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★ 整数 / aba
a,b,cは正の整数である。(a^2)b+(b^2)c+(c^2)aがabcの倍数で2cがa+bの倍数であるときa=b=cを示せ。
No.29214 - 2014/10/05(Sun) 23:01:41
☆ Re: 整数 / IT
※a|c は cがaの倍数であることを表す。aトc は cがaの倍数でないことを表す。

条件は下記のとおり
a,b,cは正の整数…これは断りなしに使う。
abc|(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a …(1)
a+b|2c …(2)　

(a,b,c)が条件をみたすとき(ka,kb,kc) （kは任意の正整数）も条件をみたす…(A)　ので
(a,b,c)の最大公約数=1…(3)として考える.

(1)より　c|(a^2)b …(4),よってcの素因数はaの素因数とbの素因数以外はない。 …(5)

aとｂの共通の素因数があったと仮定して、そのうちの１つをpとする。
　このとき、(2)より p|2cだが、(3)より※pトcでp=2…(6)
　※WIZさんの御指摘のとおり記入ミスがあり訂正しました。以下※も補足しました。
　※aとbの最大公約数|a+bなので(2)より
　※aとbの最大公約数|2c、よって(3)より
　aとbの最大公約数＝2…(7)
　(1)より ab|(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a
　　　　　ab|(b^2)c+(c^2)a
　　　　　2^2|(b^2)c+(c^2)a
　　　　　2^2|(c^2)a
　(6)より2^2|a 、(7)より2|b,2^2トb…(8)
　(1)より2^3|(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a
　　　　2^3|(b^2)c+(c^2)a
　　ここで2^3|aと仮定すると2^3|(b^2)cとなり(6)(8)に反する、よって2^3トa
　　よってa=4a',b=2b'(a',b'は正の整数)でa',b',2はそれぞれ互いに素…(9)
　(2)より　4a'+2b'|2c よって 2a'+b'|c…(10)
　ところが(9)より　2a'+b'はa',b'とそれぞれ互いに素
　よって(10)は(5)に反する。

以上から、aとｂは互いに素。…(11)

(11)からa+bはaと共通の素因数、bと共通の素因数を持たない。
これと(2)と(5)からc=1,a+b=2,すなわちa=b=c=1
これは条件を満たす。
(A)より、(3)の条件を外してa=b=c

※もっと簡単な証明があるかも知れませんし、まちがっているかも知れません。ご指摘ください。
No.29238 - 2014/10/07(Tue) 07:50:22
☆ Re: 整数 / aba
なるほど、、、すごく難しいですね、、ありがとうございます！
No.29244 - 2014/10/07(Tue) 14:07:47
☆ Re: 整数 / WIZ
ITさんへ

>　このとき、(2)より p|2cだが、(3)より2トcでp=2…(6)
>　aとbの最大公約数＝2…(7)

「2トc」は「pトc」の書き間違いとですよね?
pはa, bの共通素因数の1つであり、a, bの最大公約数ではありません。
kをある正の整数として、2^kがa, bの最大公約数であるということが言えるだけでは?

よって、ここまでの議論だけでは以下は成立するとは言えないと思いますが。

> 　(6)より2^2|a 、(7)より2|b,2^2トb…(8)
No.29261 - 2014/10/08(Wed) 08:36:40
☆ Re: 整数 / WIZ
ITさんの書き込みの

>aとｂの共通の素因数があったと仮定して、そのうちの１つをpとする。

で、pをaとbの最大公約数の書き間違い(或いは書いている途中で気が変わった?)だと解釈すれば、
(a+b)|(2c)からp|(2c)で、(a, b, c) = 1から(p, c) = 1なのでp|2となりますね。
つまりp = 1またはp = 2ですので、一応ITさんの証明は完成しているようです。
No.29262 - 2014/10/08(Wed) 12:26:27
☆ Re: 整数 / WIZ
私の書き込みにも(結論は変わらないけど)間違いがありましたので訂正します。

>(a+b)|(2c)からp|(2c)で、(a, b, c) = 1から(p, c) = 1なのでp|2となりますね。

(p, c) = 1でもp > 1でないとpトcとは言えませんでした。
よって、p > 1ならばp|2なのでp = 2のみ、あとはp = 1となります。

スレ汚し申し訳ありません。
No.29263 - 2014/10/08(Wed) 14:07:55
☆ Re: 整数 / IT
WIZ さんへ
>「2トc」は「pトc」の書き間違いとですよね?
そのとおりです。御指摘ありがとうございました。

