[ 掲示板に戻る ]
過去ログ閲覧モード
★ (No Subject) / うしお
第1四分位数、第３四分位数をQ1,Q3とすると
四分位範囲＝Q3-Q１と習いましたつまり四分位範囲は範囲ではなく値のはずですよね。四分位範囲を求めよといわれたら何らかの値を出します。四分位偏差を求めよといわれたらそれを２で割った値が答えです。

四分位範囲にある人は○人か、という表現があったのですが、これって意味が分からなくないですか？（答えは度数が１４人なら半分の７人が答えとなっていますが）四分位範囲という言葉を文字通り範囲としてとらえちゃってますよね？
No.29283 - 2014/10/12(Sun) 22:12:53
☆ Re: / らすかる
「四分位範囲」にその両方の意味があるだけではないでしょうか。
「四分位範囲」で検索すると値と定義しているサイトが多数見つかりますが、
「四分位範囲に」で検索すると範囲の意味で使っているサイトが多数見つかります。
言葉の意味は唯一とは限りませんよね。
No.29284 - 2014/10/12(Sun) 23:59:12
★ 場合の数 / 零
こんにちは。

a,b,cの3種の文字を次の規則に従って左から右に一列に並べる。

1)左端の文字はaである。

2)aが連続することはない。すなわち、aの次にくる文字はbまたはcである。

3)bとcが隣り合うことはない。すなわち、bの次にくる文字はaまたはbであり、cの次にくる文字はaまたはcである。

問1 規則に従ってn個の文字を並べる並べ方の総数を求めよ。

問2 規則に従ってn個の文字を並べる並べ方のうち、右端がaであるような並べ方の場合の数を求めよ。
No.29281 - 2014/10/12(Sun) 14:23:41
☆ Re: 場合の数 / らすかる
答1
左の文字が何であっても次に置ける文字は2通りだから、2^(n-1)通り

答2
k番目がaである並べ方の数をa[k]とすると
a[1]=1, a[2]=0, a[k]=a[k-2]+2^(k-3)
この漸化式を解いて{2^(n-1)-2(-1)^n}/3通り
No.29282 - 2014/10/12(Sun) 15:33:12
☆ Re: 場合の数 / 零
遅くなってすみません。

問２なのですが、a[k]=a[k-2]+2^(k-3)はどうやって求めたのですか？
No.29380 - 2014/10/20(Mon) 01:24:45
☆ Re: 場合の数 / らすかる
k番目がaである並べ方を考えるにあたってk-2番目との関係を調べると
k-2番目がaのとき：最後の3文字はabaかacaの2通り
k-2番目がbのとき：最後の3文字はbcaのみ
k-2番目がcのとき：最後の3文字はcbaのみ
となりますが、
「最後の3文字がaba」と「最後の3文字がbca」と「最後の3文字がcba」を
合わせたものの個数は、2^(k-3)通りですね。
（つまりk-2文字の並べ方の最後がaならba、bならca、cならbaを付ければ
　最後がaであるk文字の並べ方になりますので、k-2文字の並べ方全体と同数です。）
そして余った「最後の3文字がaca」となる並べ方は、「k-2文字で最後がa」
と同数ですからa[k-2]通りです。
従ってa[k]=a[k-2]+2^(k-3)となります。
No.29419 - 2014/10/24(Fri) 00:02:20
★ 指数対数 / yuhka
f(x)=4log[4](1-x)-1,g(x)=log[2](x+3),h(x)=log[2](x+5)/2
(1)y=g(x)のグラフはy=f(x)のグラフをx軸方向に(ア)、y軸方向に(イ)平行移動したもの。
(2)3つの関数の大小関係を求める。
真数条件から(ウエ)<x<(オ)
f(x)=g(x)のときx=(カキ)、f(x)=g(x)のときx=(クケ)だから
(ウエ)<x<(クケ)のときと(クケ)<x<(オ)のときの大小関係は?

アからオは2、1、-3<x<1となりました。
(2)がわからないのでお願いします。
No.29280 - 2014/10/11(Sat) 17:25:11
☆ Re: 指数対数 / X
問題文にタイプミスはありませんか？
No.29285 - 2014/10/13(Mon) 07:13:23
☆ Re: 指数対数 / yuhka
すみませんご指摘ありがとうございます(>_<)
(1)はy=g(x)のグラフはy=h(x)のグラフを〜で、
(2)はf(x)=h(x)のときx=(クケ)です！
No.29293 - 2014/10/13(Mon) 22:59:33
☆ Re: 指数対数 / X
ア〜オはそれで問題ありません。
その後ですが
前半)
f(x)=g(x)のとき
4log[4](1-x)-1=log[2](x+3)
これより
2log[2](1-x)-1=log[2](x+3)
log[2]{(1/2)(1-x)^2}=log[2](x+3) (A)
(1/2)(1-x)^2=x+3
これを真数条件に注意して解くと
x=…
f(x)=h(x)のとき
log[2]{(1/2)(1-x)^2}=log[2]{(x+5)/2} (B)
(1/2)(1-x)^2=(x+5)/2
これを真数条件に注意して解くと
x=…
後半)
真数条件の範囲内で
y=(1/2)(1-x)^2
y=x+3
y=(x+5)/2
のグラフを描いてみましょう。
No.29294 - 2014/10/14(Tue) 12:19:42
★ 数列 / きゃず
こんばんは。

数列{a_n}の初項から第n項までの和をS_nと表すとき、すべての自然数nについて、4S_n=a_n+13・4^n-4が成立するとする。このとき、a_1=(1)であり、すべての自然数nについて、a_n+1=(2)が成立する。またb_n=a_n/4^nとおくと、b_n=(3)と表される。したがって、a_n=(4)となる。

(1)〜(4)を教えてください。よろしくお願いいたします。
No.29278 - 2014/10/10(Fri) 00:03:06
☆ Re: 数列 / deep make
(1)は, S_1＝a_1 よりn＝1を代入することで, 直ちに計算できる.

