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★ 極座標と極方程式 / あんみ
極方程式ｒ=b/1-acosθ(bは0でない数、0<a<1)で与えられる曲線と、媒介変数表示された曲線x=4/3cost,y=2√3/3sintをX軸方向へ2/3だけ平行移動した曲線が一致するようにa,bの値を求めよ。　


答えはa=1/2,b=1らしいです。
ヒントが3x^2-4x+4y^2=4とr=arcosθ+bが一致する、と書いてあるのですが3x^2-4x+4y^2=4という式はどこから現れたんですか？あと、みんなの前で説明しないといけないので最初から詳しく教えてください。
No.29555 - 2014/11/10(Mon) 23:39:58
☆ Re: 極座標と極方程式 / ヨッシー
x=(4/3)cost, y=(2√3/3)sintを
X軸方向へ2/3だけ平行移動した曲線は
x=(4/3)cost+2/3, y=(2√3/3)sint
と書けます。
それぞれ変形して
　cost＝(3/4)(x-2/3), sint＝(√3/2)y
よって、cos^2t＋sin^2t＝1 より
　(3/4)^2(x-2/3)^2＋(√3/2)^2y^2＝1
　(9/16)(x^2−4x/3＋4/9)＋3y^2/4＝1
両辺16を掛けて
　9x^2−12x＋4 ＋ 12y^2＝16
移項して両辺３で割って
　3x^2−4x＋4y^2＝4
となります。
No.29559 - 2014/11/11(Tue) 06:30:26
☆ Re: 極座標と極方程式 / あんみ
上の式から答えはどうやったら出せますか？x=cosθとか使って出そうとしたんですけどよく分かりません。
No.29565 - 2014/11/11(Tue) 22:48:06
☆ Re: 極座標と極方程式 / ヨッシー
ｘ＝ｒcosθ、ｙ＝ｒsinθ を 3x^2−4x＋4y^2＝4 に代入して整理すると
　r^2cos^2θ＋4rcosθ＋4−4r^2＝０
これを cosθ について解くと
　cosθ＝(-2r±2r^2)/r^2
　rcosθ＝-2±2r
　ｒ＝±{1＋(r/2)cosθ}
これと　r=arcosθ+b をくらべ　０＜ａ＜１ となるようにすると
　ａ＝１／２、ｂ＝１
を得ます。
No.29567 - 2014/11/11(Tue) 23:06:25
★ 連続ですみません / ガタック
α、βを0＜α＜β＜(π/2)を満たす整数とする。
(1)θの方程式x^2(cosθ)^2＋y^2(sinθ)^2＝1を満たすθが、α≦θ≦βの範囲に存在するためのx、yの条件を求め、この条件を満たす点(x,y)の領域を図示せよ。
(2)　(1)で求めた領域が、円x^2＋y^2＝4の内部に含まれるためのα、βの条件を求めよ。
No.29551 - 2014/11/10(Mon) 18:35:19
★ (No Subject) / ガタック
1つのサイコロを続けてn回投げるとき、出た目の積をX(n)、和をY(n)とする。X(n)、Y(n)が3で割り切れる確率をそれぞれp(n)、q(n)とする。
(1)p(n)を求めよ。
(2)q(n)を求めよ。
(3)X(n)が3で割り切れないで、かつY(n)が3で割り切れる確率をr(n)とする。r(n)を求めよ。
No.29550 - 2014/11/10(Mon) 18:14:56
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ｎ回目までに１度も３か６が出ない確率は
　(2/3)^n
よって求める確率は
　p(n)＝１−(2/3)^n
(2)
　n-1回目までの和がいくつであっても、
ｎ回目の目を足して３の倍数になるのは 1/3 なので
　q(n)＝1/3
たとえば、Y(n-1) が
　３の倍数のときは　３か６でY(n)が３の倍数
　３で割って１余る数のときは　２か５でY(n)が３の倍数
　３で割って２余る数のときは　１か４でY(n)が３の倍数
となります。

