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★ 整数問題 / rwm
nをn≧2の整数とする。
⑴logn(n+1)が無理数であることを証明せよ。
⑵logn(n+2)が有理数となるようなnをすべて求めよ。
お願いします。
No.29487 - 2014/11/01(Sat) 18:53:41
☆ Re: 整数問題 / らすかる
自然対数に見えますが
（つまり(1)はlog[e]{n(n+1)}、(2)はlog[e]{n(n+2)}と思える）
もしそうだとすると(1)は自明、(2)は解なしになってしまいますので、
もしかしたら(1)はlog[n](n+1)、(2)はlog[n](n+2)ですか？
（そうならば底がnとわかるようにしないと誤解を招きます。）
No.29488 - 2014/11/01(Sat) 18:59:19
☆ Re: 整数問題 / rwm
底がnでした。お手数おかけしました。
No.29491 - 2014/11/01(Sat) 22:15:15
☆ Re: 整数問題 / らすかる
(1)
もし有理数だったとして
log[n](n+1)=p/q（p,qは整数）とおくと
n^(p/q)=n+1
n^p=(n+1)^q
n≧2なのでnとn+1は互いに素、よって矛盾。

(2)
log[n](n+2)=p/q（p,qは整数）とおくと
n^(p/q)=n+2
n^p=(n+2)^q
nが奇数の時n≧3であり、nとn+2は互いに素なので解なし
nが4以上の偶数のときn/2と(n+2)/2は2以上の整数で互いに素なので解なし
nが2のときlog[n](n+2)=2で条件を満たす。
∴n=2
No.29493 - 2014/11/01(Sat) 23:17:50
☆ Re: 整数問題 / rwm
ありがとうございました。参考にします。
No.29495 - 2014/11/02(Sun) 05:29:59
★ 最小値の複数の求め方 / アカシロトモ
Q ｘ＞0のとき、x+1/x^2 の最小値をもとめよ。
「できれば複数の解法をつけよ」

A　微分法で出したら、2^(1/3)+1/(2^(2/3))
2の３乗根+2の３分の２乗根分の1　という意味です、
となりましたが自信ありません。
相加相乗平均とかでできるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
No.29485 - 2014/11/01(Sat) 13:18:00
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / らすかる
とりあえず、答えは合っています。
ただし、もう少しまとめた方が良いと思います。
2^(1/3)+1/(2^(2/3))=(2^(1/3)・2^(2/3)+1)/(2^(2/3))
=(2+1)/(2^(2/3))
=3/(2^(2/3))
(=3・2^(-2/3))
No.29490 - 2014/11/01(Sat) 20:30:44
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / アカシロトモ
らすかる　　さん

　解説ありがとうございます。今、塾での模擬試験と解説授業を受けて帰ってきたところです。お礼が遅れて申し訳ありまえんでした。

　
No.29492 - 2014/11/01(Sat) 22:52:40
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / Halt0
＞相加相乗平均とかでできるのでしょうか？
a,b,c > 0 に対し相加相乗平均の不等式 (a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3) が成り立つことを利用すれば

x + 1/x^2
= x/2 + x/2 + 1/x^2
≧ 3(x/2 ⋅ x/2 ⋅ 1/x^2)^(1/3)
= 3 ⋅ (1/4)^(1/3)

等号は x = 2^(1/3) で成立する.
No.29494 - 2014/11/02(Sun) 03:38:28
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / T
1 + x^3 = K x^2, 3 x^2 = 2 K x
を解いて　不要なのを捨て　x = 2^(1/3), K = 3/2^(2/3)
No.29496 - 2014/11/02(Sun) 08:59:59
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / アカシロトモ
Halt0　さん

昨日遅くて先ほど起きました。お礼が遅くなり申し訳ありません。相加・相乗平均の関係はこのように利用するのですね。自分の理解の浅さに猛省です。
本当にありがとうございました。
No.29497 - 2014/11/02(Sun) 09:35:57
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / アカシロトモ
T　さん

