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★ 証明がわかりません / るり
(1)x>0のとき不等式e^x〉1＋xが成り立つことを示せ
(2)log(x＋1)〉1−e^-xが成り立つことを示せ
0≦x≦e^y-1 0≦y≦1−e^-xを満たせばx=y=0でなければならないことを示せ
(1)(2)はできたのですが(3)の証明で困っています。(1)の不等式からe^x-１>xと変形し、y>0のときe^y-１>yとして使うのかと検討したりしていますが、(2)の不等式の使い方も含め結局わからずじまいなので教えていただきたいです。


No.29415 - 2014/10/23(Thu) 23:35:35
☆ Re: 証明がわかりません / X
0≦x≦e^y-1 (A)
0≦y≦1−e^(-x) (B)
を満たす領域を描くと、証明すべきことは
x＞0において
(A)の境界線である
x=e^y-1
つまり
y=log(x+1)
が
(B)の境界線である
y=1-e^(-x)
の上側にあること、つまり
log(x+1)＞1-e^(-x)
であることが分かります。
これは(2)により証明されていますので
問題の命題は成立します。
No.29424 - 2014/10/24(Fri) 01:05:36
★ 球面と平面が交わってできる円 / パスカル
中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。
Sとyz平面の交わりは円になる。この円の中心と半径を求めよ

この問題の解き方は全てわかったんですけど、問題文の意味がわかりません!

特に、中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。
↑↑↑
これがどういう状態を指しているのかが全くわかりません。
解説の最初の一文の意味もわかりません。

球面Sの半径rは中心(1,-3,2)と原点との距離に等しいから

と書いてあります。なんで等しいのかがわかりません。

解説お願いします!
No.29414 - 2014/10/23(Thu) 23:20:08
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / ast
類題として, 一つ次元を下げて
　「中心が点(1,-3)で、原点を通る円をSとする。Sとy-軸との交わりは二点になる。この二点の中点と二点間の距離の半分を求めよ」
および
　「円Sの半径rは中心(1,-3)と原点との距離に等しいから」
を考えると状況が分かるのでは?

もとへ返れば, 前者は単に原点が球面S上の点のひとつになっていることを言っているのであり, 後者は原点が球面S上の点であることを半径の言葉で述べているだけということになります.
No.29417 - 2014/10/23(Thu) 23:39:11
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / パスカル
> 類題として, 一つ次元を下げて
> 　「中心が点(1,-3)で、原点を通る円をSとする。Sとy-軸との交わりは二点になる。この二点の中点と二点間の距離の半分を求めよ」
> および
> 　「円Sの半径rは中心(1,-3)と原点との距離に等しいから」
> を考えると状況が分かるのでは?

すいません、今の説明で何が前者で何が後者にあたるのですか??
>
> もとへ返れば, 前者は単に原点が球面S上の点のひとつになっていることを言っているのであり, 後者は原点が球面S上の点であることを半径の言葉で述べているだけということになります.
No.29418 - 2014/10/23(Thu) 23:43:46
☆ Re: 球面と平面が交わってできる円 / ヨッシー
前者は
「中心が点(1,-3,2)で、原点を通る球面をSとする。」
後者は
「球面Sの半径rは中心(1,-3,2)と原点との距離に等しい」
です。

「原点を通る」を「球の表面(球面)上に原点がある」と読み替えられないと、理解は難しいかも。
No.29425 - 2014/10/24(Fri) 09:39:13
★ 空間 / マツオDX
次の問題の解説お願いします。

座標空間で、円X^2＋Y^2=１、z ＝0 を底面とし、（０、０、１）を頂点とする円錐をCとする。
Cの側面で、Y≧（１／２）を満たす部分の面積を求めよ。



答えは、（√２）／３π　−　（√６）／４です
No.29410 - 2014/10/22(Wed) 21:11:59
☆ Re: 空間 / らすかる
上から見た図では、該当する部分の面積はπ/3-√3/4
面のすべての微小部分でπ/4の傾きがあり、上から見た図では
実際の面積の1/√2になっているので、全体の面積も
実際の面積の1/√2になっている。よって求める面積は
(√2)(π/3-√3/4)=(√2)π/3-√6/4
No.29411 - 2014/10/22(Wed) 22:08:48
★ (No Subject) / たける
この画像の問題がどうしても解けません。
ご協力お願いします。

