ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学?V / りん

y=sinx(0≦x≦π)とx軸によって囲まれる領域がy=sin(x-a)によって2等分されるとき、定数aの値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.29155 - 2014/10/04(Sat) 00:07:57

☆ Re: 数学?V / ヨッシー

　∫[0～π]sinxdx＝[-cosx][0～π]＝２　・・・元の領域の面積
図の黄色の部分の面積が１になればいいですが、対称性から、
破線で分けた半分が1/2になればいいと考えます。
　∫[(a+π)/2～π]sinxdx＝－cosπ＋cos{(ａ＋π)/2}
　　＝１＋cos{(ａ＋π)/2}＝1/2
よって、cos{(ａ＋π)/2}＝－1/2 で、ひとつの角として
　(ａ＋π)/2＝2π/3
が挙げられ、ａ＝π/3 を得ます。

も考慮すると、
　ａ＝２ｎπ±π／３　（ｎは任意の整数）
と書けます。

No.29157 - 2014/10/04(Sat) 07:57:35

★ 循環小数、有限小数の判定方法 / Jターン

数Ａの整数分野からの質問です。

　ｎを自然数とする。分数19/ｎの分子を分母で割ると整数部分が1以上の有限小数となるようなｎは何個あるか。

という問題で、有限小数になるための必要十分条件は分母ｎの素因数が2と5だけからなるというものでしたが
どうして２，５という素数に限定できるのですか。
これはどのように証明されるのですか。

No.29152 - 2014/10/03(Fri) 19:24:17

☆ Re: 循環小数、有限小数の判定方法 / IT

小数点以下の桁数がkの有限小数に10^kを掛けると整数になります。

No.29153 - 2014/10/03(Fri) 19:37:42

★ イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン / riko

n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ p
の証明で「εは任意」がよくわからないです。

一応、本を見ながら下のように証明は出来ました。
背理法で証明する
n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α < p
であるとする
数列a(n)がα収束する定義は正の任意のεに対して、ある自然数Nが存在してN以上のnについて｜a(n)-α｜<εだから
N以上のa(n)は
α-ε<a(n)<α+ε
となる
εは任意だから、十分小さいεを選ぶと
a(n)<α+ε<p
となる。
しかし、a(n)<pとなり、a(n) > pと矛盾する。
したがって
α ≧ p
である

わからないのは「εは任意だから、十分小さいεを選ぶと」です。
任意とは全てと教わりました。それなのに
a(n)<α+ε<p
と、なぜしてもよいのでしょうか？全てにだから、p<α+εなεも存在しているはずです。なぜ、この可能性を排除されるのでしょうか？

cx + dy =0
で、任意（全て）のx、yをみたすc、dは？とうい問題ではのx、yの値は制限されていません。

これらの違いはなんで起こるのでしょうか？

No.29150 - 2014/10/03(Fri) 15:29:16

☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン / らすかる

まず、背理法の仮定が正しくありません。
n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ p
の否定は
n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α < p
ではなく
n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p であっても α ≧ p とは限らない
すなわち
n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p だとしても α ＜ p であるような場合が存在する
です。

それから本題ですが、
任意のεに対して、・・・が成り立つ
の否定の
あるεに対して、・・・が成り立たない
を示すのですから、特定のεで成り立たないことを示せば十分です。
つまり、「成り立つ」ことを示す場合は任意のεに対して示す必要があり、
「成り立たない」ことを示す場合は特定のεに対する反例を示せば良いということです。

No.29154 - 2014/10/03(Fri) 22:26:10

☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン / riko

ここで導関数と連続関数の関係を教えてもらって、イプシロンデルタ論法を勉強中です。

> まず、背理法の仮定が正しくありません。
機械的に否定を作っていました。これも勉強が必要なようです。

> 「成り立たない」ことを示す場合は特定のεに対する反例を示せば良いということです。
ものすごくすっきりしました。きちんと否定を作れていないからこういう疑問が出るんですね。