ご回答ありがとうございました。昨夜遅くてお礼が遅れて申し訳ありません。教えていただいた式の意味を今から勉強いたします。本当にありがとうございました。
No.29498 - 2014/11/02(Sun) 09:41:35
★ (No Subject) / ぶんぶん
座標平面に、原点を中心とした半径が1の円があり、その円周上に3点A(1,0),B(-1/2,√3/2),C(-1/2,-√3/2)をとる。
円周上の弧BC(点Aを含まないほうの弧BC)を考え、弧BC上を点Bから点Cまで動く点をPとする。
∠PAD＝θとし、点Pと3点A,B,Cを結ぶ3つの線分のながさをそれぞれPA,PB,PCとするとき
(1)PA,PB,PCをθを用いて表せ。
(2)PA+PB+PCの最大値とその時のθの値を求めよ。
(3)PA^2+PB^2+PC^2の値を求めよ。


長いですが、すみません、お願いします
No.29483 - 2014/11/01(Sat) 11:35:52
☆ Re: / ぶんぶん
3行目は∠PACの間違いです
No.29484 - 2014/11/01(Sat) 11:36:43
☆ Re: / ぶんぶん
∠PABの間違いでした!
すみません…
No.29486 - 2014/11/01(Sat) 18:17:00
☆ Re: / ヨッシー
∠ＰＡＣ＝θ として解き始めてましたので、そのままやっています。
適当に読み替えてください。

Ｏ(0,0)、Ｄ(-1,0) とします。
∠ＰＯＣ＝2θ、∠ＤＯＣ＝π/3 より
∠ＤＯＰ＝2θ−π/3　：Ｐが弧ＤＢ上のとき
∠ＤＯＰ＝π/3−2θ　：Ｐが弧ＤＣ上のとき
であり、Ｐの座標は
　(−cos(2θ−π/3), sin(2θ−π/3))
と書けます。
　ＰＡ^2＝(1＋cos(2θ−π/3))^2＋sin^2(2θ−π/3)
　　　＝２＋２cos(2θ−π/3)
　　　＝２＋cos2θ＋√3sin2θ
　ＰＢ^2＝(1/2−cos(2θ−π/3))^2＋(√3/2−sin(2θ−π/3))^2
　　　＝２−cos(2θ−π/3)−√3sin(2θ−π/3)
　　　＝２−２sin(2θ−π/6)
　　　＝２＋cos2θ−√3sin2θ
　ＰＣ^2＝(1/2−cos(2θ−π/3))^2＋(√3/2＋sin(2θ−π/3))^2
　　　＝２−cos(2θ−π/3)＋√3sin(2θ−π/3)
　　　＝２−２sin(2θ＋π/2)
　　　＝２−２cos2θ

(1)
　ＰＡ＝√(２＋cos2θ＋√3sin2θ)
　ＰＢ＝√(２＋cos2θ−√3sin2θ)
　ＰＣ＝√(２−２cos2θ)
(2)
　ｆ(θ)＝√(２＋cos2θ＋√3sin2θ)＋√(２＋cos2θ−√3sin2θ)＋√(２−２cos2θ)
とおきます。
　ｆ’(θ）＝(-sin2θ＋√3cos2θ)/√(２＋cos2θ＋√3sin2θ)
　　　　　　−(sin2θ＋√3cos2θ)/√(２＋cos2θ−√3sin2θ)
　　　　　　＋2cosθ
　　　　　＝2cos(θ＋π/3)−2sin(θ＋π/6)＋2cosθ
　　　　　＝2√3cos(θ＋π/6)−2sin(θ＋π/6)
　　　　　＝4sin(θ＋5π/6)
　f'(π/6)＝０
であり、0≦θ＜π/6 で f'(θ)＞０，π/6＜θ≦π/3 でf'(θ)＜０ となるため、
θ＝π/6 でf(θ) は極大かつ最大となり、その時の値は
　f(π/6)＝４
(3)
　ＰＡ^2＋ＰＢ^2＋ＰＣ^2
　　＝(２＋cos2θ＋√3sin2θ)＋(２＋cos2θ−√3sin2θ)＋(２−２cos2θ)
　　＝６
No.29502 - 2014/11/02(Sun) 18:50:14
☆ Re: / ヨッシー
あ、あちらにもっと良い方法が載ってますね。
No.29503 - 2014/11/02(Sun) 18:52:25
★ 等比数列の和の問題です / パスカル
初項5、公比rの等比数列の第2項から第4項までの和が-30であるとき、実数rの値を求めよという問題です。


r＝1ではない時、r＝-2になる、までの計算はできたのですが、r＝0の時の計算方法とその解説の意味がよくわかれません。

第2項から第4項までの和は3・5＝となり不適

とだけ書いてあるのですが、これの意味も、また何をして3・5となったのかもよくわかりません!教えて下さい!
No.29481 - 2014/10/31(Fri) 15:13:33
☆ Re: 等比数列の和の問題です / ヨッシー
3・5＝
のように、等号があって、右辺に何も書いていないというのはあり得ません。
正しくは何と書いてありますか？

