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★ (No Subject) / Z
不定方程式　; 4 x^3-12 x^2 y+12 x y^2+23 y^3-54 y^2+27 y=0 には
　　　解　{0, 0}, {1, 1}, {2, -1}　が　あります　が

それ以外には　存在しない　ことの　証明を　お願いします。
No.29428 - 2014/10/25(Sat) 13:36:21
★ (No Subject) / ちゃん
ｆ（ｘ）＝x(x-α)(ｘ−β)（０＜α＜β）とする
α、β、Sが全て整数のとき、Sの最小値を求めよ

S=(1/12)α＾３（2β-α）
だと思いますがこの先が分かりません。
No.29426 - 2014/10/24(Fri) 21:51:36
☆ Re: / らすかる
Sって何ですか？
No.29427 - 2014/10/24(Fri) 22:04:37
☆ Re: / ちゃん
Sはf(x)（０≦ｘ≦α）とｘ軸の囲む面積です
No.29432 - 2014/10/25(Sat) 19:02:37
☆ Re: / らすかる
(1/12)α^3(2β-α) は
αが奇数のときα^3も2β-αも奇数なので、
α^3(2β-α)が奇数になって12で割り切れず、Sが整数になりません。
従ってαは偶数である必要があります。
α=2とすると2β-αが3の倍数でなければなりませんので
βの最小値は4であり、S=4となります。
(αが偶数で)α≧4のときα^3≧64、2β-α＞2α-α=α≧4なので
S＞256/12＞4となり
α=2のときの最小値4より必ず大きくなります。
従ってα=2,β=4のときのS=4が最小です。
No.29434 - 2014/10/25(Sat) 21:38:34
☆ Re: / ちゃん
回答ありがとうございます。良く理解できましたがαが奇数か偶数かで場合分けしようという発想はどこからきたのですか？

また別解はありますか？

よろしくおねがいします。
No.29435 - 2014/10/26(Sun) 20:24:55
☆ Re: / らすかる
「場合分け」は思いつきでするものではなく、必要に迫られて、あるいは
場合分けすると簡単になるからという理由でするものです。
よって「発想」とは違うと思いますが、以下のように考えました。

「最小値を求める」
→「α^3が掛かっているからαは小さい方が良い」
→「α=1の場合で考えると、Sが最小になるβは？」
→「12で割り切れなければいけないのに、α=1だとβをいくつにしても
　　　2β-αが奇数だから12で割り切れない！」
→「なるほど、αが奇数だとα^3も2β-αも奇数になるからSは絶対に整数にならないのか。」
→「ではそれを先に書いて奇数を除外し、偶数を小さい順に考えてみよう」
→・・・

あと、十分簡単な解法がわかっているときに
わざわざ別解を考える意味はないと思います。
（なぜ別解が必要なのですか？）
No.29436 - 2014/10/26(Sun) 22:19:42
☆ Re: / ちゃん
回答ありがとうございます。非常によく分かりました。

確かに別解は必要ないですね。　

熱心な説明ありがとうございました。
No.29457 - 2014/10/28(Tue) 20:18:13
★ 計算問題です / パスカル
|2OP-1/2OA|^2＝4

|OP-1/4OA|^2＝1
↑この式の右辺が1になった理由がわかりません!
途中式をお願いいたしますლ(╹◡╹ლ)
No.29422 - 2014/10/24(Fri) 00:45:45
☆ Re: 計算問題です / らすかる
|2OP-1/2OA|^2＝4
|2(OP-1/4OA)|^2＝4
|2|^2・|OP-1/4OA|^2＝4
4|OP-1/4OA|^2＝4
|OP-1/4OA|^2＝1
です。
No.29423 - 2014/10/24(Fri) 00:48:18
☆ Re: 計算問題です / パスカル
できました!返事おくれてすいません!

