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★ 数列と極限 / 牧野
数列1/1,1/2,2/2,1/3,2/3,3/3,‥の初項から第n項までの内で 値が1/3に等しい項の個数をanとするときlimn∞→an/√nを求めよ

という問題で、自分でan/3an〈第n項〈an＋1／3(an＋1)という不等式を考え、an/3anについて第3an群にあるのでΣを使って第何項目かを表せると思ったのですが、そのあとが続かないのでヒントを貰えると嬉しいです。
宜しくお願いします
No.29460 - 2014/10/30(Thu) 06:18:33
☆ Re: 数列と極限 / ヨッシー
an/3an が何項目かを調べたら、
　an/3anの項番≦ｎ＜a[n+1]/3a[n+1]の項番
という式になります。いずれも正なので、√を付けて
　√(an/3anの項番)≦√ｎ＜√(a[n+1]/3a[n+1]の項番)
an をこれらで割って、
　an/√(a[n+1]/3a[n+1]の項番)＜an/√n≦an/√(an/3anの項番)
あとは、はさみうちでＯＫです。

答えは 1/3 になるはず。
No.29461 - 2014/10/30(Thu) 09:50:57
★ (No Subject) / すずき
添付し問題について。
A(cosat,sinat)とおけるようなのですが、なぜ角度をatとおけるのかがわかりません。
弧から考えてベクトル…等色々考えてみましたが、そもそも速度aと指定されてるので、この速度をどのように角度へ利用するのかがわかりません。どうか、教えてください…
No.29454 - 2014/10/28(Tue) 13:49:08
☆ Re: / らすかる
角度aとは半径1の円周上の弧の長さaの中心角のことですから
「1秒間に円周上をa進む」＝「1秒間に角度a進む」
ということです。
No.29456 - 2014/10/28(Tue) 14:32:15
★ 「剰余の定理」の問題について / ｊｔ７７８７７
「剰余の定理」の問題についてどうしてもわからない問題が
ありました。わからないので答えを見たのですがそれでも
わかりませんでした。助けてください。教えてください＞＜
よろしくお願いします。


３次式f（X)＝2X^3+BX^2+CX+3をX－1で割れば2余る。
このとき商をX-2で割れば3余る。f（X)を定めよ。
という問題です。



一応答えも書きます。ただ？途中の段階でどうしても理解
できない、わからないところがあります。そこも書きたい
と思いますので教えてくれませんでしょうか？


答え
f（X)＝2X^3+BX^2+CX+3＝(X－1)g(X)+2とおくと
g(X)＝(X-2)（2x+p）+3で表せ上式に代入すると

f（X)＝2X^3+BX^2+CX+3＝(X－1)(X-2)（2x+p）+3X-1

Xの同次係数を比較してB=-4,C=1,P=2となるので答えは

答え→2X^3-4X^2+X+3となります。

自分がどうしてもわからなかったのは
(X－1)g(X)+2とおくと
g(X)＝(X-2)（2x+p）+3で表せ上式に代入しても
右の式→f（X)＝2X^3+BX^2+CX+3＝(X－1)(X-2)（2x+p）+3X-1
にならないのです。計算間違いかかん違いかもしれませんが
いずれにせよわかりませんでした。答えを見てもですよ。
それでここの掲示板の人に教えてもらいたいのですが
どうかよろしくお願い申し上げます。
大至急よろしくお願いします。
No.29452 - 2014/10/28(Tue) 11:33:44
☆ Re: 「剰余の定理」の問題について / ヨッシー
f(X)＝(X－1)g(X)+2 に g(X)＝(X-2)(2X+p)+3 を代入して
f(X)＝(X－1){(X-2)(2X+p)+3}+2
　　＝(X－1)(X-2)(2X+p)＋3(X-1)+2
　　＝(X－1)(X-2)(2X+p)＋3X-1
となります。
No.29453 - 2014/10/28(Tue) 11:45:36
☆ Re: 「剰余の定理」の問題について / ｊｔ７７８７７
ヨッシー様へ
助かりました。どうもありがとうございました。
No.29455 - 2014/10/28(Tue) 14:04:22
★ (No Subject) / かな
青い下線部台形の面積どのように計算されたのかわかりません。

お願いします
No.29447 - 2014/10/27(Mon) 21:41:52
☆ Re: / IT
ほぼ中央やや右側にある上から２つめの図に従って　２つの台形の面積を求めています。