ものすごく数学が苦手ですので、
ゆっくりと詳しく解いて頂ければ助かります。

よろしくお願いします。
No.29401 - 2014/10/22(Wed) 08:52:19
☆ Re: / らすかる
「この画像」が見当たりません。
No.29403 - 2014/10/22(Wed) 14:34:14
☆ Re: / たける
すみません。
よろしくお願いします。
No.29404 - 2014/10/22(Wed) 15:14:08
☆ Re: / たける
あれ？おかしいですね。
画像を添付することができません……
No.29405 - 2014/10/22(Wed) 15:16:19
☆ Re: / たける
出来ました。
お騒がせしてすみません。
No.29407 - 2014/10/22(Wed) 15:17:15
☆ Re: / らすかる
A〜D
　cos∠BACからsin∠BACを計算して公式で求めましょう。
E
　△ABCに関する余弦定理で求めましょう。
F〜K
　△ABD∽△CBA、△ACE∽△BCAを使って求めましょう。
L〜P
　△ADE=△ABD+△ACE-△ABCで求めましょう。
Q〜R
　DE：BC=△ADE：△ABCから求めましょう。
No.29408 - 2014/10/22(Wed) 15:28:13
★ アドバイスください！ / flask
x∈Rとする。
(x^2+2ax+1)(x^2+(a+2)x+3-a)≧0が成り立つaの条件を求めよ。
No.29399 - 2014/10/22(Wed) 02:13:58
☆ Re: アドバイスください！ / らすかる
任意のxに対して
x^2+2ax+1≧0 かつ x^2+(a+2)x+3-a≧0
または
x^2+2ax+1≦0 かつ x^2+(a+2)x+3-a≦0
が成り立てばよい。
x^2+2ax+1の判別式/4はD/4=a^2-1なので
-1≦a≦1のとき任意のxに対してx^2+2ax+1≧0
x^2+(a+2)x+3-aの判別式はD=(a+2)^2-4(3-a)=a^2+8a-8なので
-4-2√6≦a≦-4+2√6のとき任意のxに対してx^2+(a+2)x+3-a≧0
従って-1≦a≦-4+2√6のときは任意のxに対して
x^2+2ax+1≧0かつx^2+(a+2)x+3-a≧0となるので、条件を満たす。
それ以外の場合、条件を満たすためには
x^2+2ax+1とx^2+(a+2)x+3-aが一致しなければならない。
（一致しない場合、必ずどこかにxによって符号が異なる箇所がある。）
一致するためには 2a=a+2 かつ 1=3-a すなわち a=2
よって条件を満たす解は
-1≦a≦-4+2√6 または a=2
No.29400 - 2014/10/22(Wed) 03:21:02
★ 図形と方程式 / yuhka
a≧0とする。円C:x^2+y^2=1と直線l:y=-2x+a
(1)Cの中心Oとのl距離はa√(ア)/(イ)だから、Cとlが共有点をもつaの値の範囲は0≦a≦√(ウ)
(2)a=√(ウ)のときCとlの接戦の座標は[(エ)√(オ)/(カ),√(サ)/(シ)]
(3)0≦a<√(ウ)のときCとlの異なる２つの交点をA、BとおくとAB=(ケ)√[(コ)-a^2/(サ)]
△OABが正三角形となるのはa=√(シス)/(セ)

最後がうまく出せないのでお願いします・・
ア〜サは以下のようになりました。
(1)a√5/5　0≦a≦√5
(2)(2√5/5,√5/5)
(3)AB=2√(1-a^2/5)
No.29397 - 2014/10/21(Tue) 20:42:32
☆ Re: 図形と方程式 / X
条件からAB=1となればよいので
2√{1-(1/5)a^2}=1
これをaの方程式と見て
a≧0
の条件の下で解きます。

こちらの計算では
a=(1/2)√15
となりました。
No.29398 - 2014/10/21(Tue) 20:58:26
☆ Re: 図形と方程式 / yuhka
OAとOBは半径になるのに、見落としてました！
ありがとうございます！
No.29409 - 2014/10/22(Wed) 18:35:05
★ またベクトルの問題です^^ / パスカル
2点A(-1,2,3),B(0,1,2)を通る直線をLとする。点Pは直線L上を動き、点Qはy軸上を動くとする。このとき、２点P,Q間の距離の最小値とその時の2点P,Qの座標を求めよ


なんですが、AP＝kAPとして
PQ＝AQ-AP＝(1-k,y-2＋k,-3＋k)
PQ^2＝(1-k)^2＋(y-2＋k)^2＋(-3＋k)^2

ここまでは解りました!でも、ここからの展開がわかりません!!
参考書で次の展開が・・・


(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10

となっています。なんで、文字が3つの二次式は展開せずそのままにして、文字が２つある2次式は展開したのでしょうか?

更に、そこから、y-2＋k＝0、となっていますがこの理由もよくわかりません。だったらなんで、1-k＝0,-3＋k＝0、という式は駄目なのでしょうか?