おっしゃるとおり、a,bの共通の素因数を考えるより、直接a,bの最大公約数を考えるほうがスッキリしますね。（そうするとaとｂの共通の素因数pについて書いたところは不要でした）
No.29265 - 2014/10/08(Wed) 18:27:13
★ (No Subject) / ギャラドス
順列の問題です。

m,nはn≧2m-1を満たす正の整数とし、m個の○とn-m個の×を横一列に並べた順列を考える。そのような順列のうち、○同士が隣接せず、かつ、左からk番目が○であるようなものの個数をa_kとおく。(k=1、2、・・・、n) a_1、a_2、・・・、a_nには高々m種類の異なる値しか含まれないことを示せ。
No.29206 - 2014/10/05(Sun) 18:19:37
★ 整数論 / 釜
よろしくお願いします。

問題、
　　　整数全体の集合をＺとする。Ｚの部分集合Ｍ（ただし、空集合でない)が、[a,b∈Ｍならばa-b∈Ｍ]という性質を持つとき、Ｍは0以外の要素を含み、Ｍに属する最小の自然数をｄとすると、Ｍはｄの倍数全体の集合と一致する（すなわち、Ｍ＝{kd│k∈Ｚ}と表される）を示せ。

　
No.29202 - 2014/10/05(Sun) 17:26:50
☆ Re: 整数論 / deep make
上記の条件だけだとすると, Ｍ={0}の場合があるので,
「Ｍは0以外の要素を含む」は示せませんが,
もし, M≠{0}ならば, dをMに属する最小の自然数とするとき,
Ｍ＝{kd│k∈Ｚ} と書くことはできます.

d∈Ｍより, Ｍ⊃{kd│k∈Ｚ}は自明です.
よって, Ｍ⊂{kd│k∈Ｚ} であることを示します.
Ｍの任意の元 a∈Ｍ に対し, 整数q,rを用いて, a=dq+r (0≦r<d) と書ける.
ここで, r>0 とすると, r=a-dq∈Ｍ, 0<r<d より,
dがＭに属する最小の自然数であることに矛盾します.
故に, r=0 となり, a=dq と書けるので, a∈{kd│k∈Ｚ} を得ます.
ここから, Ｍ⊂{kd│k∈Ｚ} が従います.
No.29204 - 2014/10/05(Sun) 17:52:18
☆ Re: 整数論 / deep make
群論的に言えば, Ｚの部分集合Ｍ(≠φ)に対し,
a,b∈Ｍならばa-b∈Ｍ ⇔ ＭがＺの部分群 を意味します.

このとき, Ｍは環Ｚのイデアルになります. つまりこの問いは,
「整数環Ｚが単項イデアル整域(PID)であることを示せ」という問いになります.

整数環Ｚは, ユークリッド環なので,
上記の証明により, 自然にPIDになります.
No.29205 - 2014/10/05(Sun) 18:05:28
★ ２次不等式の問題です / めぐ
２次不等式の問題です。
何が何だかさっぱりです。
なるべく詳しく書いて頂けると幸いです。
よろしくお願いします。

○で囲んだ数字が解答欄です。

aを定数とする。

x^2-2(a+2)x+25>0

上の不等式は
(x-a-?@)^2-a^2-?Aa+?B
と変形できる。したがって、

上の不等式がすべての実数xに対して成り立つための条件は
?C<a<?D
である。

上の不等式がx≧-1を満たすすべての実数xに対して成り立つための条件は?E<a<?F
である。

以上です。

よろしくお願いします。
No.29201 - 2014/10/05(Sun) 17:23:30
☆ Re: ２次不等式の問題です / deep make
記号の混乱を避けるため2次式をAx^2+Bx+Cと置くとき,
A(x+B/(2A))^2-(B^2-4AC)/(4A) と変形することを平方完成といいます.

故に, f(x)=x^2-2(a+2)x+25 を平方完成すると,
f(x)=(x-(a+2))^2-(a+2)^2+25 となります.
これで, ?@?A?Bは解けるはずです.

>上の不等式がすべての実数xに対して成り立つための条件は
f(x)の最小値が -(a+2)^2+25 なので,
-(a+2)^2+25>0 を解くことで得られます.(これで?C?DもOK)

>上の不等式がx≧-1を満たすすべての実数xに対して成り立つための条件は
平方完成した (x-(a+2))^2-(a+2)^2+25 から,
-1<a+2, -1≧a+2 で場合分けをします.

-1<a+2 のとき,
(x-(a+2))^2-(a+2)^2+25 は x≧-1 において,
最小値 -(a+2)^2+25 (=f(a+2)) をとるので,
-(a+2)^2+25>0 を解くことで, -3<a<3 を得ます.