この図から各台形の面積計算に必要な各長さが分かります。
（注）ｘ軸方向が台形の高さの方向になります。

台形の面積の公式は分かりますよね？
No.29448 - 2014/10/27(Mon) 21:53:29
★ ベクトルの問題ですw / パスカル
2平面a:3x-2y＋6z-6＝0、β:3x＋4y-3z＋12＝0、の交戦をLとする。
?@交戦Lの方程式をx-x/o＝y-y/p＝z-z/qの形で表せ

↑↑↑

この問題は解けて、正解がx/-2＝(y＋3)/3＝z/2です

わからないのが次の問題で

交戦Lを含み、点P(1、-9、2)を通る平面Nの方程式を求めよってやつです。

これで、解説に最初交戦L上に二点、A、Bがありって部分からはじまります。それでAが(0、-3、0)で、Bが(-2、0、2)

という数値が出ているのですが、この２つの数値はどうやって出たのでしょうか..........ｎ(*´ω｀*)?
No.29439 - 2014/10/27(Mon) 14:14:31
☆ Re: ベクトルの問題ですw / ヨッシー
x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2 を満たす x, y, z ならなんでも良いのです。
いきなり、x=43 にしてみようなんて人はあまりいないと思いますが、
別に、x=43, y=-135/2, z=-43 でもいいのです。
この場合は、x=0 にしてみよう、y=0 にしてみようの２通りから求めた点が
ＡとＢということになっています。
No.29440 - 2014/10/27(Mon) 15:52:36
☆ Re: ベクトルの問題ですw / パスカル
ちょっと説明がわからないのですが、何でもいいなら全部0でもいいってことですか?
No.29441 - 2014/10/27(Mon) 16:03:27
☆ Re: ベクトルの問題ですw / ヨッシー
それでは、
　x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2
のうちの、x/(-2) と z/2 は０になりますが、(y＋3)/3 が
０にならないので、x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2 を満たすとはいえません。
　x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2
は、x/(-2) と (y＋3)/3 と z/2 の３つとも等しいという意味です。
No.29443 - 2014/10/27(Mon) 16:14:05
☆ Re: ベクトルの問題ですw / ヨッシー
定石通りに書くと、
　x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2＝0
を解いて (x, y, z)＝(0, -3, 0)
　x/(-2)＝(y＋3)/3＝z/2＝1
を解いて (x, y, z)＝(-2, 0, 2)
です。
No.29446 - 2014/10/27(Mon) 18:17:01
☆ Re: ベクトルの問題ですw / パスカル
できました!ヨッシーさんありがとうლ(╹◡╹ლ)
No.29480 - 2014/10/31(Fri) 15:10:11
★ (No Subject) / ガタック
実数を係数とする3次方程式x^3＋ax^2＋bx－4＝0は2つの虚数解α,βと1つの実数解γをもち、│a│＝2である。複素数平面上で原点をOとし、α,β,γで表される点をそれぞれA,B,Cとおくとき、次の問いに答えよ。

(1)γの値を求め、bをaの式で表せ。
(2)次のそれぞれのとき、aの値を求めよ。
　(i)4点O,A,B,Cを頂点とする四角形が平行四辺形となるとき。
　(ii)3点A,B,Cを頂点とする三角形が正三角形となるとき。
(3)nを3以上の自然数の定数とするとき、a^n＝2^nを満たすような異なるaの値の個数をnで表せ。
No.29431 - 2014/10/25(Sat) 18:08:16
☆ Re: / ヨッシー
│a│＝2 ではなく |α|＝2 なら、すんなり解けそうなのですが。
No.29442 - 2014/10/27(Mon) 16:11:59
☆ Re: / ガタック
│α│＝2でした。
すみません
No.29444 - 2014/10/27(Mon) 16:37:29
☆ Re: / ヨッシー
αとβは共役複素数ですので、
　αβ＝|α|^2＝４
であることを念頭に置いて、解と係数の関係より
　α＋β＋γ＝－ａ　　　　・・・(I)
　αβ＋βγ＋γα＝ｂ　　・・・(II)
　αβγ＝４　　　　　　　・・・(III)
(III) とαβ＝４ より　γ＝１
(I)(II)は
　α＋β＝－ａ－１
　αβ＋α＋β＝ｂ
と書けるので、
　ｂ＝－ａ＋３

