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★ 三平方の定理 / ふぃ
連投失礼致します。こちらの問題も教えていただけると有り難いです。よろしくお願い致します。
中３・ふぃ

図の三角柱でＧは辺ＡＢの中点、Ｈは辺ＤＦ上の点である。点Ｇから点Ｈまで辺ＢＣと辺ＣＦを通って赤い糸を掛け、また点Ｇから点Ｈまで辺ＡＣを通って青い糸を掛けた。それぞれの糸の長さが最も短くなるように掛けると、２本の糸の長さは等しくなった。
ＡＣ＝ＣＦ＝２ｃｍ
ＢＣ＝４ｃｍ
であるとき次の問いに答えなさい。


（１）ＦＨの長さを求めなさい。

（２）青い糸の長さを求めなさい。
No.29737 - 2014/12/02(Tue) 22:39:07
☆ Re: 三平方の定理 / to
参考図です。
No.29753 - 2014/12/03(Wed) 17:13:10
☆ Re: 三平方の定理 / ふぃ
わざわざ画像まで添付して下さって、丁寧な解説ありがとうございます！
上のような式が成り立つ仕組みがよく分からないのと、別解でもう少し簡単な式で求められる方法がありましたら教えて頂きたいです。
色々と申し訳ございませんm(__)m

中3•ふぃ
No.29754 - 2014/12/03(Wed) 17:20:13
☆ Re: 三平方の定理 / らすかる
すみません、私の回答は全くの勘違いでしたので削除しました。
あらためて回答します。

FH=xとおくと、toさんの左の図で
GQ=3、QH=2+xなのでGH=√{3^2+(2+x)^2}=√(x^2+4x+13)
右の図で
GP=4、PH=1-xなのでGH=√{4^2+(1-x)^2}=√(x^2-2x+17)
この二つが等しいので
√(x^2+4x+13)=√(x^2-2x+17)
x^2+4x+13=x^2-2x+17
6x=4
x=2/3
よってFH=2/3(cm)です。
No.29755 - 2014/12/03(Wed) 17:48:35
☆ Re: 三平方の定理 / ふぃ
回答ありがとうございます。わざわざ解き直して頂いて有難うございます。
らすかるさんに出して頂いた答えと自分の答えが無事一致致しました！
丁寧な解説有難うございました！
ふぃ・中３
No.29759 - 2014/12/03(Wed) 23:17:44
★ 三平方の定理 / ふぃ
いつもお世話になっております。
以下の三平方の定理についての問題を教えていただけると幸いです。
中３・ふぃ

図のようにＯを頂点とし、底面の半径が３cm、高さ６√２cmの円錐がある。点Ｃを底面の周上の点とし、母線ＯＣ上に点Ｄをとり、線分ＣＤの長さを３cmとする。また点Ｃ、Ｄを出発し、円錐の側面を一周して元の点に戻ってくる最短経路がそれぞれ１本ずつある。

（１）点Ｃを通る最短経路の長さを求めなさい。
　
（２）円錐の側面において点Ｃ、Ｄをそれぞれ通る２つの最短経路によって囲まれている部分の面積を求めなさい。
No.29736 - 2014/12/02(Tue) 22:32:46
☆ Re: 三平方の定理 / angel
添付の図のように、側面の展開図を考えることです。
円錐の側面は扇形になりますから、2つの最短経路はそれぞれ弦CC', DD'となります。

側面の扇形の半径については、図の左側に関して三平方の定理を計算することで求めます。
扇形の中心角が120°である理由は、扇形の弧CC'の長さと、底面の円の円周の長さが一致するためです。
今回の場合、
　9cm×2×π×120°/360° = 3cm×2×π
という事です。

それぞれの問の答えは、三角形OCC', ODD'が、60°,30°,90°の直角三角形 ( 正三角形の半分 ) を2個つなげた形であることから計算します。

(1) 9√3cm (2) 45√3/4cm^2
No.29743 - 2014/12/03(Wed) 06:15:49
☆ Re: 三平方の定理 / ふぃ
無事問題解決致しました！
とても分かりやすい解説ありがとうございました！


