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(No Subject) / スピンクス
a=(1+√5)/2のとき、次の式の値を求めよ。
(1)a^2−a−1
(2)a^4+a^3+a^2+a

解答が無いので全く分かりません。教えてください。

No.28764 - 2014/09/07(Sun) 18:15:29

Re: / X
a=(1+√5)/2 (A)
より
2a-1=√5
(2a-1)^2=5
4a^2-4a-4=0
∴a^2-a-1=0 (B)
(B)を使い、(1)(2)共に
与式をa^2-a-1で割った余りを求め
それに(A)を代入するのが方針になります。

但し(1)については与式が(B)の左辺
そのものという特別な場合となっており
(与式)=0
となります。

No.28765 - 2014/09/07(Sun) 18:39:22

Re: / ヨッシー
(1)
実数係数の二次方程式で、x=(1+√5)/2 が解になるものを考えると、
 x=(1−√5)/2 も解となります。
b=(1−√5)/2 とおくと、解と係数の関係から
 a+b=1、ab=−1
より、x=(1+√5)/2 を解に持つ二次方程式の1つとして、
 x^2−x−1=0
が得られます。aはこれの解の1つなので、
 a^2−a−1=0  ・・・答え
(2)
(1) の結果より
 a^4−a^3−a^2=0 より a^4=a^3+a^2
よって、
 a^4+a^3+a^2+a=2a^3+2a^2+a
さらに、 a^3−a^2−a=0 より a^3=a^2+a より
 2a^3+2a^2+a=4a^2+3a
  =4(a+1)+3a=7a+4
  =(15+7√5)/2

No.28767 - 2014/09/07(Sun) 19:05:10
導関数 / とみー
gは定数とするとき、次の問いに答えよ。ただし、分母を有理化すること。
(1)√(3675g(tan(x)^2+1))/√(700tan(x)-17)をxについて微分せよ。

(2)√(14700g(tan(x)^2+1))/√(1400tan(x)+133)をxについて微分せよ。

独学で、微分を勉強していて、無理関数の微分、商の微分、三角関数の微分などは、わかったのですが、まだ初心者で…。
詳しく解答していただけたら幸いです。

No.28763 - 2014/09/07(Sun) 18:11:00

Re: 導関数 / X
既に別の掲示板に同じ質問に対する回答がついていますよ。
No.28766 - 2014/09/07(Sun) 18:40:12

Re: 導関数 / とみー
ありがとうございます!
No.28769 - 2014/09/07(Sun) 19:22:18
(No Subject) / 太郎
互いに素な分母を持つ分数(整数でない)どうしをたしたものが整数になることはない という、事実を今日しったのですが、なぜこのようなことがいえるのか、いまいちよくわかりません。感覚的には、整数にならなそうなのですが、自明なのかどうかぴんときません 
ご教授お願いします

No.28762 - 2014/09/07(Sun) 17:53:31

Re: / ヨッシー
2つの有理数A,Bがあり、
 A=A’+a
 B=B’+b
とします。ただし、A’,B’は整数、0<a<1, 0<b<1
ここで、A+B が整数になるならば、a,bの範囲より
 a+b=1
になるしかありません。ここで、
 a=n/m (m は2以上の整数、nは0<n<m かつmと互いに素な整数)
とおくと、
 b=1−a=(m-n)/m
となり、aとbとは同じ分母を持ち、分母が互いに素であることに矛盾します。

No.28768 - 2014/09/07(Sun) 19:20:13

Re: / 太郎
とてもわかりやすい解説をしてくださり、ありがとうございました
No.28770 - 2014/09/07(Sun) 19:34:35
二次不等式 / 高3です
xについての二次不等式ax^2+x+b>0の解が3<x<4となるとき、定数a,bの値を求めよ。

答えはa=-1/7、b=-12/7
なんですけど、どう計算したらいいか分かりません。教えてください。

No.28759 - 2014/09/07(Sun) 14:05:08

Re: 二次不等式 / らすかる
答えが3<x<4となる二次不等式の一つは
(x-3)(x-4)<0ですね。
これを展開するとx^2-7x+12<0となり、
ax^2+x+b>0と1次の項の係数を合わせるためには
全体に-1/7を掛ければ良いので
x^2-7x+12<0の両辺に-1/7を掛けて
-(1/7)x^2+x-12/7>0
となります。
よってa=-1/7、b=-12/7です。

No.28760 - 2014/09/07(Sun) 15:37:36

Re: 二次不等式 / 高3です
分かりましたっありがとうごさいます(*^^*)
No.28761 - 2014/09/07(Sun) 16:04:50
因数分解 / KO
1/4x^2−2x+4 を因数分解する問題です。

私は、1/4x^2−2x+4=(1/2x)^2+2×1/2×(−2)x+(−2)^2 と考え、

答えを、(1/2 x−2)^2 としたのですが、

解答は、 1/4 (x-4)^2 でした。

どちらも展開すれば 1/4x^2−2x+4 になるのですが、私の答えは間違っているのでしょうか?