(3)
ｎ−１回目まで１，２，４，５だけが出る確率は
　(2/3)^(n-1)
であり、それまでの和を３で割って、
割り切れる、１余る、２余る確率はそれぞれ等確率で
　2^(n-1)/3^n
ずつである。
Y(n-1) が３で割り切れて、Y(n) が３で割り切れることはあり得ない。
Y(n-1) が３で割って１余る数のとき、ｎ回目に２，５が出れば
Y(n)が３で割り切れるので、その確率は 2^(n-1)/3^(n+1)
Y(n-1) が３で割って２余る数のとき、ｎ回目に１，４が出れば
Y(n)が３で割り切れるので、その確率は 2^(n-1)/3^(n+1)
よって、求める確率は
　r(n)＝2^(n-1)/3^(n+1)×2＝2^n/3^(n+1)

X(n) が３で割り切れない確率 (2/3)^n のうち、Y(n) が
３で割り切れる、１余る、２余る確率は３等分ずつなので、
３で割り切れるのは　2^n/3^(n+1)　としても出来ます。
No.29552 - 2014/11/10(Mon) 19:19:44
☆ Re: / ガタック
ありがとうございます
No.29554 - 2014/11/10(Mon) 22:55:56
★ 一次関数 / clover
こんばんは、中学二年生です。
「　y=(-1/3)x+3の一次関数の式で、xの変域が x≥-3のときの
yの変域を求めよ。」
という問題で答えは、y≥4と分かっているのですが、
問題の意味がよくわかりません。グラフだとどの部分のことを言っているのか詳しく教えてくださいますか?
よろしくお願いします。
No.29548 - 2014/11/09(Sun) 17:49:20
☆ Re: 一次関数 / ヨッシー
こんな感じです。


ｙ≧４　ではなく　ｙ≦４　ですね。
No.29549 - 2014/11/09(Sun) 18:20:40
★ 確率 / みさと
こんばんは。

ｎ人の生徒のおのおのが1から10までの番号をつけた10枚のカードを持っている。各人が手持ちのカード10枚の中から1枚を取り出す。このとき、取り出されたｎ枚のカードの番号が全て異なる確率が1/10以下であるとする。このようなｎの最小値を求めよ。という問題なのですが、ｎ＝1から順番に考えていくと何とか答えにはたどり着くのですが、もっと簡単に解く方法は無いのでしょうか?ちなみに答えはｎ＝7となります。
よろしくお願いします。
No.29544 - 2014/11/09(Sun) 01:24:05
☆ Re: 確率 / らすかる
n枚全て異なる確率は10Pn/10^nなので
不等式10Pn/10^n≦1/10を解くということですね。
整理すると(10-n)!≧3628800/10^(n-1)となり、
これは左辺は階乗の値を並べ、右辺は3628800を10で割っていけばよいので
n=1 → 9!=362880＜3628800
n=2 → 8!=40320＜362880
n=3 → 7!=5040＜36288
n=4 → 6!=720＜3628.8
n=5 → 5!=120＜362.88
n=6 → 4!=24＜36.288
n=7 → 3!=6＞3.6288
よってn=7となります。
No.29545 - 2014/11/09(Sun) 01:38:26
☆ Re: 確率 / IT
（別法）
おそらく　みさとさんが　やられた方法だと思いますが
10Pn≦(10^n)/10　なる最小のnを見つける
n=1 → 10P1=10　　　＞(10^n)/10＝1
n=2 → 10P2=10×9　　＝90　　＞10
n=3 → 10P3=90×8　　＝720 　＞100
n=4 → 10P4=720×7 　＝5040　＞1000
n=5 → 10P5=5040×6　＝30240 ＞10000
n=6 → 10P6=30240×5 ＝151200＞100000
n=7 → 10P7=151200×4＝604800≦1000000
よってn=7

あとは表にするなどして記述を出来るだけ省略するぐらいでしょうか。
No.29546 - 2014/11/09(Sun) 07:27:42
★ 関数のグラフ / しゃあ
こんばんは。グラフを書く問題なのですが、次の四問がどうしても途中で解けなくなってしまったので教えていただけると助かります。宜しくお願い致します。