あと、最後にPQの距離の最小値が√2と出るのですがこれはPが(1.0,1)、Qが(0,0,0)なのですが、どうやって計算したのでしょう......ｎ(*´ω｀*)?
No.29395 - 2014/10/21(Tue) 13:26:50
☆ Re: またベクトルの問題です^^ / ヨッシー
ＡＰ＝ｋＡＰ ではなく ＡＰ＝ｋＡＢ ですね。
また、Ｑ を (0,y,0) と置いたのでしょう。

>だったらなんで、1-k＝0,-3＋k＝0、という式は駄目なのでしょうか?
1-k＝0,-3＋k＝0 を同時に満たすｋがないので駄目です。

(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10 の続きに
(y-2＋k)^2＋2k^2-8k＋10＝(y-2＋k)^2＋2(k-2)^2+2
という変形をしているはずです。
(y-2＋k)^2 と (k-2)^2 は最小でも０なので、
それぞれ０にすることが出来れば、ＰＱ^2 の最小値は
２とすることが出来ます。
(k-2)^2 を０にするのは、ｋの都合だけで決まります。
(y-2＋k)^2 の方は、ｋが決まった上で、ｙを調整してやる必要があります。
そのため、ｙとｋを含む部分と、ｋだけの部分で分けています。

実際、これらを０にするｋ，ｙの値は、
k-2＝０ より ｋ＝２
y-2＋k＝０ よりｙ＝０
このときに、ＰＱ^2＝２ となり、ＰＱ＝√２ です。
原点をＯとすると
　ＡＰ＝ｋＡＢ
より
　ＯＰ＝ｋＡＢ＋ＯＡ
　　　＝２(1,-1,-1)＋(-1,2,3)＝(1,0,1)
Ｑはｙ＝０ より即座に (0,0,0) となります。
No.29396 - 2014/10/21(Tue) 14:56:04
☆ Re: またベクトルの問題です^^ / パスカル
わかりました!
No.29413 - 2014/10/23(Thu) 23:15:24
★ 行列 / 小豆
座標平面において、直線y=xに関する対称移動を表す行列を
A、原点のまわりのπ/６回転を表す行列をBとする。

(1)行列C=ABを求め、成分表示せよ。
(2)直線L:y=mx+n上の点は、行列Cが表す１次変換によってL上に移るとする。このようなLをすべて求めよ。
No.29390 - 2014/10/21(Tue) 00:04:08
☆ Re: 行列 / X
(1)
原点中心の角度θの回転移動を表す行列をD[θ]とし
F=M{(1,0),(0,-1)}
とすると
A=D[π/4]FD[-π/4]
=M{(0,1),(1,0)}
又
B=(1/2)M{(√3,-1),(1,√3)}
∴C=AB=M{(1/2,(1/2)√3),((1/2)√3,-1/2)}

(2)
L上の点(t,mt+n)がCによって点(X,Y)に移されるとすると
Y=mX+n (A)
一方、(1)の結果により
X=(1/2){t+(mt+n)√3} (B)
Y=(1/2){t√3-(mt+n)} (C)
(B)(C)を(A)に代入して整理した等式を
tの恒等式と見て係数を比較し、
m,nについての連立方程式を立てます。
No.29391 - 2014/10/21(Tue) 01:34:03
★ ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
四面体OABCがある。0<t<1を満たすtに対し、辺OB、OC、AB、ACをt:(1-t)に内分する点をそれぞれK、L、M、Nとする。この時、四角形KLMNが平行四辺形であることを示せという問題。

MN＝ON-OMの式がわかりません。

これが(t-1)a＋tc-｛(1-t)a＋tb｝と何故なるのかがわかりません。特に、ONはOA＋OCと計算したからこの式になったんだと思うのですが、そするとOAベクトルは内分する点がないのに何故(t-1)aとなるのでしょうか?

あと、MN＝AN-AMとするのは駄目なのでしょうか?

