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★ 分布 / Domino
宜しくお願い致します。

[Q1] Let X have a Poisson distribution with parameter Λ which is itself a random variable with continuous uniform distribution on (0,1). What is the probability mass function of X. Find E(X).
[Q2] Cars arrive round the corner of a one way street at constant speed according to a Poisson process with rate λ cars per unit time. The time is takes a car to go from the corner to the crosswalk is just a tad longer than the time T it takes you to cross the street. Find the expected time you have to wait to cross the street. Hint: condition on whether you see no car coming (in which case you have to wait 0 units of time) or whether you see a car coming in which case you have to wait.

という問題です。

[Q1]については,先ずPoission分布ということからp.m.fはP(X=k)=λ^ke^-λ/k!,E(X)=λ,
(0,1)上の連続一様分布ということから,p.d.fはf(x)=1/(1-0) x∈[0,1], 0 otherwise.
となっているのですよね。
これからどうすればいいのでしょうか?

[Q2]についてはk台の車が一定時間mにP(X=k)=λ^ke^-λ/k!の確率で歩行者youが横断歩道を渡るのに要する時間Tより少しだけ長いT+ε.
と書ける事は分かります。これからどうすればいいのでしょうか?
No.28957 - 2014/09/21(Sun) 07:43:53
★ 速さのグラフ / ふぃ
先程から連投申し訳ありません。
関数の応用問題についてグラフの表し方と解き方を教えて下さい。
回答お待ちしております。
ふぃ・中3



傾きが一定の坂の頂上からボールを転がしたらボールから転がり始めてからｘ秒間に転がった距離ｙmとするとy=1/4xの2乗の関係があった。
(1)ボールが転がり始めてからの時間と転がった距離の関係をグラフで表せ。

(2)ボールが転がりると同時にA君は頂上からこの坂を1cm/秒の速さで歩き出した。A君は歩き出してから何秒でボールに追いつかれるか。

(3)ボールが転がり始めてからしばらくしてB君は頂上から一定の速さで走り始めた。B君はボールが転がり始めてから3秒後にボールに追いつき7秒後に追い抜かれた。B君は秒速何mの速さで走ったか。
No.28951 - 2014/09/18(Thu) 22:20:21
☆ Re: 速さのグラフ / ヨッシー

(1)
(0,0)(1,1/4)(2,1)(3,9/4)(4,4) などを取って、なめらかに結びます。
＜図の赤線＞
(2)
ｙ＝ｘ の直線を描き＜青線＞、赤線と交わったところが、追いつかれる点です。
(4,4) で交わるので、４秒。
(3)
(3,9/4) と (7,49/4) を結ぶ線＜緑線＞の傾きが速度になります。
傾きは5/2 なので、秒速2.5ｍ
No.28956 - 2014/09/18(Thu) 23:47:23
★ (No Subject) / ふぃ
連投?失礼致します。
関数の応用問題についてグラフの表し方、解き方が分からないので分かりやすく教えて下さい。
中3・ふぃ


ある町の電車に乗車した距離と運賃の関係は表のようになっている。
(1)乗車した距離ｘkmと運賃ｙ円の関係をグラフに表せ。

(2)乗車した距離が12kmのときの運賃を求めろ。

(3)料金が300円となるxの範囲を求めろ。
No.28950 - 2014/09/18(Thu) 22:09:28
☆ Re: / ヨッシー
No.28954のとよく似たグラフになります。
表の値をそのままグラフ上に描くだけです。

(2)(3)はグラフがなくても表から読み取れます。
(2) 12km は「10kmまで」を超えて、「15kmまで」に含まれるので250円。
(3)300円になるのは15kmを超えて20km以下なので、これを
不等式で表します。
No.28955 - 2014/09/18(Thu) 23:37:04
★ (No Subject) / ヒキニート
?兎^(-x)sin^2xdx

?唐ﾍ普通の積分に用いるインテグラルです
この記号以外自分のスマホは出ないので........
No.28949 - 2014/09/18(Thu) 21:51:27
☆ Re: / らすかる
∫e^(-x)sin2x dx
=-e^(-x)sin2x+2∫e^(-x)cos2x dx
=-e^(-x)sin2x-2e^(-x)cos2x-4∫e^(-x)sin2x dx
∴∫e^(-x)sin2x dx=-{e^(-x)sin2x+2e^(-x)cos2x}/5+C
=-e^(-x)(sin2x+2cos2x)/5+C
よって
∫e^(-x)(sinx)^2 dx
=-e^(-x)(sinx)^2+∫e^(-x)sin2x dx
=-e^(-x)(sinx)^2-e^(-x)(sin2x+2cos2x)/5+C
=-e^(-x){5(sinx)^2+sin2x+2cos2x}/5+C
=-e^(-x){5(1-cos2x)/2+sin2x+2cos2x}/5+C
=-e^(-x)(2sin2x-cos2x+5)/10+C
No.28953 - 2014/09/18(Thu) 22:50:17
★ (No Subject) / ふぃ
先日は関数の応用問題を教えて頂きありがとうございました。
今回も関数の応用問題について教えて頂きたいので投稿させて頂きます。
解き方とグラフの表し方が分からないので教えて頂けると有難いです。
ふぃ・中3