そもそも、ｒ＝０ なら、この数列は
　５，０，０，０・・・
になるので、第２項から第４項までの和が−３０ということはあり得ません。

さらに、そもそも、この数列は
　５，５ｒ，５ｒ^2，５ｒ^3
なので、
　５ｒ^3＋５ｒ^2＋５ｒ＝−３０
　ｒ^3＋ｒ^2＋ｒ＋６＝０
　(ｒ＋２)(ｒ^2−ｒ＋３)＝０
より ｒ＝−２ とすれば、ｒ＝１もｒ＝０も、考える必要はないと思いますが。
　
No.29482 - 2014/10/31(Fri) 15:26:04
★ 回転体の体積 / ＡＺ
数学質問 曲線C:y=1/x(x>0)と直線l:y=-x＋5/2について次の問いに答えよ (１)C上の点P(p,1/p)からlに下ろした垂線がlと交わる点をQとする。線分PQの長さを求めよ (２)Cとlによって囲まれた図形をlの周りに一回転して得られる回転体の体積を求めよ

答えを宜しくお願いしますm(_ _)m
No.29472 - 2014/10/30(Thu) 22:52:57
☆ Re: 回転体の体積 / ヨッシー
(1)
点Ｐを通り、ｌに垂直な直線の式は
　ｙ＝ｘ−ｐ＋1/p
これと、ｌとの交点は Ｑ(p/2-1/2p+5/4, -p/2+1/2p+5/4)
この点Ｑと点Ｐとの距離は
　(√2)(p/2＋1/2p-5/4)

(2)
Ｃとｌの交点は (1/2,2) と (2,1/2) であるので、この区間で、
　πＰＱ^2×√2dx
を積分します
　Ｖ＝2√2π∫[1/2〜2](x/2＋1/2x-5/4)^2dx
　　＝2√2π∫[1/2〜2](x^2/4−5x/4＋33/16−5/4x＋1/2x^2)dx
　　＝2√2π[x^3/12−5x^2/8＋33x/16−(5/4)log(x)−1/2x][1/2〜2]
　　＝2√2π(69/32−log(4√2))
No.29479 - 2014/10/30(Thu) 23:37:56
★ 相似 / ふぃ
度々申し訳ありません。連投失礼致します。こちらもお願い致します。
中３・ふぃ

底面が半径の等しい円で高さが２４ｃｍの円錐と円柱の容器がある。この円錐の容器の深さの１/２まで入っている水を、円柱の容器に入れると深さは何ｃ㎥になりますか？
No.29470 - 2014/10/30(Thu) 22:44:05
☆ Re: 相似 / ヨッシー
円柱の容器にくらべて、円錐の容器の体積は何倍ですか？
その円錐の容器にくらべて、入っている水の体積は何倍ですか？
No.29476 - 2014/10/30(Thu) 23:03:51
★ 相似 / ふぃ
連投失礼致します。この問題についても詳しく解説頂けると有り難いです。
中３・ふぃ


図は底面が∠Ａ＝９０°、ＡＢ＝ＡＣ＝６ｃｍの直角二等辺三角形で高さが６ｃｍの三角柱である。ＡＰ＝ＡＱ＝２ｃｍになるように辺ＡＢ、ＡＣ上にそれぞれ点Ｐ、Ｑをとり４点Ｐ、Ｅ、Ｆ、Ｑを通る平面でこの三角柱を切る。２つに分けられる立体のうち体積の小さい方の立体の体積を求めなさい。
No.29467 - 2014/10/30(Thu) 22:39:07
☆ Re: 相似 / ヨッシー
どちらが大きいかは分かりませんので、とりあえず、点Ａを
含む方の体積を求めてみます。

図のような三角錐Ｒ−ＤＥＦの体積を求め、三角錐Ｒ−ＡＰＱの体積を引きます。
No.29474 - 2014/10/30(Thu) 22:59:59
★ 相似 / ふぃ
この問題について、詳しく解説お願い致します。長さの比で出すのかな、と何となく予想はつけてみましたがやはりよくわからないです。