(1) はこんな感じです。
(3) の a^n＝2^n も正しいですか？
No.29445 - 2014/10/27(Mon) 18:05:49
☆ Re: / ガタック
(3)α^n＝2^nでした。
本当にすみません
No.29450 - 2014/10/28(Tue) 05:42:11
☆ Re: / ヨッシー
(2)(i)
４点Ｏ，Ａ，Ｃ，Ｂ はこの順に四角形を作り、Ｃは（１，０）なので、
　α＋β＝γ
よって、(I) より　－ａ＝２
　ａ＝－２
(ii)
ＡとＢは実軸に対して対称な位置にあり、ＯＡ＝２であることから、
Ｃを通り、実軸とのなす角が３０°の直線
　ｙ＝(1/√3)(ｘ－１)
と、円
　x^2＋y^2＝4
との交点がＡまたはＢとなります。

両者連立させて、
　x^2＋(1/3)(x-1)^2＝４
　3x^2＋x^2－2x＋1＝12
　4x^2－2x－11＝0
これを解いて、
　ｘ＝(1±3√5)/4
このとき、α＋β＝２ｘ であるので、
　ａ＝(α＋β)＋γ
に代入すると
　ａ＝(3±3√5)/2

(3)
αの偏角をθとすると
　α＝２ｅ^(θｉ)
と書け
　α^n＝２^n・ｅ^(nθｉ)
であるので、ｅ^(nθｉ)＝1 となるようなθがいくつあるかという
問題になります。
一般に　θ＝2mπ/n　(ｍ＝0,1,2,・・・n-1) であれば、
　ｅ^(nθｉ)＝1
になりますが、θ＝０　や θ＝π であってはいけません(αやβが実数になる)ので、
αの個数は
　ｎが奇数のとき　ｎ－１個
　ｎが偶数のとき　ｎ－２個
となります。
No.29451 - 2014/10/28(Tue) 08:30:07
★ タイヤのチューブを裏返すと / しん
　ここでお聞きして良いのかどうか、分からないのですが。
　当方、50代です。
　お聞きしたいのは、中が空洞のタイヤのチューブに大き目の穴を一カ所開けて、そこからきれいに裏返しても、チューブにはならないのは何故かが知りたいのですが。
　実は、家族がシュシュ（ドーナツ状にした薄手の布にゴムを通して縮ませた髪飾り）を作ろうとして、縫い目を裏にしようと、一カ所開けた部分から裏返したのですが、何故か、一本の棒状になってしまうとのことでした（その棒状の中に更に棒状のものがある）。
　多分、トポロジーに関することなのかと思うのですが、理由をうまく説明できません。
　御教示願えれば幸甚です。
No.29430 - 2014/10/25(Sat) 17:32:23
☆ Re: タイヤのチューブを裏返すと / 黄桃
私は図が描けないので、説明を理解してもらえるかわかりませんが、次のようなことです。
タイヤのチューブには2種類の円があります。
１つはタイヤに沿った大きな円Aです。
もう１つはタイヤを輪切りにした時に現れる小さな円Bです。
タイヤのチューブに小さな穴をあけて裏返すと、このAとBが入れ替わります。
つまり、裏返すと、表の時は小さな円だったものが大きな円に、表の時は大きな円だったものが小さな円になります。
理想的なゴムで、伸縮自在な素材で出来ていればいいのですが、タイヤのチューブでは無理だと思います。
頑張っても、小さな円の大きさのタイヤに合うチューブでしょうから、中はあまりまくってグニャグニャになってしまいます。
一本の棒状になってしまうのは、ちゃんと裏返せていない（小さい方の円の周りを裏返す操作ができてない）のではないでしょう
か。

＃以下、裏返しのイメージです。
＃トポロジー的には小さな穴も大きな穴も同じなので、
＃トーラスの表面に思い切り大きな穴をあけたものは、
＃紙の輪（折り紙で作るチェーンのようなもの）を２つ
＃張り合わせたものと同じになります。これは上からみると
＃こんな感じЭ（外側はCではなく円で１つのチェーンになり、
＃これがAに相当、内側の－はもう１つのチェーンを横から
＃みたものでBに相当）です。これの表裏をひっくり返すとき、
＃まず、Aをひっくり返し -O　のような形にします。この形になると
＃A,Bについて対称で、以下ひっくり返す操作は、ここまでの
＃A,Bの役割が逆になることに対応します；-のBを裏返し、
＃Bの穴の上からみるとЭになります。
＃この最後の操作ができないのでしょう。
No.29433 - 2014/10/25(Sat) 20:48:26
☆ Re: タイヤのチューブを裏返すと / しん
黄桃さま