-1≧a+2 のとき,
(x-(a+2))^2-(a+2)^2+25 は x≧-1 において,
最小値 2a+30 (=f(-1)) をとるので,
2a+30>0 を解くことで, -15<a≦-3 を得ます.

これらをまとめて, ?E?Fを得ます.
No.29207 - 2014/10/05(Sun) 18:39:29
☆ Re: ２次不等式の問題です / めぐ
deep makeさん
返事が遅れてすみません。
ご回答有難う御座います。

ただ、まだなぜこのような式と答えになったのか分かりませんので、
可能であればより詳しいご説明をお願いしたいです。

よろしくお願いします。

めぐ
No.29381 - 2014/10/20(Mon) 05:21:01
★ (No Subject) / ステキ
よろしくお願いします。

２次関数の問題

関数?@……y=-x^2-ax+3

Ｑ１
a>0であって、関数?@の最大値が７であるならば、a=㋐である。このとき、この関数のグラフの軸の方程式はx=㋑であり、また、このグラフとx軸との交点のx座標は㋒±√㋓である。

Ｑ２
関数?@のグラフをx軸方向に2,y軸方向に-3だけ平行移動して得られる曲線が(-3,-5)を通るならば、a=㋔である。

㋐……
㋑……
㋒……
㋓……
㋔……

どうしても解けなくて困っています。
どうか、よろしくお願いします。
No.29197 - 2014/10/05(Sun) 16:10:13
☆ Re: / ヨッシー
y=-x^2-ax+3＝−(x+a/2)^2＋a^4/4＋3
と書けるので、ｙの最大値は a^4/4＋3。これが７であるので、
　a^4/4＋3＝7
　a^2＝16
ａ＞０ より　ａ＝４　・・・(ア)
軸は　ｘ＝-a/2＝−２　・・・(イ)
　ｙ＝(ｘ＋２)^2＋７
であるので、−(ｘ＋２)^2＋７＝０ を解いて、
　ｘ＝−２±√７　・・・(ウ)(エ)

y=-x^2-ax+3 の ｘ、ｙ をｘ−２、ｙ＋３ に換えて
　ｙ＋３＝(ｘ−２)^2−ａ(ｘ−２)＋３
これが(-3,-5) を通るので、
　−５＋３＝(−３−２)^2−ａ(−３−２)＋３
計算して
　−２＝(-5)^2＋5a＋３
　5a＝-30
　ａ＝−６　・・・(オ)
No.29198 - 2014/10/05(Sun) 16:22:26
☆ Re: / ステキ
ヨッシーさん、有難う御座います！！
とても分かりやすいです。
ずっと悩んでいた問題でしたので、解けてほっとしました。
本当に有難う御座います。
No.29200 - 2014/10/05(Sun) 17:14:20
★ 素朴な疑問 / ヨッシー
よその掲示板の件で恐縮ですが、こちらに記載された、
素朴な疑問さんの素朴な疑問に回答します。

まとめれば、次の３点になります。
１．記事が長くなってしまったことはお詫びします。
２．無駄に長い記事が理由で、アク禁にしたことはありません。
３．荒らしにあたるかどうかは断定できません。

以上です。
No.29196 - 2014/10/05(Sun) 14:48:25
★ 面積 / 雛菊
y=cos^6θ　y=sin^6θ(0≦θ≦π/2)によって定義された曲線とx軸およびy軸によって囲まれる図形の面積Sを求めよ。
No.29195 - 2014/10/05(Sun) 14:39:45
☆ Re: 面積 / angel
θの増加に伴い、点(x,y)は、原点に関して反時計周りに動きますから、

　S = ∫[0,π/2] 1/2・( x・dy/dθ - dx/dθ・y )dθ

と計算できますが…。
※反時計周りかどうか判然としないなら、1/2・|x・dx/dθ-dx/dθ・y|と絶対値にすれば良いです。

ここまではO.K.でしょうか?
引っかかっているのは式を立てる所か、そこからの三角関数の積分計算か、どちらでしょうか。
No.29213 - 2014/10/05(Sun) 21:42:09
☆ Re: 面積 / 雛菊
式を立てるところがわからないです。

S = ∫[0,π/2] 1/2・( x・dy/dθ - dx/dθ・y )dθのところです。
No.29235 - 2014/10/06(Mon) 23:10:19
★ 積分 / 空
(1)∫-1→0 (x^3+11)/{(x-1)^2(x+3)}dx

(2)∫1→3 √(x+1)/xdx


これらの積分はどのようにしたらいいのでしょうか。
No.29194 - 2014/10/05(Sun) 14:30:22
☆ Re: 積分 / deep make
(1)部分分数分解をすると,
(x^3+11)/{(x-1)^2(x+3)}=1+3/(x-1)^2-1/(x+3) になります.