ふぃ•中3
No.29752 - 2014/12/03(Wed) 17:13:05
★ (No Subject) / すずき
添付の問題について
No.29733 - 2014/12/02(Tue) 21:18:33
☆ Re: / すずき
⑵を以下のように解いたのですが、正答はひとつのようです。
どこが間違っているのかわかりません。おしえていただけませんか。お願いいたします。
No.29734 - 2014/12/02(Tue) 21:23:58
☆ Re: / ヨッシー
おおもとの
　x^3−14＝y^2−x
　y^2＋51＝x−y^3
を満たさないので、(x,y)=(-4,3) は不適です。
No.29735 - 2014/12/02(Tue) 21:35:56
☆ Re: / すずき
ほんとですね。
最後にこの大元に立ち返って確かめないとダメなのでしゃうか。
途中段階の式で確認してしまっていましたが・・・
No.29746 - 2014/12/03(Wed) 14:36:36
★ 二項展開式とその係数 / ネクロス
(a-2b)^6の展開式で、a^5bの係数を求めよ

解説
その展開式の一般項は
6Cra^(6-r)・(-2b)^r＝6Cr(-2)^r・a^(6-r)b^r

a^5bの項はr＝1だから・・・

何故r＝1になるんですか?
No.29729 - 2014/12/01(Mon) 07:49:56
☆ Re: 二項展開式とその係数 / らすかる
一般項の最後 a^(6-r)b^rは
r=0のとき a^6
r=1のとき a^5b
r=2のとき a^4b^2
r=3のとき a^3b^3
r=4のとき a^2b^4
r=5のとき ab^5
r=6のとき b^6
となりますね。
No.29730 - 2014/12/01(Mon) 08:21:42
☆ Re: 二項展開式とその係数 / ネクロス
> 一般項の最後 a^(6-r)b^rは
> r=0のとき a^6
> r=1のとき a^5b
> r=2のとき a^4b^2
> r=3のとき a^3b^3
> r=4のとき a^2b^4
> r=5のとき ab^5
> r=6のとき b^6
> となりますね。

だから何?国語、小学校からやり直し。
No.29731 - 2014/12/01(Mon) 08:40:25
☆ Re: 二項展開式とその係数 / ヨッシー
まず、礼儀として、こちらの記事について回答してください。

>国語、小学校からやり直し。
これは、もちろん、ネクロスさん自身への戒めの言葉ですよね？
No.29732 - 2014/12/01(Mon) 08:51:25
★ 二重積分 / mika
曲面z=xy^2と三平面x=1,y=1,z=0で囲まれる立体の体積を求めよという問題で
なぜ領域Dの範囲が 0<=x<=1 0<=y<=1 になるのかわかりません
なぜxとyが両方0以上になるのでしょうか
y=xy^2のグラフがうまく描けずに困っています
No.29723 - 2014/11/30(Sun) 14:53:35
☆ Re: 二重積分 / X
z=xy^2 (A)
が示す曲面の具体的な形状を知る必要はありません。

(A)において
(i)x＜0のとき
z≦0(等号成立はy=0のとき)
(ii)x≧0のとき
z≧0(等号成立はx=0、又はy=0のとき)
このことと問題の立体の境界が
3平面x=1,y=1,z=0
であることから、問題の立体の
xy平面への正射影は
0≦x≦1,0≦y≦1
となります。
No.29725 - 2014/11/30(Sun) 19:50:07
☆ Re: 二重積分 / mika
つまりx=0のときまたはy=0のときにz=0ならばx=0とy=0で閉じているので　xとyは0≦　というようにかけるということでよろしいでしょうか
No.29726 - 2014/11/30(Sun) 20:21:28
☆ Re: 二重積分 / X
その通りです。
No.29727 - 2014/11/30(Sun) 22:50:54
☆ Re: 二重積分 / mika
ありがとうございました！
No.29728 - 2014/11/30(Sun) 23:48:37
★ (No Subject) / リス
教えて頂きたいです
No.29718 - 2014/11/29(Sat) 20:07:26
☆ Re: / deep make
メネラウスの定理を使えば,
(FA/CF)(BC/DB)(GD/AG)＝1 より, AG を計算できます.
No.29719 - 2014/11/29(Sat) 20:47:25
☆ Re: / IT
別解（略解です。相似条件などは確認してください。）
△CFE∽△CAD,FE:AD=1:2
→△BDG∽△BEF,DG:FE=1:2
→DG:AD=1:4
→AD=16
→AG=AD-DG=16-4=12
No.29722 - 2014/11/30(Sun) 08:50:23
★ (No Subject) / リス
難度もすいません 相似比３：５は、どこからだしますか
No.29717 - 2014/11/29(Sat) 16:26:08
☆ Re: / ヨッシー
同じ質問についての関連記事は「返信」を押してから書いてください。