　ご丁寧な解説、ありがとうございました。
　まだ完全には理解できていませんが、何となくわかったような気がします。
No.29437 - 2014/10/27(Mon) 02:08:52
☆ Re: タイヤのチューブを裏返すと / Halt0
参考までにですが, Wikipedia にこんなアニメーションがあります↓
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Inside-out_torus_%28animated%2C_small%29.gif
No.29449 - 2014/10/28(Tue) 01:57:21
★ (No Subject) / Z
不定方程式　; 4 x^3-12 x^2 y+12 x y^2+23 y^3-54 y^2+27 y=0 には
　　　解　{0, 0}, {1, 1}, {2, -1}　が　あります　が

それ以外には　存在しない　ことの　証明を　お願いします。
No.29428 - 2014/10/25(Sat) 13:36:21
★ (No Subject) / ちゃん
ｆ（ｘ）＝x(x-α)(ｘ－β)（０＜α＜β）とする
α、β、Sが全て整数のとき、Sの最小値を求めよ

S=(1/12)α＾３（2β-α）
だと思いますがこの先が分かりません。
No.29426 - 2014/10/24(Fri) 21:51:36
☆ Re: / らすかる
Sって何ですか？
No.29427 - 2014/10/24(Fri) 22:04:37
☆ Re: / ちゃん
Sはf(x)（０≦ｘ≦α）とｘ軸の囲む面積です
No.29432 - 2014/10/25(Sat) 19:02:37
☆ Re: / らすかる
(1/12)α^3(2β-α) は
αが奇数のときα^3も2β-αも奇数なので、
α^3(2β-α)が奇数になって12で割り切れず、Sが整数になりません。
従ってαは偶数である必要があります。
α=2とすると2β-αが3の倍数でなければなりませんので
βの最小値は4であり、S=4となります。
(αが偶数で)α≧4のときα^3≧64、2β-α＞2α-α=α≧4なので
S＞256/12＞4となり
α=2のときの最小値4より必ず大きくなります。
従ってα=2,β=4のときのS=4が最小です。
No.29434 - 2014/10/25(Sat) 21:38:34
☆ Re: / ちゃん
回答ありがとうございます。良く理解できましたがαが奇数か偶数かで場合分けしようという発想はどこからきたのですか？

また別解はありますか？

よろしくおねがいします。
No.29435 - 2014/10/26(Sun) 20:24:55
☆ Re: / らすかる
「場合分け」は思いつきでするものではなく、必要に迫られて、あるいは
場合分けすると簡単になるからという理由でするものです。
よって「発想」とは違うと思いますが、以下のように考えました。

「最小値を求める」
→「α^3が掛かっているからαは小さい方が良い」
→「α=1の場合で考えると、Sが最小になるβは？」
→「12で割り切れなければいけないのに、α=1だとβをいくつにしても
　　　2β-αが奇数だから12で割り切れない！」
→「なるほど、αが奇数だとα^3も2β-αも奇数になるからSは絶対に整数にならないのか。」
→「ではそれを先に書いて奇数を除外し、偶数を小さい順に考えてみよう」
→・・・

あと、十分簡単な解法がわかっているときに
わざわざ別解を考える意味はないと思います。
（なぜ別解が必要なのですか？）
No.29436 - 2014/10/26(Sun) 22:19:42
☆ Re: / ちゃん
回答ありがとうございます。非常によく分かりました。

確かに別解は必要ないですね。　

熱心な説明ありがとうございました。
No.29457 - 2014/10/28(Tue) 20:18:13
★ 計算問題です / パスカル
|2OP-1/2OA|^2＝4

|OP-1/4OA|^2＝1
↑この式の右辺が1になった理由がわかりません!
途中式をお願いいたしますლ(╹◡╹ლ)
No.29422 - 2014/10/24(Fri) 00:45:45
☆ Re: 計算問題です / らすかる
|2OP-1/2OA|^2＝4
|2(OP-1/4OA)|^2＝4
|2|^2・|OP-1/4OA|^2＝4
4|OP-1/4OA|^2＝4
|OP-1/4OA|^2＝1
です。
No.29423 - 2014/10/24(Fri) 00:48:18
☆ Re: 計算問題です / パスカル
できました!返事おくれてすいません!