ラスカルさんありがとうｎ(*´ω｀*)
No.29438 - 2014/10/27(Mon) 14:07:51
★ 楕円 / 桔梗
こんばんは。


xy平面上に２定点A(4,0) B(0,3)および、楕円C:(x^2/4)+y^2=1上を動く動点Pがある。
このとき△PABの面積の最大値を求めよ。


Pを(a,b)とおいてPにおける接線は、(1/4)ax+bx=1...?@

(4,0)(0,3)を通る直線をLとすると、L:y=-3/4x+3...?A

ここまでしてみたのですが、続きが分かりませんでした。
No.29416 - 2014/10/23(Thu) 23:38:08
☆ Re: 楕円 / らすかる
↓この解き方が簡単だと思いますが、
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=47151
もし楕円のまま接線を考えたいのでしたら

直線ABに平行な直線はy=-(3/4)x+c
この式と楕円の式からyを消去して整理すると 13x^2-24cx+16c^2-16=0
この式が解を持つ条件は D/4=(12c)^2-13(16c^2-16)≧0
これを解いて -√13/2≦c≦√13/2
y=-(3/4)x+cが楕円に接し直線ABから最も遠くなるのはc=-√13/2のときで
接点Pの座標は(-6/√13,-2/√13)
点と直線の距離の公式により点Pと直線ABの距離は(2√13+12)/5で
AB=5なので、△PABの面積の最大値は5{(2√13+12)/5}/2=√13+6
No.29420 - 2014/10/24(Fri) 00:05:54
☆ Re: 楕円 / 桔梗
ありがとうございました。

納得できました。
No.29421 - 2014/10/24(Fri) 00:20:31
★ 証明がわかりません / るり
(1)x>0のとき不等式e^x〉1＋xが成り立つことを示せ
(2)log(x＋1)〉1−e^-xが成り立つことを示せ
0≦x≦e^y-1 0≦y≦1−e^-xを満たせばx=y=0でなければならないことを示せ
(1)(2)はできたのですが(3)の証明で困っています。(1)の不等式からe^x-１>xと変形し、y>0のときe^y-１>yとして使うのかと検討したりしていますが、(2)の不等式の使い方も含め結局わからずじまいなので教えていただきたいです。


No.29415 - 2014/10/23(Thu) 23:35:35
☆ Re: 証明がわかりません / X
0≦x≦e^y-1 (A)
0≦y≦1−e^(-x) (B)
を満たす領域を描くと、証明すべきことは
x＞0において
(A)の境界線である
x=e^y-1
つまり
y=log(x+1)
が
(B)の境界線である
y=1-e^(-x)
の上側にあること、つまり
log(x+1)＞1-e^(-x)
であることが分かります。
これは(2)により証明されていますので
問題の命題は成立します。
No.29424 - 2014/10/24(Fri) 01:05:36
★ 球面と平面が交わってできる円 / パスカル
中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。
Sとyz平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ

この問題の解き方は全てわかったんですけど、問題文の意味がわかりません!

特に、中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。
↑↑↑
これがどういう状態を指しているのかが全くわかりません。
解説の最初の一文の意味もわかりません。

球面Sの半径rは中心(1,-3,2)と原点との距離に等しいから

と書いてあります。なんで等しいのかがわかりません。

解説お願いします!
No.29414 - 2014/10/23(Thu) 23:20:08
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / ast
類題として, 一つ次元を下げて
　「中心が点(1,-3)で、原点を通る円をSとする。Sとy-軸との交わりは二点になる。この二点の中点と二点間の距離の半分を求めよ」
および
　「円Sの半径rは中心(1,-3)と原点との距離に等しいから」
を考えると状況が分かるのでは?

もとへ返れば, 前者は単に原点が球面S上の点のひとつになっていることを言っているのであり, 後者は原点が球面S上の点であることを半径の言葉で述べているだけということになります.
No.29417 - 2014/10/23(Thu) 23:39:11
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / パスカル
> 類題として, 一つ次元を下げて
> 　「中心が点(1,-3)で、原点を通る円をSとする。Sとy-軸との交わりは二点になる。この二点の中点と二点間の距離の半分を求めよ」
> および
> 　「円Sの半径rは中心(1,-3)と原点との距離に等しいから」
> を考えると状況が分かるのでは?