(2)t=√(x+1) で変数変換, 部分分数分解すると,
∫√2→2{2+1/(t+1)-1/(t-1)}dt になります.
No.29199 - 2014/10/05(Sun) 16:27:51
★ (No Subject) / 教えてください
kを実数とする。xについての2次方程式x^2+5x+k-2=0…?@に関して

⑴?@が異なるふたつの虚数解をもつkの値

⑵kを⑴をみたす最小の整数とするときの?@の解

⑶kを⑵の値とし、?@の二つの解をα、βとするとき
(1/α＋1)+(1/β＋1)の値をもとめよ。
No.29191 - 2014/10/05(Sun) 12:59:49
☆ Re: / deep make
(1)異なるふたつの虚数解をもつ ⇔ 判別式が D<0.
(2)は(1)が分かれば明らか.
(3)解と係数の関係から, α+β=-5, αβ=k-2 となることを利用します.
No.29192 - 2014/10/05(Sun) 13:42:08
★ (No Subject) / Rpj
n枚のカード１，２，３、・・・、ｎを一列に並べる。このとき一番目のカードは１でなく、二番目のカードは２でなく、以下同様にｎ番目のカードはｎで無いような並べ方を「ｎ枚の乱れた並べ方」とよぶことにする。「ｎ枚の乱れた並べ方」の総数をanとおく。

（１）a2,a3を求めよ（略）
（２）ｎ枚の乱れた並べ方のうち、一番目のカードが2であり、かつ2番目のカードが１である並べ方の総数は？ただしｎ≧４とする。ｂｎ=a(n-2)（略）

（３）ｎ枚の乱れた並べ方のうち1番目のカードが２であり、かつ二番目のカードが１でない並べ方の総数は？cn=a(n-1)
解答）1番目と2番目のカードを入れ替えてみる。このとき2番目には2のカードがあるが、他のn-1枚のカードについて、ｋのカードはｋ番目に無い。すなわちｎ−１枚の乱れた並べ方になっている。よってcn=a(n-1)

(4)anの隣接三項間漸化式をもとめよ
解）1番目のカードがｍ（ｍ＝２，３、・・・、ｎ）であり、かつｍ番目のカードが１である「ｎ枚の乱れた並べ方」はそれぞれｂｎとおり。
一番目のカードがｍであり、かつｍ番目のカードが１でないｎ枚の乱れた並べ方はそれぞれｃｎとおりある。ｍの決め方はｎ−１通りあるので、an=(n-1)(a(n-1)-a(n-2))

(3)(4)の解の解説（解読？）をお願いします。よろしくおねがいします。
No.29188 - 2014/10/05(Sun) 11:21:19
☆ Re: / angel
下でほぼ同じ問題の質問がありましたが…
No.29161からの一連のやりとりですね。
まずは、そちらをご覧になっては。

ところで、お名前が似ていますが同じ方ですか?
No.29203 - 2014/10/05(Sun) 17:27:24
☆ Re: / Rpj
解法が違うのであえて別枠で質問させてもらいました。
その他、下記のやりとりでは完全順列のan=(n-1)(a(n-1)+a(n-2))を前提に解いているのに対して、こちらは誘導に従いながら最後に導けるという点でも趣旨も異なります。

同じです！
No.29209 - 2014/10/05(Sun) 19:40:57
☆ 注意と言うか / angel
jpR/Rpjさんのその行動はお勧めできません。たまに指摘しているのですが、回答者も人間であって、数学回答ロボットではないので、悪い心象を抱くだろうと申し上げます。

以前のモノと全く独立に ( その時の情報を残さずに ) 質問を挙げるということは、その当時の遣り取りを無かったことにする態度と取られかねません。
※回答者に立場になって考えてください。知らずに前回あったものと同じ内容を回答して「その話は既に聞いています」ってことになったら? 無駄足を踏まされたことになりますよね。

以前に回答した人にとっても失礼に当たります。折角答えた内容が捨てられたってことになるからです。
※分かりにくかったから別の角度から改めて回答が欲しいというのは、別に責められることではありません。正直にそう言えば角も立ちません。