(2)は, すべての自然数nについて,
S_n+1−S_n＝a_n+1 となることを利用する.

(3)は, (2)の式に, a_n＝(4^n)b_n を代入して整理すれば,
b_n についての二項間漸化式が得られるので, そこから答えを得る.

(4)は, (3)の結果と, a_n＝(4^n)b_n から容易に計算できる.
No.29279 - 2014/10/10(Fri) 00:37:53
★ 高校数学 / なにか
直線上に　/_/　のようなひし形があり、
頂点を右下の頂点から反時計周りにA,B,C,Dと名付けます。
頂点Aを中心に直線の上で転がす(＝回転させる)とき、図形は頂点Aの外角の分だけ回転する。と習ったのですが、
これを証明する方法はありますか？教えてください。お願いします。
No.29273 - 2014/10/09(Thu) 22:25:12
☆ Re: 高校数学 / ヨッシー

１つの辺に注目して、その辺が何度回転するかを考えればいいと思います。
No.29275 - 2014/10/09(Thu) 22:49:04
★ (No Subject) / o
こんばんは。

関数y=|x^2+3x|+1において極大値と、
曲線y=|x^2+3x|+1（-4≦x≦0）、x軸,
y軸、直線x=-4で囲まれる面積

よろしくお願いします。
No.29272 - 2014/10/09(Thu) 22:18:42
☆ Re: / ヨッシー

ー３≦ｘ≦０ のとき、
　ｙ＝−ｘ^2ー３ｘ＋１＝ー(x+3/2)^2＋13/4
より、極大値は x=-3/2 のとき 13/4

求める面積は
　∫[-4〜-3](x^2+3x+1)dx＋∫[-3〜0](-x^2-3x+1)dx
　＝31/3
No.29274 - 2014/10/09(Thu) 22:41:31
★ 数学?U　対数関数です。 / かんくろう
こんばんは（＾−＾）

a,bはab=100を満たす正の定数である。f(x)={log[10](x/a)}{log[10](x/b)}の最小値が-1/4であるようなa,bの値を求めよ。

わかるかたがいらっしゃいましたら教えてください。
No.29268 - 2014/10/08(Wed) 23:26:33
☆ Re: 数学?U　対数関数です。 / ヨッシー
b=100/a とおくと、
　f(x)＝{log[10](x)−log[10](a)}{log[10](x)＋log[10](a)−log[10](100)}
　　＝(log[10](x))^2−2log[10](x)＋(2−log[10](a))log[10](a)
　　＝{log[10](x)−1}^2＋(2−log[10](a))log[10](a)ー1
条件より
　(2−log[10](a))log[10](a)ー1＝-1/4
　−(log[10](a))^2＋2log[10](a)−3/4＝０
両辺−４を掛けて
　4(log[10](a))^2−8log[10](a)＋3＝０
因数分解して
　(2log[10](a)ー3)(2log[10](a)ー1)＝０
　log[10](a)＝3/2, 1/2
よって、ａ＝10√10, √10
　(a,b)＝(10√10, √10), (√10, 10√10)
No.29269 - 2014/10/08(Wed) 23:39:58
☆ Re: 数学?U　対数関数です。 / deep make
A＝log[10](a), B＝log[10](b) と置きます.
このとき, 仮定から, A＋B＝log[10](ab)＝log[10](100)＝2 となります.

X＝log[10](x) で, f(x)＝g(X) とみると,
g(X)＝(X−A)(X−B) となり,
g(X)はXの2次関数と見ることができ, 更にA, Bは,
g(X)＝0 の解として得られることがわかります.

2次関数の対称性より, この2次関数は, X＝(A＋B)/2＝1 のとき,
最小値 g(1)＝−1/4 をとるので,
g(1)＝(1−A)(1−B)＝1−(A＋B)＋AB＝−1/4 より, AB＝3/4 を得ます.

よって, g(X)＝(X−A)(X−B)＝X^2−(A＋B)X＋AB＝X^2−2X＋3/4 より,
A, Bは, X^2−2X＋3/4＝(X−3/2)(X−1/2)＝0 の解となるので,
A＝log[10](a)＝3/2, 1/2 を得ます.

故に, あとは同様に,
(a,b)＝(10√10, √10), (√10, 10√10) となります.
No.29271 - 2014/10/09(Thu) 00:02:17
★ 数?U　対数関数 / 大江山
こんばんは。学校のプリントの問題ですが、最初のとっかかりがわかりません。どなたか教えて頂けないでしょうか。

{([6]√25-[6]√4)/[3]√25}-7/([6]√4＋[6]√25)を計算せよ。

わかりにくくてすみません。よろしくお願いします。
No.29266 - 2014/10/08(Wed) 22:57:33
☆ Re: 数?U　対数関数 / ヨッシー
途中 [6]√25＝[3]√5, [6]√4＝[3]√2 を利用します。

(第１項)の分母分子に[3]√5 を掛けます
　(第１項)＝[3]√5([3]√5-[3]√2)/[3]√125
　　　＝([3]√25−[3]√10)/５
(第２項)の分母分子に [3]√4−[3]√2[3]√5＋[3]√25 を掛けます。
※(a+b)(a^2-ab+b^2)＝a^3＋b^3 の利用です。
　(第２項)＝7([3]√4−[3]√10＋[3]√25)／(２＋５)
　　＝[3]√4−[3]√10＋[3]√25
以上より
　(与式)＝−[3]√4＋(4/5)[3]√10−(4/5)[3]√25

{5([6]√25-[6]√4)/[3]√25}-7/([6]√4＋[6]√25) だと
シンプルな答えになるのですが。
No.29267 - 2014/10/08(Wed) 23:23:45
★ (No Subject) / たろう
こんばんはm(_ _)m
数学のベクトルの問題です。わかる人いたらよろしくお願いしますm(_ _)m 直方体OABC-DEFG があり、辺AB を1: 2に内分する点をP,辺FG を1:2に内分す る点をQ,中点をMとする。また、aベクトル＝OAベクトル, cベクトル=OCベクトル, dベクトル＝ODベクトルとする。
(1)線分PQをs:(1-s)に内分する点をRとする。ORベクトルをs, aベクトル, cベクトル, dベクトルを用いて表せ。
よろしくお願いしますm(_ _)m
※できるだけ途中式は省略しないでくださいm(_ _)m
No.29251 - 2014/10/07(Tue) 22:17:07
☆ Re: / ヨッシー
　ＯＰ＝ａ＋(1/3)ｃ
　ＯＱ＝(2/3)ａ＋ｃ＋ｄ