すいません、今の説明で何が前者で何が後者にあたるのですか??
>
> もとへ返れば, 前者は単に原点が球面S上の点のひとつになっていることを言っているのであり, 後者は原点が球面S上の点であることを半径の言葉で述べているだけということになります.
No.29418 - 2014/10/23(Thu) 23:43:46
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / ヨッシー
前者は
「中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。」
後者は
「球面Sの半径rは中心(1,-3,2)と原点との距離に等しい」
です。

「原点を通る」を「球の表面(球面)上に原点がある」と読み替えられないと、理解は難しいかも。
No.29425 - 2014/10/24(Fri) 09:39:13
★ 空間 / マツオDX
次の問題の解説お願いします。

座標空間で、円X^2＋Y^2=１、z ＝0 を底面とし、（０、０、１）を頂点とする円錐をCとする。
Cの側面で、Y≧（１／２）を満たす部分の面積を求めよ。



答えは、（√２）／３π　−　（√６）／４です
No.29410 - 2014/10/22(Wed) 21:11:59
☆ Re: 空間 / らすかる
上から見た図では、該当する部分の面積はπ/3-√3/4
面のすべての微小部分でπ/4の傾きがあり、上から見た図では
実際の面積の1/√2になっているので、全体の面積も
実際の面積の1/√2になっている。よって求める面積は
(√2)(π/3-√3/4)=(√2)π/3-√6/4
No.29411 - 2014/10/22(Wed) 22:08:48
★ (No Subject) / たける
この画像の問題がどうしても解けません。
ご協力お願いします。

ものすごく数学が苦手ですので、
ゆっくりと詳しく解いて頂ければ助かります。

よろしくお願いします。
No.29401 - 2014/10/22(Wed) 08:52:19
☆ Re: / らすかる
「この画像」が見当たりません。
No.29403 - 2014/10/22(Wed) 14:34:14
☆ Re: / たける
すみません。
よろしくお願いします。
No.29404 - 2014/10/22(Wed) 15:14:08
☆ Re: / たける
あれ？おかしいですね。
画像を添付することができません……
No.29405 - 2014/10/22(Wed) 15:16:19
☆ Re: / たける
出来ました。
お騒がせしてすみません。
No.29407 - 2014/10/22(Wed) 15:17:15
☆ Re: / らすかる
A〜D
　cos∠BACからsin∠BACを計算して公式で求めましょう。
E
　△ABCに関する余弦定理で求めましょう。
F〜K
　△ABD∽△CBA、△ACE∽△BCAを使って求めましょう。
L〜P
　△ADE=△ABD+△ACE-△ABCで求めましょう。
Q〜R
　DE：BC=△ADE：△ABCから求めましょう。
No.29408 - 2014/10/22(Wed) 15:28:13
★ アドバイスください！ / flask
x∈Rとする。
(x^2+2ax+1)(x^2+(a+2)x+3-a)≧0が成り立つaの条件を求めよ。
No.29399 - 2014/10/22(Wed) 02:13:58
☆ Re: アドバイスください！ / らすかる
任意のxに対して
x^2+2ax+1≧0 かつ x^2+(a+2)x+3-a≧0
または
x^2+2ax+1≦0 かつ x^2+(a+2)x+3-a≦0
が成り立てばよい。
x^2+2ax+1の判別式/4はD/4=a^2-1なので
-1≦a≦1のとき任意のxに対してx^2+2ax+1≧0
x^2+(a+2)x+3-aの判別式はD=(a+2)^2-4(3-a)=a^2+8a-8なので
-4-2√6≦a≦-4+2√6のとき任意のxに対してx^2+(a+2)x+3-a≧0
従って-1≦a≦-4+2√6のときは任意のxに対して
x^2+2ax+1≧0かつx^2+(a+2)x+3-a≧0となるので、条件を満たす。
それ以外の場合、条件を満たすためには
x^2+2ax+1とx^2+(a+2)x+3-aが一致しなければならない。
（一致しない場合、必ずどこかにxによって符号が異なる箇所がある。）
一致するためには 2a=a+2 かつ 1=3-a すなわち a=2
よって条件を満たす解は
-1≦a≦-4+2√6 または a=2
No.29400 - 2014/10/22(Wed) 03:21:02
★ 図形と方程式 / yuhka
a≧0とする。円C:x^2+y^2=1と直線l:y=-2x+a
(1)Cの中心Oとのl距離はa√(ア)/(イ)だから、Cとlが共有点をもつaの値の範囲は0≦a≦√(ウ)
(2)a=√(ウ)のときCとlの接戦の座標は[(エ)√(オ)/(カ),√(サ)/(シ)]
(3)0≦a<√(ウ)のときCとlの異なる２つの交点をA、BとおくとAB=(ケ)√[(コ)-a^2/(サ)]
△OABが正三角形となるのはa=√(シス)/(セ)