No.28751 - 2014/09/05(Fri) 15:45:33

Re: 因数分解 / ヨッシー
間違ってはいません。
通常、減点されないはずです。

No.28752 - 2014/09/05(Fri) 15:48:16

Re: 因数分解 / KO
ありがとうございます!
No.28756 - 2014/09/05(Fri) 18:49:44
一次方程式 / TK
4(x-2)=4xの解は、
4x-8=4x
4x-4x=8 になるのですが、4x-8は4xではないので成立しませんよね?
解き方教えて下さい!

No.28744 - 2014/09/05(Fri) 08:51:17

Re: 一次方程式 / ヨッシー
これは整理すると
 −8=0
となり、解のない方程式となっています。

No.28745 - 2014/09/05(Fri) 09:48:31

Re: 一次方程式 / 七
ですから,その1次方程式は解無しになります。
1次方程式は
ax=b と変形して

aが0でなければただ1つの解
x=b/a を持ちます。

a=0のときは
bが0でなければ解無し。
bも0のときは
xはすべての数。

というのが答えになります。

No.28746 - 2014/09/05(Fri) 10:00:23

念の為 / angel
一応念の為、大事なことなので確認したいのですが

・方程式に解がないこともある
・方程式の解が無数にあることもある

というのは良いですよね…?

※まあ、一次式しか出てこない方程式は、大抵は解が1つに決まるのですが

No.28750 - 2014/09/05(Fri) 14:03:01

Re: 一次方程式 / TK
ありがとうございました!
No.28757 - 2014/09/05(Fri) 19:59:45
極限の問題 / aqwe
画像見づらくてすいません。
問題文は
lim[x→a]1/(x-a){(x^n-a^n)/(x-a)-na^(n-1)}
問題集に答えが載っていなくて分からないので
質問しました。よろしくお願いします。

No.28742 - 2014/09/05(Fri) 08:33:11

Re: 極限の問題 / X
x-a=hと置くと
(与式)=lim[h→0]{{(a+h)^n-a^n}/h-na^(n-1)}/h
=lim[h→0]{Σ[k=0〜n-1]{(a+h)^k}a^(n-1-k)-na^(n-1)}/h
∴f(x)=Σ[k=0〜n-1](x^k)a^(n-1-k)
と置くと
(与式)=f'(a)=Σ[k=0〜n-1]ka^(n-2)
=(1/2)n(n-1)a^(n-2)

No.28748 - 2014/09/05(Fri) 12:10:37

Re: 極限の問題 / angel
テイラー展開
 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+1/2・f''(a)(x-a)^2+1/3!・f'''(a)(x-a)^3+…
を知っていれば、
 ( f(x)-f(a) ) - f'(a)(x-a) = 1/2・f''(a)(x-a)^2+1/3!・f'''(a)(x-a)^3+…
ですから、両辺を (x-a)^2 で割った
 1/(x-a)・( (f(x)-f(a))/(x-a) - f'(a) ) = 1/2・f''(a) + 1/3!・f'''(a)(x-a)+…
から、
 lim[x→a] 1/(x-a)・( (f(x)-f(a))/(x-a) - f'(a) ) = 1/2・f''(a)
と答えの見当がつきます。
※今回の問題は、f(x)=x^n のケース

なお、もしこれを解答で使うなら、テイラー展開ではなく「平均値の定理」から説明すべきでしょうけど。

No.28749 - 2014/09/05(Fri) 13:00:42

Re: 極限の問題 / aqwe
ありがとうございます。よく分かりました!
No.28755 - 2014/09/05(Fri) 18:03:03
通過領域 / kux
tを定数として、xy平面上の直線lt:y=-tx+e^tを考える。
tが実数全体を変化するとき、ltが通過する領域を求めて図示せよ。
着眼を教えてください。よろしくお願いします。

No.28737 - 2014/09/04(Thu) 20:24:37

Re: 通過領域 / X
条件から、問題はtの方程式
y=-tx+e^t (A)
が実数解を持つための条件を求めることと
等価になります。
ここで(A)より
e^t-xt-y=0
そこで
f(t)=e^t-xt-y
と置き、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフが
t軸と交点を持つ条件を求めます。

No.28738 - 2014/09/04(Thu) 20:32:53

Re: 通過領域 / IT
xの値毎にxを定数と考えて、tについての関数f(t)=-xt+e^tの値域を調べる。
x<0,x=0,x>0の場合に分けて考えることになります。