(1)y=x^3/(x-3)^2
(2)y=-x+(4-x^2)^1/2
(3)y=x+(x^2-1)1/2
(4)y=(x^2+2x)e^-x
No.29543 - 2014/11/07(Fri) 01:11:28
★ 分数になおす / 里奈
. .
0.12を分数で表せ。
という問題なのですが、
なぜ答えが4/33になるのか分かりません。
解答よろしくお願いします！
No.29541 - 2014/11/06(Thu) 23:38:00
☆ Re: 分数になおす / ヨッシー
1/99=0.010101・・・
であることを知っていれば、
　0.121212・・・＝12/99＝4/33

もう少し論理的に解くと、
　Ａ＝0.12121212・・・
とおき、
　100A＝12.12121212・・・
下式から上式を引いて、
　99A＝12
　Ａ＝4/33
No.29542 - 2014/11/06(Thu) 23:48:49
★ 微分 / みさ
こんばんは。

y=x^2/(√x^2+1)　のグラフを書く問題なのですが、
微分が出来ませんでした。

お願いします。
No.29539 - 2014/11/06(Thu) 23:12:49
☆ Re: 微分 / ヨッシー
f(x)＝x^2、
g(x)＝√(x^2+1)＝(x^2+1)^(1/2)
とおくと、
f'(x)＝2x
g'(x)＝(1/2)(x^2+1)^(-1/2)・2x
　　＝x/√(x^2+1)
より
　ｙ’＝(f'(x)g(x)−f(x)g'(x))/{g(x)}^2
　　＝(2x√(x^2+1)−x^3/√(x^2+1))/(x^2+1)
　　＝x(3x^2+2)/(x^2+1)^(3/2)
です。
No.29540 - 2014/11/06(Thu) 23:25:10
★ 数列 / yuhka
数列{a[n]}は2，6，12，20，30・・・で表され、その階差数列{b[n]}は等比数列。
b[n]=(ア)n+(イ)だからa[n]=n(n+(ウ))
S[n]=Σ[k=1,n]a[k]とおくとS[n]={(エ)/(オ)}n(n+(カ))(n+(キ))
Σ[k=1,n](k+1)/S[k]={(ク)n(n+(ケ)(n+(コ))}/{(サ)(n+(シ))(n+(ス))}

b[n]=2n+2,a[n]=n(n+1),S[n]=(1/3)n(n+1)(n+2)となりました。
最後は(n+1)/S[n]=3/n(n+2)の総和で解こうとしましたが合いません・・・
ご指摘と解法をお願いします！
カ<キ、シ<スです。
No.29534 - 2014/11/06(Thu) 21:02:01
☆ Re: 数列 / ヨッシー
b[n] は　4, 6, 8, 10 なので、等比数列ではなく等差数列ですね。

S[n] までは出ているので、続きから、

　(k+1)/S(k)＝3/k(k+2)
であり、
　1/k−1/(k+2)＝2/k(k+2)
であることから、
　Σ[k=1〜n](k+1)/S(k)
　＝(3/2)[(1/1−1/3)＋(1/2−1/4)＋(1/3−1/5)＋・・・＋{1/(n-1)−1/(n+1)}＋{1/n−1/(n+2)}]
　＝(3/2){1＋1/2−1/(n+1)−1/(n+2)}
　＝3n(3n+5)/4(n+1)(n+2)
になりました。

Σ[k=1,n](k+1)/S[k]　左辺はこれで正しいですか？
　
No.29535 - 2014/11/06(Thu) 21:36:10
☆ Re: 数列 / yuhka
左辺はその通りです！
ごめんなさい最後の分子(ク)n((ケ)n+(コ))でした！
ありがとうございますm(_ _)m
No.29538 - 2014/11/06(Thu) 21:57:47
★ (No Subject) / 整数の性質
x^2-y^2=3724をみたす自然数の組み(x,y)を求めよ。