Aタクシー会社の料金ははじめの3kmまでは650円で3kmを越える1kmごとに150円ずつ増える。乗車距離ｘkmのときの料金をy円として次の問に答えろ。
(1)xは0より大きく8以下のときのｘとｙの関係をグラフに表せ。

(2)6.5km乗車したときの料金を求めろ。

(3)1000円で何kmまで乗車出来るか。

(4)Bタクシー会社の料金は2kmまでは400円で2kmを越えると500mごとに100円ずつ増える。7.5km乗車したときの料金はA社、B社どちらが安いか。
No.28948 - 2014/09/18(Thu) 20:54:26
☆ Re: / ヨッシー
Ａタクシーの場合
3km までが650円、3kmを超えて4kmまでが800円、4kmを超えて5kmまでが950円
のようになるので、5km までのグラフは図の赤線になります。
この続きで8kmまで描いてください。
(2)(3)はグラフから読み取れます。

Ｂタクシーの料金のグラフは図の青線のようになります。
同じように続きを描いてください。
No.28954 - 2014/09/18(Thu) 23:32:08
★ (No Subject) / 1012
ここの表を完成させて欲しいです。
よろしくお願いします。
No.28941 - 2014/09/17(Wed) 20:05:06
☆ Re: / らすかる
「Google」はご存知ですか？
No.28942 - 2014/09/17(Wed) 21:25:45
☆ Re: / 1012
はい。
No.28943 - 2014/09/17(Wed) 21:40:46
☆ Re: / 1012
続けてすみません。
これで合っていますでしょうか？
よろしければ、確認お願いします。
No.28944 - 2014/09/17(Wed) 21:50:04
☆ Re: / らすかる
一応正しいですが、「正四角形」という言い方はあまりしませんので
「正方形」にした方が良いと思います。それ以外は問題ありません。
No.28946 - 2014/09/17(Wed) 22:32:46
☆ Re: / 1012
わかりました。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。
No.28947 - 2014/09/18(Thu) 07:13:43
★ (No Subject) / ふぃ
連投申し訳ございません。
こちらの問題もよく分からないので分かりやすく解説して頂ければ幸いです。
中3/ふぃ


AB=BC=6cmの直角二等辺三角形ABCがある。点PはAを出発し3cm/秒の速さで辺上をABCの順に進みCに到着後停止する。点Qは点Pと同時にBを出発し2cm/秒の速さで辺BC上をCに向かって進み、Cに到着後停止する。2点P、Qが出発してからx秒後の△APQの面積をy平方cmとして次の問いに答えろ。但し点PがAにあるときはy=0とする。

(1)次の各場合にyをxの式で表せ。
<1>xは0以上2以下
<2>xは2以上3以下
<3>xは3以上4以下

(2)xは0以上4以下の範囲でxとyの関係をグラフで表せ。

(3)△APQの面積が△ABCの面積の1/3になるのは2点P,Qが出発してから何秒後か。





下の画像がグラフと問題の図です
No.28936 - 2014/09/16(Tue) 23:47:25
☆ Re: / ヨッシー
(1)
<1>
ＡＰ＝３ｘ、ＢＱ＝２ｘ　より
　ｙ＝ＡＰ・ＢＱ／２＝３ｘ^2
<2>
ＢＰ＝３ｘー６、ＢＱ＝２ｘ　より
　ＰＱ＝ＢＱ−ＢＰ＝６−ｘ
高さは６ｃｍなので
　ｙ＝６（６−ｘ）／２＝１８−３ｘ
<3>
ＢＰ＝３ｘー６、ＢＱ＝６　より
　ＰＱ＝１２−３ｘ
高さは６ｃｍなので
　ｙ＝６（１２−３ｘ）／２＝３６−９ｘ
(2)
グラフは省略
(3)
グラフより、△ＡＰＱが６cm^2になるのは
　√2秒後と30/9秒後
No.28938 - 2014/09/17(Wed) 06:26:10
★ (No Subject) / ふぃ
何度も申し訳ありません。グラフの画像です
No.28935 - 2014/09/16(Tue) 23:37:58
★ 関数の応用 / ふぃ
以下の問題がよく分からないので解き方等を詳しく教えて頂けると有難いです。
中3/ふぃ


