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★ イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
記事No.29150 でn→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ pの証明を質問したrikoです。
そこで否定の作り方がまちがっていることを指摘され、勉強してみました。
ところが、記号を使って否定を作ってみたら、変になってしまいました。

どこがおかしいのですか？


n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ p

P:=n→∞、a(n) = α
Q:=a(n) > p
R:=α ≧ p
と置く

証明したいことは
P(Q⇒R)
と書ける

その否定は
¬(P(Q⇒R))
¬P¬(Q⇒R)
¬P¬( ¬Q∨R)
¬P¬( ¬Q∨R)
¬P( Q∧¬R)
となる

P:=n→∞、a(n) = α
=数列a(n)がα収束する定義は正の任意のεに対して、ある自然数Nが存在してN以上のnについて｜a(n)-α｜<ε
=∀ε＞０, ∃N＞0 s.t. ∀n≧N, ｜a(n) -1｜＜ε

だから、Pの否定は
¬P=¬(∀ε＞０, ∃N＞0 s.t. ∀n≧N, ｜a(n) -α｜＜ε)
=∃ε＞０, ¬(∃N＞0 s.t. ∀n≧N, ｜a(n) -α｜＜ε)
=∃ε＞０, ∀N＞0 ¬( s.t. ∀n≧N, ｜a(n) -α｜＜ε)
=∃ε＞０, ∀N＞0 s.t. ∃n≧N, ¬(｜a(n) -α｜＜ε)
=∃ε＞０, ∀N＞0 s.t. ∃n≧N, ｜a(n) -α｜>ε
となる

Rの否定は
¬R=¬(α ≧ p)
=α < p
となる

だから
Q∧¬R=(a(n) > p)∧(α < p))

したがって
¬P( Q∧¬R)=
(=∃ε＞０, ∀N＞0 s.t. ∃n≧N, ｜a(n) -α｜>ε)(a(n) > p)∧(α < p)
がえられ、これが成り立たないことを示せばよい。

ある正のεに対して、全ての自然数Nが存在してN以上のnについて、｜a(n) -α｜>εのとき
a(n) > p、かつ、α < p
No.29247 - 2014/10/07(Tue) 17:28:38
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / 黄桃
>証明したいことは
>P(Q⇒R)
>と書ける

これが根本的に違います。示すべき命題は

n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ p

ですが、これが数列{a[n]},実数α,pにかかわらず真というのが主張ですから、論理記号を省略せずに書けば
∀α∀p∀{a[n]}((lim_[n→∞] a[n]=α) ∧ (∀n a[n]>p) )⇒ α≧p
です。

P,Q,Rと書くなら、より正確には
P(a[n],α):=n→∞、a(n) = α (数列{a[n]}とαを決めると真偽が決まる命題）
Q(a[n],n,p):=a(n) > p　　　 (数列{a[n]}と添え字番号n とpを決めると真偽が決まる命題)
R(α,p):=α ≧ p (αとpを決めれば真偽が決まる命題）
とおくと、
∀α∀p∀{a[n]} (P(a[n],α)∧∀n Q(a[n],n,p)) ⇒ R(α,p)
となる、です。

#「Aの時、BならばC」 は A⇒(B⇒C) とみてもいいですが、
#A⇒(B⇒C)= ¬A∨(B⇒C)=¬A∨(¬B∨C)=(¬(A∧B))∨C=(A∧B)⇒C
#なので、結局 (A∧B)⇒C と同じです。これはA∧(B⇒C)とは異なります。
#なぜなら、Aが偽の時A∧(B⇒C)は偽ですが、(A∧B)⇒Cは真です。
#〜の時、というのは〜を仮定する、程度の意味です。

したがって、この否定は
∃α∃p∃{a[n]} (P(a[n],α)∧∀n Q(a[n],n,p))∧(¬ R(α,p))
つまり、
∃α∃p∃{a[n]} (lim_[n→∞] a[n]=α) ∧ (∀n a[n]>p) ∧ (α＜p)
です。
この否定命題で存在を保証されたα、p, {a[n]}が、そのあとの３つの仮定をみたす、というのが背理法の始まりです。
No.29260 - 2014/10/08(Wed) 07:49:35
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
お返事ありがとうございます。
早速、考えてみます。
No.29264 - 2014/10/08(Wed) 17:59:26
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
真理表の作り方から勉強し直してみました。
これで合っているでしょうか？
おねがいします。

> これが根本的に違います。示すべき命題は
> n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ p
これは日本語の問題ですね。
条件１： n→∞、a(n) = α、条件２：a(n) > p、結論：α ≧ p
だから、条件１と条件２が両方が成り立つとき、結論が得られる。
だから、
> ですが、これが数列{a[n]},実数α,pにかかわらず真というのが主張ですから、論理記号を省略せずに書けば
> ∀α∀p∀{a[n]}((lim_[n→∞] a[n]=α) ∧ (∀n a[n]>p) )⇒ α≧p
となる。

> #なぜなら、Aが偽の時A∧(B⇒C)は偽ですが、(A∧B)⇒Cは真です。
A∧(B⇒C)を調べることは、n→∞、a(n) = αであるとき、a(n) > p ならば α ≧ pを調べたことにならない。
そもそも、違う命題だから。
それは、
n→∞、a(n) = αでありa(n) > pでない、もしくは n→∞、a(n) = αであり α ≧ pが成立する
となってしまうから。

> この否定命題で存在を保証されたα、p, {a[n]}が、そのあとの３つの仮定をみたす、というのが背理法の始まりです。
これは、否定されてない命題と否定された命題では、どちらかが真でもう一方が偽となるから、P⇒Q=¬P∨Qの真偽を調べるためには、P⇒Qの否定を調べればいい。
だから、前のスレッドでやってしまった
P⇒¬Q=¬P∨¬Q=¬(P∧Q)
を調べるということは、P⇒Qの真偽を調べたことにならない。P⇒¬QはP⇒Qの余事象になっていない。

どうしてもわからなかったのが
> P(a[n],α):=n→∞、a(n) = α (数列{a[n]}とαを決めると真偽が決まる命題）
> Q(a[n],n,p):=a(n) > p　　　 (数列{a[n]}と添え字番号n とpを決めると真偽が決まる命題)
> R(α,p):=α ≧ p (αとpを決めれば真偽が決まる命題）
P(a[n],α)にはnが独立変数とはならず、Q(a[n],n,p)ではnが独立変数となっていることです。
a[n]はnに依存しているから、P(n,α)、Q(n,α)では？とも思ってしまいました。
No.29295 - 2014/10/14(Tue) 19:42:31
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
背理法ですけど、P⇒Q=¬P∨Qの真偽を調べるためには、P⇒Qの否定P∧¬Qを調べればいいとかきました。