名前を途中で替えることも同じことです。
別に、本名なんか分からなくても良いですが、いままで遣り取りした人と同一人物かどうか、そこが分からなくなるのは混乱のもとなのです。
最悪の場合、以前貰った回答が気に入らなかったから、それを捨てて、別人になりすまして改めて回答を最初から貰おうと、そういう態度に見えることになります。…その気がなかったとしても。

「李下に冠を正さず」という言葉もありますので、まあ、注意した方が良いと思います。
※強制はしませんが、回答を貰おうとしている人が、回答者に悪い心象を抱かせかねない行動をとる、というのはどうかと。
No.29210 - 2014/10/05(Sun) 20:22:21
☆ (3) / angel
閑話休題

先に断わっておきますが、理解するためには、自分自身で具体例を幾つも書き上げてそこから規則性を見つける、そういう作業が必要です。
もし納得できないなら、n=2,3,…と実際にカードの並べ方を書き出して照らし合わせてください。

(3)
その解説の説明をいかに消化するか、です。
が、1,2,3,…という数字に拘っていると、理解への妨げになるかも知れません。

そこで、カードをa,b,c,…、置く場所をA,B,C,…、で、置く場所とカードで、同じ ( 小文字/大文字が違うだけ ) にならない並べ方を考えましょう。
a〜c/A〜C なら並べ方はa[3]、a〜d/A〜Dなら並べ方はa[4]と、今回の問題と同じ「乱れた並べ方」ですね。

では、1枚目が2、2枚目が1以外、という置き方をこう読み替えてみましょう。

　2枚目の場所=A、3枚目の場所=B、4枚目の場所=C、…
　カード1=a、カード3=b、カード4=c、…

元々、3枚目以降に同じ数字を置いてはいけませんから、Bにb、Cにc、…はN.G.です。
加えて、2枚目に1を置かないということは、AにaもN.G.
つまり、これも「(アルファベットで考えた)乱れた並び方」でその枚数はn-1であるため、並べ方がa[n-1]通りということになります。
No.29211 - 2014/10/05(Sun) 20:57:02
☆ (4) / angel
(4)
> an=(n-1)(a(n-1)-a(n-2))

これ、
　a[n] = (n-1)( a[n-1] + a[n-2] )
の間違いでは?

この式で考えてはどうでしょうか?
No.29212 - 2014/10/05(Sun) 21:00:14
★ グラフの問題 / はるか
毎度すみません。

問題は添付ファイルの通りです。
(c)の問は
When does the line vanish? Explain.
です。

(a)は客のserve率が12pmに100%に達するので12pmから行列が出来始めます。

(b)は下左図の上部の小三角形がoverflowした客らですから,1/2・4・40=80人となります。

(c)は下右図の脇の小三角形(面積80)が行列客をserveできる余裕分ですから,80人の行列客がいないなるのは7pmである。

これで正しいでしょうか?
No.29178 - 2014/10/05(Sun) 04:12:58
★ dimensionを求めよ / はるか
毎度すみません。

添付ファイルのように解いたのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.29177 - 2014/10/05(Sun) 03:38:04
☆ Re: dimensionを求めよ / X
方針に問題はありません。
但し、この方針で解くのであれば、
0＜t＜1
であることが分かるように増減表の
左端、右端にt=0,1の場合を付け加える
必要があります。

もう一点。私でしたらこの問題を解く場合は
微分を使わず、三角関数の合成により
18(sinθ+2cosθ)=18√5sin(θ+α) (A)
(但しαはtanα=2,0＜α＜π/2なる角)
と変形してから
0＜θ＜π/2
の範囲で(A)の最大値を求める方針を採ります。
(英訳がややこしくなるので敢えてこの方針
を取らなかったのでしょうか？)
No.29185 - 2014/10/05(Sun) 09:40:56
★ 増加関数 / はるか
こんにちは。

添付ファイルのように解いたのですがこれで大丈夫でしょうか?
No.29176 - 2014/10/05(Sun) 03:35:07
☆ Re: 増加関数 / angel
大丈夫かと思います。
No.29190 - 2014/10/05(Sun) 12:03:41
★ 微分方程式 / はるか
問題は添付の通りです。

与式:y"+by'+cy=0…[1]から
y=3sin(2x)y'=6cos(2x)より,y"=-12sin(2x)+6bcos(2x)+3csin(2x)=0でb=0,c=4を得る。
よって, y"-4y'=0…[2].

(a)に関しては,y=sin(-2x)からy'=-2cos(-2x)とy"=-4sin(-2x)を得る.。
これらを[2]に代入して, -4sin(-2x)+8cos(-2x)=8sinxcosx+8cos2x-8sin2x≠0.
故に,y=sin(-2x)は[1]の解ではない。　　∴ FALSE.