　ＯＲ＝(1-s)ＯＰ＋sＯＱ
に、上の式を代入して、
　ＯＲ＝{(3-s)/3}ａ＋{(1+2s)/3}ｃ＋sｄ
No.29254 - 2014/10/07(Tue) 22:32:53
★ 数学?U 指数 / ゆう
こんばんは

問題を解いていたら行き詰まってしまったので誰か助けてください
入力の仕方がよく分からないので写真で失礼しますm(._.)m
No.29250 - 2014/10/07(Tue) 22:16:12
☆ Re: 数学?U 指数 / ゆう
答えは√aです

私は写真のように解いておかしなことになってしまいました…
下から二行目が確実におかしいという自信だけはあります‼︎←
No.29252 - 2014/10/07(Tue) 22:19:22
☆ Re: 数学?U 指数 / ヨッシー
それは困った自信ですが
その計算では、分子分母を12乗したことになります。
分母の指数はマイナスの指数に変えられるので、
　例)1/a^2＝a^(-2)
a^(17/12)／a^(11/12)＝a^(17/12-11/12)＝a^(1/2)＝√ａ
となります。
No.29253 - 2014/10/07(Tue) 22:26:42
☆ Re: 数学?U 指数 / ゆう
…あ
なんか最も当たり前のことを思いっきり忘れて…
なんかもう、恥ずかしっ_:('Θ' 」 ∠):_

私が超絶おバカなのは置いておいて、
とにかくありがとうございました‼︎
また何かあった時はよろしくお願いします
No.29255 - 2014/10/07(Tue) 22:45:21
★ (No Subject) / すうらく
採点ミスだと思いますが
確認させてください

y=x^2+3x-5・・?@とｙ＝２ｘ−３・・?A
の交点全てを通る放物線y=-x^2+ax+b・・?Bのa,bを求めよという問題で
?@＋?Bより
２ｙ＝（a+3)x+b-5
これが?Aと等しいのでa+3=4,b-5=-6でa=1,b=-1

これ合ってますよね？
No.29248 - 2014/10/07(Tue) 20:19:43
☆ Re: / ヨッシー
合ってますね。

たぶん想定した解法、2点(1,-1),(-2,-7) を出して、
(3) に代入してａ，ｂの連立方程式にする

と違ったのでしょう。
No.29249 - 2014/10/07(Tue) 21:04:50
☆ Re: / 黄桃
もう見てないかもしれませんが、厳密には不完全です。

y=x^2 と y=2x-1 の交点すべてを通る放物線 y=-x^2+ax+b の a,b を求めよ、
という問題でも、この解法ならa=4, b=-2 と答がでます。
ですが、y=x^2とy=2x-1 の交点は(1,1)だけなので、
正しい答は a+b=2 をみたすすべての(a,b)の組について y=-x^2+ax+b です。
(1),(2)が交わらない場合もこの解法なら答がでますが、その答は明らかに不適です。

この解法のロジックのポイントは、
(1)と(3)の交点があれば、その交点を通る直線には
２ｙ＝（a+3)x+b-5
と
ｙ＝２ｘ−３
がある、
ということから、両者は一致する、という部分です。
(1),(2)の交点と(1),(3)の交点が同じで、いずれも異なる2点であれば、異なる2点を通る直線は一本だけであるから（このことも明確に主張すべきでしょう）、一致するといえますが、この事実は別途証明する必要があります。
(1),(3)の交点が２つであっても、(1),(2)の交点が１つであれば、最初にあげた例のように両者が一致するとは限りませんし、(1),(2)に交点がなければ、そもそも無意味な主張です。

(1),(2)の交点を具体的に求めるのであればこうした問題から逃れることができます。

＃(1),(2)が確かに異なる2点で交わることを確認したとしても、
＃その2点を通るy=-x^2+ax+bという形の放物線が本当にあるのか？という問題が残ります。
＃少なくとも１つある、ということがいえれば、最初の論法が使えます。
＃結局のところ、この解法では「条件をみたす放物線の存在を最初から仮定している」
＃ところがネックになっています。
＃＃とはいえ、解が根号を含む複雑な場合は、x座標が異なる２点を通るy=-x^2+ax+b
＃＃という形の放物線はただ１つ存在する、ことを示す方が有効かもしれません。
No.29270 - 2014/10/08(Wed) 23:40:34
★ イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
記事No.29150 でn→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ pの証明を質問したrikoです。
そこで否定の作り方がまちがっていることを指摘され、勉強してみました。
ところが、記号を使って否定を作ってみたら、変になってしまいました。

どこがおかしいのですか？


n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ p

P:=n→∞、a(n) = α
Q:=a(n) > p
R:=α ≧ p
と置く

証明したいことは
P(Q⇒R)
と書ける

その否定は
¬(P(Q⇒R))
¬P¬(Q⇒R)
¬P¬( ¬Q∨R)
¬P¬( ¬Q∨R)
¬P( Q∧¬R)
となる

P:=n→∞、a(n) = α
=数列a(n)がα収束する定義は正の任意のεに対して、ある自然数Nが存在してN以上のnについて｜a(n)-α｜<ε
=∀ε＞０, ∃N＞0 s.t. ∀n≧N, ｜a(n) -1｜＜ε