考え直してみたら、数学ではPを定義や仮定や条件とすることが多いので、そのようなときにはPは真としてやれ、Pが真の時だけを調べればいいのでは？。

そうすると、P⇒¬Qが真ならP⇒Qは偽、P⇒¬Q偽がならP⇒Qは真、つまり、P⇒Qの真偽はQの真偽に左右されるから、
P⇒¬Q=¬P∨¬Q=¬(P∧Q)
を調べればいいのでは？とも思ってしまいました。
この考えは間違っているでしょうか？
No.29326 - 2014/10/16(Thu) 18:47:40
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / 黄桃
>P(a[n],α)にはnが独立変数とはならず、Q(a[n],n,p)ではnが独立変数となっていることです。
>a[n]はnに依存しているから、P(n,α)、Q(n,α)では？とも思ってしまいました。

このa[n]のnは、関数f(x)と書いてもxに意味がないのと同じで、数列{a[n]}という意味で書いています。P,Qでa[n]と書いたnは他の任意の文字(m,n,x,y等々)に置き換えても意味を持つことを確認してください。
a[100]などの個別の値は数列とその添え字100を与えて決まります。a[n]>p というのは、a[1]>p ∧ a[2]>p　∧ ... という意味であり、個別の値がすべてpより大きいことを示しています。
確かに、Q(a[n],n,p)よりは、Q({a[n]},m,p)とでも書いた方が適切でしたね。

>P⇒¬QはP⇒Qの余事象になっていない。
余事象が否定の意味であればその通りです。

>そのようなときにはPは真としてやれ、Pが真の時だけを調べればいいのでは？。
この「そのようなとき」というのが何のことかわかりませんが、「P⇒X」を証明するときはPが真の場合のみを仮定してXが示せればいい、という意味ならその通りです。Pが偽なら「P⇒X」は真ですから、示すまでもないからです。

>P⇒¬Qが真ならP⇒Qは偽
とはなりません。『「Pが真」かつ「P⇒¬Qが真」ならば、「Qは偽」』はいえます（そして「Qが偽」なら「P⇒Qは偽」です）が、「P⇒¬Qが真」だからといって、PやQの真偽は不明です。条件文が真であるときわかるのは、あくまでも P,Qの相対的な関係だけです。

まとめますと、
P⇒Q
を示す場合次のことが言えます。
(1) 直接証明する場合は、Pが真と仮定してQが結論されることを示せばよい。
(2) 背理法で証明する場合は、(¬(P⇒Q))⇒O (Oは矛盾）を示せばよい。そのためには、¬(P⇒Q)(=P∧¬Q)が真と仮定して矛盾が結論されることを示せばよい。
No.29372 - 2014/10/19(Sun) 18:39:39
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
お返事ありがとうございます。
早速考えさせていただきます。

気になったのが、背理法は対偶証明と同じという記述を見ます。
しかし、真理表を確認すると違います。
背理法は対偶証明と同じなのでしょうか？
No.29375 - 2014/10/19(Sun) 19:28:30
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / 黄桃
既に内容が元の質問とは無関係です。

>気になったのが、背理法は対偶証明と同じという記述を見ます。
具体的にどんな記述ですか？ここでいう「同じ」とはどういう意味ですか？

>しかし、真理表を確認すると違います。
意味不明です。背理法では真といえるが、対偶証明だと偽といえる命題があるということですか？そんなことはありません。

背理法はAという命題を示すのに、それと同値な (¬A)⇒O (Oは矛盾）を示す証明法です。特にAがP⇒Qという条件文であれば、¬Aは P∧(¬Q)です。
対偶法は P⇒Qを示すのに、これと同値な(¬Q)⇒(¬P)を示す証明法です。
P⇒Q と (P∧(¬Q))⇒O と (¬Q)⇒(¬P) はいずれも同値であることを真理表で確認してください。

>背理法は対偶証明と同じなのでしょうか？
同じ、の意味がわからないので答えようがありません。
No.29378 - 2014/10/19(Sun) 23:46:48
☆ Re: イプシロンデルタ論法の正の任意のイプシロン2 / riko
ご指摘ありがとうございます。
真理表の作り方から勉強し直します。
No.29382 - 2014/10/20(Mon) 10:43:21
★ 期待値 / マリー
以前期待値の解釈で質問をさせていただいたものです。今回も期待値の解釈で質問です。どうかよろしくお願いします。

正数rに対して,a_1=0,a_2=rとおき,数列{a_n}を次の漸化式で定める。

a_(n+1)=a_n+r_n・(a_n-a_(n-1)) (n=2,3,4,…)

ただしa_nとa_(n-1)から漸化式を用いてa_(n+1)を決める際には,確率1/2でr_n=r/2,確率1/2でr_n=1/2rになるとする。
a_nの期待値をp_nとするとき,n≧3のときにp_nをnとrを用いて表せ。

正しいやり方が全然わからなかったので,a_nの期待値をp_nとするということは,a_n=p_n,a_(n-1)=p_(n-1)とみなしてよいと解釈して,p_(n+1)={p_n+(r/2)・(p_n-p_(n-1))}/2+{p_n+(1/2r)・(p_n-p_(n-1))}/2と漸化式を立てて解いたら,一応解答と一致しました。ということはやはりa_n=p_n,a_(n-1)=p_(n-1)と仮定したことは合っていたということでしょうか。ちなみこんな解答方法で点数はもらえるでしょうか？
No.29239 - 2014/10/07(Tue) 09:11:30
☆ Re: 期待値 / らすかる
おそらく点数はもらえますが、
もし解答に「a_n=p_n,a_(n-1)=p_(n-1)とみなしてよい」などと
書いてしまったら、これは誤りですので減点されると思います。
No.29243 - 2014/10/07(Tue) 14:05:03
☆ Re: 期待値 / マリー
回答ありがとうございます。

＞もし解答に「a_n=p_n,a_(n-1)=p_(n-1)とみなしてよい」などと書いてしまったら、これは誤りです

ここがどうしてもよくわからないです。平均的にa_n=p_nになるのではないのですか？このような解釈が誤りなのに、漸化式だけは合っているということなのでしょうか？
No.29256 - 2014/10/08(Wed) 00:43:13
☆ Re: 期待値 / らすかる
「平均的にa_n=p_nになる」というのは
感覚的には正しいですが、
「a_n=p_n」という式は
「a_nの値は常に期待値の値と一致する」
という意味ですから、誤りです。
No.29257 - 2014/10/08(Wed) 01:01:02
☆ Re: 期待値 / マリー
回答ありがとうございます。