No.28739 - 2014/09/04(Thu) 20:33:24

Re: 通過領域 / kux
ありがとうございました。やってみます。
No.28743 - 2014/09/05(Fri) 08:43:25
条件つき確率 / yuhka
5枚の赤いカードに2,3,4,5,6の数字が1つずつ、5枚の青いカードに7,8,9,10,11の数字が1つずつ書いてある。
赤いカードから1枚、青いカードから1枚引いて、書かれた数字をそれぞれX、Yとし、Z=2X+Yとおく。
X、Zが素数になるという事象をそれぞれA、Bとすると
P(A)=(ア)/(イ),P(B)=(ウ)/(エ),P(A∩B)=(オ)/(カキ),PB(A)=(ク)/(ケ)
始めの3つは3/5,2/5,1/25と出ましたが、最後の答えが合いません・・
ご指摘お願いします(>_<)

No.28736 - 2014/09/04(Thu) 20:00:50

Re: 条件つき確率 / ヨッシー
A={2,3,5},B={(2,7)(2,9)(3,7)(3,11)(4,9)(4,11)(5,7)(5,9)(6,7)(6,11)}
以上、それぞれ3通り、10通りが、A、Bの起こる場合です。
P(A)=3/5, P(B)=10/25=2/5 は良いですが、
A∩B={(2,7)(2,9)(3,7)(3,11)(5,7)(5,9)} の6通りなので、
P(A∩B)=6/25

PB(A) は、Bが起こった条件下でのAの確率なので、
Bの10通りのうち、Aであるのは6通りなので
 PB(A)=6/10=3/5
公式でいうと
 PB(A)=P(A∩B)/P(B)=(6/25)/(2/5)=3/5
となります。

No.28747 - 2014/09/05(Fri) 11:23:54

Re: 条件つき確率 / yuhka
Bを数え間違えていました・・・
ありがとうございました!

No.28758 - 2014/09/05(Fri) 22:50:13
(No Subject) / なは
画像の積分はどう解けばいいんでしょうか?
教えてください(>_<)

No.28729 - 2014/09/04(Thu) 00:20:17

Re: / X
(与式)=∫[0→π/2]{θ(cosθ)^3}dθ
-∫[0→π/2]{(cosθ)^4}(sinθ)dθ
ここで
∫[0→π/2]{(cosθ)^4}(sinθ)dθ=[-(1/5)(cosθ)^5][0→π/2]
=1/5
∫[0→π/2]{θ(cosθ)^3}dθ=∫[0→π/2]θ{1-(sinθ)^2}(cosθ)dθ
=[θ{sinθ-(1/3)(sinθ)^3}][0→π/2]-∫[0→π/2]{sinθ-(1/3)(sinθ)^3}dθ
=π/3-∫[0→π/2]{2/3+(1/3)(cosθ)^2}(sinθ)dθ
=π/3+[(2/3)cosθ+(1/9)(cosθ)^3][0→π/2]
=π/3-4/9
∴(与式)=π/3-29/45

No.28734 - 2014/09/04(Thu) 10:08:17

Re: / なは
ありがとうございます!!
No.28740 - 2014/09/04(Thu) 21:34:25

Re: や / なは
ありがとうございます!!
No.28741 - 2014/09/04(Thu) 21:35:07
関数の極限値の問題です / ファッ!?
公式はありますが計算方法が記載されてないので質問します。

lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/hをf`(a)で表せ

という問題で、分母を-3hにして式に-3hをかける所までは解りますがそこから式が、

f`(a)・(-3)

と変換されるのですが、どうしてこうなるかが解りません。
解説をお願いいたします

No.28718 - 2014/09/03(Wed) 16:37:34

Re: 関数の極限値の問題です / ファッ!?
訂正、式に-3をかける です。
No.28719 - 2014/09/03(Wed) 16:39:28

Re: 関数の極限値の問題です / ヨッシー
lim[h→0]f(a+h)-f(a)/h
lim[h→0]f(a-h)-f(a)/(-h)
lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h)
ともに、f'(a) であることはわかりますか?

No.28720 - 2014/09/03(Wed) 16:46:00

Re: 関数の極限値の問題です / ファッ!?
> lim[h→0]f(a+h)-f(a)/h
> lim[h→0]f(a-h)-f(a)/(-h)
> lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h)
> ともに、f'(a) であることはわかりますか?


上みっつの式において、×-3がないのにf'(a)となる理由が解りません。それと、この三つの式とf`(a)・(-3)の因果関係がまだわかりません。

No.28723 - 2014/09/03(Wed) 17:57:28

Re: 関数の極限値の問題です / ヨッシー
lim[h→0]f(a+h)-f(a)/h
は、f'(a) の定義そのものであることは、理解されていますか?

No.28724 - 2014/09/03(Wed) 18:06:20

Re: 関数の極限値の問題です / ファッ!?
> lim[h→0]f(a+h)-f(a)/h
> は、f'(a) の定義そのものであることは、理解されていますか?


lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h)
からまず3を除いて
lim[h→0]f(a-h)-f(a)/(-h)
として、分母の-を分子にいれて
lim[h→0]f(a+h)-f(a)/h
となったということで良いでしょうか?
それで最初の
lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h)
がf'(a)だから、ということですか?