だから、Pの否定は
¬P=¬(∀ε＞０, ∃N＞0 s.t. ∀n≧N, ｜a(n) -α｜＜ε)
=∃ε＞０, ¬(∃N＞0 s.t. ∀n≧N, ｜a(n) -α｜＜ε)
=∃ε＞０, ∀N＞0 ¬( s.t. ∀n≧N, ｜a(n) -α｜＜ε)
=∃ε＞０, ∀N＞0 s.t. ∃n≧N, ¬(｜a(n) -α｜＜ε)
=∃ε＞０, ∀N＞0 s.t. ∃n≧N, ｜a(n) -α｜>ε
となる

Rの否定は
¬R=¬(α ≧ p)
=α < p
となる

だから
Q∧¬R=(a(n) > p)∧(α < p))

したがって
¬P( Q∧¬R)=
(=∃ε＞０, ∀N＞0 s.t. ∃n≧N, ｜a(n) -α｜>ε)(a(n) > p)∧(α < p)
がえられ、これが成り立たないことを示せばよい。

ある正のεに対して、全ての自然数Nが存在してN以上のnについて、｜a(n) -α｜>εのとき
a(n) > p、かつ、α < p
No.29247 - 2014/10/07(Tue) 17:28:38
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / 黄桃
>証明したいことは
>P(Q⇒R)
>と書ける

これが根本的に違います。示すべき命題は

n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ p

ですが、これが数列{a[n]},実数α,pにかかわらず真というのが主張ですから、論理記号を省略せずに書けば
∀α∀p∀{a[n]}((lim_[n→∞] a[n]=α) ∧ (∀n a[n]>p) )⇒ α≧p
です。

P,Q,Rと書くなら、より正確には
P(a[n],α):=n→∞、a(n) = α (数列{a[n]}とαを決めると真偽が決まる命題）
Q(a[n],n,p):=a(n) > p　　　 (数列{a[n]}と添え字番号n とpを決めると真偽が決まる命題)
R(α,p):=α ≧ p (αとpを決めれば真偽が決まる命題）
とおくと、
∀α∀p∀{a[n]} (P(a[n],α)∧∀n Q(a[n],n,p)) ⇒ R(α,p)
となる、です。

#「Aの時、BならばC」 は A⇒(B⇒C) とみてもいいですが、
#A⇒(B⇒C)= ¬A∨(B⇒C)=¬A∨(¬B∨C)=(¬(A∧B))∨C=(A∧B)⇒C
#なので、結局 (A∧B)⇒C と同じです。これはA∧(B⇒C)とは異なります。
#なぜなら、Aが偽の時A∧(B⇒C)は偽ですが、(A∧B)⇒Cは真です。
#〜の時、というのは〜を仮定する、程度の意味です。

したがって、この否定は
∃α∃p∃{a[n]} (P(a[n],α)∧∀n Q(a[n],n,p))∧(¬ R(α,p))
つまり、
∃α∃p∃{a[n]} (lim_[n→∞] a[n]=α) ∧ (∀n a[n]>p) ∧ (α＜p)
です。
この否定命題で存在を保証されたα、p, {a[n]}が、そのあとの３つの仮定をみたす、というのが背理法の始まりです。
No.29260 - 2014/10/08(Wed) 07:49:35
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
お返事ありがとうございます。
早速、考えてみます。
No.29264 - 2014/10/08(Wed) 17:59:26
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
真理表の作り方から勉強し直してみました。
これで合っているでしょうか？
おねがいします。

> これが根本的に違います。示すべき命題は
> n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ p
これは日本語の問題ですね。
条件１： n→∞、a(n) = α、条件２：a(n) > p、結論：α ≧ p
だから、条件１と条件２が両方が成り立つとき、結論が得られる。
だから、
> ですが、これが数列{a[n]},実数α,pにかかわらず真というのが主張ですから、論理記号を省略せずに書けば
> ∀α∀p∀{a[n]}((lim_[n→∞] a[n]=α) ∧ (∀n a[n]>p) )⇒ α≧p
となる。

> #なぜなら、Aが偽の時A∧(B⇒C)は偽ですが、(A∧B)⇒Cは真です。
A∧(B⇒C)を調べることは、n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ pを調べたことにならない。
そもそも、違う命題だから。
それは、
n→∞、a(n) = αでありa(n) > pでない、もしくは n→∞、a(n) = αであり α ≧ pが成立する
となってしまうから。

> この否定命題で存在を保証されたα、p, {a[n]}が、そのあとの３つの仮定をみたす、というのが背理法の始まりです。
これは、否定されてない命題と否定された命題では、どちらかが真でもう一方が偽となるから、P⇒Q=¬P∨Qの真偽を調べるためには、P⇒Qの否定を調べればいい。
だから、前のスレッドでやってしまった
P⇒¬Q=¬P∨¬Q=¬(P∧Q)
を調べるということは、P⇒Qの真偽を調べたことにならない。P⇒¬QはP⇒Qの余事象になっていない。

どうしてもわからなかったのが
> P(a[n],α):=n→∞、a(n) = α (数列{a[n]}とαを決めると真偽が決まる命題）
> Q(a[n],n,p):=a(n) > p　　　 (数列{a[n]}と添え字番号n とpを決めると真偽が決まる命題)
> R(α,p):=α ≧ p (αとpを決めれば真偽が決まる命題）
P(a[n],α)にはnが独立変数とはならず、Q(a[n],n,p)ではnが独立変数となっていることです。
a[n]はnに依存しているから、P(n,α)、Q(n,α)では？とも思ってしまいました。
No.29295 - 2014/10/14(Tue) 19:42:31
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
背理法ですけど、P⇒Q=¬P∨Qの真偽を調べるためには、P⇒Qの否定P∧¬Qを調べればいいとかきました。

考え直してみたら、数学ではPを定義や仮定や条件とすることが多いので、そのようなときにはPは真としてやれ、Pが真の時だけを調べればいいのでは？。

そうすると、P⇒¬Qが真ならP⇒Qは偽、P⇒¬Q偽がならP⇒Qは真、つまり、P⇒Qの真偽はQの真偽に左右されるから、
P⇒¬Q=¬P∨¬Q=¬(P∧Q)
を調べればいいのでは？とも思ってしまいました。
この考えは間違っているでしょうか？
No.29326 - 2014/10/16(Thu) 18:47:40
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / 黄桃
>P(a[n],α)にはnが独立変数とはならず、Q(a[n],n,p)ではnが独立変数となっていることです。
>a[n]はnに依存しているから、P(n,α)、Q(n,α)では？とも思ってしまいました。