この問題がわかりません。お願いします。
No.29529 - 2014/11/06(Thu) 17:16:17
☆ Re: / ヨッシー
(x+y)(x-y)＝3724＝2^2×7^2×19
となるので、これらの素因数をx+y, x-y に振り分けます。
x+y, x-y ともに偶数であるので、２つの２は、x+y, x-y に
１つずつ振り分け、残りの7^2×19 をどう振り分けるかを考えます。

x+y＝2×7^2×19＝1862
x-y＝2　　より　x=932, y=930

x+y＝2×7×19＝266
x-y＝2×7＝14　　より　x=140, y=126

x+y＝2×7^2＝98
x-y＝2×19＝38　　より　x=68, y=30

以上です。
No.29531 - 2014/11/06(Thu) 17:44:45
☆ Re: / 整数の性質
x+y=2×19 x+y=2
x-y=2×7^2 の場合と x-y=2×7^2×19


の場合を考えなくて良いのはなぜでしょうか？
No.29536 - 2014/11/06(Thu) 21:49:04
☆ Re: / ヨッシー
仮に、
x+y=2×19、x-y=2×7^2
もしくは
x+y=2、x-y=2×7^2×19
だとして、ｘ、ｙはいくつになりますか？
No.29537 - 2014/11/06(Thu) 21:56:53
★ (No Subject) / 整数
m,nが整数のとき、m+nとm-nの偶数、奇数の組み合わせを考える。
m^2-n^2が偶数であるとき、m+n、m-nはそれぞれ偶数、奇数どちらか。
No.29527 - 2014/11/06(Thu) 17:13:45
☆ Re: / ヨッシー
m+n と m-n の差は |2n| (偶数)であるので、
m+n, m-n の両方奇数または両方偶数。
m^2-n^2＝(m+n)(m-n) が偶数ならば、
m+n, m-n の両方偶数。
No.29530 - 2014/11/06(Thu) 17:35:50
★ 積分の問題です / 理数科
積分の問題です！
この問題だけ解けなくて、かなり悩んでいるので解答解説お願いします。

(?@) f[1](x)=2/(1+e^x)
(?A) f[2](x)=(1/2)∫[0,x]f[1](t)dt
(?B) f[3](x)=(-1/2)∫[0,x]f[2](t)dt
(?C) f[n](x)=｛((-1)^n)/2｝∫[0,x]f[n-1](t)dt
(?D) g[k](x)=f[k](x)＊(xsinx)/(4cos^2x)
(?E) I[n]=Σ[n=1,2n+1]∫[-π,π]g[k](x)dx
(?F) J=∫[0,π](xsinx)/(4cos^2x)dx
(?G) K=∫[0,π](sinx)/(4cos^2x)dx

(1) f[n](x)を積分を用いずに表せ。
(2)I[n]をJで表せ。
(3)Jをkで表せ。
(4)I[n]を求めよ。

よろしくお願い申し上げます。
No.29526 - 2014/11/06(Thu) 00:03:41
★ 回転体 / 類
こんばんは。

曲線C:x^(2/3)+y^(2/3)=1(0<x<1,0<y<1)の点Pにおける接線をLとし、Lとx軸およびy軸との交点をそれぞれQ,Rとする。
原点をOとし、△OQRをx軸のまわりに回転して得られる円錐の体積Vの最大値と、そのときのPの座標を求めよ。
No.29519 - 2014/11/03(Mon) 23:33:00
☆ Re: 回転体 / X
x^(2/3)+y^(2/3)=1 (A)
とします。
(A)より
(2/3)x^(-1/3)+{(2/3)y^(-1/3)}y'=0
∴y'=-(y/x)^(1/3)
よってP(X,Y)とすると、Lの方程式は
y=-{(Y/X)^(1/3)}(x-X)+Y (B)
又、(A)より
X^(2/3)+Y^(2/3)=1 (C)
(B)より
Q(X+(XY^2)^(1/3),0),R(0,Y+(YX^2)^(1/3))
∴V=(1/3)OQ・πOR^2
=(π/3)(X+(XY^2)^(1/3))(Y+(YX^2)^(1/3))^2 (D)
(C)(D)より
V=(π/3){X+(X^(1/3))(1-X^(2/3))}{Y+(Y^(1/3))(1-Y^(2/3))}^2
=(π/3)(XY^2)^(1/3)
=(π/3){X^(1/3)}{1-X^(2/3)}
=(π/3){X^(1/3)-X}
これより
dV/dX=(π/3){(1/3)X^(-2/3)-1}
0＜X＜1におけるVの増減表を書くことにより…
No.29520 - 2014/11/04(Tue) 01:00:23
☆ Re: 回転体 / 類
∴y'=-(y/x)^(1/3)