この二点を教えて下さい(*｀ω´*)
No.29384 - 2014/10/20(Mon) 14:40:52
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / ヨッシー
正確には、ＫＬＭＮではなくＫＬＮＭが平行四辺形になります。

問題の方ですが、おそらく、ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ を
ａ、ｂ、ｃ などとおいて、
ａ、ｂ、ｃ を使って、
ＫＬ と ＭＮ を表そうというものだと思います。

そうすると、
　ＯＭ＝(1-t)ａ＋tｂ
　ＯＮ＝(1-t)ａ＋tｃ
なので、
　ＭＮ＝ＯＮ−ＯＭ　　←これは公式のようなものです。
　　＝{(1-t)ａ＋tｃ}−{(1-t)ａ＋tｂ}
です。
（最初の t-1 は誤りで、1-t が正しいです。）
ｔを 0.3 などと適当にとって、△ＯＡＣ上で、
ＯＡ方向に 1-t、ＯＣ方向に t 進むと、ＡＣ上のどこかに
行き着くはずです。その点がＮであって、ＯＡを内分しているわけではありません。

MN＝AN-AM としても良いですが、Ｏを始点としている限り
ＡＮ−ＡＭ＝(ＯＮ−ＯＡ)−(ＯＭ−ＯＡ)＝ＯＮ−ＯＭ
なので、同じことです。
No.29385 - 2014/10/20(Mon) 16:41:31
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
> ｔを 0.3 などと適当にとって、△ＯＡＣ上で、
> ＯＡ方向に 1-t、ＯＣ方向に t 進むと、

↑↑↑

このt進むと、というのは線分OB上だったら点kで、線分OC上なら点Lの部分まで、ということでしょうか?
OKとOLはどちらともtですｎ(*´ω｀*)ｎ......?
No.29386 - 2014/10/20(Mon) 17:25:11
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / ヨッシー
正確には、
ＯＡ方向にＯＡの長さの 1-t 倍、ＯＣ方向に ＯＣ の長さの t 倍進む
です。
No.29387 - 2014/10/20(Mon) 17:31:29
☆ Re: ベクトル　平行四辺形であることの証明 / パスカル
わかってよかったです!ヨッシーさんありがとう!!(｀ω´)
No.29394 - 2014/10/21(Tue) 13:15:57
★ (No Subject) / 苺
こんばんは。

曲線y=x^3の上を動く動点Pがあって、時刻t=0のときPは原点にある。また、時刻tのときの速度ベクトルのx成分はcostで表される。

(1)時刻tにおけるPの座標をtを用いて表せ。
(2)Pの速度ベクトルのy成分が最大となるときのPのx座標を求めよ。
No.29377 - 2014/10/19(Sun) 23:00:24
☆ Re: / X
(1)
時刻tにおける点Pの座標を(X,Y)とすると
X=∫[0→t](cost)dt=sint
Y=X^3=(sint)^3
∴求める座標は(sint,(sint)^3)

(2)
Pの速度ベクトルを(v[x],v[y])とすると
v[x]=cost (A)
又(1)の結果より
v[y]=dY/dt=3{(sint)^2}cost
=3cost-3(cost)^3 (B)
ここからdv[y]/dtを求めてtに関する
v[y]の増減表を書きましょう。
No.29379 - 2014/10/20(Mon) 01:06:16
☆ Re: / 苺
f(t)=3cost-3(cost)^3とし、これを微分すると、
f'(t)=3sint(2-3sin^2t)となって、f'(t)=0となるtを求めようとしたのですが、うまくいきませんでした。
No.29389 - 2014/10/20(Mon) 23:45:59
☆ Re: / X
v[y]が周期2πの周期関数になっていることから
0≦t≦2π
の場合のv[y]の増減表を書くことを考えます。
又
f'(t)=0のときのsintの値である
sint=0,√(2/3),-√(2/3)
に対応するtの値ですが
sinα=√(2/3),(0＜α＜π/2)
というαを設定すると
t=0,α,π-α,π,π+α,π+(π-α)
となります。

上記の方針でできないようなら
cost=u
とおいてuに関するv[y]の増減表を書くことを
考えてみましょう。
No.29393 - 2014/10/21(Tue) 01:49:00
★ 確率の問題です。方針が立てられません。。。 / les paul
袋に赤球2個、青球2個が入っている。球1個を取出し、代わりに白球を入れる。この操作をn(≧4)回繰り返し、n回目までに2個めの赤球を取り出して、袋に赤球が無くなった時、袋にある青球の個数をB(n)とする。
（n回目までに赤球が2個取り出されないとき、B(n)=0とする。)
この時、B(n)=kとなる確率P(b(n)=k)を求めよ。
ただし、k=0,1,2とする。
No.29374 - 2014/10/19(Sun) 19:17:41
☆ Re: 確率の問題です。方針が立てられません。。。 / ヨッシー
>ｎ回目までに２個めの赤球を取り出して
と
>袋に赤球が無くなった時
との言葉のつじつまが合いません。
ちょうどｎ回目で２個めの赤を取り出す場合を考えるのでしょうか？
No.29383 - 2014/10/20(Mon) 13:36:11
★ (No Subject) / すずき
添付の問題について質問があります
No.29367 - 2014/10/19(Sun) 17:04:41
☆ Re: / すずき
横のファイルで添付したのですが、縦になりまして申し訳ありません！
この方針が心底立てられず困っています。
まず。極値をとるｘ＝2p,3/4が、どちらが小さいかという可能性
そしてy座標も、０、１、2p,3/4のいずれがおおきいのかちいさいのかという可能性
沢山ありすぎて、どこから場合わけをしてよいのかわけがわからなくなってしまいました。