ラスカルさんありがとうｎ(*´ω｀*)
No.29438 - 2014/10/27(Mon) 14:07:51
★ 楕円 / 桔梗
こんばんは。


xy平面上に２定点A(4,0) B(0,3)および、楕円C:(x^2/4)+y^2=1上を動く動点Pがある。
このとき△PABの面積の最大値を求めよ。


Pを(a,b)とおいてPにおける接線は、(1/4)ax+bx=1...?@

(4,0)(0,3)を通る直線をLとすると、L:y=-3/4x+3...?A

ここまでしてみたのですが、続きが分かりませんでした。
No.29416 - 2014/10/23(Thu) 23:38:08
☆ Re: 楕円 / らすかる
↓この解き方が簡単だと思いますが、
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=47151
もし楕円のまま接線を考えたいのでしたら

直線ABに平行な直線はy=-(3/4)x+c
この式と楕円の式からyを消去して整理すると 13x^2-24cx+16c^2-16=0
この式が解を持つ条件は D/4=(12c)^2-13(16c^2-16)≧0
これを解いて -√13/2≦c≦√13/2
y=-(3/4)x+cが楕円に接し直線ABから最も遠くなるのはc=-√13/2のときで
接点Pの座標は(-6/√13,-2/√13)
点と直線の距離の公式により点Pと直線ABの距離は(2√13+12)/5で
AB=5なので、△PABの面積の最大値は5{(2√13+12)/5}/2=√13+6
No.29420 - 2014/10/24(Fri) 00:05:54
☆ Re: 楕円 / 桔梗
ありがとうございました。

納得できました。
No.29421 - 2014/10/24(Fri) 00:20:31
★ 証明がわかりません / るり
(1)x>0のとき不等式e^x〉1＋xが成り立つことを示せ
(2)log(x＋1)〉1－e^-xが成り立つことを示せ
0≦x≦e^y-1 0≦y≦1－e^-xを満たせばx=y=0でなければならないことを示せ
(1)(2)はできたのですが(3)の証明で困っています。(1)の不等式からe^x-１>xと変形し、y>0のときe^y-１>yとして使うのかと検討したりしていますが、(2)の不等式の使い方も含め結局わからずじまいなので教えていただきたいです。


No.29415 - 2014/10/23(Thu) 23:35:35
☆ Re: 証明がわかりません / X
0≦x≦e^y-1 (A)
0≦y≦1－e^(-x) (B)
を満たす領域を描くと、証明すべきことは
x＞0において
(A)の境界線である
x=e^y-1
つまり
y=log(x+1)
が
(B)の境界線である
y=1-e^(-x)
の上側にあること、つまり
log(x+1)＞1-e^(-x)
であることが分かります。
これは(2)により証明されていますので
問題の命題は成立します。
No.29424 - 2014/10/24(Fri) 01:05:36
★ 球面と平面が交わってできる円 / パスカル
中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。
Sとyz平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ

この問題の解き方は全てわかったんですけど、問題文の意味がわかりません!

特に、中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。
↑↑↑
これがどういう状態を指しているのかが全くわかりません。
解説の最初の一文の意味もわかりません。

球面Sの半径rは中心(1,-3,2)と原点との距離に等しいから

と書いてあります。なんで等しいのかがわかりません。

解説お願いします!
No.29414 - 2014/10/23(Thu) 23:20:08
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / ast
類題として, 一つ次元を下げて
　「中心が点(1,-3)で、原点を通る円をSとする。Sとy-軸との交わりは二点になる。この二点の中点と二点間の距離の半分を求めよ」
および
　「円Sの半径rは中心(1,-3)と原点との距離に等しいから」
を考えると状況が分かるのでは?