この式なのですが、私がやったら分母分子のxとyが逆になってしまうのですが・・・。
No.29524 - 2014/11/05(Wed) 00:07:58
☆ Re: 回転体 / ヨッシー
-1/3 乗が 1/3乗になっている点に注意しましょう。
No.29525 - 2014/11/05(Wed) 00:53:00
★ (No Subject) / ねるー
△ABCにおいて、AB=AC=3,BC=2である。
頂点Aから辺BCに垂線AHを下ろすと、AH=2√2であり、△ABCの内接円Iの半径は√2/2である。また円Iの中心から点Bまでの距離は√6/2である。
円I上に点Eと点Fを、三点C,E,F,が一直線上にこの順に並び、かつ、CF=√2となるようにとる。このとき、CE=√2/2,EF/CE=1である。
さらに、円Iと辺BCとの接点をD,線分BEと線分DFとの交点をG,
線分CGの延長と線分BFとの交点をMとする。このとき、GM/CG=1/2である。
さらに角BCFの二等分線と線分FDの交点をPとすると、
GP/FD= ⇦この最後が分かりません。
No.29510 - 2014/11/03(Mon) 16:33:48
☆ Re: / ヨッシー
Ｇは△ＢＣＦの重心なので、ＦＧ：ＧＤ＝２：１
また、角の二等分線の定理より
　ＦＰ：ＰＤ＝ＦＣ：ＤＣ＝√2：１
ここで、ＦＤ＝(３＋3√2)ｋ とすると
ＦＰ＝3√2ｋ、ＤＧ＝(1＋√2)ｋ であるので、
　ＧＰ＝(2−√2)ｋ
よって、
　ＧＰ／ＦＤ＝(2−√2)/(3＋3√2)
　　＝(3√2−4)/3
No.29511 - 2014/11/03(Mon) 17:15:22
☆ Re: / ねるー
なぜ、FD=(３＋3√2)ｋ とするんですか？
No.29512 - 2014/11/03(Mon) 19:49:46
☆ Re: / ヨッシー
２：１ にも √2：1 にも分けられるようにです。
No.29513 - 2014/11/03(Mon) 19:53:45
☆ Re: / ねるー
√2:1にわけれるのは、分かるのですが、2:1にわけるのは、
どういうふうにやるのでしょうか…
度々すいません😭
No.29514 - 2014/11/03(Mon) 20:06:14
☆ Re: / ヨッシー
３に分けて２と１に分ける(そのために３を掛けてあります)ので、
　１が（１＋√2）ｋ
　２が（2＋2√2）ｋ
です。
No.29515 - 2014/11/03(Mon) 20:16:37
☆ Re: / ねるー
なるほど！
ありがとうございます！
No.29516 - 2014/11/03(Mon) 20:44:09
☆ Re: / ねるー

GP=(2-√2)Ｋは、どのようにしていったのですか。
No.29517 - 2014/11/03(Mon) 22:23:36
☆ Re: / ヨッシー
ＧＰ＝ＦＤ−ＦＰ−ＤＧ　です。
No.29518 - 2014/11/03(Mon) 22:45:37
★ (No Subject) / キッチン

△BCF においてBCの中点をD。CFの中点をE。 とする
線分BEとDFの交点をGとする。
また、角BCFの二等分線と線分FDの交点をPとすると、
GP/FD= ？
という問題です。
No.29507 - 2014/11/03(Mon) 15:15:51
☆ Re: / ヨッシー

図のように、左の図では、ＧＰは長さを持ちますが、
右の図ではＧＰ＝０ですので、ＧＰ／ＦＤは一定値では表せません。
点Ａがないところから見ると、何かの問題の途中で、
△ＢＣＦはある特殊な形の三角形ではないかと推測しますが
いかがでしょうか？
No.29508 - 2014/11/03(Mon) 15:32:59
★ (No Subject) / さや
log(2)3＝a、log(3)7＝bとするとき、
(1) log(2)7をa,bで表せ。
(2) log(42)56をa,bで表せ。