回答を見ましたら、2pが0から1の範囲に入るか入らないか、の場合のみでよいとありました。
なぜそれで網羅できるのか、やってみたもののやはり上記の可能性のところでつまずきました。

どうか、指針からなにから教えていただけませんか…
お願いします…！
No.29368 - 2014/10/19(Sun) 17:13:00
☆ Re: / deep make
場合分けは,
p<0, 0≦p<1/5, 1/5≦p<1/2, 1/2≦p になると思います.

それぞれ,
(max,min)＝(y(0),y(1)), (y(2p),y(1)), (y(2p),y(0)), (y(1),y(0)) になります.

極値は, x＝2p, 4/3 でとるので, 0≦x≦1 において最大最小を考える場合,
x＝4/3 で極値をとることは, そこまで重要ではありません.

従って, 0,1,2p の大小関係が大事になります.
一方で, y(0)＝0, y(1)＝5p-1 なので,
p<1/5, 1/5≦p の場合分けも必要となります.

結果,
p<0, 0≦p<1/5, 1/5≦p<1/2, 1/2≦p で考えることになります.
No.29371 - 2014/10/19(Sun) 17:56:41
★ (No Subject) / 栗
訂正します
（-3+4+a)/3=3
この式を解くと8になるのですが、
解き方解説をお願いいたします。
失礼しましたm(_ _)m
No.29361 - 2014/10/19(Sun) 10:01:52
☆ Re: / ヨッシー
両辺３を掛ける。カッコの中の−３＋４は計算して１にする。
　１＋ａ＝９
１を移項して
　ａ＝９−１＝８
No.29362 - 2014/10/19(Sun) 11:47:10
★ 解法を頼みます。 / flask
常にan>0である数列{an}と0<k<1である定数kがあり、次の条件A,Bを満たしている。
A...an+k?納1,n](ak)≦k+?納1,n](ak)^2
B...a(n+1)-an<1-k
この時、a(1)≦k⇒全ての自然数nでan≦kが成り立つ事を示せ。
No.29358 - 2014/10/19(Sun) 02:55:44
☆ Re: 解法を頼みます。 / IT
A...an+k?納1,n](ai)≦k+?納1,n](ai)^2 とした方が紛れません。(添え字のkと定数k)

数学的帰納法によります。

○ n=1のとき　a1≦ k　は成立.

○ i≦nなるすべての自然数iについて　ai ≦ k と仮定する.

B　より　a[n+1]＜an + (1-k)
帰納法の仮定より an - k ≦0なのでa[n+1]-1＜0…(1)

Aを移項して
a[n+1]-k≦?納1,n+1](ai)^2-k?納1,n+1](ai)
・２つめのΣの前のkを中に入れる
・２つのΣを統合
・Σ内を因数分解
・Σ内の(a[n+1]-k)を分離し左辺に移項
・帰納法の仮定と(1) を使って　a[n+1] - k≦ 0 を示す
No.29360 - 2014/10/19(Sun) 09:27:05
★ (No Subject) / 栗
−3/(4+a)=3
この式を解くと8になるのですが、解き方がわかりません。
解説よろしくお願いします。
No.29356 - 2014/10/18(Sat) 23:41:17
☆ Re: / ヨッシー
８にはなりません。ａに８を入れても、
　-3/(4+8)＝-3/12＝-1/4
です。
　-3/(4+a)＝3　両辺 4+aを掛けて
　-3＝3(4+a)
　-1＝4+a
　a=-1-4＝-5　・・・答え
です。
No.29357 - 2014/10/19(Sun) 00:14:34
★ (No Subject) / ブルーバード
nを自然数とする。xの関数f(x)＝n/xに対し、領域D(n)＝{(x,y)|0＜x≦n,0＜y≦f(x)}に含まれる格子点の個数をL(n)とする。次の問いに答えよ。

(1)不等式∫(1〜ｎ＋１)f(x)dx−n＜L(n)＜∫(1〜n)f(x)dx＋nが成立することを示せ。

(2)lim(n→∞)L(n)/(n×logn)＝1が成立することを示せ。ただし、対数は自然対数である。
No.29345 - 2014/10/17(Fri) 23:20:04
☆ Re: / ペンギン
f(x)は単調減少なので、k≦x≦k+1のとき
f(k+1)≦f(x)≦f(k)