＞「a_nの値は常に期待値の値と一致する」という意味

よくよく考えてみたら、本当にそうですね。やはり私の解答方法は正規の方法ではなさそうですね。
ちなみに私の解答方法を正答に直すことはできますでしょうか？
No.29258 - 2014/10/08(Wed) 01:40:31
☆ Re: 期待値 / らすかる
2m回の試行に番号1番〜2m番を付けてk番のa[n]をa[k][n]と表し、
1番〜m番でr[n]=r/2、m+1番〜2m番でr[n]=1/(2r)だったとして
m→∞と考えます。
p[n+1]=lim[m→∞](Σ[k=1〜2m]a[k][n+1])/(2m)
=lim[m→∞](Σ[k=1〜m]a[k][n+1])/(2m)
　+lim[m→∞](Σ[k=m+1〜2m]a[k][n+1])/(2m)
=lim[m→∞](Σ[k=1〜m](a[k][n]+(r/2)(a[k][n]-a[k][n-1])))/(2m)
　+lim[m→∞](Σ[k=m+1〜2m](a[k][n]+(1/(2r))(a[k][n]-a[k][n-1])))/(2m)
={lim[m→∞](Σ[k=1〜m](a[k][n])/m
　　　　　　　+(r/2)Σ[k=1〜m](a[k][n])/m
　　　　　　　-(r/2)Σ[k=1〜m](a[k][n-1])/m)}/2
　+{lim[m→∞](Σ[k=m+1〜2m](a[k][n])/m
　　　　　　　　+(1/(2r))Σ[k=m+1〜2m](a[k][n])/m
　　　　　　　　-(1/(2r))Σ[k=m+1〜2m](a[k][n-1])/m)}/2
={lim[m→∞]Σ[k=1〜m](a[k][n])/m
　　+(r/2)lim[m→∞]Σ[k=1〜m](a[k][n])/m
　　-(r/2)lim[m→∞]Σ[k=1〜m](a[k][n-1])/m}/2
　+{lim[m→∞]Σ[k=m+1〜2m](a[k][n])/m
　　+(1/(2r))lim[m→∞]Σ[k=m+1〜2m](a[k][n])/m
　　-(1/(2r))lim[m→∞]Σ[k=m+1〜2m](a[k][n-1])/m}/2
={p[n]+(r/2)p[n]-(r/2)p[n-1]}/2
　+{p[n]+(1/(2r))p[n]-(1/(2r))p[n-1]}/2
のように考えれば良いのではないでしょうか。

# ちなみに、a[k]をp[k]に置き換えた形にして正解が出るのは、
# a[n+1]の漸化式がa[k]の一次式だからです。
# 一次式ならば上記のようにΣを分ければp[k]の一次式になりますが、
# 例えばa[n+1]の漸化式にa[n]a[n-1]のような二次の項がある場合は
# 上記のようにΣを分けられませんので、
# a[k]をp[k]に置き換えた形では正解は出ません。
No.29259 - 2014/10/08(Wed) 05:20:09
☆ Re: 期待値 / Halt0
高校で習ったかどうか忘れたんですが, 確率変数 X の期待値を E[X] で表すとしたとき, 確率変数 X,Y に対して
・E[X+Y]=E[X]+E[Y]
・XとYが独立なら E[XY]=E[X]E[Y]
であることを使えば,
an+1=an+rn(an-an-1) より
E[an+1]=E[an]+E[rn]E[an-an-1] (∵ rn と an-an-1 は独立)
=E[an]+E[rn](E[an]-E[an-1])
すなわち, (E[rn]=r/4+1/(4r) に注意して)
pn+1=(r/4+1/(4r))(pn-pn-1)
とできると思います.
No.29276 - 2014/10/09(Thu) 23:16:39
★ 軌跡の問題です / ブルーバード
xy平面内に円C：x^2＋y^2＝1と直線l：y＝a(0<a<1)がある。これに対し、Cに内接し、かつ、lに接する円の中心をPとする。
(1) Pの軌跡を求めよ。
(2) (1)の軌跡に、Cとlの2交点を加えた図形によって囲まれる部分の面積をaで表せ。
No.29236 - 2014/10/07(Tue) 05:37:07
☆ Re: 軌跡の問題です / ヨッシー
軌跡は、ｌの上下２通り考えられます。



(1)
Ｐ（ｘ、ｙ）とすると、ＰからＣまでの距離が
　１ー√(x^2＋y^2)
Ｐからｌまでの距離が
　ａ−ｙ　または　ｙ−ａ

１ー√(x^2＋y^2)＝ａ−ｙ　のとき
　１＋ｙ−ａ＝√(x^2＋y^2)
２乗して
　y^2＋2(1-a)ｙ＋(1-a)^2＝x^2＋y^2
　2(1-a)ｙ＝x^2−(1-a)^2
　ｙ＝x^2/{2(1-a)}−(1-a)/2

１ー√(x^2＋y^2)＝ｙ−ａ　のとき
　ｙ−ａ−１＝−√(x^2＋y^2)
２乗して
　y^2−2(1＋a)ｙ＋(1＋a)^2＝x^2＋y^2
　−2(1＋a)ｙ＝x^2−(1＋a)^2
　ｙ＝−x^2/{2(1＋a)}＋(1＋a)/2

ただし、いずれも　−√(1-a^2)＜ｘ＜√(1-a^2)

(2)
ｙ＝x^2/{2(1-a)}−(1-a)/2 とｌに囲まれた部分の面積
　２∫[0〜√(1-a^2)]（ａ−ｙ）dx
　＝２∫[0〜√(1-a^2)]｛−x^2/{2(1-a)＋(1+a)/2}
　＝２[−x^3/{6(1-a)＋(1+a)ｘ/2][0〜√(1-a^2)]
　＝２{−(1-a^2)√(1-a^2)/{6(1-a)＋(1+a)√(1-a^2)/2]
　＝(2/3)(1+a)√(1-a^2)

ｙ＝−x^2/{2(1＋a)}＋(1＋a)/2　とｌに囲まれた部分の面積
　２∫[0〜√(1-a^2)]（ｙ−ａ）dx
　＝２∫[0〜√(1-a^2)]｛−x^2/{2(1＋a)}＋(1−a)/2}
　＝２[−x^3/{6(1＋a)}＋(1−a)ｘ/2][0〜√(1-a^2)]
　＝２{−(1-a^2)√(1-a^2)/{6(1＋a)＋(1−a)√(1-a^2)/2]
　＝(2/3)(1−a)√(1-a^2)

両者加えて、
　(2/3)(1+a)√(1-a^2)＋(2/3)(1−a)√(1-a^2)
　＝(4/3)√(1-a^2)
No.29237 - 2014/10/07(Tue) 06:25:23
★ (No Subject) / たろべえ
　平面上に一辺の長さが２の正方形ABCDがあり対角線の交点をOとする.この平面上で,Oを中心とする角θの回転移動によって,4点A,B,C,DはそれぞれA',B',C',D'の移るとする.また,２つの正方形ABCDとA'B'C'D'の重なる部分の面積をSとする.
　角θが0<θ<π/2を動くとき,面積Sの最小値を求めよ.