ここで、新たな疑問が出てしました。
正の任意のεに対して、・・・が成り立つ
の否定は
非負のあるεに対して、・・・が成り立たない
となるのでしょうか？

No.29162 - 2014/10/04(Sat) 16:41:27

☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン / らすかる

違います。
正の任意のεに対して、・・・が成り立つ
の否定は
正のあるεに対して、・・・が成り立たない
です。

No.29165 - 2014/10/04(Sat) 17:11:43

☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン / riko

証明の本質的そうなので、もっと、勉強し直してみます。
その後、また、質問させてください。

No.29166 - 2014/10/04(Sat) 19:37:06

★ (No Subject) / ふぃ

先日に関数の問題で投稿させて頂いたふぃです。よっしーさん色々とありがとうございました。
今回は相似の問題についてよく分からないので解説を含めて教えて頂ければ幸いです。
ふぃ・中3

(1)長方形を折り返したらCがC'に重なった。△ABC'相似△DC'Pを証明せよ。

(2)AB=8cm、AD=10cm、DP=3cmのときのAC'の長さを求めよ。

2番の問題は相似したと仮定して比で連立方程式をつくって解を求めたら4、6になりました。解が合っているかどうか分からないのですが、この2つのうち1つの解は長さに当てはまらないそうなのですが、その理由も示さなければなりません。解が出たのは良いんですが理由がいまいち理解出来ないのので教えて頂けると有難いです。また、連立方程式以外でも求められるそうなのでどちらの方法についても教えて頂きたいです。

*画像ですが、C'が抜けておりました。C'というのは長方形を折り返してCと重なる部分になります。

No.29143 - 2014/10/02(Thu) 20:19:33

☆ Re: / 農場長

まず、点Ｐは辺ＤＣ上の折り目の点で良いでしょうか？

（１）まず、お互いに∠A＝∠D＝90°ですね。
　　　次に、∠BC'P=90°だから∠AC'B＋∠DC'P=90°です。
　　　△ABC'において，∠ABC'＋∠AC'B=90°ですから、
　　　∠ABC'=∠DC'Pがわかります。これより相似です。

（２）AC'=x　とおくと、DC'=10-x　です。
　　　(1)から、△ABC'∽△DC'Pなので、
　　　AB:DC'=AC':DP
　　　8:(10-x)=x:3
　　　これを解けばAC'の長さがわかります。

No.29146 - 2014/10/02(Thu) 21:43:45

☆ Re: / ふぃ

回答ありがとうございます。
記載漏れ申し訳ございません。PはDC上にあります。

平行線の錯覚が等しいことから
角AC'B=角C'BCより
角ABC'=角DC'P
(角ABC'=90°-角C'BC
角DC'P=90°-角AC'B)

と考えたのですがこの考え方では間違いでしょうか？

あと(2)は私もその比を解いて解が2つ出てきたんですが、2つのうち1つがAC'の長さににあてはまらないらしいのでどちらも比に当てはめてみたのですが、どうして当てはまらないのか分からないのでその理由についてもお答え頂けたら有難いです。

No.29148 - 2014/10/02(Thu) 22:35:13

☆ Re: / 七

DP=3ならDC＝8ですので
PC＝PC'＝5です。
したがって△DC'Pにおいて
三平方の定理より
DC'=4です。

No.29149 - 2014/10/03(Fri) 08:48:47

☆ Re: / 農場長

そもそも△ABC'は、
AB=8，BC'(=BC)=10なので，
三平方の定理から素直にAC'=6が出ますね。

No.29151 - 2014/10/03(Fri) 16:09:10

★ 確率 / みか

袋の中に赤弾が３個と白玉が１個入っている。この中から玉を１個取り出し、色を確認してから元に戻す。この操作を繰り返し、白玉を３回取り出した段階で操作を終了する。
操作を終了するまでに玉をn回取り出す確率をPn(n=3.4.5・・・)とする。

(1)Pnをnの式で表せ。
(2)Pnを最大にするnの値を求めよ。

No.29140 - 2014/10/02(Thu) 17:34:34

☆ Re: 確率 / ヨッシー

(1)
Ｐｎとは、n-1 回までに白を２回出して、ｎ回目に白を出す確率です。
　n-1 回までに白を２回、赤をn-3回出す確率は
　(n-1)Ｃ2×(3/4)^(n-3)(1/4)^2
よって、求める確率は
　Ｐn＝(n-1)Ｃ2×(3/4)^(n-3)(1/4)^3
　　＝(n-1)(n-2)(3/4)^n(1/54)