各辺をk〜k+1で積分すると、
f(k+1)<∫_{k〜k+1}f(x)dx <f(k)・・・?@

?@において、f(k+1)<∫_{k〜k+1}f(x)dxの和をk=1からn-1まで取ると、
Σ_{k=2〜n}f(k)<∫_{1〜n}f(x)dx
f(1)=nを両辺に加えて、
Σ_{k=1〜n}f(k)<∫_{1〜n}f(x)dx + n・・・?A


?@において、∫_{k〜k+1}f(x)dx<f(k)の和をk=1からnまで取ると、∫_{1〜n+1}f(x)dx<Σ_{k=1〜n}f(k)・・・?B

一方、x=k上の格子点の数をL_kとすると、
f(k)-1 < L_k ≦ f(k)
L(n)=Σ_{k=1〜n}L_kなので、

Σ_{k=1〜n}f(k)-n < L_k ≦ Σ_{k=1〜n}f(k)

?A、?Bを合わせて(1)を得ます。

(2)は(1)の結果を利用して、積分を実行し、極限をとるだけです。
No.29348 - 2014/10/18(Sat) 11:03:59
☆ Re: / ペンギン
最後から3行目の不等式におけるL_kはL(n)の間違いです。
すみませんでした。
No.29349 - 2014/10/18(Sat) 11:04:55
★ 整数の性質と、確率の融合問題です / かい
この問題がわかりません。
丁寧におしえていただけるとうれしいです。
No.29342 - 2014/10/17(Fri) 22:22:53
☆ Re: 整数の性質と、確率の融合問題です / X
(1)
3枚のカードの全ての取り出し方は
6C3=20[通り]
条件を満たすのは3枚の内の1枚が5のカードの場合で
5C2=10[通り]
∴求める確率は
10/20=1/2
(2)
3つのさいころの目の出し方は全部で
6^3=216[通り]
このうち、条件を満たさない場合、つまり
3つのさいころが全て5の目ではない場合は
5^3=125[通り]
よって求める確率は
1-125/216=91/216
No.29344 - 2014/10/17(Fri) 23:18:09
☆ Re: 整数の性質と、確率の融合問題です / かい

返事が遅くなってすいません！
丁寧にありがとうございました！
No.29388 - 2014/10/20(Mon) 18:08:04
★ 関数の極限と連続関数 / riko
連投すみません。
関数の極限と連続関数で疑問が出たので質問させてください。


関数の極限
aの近くで定義された関数f(x)において、任意のε>0に対して適当なδ>0を決めると、 0 < | x − a | < δ のすべてのxについて | f ( x ) − b | < ε
連続関数
f(x)はaおよびその近くで定義されているとする。任意のε>0に対して適当なδ>0を決めると、 | x − a | < δ のすべてのxについて | f ( x ) − f(a) | < εとなるならば、f(x)はx=a(あるいは点aで)連続であるという。
とありました。関数の極限は、aの近くでx=aではなから0 < | x − a |であると注意書きがありました。よく説明に使われる例として
lim_[x→1] (x^2-1)/(x-1)=lim_[x→1] (x+1)=2
とx=1ではなからx-1で割ることが出来る、とありました。

ここで(x^2-1)/(x-1)で疑問に思ったのが、x=1での連続性を見ようと思うと関数の極限と同じように
lim_[x→1] (x^2-1)/(x-1)=lim_[x→1] (x+1)=2
となります。関数の極限ではx=1ではないからx-1で割ることが出来たのに、連続性を見るときにはx=1が許されているのにx=1で割られています。
どのように理解したらよいのでしょうか？

お願いします。
No.29338 - 2014/10/17(Fri) 16:32:51
☆ Re: 関数の極限と連続関数 / ast
f(x) = (x^2-1)/(x-1) は x=1 で連続ではありません. たしかに lim_[x→1] f(x) は存在して =2 ですが f(1) は存在しませんので, 連続の定義 lim_[x→1] f(x) = f(1) は成立しません.