もとの記事に回答しました。
No.29720 - 2014/11/30(Sun) 02:29:59
★ (No Subject) / リス
ヨッシーさん有り難うございます
No.29716 - 2014/11/29(Sat) 16:19:46
★ (No Subject) / リス
教えて頂きたいです
No.29712 - 2014/11/29(Sat) 16:06:14
☆ Re: / ヨッシー
貼り直します。
No.29714 - 2014/11/29(Sat) 16:10:58
☆ Re: / ヨッシー
△ＡＦＤ∽ＥＦＢ　で、相似比は３：５
よって、ＤＦ：ＦＢ＝３：５　であるので、
　△ＡＦＢ＝△ＡＦＤ×5/3＝60×5/3＝100(cm^2)
よって、
　△ＡＢＤ＝△ＡＦＢ＋△ＡＦＤ＝100+60＝160(cm^2)
　平行四辺形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＤ×2＝160×2＝320(cm^2)
となります。
No.29715 - 2014/11/29(Sat) 16:15:37
☆ Re: / ヨッシー
相似比３：５は　ＡＤ：ＢＥ＝３：（３＋２）　
から出せます。
No.29721 - 2014/11/30(Sun) 02:31:10
★ (No Subject) / そららら
(4)を教えてください
No.29709 - 2014/11/29(Sat) 14:08:17
☆ Re: / ヨッシー
(4)
　2(log[1/2]ｘ)^2−9≦log[1/2]ｘ^3
　2(log[1/2]ｘ)^2−9≦3log[1/2]ｘ
ここで、Ｘ＝log[1/2]ｘ とおくと、
　２Ｘ^2−３Ｘ−９≦０
　(２Ｘ＋３)(Ｘ−３)≦0
よって、
　-3/2≦log[1/2]ｘ≦3
底が１未満なので、不等号が逆転して、
　(1/2)^(-3/2)≧ｘ≧(1/2)^3
　2√2≧ｘ≧1/8

これでも良いですが、
　1/8≦ｘ≦2√2
と書いたほうが、見栄えは良いでしょう。
No.29713 - 2014/11/29(Sat) 16:08:04
★ 速さ / みどり
バイクに乗ったAは車に乗ったBより15分早くバイクで出発ししたが途中で車に乗ったBに追い越され、結果的にAはBよりゴールに10分遅れで到着した。
これについて、AはBより25分多く走ったことがわかるのですが、式で表すとどうなるのでしょうか？
なんで25分多く走ったことになるかわかりません。
教えてください。お願いします。
No.29708 - 2014/11/29(Sat) 13:57:55
☆ Re: 速さ / ヨッシー
15＋10＝25　ですね。

ＡはＢより15分早くから食事をし始めたのに、
Ｂより10分遅く食べ終わった。
というのと同じです。
No.29711 - 2014/11/29(Sat) 16:02:03
★ 整数解 / Hu
2 x^3-x^2 y-3 x^2 z-x^2-11 x y^2-11 x y z+x y-8 x z^2-6 x z-2 x+10 y^3
+7 y^2 z-7 y^2-14 y z^2-22 y z-4 y-3 z^3-z^2+3 z+3199=0

の　整数解　を　求めて　下さい。

No.29707 - 2014/11/29(Sat) 00:29:58
★ ベクトル / すずき
添付の⑴についてです。
No.29702 - 2014/11/28(Fri) 17:03:25
☆ Re: ベクトル / すずき
平面の方程式をおいてこのようにときまさたが解けず…
これだと解けませんか？？？
No.29703 - 2014/11/28(Fri) 17:07:24
☆ Re: ベクトル / deep make
at＋d＝0 ⇒ a＝-d/t.
b/t＋d＝0 ⇒ b＝-dt.
c＋d＝0 ⇒ c＝-d.

d＝0 とすると, a＝b＝c＝0 より意味をなさないので, d≠0 を得る.
平面の方程式は, 式全体を定数倍(0は除く)しても変わらないので,
式全体を(-1/d)倍することによって, 特に, d＝-1 としてよい. このとき,

a＝1/t, b＝t, c＝1 より, 平面の方程式は,
x/t＋ty＋z−1＝0 となります.
No.29705 - 2014/11/28(Fri) 18:33:15
☆ Re: ベクトル / deep make
この問題に関して言えば, 次の事が知られています.

a≠0, b≠0, c≠0 に対し,
(a,0,0), (0,b,0), (0,0,c)を通る平面の方程式は,
x/a＋y/b＋z/c＝1 と書ける.