(2)
Ｐn/Ｐ[n-1]＝(n-1)(n-2)(3/4)^n／(n-2)(n-3)(3/4)^(n-1)
　　＝(3/4)(n-1)/(n-3)
　　＝(3/4){1＋2/(n-3)}
この値は、ｎが増えると減っていき、
　(3/4){1＋2/(n-3)}＝１
となる、n=9 を境に、１未満となります。
つまり、Ｐ7＜Ｐ8＝Ｐ9＞Ｐ10 であり、
ｎ＝８，９で、Ｐn は最大となります。

No.29142 - 2014/10/02(Thu) 18:44:06

☆ Re: 確率 / みか

Ｐn＝(n-1)Ｃ2×(3/4)^(n-3)(1/4)^3
　　＝(n-1)(n-2)(3/4)^n(1/54)

この計算がうまくいきませんでした。

(2)の(n-1)(n-2)(3/4)^nなのですが、どこから求めたのですか？

No.29144 - 2014/10/02(Thu) 21:32:43

☆ Re: 確率 / ヨッシー

　(n-1)Ｃ2＝(n-1)(n-2)/2
　(3/4)^(n-3)＝(3/4)^n(3/4)^(-3)＝(3/4)^n(4/3)^3
より
Ｐn＝(n-1)Ｃ2×(3/4)^(n-3)(1/4)^3
　＝(n-1)(n-2)/2×(3/4)^n(4/3)^3(1/4)^3
　＝(n-1)(n-2)×(3/4)^n×(1/2)×(1/3)^3
　＝(n-1)(n-2)(3/4)^n(1/54)
です。

(2) で、Ｐn/Ｐ[n-1] を求める際に、
　Ｐn＝(n-1)(n-2)(3/4)^n(1/54)
　Ｐ[n-1]＝(n-2)(n-3)(3/4)^(n-1)(1/54)
の (1/54) は相殺されるので、省いてあります。

No.29145 - 2014/10/02(Thu) 21:39:31

☆ Re: 確率 / みか

できました。

ありがとうございました。

No.29147 - 2014/10/02(Thu) 22:31:17

★ 連続投稿すみません。 / 。

図のように、1辺の長さが10cmの正方形がある。点Pは、辺AB上を毎秒1cmの速さでAからBまで動き、点Qは辺BC上を毎秒1cmの速さでBからCまで動く。点Pと点Qが同時に出発するとき、△PBQの面積が12cm^2になるのは、点Pが出発してから何秒後と何秒後か答えなさい。

これも教えて下さいお願いします！

No.29136 - 2014/10/02(Thu) 17:17:30

☆ Re: 連続投稿すみません。 / ヨッシー

ｘ秒までに各点はｘcm動きます。
ＢＰ＝１０ーｘ、ＢＱ＝ｘ　であるので、△ＰＢＱの面積は
　(１０－ｘ)ｘ／２＝１２
両辺２を掛けて展開すると
　－ｘ^2＋１０ｘ＝２４
移項して
　ｘ^2－１０ｘ＋２４＝０
これを解いて
　ｘ＝４，６
答え　４秒後と６秒後

No.29139 - 2014/10/02(Thu) 17:27:11

★ 二次方程式の利用 / 。

至急です。お願いします！！
図のように、横が縦より5cm長い長方形の紙がある。この紙の4すみから1辺が2cmの正方形を切り取り、直方体の容器をつくったら、容積が208cm^3になった。もとの紙の縦の長さを求めなさい。

No.29135 - 2014/10/02(Thu) 17:10:54

☆ Re: 二次方程式の利用 / ヨッシー

縦をｘcm とおくと、横はｘ＋５（以下単位は省略）
箱を作った時の底面の縦はｘ－４、横はｘ＋１、高さ２　より
　(ｘ－４)(ｘ＋１)×２＝２０８
両辺２で割って展開すると
　ｘ^2－３ｘ－４＝１０４
移項して
　ｘ^2－３ｘ－１０８＝０
因数分解して
　(ｘ－１２)(ｘ＋９)＝０
ｘ＞０より　ｘ＝１２(cm)　・・・・答え