最後がうまく出せないのでお願いします・・
ア〜サは以下のようになりました。
(1)a√5/5　0≦a≦√5
(2)(2√5/5,√5/5)
(3)AB=2√(1-a^2/5)
No.29397 - 2014/10/21(Tue) 20:42:32
☆ Re: 図形と方程式 / X
条件からAB=1となればよいので
2√{1-(1/5)a^2}=1
これをaの方程式と見て
a≧0
の条件の下で解きます。

こちらの計算では
a=(1/2)√15
となりました。
No.29398 - 2014/10/21(Tue) 20:58:26
☆ Re: 図形と方程式 / yuhka
OAとOBは半径になるのに、見落としてました！
ありがとうございます！
No.29409 - 2014/10/22(Wed) 18:35:05
★ またベクトルの問題です^^ / パスカル
2点A(-1,2,3),B(0,1,2)を通る直線をLとする。点Pは直線L上を動き、点Qはy軸上を動くとする。このとき、２点P,Q間の距離の最小値とその時の2点P,Qの座標を求めよ


なんですが、AP＝kAPとして
PQ＝AQ-AP＝(1-k,y-2＋k,-3＋k)
PQ^2＝(1-k)^2＋(y-2＋k)^2＋(-3＋k)^2

ここまでは解りました!でも、ここからの展開がわかりません!!
参考書で次の展開が・・・


(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10

となっています。なんで、文字が3つの二次式は展開せずそのままにして、文字が２つある2次式は展開したのでしょうか?

更に、そこから、y-2＋k＝0、となっていますがこの理由もよくわかりません。だったらなんで、1-k＝0,-3＋k＝0、という式は駄目なのでしょうか?

あと、最後にPQの距離の最小値が√2と出るのですがこれはPが(1.0,1)、Qが(0,0,0)なのですが、どうやって計算したのでしょう......ｎ(*´ω｀*)?
No.29395 - 2014/10/21(Tue) 13:26:50
☆ Re: またベクトルの問題です^^ / ヨッシー
ＡＰ＝ｋＡＰ ではなく ＡＰ＝ｋＡＢ ですね。
また、Ｑ を (0,y,0) と置いたのでしょう。

>だったらなんで、1-k＝0,-3＋k＝0、という式は駄目なのでしょうか?
1-k＝0,-3＋k＝0 を同時に満たすｋがないので駄目です。

(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10 の続きに
(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10＝(y-2＋k)^2＋2(k-2)^2+2
という変形をしているはずです。
(y-2＋k)^2 と (k-2)^2 は最小でも０なので、
それぞれ０にすることが出来れば、ＰＱ^2 の最小値は
２とすることが出来ます。
(k-2)^2 を０にするのは、ｋの都合だけで決まります。
(y-2＋k)^2 の方は、ｋが決まった上で、ｙを調整してやる必要があります。
そのため、ｙとｋを含む部分と、ｋだけの部分で分けています。

実際、これらを０にするｋ，ｙの値は、
k-2＝０ より ｋ＝２
y-2＋k＝０ よりｙ＝０
このときに、ＰＱ^2＝２ となり、ＰＱ＝√２ です。
原点をＯとすると
　ＡＰ＝ｋＡＢ
より
　ＯＰ＝ｋＡＢ＋ＯＡ
　　　＝２(1,-1,-1)＋(-1,2,3)＝(1,0,1)
Ｑはｙ＝０ より即座に (0,0,0) となります。
No.29396 - 2014/10/21(Tue) 14:56:04
☆ Re: またベクトルの問題です^^ / パスカル
わかりました!
No.29413 - 2014/10/23(Thu) 23:15:24
★ 行列 / 小豆
座標平面において、直線y=xに関する対称移動を表す行列を
A、原点のまわりのπ/６回転を表す行列をBとする。