図のように1辺の長さが3cmの正方形がある。点Pは頂点Aを出発し1cm/秒の速さで辺AB上を頂点Bの方向に移動し、頂点Bに到達したら同じ速さで辺BA上を移動し頂点Aまで戻る。また点Qは点Pと同時に頂点Aを出発し点Pと同じ速さで辺AD、辺DC上を通って頂点Cまで移動する。このとき点P、Qが頂点Aを出発してからx秒後の3点△APQの面積をy平方cmとするとき次の問いに答えろ。



(1)次の<1><2>についてyをxの式で表せ。
<1>xは0以上3以下のとき
<2>xは3以上6以下のとき

(2)xは0以上6以下のときのxとyの関係を表すグラフを書き入れなさい。

(3)点P、Qが頂点Aを出発してから6秒後までの間で△APQの面積が２平方cm以上になるのは何秒間か答えろ。


下の画像がこの問題の図です
No.28933 - 2014/09/16(Tue) 23:32:52
☆ Re: 関数の応用 / ヨッシー
(1)
<1>
ＡＰ＝ｘ(cm)、ＡＱ＝ｘ(cm) なので
　ｙ＝ｘ^2/２
<2>
ＡＰ＝６−ｘ(cm)、高さは3cmなので
　ｙ＝3(6-x)/2＝９−3x/2
(2)
グラフは以下の通り

(3)
グラフより
２≦ｘ≦14/3 の 8/3 秒間
No.28937 - 2014/09/17(Wed) 06:10:00
★ 整数 / aba
次の条件を満たす正の整数の組(a,b,c)を全て求めよ
・(a^2)b+(b^2)c+(c^2)aはabcの倍数
・c^3はa(b^2)の倍数
No.28930 - 2014/09/16(Tue) 23:00:50
☆ Re: 整数 / IT
※a|c は cがaの倍数であることを表す。aトc は cがaの倍数でないことを表す。

条件は下記のとおり
abc|(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a …(1)
a(b^2)|c^3 …(2)　

(a,b,c)が条件をみたすとき(ka,kb,kc) （kは任意の正整数）も条件をみたす…(A)ので
(a,b,c)の最大公約数=1として考える.

ある素数pについて　b=(p^s)b',c=(p^t)c', pトb',pトc'とすると,
　(1)より　bc|a(ab+c^2)
　よって p^(s+t)|a(p^s)b'+p^(2t)(c')^2
　(2)より　p^(2s)|p^(3t) よって 2s≦3t…(3) したがって　2t≧s なので　
　p^t|ab'+p^(2t-s)(c')^2
　よって t=0,(3)よりs=0
したがってb=1

これを(1)に代入
　ac|a^2+c+(c^2)a
　ac|a^2+c
　よって、a^2+c=nac（nは正整数）とおける。
　a^2=(na-1)c
　aとna-1は互いに素なのでna-1=1
よってna=2、(n,a)=(2,1)のときc=1、(n,a)=(1,2)のときc=4