…なので, 今回の問題でいえば,
x/t＋ty＋z＝1 となることが分かります.
No.29706 - 2014/11/28(Fri) 18:43:43
☆ Re: ベクトル / すずき
おおお！できました！うれしいです！ありがとうございます！！
No.29710 - 2014/11/29(Sat) 14:16:06
★ (No Subject) / Re
2^x = 10, 5^y = 10, のとき　x,yには　関係　y - x/(x - 1) = 0　がある　という.

67^x = 27, 603^y = 81 のとき　x,yには どんな　関係があるか.
No.29700 - 2014/11/28(Fri) 16:33:57
☆ Re: / ヨッシー
それは、問題が唐突過ぎます。
例えば、
　603^y＝3・67^x
というのも、ひとつの関係式です。

もっとも、
　ｘ＝log[67]27＝3/log[3]67
　ｙ＝log[603]81＝4/log[3]603
　　＝4/log[3](67×9)＝4/(log[3]67＋2)
これに　log[3]67＝3/x を代入して
　ｙ＝4/(3/x＋2)＝4x/(2x+3)
　ｙ−4x/(2x+3)＝０
というのを、期待されていると思いますが。
No.29701 - 2014/11/28(Fri) 16:45:25
☆ Re: / Re
> それは、問題が唐突過ぎます。
> 　ｙ−4x/(2x+3)＝０

即答有難う御座います。

(1) log の　性質を　経由しないで　直に　関係を導出も　したいものです。



(2) x = Log[27]/Log[67], y= Log[81]/Log[603] と　明確に得られる　点(x,y) が　

どんな　曲線　F(x,y)=0 　上に　あるか? と　言うのでは　多義性があり過ぎで

どんな　双曲線「y=(a*x+b)/(c*x+d) なる」上に　あるか　と　言うべきでしょうか?


(しかし　関係式導出後　何をしたいので　しょうか.....)
No.29704 - 2014/11/28(Fri) 18:27:42
★ (No Subject) / すずき
質問お願いします。
⑵です。
No.29693 - 2014/11/27(Thu) 20:57:55
☆ Re: / すずき
このように解きましたが、正答とあいませんでした。
何度見直しても計算ミスなどは見つけられず…
これではとけませんか？
御指摘ください、お願いします。
No.29694 - 2014/11/27(Thu) 21:02:40
☆ Re: / すずき
つぎのように解きましたが正答とあいませんでした。
計算ミスなどは見つけられませんでした…
解き方が間違っていますか？
御指摘ください、お願いします。
No.29695 - 2014/11/27(Thu) 21:04:31
☆ Re: / deep make
点Nは内接円と, 辺BCとの交点と定義しているのだと思いますが,
この AI:IN＝7:3 が間違っています. おそらく, 書かれた図から,
点A, 点I, 点N が一直線上にあるものと勘違いされているのだと思います.
No.29697 - 2014/11/27(Thu) 21:19:54
☆ Re: / deep make
点Eを内接円と, 辺CAとの交点とする.

解き方は色々ありますが, 例えば,
cos(A)＝(7^2+9^2-8^2)/(2・7・9)＝11/21.
cos(A/2)^2＝(1+cos(A))/2＝16/21 より, cos(A/2)＝4/√21.
AI×cos(A/2)＝AE＝(7+9-8)/2＝4 なので, AI＝√21.

また, もし, ヘロンの公式を御存知であれば,
三角形ABCの面積 S＝12√5 と計算できるので,
(AB+BC+CA)IE＝2S より, IE＝√5.
更に, 直角三角形AEI に対し, 三平方の定理より,
AI^2＝AE^2＋IE^2＝4^2＋5＝21 なので, AI＝√21.
No.29698 - 2014/11/27(Thu) 22:03:00
☆ Re: / すずき
ご返信遅くなりごめんなさい！！！
非常に合点がいきました(*ﾟ▽ﾟ*)どうもありがとうございました！
No.29976 - 2014/12/28(Sun) 12:55:02
★ (No Subject) / ぽーすけ
この様な問題です。
友人曰く∠BCP=aとしても、解くことができると
言っていますが、全く分かりません。
No.29692 - 2014/11/27(Thu) 19:59:44
☆ Re: / ぽーすけ
自己解決しました。
No.29699 - 2014/11/28(Fri) 00:46:03
★ 圧力の等方性の説明 / zoe
圧力の等方性の説明
正しい証明を教えて下さい。