解ける方、解答お願いします。
No.29233 - 2014/10/06(Mon) 21:27:16
☆ Re: / ヨッシー

図において、緑の三角形は、Ｏ付近の角度がθ/2 の直角三角形で、
直角を挟む角は １ と tan(θ/2) です。
水色の三角形は、Ｏ付近の角度が(45°−θ/2) の直角三角形で、
直角を挟む角は １ と tan(45°−θ/2) です。
よって、両者の面積の和は
　tan(θ/2)／２＋tan(45°−θ/2)／２
であり、全体としてはこれが８つずつあるので、全体の面積は
　４{tan(θ/2)＋tan(45°−θ/2)}
と表せます。
　tan(45°−θ/2)＝{tan45°−tan(θ/2)}／{1＋tan45°tan(θ/2)}
　　＝{1−tan(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}
より、
　tan(θ/2)＋tan(45°−θ/2)
　＝{tan(θ/2)＋tan^2(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}＋{1−tan(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}
　＝{1＋tan^2(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}
f(x)＝(1+x^2)/(1+x) とおくと、
　f'(x)＝{2x(1+x)−(1+x^2)}/(1+x)^2
　　＝(x^2＋2x-1)/(1+x)^2
x≧0 の範囲では、f'(x) は ｘ＝-1＋√2 で０となり、
０≦ｘ≦-1＋√2 では負、ｘ＞-1＋√2 で正となり、ｘ＝-1＋√2 は極小かつ最小点となります。
tan(θ/2)＝√2−1 のとき、
　{1＋tan^2(θ/2)}／{1＋tan(θ/2)}＝2√2−2
となり、面積の最小値は　8√2−8 となります。

なお、tan(θ/2)＝√2−1 となるθは45°＝π/4 です。
No.29240 - 2014/10/07(Tue) 09:20:20
☆ Re: / たろべえ
ありがとうございました。

解き直したらうまく解けました！
No.29277 - 2014/10/09(Thu) 23:58:30
★ (No Subject) / たろべえ
　複素数平面上で,三角形ABCの頂点を表す複素数をα,β,γとし,α,β,γは次の3条件を満たすとする.
　1.三角形ABCは一辺の長さが√3の正三角形である.
　2.α+β+γ=3
3.αβγは,絶対値が1で虚部は正である.
このとき,次の問いに答えよ.
(1)z=α-1とおく.条件1.と２.より,βとγをzを用いて表せ.
(2)α,β,γの偏角を求めよ.ただし,0°≦arzα≦arzβ≦arzγ<360°とする.

解ける方お願いします。
No.29232 - 2014/10/06(Mon) 21:21:47
★ (No Subject) / たろう
数学の三角関数の問題です。わかる人がいらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。 0≦θ＜2π, sin(θ/2)=tとするとき, 座標平面上の2点A(cosθ, sinθ), B(cos2θ,sin2θ)間の距離ABをtを用いて表せ。
よろしくお願いしますm(_ _)m。
※途中式はできるだけ省略しないでください！m(_ _)mよろしくお願いしますm(_ _)m
No.29230 - 2014/10/06(Mon) 19:55:26
☆ Re: / deep make
代数的, 幾何的な方法がありますが,
取りあえず幾何的方法を紹介します.

点Ａ, 点Ｂは単位円上の点なので,
弦ＡＢの中心角が, θ(又は2π-θ)であることに注意すれば,
ＡＢ＝2sin(θ/2)(＝2sin(π-θ/2))＝2t と書けます.
No.29231 - 2014/10/06(Mon) 20:59:20
☆ Re: / deep make
次に代数的方法です.

辺ＡＢの長さは,
√{(cosθ-cos2θ)^2＋(sinθ-sin2θ)^2}
＝√{2-2(cos2θcosθ＋sin2θsinθ)}
＝√{2(1-cos(2θ-θ))}＝√{2(1-cosθ)}.

ここで, cosθ＝1-2t^2 と書けることに注意すれば,
√{2(1-cosθ)}＝2t を得ます.
No.29234 - 2014/10/06(Mon) 21:28:50
★ 数学?Uの三角関数 / 蜜柑ポット
90°≦α≦180°,0°≦β≦90°で
sinα=12/13,cosβ=4/5のとき、

(1)cosα
(2)sinβ
(3)sin(α-β)
(4)cos(α+β)

教えてください。
No.29228 - 2014/10/06(Mon) 17:12:51
☆ Re: 数学?Uの三角関数 / らすかる
(1) cosα＜0と(sinα)^2+(cosα)^2=1から計算しましょう。
(2) sinβ＞0と(sinβ)^2+(cosβ)^2=1から計算しましょう。
(3)と(4)は加法定理の公式で計算しましょう。
No.29229 - 2014/10/06(Mon) 18:43:22
★ 真偽判定願います / ちんぷん
a,bは任意に実数全体を動く.
ax+by=0ならばx=y=0

は偽でよろしいですか？
No.29216 - 2014/10/06(Mon) 00:45:16
☆ Re: 真偽判定願います / らすかる
真です。
No.29217 - 2014/10/06(Mon) 00:55:03
☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん
簡単に証明（説明）していただけますか？
例えば、反例としてx=b,y=-aがあると思ったのですが。
No.29219 - 2014/10/06(Mon) 06:40:13
☆ Re: 真偽判定願います / angel
> 例えば、反例としてx=b,y=-aがあると思ったのですが。
これは誤りなのですが、なかなか興味深い意見です。
ちょっと、問題の命題を詳しく見てみましょう。