図のような円錐形の容器に１５cmの深さまで水が入っている。これに水を加えて水の深さを１８cmにするには何ｃ㎥の水を加えたらよいですか？

中３ふぃ
No.29465 - 2014/10/30(Thu) 22:33:46
☆ Re: 相似 / IT
今入っている水は何ｃ㎥か分かりますか？
No.29466 - 2014/10/30(Thu) 22:37:36
☆ Re: 相似 / ふぃ
申し訳ございませんがその部分で悩んでいて、わからないです。
No.29469 - 2014/10/30(Thu) 22:41:03
☆ Re: 相似 / ヨッシー
容器は半径30cm、高さ45cmの円錐ですが、水の部分は
高さ15cm ですが、半径は何cmでしょうか？

円錐の体積は
　半径×半径×円周率×高さ÷３
はご存知ですよね？
No.29471 - 2014/10/30(Thu) 22:47:08
☆ Re: 相似 / ふぃ
半径は３０ｃｍだと思います。
半径３０ｃｍ円錐の体積を先に出してしまうのですか？
No.29473 - 2014/10/30(Thu) 22:53:18
☆ Re: 相似 / ヨッシー
聞いているのは、水の部分の半径です。
No.29475 - 2014/10/30(Thu) 23:02:09
☆ Re: 相似 / ふぃ
１５：４５＝１：３より１０ｃｍでしょうか？
No.29477 - 2014/10/30(Thu) 23:30:12
☆ Re: 相似 / ヨッシー
そうですね。すると、今入っている水の体積は？
No.29478 - 2014/10/30(Thu) 23:31:03
★ (No Subject) / 整数
2xy-2x+y-5=0の方程式の整数解を全て求めよ。




この問題がわかりません泣
No.29462 - 2014/10/30(Thu) 19:25:16
☆ Re: / ヨッシー
(2x+1)(y-1)=2xy-2x+y-1 より
　2xy-2x+y-5=(2x+1)(y-1)-4=0
　(2x+1)(y-1)=4
2x+1, y-1 はともに整数、しかも 2x+1 は奇数なので、
2x+1＝±1, y-1＝±4　(複号同順)
これらからx､yを求めます。
No.29463 - 2014/10/30(Thu) 20:42:21
★ 数列と極限 / 牧野
数列1/1,1/2,2/2,1/3,2/3,3/3,‥の初項から第n項までの内で 値が1/3に等しい項の個数をanとするときlimn∞→an/√nを求めよ

という問題で、自分でan/3an〈第n項〈an＋1／3(an＋1)という不等式を考え、an/3anについて第3an群にあるのでΣを使って第何項目かを表せると思ったのですが、そのあとが続かないのでヒントを貰えると嬉しいです。
宜しくお願いします
No.29460 - 2014/10/30(Thu) 06:18:33
☆ Re: 数列と極限 / ヨッシー
an/3an が何項目かを調べたら、
　an/3anの項番≦ｎ＜a[n+1]/3a[n+1]の項番
という式になります。いずれも正なので、√を付けて
　√(an/3anの項番)≦√ｎ＜√(a[n+1]/3a[n+1]の項番)
an をこれらで割って、
　an/√(a[n+1]/3a[n+1]の項番)＜an/√n≦an/√(an/3anの項番)
あとは、はさみうちでＯＫです。

答えは 1/3 になるはず。
No.29461 - 2014/10/30(Thu) 09:50:57
★ (No Subject) / すずき
添付し問題について。
A(cosat,sinat)とおけるようなのですが、なぜ角度をatとおけるのかがわかりません。
弧から考えてベクトル…等色々考えてみましたが、そもそも速度aと指定されてるので、この速度をどのように角度へ利用するのかがわかりません。どうか、教えてください…
No.29454 - 2014/10/28(Tue) 13:49:08
☆ Re: / らすかる
角度aとは半径1の円周上の弧の長さaの中心角のことですから
「1秒間に円周上をa進む」＝「1秒間に角度a進む」
ということです。
No.29456 - 2014/10/28(Tue) 14:32:15
★ 「剰余の定理」の問題について / ｊｔ７７８７７
「剰余の定理」の問題についてどうしてもわからない問題が
ありました。わからないので答えを見たのですがそれでも
わかりませんでした。助けてください。教えてください＞＜
よろしくお願いします。