流体力学の講義中、
断面積S、長さLの円柱□が次のように水中で静止している。

p1→□←p2
この円柱に作用する圧力がp1=p2であることを証明せよ。

という板書がありました。

担当教授が、

p1≠p2と仮定すれば（背理法を用いると）、
円柱が静止している、つまり運動方程式の加速度aが0で等しいから
p1≠p2は成り立たない。よってp1=p2である。

と解説していました。

ところが数学の先生に持っていったところ、
「数学的に証明が間違っている」
と言われました。
どう間違っているのか分かりません。
また正しい証明を教えて下さい。
No.29688 - 2014/11/27(Thu) 00:22:16
☆ Re: 圧力の等方性の説明 / angel
その教授が間違えていたのか、説明が雑だったのか、zoeさんを通じて伝言ゲームする時に内容が変わってしまったのか、それはなんとも言えませんが。

ただ、zoeさんのまとめだと不適切には見えます。
以下のように変えれば妥当と思うのですが。

--
　p1≠p2 と仮定すれば
　円柱に加わる外力(ベクトル)の合計の内、円柱の底面に垂直な成分が非ゼロとなる。
　すなわち、円柱は(少なくとも)底面に垂直な方向に(は)加速する。
　これは円柱が静止しているという前提に反する。
　よってp1=p2である。
--

何がまずかったか、感覚的には、
　示したい事柄の否定を仮定
　→ そこから導かれるモノを整理
　→ 導かれたモノが前提に反することを示す
の流れに沿った話になっていない、だと思います。
No.29690 - 2014/11/27(Thu) 00:51:49
☆ Re: 圧力の等方性の説明 / らすかる
あまり関係ないですが、
> 円柱に加わる外力(ベクトル)の合計の内、円柱の底面に垂直な成分が非ゼロとなる。
この文を読むまで「□」の上下が底面だと思っていました。
「□」ではどちらが底面かわかりませんが、確かに左右が底面の方が問題として妥当そうですね。
No.29691 - 2014/11/27(Thu) 02:30:21
★ (No Subject) / 明日ヤバい
同じくです❗
No.29687 - 2014/11/26(Wed) 22:07:04
★ (No Subject) / 明日ヤバい
下の問題のヒントです❗
No.29686 - 2014/11/26(Wed) 22:06:29
★ (No Subject) / 明日ヤバい
写真の296の解説をお願い致します。
答えは (1)-2<a<6,y=(2a+3)x

(2)(4a+9)/12
です。明日までに解いていかないといけないので至急お願い致します❗
No.29685 - 2014/11/26(Wed) 22:02:34
☆ Re: / X
(1)
f'(x)=3x^2+2ax (P)
∴C上の点(t,t^3+at^2+a+2)における接線の方程式は
y=(3t^2+2at)(x-t)+t^3+at^2+a+2 (A)
これが原点を通るので
0=(3t^2+2at)(-t)+t^3+at^2+a+2
整理して
2t^3+at^2-a-2=0
(t-1){2t^2+(a+2)t+a+2}=0
∴t=1
又は
2t^2+(a+2)t+a+2=0 (B)
よって条件を満たすためには
(i)(B)がt=1を重解に持つ
(ii)(B)が実数解を持たない
のいずれかになります。
ここで(B)の解の判別式をDとすると
D=(a+2)^2-8(a+2)=(a+2)(a-6)
よって
(i)のとき
a=-2,6となりますが、いずれの場合も
条件を満たさないので不適。
(ii)のとき
D＜0より
-2＜a＜6

よって求めるaの値の範囲は
-2＜a＜6
lの方程式は
y=f'(1)x
つまり
y=(2a+3)x

(2)
f(x)-(2a+3)x=x^3+ax^2-(2a+3)x+a+2
=(x+a+2)(x-1)^2
∴(1)の結果により
x≧0において
f(x)-(2a+3)x≧0
つまりCはlの上側にあるので
求める面積をSとすると
S=∫[0→1]{f(x)-(2a+3)x}dx
=…
No.29689 - 2014/11/27(Thu) 00:37:50
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