No.28725 - 2014/09/03(Wed) 18:16:19

Re: 関数の極限値の問題です / ヨッシー
先を急いではいけませんし、順序を間違えてもいけません。
それでは、九九を覚えていないのに、2桁の掛け算、さらには
割り算と進むようなものです。

まず、
 f'(a)=lim[h→0]f(a+h)-f(a)/h
は、定義であり、物事の始まりです。
lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h) を変形してできるようなものではありません。
 f'(a)=lim[h→0]f(a+h)-f(a)/h を 変形して、
 f'(a)=lim[h→0]f(a-h)-f(a)/(-h)
 f'(a)=lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h)
と進んでいくのです。
このとき、h を -h に、さらに -3h に変えているだけなので、
h→0 の極限を取れば、結果は同じということを使っています。
 f'(a)=lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h)
であることが理解できたら、最初に戻って、
 lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/h=lim[h→0](-3)f(a-3h)-f(a)/(-3h)
 =(-3)lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h)
が、-3f'(a) になることは、説明するまでもありません。

No.28726 - 2014/09/03(Wed) 18:25:58

Re: 関数の極限値の問題です / ファッ!?
>  =(-3)lim[h→0]f(a-3h)-f(a)/(-3h)
> が、-3f'(a) になることは、説明するまでもありません。


公式も知ってはいるのですが、私が何を迷っているのかというと、この式をみた時にf(a)-3fh-f(a)/-3hと見ているので、
そうなるとf(a)-f(a)でこの式は-3fh/-3h・-3と見ている、ということです。
もしくは、hを変形させているので式のhをとってf(a)-f(a)・-3と見ています。

No.28727 - 2014/09/03(Wed) 18:51:35

Re: 関数の極限値の問題です / ファッ!?
今、本を改めて見直したら全く関係ない部分に公式の続きが書かれていました。
これで意味がやっとわかりました、ありがとうございます!

No.28728 - 2014/09/03(Wed) 19:11:03
なし / みさき
写真通りです。1対1の正弦定理と余弦定理の問題からです
No.28715 - 2014/09/03(Wed) 13:41:53

Re: なし / ヨッシー
1/√2 の部分を √2/2 に書き換えれば一目瞭然でしょう。
最後の√6/3 から変形するなら、分子分母を√3 で割ります。

No.28716 - 2014/09/03(Wed) 14:40:23

Re: なし / みさき
ありがとうございます
No.28735 - 2014/09/04(Thu) 11:19:08
(No Subject) / (+o+)
x 2乗ー2x+3<0

x2乗ー2x+2>0

の解き方を教えてくださいm(_ _)m
お願いします。

No.28711 - 2014/09/03(Wed) 00:29:36

Re: / らすかる
x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0だからx^2-2x+3<0の解はない。
x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0だからx^2-2x+2>0の解は実数全体。

No.28714 - 2014/09/03(Wed) 03:38:26
因数分解思いつき方 / mii
f(x)=1/3x^3−(a^2)x−(2/3)a^3=0
  の因数分解の思いつき方を教えてください。

普通、f(x)に1とか2とかを代入して、
   f()=0となるものを探しますよね?
その時に、“aを入れて見よう”って思います??

よろしくお願いします。

No.28707 - 2014/09/02(Tue) 23:49:35

Re: 因数分解思いつき方 / angel
> その時に、“aを入れて見よう”って思います??

この場合はそうしないと因数分解できなさそうですからね…。
幸いなことに、aの定数倍を代入したら、x^3 も a^2・x も、全て定数項と同じ、a^3 の定数倍の項になります。
だから、何とか上手く「aの定数倍」を見つけ出せれば、これらa^3の項が打ち消し合ってゼロになる、つまり因数分解の形が分かる、という希望があります。

No.28708 - 2014/09/03(Wed) 00:02:26
因数分解について / ファッ!?
通常の因数分解については問題なくやり方は解るので解けるのですが、特殊な形の式に関する因数分解が昔から解りません。

?@3b^2-5b-(3c^2-5c)

を整理して、

?A(b-c){3(b+c)-5}

という形に変換する問題があるのですが、?@を見た時、どういう計算をして?Aに転換するのかが解りません。何かたすきがけや公式があるのでしょうか??Aを見れば?@になるのは解りますが、?@だけをみた時に?Aになることが全く解りません。

No.28701 - 2014/09/02(Tue) 22:20:44

Re: 因数分解について / angel
> ?@を見た時、どういう計算をして?Aに転換するのかが解りません。

あの、何通りも試してそのなかで上手く行ったのを採用するんですよ。つまり、試行錯誤。スマートに一発で閃くなんて思っちゃいけません。
※いや、勿論慣れれば別ですけど

今回なら、2乗の形を何とかしないと因数分解ができませんから、そこをどうするかですが…。
例えば 3b^2 の所は、-5b と組み合わせて b(3b-5) のようにするか、-(3c^2…) から -3c^2 を引っ張ってきて 3b^2-3c^2=3(b-c)(b+c) とするか、選択肢がある訳です。
で、試してみたら 3(b-c)(b+c) を作った方が、後の形の処理が上手く行く、ということになります。