このa[n]のnは、関数f(x)と書いてもxに意味がないのと同じで、数列{a[n]}という意味で書いています。P,Qでa[n]と書いたnは他の任意の文字(m,n,x,y等々)に置き換えても意味を持つことを確認してください。
a[100]などの個別の値は数列とその添え字100を与えて決まります。a[n]>p というのは、a[1]>p ∧ a[2]>p　∧ ... という意味であり、個別の値がすべてpより大きいことを示しています。
確かに、Q(a[n],n,p)よりは、Q({a[n]},m,p)とでも書いた方が適切でしたね。

>P⇒¬QはP⇒Qの余事象になっていない。
余事象が否定の意味であればその通りです。

>そのようなときにはPは真としてやれ、Pが真の時だけを調べればいいのでは？。
この「そのようなとき」というのが何のことかわかりませんが、「P⇒X」を証明するときはPが真の場合のみを仮定してXが示せればいい、という意味ならその通りです。Pが偽なら「P⇒X」は真ですから、示すまでもないからです。

>P⇒¬Qが真ならP⇒Qは偽
とはなりません。『「Pが真」かつ「P⇒¬Qが真」ならば、「Qは偽」』はいえます（そして「Qが偽」なら「P⇒Qは偽」です）が、「P⇒¬Qが真」だからといって、PやQの真偽は不明です。条件文が真であるときわかるのは、あくまでも P,Qの相対的な関係だけです。

まとめますと、
P⇒Q
を示す場合次のことが言えます。
(1) 直接証明する場合は、Pが真と仮定してQが結論されることを示せばよい。
(2) 背理法で証明する場合は、(¬(P⇒Q))⇒O (Oは矛盾）を示せばよい。そのためには、¬(P⇒Q)(=P∧¬Q)が真と仮定して矛盾が結論されることを示せばよい。
No.29372 - 2014/10/19(Sun) 18:39:39
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
お返事ありがとうございます。
早速考えさせていただきます。

気になったのが、背理法は対偶証明と同じという記述を見ます。
しかし、真理表を確認すると違います。
背理法は対偶証明と同じなのでしょうか？
No.29375 - 2014/10/19(Sun) 19:28:30
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / 黄桃
既に内容が元の質問とは無関係です。

>気になったのが、背理法は対偶証明と同じという記述を見ます。
具体的にどんな記述ですか？ここでいう「同じ」とはどういう意味ですか？

>しかし、真理表を確認すると違います。
意味不明です。背理法では真といえるが、対偶証明だと偽といえる命題があるということですか？そんなことはありません。

背理法はAという命題を示すのに、それと同値な (¬A)⇒O (Oは矛盾）を示す証明法です。特にAがP⇒Qという条件文であれば、¬Aは P∧(¬Q)です。
対偶法は P⇒Qを示すのに、これと同値な(¬Q)⇒(¬P)を示す証明法です。
P⇒Q と (P∧(¬Q))⇒O と (¬Q)⇒(¬P) はいずれも同値であることを真理表で確認してください。

>背理法は対偶証明と同じなのでしょうか？
同じ、の意味がわからないので答えようがありません。
No.29378 - 2014/10/19(Sun) 23:46:48
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
ご指摘ありがとうございます。
真理表の作り方から勉強し直します。
No.29382 - 2014/10/20(Mon) 10:43:21
★ 期待値 / マリー
以前期待値の解釈で質問をさせていただいたものです。今回も期待値の解釈で質問です。どうかよろしくお願いします。

正数rに対して,a_1=0,a_2=rとおき,数列{a_n}を次の漸化式で定める。

a_(n+1)=a_n+r_n・(a_n-a_(n-1)) (n=2,3,4,…)

ただしa_nとa_(n-1)から漸化式を用いてa_(n+1)を決める際には,確率1/2でr_n=r/2,確率1/2でr_n=1/2rになるとする。
a_nの期待値をp_nとするとき,n≧3のときにp_nをnとrを用いて表せ。

正しいやり方が全然わからなかったので,a_nの期待値をp_nとするということは,a_n=p_n,a_(n-1)=p_(n-1)とみなしてよいと解釈して,p_(n+1)={p_n+(r/2)・(p_n-p_(n-1))}/2+{p_n+(1/2r)・(p_n-p_(n-1))}/2と漸化式を立てて解いたら,一応解答と一致しました。ということはやはりa_n=p_n,a_(n-1)=p_(n-1)と仮定したことは合っていたということでしょうか。ちなみこんな解答方法で点数はもらえるでしょうか？
No.29239 - 2014/10/07(Tue) 09:11:30
☆ Re: 期待値 / らすかる
おそらく点数はもらえますが、
もし解答に「a_n=p_n,a_(n-1)=p_(n-1)とみなしてよい」などと
書いてしまったら、これは誤りですので減点されると思います。
No.29243 - 2014/10/07(Tue) 14:05:03
☆ Re: 期待値 / マリー
回答ありがとうございます。

＞もし解答に「a_n=p_n,a_(n-1)=p_(n-1)とみなしてよい」などと書いてしまったら、これは誤りです

ここがどうしてもよくわからないです。平均的にa_n=p_nになるのではないのですか？このような解釈が誤りなのに、漸化式だけは合っているということなのでしょうか？
No.29256 - 2014/10/08(Wed) 00:43:13
☆ Re: 期待値 / らすかる
「平均的にa_n=p_nになる」というのは
感覚的には正しいですが、
「a_n=p_n」という式は
「a_nの値は常に期待値の値と一致する」
という意味ですから、誤りです。
No.29257 - 2014/10/08(Wed) 01:01:02
☆ Re: 期待値 / マリー
回答ありがとうございます。