No.29137 - 2014/10/02(Thu) 17:23:14

☆ Re: 二次方程式の利用 / 。

ありがとうございます！！！！
すっごい分かりやすいです！本当にありがとうございます！

No.29141 - 2014/10/02(Thu) 17:40:58

★ 最大最小 / りぼん

x,yが不等式x^2+y^2-6x-8y+20≦0をみたすとする。

(1)x^2+y^2の最大最小を求めよ。

(2)y/xの最大最小を求めよ。

No.29126 - 2014/10/01(Wed) 22:57:08

☆ Re: 最大最小 / ヨッシー

(x-3)^2＋(y-4)^2≦５と書けます

(1)
最大は√(5+√5)、最小は√(5－√5)

(2)
y/x=k とおくと、y=kx という原点を通る傾きｋの直線を表します。
原点から円 (x-3)^2＋(y-4)^2＝５に引いた２本の接線で、
傾きの小さい方が最小、傾きの大きい方が最大です。
x^2+y^2-6x-8y+20＝0 に、y=kx を代入して
　(1+k^2)x^2－2(3＋4k)x＋２０＝０
判別式をとって、
　(3+4k)^2－20(1+k^2)
　＝-4k^2＋24k－11＝０
これを解いて、
　ｋ＝1/2, 11/2
最大が 11/2、最小が1/2

No.29128 - 2014/10/02(Thu) 00:34:27

☆ Re: 最大最小 / りぼん

わかりました。

ありがとうございました。

No.29138 - 2014/10/02(Thu) 17:25:44

★ (No Subject) / たろべえ

0でない複素数zに対し,w=1/zによってwを定める.また,z,wが表す複素数平面上の点をそれぞれP(z),Q(w)とする.
(1)Pが線分AB上を動くとき,Qの軌跡を求め複素数平面上に図示せよ.
(2)Pが線分ABとABを直径とする半円を合わせた図形上を動くとき,Qの軌跡を求め複素数平面上に図示せよ.

No.29112 - 2014/09/30(Tue) 00:50:54

☆ Re: / ヨッシー

点Ａ、点Ｂは、複素平面上に適当に取った点ということでしょうか？

No.29114 - 2014/09/30(Tue) 10:00:46

☆ Re: / たろべえ

失礼しました。　　　　　　　

A(1),B(i)

です！

No.29116 - 2014/09/30(Tue) 17:02:38

☆ Re: / ヨッシー

(1)
線分ＡＢ上の点は、(t,1-t) (0≦t≦1) と書けるので、
複素数ｚ＝t＋(1-t)i に対して、ｗ＝1/z＝{t－(1-t)i}/{t^2＋(1-t)^2}　より、
　ｘ＝t/{t^2＋(1-t)^2}, ｙ＝－(1－t)/{t^2＋(1-t)^2}
とおくと、
　x^2＋y^2＝{t^2＋(1-t)^2}/{t^2＋(1-t)^2}^2＝1/{t^2＋(1-t)^2}
　ｘ－ｙ＝1/{t^2＋(1-t)^2}
より
　x^2＋y^2＝ｘ－ｙ
　(x－1/2)^2＋(y＋1/2)^2＝1/2
偏角を考慮すると、以下のようになります。

(2)
どの位置の半円かによりますが、

図の位置の半円なら、(1) の結果より、第４象限の線分に移ります。
半円の位置の指定はありませんか？

No.29117 - 2014/09/30(Tue) 19:06:44

★ 並べ替え / MUSA

こんばんは。

calculateの９文字を並べ替えてできる文字列について、

(1)母音がとなりあわないような文字列はいくつあるか
(2)子音の順序が変わらない(前からc,l,c,l,t）ような文字列はいくつあるか。

(1)は、先に子音をならべて、5!/2!2!=30
そのあとに子音の文字の間６つに母音の４つをいれればいいとはわかったのですが、どんな式になるのかわかりませんでした。