「a,bは任意に実数全体を動く時、ax+by=0ならばx=y=0」
これは、
「ax+by=0が、a,bがどんな実数値の時でも成立するならば、x=y=0」
を意味します。

では、「〜ならばx=y=0」を検証するために、どんな時に命題の前半部分が成立するかを考えます。
それは、どう考えるかと言うと、

　(x,y)=(1,1) の時
　　「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
　(x,y)=(1,1.1) の時
　　「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
　…
　(x,y)=(1.1,1)の時
　　「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
　…

これを、全ての実数値(x,y)の組み合わせで考えたとすると、「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立する」のは(x,y)=(0,0)だけとなります。
(x,y)=(0,0)は、当然x=y=0を満たしますから
「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するならばx=y=0」は真ということになります。

ただし、注意が必要なのは、上の想定では一つ一つ(x,y)の組み合わせを挙げて検証していますが、実際にそういうことはできません。( できるのは整数か、せめて有理数 … 帰納法が使える範囲 )
なので、全ての(x,y)の値を検証するためには「一つ一つ挙げる」以外の方法が必要です。
No.29220 - 2014/10/06(Mon) 07:18:02
☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん
回答ありがとうございます。

>>どんな時に命題の前半部分が成立するかを考えます

(x,y)=(0,0)以外にも、(x,y)=(b,-a)のとき
命題の前半部分ax+by=0が成立するのでは？

よって、任意の実数a,bに対して、ax+by=0が成り立つとしてもx=y=0であるとは限らない

と思ってしまいます。。。どこで間違っているのでしょうか。。。
No.29221 - 2014/10/06(Mon) 07:48:14
☆ (x,y)と(a,b)の違い / angel
> どこで間違っているのでしょうか。。。
それは、(x,y)と(a,b)いずれも無限の組み合わせを考える訳ですが、両者に根本的な違いがあるからです。

それは、(x,y)は固定された値である一方、(a,b)は固定されていない(動く)値であるということです。
勿論、(x,y)についても全ての実数値の組み合わせを試すので、その意味では「動く」のですが、条件を満たすかどうかを一組々々試す時には「固定」されています。( No.29220をもう一度良く見てください )
固定されるべき(x,y)に、固定されていない(a,b)の値を設定しているのがマズいことになります。
No.29222 - 2014/10/06(Mon) 08:21:18
☆ 類題 / angel
ただし、問題が変わればちんぷんさんの考えが正しくもなります。

それは、

・実数x,y,a,bに対し、ax+by=0ならばx=y=0である
　… 偽 ( 反例: (a,b,x,y)=(2,1,1,-2)等 )

これは、a,bのみならずx,yも同じように動く(固定されていない)扱いになります。なので、No29220と同じように考えるならば、

　(a,b,x,y)=(1,1,1,1)
　→ ax+by=0 不成立
　…
　(a,b,x,y)=(1,1,0,0)
　→ ax+by=0 成立
　…
　(a,b,x,y)=(2,1,1,-2)
　→ ax+by=0 成立

となり、確かにx=y=0の時にax+by=0は成立しているものの、それ以外にも成立する場面(反例)があるため、「ax+by=0ならばx=y=0」は偽となります。
No.29223 - 2014/10/06(Mon) 08:29:11
☆ Re: 真偽判定願います / らすかる
問題の命題は
「x,yに対してa,bがどんな値であってもax+by=0が成り立つならば、x=y=0」
という意味ですから、a,bをx,yに依存する値に固定することはできません。
「a,bがどんな値であってもax+by=0が成り立つならば」ですから
a=1,b=1の場合でもa=1,b=2の場合でもa=2,b=1の場合でも
ax+by=0にならなければいけません。
No.29224 - 2014/10/06(Mon) 10:07:57
☆ Re: 真偽判定願います / deep make
任意の実数a,bに対し, ax+by=0 が成り立つとき,
x=y=0 であることを示すのは容易なことです.

「任意」と言っているのですから,
当然(a,b)=(1,0),(0,1)に対しても, ax+by=0 が成り立つので,
ここから, x=y=0 である必要性が出てきます.

そして, 実際, x=y=0 のとき,
他の任意の(a,b)に対し, ax+by=0 になるので,
この命題は真ということになります.
No.29225 - 2014/10/06(Mon) 11:43:21
☆ Re: 真偽判定願います / deep make
また, ベクトルを用いた説明も可能です.

ax+by=0 とは, ベクトル(a,b), (x,y)の内積が0ということを意味します.

a,bは任意に実数全体を動くので,
ベクトル(a,b)は全ての平面ベクトルを動くことになります.

つまり, (x,y)は全ての平面ベクトルと直交するベクトルなので,
(x,y)=(0,0)のみであることがわかります.
No.29226 - 2014/10/06(Mon) 11:53:37
☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん
なるほど、納得です。ありがとうございました。
No.29227 - 2014/10/06(Mon) 11:54:18
★ 幾何 / aba
xy平面上にある中心が(0,0,0)、半径1の円C1と、三点(2,0,0)(0,0,2)(0,2,0)を通る円C2がある。円C1C2上をそれぞれ点P、Qが動くとき線分PQの最小値を求めよ。
No.29215 - 2014/10/05(Sun) 23:06:08
★ 整数 / aba
a,b,cは正の整数である。(a^2)b+(b^2)c+(c^2)aがabcの倍数で2cがa+bの倍数であるときa=b=cを示せ。
No.29214 - 2014/10/05(Sun) 23:01:41
☆ Re: 整数 / IT
※a|c は cがaの倍数であることを表す。aトc は cがaの倍数でないことを表す。

条件は下記のとおり
a,b,cは正の整数…これは断りなしに使う。
abc|(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a …(1)
a+b|2c …(2)　

(a,b,c)が条件をみたすとき(ka,kb,kc) （kは任意の正整数）も条件をみたす…(A)　ので
(a,b,c)の最大公約数=1…(3)として考える.