３次式f（X)＝2X^3+BX^2+CX+3をX−1で割れば2余る。
このとき商をX-2で割れば3余る。f（X)を定めよ。
という問題です。



一応答えも書きます。ただ？途中の段階でどうしても理解
できない、わからないところがあります。そこも書きたい
と思いますので教えてくれませんでしょうか？


答え
f（X)＝2X^3+BX^2+CX+3＝(X−1)g(X)+2とおくと
g(X)＝(X-2)（2x+p）+3で表せ上式に代入すると

f（X)＝2X^3+BX^2+CX+3＝(X−1)(X-2)（2x+p）+3X-1

Xの同次係数を比較してB=-4,C=1,P=2となるので答えは

答え→2X^3-4X^2+X+3となります。

自分がどうしてもわからなかったのは
(X−1)g(X)+2とおくと
g(X)＝(X-2)（2x+p）+3で表せ上式に代入しても
右の式→f（X)＝2X^3+BX^2+CX+3＝(X−1)(X-2)（2x+p）+3X-1
にならないのです。計算間違いかかん違いかもしれませんが
いずれにせよわかりませんでした。答えを見てもですよ。
それでここの掲示板の人に教えてもらいたいのですが
どうかよろしくお願い申し上げます。
大至急よろしくお願いします。
No.29452 - 2014/10/28(Tue) 11:33:44
☆ Re: 「剰余の定理」の問題について / ヨッシー
f(X)＝(X−1)g(X)+2 に g(X)＝(X-2)(2X+p)+3 を代入して
f(X)＝(X−1){(X-2)(2X+p)+3}+2
　　＝(X−1)(X-2)(2X+p)＋3(X-1)+2
　　＝(X−1)(X-2)(2X+p)＋3X-1
となります。
No.29453 - 2014/10/28(Tue) 11:45:36
☆ Re: 「剰余の定理」の問題について / ｊｔ７７８７７
ヨッシー様へ
助かりました。どうもありがとうございました。
No.29455 - 2014/10/28(Tue) 14:04:22
★ (No Subject) / かな
青い下線部台形の面積どのように計算されたのかわかりません。

お願いします
No.29447 - 2014/10/27(Mon) 21:41:52
☆ Re: / IT
ほぼ中央やや右側にある上から２つめの図に従って　２つの台形の面積を求めています。

この図から各台形の面積計算に必要な各長さが分かります。
（注）ｘ軸方向が台形の高さの方向になります。

台形の面積の公式は分かりますよね？
No.29448 - 2014/10/27(Mon) 21:53:29
★ ベクトルの問題ですw / パスカル
2平面a:3x-2y＋6z-6＝0、β:3x＋4y-3z＋12＝0、の交戦をLとする。
?@交戦Lの方程式をx-x/o＝y-y/p＝z-z/qの形で表せ

↑↑↑

この問題は解けて、正解がx/-2＝(y＋3)/3＝z/2です

わからないのが次の問題で

交戦Lを含み、点P(1、-9、2)を通る平面Nの方程式を求めよってやつです。

これで、解説に最初交戦L上に二点、A、Bがありって部分からはじまります。それでAが(0、-3、0)で、Bが(-2、0、2)