以上より(a,b,c)=(1,1,1),(2,1,4)、これらは条件を満たす。

よって(A)より、求める(a,b,c)=(k,k,k),(2k,k,4k)　kは任意の正整数
No.28939 - 2014/09/17(Wed) 08:10:35
★ (No Subject) / 1012
続けて失礼いたします。
次の問題もわからないので、解き方と答えを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.28929 - 2014/09/16(Tue) 21:18:41
☆ Re: / ヨッシー
ヒントの通りです。
(1)
△ＦＤＡ∝△ＦＥＣ　(相似比は３：２）より
　ＡＦ：ＦＣ＝３：２
　△ＦＥＣ：△ＦＤＡ＝２^2：３^2＝４：９
(2)
△ＡＦＢ∝△ＣＦＧ（相似比はＡＦ：ＦＣ＝３：２）より
　ＣＧ：ＣＤ＝ＣＧ：ＡＢ＝２：３
△ＧＦＣ：△ＧＦＤ＝２：１
△ＡＦＤ：△ＣＦＤ＝３：２＝９：６
よって、
　△ＧＦＣ：△ＧＦＤ：△ＡＦＤ＝４：２：９
　△ＧＦＣ：△ＤＡＣ＝４：１５
No.28932 - 2014/09/16(Tue) 23:09:26
☆ Re: / 1012
ありがとうございました。
No.28945 - 2014/09/17(Wed) 22:24:37
★ (No Subject) / 1012
次の問題の解き方と答えを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.28928 - 2014/09/16(Tue) 21:17:28
☆ Re: / ヨッシー
(1)
　ＡＱ：ＱＳ=△ＡＱＲ：△ＱＲＳ＝２：１
(2)
　ＡＳ：ＳＢ＝△ＡＳＣ：△ＢＳＣ＝４：１＝１２：３
よって、
　ＡＱ：ＱＳ：ＳＢ＝８：４：３
ＡＢ＝３０のとき
　ＡＱ＝ＡＢ×8/15＝１６
No.28931 - 2014/09/16(Tue) 23:01:27
☆ Re: / 1012
ありがとうございました。
No.28940 - 2014/09/17(Wed) 20:00:51
★ (No Subject) / あと
では、n回サイコロをなげ終えた時、初めてAに戻ってくる確率はいくらになるだろうか？
No.28926 - 2014/09/16(Tue) 21:12:15
★ 2次方程式、2次関数 / ふぇるまー
問?@ 2次方程式　ax^2+2x+4a<0の解がすべての実数である時、定数aの値の範囲=?
問?A ある速さで真上に打ち上げたﾎﾞｰﾙの、打ち上げてからx秒後の地上からの高さをhm(ﾒｰﾄﾙ)とする。hの値がh=-5x^2+40xで与えられるとき、ﾎﾞｰﾙが地上から60m以上75m以下の高さにあるのは、xの値がどんな範囲の時か=?
問?B 2次関数　y=x^2-2ax+aにおいて、yの値が常に正であるように、定数aの値の範囲を求めよ。

以上3題です。宜しくお願いします。
No.28922 - 2014/09/16(Tue) 18:46:58
☆ Re: 2次方程式、2次関数 / X
問1
問題の不等式より
-ax^2-2x-4a＞0
∴xの二次方程式
-ax^2-2x-4a=0
の解の判別式をDとすると求める条件は
-a＞0 (A)
D/4＜0 (B)
(A)(B)をaの連立不等式と見て解きます。

問2
条件から
60≦-5x^2+40x≦75
∴
60≦-5x^2+40x (A)
-5x^2+40x≦75 (B)
(A)(B)を連立して解きます。

問3
求める条件はxの二次不等式
x^2-2ax+a＞0
の解が全ての実数になるような条件です。
ということで問1と方針は同じです。
No.28923 - 2014/09/16(Tue) 18:53:36
☆ Re: 2次方程式、2次関数 / ふぇるまー
わかりました。ありがとうございます。
No.28924 - 2014/09/16(Tue) 20:17:47
★ 商と余りの関係・虚数解 / なぞなぞ
(1)2つの方程式x^3+3x^2+5x+6=0とx^2+x+k=0が2つの解を共有するとき、
実数kの値を求めよ。また、ただ1つの解を共有するときの実数kの値を求めよ。

第1式でx=-2を代入すると左辺=0となることから、x=-2が第1式の解の一つであり、
また、因数定理により第1式はx+2で割り切れることまではわかりました。
これ以降の処理がわかりません。

ちなみにこの問題は商と余りの関係の章末問題で、
微分を使った増減表・グラフ以外の方法で解くようになっています。


(2)方程式x^3=1の虚数解の1つをωとするとき、次の式の値を求めよ。
ω^10+ω^20+ω^30


以上、よろしくお願い申し上げます。
No.28920 - 2014/09/16(Tue) 08:04:21
☆ Re: 商と余りの関係・虚数解 / ヨッシー
(1)
x=-2 が解であり、(x+2) でくくれることが分かったなら、実際にくくってみて、
　x^3+3x^2+5x+6＝(x+2)(x^2+x+3)
x^2+x+3=0 の解をｘ＝α、β とすると、α、βは共役な複素数であり、
実数係数の２次方程式 x^2+x+k=0 が、ｘ＝αを解に持つなら、ｘ＝βも解に持つ。
よって、２つの解を共有するとは　ｘ＝α、βのことであり、すなわち、ｋ＝３である。