ただし, g(1)=2, g(x)=f(x) (for x≠1) として函数 f(x) を連続な函数 g(x) に「(x=1 において) 連続に延長」することはできます.
# 便利なのでこの f と g とを「同一視」することはよく行われますが,
# 別な函数であることは明確に認識すべきです.
No.29340 - 2014/10/17(Fri) 17:24:57
☆ Re: 関数の極限と連続関数 / riko
連続関数
お返事ありがとうございます。

>函数 f(x) を連続な函数 g(x) に「(x=1 において) 連続に延長」することはできます.
この延長というのは、g(x)をx+1 for x+1と(x^2-1)/(x-1) for x≠1で定義するということなんでしょうか？
それともウリゾーンの定理（←全くわかりませんでした）
https://kotobank.jp/word/ウリゾーンの定理-35416
のことなんでしょうか？

連続に延長を掲示板で説明するのは難しいでしょうか？もしできそうでしたらお願いします。
No.29353 - 2014/10/18(Sat) 19:12:01
☆ Re: 関数の極限と連続関数 / ast
説明も何も, 書いた通り, f(x) に対して g(1)=2, g(x)=f(x) (for x≠1) として (f とは別の) 連続な函数 g(x)=x+1 を作る (定義域を広げる) ことができるというだけのことです. それをある種の標語的に「連続に延長する」と呼称することに他に何か説明がひつようとなるのでしょうか.

# 「函数の (あるいは定義域の) "制限" と "延長" (拡張)」については標準的な語法なので, 集合についての入門的なテキストにでも当たってください.
# ウリゾーンとかはどうでもいいです.
No.29354 - 2014/10/18(Sat) 21:16:43
☆ Re: 関数の極限と連続関数 / riko
説明ありがとうございました。勉強になりました。
No.29363 - 2014/10/19(Sun) 14:23:07
★ 数列の極限の問題 / riko
連投すみません。
数列、x(n)、y(n)において、y(n)は+∞に発散する増加数列である。lim_[n→∞] ( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1))=αならば、lim_[n→∞] x(n) / y(n)=αであることを証明せよ。
という問題の解答が途中で終わってしまっていてわからないので質問させてください。

∀ε>0, ∃m: n>m→a-ε<( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1) )<a+ε
y(n)-y(n-1)>0だから、
(a-ε)( y(n)-y(n-1) )< x(n)-x(n-1) <(a+ε)( y(n)-y(n-1) )
これにm+1, m+2,…wを加えると
(a-ε)( y(n)-y(m) )< x(n)-x(m) <(a+ε)( y(n)-y(m) )
y(m)→∞でy(n)>0と考えてよいから
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )
が得られる。以下略す。
となっています。最後の式から、a-ε< x(n)/y(n)<a+εはどうやって得られるのですか？

お願いします。
No.29337 - 2014/10/17(Fri) 16:31:54
☆ 訂正 / riko
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )
は
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
でした。
失礼しました。
No.29352 - 2014/10/18(Sat) 19:09:11
☆ Re: 数列の極限の問題 / 黄桃
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
は
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(n) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
の間違いですね(y(n)で割って、x(m)/y(n)を移項したのだから）。

結論からいえば、
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(n) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
から
a-ε< x(n)/y(n)<a+ε
はでません。出るのは lim[n→∞] x(n)/y(n)=a です。

No.29336のスレッドの理解をみると、説明してもわかってもらえない気がしますが、一応以下に書いておきます。

極限の扱いに慣れていれば、m→∞として挟み撃ち、です。
ただ、lim x(n)/y(n)が存在するとは仮定されてないので、
limsup x(n)/y(n)=liminf x(n)/y(n)=a を経由して示します。

挟み撃ちの原理の証明ができてない初心者のうちは、次のようにします。
a(k)=( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(m+k), b(k)=x(m+k)/y(m+k) とおけば(n=m+k)、
a(k)→0 より、n>N ⇒ |a(k)|<ε/2 となるNがとれます。
このとき、
(a-ε)-ε/2<(a-ε)+a(k)<b(k)=x(m+k)/y(m+k)<(a+ε)+a(k)<a+ε+ε/2
つまり、M=N+m とすれば　
n>M ならば a-3ε/2<x(n)/y(n)<a+3ε/2
となるようなMがとれることがわかりました。
∀ε>0 ∃M n>M ⇒ a-3ε/2<x(n)/y(n)<a+3ε/2
ですから x(n)/y(n)はaに収束します。

＃(3/2)εが気にいらないのであれば、最初の
＃∀ε>0, ∃m: n>m→a-ε<( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1) )<a+ε
＃でεをε/2 にしておけば結論の式がεになります。

＃＃一般に、bを任意の正の数とする時
＃＃「∀ε>0 ∃N n>N ⇒ a-ε<x(n)/y(n)<a+ε」と
＃＃「∀ε>0 ∃N n>N ⇒ a-bε<x(n)/y(n)<a+bε」とは同値です。
No.29359 - 2014/10/19(Sun) 09:26:54
☆ Re: 数列の極限の問題 / riko
ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。