もとへ返れば, 前者は単に原点が球面S上の点のひとつになっていることを言っているのであり, 後者は原点が球面S上の点であることを半径の言葉で述べているだけということになります.
No.29417 - 2014/10/23(Thu) 23:39:11
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / パスカル
> 類題として, 一つ次元を下げて
> 　「中心が点(1,-3)で、原点を通る円をSとする。Sとy-軸との交わりは二点になる。この二点の中点と二点間の距離の半分を求めよ」
> および
> 　「円Sの半径rは中心(1,-3)と原点との距離に等しいから」
> を考えると状況が分かるのでは?

すいません、今の説明で何が前者で何が後者にあたるのですか??
>
> もとへ返れば, 前者は単に原点が球面S上の点のひとつになっていることを言っているのであり, 後者は原点が球面S上の点であることを半径の言葉で述べているだけということになります.
No.29418 - 2014/10/23(Thu) 23:43:46
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / ヨッシー
前者は
「中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。」
後者は
「球面Sの半径rは中心(1,-3,2)と原点との距離に等しい」
です。

「原点を通る」を「球の表面(球面)上に原点がある」と読み替えられないと、理解は難しいかも。
No.29425 - 2014/10/24(Fri) 09:39:13
★ 空間 / マツオDX
次の問題の解説お願いします。

座標空間で、円X^2＋Y^2=１、z ＝0 を底面とし、（０、０、１）を頂点とする円錐をCとする。
Cの側面で、Y≧（１／２）を満たす部分の面積を求めよ。



答えは、（√２）／３π　－　（√６）／４です
No.29410 - 2014/10/22(Wed) 21:11:59
☆ Re: 空間 / らすかる
上から見た図では、該当する部分の面積はπ/3-√3/4
面のすべての微小部分でπ/4の傾きがあり、上から見た図では
実際の面積の1/√2になっているので、全体の面積も
実際の面積の1/√2になっている。よって求める面積は
(√2)(π/3-√3/4)=(√2)π/3-√6/4
No.29411 - 2014/10/22(Wed) 22:08:48
★ (No Subject) / たける
この画像の問題がどうしても解けません。
ご協力お願いします。

ものすごく数学が苦手ですので、
ゆっくりと詳しく解いて頂ければ助かります。

よろしくお願いします。
No.29401 - 2014/10/22(Wed) 08:52:19
☆ Re: / らすかる
「この画像」が見当たりません。
No.29403 - 2014/10/22(Wed) 14:34:14
☆ Re: / たける
すみません。
よろしくお願いします。
No.29404 - 2014/10/22(Wed) 15:14:08
☆ Re: / たける
あれ？おかしいですね。
画像を添付することができません……
No.29405 - 2014/10/22(Wed) 15:16:19
☆ Re: / たける
出来ました。
お騒がせしてすみません。
No.29407 - 2014/10/22(Wed) 15:17:15
☆ Re: / らすかる
A～D
　cos∠BACからsin∠BACを計算して公式で求めましょう。
E
　△ABCに関する余弦定理で求めましょう。
F～K
　△ABD∽△CBA、△ACE∽△BCAを使って求めましょう。
L～P
　△ADE=△ABD+△ACE-△ABCで求めましょう。
Q～R
　DE：BC=△ADE：△ABCから求めましょう。
No.29408 - 2014/10/22(Wed) 15:28:13
★ アドバイスください！ / flask
x∈Rとする。
(x^2+2ax+1)(x^2+(a+2)x+3-a)≧0が成り立つaの条件を求めよ。
No.29399 - 2014/10/22(Wed) 02:13:58
☆ Re: アドバイスください！ / らすかる
任意のxに対して
x^2+2ax+1≧0 かつ x^2+(a+2)x+3-a≧0
または
x^2+2ax+1≦0 かつ x^2+(a+2)x+3-a≦0
が成り立てばよい。
x^2+2ax+1の判別式/4はD/4=a^2-1なので
-1≦a≦1のとき任意のxに対してx^2+2ax+1≧0
x^2+(a+2)x+3-aの判別式はD=(a+2)^2-4(3-a)=a^2+8a-8なので
-4-2√6≦a≦-4+2√6のとき任意のxに対してx^2+(a+2)x+3-a≧0
従って-1≦a≦-4+2√6のときは任意のxに対して
x^2+2ax+1≧0かつx^2+(a+2)x+3-a≧0となるので、条件を満たす。
それ以外の場合、条件を満たすためには
x^2+2ax+1とx^2+(a+2)x+3-aが一致しなければならない。
（一致しない場合、必ずどこかにxによって符号が異なる箇所がある。）
一致するためには 2a=a+2 かつ 1=3-a すなわち a=2
よって条件を満たす解は
-1≦a≦-4+2√6 または a=2
No.29400 - 2014/10/22(Wed) 03:21:02
★ 図形と方程式 / yuhka
a≧0とする。円C:x^2+y^2=1と直線l:y=-2x+a
(1)Cの中心Oとのl距離はa√(ア)/(イ)だから、Cとlが共有点をもつaの値の範囲は0≦a≦√(ウ)
(2)a=√(ウ)のときCとlの接戦の座標は[(エ)√(オ)/(カ),√(サ)/(シ)]
(3)0≦a<√(ウ)のときCとlの異なる２つの交点をA、BとおくとAB=(ケ)√[(コ)-a^2/(サ)]
△OABが正三角形となるのはa=√(シス)/(セ)