という数値が出ているのですが、この２つの数値はどうやって出たのでしょうか..........ｎ(*´ω｀*)?
No.29439 - 2014/10/27(Mon) 14:14:31
☆ Re: ベクトルの問題ですw / ヨッシー
x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2 を満たす x, y, z ならなんでも良いのです。
いきなり、x=43 にしてみようなんて人はあまりいないと思いますが、
別に、x=43, y=-135/2, z=-43 でもいいのです。
この場合は、x=0 にしてみよう、y=0 にしてみようの２通りから求めた点が
ＡとＢということになっています。
No.29440 - 2014/10/27(Mon) 15:52:36
☆ Re: ベクトルの問題ですw / パスカル
ちょっと説明がわからないのですが、何でもいいなら全部0でもいいってことですか?
No.29441 - 2014/10/27(Mon) 16:03:27
☆ Re: ベクトルの問題ですw / ヨッシー
それでは、
　x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2
のうちの、x/(-2) と z/2 は０になりますが、(y＋3)/3 が
０にならないので、x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2 を満たすとはいえません。
　x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2
は、x/(-2) と (y＋3)/3 と z/2 の３つとも等しいという意味です。
No.29443 - 2014/10/27(Mon) 16:14:05
☆ Re: ベクトルの問題ですw / ヨッシー
定石通りに書くと、
　x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2＝0
を解いて (x, y, z)＝(0, -3, 0)
　x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2＝1
を解いて (x, y, z)＝(-2, 0, 2)
です。
No.29446 - 2014/10/27(Mon) 18:17:01
☆ Re: ベクトルの問題ですw / パスカル
できました!ヨッシーさんありがとうლ(╹◡╹ლ)
No.29480 - 2014/10/31(Fri) 15:10:11
★ (No Subject) / ガタック
実数を係数とする3次方程式x^3＋ax^2＋bx−4＝0は2つの虚数解α,βと1つの実数解γをもち、│a│＝2である。複素数平面上で原点をOとし、α,β,γで表される点をそれぞれA,B,Cとおくとき、次の問いに答えよ。

(1)γの値を求め、bをaの式で表せ。
(2)次のそれぞれのとき、aの値を求めよ。
　(i)4点O,A,B,Cを頂点とする四角形が平行四辺形となるとき。
　(ii)3点A,B,Cを頂点とする三角形が正三角形となるとき。
(3)nを3以上の自然数の定数とするとき、a^n＝2^nを満たすような異なるaの値の個数をnで表せ。
No.29431 - 2014/10/25(Sat) 18:08:16
☆ Re: / ヨッシー
│a│＝2 ではなく |α|＝2 なら、すんなり解けそうなのですが。
No.29442 - 2014/10/27(Mon) 16:11:59
☆ Re: / ガタック
│α│＝2でした。
すみません
No.29444 - 2014/10/27(Mon) 16:37:29
☆ Re: / ヨッシー
αとβは共役複素数ですので、
　αβ＝|α|^2＝４
であることを念頭に置いて、解と係数の関係より
　α＋β＋γ＝−ａ　　　　・・・(I)
　αβ＋βγ＋γα＝ｂ　　・・・(II)
　αβγ＝４　　　　　　　・・・(III)
(III) とαβ＝４ より　γ＝１
(I)(II)は
　α＋β＝−ａ−１
　αβ＋α＋β＝ｂ
と書けるので、
　ｂ＝−ａ＋３

(1) はこんな感じです。
(3) の a^n＝2^n も正しいですか？
No.29445 - 2014/10/27(Mon) 18:05:49
☆ Re: / ガタック
(3)α^n＝2^nでした。
本当にすみません
No.29450 - 2014/10/28(Tue) 05:42:11
☆ Re: / ヨッシー
(2)(i)
４点Ｏ，Ａ，Ｃ，Ｂ はこの順に四角形を作り、Ｃは（１，０）なので、
　α＋β＝γ
よって、(I) より　−ａ＝２
　ａ＝−２
(ii)
ＡとＢは実軸に対して対称な位置にあり、ＯＡ＝２であることから、
Ｃを通り、実軸とのなす角が３０°の直線
　ｙ＝(1/√3)(ｘ−１)
と、円
　x^2＋y^2＝4
との交点がＡまたはＢとなります。

両者連立させて、
　x^2＋(1/3)(x-1)^2＝４
　3x^2＋x^2−2x＋1＝12
　4x^2−2x−11＝0
これを解いて、
　ｘ＝(1±3√5)/4
このとき、α＋β＝２ｘ であるので、
　ａ＝(α＋β)＋γ
に代入すると
　ａ＝(3±3√5)/2