＞「a_nの値は常に期待値の値と一致する」という意味

よくよく考えてみたら、本当にそうですね。やはり私の解答方法は正規の方法ではなさそうですね。
ちなみに私の解答方法を正答に直すことはできますでしょうか？
No.29258 - 2014/10/08(Wed) 01:40:31
☆ Re: 期待値 / らすかる
2m回の試行に番号1番〜2m番を付けてk番のa[n]をa[k][n]と表し、
1番〜m番でr[n]=r/2、m+1番〜2m番でr[n]=1/(2r)だったとして
m→∞と考えます。
p[n+1]=lim[m→∞](Σ[k=1〜2m]a[k][n+1])/(2m)
=lim[m→∞](Σ[k=1〜m]a[k][n+1])/(2m)
　+lim[m→∞](Σ[k=m+1〜2m]a[k][n+1])/(2m)
=lim[m→∞](Σ[k=1〜m](a[k][n]+(r/2)(a[k][n]-a[k][n-1])))/(2m)
　+lim[m→∞](Σ[k=m+1〜2m](a[k][n]+(1/(2r))(a[k][n]-a[k][n-1])))/(2m)
={lim[m→∞](Σ[k=1〜m](a[k][n])/m
　　　　　　　+(r/2)Σ[k=1〜m](a[k][n])/m
　　　　　　　-(r/2)Σ[k=1〜m](a[k][n-1])/m)}/2
　+{lim[m→∞](Σ[k=m+1〜2m](a[k][n])/m
　　　　　　　　+(1/(2r))Σ[k=m+1〜2m](a[k][n])/m
　　　　　　　　-(1/(2r))Σ[k=m+1〜2m](a[k][n-1])/m)}/2
={lim[m→∞]Σ[k=1〜m](a[k][n])/m
　　+(r/2)lim[m→∞]Σ[k=1〜m](a[k][n])/m
　　-(r/2)lim[m→∞]Σ[k=1〜m](a[k][n-1])/m}/2
　+{lim[m→∞]Σ[k=m+1〜2m](a[k][n])/m
　　+(1/(2r))lim[m→∞]Σ[k=m+1〜2m](a[k][n])/m
　　-(1/(2r))lim[m→∞]Σ[k=m+1〜2m](a[k][n-1])/m}/2
={p[n]+(r/2)p[n]-(r/2)p[n-1]}/2
　+{p[n]+(1/(2r))p[n]-(1/(2r))p[n-1]}/2
のように考えれば良いのではないでしょうか。

# ちなみに、a[k]をp[k]に置き換えた形にして正解が出るのは、
# a[n+1]の漸化式がa[k]の一次式だからです。
# 一次式ならば上記のようにΣを分ければp[k]の一次式になりますが、
# 例えばa[n+1]の漸化式にa[n]a[n-1]のような二次の項がある場合は
# 上記のようにΣを分けられませんので、
# a[k]をp[k]に置き換えた形では正解は出ません。
No.29259 - 2014/10/08(Wed) 05:20:09
☆ Re: 期待値 / Halt0
高校で習ったかどうか忘れたんですが, 確率変数 X の期待値を E[X] で表すとしたとき, 確率変数 X,Y に対して
・E[X+Y]=E[X]+E[Y]
・XとYが独立なら E[XY]=E[X]E[Y]
であることを使えば,
an+1=an+rn(an-an-1) より
E[an+1]=E[an]+E[rn]E[an-an-1] (∵ rn と an-an-1 は独立)
=E[an]+E[rn](E[an]-E[an-1])
すなわち, (E[rn]=r/4+1/(4r) に注意して)
pn+1=(r/4+1/(4r))(pn-pn-1)
とできると思います.
No.29276 - 2014/10/09(Thu) 23:16:39
★ 軌跡の問題です / ブルーバード
xy平面内に円C：x^2＋y^2＝1と直線l：y＝a(0<a<1)がある。これに対し、Cに内接し、かつ、lに接する円の中心をPとする。
(1) Pの軌跡を求めよ。
(2) (1)の軌跡に、Cとlの2交点を加えた図形によって囲まれる部分の面積をaで表せ。
No.29236 - 2014/10/07(Tue) 05:37:07
☆ Re: 軌跡の問題です / ヨッシー
軌跡は、ｌの上下２通り考えられます。



(1)
Ｐ（ｘ、ｙ）とすると、ＰからＣまでの距離が
　１ー√(x^2＋y^2)
Ｐからｌまでの距離が
　ａ−ｙ　または　ｙ−ａ

１ー√(x^2＋y^2)＝ａ−ｙ　のとき
　１＋ｙ−ａ＝√(x^2＋y^2)
２乗して
　y^2＋2(1-a)ｙ＋(1-a)^2＝x^2＋y^2
　2(1-a)ｙ＝x^2−(1-a)^2
　ｙ＝x^2/{2(1-a)}−(1-a)/2

１ー√(x^2＋y^2)＝ｙ−ａ　のとき
　ｙ−ａ−１＝−√(x^2＋y^2)
２乗して
　y^2−2(1＋a)ｙ＋(1＋a)^2＝x^2＋y^2
　−2(1＋a)ｙ＝x^2−(1＋a)^2
　ｙ＝−x^2/{2(1＋a)}＋(1＋a)/2

ただし、いずれも　−√(1-a^2)＜ｘ＜√(1-a^2)

(2)
ｙ＝x^2/{2(1-a)}−(1-a)/2 とｌに囲まれた部分の面積
　２∫[0〜√(1-a^2)]（ａ−ｙ）dx
　＝２∫[0〜√(1-a^2)]｛−x^2/{2(1-a)＋(1+a)/2}
　＝２[−x^3/{6(1-a)＋(1+a)ｘ/2][0〜√(1-a^2)]
　＝２{−(1-a^2)√(1-a^2)/{6(1-a)＋(1+a)√(1-a^2)/2]
　＝(2/3)(1+a)√(1-a^2)