教えてください(/_;)
No.29504 - 2014/11/03(Mon) 11:48:35
☆ Re: / X
(1)
底を3に変換してみましょう。

(2)
底を2に変換し、
log[2]3=a
と(1)の結果が使えるように変形します。
No.29505 - 2014/11/03(Mon) 11:52:52
★ (No Subject) / 確率
数直線上を動く点Pが原点Oにある、
表が1/3、裏が2/3の確率で出るコインを投げ、表なら負の方向に1、裏なら正の方向に1だけ進む。
(1)コインを3回なげたあと、点Pが座標3の点にある確率

(2)コインを3回なげたあと、点Pが座標が負の点にある確率

(3)コインを5回なげたあと、点Pが初めて座標3の点に到達する確率
No.29499 - 2014/11/02(Sun) 12:21:10
☆ Re: / X
(1)
条件より裏が３回出ればいいので確率は
(2/3)^3=8/27

(2)
3回のうち、表がk回出たとすると条件を満たすためには
-k+(3-k)＜0
これより
3/2＜k
∴k=2,3
よって求める確率は
(3C2){(1/3)^2}(2/3)+(1/3)^3=7/27

(3)
一回の試行で点Pが±1だけしか移動できないので
n回の試行後のPの座標をx[n]とすると
x[5]=3
x[4]=2
x[3]=1 (A)
ここで(A)のときに３回目の試行後までに
表の出る回数をlとすると
-l+(3-l)=1
∴l=1
以上から求める確率は
(3C1){(1/3)(2/3)^2}(2/3)^2=16/81
No.29501 - 2014/11/02(Sun) 17:23:53
★ (No Subject) / ゃん
チェバの定理でよく重心法だとか天秤法だとかいうやりかたがありますが、これは三次元の立体に使えないのでしょうか？

使えるならばそれを使って解ける例題がほしいです。
よろしくおねがいします
No.29489 - 2014/11/01(Sat) 19:58:33
☆ Re: / ゃん
抽象的過ぎました

例題１）三角形ABCがあり、∠Aの対辺,∠Bの対辺、∠Cの対辺上に点A１、B１,C１を取ります。AA1、BB1,CC1の三直線の交点をPとします。このとき
□ベクトルAP＝■ベクトルAB＋△ベクトルAC
このとき□、■、△の値はP,B,Cの添え字（重心法で使う重さに相当）が書かれます。これは平面の場合です。

例題２）次に四面体OABCを考えます
Aから平面OBCに直線を延ばしその交点をPとします
AP上にGがあり、ベクトル６OG＝ベクトルOA＋２ベクトルOB＋２ベクトルOCと与えられています

このときベクトルOPを求めよという問題を重心法が使えると仮定して解いてみます。

例題１の結果からベクトルの係数と重りの重さは等しいのでした。ですからA,B,C、Gにそれぞれ１，２，２、６と添え字を振り、OGと三角形ABCの交点をHとするとHには三角形の内部ということでA、B、Cの添え字を足した１＋２＋２＝５がかかれます。すると直線OGHに着目してOの添え字は１と決まります。次に直線AGHに着目してPの添え字は５、次に直線OPをのばしてBCの交点をDとするとDには４の添え字が書ける。ここでBとCの添え字を足したものがちょうどDの添え字と一致するのでDはBCの中点。これでOP:PDとBD:BCがわかったので
ベクトルOP=(1/2)（→ｂ＋→ｃ)*4/5と添え字をさっさと書いていけば10秒ぐらいで解けてしまいますが、この解法はいつでも通用するのでしょうか？たとえばDの添え字がB、Cの添え字の和とならなかったら本問は答えが出ないのですが、そういったことなどはあるのでしょうか？また、どういったケースでこの手法は使えるのでしょうか？