とにかく、ありそうな組み合わせを漏れなく効率良くリストアップしてどんどん試すこと。まずはそこからです。

No.28702 - 2014/09/02(Tue) 22:34:10

Re: 因数分解について / ファッ!?
> > ?@を見た時、どういう計算をして?Aに転換するのかが解りません。
>
> あの、何通りも試してそのなかで上手く行ったのを採用するんですよ。つまり、試行錯誤。スマートに一発で閃くなんて思っちゃいけません。
> ※いや、勿論慣れれば別ですけど
>
> 今回なら、2乗の形を何とかしないと因数分解ができませんから、そこをどうするかですが…。
> 例えば 3b^2 の所は、-5b と組み合わせて b(3b-5) のようにするか、-(3c^2…) から -3c^2 を引っ張ってきて 3b^2-3c^2=3(b-c)(b+c) とするか、選択肢がある訳です。
> で、試してみたら 3(b-c)(b+c) を作った方が、後の形の処理が上手く行く、ということになります。
>
> とにかく、ありそうな組み合わせを漏れなく効率良くリストアップしてどんどん試すこと。まずはそこからです。


私がLDという学習障害が原因で特に数学を解くのが困難な為、全くこの手のタイプのものは困難を極めます。
とりあえずめげずに挑戦します

No.28704 - 2014/09/02(Tue) 22:39:44
(No Subject) / mii
a>0となる定数aに対して、
関数f(x)=(1/3)x^3−a^2x−(2/3)a^3とする。

1≦x≦1における関数lf(x)lの最大値を求めよ。

・・・という問題なのですが、解説も含めてお答えいただければ幸いです。

よろしくお願いします。

No.28700 - 2014/09/02(Tue) 22:20:03

Re: / mii
すみません。解答つけ忘れました。

解 0<a<1/2のとき (2/3)a^3−a^2+1/3
  1/2≦a<1のとき (4/3)a^3
  a≧1のとき    2/3a^3+a^2−1/3

です。よろしくお願いします。

No.28703 - 2014/09/02(Tue) 22:38:47
(No Subject) / ヒキニート
5^m -9=2^mを満たす正の整数m、nを求めよ。
No.28691 - 2014/09/02(Tue) 17:51:31

Re: / mii
>5^m -9=2^mを満たす正の整数m、nを求めよ。

式にnが出てきてないですよ〜。
多分、2か5どちらかの指数を間違えて打ってると思います。

うん。確かに良くある間違いだから、お気にせず( ..)φ

No.28692 - 2014/09/02(Tue) 18:03:09

Re: / mii
・・って、どっちがどっちでも
さして問題となることではありませんね(笑)

では、とりあえず、

>5^m -9=2^nを満たす正の整数m、nを求めよ。

という問題であるとしますね。
(m,nの順に出てくるのが普通でしょうから)

→ 5を法とすると、
  5^m≡5
   9≡4 であるから、
  (左辺)=5^m−9≡1
  よって、(右辺)=2^n≡1とならならない。
  今、1≡6≡11≡16≡21≡26・・・・
  であり、nは正の整数より、1≡16=2^4から、
  n=4
  この時、与式より、
  5^m−9=16
  ⇔5^m=25
  ∴m=2    解 m=2 n=4

・・・と。まあ、とりあえず答えは出たけれども、
(m,n)の組は(2,4)だけなのか?
 ←だとしたら、示さなくていいのか?
(m,n)の組は(2,4)以外にもあるのか? 
 ←だとしたら、それも解として示さなくていいのか?
と疑問の渦が頭の中で回っているけれど、
“・・を求めよ”だから1つ解が見つかればそれでいいと思います。

“全て求めよ”ではないですし。

No.28693 - 2014/09/02(Tue) 18:27:24

Re: / ヒキニート
問題文は正しくは5^m -9 = 2^nです。予想は当たってますww

本題ですが、僕も(m,n)=(2,4)は求まりました。
僕もいろいろな数(mを大きくして)実験したのですが、どうも満たす数は出てこないので、(m,n)=(2,4)以外には解はない?と思いました。
なので今m≧3のとき解はないことを示そうと思っているのですが示し方が分かりません。
不等式か合同式かな???

No.28694 - 2014/09/02(Tue) 19:02:51

Re: / ヒキニート
ちなみにこの問題の誘導には5^mを8で割ったときの余はmが偶数のとき1mが奇数のとき5となることを示せ。

というのがついてました。これを使えばmが奇数のときに解を持たないことは示せました。

No.28695 - 2014/09/02(Tue) 19:04:52

Re: / らすかる
> “・・を求めよ”だから1つ解が見つかればそれでいいと思います。
> “全て求めよ”ではないですし。

通常“・・を求めよ”は“・・を全て求めよ”という意味ですね。
一つ見つかれば良い場合は“・・を一つ求めよ”のような書き方です。

# 「x^2=4の解を求めよ」という問題で「x=2」と答えたら×になりますね。

mが偶数の時はm=2kとおくと5^m-9=5^(2k)-9={(5^k)^2-3^2}=(5^k+3)(5^k-3)
2のべき乗で差が6になるのは8と2しかないから
5^k+3=8からk=1
∴m=2

No.28696 - 2014/09/02(Tue) 21:00:43

Re: / ヒキニート
「m≧3のとき解は存在しないことを示す」やり方をしてみたいのですが、可能ですかね?
成り立つのだったら証明は可能そうですが..........