ｙ＝−x^2/{2(1＋a)}＋(1＋a)/2　とｌに囲まれた部分の面積
　２∫[0〜√(1-a^2)]（ｙ−ａ）dx
　＝２∫[0〜√(1-a^2)]｛−x^2/{2(1＋a)}＋(1−a)/2}
　＝２[−x^3/{6(1＋a)}＋(1−a)ｘ/2][0〜√(1-a^2)]
　＝２{−(1-a^2)√(1-a^2)/{6(1＋a)＋(1−a)√(1-a^2)/2]
　＝(2/3)(1−a)√(1-a^2)

両者加えて、
　(2/3)(1+a)√(1-a^2)＋(2/3)(1−a)√(1-a^2)
　＝(4/3)√(1-a^2)
No.29237 - 2014/10/07(Tue) 06:25:23
★ (No Subject) / たろべえ
　平面上に一辺の長さが２の正方形ABCDがあり対角線の交点をOとする.この平面上で,Oを中心とする角θの回転移動によって,4点A,B,C,DはそれぞれA',B',C',D'の移るとする.また,２つの正方形ABCDとA'B'C'D'の重なる部分の面積をSとする.
　角θが0<θ<π/2を動くとき,面積Sの最小値を求めよ.

解ける方、解答お願いします。
No.29233 - 2014/10/06(Mon) 21:27:16
☆ Re: / ヨッシー

図において、緑の三角形は、Ｏ付近の角度がθ/2 の直角三角形で、
直角を挟む角は １ と tan(θ/2) です。
水色の三角形は、Ｏ付近の角度が(45°−θ/2) の直角三角形で、
直角を挟む角は １ と tan(45°−θ/2) です。
よって、両者の面積の和は
　tan(θ/2)／２＋tan(45°−θ/2)／２
であり、全体としてはこれが８つずつあるので、全体の面積は
　４{tan(θ/2)＋tan(45°−θ/2)}
と表せます。
　tan(45°−θ/2)＝{tan45°−tan(θ/2)}／{1＋tan45°tan(θ/2)}
　　＝{1−tan(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}
より、
　tan(θ/2)＋tan(45°−θ/2)
　＝{tan(θ/2)＋tan^2(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}＋{1−tan(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}
　＝{1＋tan^2(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}
f(x)＝(1+x^2)/(1+x) とおくと、
　f'(x)＝{2x(1+x)−(1+x^2)}/(1+x)^2
　　＝(x^2＋2x-1)/(1+x)^2
x≧0 の範囲では、f'(x) は ｘ＝-1＋√2 で０となり、
０≦ｘ≦-1＋√2 では負、ｘ＞-1＋√2 で正となり、ｘ＝-1＋√2 は極小かつ最小点となります。
tan(θ/2)＝√2−1 のとき、
　{1＋tan^2(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}＝2√2−2
となり、面積の最小値は　8√2−8 となります。

なお、tan(θ/2)＝√2−1 となるθは45°＝π/4 です。
No.29240 - 2014/10/07(Tue) 09:20:20
☆ Re: / たろべえ
ありがとうございました。

解き直したらうまく解けました！
No.29277 - 2014/10/09(Thu) 23:58:30
★ (No Subject) / たろべえ
　複素数平面上で,三角形ABCの頂点を表す複素数をα,β,γとし,α,β,γは次の3条件を満たすとする.
　1.三角形ABCは一辺の長さが√3の正三角形である.
　2.α+β+γ=3
3.αβγは,絶対値が1で虚部は正である.
このとき,次の問いに答えよ.
(1)z=α-1とおく.条件1.と２.より,βとγをzを用いて表せ.
(2)α,β,γの偏角を求めよ.ただし,0°≦arzα≦arzβ≦arzγ<360°とする.

解ける方お願いします。
No.29232 - 2014/10/06(Mon) 21:21:47
★ (No Subject) / たろう
数学の三角関数の問題です。わかる人がいらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。 0≦θ＜2π, sin(θ/2)=tとするとき, 座標平面上の2点A(cosθ, sinθ), B(cos2θ,sin2θ)間の距離ABをtを用いて表せ。
よろしくお願いしますm(_ _)m。
※途中式はできるだけ省略しないでください！m(_ _)mよろしくお願いしますm(_ _)m
No.29230 - 2014/10/06(Mon) 19:55:26
☆ Re: / deep make
代数的, 幾何的な方法がありますが,
取りあえず幾何的方法を紹介します.

点Ａ, 点Ｂは単位円上の点なので,
弦ＡＢの中心角が, θ(又は2π-θ)であることに注意すれば,
ＡＢ＝2sin(θ/2)(＝2sin(π-θ/2))＝2t と書けます.
No.29231 - 2014/10/06(Mon) 20:59:20
☆ Re: / deep make
次に代数的方法です.

辺ＡＢの長さは,
√{(cosθ-cos2θ)^2＋(sinθ-sin2θ)^2}
＝√{2-2(cos2θcosθ＋sin2θsinθ)}
＝√{2(1-cos(2θ-θ))}＝√{2(1-cosθ)}.

ここで, cosθ＝1-2t^2 と書けることに注意すれば,
√{2(1-cosθ)}＝2t を得ます.
No.29234 - 2014/10/06(Mon) 21:28:50
★ 数学?Uの三角関数 / 蜜柑ポット
90°≦α≦180°,0°≦β≦90°で
sinα=12/13,cosβ=4/5のとき、

(1)cosα
(2)sinβ
(3)sin(α-β)
(4)cos(α+β)

教えてください。
No.29228 - 2014/10/06(Mon) 17:12:51
☆ Re: 数学?Uの三角関数 / らすかる
(1) cosα＜0と(sinα)^2+(cosα)^2=1から計算しましょう。
(2) sinβ＞0と(sinβ)^2+(cosβ)^2=1から計算しましょう。
(3)と(4)は加法定理の公式で計算しましょう。
No.29229 - 2014/10/06(Mon) 18:43:22
★ 真偽判定願います / ちんぷん
a,bは任意に実数全体を動く.
ax+by=0ならばx=y=0