(b)に関しては, y=cos(-2x)からy'=2sin(-2x)とy"=-4cos(-2x)を得る。
これらを[2]に代入すると【2】, -4cos(-2x)-8sin(-2x)
=-4(cos2(-x)-sin2(-x))-8(sin(-x)cos(-x)+cos(-x)sin(-x))=-4cos2x+4sin2x+16sinxcosx≠0.
故にy=cos(-2x)は[1]の解ではない。 ∴ FALSE.

(c)に関しては, y=2cos(2x)+Cからy'=-4cos(2x)とy"=8sin(2x)を得る。
これらを[2]に代入して,8sin(2x)+16cos(2x)=8sinxcosx+16cos2x-16sin2x≠0.
従って,y=cos(-2x)は[1]の解ではない ∴ FALSE.

(d)に関しては, これは2階同次線形微分方程式なのでλ^2-4λ=0を解いて, λ=0,4.
よって,y=C_1e^{0x}+C_2e^{4x}=C_2e^{4x}≠C_1e^{0x}cos(2x)+C_2e^{4x}sin(2x)なので
これは[1]の解ではない。 ∴ FALSE.

で正しいでしょうか?

ところで
(e)がよく見えないのですが>0の左辺は何だと思われますでしょうか?
No.29175 - 2014/10/05(Sun) 03:31:03
☆ Re: 微分方程式 / angel
残念ながら、
> y"=-12sin(2x)+6bcos(2x)+3csin(2x)=0でb=0,c=4を得る。
の次の、
> よって, y"-4y'=0…[2].
で間違えてますから、計算のやり直しですね。

まあ、計算しなくても y"+α^2・y=0 の解が y=Asin(αx)+Bcos(αx) であることを知っていれば、答えは自明で、
(a),(b),(e)がTRUEとなる訳ですが。
※sin(-2x)=-sin(2x), cos(-2x)=cos(2x) であることに注意

知らなくても、(a),(c),(d) の答えは trivial ですね。
おっと。(b)もそうですね。( 後から追加 )

ああ、言い忘れていました。恐らく(e) は“c＞0”でしょう。
No.29189 - 2014/10/05(Sun) 11:33:11
☆ 補足 / angel
何でtrivialか言っていなかったので補足します。

(a)
　y=3sin(2x) が解と言うことは、係数を取り去った y=sin(2x) が解と言うことです。
　であれば、y=sin(-2x)=-sin(2x) も ( 既知の解の定数倍なので ) 解となります。

(b)
　y1(x)=sin(2x), y2(x)=cos(-2x)=cos(2x) とすると、
　y2(x)=y1(x-π/4) と、x方向のズレを除けば同一の関数です。
　なので、y2"(x)=y1"(x-π/4), y2'(x)=y1'(x-π/4) と、導関数も同じようなことになり、y=y2(x) つまり y=cos(-2x) もやはり微分方程式の解になります。

(c)
　y2=y1+C とすると、y2"=y1", y2'=y1'
　　y1"+by1'+cy1=0
　　y2"+by2'+cy2=0
　この2式を見比べれば、C=0 しかありえません。

(d)
　問題にある the form に、実際の解 y=3sin(2x) が既にマッチしていません
No.29208 - 2014/10/05(Sun) 19:02:49
★ 図形 / まなふぃー
?@の答えが9で、?Aの答えが15までは、分かりましたが➂が分からないので、教えてください。中2です。
No.29170 - 2014/10/04(Sat) 22:13:46
☆ Re: 図形 / IT
△ＡＤＥと△ＡＢＣは相似です。
相似比＝周の比

ＡＤ＝ＡＢ×相似比
ＤＩ＝ＡＤ+ＤＩ−ＡＤです。
No.29171 - 2014/10/04(Sat) 22:32:04
★ 一次関数について / まなふぃー
下記について、解き方を教えてください。中2です。
四角形ＡＢＣＤの面積が20であることと、原点をとおり四角形ＡＢＣＤの面積を２等分する直線の式が、Ｙ＝3／4ｘであることは、分かりました。