No.29108 - 2014/09/29(Mon) 23:20:40

☆ Re: 並べ替え / らすかる

4文字が全部違えば6P4ですが、aが二つありますので6P4/2!です。
よって(1)は{5!/(2!2!)}{6P4/2!}=5400個となります。
(2)はc,l,c,l,tを全部xに変えたxaxxuxaxeの並び替えと同じです。
（並べた後、5個のxに前から順にc,l,c,l,tを入れると考えれば目的の文字列になります。）

No.29111 - 2014/09/30(Tue) 00:45:16

☆ Re: 並べ替え / MUSA

わかりました。

ありがとうございました。

No.29125 - 2014/10/01(Wed) 22:53:52

★ ベクトルです / A

数Bの空間ベクトルの問題です。

四面体ABCDの辺BCの中点をP、線分PDの中点をQ、線分AQの中点をRとする。
また、直線BRと平面ACDの交点をSとする。
ABベクトル=cベクトル、ADベクトル=dベクトルとするとき、
ASベクトルをcベクトル、dベクトルで表せ

?@BQベクトルの変形のところですが、なぜ点QがPDの中点なのかがわかりません。
?ABPベクトルがcベクトルーbベクトルになるのがわかりません

よろしくお願いします

No.29102 - 2014/09/29(Mon) 20:14:54

☆ Re: ベクトルです / ヨッシー

(1)
ＰＤの中点であるＱについてのベクトルＢＱが、なぜ
　ＢＱ＝(1/2)ＢＰ＋(1/2)ＢＤ
と書けるか？ということですか？
中点（もしくは内分点）の公式そのままです。

(2)
ＢＰ＝(1/2)ＢＣ＝(1/2)(ｃ－ｂ) なので、
(1/4)(ｃ－ｂ) は、
(1/8)(ｃ－ｂ) の誤り(書き間違い？)と思われます。
その下の式は合っています。

No.29103 - 2014/09/29(Mon) 20:28:39

☆ Re: ベクトルです / A

分かりました。
ありがとうございます。

No.29104 - 2014/09/29(Mon) 20:36:27

★ 二次方程式の利用です / 。

1.連続した3つの正の整数がある。真ん中の数の2乗は、残りの2数の和より63大きくなる。この連続した3つの整数を求めなさい。

2.ある自然数を2乗するところを、まちがって5倍したため、答えが14小さくなった。もとの自然数を求めなさい。

教えてください。

No.29098 - 2014/09/29(Mon) 16:57:27

☆ Re: 二次方程式の利用です / ヨッシー

1.真ん中の数をｘとすると、３つの数は
　ｘ－１，ｘ、ｘ＋１
であるので、
　ｘ^2＝(ｘ－１)＋(ｘ＋１)＋６３
これを解いて　ｘ＝９　より　８，９，１０を得ます。

2.ある自然数をｘとおくと、
　５ｘ＝ｘ^2ー１４
これを解いて、ｘ＝７

No.29101 - 2014/09/29(Mon) 20:14:46

★ (No Subject) / よこはま

a,bは実数で、b≠0とする。xy平面に原点O(0,0)および2点P(1,0),Q(a,b)をとる。a,bが△OPQが鋭角三角形となるための条件を満たすとき、m,nを整数として不等式
(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2≧0
が成り立つことを示せ。

こちらの問題を教えてください。よろしくお願いします。

No.29093 - 2014/09/29(Mon) 13:15:07

☆ Re: / ＿

とりあえず概略を。条件より0<a<1,(a-(1/2))^2 + b^2 > 1/4となる。これを図示したときに境界にも出てくる、(a-(1/2))^2 + b^2 = 1/4で示される円をCとする。

(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2≧0
⇔{(na+m)-(1/2)}^2 + (nb)^2 ≧ 1/4
⇔点(na+m,nb)がCの周上および外部で示される領域Dにある。

なので、(a-(1/2))^2 + b^2 > 1/4から何かを連想できればいい感じです。

まず、点(a,b)を点(na,nb)にうつす変換を考える。これは原点を中心とする拡大で、この結果円Cは中心(n/2,0)、半径n/2の円C'にうつる。CとC'の共有点は(0,0)のみで、(na,nb)はつねにDにある。
(まわりくどいですが、図にすればすぐです)