No.28709 - 2014/09/03(Wed) 00:05:59

Re: / らすかる
mが偶数の時はm=2kとおくと5^m-9=5^(2k)-9={(5^k)^2-3^2}=(5^k+3)(5^k-3)
k≧2のとき5^k-3≧22>2^4であり、t≧5のとき2^(t+1)-2^t=2^t≧32だから
(5^k+3)-(5^k-3)≧32となり解は存在しない。
従ってmが4以上の偶数のとき解は存在しない。
mが奇数のときも解は存在しないから、m≧3のとき解は存在しない。

No.28712 - 2014/09/03(Wed) 02:47:39

Re: / ヒキニート
(5^k+3)-(5^k-3)≧32はどこから出てくるのですか?
No.28717 - 2014/09/03(Wed) 16:36:05

Re: / らすかる
5^k+3と5^k-3はどちらも2の累乗であって、
k≧2ならば5^k-3≧22>2^4だから5^k-3は2^5以上で、
さらに5^k+3は5^k-3より大きいから5^k-3の2倍以上
つまり(5^k+3)≧2(5^k-3)だから
(5^k+3)-(5^k-3)≧5^k-3≧2^5

No.28721 - 2014/09/03(Wed) 17:40:06

Re: / ヒキニート
ありがとうございます。
No.28722 - 2014/09/03(Wed) 17:55:42
(No Subject) / よこはま
⑴はわかりますが、⑵⑶を教えてください。
よろしくお願いします。

No.28687 - 2014/09/02(Tue) 12:56:52
割り切れる / ぼぬあ
「3,4,5の少なくとも一方で割り切れる」・・・?@の否定は
「3かつ4かつ5のいずれでも割り切れない」でしょうか?
それとも「3または4または5のいずれでも割り切れない」でしょうか?
?@は
・3のみで割り切れる
・4のみで割り切れる
・5のみで割り切れる
・3かつ4で割り切れる
・3かつ5で割り切れる
・4かつ5で割り切れる
・3かつ4かつ5で割り切れる
なので集合で考えれば、上記を除いた補集合が否定にあたりますよね?つまり、「3または4または5のいずれでも割り切れない」と思うのですが、?@の「3、4、5」は「3または4または5」ですよね?否定をとると「または」⇒「かつ」になると習ったのですがこの場合も「かつ」になるのでしょうか?教えてください。お願いします。

No.28686 - 2014/09/02(Tue) 12:44:02

Re: 割り切れる / レン
「3,4,5の少なくとも一方で割り切れる」・・・?@の否定は
「3かつ4かつ5のいずれでも割り切れない」・・※です

?@の「3、4、5」は「3または4または5」ですから
否定を取ると「3かつ4かつ5」で※のとおりで問題ないと思います

No.28688 - 2014/09/02(Tue) 13:53:02

Re: 割り切れる / ぼぬあ
「3かつ4かつ5のいずれでも割り切れない」
における「かつ」の意味はなんなんでしょうか?
これを
「3で割り切れない かつ 4で割り切れない かつ 5で割り切れない」と読み替えても大丈夫でしょうか?
お願いします。

No.28697 - 2014/09/02(Tue) 21:15:44

Re: 割り切れる / angel
考えている内容的に問題はないと思いますが、日本語としてマズいと思います。

「かつ」は副詞または接続詞として、述語同士、または文同士を並列につなぐために使います。
今回の使い方に合うのは「および」です。
つまり、「3および4および5のいずれでも割り切れない」ですね。もし「かつ」を使うのであれば、「3で割り切れない、かつ4で割り切れない、かつ5で割り切れない」のような感じになるでしょう。
※尤も、「および」を使わなくてもカンマや読点で十分だと思いますが。( 文脈に合わせて「または」としても「および」としても、どちらにも使える )

なお、一例ですが、
・アンケートの対象者は会場に来た女性および大学生だった。
・アンケートの対象者は会場に来た女性かつ大学生だった。
一応両方ありえる文です。…が、意味は大きく異なります。

後細かい所ですが、「3,4,5の少なくとも一方で」も妙だと思います。「一方」は2通りある内の一つを指す場合に使うものですから。「一方」と「他方 ( もう一方 )」、全部併せて「両方」ですね。