(1)より　c|(a^2)b …(4),よってcの素因数はaの素因数とbの素因数以外はない。 …(5)

aとｂの共通の素因数があったと仮定して、そのうちの１つをpとする。
　このとき、(2)より p|2cだが、(3)より※pトcでp=2…(6)
　※WIZさんの御指摘のとおり記入ミスがあり訂正しました。以下※も補足しました。
　※aとbの最大公約数|a+bなので(2)より
　※aとbの最大公約数|2c、よって(3)より
　aとbの最大公約数＝2…(7)
　(1)より ab|(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a
　　　　　ab|(b^2)c+(c^2)a
　　　　　2^2|(b^2)c+(c^2)a
　　　　　2^2|(c^2)a
　(6)より2^2|a 、(7)より2|b,2^2トb…(8)
　(1)より2^3|(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a
　　　　2^3|(b^2)c+(c^2)a
　　ここで2^3|aと仮定すると2^3|(b^2)cとなり(6)(8)に反する、よって2^3トa
　　よってa=4a',b=2b'(a',b'は正の整数)でa',b',2はそれぞれ互いに素…(9)
　(2)より　4a'+2b'|2c よって 2a'+b'|c…(10)
　ところが(9)より　2a'+b'はa',b'とそれぞれ互いに素
　よって(10)は(5)に反する。

以上から、aとｂは互いに素。…(11)

(11)からa+bはaと共通の素因数、bと共通の素因数を持たない。
これと(2)と(5)からc=1,a+b=2,すなわちa=b=c=1
これは条件を満たす。
(A)より、(3)の条件を外してa=b=c

※もっと簡単な証明があるかも知れませんし、まちがっているかも知れません。ご指摘ください。
No.29238 - 2014/10/07(Tue) 07:50:22
☆ Re: 整数 / aba
なるほど、、、すごく難しいですね、、ありがとうございます！
No.29244 - 2014/10/07(Tue) 14:07:47
☆ Re: 整数 / WIZ
ITさんへ

>　このとき、(2)より p|2cだが、(3)より2トcでp=2…(6)
>　aとbの最大公約数＝2…(7)

「2トc」は「pトc」の書き間違いとですよね?
pはa, bの共通素因数の1つであり、a, bの最大公約数ではありません。
kをある正の整数として、2^kがa, bの最大公約数であるということが言えるだけでは?

よって、ここまでの議論だけでは以下は成立するとは言えないと思いますが。

> 　(6)より2^2|a 、(7)より2|b,2^2トb…(8)
No.29261 - 2014/10/08(Wed) 08:36:40
☆ Re: 整数 / WIZ
ITさんの書き込みの

>aとｂの共通の素因数があったと仮定して、そのうちの１つをpとする。

で、pをaとbの最大公約数の書き間違い(或いは書いている途中で気が変わった?)だと解釈すれば、
(a+b)|(2c)からp|(2c)で、(a, b, c) = 1から(p, c) = 1なのでp|2となりますね。
つまりp = 1またはp = 2ですので、一応ITさんの証明は完成しているようです。
No.29262 - 2014/10/08(Wed) 12:26:27
☆ Re: 整数 / WIZ
私の書き込みにも(結論は変わらないけど)間違いがありましたので訂正します。

>(a+b)|(2c)からp|(2c)で、(a, b, c) = 1から(p, c) = 1なのでp|2となりますね。

(p, c) = 1でもp > 1でないとpトcとは言えませんでした。
よって、p > 1ならばp|2なのでp = 2のみ、あとはp = 1となります。

スレ汚し申し訳ありません。
No.29263 - 2014/10/08(Wed) 14:07:55
☆ Re: 整数 / IT
WIZ さんへ
>「2トc」は「pトc」の書き間違いとですよね?
そのとおりです。御指摘ありがとうございました。

おっしゃるとおり、a,bの共通の素因数を考えるより、直接a,bの最大公約数を考えるほうがスッキリしますね。（そうするとaとｂの共通の素因数pについて書いたところは不要でした）
No.29265 - 2014/10/08(Wed) 18:27:13
★ (No Subject) / ギャラドス
順列の問題です。

m,nはn≧2m-1を満たす正の整数とし、m個の○とn-m個の×を横一列に並べた順列を考える。そのような順列のうち、○同士が隣接せず、かつ、左からk番目が○であるようなものの個数をa_kとおく。(k=1、2、・・・、n) a_1、a_2、・・・、a_nには高々m種類の異なる値しか含まれないことを示せ。
No.29206 - 2014/10/05(Sun) 18:19:37
★ 整数論 / 釜
よろしくお願いします。

問題、
　　　整数全体の集合をＺとする。Ｚの部分集合Ｍ（ただし、空集合でない)が、[a,b∈Ｍならばa-b∈Ｍ]という性質を持つとき、Ｍは0以外の要素を含み、Ｍに属する最小の自然数をｄとすると、Ｍはｄの倍数全体の集合と一致する（すなわち、Ｍ＝{kd│k∈Ｚ}と表される）を示せ。

　
No.29202 - 2014/10/05(Sun) 17:26:50
☆ Re: 整数論 / deep make
上記の条件だけだとすると, Ｍ={0}の場合があるので,
「Ｍは0以外の要素を含む」は示せませんが,
もし, M≠{0}ならば, dをMに属する最小の自然数とするとき,
Ｍ＝{kd│k∈Ｚ} と書くことはできます.

d∈Ｍより, Ｍ⊃{kd│k∈Ｚ}は自明です.
よって, Ｍ⊂{kd│k∈Ｚ} であることを示します.
Ｍの任意の元 a∈Ｍ に対し, 整数q,rを用いて, a=dq+r (0≦r<d) と書ける.
ここで, r>0 とすると, r=a-dq∈Ｍ, 0<r<d より,
dがＭに属する最小の自然数であることに矛盾します.
故に, r=0 となり, a=dq と書けるので, a∈{kd│k∈Ｚ} を得ます.
ここから, Ｍ⊂{kd│k∈Ｚ} が従います.
No.29204 - 2014/10/05(Sun) 17:52:18
☆ Re: 整数論 / deep make
群論的に言えば, Ｚの部分集合Ｍ(≠φ)に対し,
a,b∈Ｍならばa-b∈Ｍ ⇔ ＭがＺの部分群 を意味します.

このとき, Ｍは環Ｚのイデアルになります. つまりこの問いは,
「整数環Ｚが単項イデアル整域(PID)であることを示せ」という問いになります.

整数環Ｚは, ユークリッド環なので,
上記の証明により, 自然にPIDになります.
No.29205 - 2014/10/05(Sun) 18:05:28
★ ２次不等式の問題です / めぐ
２次不等式の問題です。
何が何だかさっぱりです。
なるべく詳しく書いて頂けると幸いです。
よろしくお願いします。

○で囲んだ数字が解答欄です。

aを定数とする。

x^2-2(a+2)x+25>0

上の不等式は
(x-a-?@)^2-a^2-?Aa+?B
と変形できる。したがって、

上の不等式がすべての実数xに対して成り立つための条件は
?C<a<?D
である。

上の不等式がx≧-1を満たすすべての実数xに対して成り立つための条件は?E<a<?F
である。

以上です。

よろしくお願いします。
No.29201 - 2014/10/05(Sun) 17:23:30
☆ Re: ２次不等式の問題です / deep make
記号の混乱を避けるため2次式をAx^2+Bx+Cと置くとき,
A(x+B/(2A))^2-(B^2-4AC)/(4A) と変形することを平方完成といいます.