ただひとつの解を共有するときの共有解はｘ＝−２であるので、x^2+x+k=0 に代入して、
ｋ＝−２ を得ます。

(2)
ωに関する性質をまとめると、
　x^3＝1 の解なので、ω^3＝1
　x^3＝1 から得られる　(x-1)(x^2+x+1)=0 の x^2+x+1=0 から得られる解なので、
　ω^2＋ω＋1＝0
以上より、
　ω^10＝(ω^3)^3ω＝ω
　ω^20＝(ω^3)^6ω^2＝ω^2
　ω^30＝(ω^3)^10＝１
よって、
　ω^10+ω^20+ω^30＝ω^2＋ω＋1＝0
No.28921 - 2014/09/16(Tue) 11:01:29
★ 二次関数 / ちろる。
二次不等式x²＋2mx＋1≧0が0≦x≦2において常に成り立つように、定数mの値の範囲を定めよ。（高校１年）
答え m≧-1
No.28918 - 2014/09/16(Tue) 02:05:59
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
f(x)＝x^2＋2mx＋1 とおきます。
y=f(x) をグラフにすると、問題の条件を満たすのは、次の３通りになります。

(1)
Ｄ＝m^2−１≦０ より　−１≦ｍ≦１
(2)
軸：ｘ＝−ｍ≦０　かつ　f(0)＝１≧０
よって、　ｍ≧０
(3)
軸：ｘ＝−ｍ≧２　かつ　f(2)＝４ｍ＋５≧０
よって、　ｍ≦ー２　かつ　ｍ≧ー５／４
これを満たすｍの範囲はない

以上、(1)または(2)または(3) より　−１≦ｍ
No.28919 - 2014/09/16(Tue) 05:55:56
★ (No Subject) / 1012
次の問題の解き方と答えを教えてください。
No.28914 - 2014/09/15(Mon) 21:41:03
☆ Re: / らすかる
ヒントの線とAO'を描くと相似比1：3の直角三角形ができることから
AO：OO'=1：2なので、AO=4
No.28915 - 2014/09/15(Mon) 21:56:15
☆ Re: / 1012
ありがとうございました。
No.28927 - 2014/09/16(Tue) 21:15:42
★ 高次方程式 / yuhka
f(x)=x^4+4x^2+16とおく。
(1)x≠0とするとf(x)/x^2はx=(アイ)、(ウ)のとき最小値(エ)をとる。

(2){f(x)+3}/(x^2+1)=a(x^2+1)+{b/(x^2+1)}+cのとき
a=(カ)、b=(キク)、c=(ケ)だから{f(x)+3}/(x^2+1)は
x=(コ)√(サ)、√(シ)のとき最小値(スセ)をとる。

(1)は相加平均と相乗平均の関係からx=-2、2で12をとると出しましたが、(2)で行き詰まりました・・・
解法を教えてください。
　　
No.28911 - 2014/09/15(Mon) 16:57:33
☆ Re: 高次方程式 / IT
(2){f(x)+3}/(x^2+1)=a(x^2+1)+{b/(x^2+1)}+c
両辺に(x^2+1)を掛けて
x^4+4x^2+19＝a(x^2+1)^2+b+c(x^2+1)
x^4の係数からa=1,展開して係数比較しb,cを求める。

最小値は相加相乗平均の関係から求める
No.28912 - 2014/09/15(Mon) 19:16:09
☆ Re: 高次方程式 / yuhka
ありがとうございました！
No.28925 - 2014/09/16(Tue) 20:24:22
★ (No Subject) / クルトガ
(1) 4(x-2)^2-32=0
(2) 8(x-1)^2-2=0

二次方程式です。
解き方を教えてください
No.28907 - 2014/09/15(Mon) 15:14:48
☆ Re: / IT
(1)
4(x-2)^2-32=0
４で割って　(x-2)^2-8=0
移項して　　(x-2)^2=8
よって　　　x-2=±√8=±2√2
移項して　　x=2±2√2
(2)も同様にできると思います。
No.28908 - 2014/09/15(Mon) 15:31:50
☆ Re: / クルトガ
ありがとうございます！！！！
No.28909 - 2014/09/15(Mon) 16:10:18
★ 定理の使い方 / 香織
こんにちは。

n×n複素行列A,Bに於いて,A+xBの固有値zがx=0に関して連続である事をRoucheの定理

「関数f(z),g(z)は単連結領域Dで正則かつDに含まれる或る単純閉曲線C上で|f(z)|>|g(z)|とする。
この時,Cの内部に於けるf(z)+g(z),f(z)の零点の個数を夫々N_0(f+g),N_0(f)と置けば,N_0(f+g)=N_0(f)」

を利用して示したく思ってます。

h(z,x):=det(z-(A+xB))と置いた時,
単純閉曲線C内でのh(z,x)の零点の個数?点{c}(d/dz h(z,x)}/h(z,x) dzが h(z,0)での個数?点{c}(d/dz h(z,0))/h(z,0) dzに等しい

という風に持って行きたいのですが,この場合,何がf(z),g(z)になるのでしょうか?
No.28902 - 2014/09/15(Mon) 02:17:59
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