(1)行列C=ABを求め、成分表示せよ。
(2)直線L:y=mx+n上の点は、行列Cが表す１次変換によってL上に移るとする。このようなLをすべて求めよ。
No.29390 - 2014/10/21(Tue) 00:04:08
☆ Re: 行列 / X
(1)
原点中心の角度θの回転移動を表す行列をD[θ]とし
F=M{(1,0),(0,-1)}
とすると
A=D[π/4]FD[-π/4]
=M{(0,1),(1,0)}
又
B=(1/2)M{(√3,-1),(1,√3)}
∴C=AB=M{(1/2,(1/2)√3),((1/2)√3,-1/2)}

(2)
L上の点(t,mt+n)がCによって点(X,Y)に移されるとすると
Y=mX+n (A)
一方、(1)の結果により
X=(1/2){t+(mt+n)√3} (B)
Y=(1/2){t√3-(mt+n)} (C)
(B)(C)を(A)に代入して整理した等式を
tの恒等式と見て係数を比較し、
m,nについての連立方程式を立てます。
No.29391 - 2014/10/21(Tue) 01:34:03
★ ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
四面体OABCがある。0<t<1を満たすtに対し、辺OB、OC、AB、ACをt:(1-t)に内分する点をそれぞれK、L、M、Nとする。この時、四角形KLMNが平行四辺形であることを示せという問題。

MN＝ON-OMの式がわかりません。

これが(t-1)a＋tc-｛(1-t)a＋tb｝と何故なるのかがわかりません。特に、ONはOA＋OCと計算したからこの式になったんだと思うのですが、そするとOAベクトルは内分する点がないのに何故(t-1)aとなるのでしょうか?

あと、MN＝AN-AMとするのは駄目なのでしょうか?

この二点を教えて下さい(*｀ω´*)
No.29384 - 2014/10/20(Mon) 14:40:52
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / ヨッシー
正確には、ＫＬＭＮではなくＫＬＮＭが平行四辺形になります。

問題の方ですが、おそらく、ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ を
ａ、ｂ、ｃ などとおいて、
ａ、ｂ、ｃ を使って、
ＫＬ と ＭＮ を表そうというものだと思います。

そうすると、
　ＯＭ＝(1-t)ａ＋tｂ
　ＯＮ＝(1-t)ａ＋tｃ
なので、
　ＭＮ＝ＯＮ−ＯＭ　　←これは公式のようなものです。
　　＝{(1-t)ａ＋tｃ}−{(1-t)ａ＋tｂ}
です。
（最初の t-1 は誤りで、1-t が正しいです。）
ｔを 0.3 などと適当にとって、△ＯＡＣ上で、
ＯＡ方向に 1-t、ＯＣ方向に t 進むと、ＡＣ上のどこかに
行き着くはずです。その点がＮであって、ＯＡを内分しているわけではありません。

MN＝AN-AM としても良いですが、Ｏを始点としている限り
ＡＮ−ＡＭ＝(ＯＮ−ＯＡ)−(ＯＭ−ＯＡ)＝ＯＮ−ＯＭ
なので、同じことです。
No.29385 - 2014/10/20(Mon) 16:41:31
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
> ｔを 0.3 などと適当にとって、△ＯＡＣ上で、
> ＯＡ方向に 1-t、ＯＣ方向に t 進むと、

↑↑↑

このt進むと、というのは線分OB上だったら点kで、線分OC上なら点Lの部分まで、ということでしょうか?
OKとOLはどちらともtですｎ(*´ω｀*)ｎ......?
No.29386 - 2014/10/20(Mon) 17:25:11
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / ヨッシー
正確には、
ＯＡ方向にＯＡの長さの 1-t 倍、ＯＣ方向に ＯＣ の長さの t 倍進む
です。
No.29387 - 2014/10/20(Mon) 17:31:29
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
わかってよかったです!ヨッシーさんありがとう!!(｀ω´)
No.29394 - 2014/10/21(Tue) 13:15:57
★ (No Subject) / 苺
こんばんは。

曲線y=x^3の上を動く動点Pがあって、時刻t=0のときPは原点にある。また、時刻tのときの速度ベクトルのx成分はcostで表される。

(1)時刻tにおけるPの座標をtを用いて表せ。
(2)Pの速度ベクトルのy成分が最大となるときのPのx座標を求めよ。
No.29377 - 2014/10/19(Sun) 23:00:24
☆ Re: / X
(1)
時刻tにおける点Pの座標を(X,Y)とすると
X=∫[0→t](cost)dt=sint
Y=X^3=(sint)^3
∴求める座標は(sint,(sint)^3)