(3)
αの偏角をθとすると
　α＝２ｅ^(θｉ)
と書け
　α^n＝２^n・ｅ^(nθｉ)
であるので、ｅ^(nθｉ)＝1 となるようなθがいくつあるかという
問題になります。
一般に　θ＝2mπ/n　(ｍ＝0,1,2,・・・n-1) であれば、
　ｅ^(nθｉ)＝1
になりますが、θ＝０　や θ＝π であってはいけません(αやβが実数になる)ので、
αの個数は
　ｎが奇数のとき　ｎ−１個
　ｎが偶数のとき　ｎ−２個
となります。
No.29451 - 2014/10/28(Tue) 08:30:07
★ タイヤのチューブを裏返すと / しん
　ここでお聞きして良いのかどうか、分からないのですが。
　当方、50代です。
　お聞きしたいのは、中が空洞のタイヤのチューブに大き目の穴を一カ所開けて、そこからきれいに裏返しても、チューブにはならないのは何故かが知りたいのですが。
　実は、家族がシュシュ（ドーナツ状にした薄手の布にゴムを通して縮ませた髪飾り）を作ろうとして、縫い目を裏にしようと、一カ所開けた部分から裏返したのですが、何故か、一本の棒状になってしまうとのことでした（その棒状の中に更に棒状のものがある）。
　多分、トポロジーに関することなのかと思うのですが、理由をうまく説明できません。
　御教示願えれば幸甚です。
No.29430 - 2014/10/25(Sat) 17:32:23
☆ Re: タイヤのチューブを裏返すと / 黄桃
私は図が描けないので、説明を理解してもらえるかわかりませんが、次のようなことです。
タイヤのチューブには2種類の円があります。
１つはタイヤに沿った大きな円Aです。
もう１つはタイヤを輪切りにした時に現れる小さな円Bです。
タイヤのチューブに小さな穴をあけて裏返すと、このAとBが入れ替わります。
つまり、裏返すと、表の時は小さな円だったものが大きな円に、表の時は大きな円だったものが小さな円になります。
理想的なゴムで、伸縮自在な素材で出来ていればいいのですが、タイヤのチューブでは無理だと思います。
頑張っても、小さな円の大きさのタイヤに合うチューブでしょうから、中はあまりまくってグニャグニャになってしまいます。
一本の棒状になってしまうのは、ちゃんと裏返せていない（小さい方の円の周りを裏返す操作ができてない）のではないでしょう
か。

＃以下、裏返しのイメージです。
＃トポロジー的には小さな穴も大きな穴も同じなので、
＃トーラスの表面に思い切り大きな穴をあけたものは、
＃紙の輪（折り紙で作るチェーンのようなもの）を２つ
＃張り合わせたものと同じになります。これは上からみると
＃こんな感じЭ（外側はCではなく円で１つのチェーンになり、
＃これがAに相当、内側の−はもう１つのチェーンを横から
＃みたものでBに相当）です。これの表裏をひっくり返すとき、
＃まず、Aをひっくり返し -O　のような形にします。この形になると
＃A,Bについて対称で、以下ひっくり返す操作は、ここまでの
＃A,Bの役割が逆になることに対応します；-のBを裏返し、
＃Bの穴の上からみるとЭになります。
＃この最後の操作ができないのでしょう。
No.29433 - 2014/10/25(Sat) 20:48:26
☆ Re: タイヤのチューブを裏返すと / しん
黄桃さま

　ご丁寧な解説、ありがとうございました。
　まだ完全には理解できていませんが、何となくわかったような気がします。
No.29437 - 2014/10/27(Mon) 02:08:52
☆ Re: タイヤのチューブを裏返すと / Halt0
参考までにですが, Wikipedia にこんなアニメーションがあります↓
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Inside-out_torus_%28animated%2C_small%29.gif
No.29449 - 2014/10/28(Tue) 01:57:21
★ (No Subject) / Z
不定方程式　; 4 x^3-12 x^2 y+12 x y^2+23 y^3-54 y^2+27 y=0 には
　　　解　{0, 0}, {1, 1}, {2, -1}　が　あります　が

それ以外には　存在しない　ことの　証明を　お願いします。
No.29428 - 2014/10/25(Sat) 13:36:21
★ (No Subject) / ちゃん
ｆ（ｘ）＝x(x-α)(ｘ−β)（０＜α＜β）とする
α、β、Sが全て整数のとき、Sの最小値を求めよ