故に, f(x)=x^2-2(a+2)x+25 を平方完成すると,
f(x)=(x-(a+2))^2-(a+2)^2+25 となります.
これで, ?@?A?Bは解けるはずです.

>上の不等式がすべての実数xに対して成り立つための条件は
f(x)の最小値が -(a+2)^2+25 なので,
-(a+2)^2+25>0 を解くことで得られます.(これで?C?DもOK)

>上の不等式がx≧-1を満たすすべての実数xに対して成り立つための条件は
平方完成した (x-(a+2))^2-(a+2)^2+25 から,
-1<a+2, -1≧a+2 で場合分けをします.

-1<a+2 のとき,
(x-(a+2))^2-(a+2)^2+25 は x≧-1 において,
最小値 -(a+2)^2+25 (=f(a+2)) をとるので,
-(a+2)^2+25>0 を解くことで, -3<a<3 を得ます.

-1≧a+2 のとき,
(x-(a+2))^2-(a+2)^2+25 は x≧-1 において,
最小値 2a+30 (=f(-1)) をとるので,
2a+30>0 を解くことで, -15<a≦-3 を得ます.

これらをまとめて, ?E?Fを得ます.
No.29207 - 2014/10/05(Sun) 18:39:29
☆ Re: ２次不等式の問題です / めぐ
deep makeさん
返事が遅れてすみません。
ご回答有難う御座います。

ただ、まだなぜこのような式と答えになったのか分かりませんので、
可能であればより詳しいご説明をお願いしたいです。

よろしくお願いします。

めぐ
No.29381 - 2014/10/20(Mon) 05:21:01
★ (No Subject) / ステキ
よろしくお願いします。

２次関数の問題

関数?@……y=-x^2-ax+3

Ｑ１
a>0であって、関数?@の最大値が７であるならば、a=㋐である。このとき、この関数のグラフの軸の方程式はx=㋑であり、また、このグラフとx軸との交点のx座標は㋒±√㋓である。

Ｑ２
関数?@のグラフをx軸方向に2,y軸方向に-3だけ平行移動して得られる曲線が(-3,-5)を通るならば、a=㋔である。

㋐……
㋑……
㋒……
㋓……
㋔……

どうしても解けなくて困っています。
どうか、よろしくお願いします。
No.29197 - 2014/10/05(Sun) 16:10:13
☆ Re: / ヨッシー
y=-x^2-ax+3＝−(x+a/2)^2＋a^4/4＋3
と書けるので、ｙの最大値は a^4/4＋3。これが７であるので、
　a^4/4＋3＝7
　a^2＝16
ａ＞０ より　ａ＝４　・・・(ア)
軸は　ｘ＝-a/2＝−２　・・・(イ)
　ｙ＝(ｘ＋２)^2＋７
であるので、−(ｘ＋２)^2＋７＝０ を解いて、
　ｘ＝−２±√７　・・・(ウ)(エ)

y=-x^2-ax+3 の ｘ、ｙ をｘ−２、ｙ＋３ に換えて
　ｙ＋３＝(ｘ−２)^2−ａ(ｘ−２)＋３
これが(-3,-5) を通るので、
　−５＋３＝(−３−２)^2−ａ(−３−２)＋３
計算して
　−２＝(-5)^2＋5a＋３
　5a＝-30
　ａ＝−６　・・・(オ)
No.29198 - 2014/10/05(Sun) 16:22:26
☆ Re: / ステキ
ヨッシーさん、有難う御座います！！
とても分かりやすいです。
ずっと悩んでいた問題でしたので、解けてほっとしました。
本当に有難う御座います。
No.29200 - 2014/10/05(Sun) 17:14:20
★ 素朴な疑問 / ヨッシー
よその掲示板の件で恐縮ですが、こちらに記載された、
素朴な疑問さんの素朴な疑問に回答します。

まとめれば、次の３点になります。
１．記事が長くなってしまったことはお詫びします。
２．無駄に長い記事が理由で、アク禁にしたことはありません。
３．荒らしにあたるかどうかは断定できません。

以上です。
No.29196 - 2014/10/05(Sun) 14:48:25
★ 面積 / 雛菊
y=cos^6θ　y=sin^6θ(0≦θ≦π/2)によって定義された曲線とx軸およびy軸によって囲まれる図形の面積Sを求めよ。
No.29195 - 2014/10/05(Sun) 14:39:45
☆ Re: 面積 / angel
θの増加に伴い、点(x,y)は、原点に関して反時計周りに動きますから、

　S = ∫[0,π/2] 1/2・( x・dy/dθ - dx/dθ・y )dθ

と計算できますが…。
※反時計周りかどうか判然としないなら、1/2・|x・dx/dθ-dx/dθ・y|と絶対値にすれば良いです。

ここまではO.K.でしょうか?
引っかかっているのは式を立てる所か、そこからの三角関数の積分計算か、どちらでしょうか。
No.29213 - 2014/10/05(Sun) 21:42:09
☆ Re: 面積 / 雛菊
式を立てるところがわからないです。

S = ∫[0,π/2] 1/2・( x・dy/dθ - dx/dθ・y )dθのところです。
No.29235 - 2014/10/06(Mon) 23:10:19
★ 積分 / 空
(1)∫-1→0 (x^3+11)/{(x-1)^2(x+3)}dx

(2)∫1→3 √(x+1)/xdx


これらの積分はどのようにしたらいいのでしょうか。
No.29194 - 2014/10/05(Sun) 14:30:22
☆ Re: 積分 / deep make
(1)部分分数分解をすると,
(x^3+11)/{(x-1)^2(x+3)}=1+3/(x-1)^2-1/(x+3) になります.