(2)
Pの速度ベクトルを(v[x],v[y])とすると
v[x]=cost (A)
又(1)の結果より
v[y]=dY/dt=3{(sint)^2}cost
=3cost-3(cost)^3 (B)
ここからdv[y]/dtを求めてtに関する
v[y]の増減表を書きましょう。
No.29379 - 2014/10/20(Mon) 01:06:16
☆ Re: / 苺
f(t)=3cost-3(cost)^3とし、これを微分すると、
f'(t)=3sint(2-3sin^2t)となって、f'(t)=0となるtを求めようとしたのですが、うまくいきませんでした。
No.29389 - 2014/10/20(Mon) 23:45:59
☆ Re: / X
v[y]が周期2πの周期関数になっていることから
0≦t≦2π
の場合のv[y]の増減表を書くことを考えます。
又
f'(t)=0のときのsintの値である
sint=0,√(2/3),-√(2/3)
に対応するtの値ですが
sinα=√(2/3),(0＜α＜π/2)
というαを設定すると
t=0,α,π-α,π,π+α,π+(π-α)
となります。

上記の方針でできないようなら
cost=u
とおいてuに関するv[y]の増減表を書くことを
考えてみましょう。
No.29393 - 2014/10/21(Tue) 01:49:00
★ 確率の問題です。方針が立てられません。。。 / les paul
袋に赤球2個、青球2個が入っている。球1個を取出し、代わりに白球を入れる。この操作をn(≧4)回繰り返し、n回目までに2個めの赤球を取り出して、袋に赤球が無くなった時、袋にある青球の個数をB(n)とする。
（n回目までに赤球が2個取り出されないとき、B(n)=0とする。)
この時、B(n)=kとなる確率P(b(n)=k)を求めよ。
ただし、k=0,1,2とする。
No.29374 - 2014/10/19(Sun) 19:17:41
☆ Re: 確率の問題です。方針が立てられません。。。 / ヨッシー
>ｎ回目までに２個めの赤球を取り出して
と
>袋に赤球が無くなった時
との言葉のつじつまが合いません。
ちょうどｎ回目で２個めの赤を取り出す場合を考えるのでしょうか？
No.29383 - 2014/10/20(Mon) 13:36:11
★ (No Subject) / すずき
添付の問題について質問があります
No.29367 - 2014/10/19(Sun) 17:04:41
☆ Re: / すずき
横のファイルで添付したのですが、縦になりまして申し訳ありません！
この方針が心底立てられず困っています。
まず。極値をとるｘ＝2p,3/4が、どちらが小さいかという可能性
そしてy座標も、０、１、2p,3/4のいずれがおおきいのかちいさいのかという可能性
沢山ありすぎて、どこから場合わけをしてよいのかわけがわからなくなってしまいました。

回答を見ましたら、2pが0から1の範囲に入るか入らないか、の場合のみでよいとありました。
なぜそれで網羅できるのか、やってみたもののやはり上記の可能性のところでつまずきました。

どうか、指針からなにから教えていただけませんか…
お願いします…！
No.29368 - 2014/10/19(Sun) 17:13:00
☆ Re: / deep make
場合分けは,
p<0, 0≦p<1/5, 1/5≦p<1/2, 1/2≦p になると思います.

それぞれ,
(max,min)＝(y(0),y(1)), (y(2p),y(1)), (y(2p),y(0)), (y(1),y(0)) になります.

極値は, x＝2p, 4/3 でとるので, 0≦x≦1 において最大最小を考える場合,
x＝4/3 で極値をとることは, そこまで重要ではありません.

従って, 0,1,2p の大小関係が大事になります.
一方で, y(0)＝0, y(1)＝5p-1 なので,
p<1/5, 1/5≦p の場合分けも必要となります.