S=(1/12)α＾３（2β-α）
だと思いますがこの先が分かりません。
No.29426 - 2014/10/24(Fri) 21:51:36
☆ Re: / らすかる
Sって何ですか？
No.29427 - 2014/10/24(Fri) 22:04:37
☆ Re: / ちゃん
Sはf(x)（０≦ｘ≦α）とｘ軸の囲む面積です
No.29432 - 2014/10/25(Sat) 19:02:37
☆ Re: / らすかる
(1/12)α^3(2β-α) は
αが奇数のときα^3も2β-αも奇数なので、
α^3(2β-α)が奇数になって12で割り切れず、Sが整数になりません。
従ってαは偶数である必要があります。
α=2とすると2β-αが3の倍数でなければなりませんので
βの最小値は4であり、S=4となります。
(αが偶数で)α≧4のときα^3≧64、2β-α＞2α-α=α≧4なので
S＞256/12＞4となり
α=2のときの最小値4より必ず大きくなります。
従ってα=2,β=4のときのS=4が最小です。
No.29434 - 2014/10/25(Sat) 21:38:34
☆ Re: / ちゃん
回答ありがとうございます。良く理解できましたがαが奇数か偶数かで場合分けしようという発想はどこからきたのですか？

また別解はありますか？

よろしくおねがいします。
No.29435 - 2014/10/26(Sun) 20:24:55
☆ Re: / らすかる
「場合分け」は思いつきでするものではなく、必要に迫られて、あるいは
場合分けすると簡単になるからという理由でするものです。
よって「発想」とは違うと思いますが、以下のように考えました。

「最小値を求める」
→「α^3が掛かっているからαは小さい方が良い」
→「α=1の場合で考えると、Sが最小になるβは？」
→「12で割り切れなければいけないのに、α=1だとβをいくつにしても
　　　2β-αが奇数だから12で割り切れない！」
→「なるほど、αが奇数だとα^3も2β-αも奇数になるからSは絶対に整数にならないのか。」
→「ではそれを先に書いて奇数を除外し、偶数を小さい順に考えてみよう」
→・・・

あと、十分簡単な解法がわかっているときに
わざわざ別解を考える意味はないと思います。
（なぜ別解が必要なのですか？）
No.29436 - 2014/10/26(Sun) 22:19:42
☆ Re: / ちゃん
回答ありがとうございます。非常によく分かりました。

確かに別解は必要ないですね。　

熱心な説明ありがとうございました。
No.29457 - 2014/10/28(Tue) 20:18:13
★ 計算問題です / パスカル
|2OP-1/2OA|^2＝4

|OP-1/4OA|^2＝1
↑この式の右辺が1になった理由がわかりません!
途中式をお願いいたしますლ(╹◡╹ლ)
No.29422 - 2014/10/24(Fri) 00:45:45
☆ Re: 計算問題です / らすかる
|2OP-1/2OA|^2＝4
|2(OP-1/4OA)|^2＝4
|2|^2・|OP-1/4OA|^2＝4
4|OP-1/4OA|^2＝4
|OP-1/4OA|^2＝1
です。
No.29423 - 2014/10/24(Fri) 00:48:18
☆ Re: 計算問題です / パスカル
できました!返事おくれてすいません!

ラスカルさんありがとうｎ(*´ω｀*)
No.29438 - 2014/10/27(Mon) 14:07:51
★ 楕円 / 桔梗
こんばんは。


xy平面上に２定点A(4,0) B(0,3)および、楕円C:(x^2/4)+y^2=1上を動く動点Pがある。
このとき△PABの面積の最大値を求めよ。


Pを(a,b)とおいてPにおける接線は、(1/4)ax+bx=1...?@

(4,0)(0,3)を通る直線をLとすると、L:y=-3/4x+3...?A

ここまでしてみたのですが、続きが分かりませんでした。
No.29416 - 2014/10/23(Thu) 23:38:08
☆ Re: 楕円 / らすかる
↓この解き方が簡単だと思いますが、
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=47151
もし楕円のまま接線を考えたいのでしたら

直線ABに平行な直線はy=-(3/4)x+c
この式と楕円の式からyを消去して整理すると 13x^2-24cx+16c^2-16=0
この式が解を持つ条件は D/4=(12c)^2-13(16c^2-16)≧0
これを解いて -√13/2≦c≦√13/2
y=-(3/4)x+cが楕円に接し直線ABから最も遠くなるのはc=-√13/2のときで
接点Pの座標は(-6/√13,-2/√13)
点と直線の距離の公式により点Pと直線ABの距離は(2√13+12)/5で
AB=5なので、△PABの面積の最大値は5{(2√13+12)/5}/2=√13+6
No.29420 - 2014/10/24(Fri) 00:05:54
☆ Re: 楕円 / 桔梗
ありがとうございました。

納得できました。
No.29421 - 2014/10/24(Fri) 00:20:31
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