よろしくお願いします。
よろしくお願いします
No.29500 - 2014/11/02(Sun) 14:19:05
☆ Re: / ヨッシー
上記の例題は、立体の問題のように見えますが、結局は
△ＡＢＣにおける天秤法と、△ＡＤＯにおける天秤法の組合せです。
△ＡＢＣ上の線分Ａ−Ｈ−Ｄの比を継承しつつ、△ＡＤＯおよび点Ｇ，Ｐが
形成されているので、こういう場合は天秤法が使えますし、
Ｄの添え字はＢとＣの添え字の和となります。
No.29509 - 2014/11/03(Mon) 16:18:39
☆ Re: / ゃん
ありがとうございます。

△ＡＢＣにおける天秤法と、△ＡＤＯにおける天秤法の組み合わせとはおっしゃいますが、A,B,C、G、Hにそれぞれ１，２，２、６、５と添え字を振る、というのは平面の天秤法で説明可能でしょうか？
No.29522 - 2014/11/04(Tue) 21:35:17
☆ Re: / ヨッシー
６ＯＧ＝ＯＡ＋２ＯＢ＋２ＯＣ
の一歩手前に
５ＯＨ＝ＯＡ＋２ＯＢ＋２ＯＣ
というのがあります。Ｈは、△ＡＢＣと同じ平面上の点です。
これだけで、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈ に１，２，２，５ がふれます。
またＢＣの中点Ｄには４がふられます。

次に△ＡＤＯにおいて
Ａ，Ｈ，Ｄに１，５，４ がふられていて
ＯＧ：ＧＨ＝５：１ なので、Ｏ，Ｇに１，６をふれば
ちょうど良いことになります。
すると、Ｐには５がふられて
　ＯＰ＝(4/5)ＯＤ
　　　＝(2/5)(ＯＢ＋ＯＣ)
が得られます。
No.29523 - 2014/11/04(Tue) 23:57:13
☆ Re: / ゃん
ありがとうございます


６ＯＧ＝ＯＡ＋２ＯＢ＋２ＯＣ
の「一歩手前に」
５ＯＨ＝ＯＡ＋２ＯＢ＋２ＯＣ
というのがあります。

とありますが６ＯＧ＝ＯＡ＋２ＯＢ＋２ＯＣからはじまる話をしているのですが・・・百歩譲って５ＯＨ＝ＯＡ＋２ＯＢ＋２ＯＣから始まったとしてA,B,Cに１，２，２と添え字を振るというのは丸暗記するしかないのではありませんか？平面の重心法の組み合わせでどう説明できるのでしょうか？
No.29532 - 2014/11/06(Thu) 20:44:13
☆ Re: / ヨッシー
「一歩手前に」というのは、言葉の綾で
６ＯＧ＝ＯＡ＋２ＯＢ＋２ＯＣ
を吟味する前に
５ＯＨ＝ＯＡ＋２ＯＢ＋２ＯＣ
を考えましょう、という意味です。

△ＡＢＣおよび、それと同一平面にある点Ｈがあり
　(s+t+u)ＯＨ＝ｓＯＡ＋ｔＯＢ＋ｕＯＣ
という関係があるとします。
　(右辺)＝(s+t){s/(s+t)ＯＡ＋t/(s+t)ＯＢ}＋ｕＯＣ
ここで、ＡＢをｔ：ｓに内分する点をＤとすると
　(右辺)＝(s+t)ＯＤ＋ｕＯＣ
より、
　ＯＨ＝(s+t)/(s+t+u)ＯＤ＋ｕ/(s+t+u)ＯＣ
となり、Ｈは、ＣＤを(s+t)：u に内分する点となります。