最後がうまく出せないのでお願いします・・
ア～サは以下のようになりました。
(1)a√5/5　0≦a≦√5
(2)(2√5/5,√5/5)
(3)AB=2√(1-a^2/5)
No.29397 - 2014/10/21(Tue) 20:42:32
☆ Re: 図形と方程式 / X
条件からAB=1となればよいので
2√{1-(1/5)a^2}=1
これをaの方程式と見て
a≧0
の条件の下で解きます。

こちらの計算では
a=(1/2)√15
となりました。
No.29398 - 2014/10/21(Tue) 20:58:26
☆ Re: 図形と方程式 / yuhka
OAとOBは半径になるのに、見落としてました！
ありがとうございます！
No.29409 - 2014/10/22(Wed) 18:35:05
★ またベクトルの問題です^^ / パスカル
2点A(-1,2,3),B(0,1,2)を通る直線をLとする。点Pは直線L上を動き、点Qはy軸上を動くとする。このとき、２点P,Q間の距離の最小値とその時の2点P,Qの座標を求めよ


なんですが、AP＝kAPとして
PQ＝AQ-AP＝(1-k,y-2＋k,-3＋k)
PQ^2＝(1-k)^2＋(y-2＋k)^2＋(-3＋k)^2

ここまでは解りました!でも、ここからの展開がわかりません!!
参考書で次の展開が・・・


(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10

となっています。なんで、文字が3つの二次式は展開せずそのままにして、文字が２つある2次式は展開したのでしょうか?

更に、そこから、y-2＋k＝0、となっていますがこの理由もよくわかりません。だったらなんで、1-k＝0,-3＋k＝0、という式は駄目なのでしょうか?

あと、最後にPQの距離の最小値が√2と出るのですがこれはPが(1.0,1)、Qが(0,0,0)なのですが、どうやって計算したのでしょう......ｎ(*´ω｀*)?
No.29395 - 2014/10/21(Tue) 13:26:50
☆ Re: またベクトルの問題です^^ / ヨッシー
ＡＰ＝ｋＡＰ ではなく ＡＰ＝ｋＡＢ ですね。
また、Ｑ を (0,y,0) と置いたのでしょう。

>だったらなんで、1-k＝0,-3＋k＝0、という式は駄目なのでしょうか?
1-k＝0,-3＋k＝0 を同時に満たすｋがないので駄目です。

(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10 の続きに
(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10＝(y-2＋k)^2＋2(k-2)^2+2
という変形をしているはずです。
(y-2＋k)^2 と (k-2)^2 は最小でも０なので、
それぞれ０にすることが出来れば、ＰＱ^2 の最小値は
２とすることが出来ます。
(k-2)^2 を０にするのは、ｋの都合だけで決まります。
(y-2＋k)^2 の方は、ｋが決まった上で、ｙを調整してやる必要があります。
そのため、ｙとｋを含む部分と、ｋだけの部分で分けています。

実際、これらを０にするｋ，ｙの値は、
k-2＝０ より ｋ＝２
y-2＋k＝０ よりｙ＝０
このときに、ＰＱ^2＝２ となり、ＰＱ＝√２ です。
原点をＯとすると
　ＡＰ＝ｋＡＢ
より
　ＯＰ＝ｋＡＢ＋ＯＡ
　　　＝２(1,-1,-1)＋(-1,2,3)＝(1,0,1)
Ｑはｙ＝０ より即座に (0,0,0) となります。
No.29396 - 2014/10/21(Tue) 14:56:04
☆ Re: またベクトルの問題です^^ / パスカル
わかりました!
No.29413 - 2014/10/23(Thu) 23:15:24
★ 行列 / 小豆
座標平面において、直線y=xに関する対称移動を表す行列を
A、原点のまわりのπ/６回転を表す行列をBとする。