No.28698 - 2014/09/02(Tue) 21:29:02

集合的な / angel
ところで、集合的な考え方が出てきたので、それに即した言い方 ( 数学的な ) も。

 Xが3,4,5のいずれかで割り切れる
 ⇔ 集合 { 3,4,5 } の中には、X を割り切る要素が ( 少なくとも1つ ) 存在する

で、これの否定形は「存在しない」でも良いのですが、

 集合 { 3,4,5 } の要素は全てX を割り切らない

あ、もちろんわざわざ「集合{3,4,5}の要素」という言い方をしなくても良いです。( 今回は敢えて集合を強く意識した表現にしています )

ちなみに、この「存在する」と「全て」を表す数学の記号もあったりします。∃と∀です。前者は ExistのEをひっくり返した形 ( カタカナのヨに見えるので、良く「あるヨ」と言ったりしましたが )、後者は AllのAをひっくり返した形ですね。

No.28699 - 2014/09/02(Tue) 21:54:47
(No Subject) / ハウ
x,y,zを負の数として
x^2+y^2+z^2+2xyz=1・・?@
が成り立っている。
このとき?@はx、y、zについて対称だから
(x+1),(y+1),(z+1)は全て同符号か、あるいはどれかが0である。

とあるのですが、なぜですか?

よろしくおねがいしますorz

No.28684 - 2014/09/01(Mon) 19:45:40

Re: / angel
> とあるのですが、なぜですか?

?@という条件が与えられただけで、
> このとき?@はx、y、zについて対称だから
> (x+1),(y+1),(z+1)は全て同符号か、あるいはどれかが0である。

というのは論理の飛躍があります。
一般的に「対象だから全て同符号 ( あるいは〜 )」のようなことは言えません。
何か途中にもうちょっと説明はありませんでしたか?

※あったのに省略して質問を載せたとしたら、「メッ」ですよ

No.28705 - 2014/09/02(Tue) 23:17:23

対称 / angel
さて。で、「対称」とありますが、この場合は「文字を色々入れ替えても条件や結果等が変わらない」ことを表しています。

例えば、x^2+y^2+z^2+2xyz=1 ( x,y,zは負 ) は、x,y,zの順番を入れ替えても ( y^2+x^2+z^2+2yxz=1 とか z^2+x^2+y^2+2zxy=1 とか… ) 条件は全く変わりません。
つまり「対称」である、ということになります。

そうすると、この条件を満たす解は無数にありまして、(x,y,z)=(-2,-7,-26) もその一つですが。
x,y,zの順番を入れ替えた (y,x,z)=(-2,-7,-26) や (z,x,y)=(-2,-7,-26) 等も同時に解であることになります。これが「対称」という性質です。

ここで仮に、元の条件式を調べた結果
 (x+1)(y+1)≧0
という(必要)条件が分かったとしましょう。これは
 (x+1),(y+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0
を意味します。
そうすると、「対称」という性質から、x,y,zを色々入れ替えてできた条件も同じように成立する訳ですから、
   ( (x+1),(y+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0 )
 かつ( (y+1),(z+1)が同符号、またはy+1=0、またはz+1=0 )
 かつ( (z+1),(x+1)が同符号、またはz+1=0、またはx+1=0 )
ということになります。
※「入れ替える」時になかった文字が急に出てきたように見えるかもしれませんが、
 「(x+1),(y+1)が同符号、または〜、zに関しては言及なし」
 を
 「(y+1),(z+1)が同符号、または〜、xに関しては言及なし」
 のように入れ替えていると考えてください。

これを整理すると、
 (x+1),(y+1),(z+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0、またはz+1=0
となります。

…と言うことで。こういう話につながる部分が解説に書いてあったのではないかと思うのですが…

No.28706 - 2014/09/02(Tue) 23:35:31

Re: / ハウ
回答ありがとうございます

 ( (x+1),(y+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0 )
 かつ( (y+1),(z+1)が同符号、またはy+1=0、またはz+1=0 )
 かつ( (z+1),(x+1)が同符号、またはz+1=0、またはx+1=0 )

が(x+1),(y+1),(z+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0、またはz+1=0になる理由が分かりません。

※x^2+y^2+z^2+2xyz=1
を因数分解して
(x-yz)^2≧0に注意すると
(y+1)(z+1)≧0からのくだりでした。省略もうしわけありません

No.28713 - 2014/09/03(Wed) 03:33:02

Re: / ハウ
S∨X∨Y
かつ
T∨Y∨Z
かつ
U∨Z∨X

かなり難しいと思うのですが

No.28730 - 2014/09/04(Thu) 01:51:33

Re: / angel
この場合は、
 (x+1), (y+1), (z+1) の中に 0 があるかどうか
で場合分けするとスッキリします。

ちょっと条件文が長いので、場合分けの条件を
 E = (x+1),(y+1),(z+1) のいずれかが0
として、問題の条件
 P = ( (x+1),(y+1)が同符号、または〜 ) かつ …
 Q = (x+1),(y+1),(z+1)が全て同符号、またはいずれかが0
としておきましょう。
この時、Q の「または」以降は E と同一であることに注意。