☆座標平面上に、4点Ａ（2、5）、Ｂ（1、1）、Ｃ（6、1）、Ｄ（7、5）がある。傾きが1／2で、四角形ＡＢＣＤの面積を2等分する直線の式を求めよ。
No.29169 - 2014/10/04(Sat) 22:06:48
☆ Re: 一次関数について / らすかる
平行四辺形の対角線の交点を通る直線が
平行四辺形を合同な二つの四角形に分けますので、
(4,3)を通る直線が答えになります。
「面積が20」や「原点を通り・・・」は使いません。
No.29172 - 2014/10/04(Sat) 22:36:26
★ (No Subject) / まなふぃー
下記の２題について教えてください。中2です。
No.29168 - 2014/10/04(Sat) 21:50:40
★ べくとる / ふぇるまー
ﾍﾞｸﾄﾙの問題です。貼付写真の2題を教えて下さい。
No.29164 - 2014/10/04(Sat) 17:01:35
☆ Re: べくとる / ヨッシー
１６８
基本はこちらの下３つです。
(1)
ＯＣ＝２ＯＡ、ＯＤ＝２ＯＢ となる点Ｃ，Ｄに対して
直線ＣＤ上の点
(2)
ＯＣ＝３ＯＡ、ＯＤ＝２ＯＢ となる点Ｃ，Ｄに対して
線分ＣＤ上の点（端点も含む）
(3)
ＯＣ＝(3/2)ＯＢ となる点Ｃを取ると、
△ＯＡＣの内部および周上の点

１６９
Ａ(0,0)、Ｂ(t,0) としても一般性を失いません。
Ｐ(x,y) とすると、
３ＡＰ＋２ＢＰ＝(5x-2t,5y)
|３ＡＰ＋２ＢＰ|^2＝(5x-2t)^2＋25y^2＝25
両辺25で割って
　(x-2t/5)^2＋y^2＝1
よって、ＰはＡＢを２：３に内分する点中心、半径1の円上にあります。
逆にこの円上の任意の点Ｐは、|３ＡＰ＋２ＢＰ|＝５ を満たします。
No.29167 - 2014/10/04(Sat) 19:54:51
★ (No Subject) / ｊｐR
n枚のカード１，２，３、・・を一列に並べる。
このときの完全順列の総数をa(n)とおく。

（１）ｎ枚の完全順列のうち一番目のカードが２であり、かつ二番目のカードが１である並べ方の総数をb(n)とする。b(n)をan,a(n-1),a(n-2),nのうち必要な物を用いて表せ。ただしｎ≧４とする。
（２）ｎ枚の完全順列のうち1番目のカードが２であり、かつ2番目のカードが１でない並べ方の総数をc(n)とする。c(n)をan,a(n-1),a(n-2),nのうち必要な物を用いて表せ。ただしｎ≧４とする。
（３）a4,a5,a6を求めよ

（２）がわかりません・・・よろしくおねがいします
No.29161 - 2014/10/04(Sat) 15:41:50
☆ Re: / らすかる
(2)＝(1番目のカードが2である並べ方)−(1)
と考えればわかるのではないでしょうか。
No.29163 - 2014/10/04(Sat) 16:49:55
☆ Re: / ｊｐR
回答ありがとうございます。

うーん、その式がなぜ成り立つのか正直全く分かりません。
No.29179 - 2014/10/05(Sun) 07:30:14
☆ Re: / らすかる
「1番目のカードが2である」並べ方はすべて、
「2番目のカードは1である」か、または「2番目のカードは1でない」の
どちらかであることはわかりますか？
それがわかれば、
「1番目のカードが2である」かつ「2番目のカードは1である」並べ方が(1)
「1番目のカードが2である」かつ「2番目のカードは1でない」並べ方が(2)
ですから、(1)と(2)を合わせたものが
「1番目のカードが2である」並べ方の全体になります。
No.29180 - 2014/10/05(Sun) 08:00:56
☆ Re: / ｊｐR
「1番目のカードが2である」並べ方はすべて、
「2番目のカードは1である」か、または「2番目のカードは1でない」の
どちらかであることはわかりますか？
＞分かりません。。
「1番目のカードが2である」並べ方＝「2番目のカードは1である」ではないのですか？
No.29181 - 2014/10/05(Sun) 08:39:54
☆ Re: / らすかる
なぜ1番目のカードが2のときに必ず2番目のカードが1になると思うのかわかりませんが、
例えばn=4のときに1番目のカードが2である並べ方は
2143
2341
2413
の3通りがあり、このうち
2番目のカードが1である並べ方は2143だけです。
よって
「1番目のカードが2であり、かつ2番目のカードが1である並べ方」→2143のみの1通り
「1番目のカードが2であり、かつ2番目のカードが1でない並べ方」→2341,2413の2通り
となります。
この例を踏まえた上で再度聞きますが、
「1番目のカードが2である」並べ方はすべて、
「2番目のカードは1である」か、または「2番目のカードは1でない」の
どちらかであることはわかりましたか？