(2)t=√(x+1) で変数変換, 部分分数分解すると,
∫√2→2{2+1/(t+1)-1/(t-1)}dt になります.
No.29199 - 2014/10/05(Sun) 16:27:51
★ (No Subject) / 教えてください
kを実数とする。xについての2次方程式x^2+5x+k-2=0…?@に関して

⑴?@が異なるふたつの虚数解をもつkの値

⑵kを⑴をみたす最小の整数とするときの?@の解

⑶kを⑵の値とし、?@の二つの解をα、βとするとき
(1/α＋1)+(1/β＋1)の値をもとめよ。
No.29191 - 2014/10/05(Sun) 12:59:49
☆ Re: / deep make
(1)異なるふたつの虚数解をもつ ⇔ 判別式が D<0.
(2)は(1)が分かれば明らか.
(3)解と係数の関係から, α+β=-5, αβ=k-2 となることを利用します.
No.29192 - 2014/10/05(Sun) 13:42:08
★ (No Subject) / Rpj
n枚のカード１，２，３、・・・、ｎを一列に並べる。このとき一番目のカードは１でなく、二番目のカードは２でなく、以下同様にｎ番目のカードはｎで無いような並べ方を「ｎ枚の乱れた並べ方」とよぶことにする。「ｎ枚の乱れた並べ方」の総数をanとおく。

（１）a2,a3を求めよ（略）
（２）ｎ枚の乱れた並べ方のうち、一番目のカードが2であり、かつ2番目のカードが１である並べ方の総数は？ただしｎ≧４とする。ｂｎ=a(n-2)（略）

（３）ｎ枚の乱れた並べ方のうち1番目のカードが２であり、かつ二番目のカードが１でない並べ方の総数は？cn=a(n-1)
解答）1番目と2番目のカードを入れ替えてみる。このとき2番目には2のカードがあるが、他のn-1枚のカードについて、ｋのカードはｋ番目に無い。すなわちｎ−１枚の乱れた並べ方になっている。よってcn=a(n-1)

(4)anの隣接三項間漸化式をもとめよ
解）1番目のカードがｍ（ｍ＝２，３、・・・、ｎ）であり、かつｍ番目のカードが１である「ｎ枚の乱れた並べ方」はそれぞれｂｎとおり。
一番目のカードがｍであり、かつｍ番目のカードが１でないｎ枚の乱れた並べ方はそれぞれｃｎとおりある。ｍの決め方はｎ−１通りあるので、an=(n-1)(a(n-1)-a(n-2))

(3)(4)の解の解説（解読？）をお願いします。よろしくおねがいします。
No.29188 - 2014/10/05(Sun) 11:21:19
☆ Re: / angel
下でほぼ同じ問題の質問がありましたが…
No.29161からの一連のやりとりですね。
まずは、そちらをご覧になっては。

ところで、お名前が似ていますが同じ方ですか?
No.29203 - 2014/10/05(Sun) 17:27:24
☆ Re: / Rpj
解法が違うのであえて別枠で質問させてもらいました。
その他、下記のやりとりでは完全順列のan=(n-1)(a(n-1)+a(n-2))を前提に解いているのに対して、こちらは誘導に従いながら最後に導けるという点でも趣旨も異なります。

同じです！
No.29209 - 2014/10/05(Sun) 19:40:57
☆ 注意と言うか / angel
jpR/Rpjさんのその行動はお勧めできません。たまに指摘しているのですが、回答者も人間であって、数学回答ロボットではないので、悪い心象を抱くだろうと申し上げます。

以前のモノと全く独立に ( その時の情報を残さずに ) 質問を挙げるということは、その当時の遣り取りを無かったことにする態度と取られかねません。
※回答者に立場になって考えてください。知らずに前回あったものと同じ内容を回答して「その話は既に聞いています」ってことになったら? 無駄足を踏まされたことになりますよね。

以前に回答した人にとっても失礼に当たります。折角答えた内容が捨てられたってことになるからです。
※分かりにくかったから別の角度から改めて回答が欲しいというのは、別に責められることではありません。正直にそう言えば角も立ちません。

名前を途中で替えることも同じことです。
別に、本名なんか分からなくても良いですが、いままで遣り取りした人と同一人物かどうか、そこが分からなくなるのは混乱のもとなのです。
最悪の場合、以前貰った回答が気に入らなかったから、それを捨てて、別人になりすまして改めて回答を最初から貰おうと、そういう態度に見えることになります。…その気がなかったとしても。

「李下に冠を正さず」という言葉もありますので、まあ、注意した方が良いと思います。
※強制はしませんが、回答を貰おうとしている人が、回答者に悪い心象を抱かせかねない行動をとる、というのはどうかと。
No.29210 - 2014/10/05(Sun) 20:22:21
☆ (3) / angel
閑話休題

先に断わっておきますが、理解するためには、自分自身で具体例を幾つも書き上げてそこから規則性を見つける、そういう作業が必要です。
もし納得できないなら、n=2,3,…と実際にカードの並べ方を書き出して照らし合わせてください。

(3)
その解説の説明をいかに消化するか、です。
が、1,2,3,…という数字に拘っていると、理解への妨げになるかも知れません。

そこで、カードをa,b,c,…、置く場所をA,B,C,…、で、置く場所とカードで、同じ ( 小文字/大文字が違うだけ ) にならない並べ方を考えましょう。
a〜c/A〜C なら並べ方はa[3]、a〜d/A〜Dなら並べ方はa[4]と、今回の問題と同じ「乱れた並べ方」ですね。

では、1枚目が2、2枚目が1以外、という置き方をこう読み替えてみましょう。

　2枚目の場所=A、3枚目の場所=B、4枚目の場所=C、…
　カード1=a、カード3=b、カード4=c、…

元々、3枚目以降に同じ数字を置いてはいけませんから、Bにb、Cにc、…はN.G.です。
加えて、2枚目に1を置かないということは、AにaもN.G.
つまり、これも「(アルファベットで考えた)乱れた並び方」でその枚数はn-1であるため、並べ方がa[n-1]通りということになります。
No.29211 - 2014/10/05(Sun) 20:57:02
☆ (4) / angel
(4)
> an=(n-1)(a(n-1)-a(n-2))

これ、
　a[n] = (n-1)( a[n-1] + a[n-2] )
の間違いでは?

この式で考えてはどうでしょうか?
No.29212 - 2014/10/05(Sun) 21:00:14
★ グラフの問題 / はるか
毎度すみません。

問題は添付ファイルの通りです。
(c)の問は
When does the line vanish? Explain.
です。

(a)は客のserve率が12pmに100%に達するので12pmから行列が出来始めます。

(b)は下左図の上部の小三角形がoverflowした客らですから,1/2・4・40=80人となります。

(c)は下右図の脇の小三角形(面積80)が行列客をserveできる余裕分ですから,80人の行列客がいないなるのは7pmである。

これで正しいでしょうか?
No.29178 - 2014/10/05(Sun) 04:12:58
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