ではそれぞれの場合を見ていきます。

・Eが真の場合
 Q の「または」以降が成立するという前提になるので、Pの真偽に関わらずQは真
 そのため、P⇒Q も真
・Eが偽の場合
 (x+1),(y+1),(z+1)がいずれも0でないので、
 もしPが真ならば、Pの()内の「または」の部分が偽なので、
 「(x+1),(y+1)が同符号」「y+1),(z+1)が同符号」「(z+1),(x+1)が同符号」
 の部分が全て真になる。
 つまり、(x+1),(y+1),(z+1)は全て同符号で、Qは真。
 Pが真の時にQも真になる、すなわちP⇒Qは真

と言うことで、いずれの場合でも P⇒Q は真になります。なので、Pが示せた時点でQも示せたことになります。

No.28731 - 2014/09/04(Thu) 07:29:10

補足 / angel
さて、上の説明は P⇒Q が真である ( だから、P が示せた時点で Q も示せたことになる ) というものになりますが、ただ実際に P の形を見ただけで Q の形が分かるのか? という疑問はあると思います。
しかも今回の場合、P と Q は同値ではありませんから。
※つまり、P⇒Q は真だが Q⇒P は真ではない
※一例として、「(x+1),(y+1)が異符号、(z+1)=0」では P は偽になるが Q は真になる

今回の場合は、「0かどうか」というのが非常に特殊な条件なので、そこに着目してQの形を導くことは不自然ではありません。
しかしながら、PからQを導いたというよりは、予めQの形を想定しておいて、それをPから確かめたという方が正しいでしょう。「なぜQの形なのか」は、その後の解答の進め方に都合が良かったから、ということになります。
※なので、その後の説明を見るのが大事

No.28732 - 2014/09/04(Thu) 08:20:00

同値な条件 / angel
参考までに、では P と同値な条件を整理したらどうなるか、
結論を先に言うと、
 (x+1),(y+1),(z+1)は全て非負、または全て非正
になります。
※もちろん他の表現も考えられます。
※…あれ、こっちの整理の仕方の方が使い易いような…。まあ、それは気にしないでおきましょうか。

アプローチは色々ありますが、

・ちょっと閃き
 「(x+1),(y+1)が同符号、もしくはx+1=0もしくはy+1=0」を、
 「(x+1),(y+1)が共に非負、または共に非正」
 と読み替えること。
 それが他の文字の組み合わせでも同じだから、という理屈です。
 ただ、「共に非負」と「共に非正」が同時に成立するパターンの扱いには注意が必要です。

・否定形を考えてみる
 「(x+1),(y+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0」は、
 否定形で考えると「(x+1),(y+1)が異符号ではない」です。
 そうすると、Pは「Aではない、かつBではない、かつCではない」という形になるので、
 「( AまたはBまたはC )ではない」
 と変形できます。( ド・モルガンの法則 )
 今回は「(x+1),(y+1),(z+1)の中でいずれの2個の組み合わせも異符号ではない」
 と言うことで、それは非負もしくは非正で揃っているからに他なりません。

・正攻法
 最後は正攻法。地味ですが大事です。
 (x+1),(y+1),(z+1)それぞれが、0か正か負かを考えれば良いので、27通りの場合分けになります。
 …が、流石にちょっと大変ですね。ここで「対称」という性質を活かせばもうちょっと楽ができます。
 なぜなら、例えば「(x+1)が0、(y+1)が正、(z+1)が負」の時の話は、x,y,zを入れ替えた「(y+1)が0、(z+1)が正、(x+1)が負」等の状況でも同じになるので、結局「0,正,負が何個ずつなのか」を考えるだけで済むからです。
 …まあそれでも10通りありますが。
 全部列挙すると、
  1. 全て0 … Pが真
  2. 0×2, 正×1 … Pが真
  3. 0×2, 負×1 … Pが真
  4. 0×1, 正×2 … Pが真
  5. 0×1, 正×1, 負×1 … Pが偽
  6. 0×1, 負×2, … Pが真
  7. 全て正 … Pが真
  8. 正×2, 負×1 … Pが偽
  9. 正×1, 負×2 … Pが偽
  10. 全て負 … Pが真
 なので、Pは、ケース1,2,3,4,6,7,10のいずれかが成立すること、と同値になります。
 ※この場合も、否定形の「ケース5,8,9が成立しないこと」の方が分かり易いかもしれません
 なお、個々のケースを検証する場合、例えばケース5なら、「x+1=0,y+1が正,z+1が負」のようにx,y,zの役割は好きに決めてしまって構いません。解答では良く「…として一般性を失わない」と書くところです。
 なぜかと言うと、これこそ「対称」だから。その好きに決めた組み合わせで成立することは、文字を入れ替えても同じように成り立つからです。

No.28733 - 2014/09/04(Thu) 09:02:43
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