
★ (No Subject) / さゆ
nを自然数とする。
等式sinX=e^x/n-1を満たす0以上の実数xの個数をPnで表す。このときlim(n→∞)Pn/nを求めよ。ただし、eは自然対数の底とする。


という問題で、まずe^x/n>1を解いてどこのx座標で交わらなくなるかを調べ、x≧nlog2となりました。
sinが周期関数なので0≦x≦2πにつき2個交点を持つことは分かり、nlog2が何周期目にあるのかを考えようとしたのですが、詰まってしまいました。
考え方がどうなのか、間違っていたらご指摘を、合っているならその後のヒントをいただきたいです。
わかりにくい日本語だと思いますが宜しくお願いします
No.29301 - 2014/10/15(Wed) 09:26:13
☆ Re: / らすかる
3πは3π÷2π=1余りπなので2周期目
99πは99π÷2π=49余りπなので50周期目
のようになりますので
nlog2は[nlog2/(2π)]+1周期目ですね。
No.29306 - 2014/10/15(Wed) 15:01:22
★ 因数分解 / マルカ
a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2a^2b^2-2b^2a^2を因数分解せよ
答え　-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

色々試したのですが、答えにたどり着きません。
よろしくおねがいします。
No.29300 - 2014/10/15(Wed) 05:39:15
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2
=(a^2-b^2)^2+c^4-c^2(2a^2+2b^2)
これを、c の降順にして、Ｃ＝c^2 の２次式と見ると
(与式)＝Ｃ^2−(2a^2+2b^2)Ｃ＋(a+b)(a+b)(a-b)(a-b)
掛けて、(a+b)(a+b)(a-b)(a-b) 足して、−(2a^2+2b^2) と考えると、
　-(a+b)(a+b) と -(a-b)(a-b)
が見つかるので、
(与式)＝(Ｃ−(a+b)(a+b))(Ｃ−(a-b)(a-b))
　　＝(c^2-(a+b)^2)(c^2(-(a-b)^2)
となります。あとは、２乗−２乗の因数分解を行います。
No.29302 - 2014/10/15(Wed) 10:17:07
☆ Re: 因数分解 / マルカ
>(与式)＝Ｃ^2−(2a^2+2b^2)Ｃ＋(a+b)(a+b)(a-b)(a-b)
>掛けて、(a+b)(a+b)(a-b)(a-b) 足して、−(2a^2+2b^2)

ここにたどり着けませんでした。
目からうろこです。

どうもありがとうございました。
No.29310 - 2014/10/15(Wed) 18:49:13
★ (No Subject) / カズヤ
こんにちは。
台形の各辺の長さが分かってなくて、解けるのでしょうか。
ずっと頭を悩ませています。
よろしくお願いいたします。
No.29298 - 2014/10/15(Wed) 01:37:02
☆ Re: / らすかる
(1)はAD,BCの長さがわからないと解けないと思います。
(2)(3)はさらにABの長さも必要ですね。
問題不備だと思います。
No.29299 - 2014/10/15(Wed) 02:25:32
★ (No Subject) / よっちゃん
原点O,P(5/2,5/2,(5√10)/2)Q(0.5.0)、R(5,0,0)の4点全てを通る球の半径を求める問題で、
PQの中点MがちょうどRの真下にあることから、つまり
RMとOMが垂直であることから球の中心TはRM上にある、とあるのですが、なぜRMとOMが垂直だからといって球の中心TはRM上にあると言えるのか全く分かりません。教えてください。よろしくお願いします
No.29296 - 2014/10/14(Tue) 19:46:34
☆ Re: / らすかる
> 原点O,P(5/2,5/2,(5√10)/2)Q(0.5.0)、R(5,0,0)
ならば
> PQの中点MがちょうどRの真下にある
とはならないと思いますが、
「QRの中点MがちょうどPの真下にある」の間違いですか？
それとも座標が
「原点O,P(0,5,0),Q(5,0,0),R(5/2,5/2,(5√10)/2)」
の間違いですか？
No.29297 - 2014/10/14(Tue) 21:50:28
☆ Re: / よっちゃん
原点O,P(0,5,0),Q(5,0,0),R(5/2,5/2,(5√10)/2)の間違いでした！！
No.29332 - 2014/10/16(Thu) 22:00:50
☆ Re: / らすかる
球を平面z=0で切った断面の円周上にO,P,Qがありますが、
△OPQは∠Oが直角の直角三角形ですから、PQはその円の直径で
Mはその円の中心です。
従って平面z=0に垂直でPQを含む平面は、球をちょうど二等分する
平面ですから、その平面上でMの真上に球の中心があるということです。
No.29333 - 2014/10/16(Thu) 23:33:36
☆ Re: / よっちゃん
つまりベクトルOPとベクトルOQの内積＝０があって初めて言えることなので記事２９２９６の説明はそれに全く触れておらず間違いですよね？
No.29343 - 2014/10/17(Fri) 22:25:33
☆ Re: / らすかる
座標を見ただけで△OPQがOP=OQの直角二等辺三角形であることは明らか、
すなわちPQが△OPQの外接円の直径になることも明らかですので、
特に書かなくてもわかることであって少なくとも「間違い」ではないと思いますが、
OP⊥OQであることに言及していないことがどの程度の問題であるかは、
問題や解説（解答？）の全文がそのまま書かれていませんので、何とも言えません。
No.29347 - 2014/10/18(Sat) 00:50:22
★ 不定積分 / また
(e^x+e^(-x))^(-2)の不定積分を教えてください
よろしくお願いします。
No.29291 - 2014/10/13(Mon) 17:11:34
☆ Re: 不定積分 / X
∫{(e^x+e^(-x))^(-2)}dx=∫{(e^(2x))/(e^(2x)x+1)^2}dx
=-1/{2(e^(2x)x+1)}+C
(C：積分定数)
となります。
No.29292 - 2014/10/13(Mon) 17:55:32
★ (No Subject) / 教えてください
以前にも質問したのですが
No.29288 - 2014/10/13(Mon) 11:03:35
☆ Re: / 教えてください
この問題のクが図のようになることはどよのうにしてわかるのでしょうか？
No.29289 - 2014/10/13(Mon) 11:05:12
☆ Re: / ヨッシー
△ＡＢＣを底面、△ＤＥＦを上面としておいたとき、
二等分する面は、この２つの面に平行で、距離がちょうど
真ん中の位置にあります。

すると、例えば、その面と△ＡＣＤとの交線はＡＣと平行になりますし、
△ＣＤＦとの交線はＦＤと平行になります。
さらに、それぞれが各三角形の辺の中点を通るので、
図のような正六角形になります。
No.29290 - 2014/10/13(Mon) 15:01:32
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