結果,
p<0, 0≦p<1/5, 1/5≦p<1/2, 1/2≦p で考えることになります.
No.29371 - 2014/10/19(Sun) 17:56:41
★ (No Subject) / 栗
訂正します
（-3+4+a)/3=3
この式を解くと8になるのですが、
解き方解説をお願いいたします。
失礼しましたm(_ _)m
No.29361 - 2014/10/19(Sun) 10:01:52
☆ Re: / ヨッシー
両辺３を掛ける。カッコの中の−３＋４は計算して１にする。
　１＋ａ＝９
１を移項して
　ａ＝９−１＝８
No.29362 - 2014/10/19(Sun) 11:47:10
★ 解法を頼みます。 / flask
常にan>0である数列{an}と0<k<1である定数kがあり、次の条件A,Bを満たしている。
A...an+k?納1,n](ak)≦k+?納1,n](ak)^2
B...a(n+1)-an<1-k
この時、a(1)≦k⇒全ての自然数nでan≦kが成り立つ事を示せ。
No.29358 - 2014/10/19(Sun) 02:55:44
☆ Re: 解法を頼みます。 / IT
A...an+k?納1,n](ai)≦k+?納1,n](ai)^2 とした方が紛れません。(添え字のkと定数k)

数学的帰納法によります。

○ n=1のとき　a1≦ k　は成立.

○ i≦nなるすべての自然数iについて　ai ≦ k と仮定する.

B　より　a[n+1]＜an + (1-k)
帰納法の仮定より an - k ≦0なのでa[n+1]-1＜0…(1)

Aを移項して
a[n+1]-k≦?納1,n+1](ai)^2-k?納1,n+1](ai)
・２つめのΣの前のkを中に入れる
・２つのΣを統合
・Σ内を因数分解
・Σ内の(a[n+1]-k)を分離し左辺に移項
・帰納法の仮定と(1) を使って　a[n+1] - k≦ 0 を示す
No.29360 - 2014/10/19(Sun) 09:27:05
★ (No Subject) / 栗
−3/(4+a)=3
この式を解くと8になるのですが、解き方がわかりません。
解説よろしくお願いします。
No.29356 - 2014/10/18(Sat) 23:41:17
☆ Re: / ヨッシー
８にはなりません。ａに８を入れても、
　-3/(4+8)＝-3/12＝-1/4
です。
　-3/(4+a)＝3　両辺 4+aを掛けて
　-3＝3(4+a)
　-1＝4+a
　a=-1-4＝-5　・・・答え
です。
No.29357 - 2014/10/19(Sun) 00:14:34
★ (No Subject) / ブルーバード
nを自然数とする。xの関数f(x)＝n/xに対し、領域D(n)＝{(x,y)|0＜x≦n,0＜y≦f(x)}に含まれる格子点の個数をL(n)とする。次の問いに答えよ。

(1)不等式∫(1〜ｎ＋１)f(x)dx−n＜L(n)＜∫(1〜n)f(x)dx＋nが成立することを示せ。

(2)lim(n→∞)L(n)/(n×logn)＝1が成立することを示せ。ただし、対数は自然対数である。
No.29345 - 2014/10/17(Fri) 23:20:04
☆ Re: / ペンギン
f(x)は単調減少なので、k≦x≦k+1のとき
f(k+1)≦f(x)≦f(k)

各辺をk〜k+1で積分すると、
f(k+1)<∫_{k〜k+1}f(x)dx <f(k)・・・?@

?@において、f(k+1)<∫_{k〜k+1}f(x)dxの和をk=1からn-1まで取ると、
Σ_{k=2〜n}f(k)<∫_{1〜n}f(x)dx
f(1)=nを両辺に加えて、
Σ_{k=1〜n}f(k)<∫_{1〜n}f(x)dx + n・・・?A


?@において、∫_{k〜k+1}f(x)dx<f(k)の和をk=1からnまで取ると、∫_{1〜n+1}f(x)dx<Σ_{k=1〜n}f(k)・・・?B

一方、x=k上の格子点の数をL_kとすると、
f(k)-1 < L_k ≦ f(k)
L(n)=Σ_{k=1〜n}L_kなので、

Σ_{k=1〜n}f(k)-n < L_k ≦ Σ_{k=1〜n}f(k)

?A、?Bを合わせて(1)を得ます。

(2)は(1)の結果を利用して、積分を実行し、極限をとるだけです。
No.29348 - 2014/10/18(Sat) 11:03:59
☆ Re: / ペンギン
最後から3行目の不等式におけるL_kはL(n)の間違いです。
すみませんでした。
No.29349 - 2014/10/18(Sat) 11:04:55
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