(1)行列C=ABを求め、成分表示せよ。
(2)直線L:y=mx+n上の点は、行列Cが表す１次変換によってL上に移るとする。このようなLをすべて求めよ。
No.29390 - 2014/10/21(Tue) 00:04:08
☆ Re: 行列 / X
(1)
原点中心の角度θの回転移動を表す行列をD[θ]とし
F=M{(1,0),(0,-1)}
とすると
A=D[π/4]FD[-π/4]
=M{(0,1),(1,0)}
又
B=(1/2)M{(√3,-1),(1,√3)}
∴C=AB=M{(1/2,(1/2)√3),((1/2)√3,-1/2)}

(2)
L上の点(t,mt+n)がCによって点(X,Y)に移されるとすると
Y=mX+n (A)
一方、(1)の結果により
X=(1/2){t+(mt+n)√3} (B)
Y=(1/2){t√3-(mt+n)} (C)
(B)(C)を(A)に代入して整理した等式を
tの恒等式と見て係数を比較し、
m,nについての連立方程式を立てます。
No.29391 - 2014/10/21(Tue) 01:34:03
★ ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
四面体OABCがある。0<t<1を満たすtに対し、辺OB、OC、AB、ACをt:(1-t)に内分する点をそれぞれK、L、M、Nとする。この時、四角形KLMNが平行四辺形であることを示せという問題。

MN＝ON-OMの式がわかりません。

これが(t-1)a＋tc-｛(1-t)a＋tb｝と何故なるのかがわかりません。特に、ONはOA＋OCと計算したからこの式になったんだと思うのですが、そするとOAベクトルは内分する点がないのに何故(t-1)aとなるのでしょうか?

あと、MN＝AN-AMとするのは駄目なのでしょうか?

この二点を教えて下さい(*｀ω´*)
No.29384 - 2014/10/20(Mon) 14:40:52
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / ヨッシー
正確には、ＫＬＭＮではなくＫＬＮＭが平行四辺形になります。

問題の方ですが、おそらく、ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ を
ａ、ｂ、ｃ などとおいて、
ａ、ｂ、ｃ を使って、
ＫＬ と ＭＮ を表そうというものだと思います。

そうすると、
　ＯＭ＝(1-t)ａ＋tｂ
　ＯＮ＝(1-t)ａ＋tｃ
なので、
　ＭＮ＝ＯＮ－ＯＭ　　←これは公式のようなものです。
　　＝{(1-t)ａ＋tｃ}－{(1-t)ａ＋tｂ}
です。
（最初の t-1 は誤りで、1-t が正しいです。）
ｔを 0.3 などと適当にとって、△ＯＡＣ上で、
ＯＡ方向に 1-t、ＯＣ方向に t 進むと、ＡＣ上のどこかに
行き着くはずです。その点がＮであって、ＯＡを内分しているわけではありません。

MN＝AN-AM としても良いですが、Ｏを始点としている限り
ＡＮ－ＡＭ＝(ＯＮ－ＯＡ)－(ＯＭ－ＯＡ)＝ＯＮ－ＯＭ
なので、同じことです。
No.29385 - 2014/10/20(Mon) 16:41:31
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
> ｔを 0.3 などと適当にとって、△ＯＡＣ上で、
> ＯＡ方向に 1-t、ＯＣ方向に t 進むと、

↑↑↑

このt進むと、というのは線分OB上だったら点kで、線分OC上なら点Lの部分まで、ということでしょうか?
OKとOLはどちらともtですｎ(*´ω｀*)ｎ......?
No.29386 - 2014/10/20(Mon) 17:25:11
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / ヨッシー
正確には、
ＯＡ方向にＯＡの長さの 1-t 倍、ＯＣ方向に ＯＣ の長さの t 倍進む
です。
No.29387 - 2014/10/20(Mon) 17:31:29
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
わかってよかったです!ヨッシーさんありがとう!!(｀ω´)
No.29394 - 2014/10/21(Tue) 13:15:57
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