次に(na,nb)を(na+m,nb)にうつす。x軸方向へmだけ平行移動させたもので、この結果C'がうつった円C''がCと共有点をもつ事がなければ示すことは明らかで、共有点をもつようなmをとったとしてもそのときはCとC''が接するようにしかとれないので(やはり図にすれば…)、やはり(na+m,nb)がDにあることになる。

上記の解答ではn=0や±1のときは不十分なので別に考える必要などはありますが、まあ概略ということでご自身で補ってください。

No.29099 - 2014/09/29(Mon) 17:24:36

★ (No Subject) / よし

点Ｑが数直線上の原点から出発して、一秒ごとに正または負の方向に同じ確率2分の1で、１だけ移動し、３または、－３に到着すると移動をとめるものとする。ｎ秒後に点Ｑが３または－３にある確率を求めよ。

という問題があるのですが、ふと、思ったことがあります。
問題文の最後の一文を『ｎ秒以内に移動が終了する確率を求めよ。』と、なった場合、前者の確率と後者の確率は、一致するのでしょうか？

No.29086 - 2014/09/29(Mon) 01:20:44

☆ Re: / らすかる

「ｎ秒後に点Ｑが３または－３にある」⇔「ｎ秒以内に移動が終了する」であり
同じ意味ですから、確率は同じですね。

No.29088 - 2014/09/29(Mon) 04:12:50

☆ Re: / よし

この問題を、等比級数の考え方を使って解くことはできますか？もしできたら、解答をつくっていただきたいのですが…
初

No.29089 - 2014/09/29(Mon) 08:50:49

☆ Re: / らすかる

> 等比級数の考え方を使って解くことはできますか？
「等比級数の考え方を使って解け」という問題なのですか？
私はそんなややこしい解き方は思いつきません。

No.29090 - 2014/09/29(Mon) 10:33:29

☆ Re: / よし

すいません　
漸化式で解決しました

No.29095 - 2014/09/29(Mon) 14:32:54

☆ Re: / よし

すいません　
漸化式で解決しました　
ありがとうございました

No.29096 - 2014/09/29(Mon) 14:33:29

☆ Re: / らすかる

ちなみに私は漸化式も使いませんでした。
ちょっと工夫すれば、1-(3/4)^mの形になることはすぐにわかります。
（もし答えがこの形でなければ、私が何か勘違いしています）

No.29097 - 2014/09/29(Mon) 15:20:34

☆ Re: / よし

どうやって考えたら、そのように直ぐわかるのでしょうか？

No.29120 - 2014/10/01(Wed) 18:17:30

☆ Re: / らすかる

「n秒以内に移動が終了しない確率」
つまりn秒間-2～2の範囲内にとどまる確率を求めます。
この場合、奇数秒後は必ず1か-1となります。
「1か-1にあるとき、その2秒後も1か-1にある確率」は
1でも-1でも、正正、正負、負正、負負の4通り中3通りになりますので
「奇数秒から2秒後も移動が終了しない確率」は3/4となります。
# 1からの場合、正正：1→2→3で終了、正負：1→2→1で継続、
# 負正：1→0→1で継続、負負：1→0→-1で継続なので3/4、-1の時も同様
従って、nが奇数つまりn=2m+1のとき、
最初の1秒は確率1で1か-1に移動し、その後2秒ごとに終了しない確率が
3/4ずつですから、n秒で終了しない確率は(3/4)^mです。
よってn=2m+1のとき、n秒以内で終了する確率は1-(3/4)^m=1-(3/4)^{(n-1)/2}
となります。
nが2以上の偶数つまりn=2m+2の場合は、2m+1秒までで終了しない確率が
1-(3/4)^mであり、2m+1秒までで終了しなければ2m+2秒でも終了しませんので
確率は1-(3/4)^mのまま変わりません。よってn=2m+2のときに
n秒以内で終了する確率は1-(3/4)^m=1-(3/4)^{(n-2)/2}となります。

No.29121 - 2014/10/01(Wed) 21:45:51

☆ Re: / よし

とてもよくわかりました。ありがとうございます。

No.29122 - 2014/10/01(Wed) 22:38:04