は偽でよろしいですか？
No.29216 - 2014/10/06(Mon) 00:45:16
☆ Re: 真偽判定願います / らすかる
真です。
No.29217 - 2014/10/06(Mon) 00:55:03
☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん
簡単に証明（説明）していただけますか？
例えば、反例としてx=b,y=-aがあると思ったのですが。
No.29219 - 2014/10/06(Mon) 06:40:13
☆ Re: 真偽判定願います / angel
> 例えば、反例としてx=b,y=-aがあると思ったのですが。
これは誤りなのですが、なかなか興味深い意見です。
ちょっと、問題の命題を詳しく見てみましょう。

「a,bは任意に実数全体を動く時、ax+by=0ならばx=y=0」
これは、
「ax+by=0が、a,bがどんな実数値の時でも成立するならば、x=y=0」
を意味します。

では、「〜ならばx=y=0」を検証するために、どんな時に命題の前半部分が成立するかを考えます。
それは、どう考えるかと言うと、

　(x,y)=(1,1) の時
　　「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
　(x,y)=(1,1.1) の時
　　「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
　…
　(x,y)=(1.1,1)の時
　　「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
　…

これを、全ての実数値(x,y)の組み合わせで考えたとすると、「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立する」のは(x,y)=(0,0)だけとなります。
(x,y)=(0,0)は、当然x=y=0を満たしますから
「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するならばx=y=0」は真ということになります。

ただし、注意が必要なのは、上の想定では一つ一つ(x,y)の組み合わせを挙げて検証していますが、実際にそういうことはできません。( できるのは整数か、せめて有理数 … 帰納法が使える範囲 )
なので、全ての(x,y)の値を検証するためには「一つ一つ挙げる」以外の方法が必要です。
No.29220 - 2014/10/06(Mon) 07:18:02
☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん
回答ありがとうございます。

>>どんな時に命題の前半部分が成立するかを考えます

(x,y)=(0,0)以外にも、(x,y)=(b,-a)のとき
命題の前半部分ax+by=0が成立するのでは？

よって、任意の実数a,bに対して、ax+by=0が成り立つとしてもx=y=0であるとは限らない

と思ってしまいます。。。どこで間違っているのでしょうか。。。
No.29221 - 2014/10/06(Mon) 07:48:14
☆ (x,y)と(a,b)の違い / angel
> どこで間違っているのでしょうか。。。
それは、(x,y)と(a,b)いずれも無限の組み合わせを考える訳ですが、両者に根本的な違いがあるからです。

それは、(x,y)は固定された値である一方、(a,b)は固定されていない(動く)値であるということです。
勿論、(x,y)についても全ての実数値の組み合わせを試すので、その意味では「動く」のですが、条件を満たすかどうかを一組々々試す時には「固定」されています。( No.29220をもう一度良く見てください )
固定されるべき(x,y)に、固定されていない(a,b)の値を設定しているのがマズいことになります。
No.29222 - 2014/10/06(Mon) 08:21:18
☆ 類題 / angel
ただし、問題が変わればちんぷんさんの考えが正しくもなります。

それは、

・実数x,y,a,bに対し、ax+by=0ならばx=y=0である
　… 偽 ( 反例: (a,b,x,y)=(2,1,1,-2)等 )

これは、a,bのみならずx,yも同じように動く(固定されていない)扱いになります。なので、No29220と同じように考えるならば、

　(a,b,x,y)=(1,1,1,1)
　→ ax+by=0 不成立
　…
　(a,b,x,y)=(1,1,0,0)
　→ ax+by=0 成立
　…
　(a,b,x,y)=(2,1,1,-2)
　→ ax+by=0 成立

となり、確かにx=y=0の時にax+by=0は成立しているものの、それ以外にも成立する場面(反例)があるため、「ax+by=0ならばx=y=0」は偽となります。
No.29223 - 2014/10/06(Mon) 08:29:11
☆ Re: 真偽判定願います / らすかる
問題の命題は
「x,yに対してa,bがどんな値であってもax+by=0が成り立つならば、x=y=0」
という意味ですから、a,bをx,yに依存する値に固定することはできません。
「a,bがどんな値であってもax+by=0が成り立つならば」ですから
a=1,b=1の場合でもa=1,b=2の場合でもa=2,b=1の場合でも
ax+by=0にならなければいけません。
No.29224 - 2014/10/06(Mon) 10:07:57
☆ Re: 真偽判定願います / deep make
任意の実数a,bに対し, ax+by=0 が成り立つとき,
x=y=0 であることを示すのは容易なことです.

「任意」と言っているのですから,
当然(a,b)=(1,0),(0,1)に対しても, ax+by=0 が成り立つので,
ここから, x=y=0 である必要性が出てきます.

そして, 実際, x=y=0 のとき,
他の任意の(a,b)に対し, ax+by=0 になるので,
この命題は真ということになります.
No.29225 - 2014/10/06(Mon) 11:43:21
☆ Re: 真偽判定願います / deep make
また, ベクトルを用いた説明も可能です.

ax+by=0 とは, ベクトル(a,b), (x,y)の内積が0ということを意味します.

a,bは任意に実数全体を動くので,
ベクトル(a,b)は全ての平面ベクトルを動くことになります.

つまり, (x,y)は全ての平面ベクトルと直交するベクトルなので,
(x,y)=(0,0)のみであることがわかります.
No.29226 - 2014/10/06(Mon) 11:53:37
☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん
なるほど、納得です。ありがとうございました。
No.29227 - 2014/10/06(Mon) 11:54:18
★ 幾何 / aba
xy平面上にある中心が(0,0,0)、半径1の円C1と、三点(2,0,0)(0,0,2)(0,2,0)を通る円C2がある。円C1C2上をそれぞれ点P、Qが動くとき線分PQの最小値を求めよ。
No.29215 - 2014/10/05(Sun) 23:06:08
全22551件 [ ページ : << 1 ... 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 ... 1128 >> ]