# あと、「＞」の使い方が間違っています。
# 「＞」は引用する文の先頭に付ける記号ですから
# 上の内容であれば前3行に付けるものです。
# 参考のため他のスレッドをご覧下さい。
No.29182 - 2014/10/05(Sun) 09:02:21
☆ Re: / ｊｐR
ありがとうございます。

「1番目のカードが2である」並べ方はすべて、
「2番目のカードは1である」か、または「2番目のカードは1でない」の
どちらかであることはわかりました。
No.29183 - 2014/10/05(Sun) 09:11:17
☆ Re: / ｊｐR
「1番目のカードが2である」かつ「2番目のカードは1である」並べ方が(1)
「1番目のカードが2である」かつ「2番目のカードは1でない」並べ方が(2)
ですから、(1)と(2)を合わせたものが
「1番目のカードが2である」並べ方の全体になる

(2)＝(1番目のカードが2である並べ方)−(1)

を考慮してもまだ分かりません。
(1)(2)の答えはそれぞれa(n-2),a(n-1)です
No.29184 - 2014/10/05(Sun) 09:18:07
☆ Re: / らすかる
1番目のカードが2である並べ方
1番目のカードが3である並べ方
1番目のカードが4である並べ方
・・・
1番目のカードがnである並べ方
のn-1個はすべて同数ですから、
1番目のカードが2である並べ方は
a[n]/(n-1)通りです。
よって
(2)=a[n]/(n-1)-a[n-2]
=a[n-1]
となります。
No.29186 - 2014/10/05(Sun) 10:30:53
☆ Re: / ｊｐR
a[n]/(n-1)-a[n-2]をどう変形したら
a[n-1]になるのでしょうか？
No.29187 - 2014/10/05(Sun) 11:08:42
☆ Re: / らすかる
a[n]=(n-1)(a[n-1]+a[n-2]) から
a[n]/(n-1)=a[n-1]+a[n-2] ですから
a[n]/(n-1)-a[n-2]=a[n-1] となります。
完全順列の漸化式が a[n]=(n-1)(a[n-1]+a[n-2]) と書けることについては
多くのサイトに説明があると思いますが、例えば↓こちらをご覧ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E9%A0%86%E5%88%97
No.29193 - 2014/10/05(Sun) 14:28:45
★ 微分、積分 / MONO
放物線y=x^2-10xをCとする。
aを-6<a<0をみたす実数とし、a≦x≦a+6の範囲において、Cと直線x=aとx軸で囲まれた部分の面積をS1、Cと直線x=a+6とx軸で囲まれた部分の面積をS2とすると
S1=◻︎
S2=◻︎
であるから、これらの面積の和は
S=◻︎
となる。したがってSは
a=◻︎のとき最小値◻︎をとる。
No.29158 - 2014/10/04(Sat) 10:42:42
☆ Re: 微分、積分 / X
条件を満たすように
y=x^2+10x
x=a
x=a+6
のグラフを描くことにより
S[1]=∫[a→0](x^2-10x)dx=…
S[2]=∫[0→a+6]{-(x^2-10x)}dx=…
∴S=S[1]+S[2]=… (A)
(A)をaで微分して、
-6＜a＜0
の範囲でSについての増減表を書くことにより
Sの最小値は…
No.29159 - 2014/10/04(Sat) 12:18:36
☆ Re: 微分、積分 / MONO
> 条件を満たすように
> y-x^2+10x
> x=a
> x=a+6
> のグラフを描くことにより
> S[1]=∫[a→0](x^2-10x)dx=…
> S[2]=∫[0→a+6]{-(x^2-10x)}dx=…
> ∴S=S[1]+S[2]=… (A)
> (A)をaで微分して、
> 0＜a＜6
> の範囲でSについての増減表を書くことにより
> Sの最小値は…


x=aとx=a+6のグラフはどうやってかくのでしょうか？
No.29160 - 2014/10/04(Sat) 12:33:27
☆ Re: 微分、積分 / X
ごめんなさい。No.29159に誤りがありましたので
修正しました。再度ご覧下さい。

それでご質問の回答ですが
-6＜a＜0
0＜a+6＜6
に注意してy軸平行の直線
x=a
x=a+6
を描きます。
No.29173 - 2014/10/04(Sat) 23:05:45
☆ Re: 微分、積分 / MONO
なるほど！！
ありがとうございます（；＿；）
No.29174 - 2014/10/05(Sun) 00:42:51
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