よって、Ａ，Ｂ，Ｄにそれぞれ
　ｓ、ｔ、ｓ＋ｔ
をふり、Ｃ、Ｄ、Ｈに
　ｕ、ｓ＋ｔ、ｓ＋ｔ＋ｕ
をふればいいことになります。
No.29533 - 2014/11/06(Thu) 20:59:24
★ 整数問題 / rwm
nをn≧2の整数とする。
⑴logn(n+1)が無理数であることを証明せよ。
⑵logn(n+2)が有理数となるようなnをすべて求めよ。
お願いします。
No.29487 - 2014/11/01(Sat) 18:53:41
☆ Re: 整数問題 / らすかる
自然対数に見えますが
（つまり(1)はlog[e]{n(n+1)}、(2)はlog[e]{n(n+2)}と思える）
もしそうだとすると(1)は自明、(2)は解なしになってしまいますので、
もしかしたら(1)はlog[n](n+1)、(2)はlog[n](n+2)ですか？
（そうならば底がnとわかるようにしないと誤解を招きます。）
No.29488 - 2014/11/01(Sat) 18:59:19
☆ Re: 整数問題 / rwm
底がnでした。お手数おかけしました。
No.29491 - 2014/11/01(Sat) 22:15:15
☆ Re: 整数問題 / らすかる
(1)
もし有理数だったとして
log[n](n+1)=p/q（p,qは整数）とおくと
n^(p/q)=n+1
n^p=(n+1)^q
n≧2なのでnとn+1は互いに素、よって矛盾。

(2)
log[n](n+2)=p/q（p,qは整数）とおくと
n^(p/q)=n+2
n^p=(n+2)^q
nが奇数の時n≧3であり、nとn+2は互いに素なので解なし
nが4以上の偶数のときn/2と(n+2)/2は2以上の整数で互いに素なので解なし
nが2のときlog[n](n+2)=2で条件を満たす。
∴n=2
No.29493 - 2014/11/01(Sat) 23:17:50
☆ Re: 整数問題 / rwm
ありがとうございました。参考にします。
No.29495 - 2014/11/02(Sun) 05:29:59
★ 最小値の複数の求め方 / アカシロトモ
Q ｘ＞0のとき、x+1/x^2 の最小値をもとめよ。
「できれば複数の解法をつけよ」

A　微分法で出したら、2^(1/3)+1/(2^(2/3))
2の３乗根+2の３分の２乗根分の1　という意味です、
となりましたが自信ありません。
相加相乗平均とかでできるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
No.29485 - 2014/11/01(Sat) 13:18:00
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / らすかる
とりあえず、答えは合っています。
ただし、もう少しまとめた方が良いと思います。
2^(1/3)+1/(2^(2/3))=(2^(1/3)・2^(2/3)+1)/(2^(2/3))
=(2+1)/(2^(2/3))
=3/(2^(2/3))
(=3・2^(-2/3))
No.29490 - 2014/11/01(Sat) 20:30:44
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / アカシロトモ
らすかる　　さん

　解説ありがとうございます。今、塾での模擬試験と解説授業を受けて帰ってきたところです。お礼が遅れて申し訳ありまえんでした。

　
No.29492 - 2014/11/01(Sat) 22:52:40
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / Halt0
＞相加相乗平均とかでできるのでしょうか？
a,b,c > 0 に対し相加相乗平均の不等式 (a+b+c)/3 ≧ (abc)^(1/3) が成り立つことを利用すれば

x + 1/x^2
= x/2 + x/2 + 1/x^2
≧ 3(x/2 ⋅ x/2 ⋅ 1/x^2)^(1/3)
= 3 ⋅ (1/4)^(1/3)

等号は x = 2^(1/3) で成立する.
No.29494 - 2014/11/02(Sun) 03:38:28
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / T
1 + x^3 = K x^2, 3 x^2 = 2 K x
を解いて　不要なのを捨て　x = 2^(1/3), K = 3/2^(2/3)
No.29496 - 2014/11/02(Sun) 08:59:59
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / アカシロトモ
Halt0　さん

昨日遅くて先ほど起きました。お礼が遅くなり申し訳ありません。相加・相乗平均の関係はこのように利用するのですね。自分の理解の浅さに猛省です。
本当にありがとうございました。
No.29497 - 2014/11/02(Sun) 09:35:57
☆ Re: 最小値の複数の求め方 / アカシロトモ
T　さん

ご回答ありがとうございました。昨夜遅くてお礼が遅れて申し訳ありません。教えていただいた式の意味を今から勉強いたします。本当にありがとうございました。
No.29498 - 2014/11/02(Sun) 09:41:35
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