>n=m+k
>M=N+m
これ、全然思いつきませんでした。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=29295
の質問の黄桃さんの回答を見て背理法を考えなおしてみました。
お手数ですが、迷惑でなければ見ていただけないでしょうか。
おねがいします。
No.29364 - 2014/10/19(Sun) 14:34:28
☆ Re: 数列の極限の問題 / 黄桃
>>n=m+k
>>M=N+m
>これ、全然思いつきませんでした。

全然本質的ではないです。x(n)/y(n)が定義されるように y(n)≠0 を仮定したかっただけです（本来は問題文にy(n)>0とか書いておく方が親切だと思います）。

背理法の部分は気づきませんでした。さっきフォローしておきましたので、参考にしてください。
No.29373 - 2014/10/19(Sun) 18:44:37
☆ Re: 数列の極限の問題 / riko
お返事ありがとうございます。
背理法のほうもわかりやすい解説ありがとうございます。
背理法のレス付けさせていただきました。
No.29376 - 2014/10/19(Sun) 19:30:41
★ 数列と極限の符号 / riko
lim_[n→∞] x(n)=aでaは0でない。このとき、適当な番号mを決めると、n>mのすべてのnについて、x(n)はaと同符号であることを証明せよ。
と言う問題の答えにわからないことがあったので質問させてください。

答えは、
a>0とする。
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε、だから、a-ε<x(n)<a+ε
ε>0は任意だから、たとえばε=a/2とすれば　　　　　　　　（←ここがわかりませんでした）
a-a/2<x(n)<a+a/2
だから、0<a-a/2<x(n)<a+a/2。a<0も同様。εはa/3やaでもよい。
でした。

ε>0は任意（すべて）なのに、ε=a/2としてよいのでしょうか？εをa/3やa/2やaにすれば、0<x(n)となるのはわかります。
ε>0は任意（すべて）なのだから、εが4a/3や3a/2や2aの可能性があると考えました。
こういう可能性があるのに、0<x(n)と結論づけてもよいのでしょうか？

お願いします。
No.29336 - 2014/10/17(Fri) 16:30:29
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
必要条件と十分条件に対する認識が浅い人が陥りやすい話ですが, lim_[n→∞] x(n)=a であるために「任意の ε>0 で〜が成り立つ」 ***必要*** がありますから, そのために「(何でもいいから) 特定の ε (ここでは ε=a/2) で〜が成り立つ」***必要*** があります. いま lim_[n→∞] x(n)=a は成立しているので, どの特定の ε (とくに ε = a/2) に対しても条件が成立しています.

一方, 「x(n)はaと同符号であること」を言うには何でもいいからひとつ特定の ε (ここでは ε=a/2) で条件が成立していれば ***十分*** であるというのが解答に書かれていることです. (だから, 「εはa/3やaでもよい。」)
No.29341 - 2014/10/17(Fri) 17:34:09
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
たくさんの質問なのにお返事ありがとうございます。

この理解で正しいですか？
a>0とする。
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε
から、｜x(n) -a｜<εは∀ε>0, ∃m: n>mの必要条件。つまり、｜x(n) -a｜<εのεはa>0であり∀ε>0, ∃m: n>mのための候補。
lim_[n→∞] x(n)=a>0を得るための候補を絞り込む条件がa≧ε。
だから、
lim_[n→∞] x(n)=a>0←→∀a≧ε>0, ∃m: n>m←→a≧εかつ｜x(n) -a｜<ε

そう考えると
数列a(n)がa収束する定義
正の任意のεに対して、ある自然数mが存在してmより大きいnについて｜a(n)-α｜<ε
が
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε
となり→が出てくるのでしょうか？
No.29351 - 2014/10/18(Sat) 19:06:55
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
意味不明です.
No.29355 - 2014/10/18(Sat) 21:17:27
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
とんちんかんなこと書いてしまいました。
astさんの回答をよく読み直し
a-εはε>0によってプラスにもマイナスにもなる。
a>0, a-ε<x(n)
が、すべてのε>0について成立するためには0<x(n)でなければならない。
このことを示すためには、ε=a/2の時を示せば十分。
と、考えました。
この理解はどうでしょうか？
No.29365 - 2014/10/19(Sun) 14:49:54
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
何がしたいのかさっぱりわかりません.

> a>0, a-ε<x(n)
> が、すべてのε>0について成立する
必要は全くありません (成立が要求されるとしたら (適当な m に対する) n > m なる全ての n についてでしょう) し, その
> ことを示すためには、ε=a/2の時を示せば十分
でも全くありません.

私は No.29341 で
> lim_[n→∞] x(n)=a であるために〜***必要***
および
> 「x(n)はaと同符号であること」を言うに〜***十分***
と言っています. 必要条件とか十分条件とか言うときには, それが***何となるために***必要/十分なのかという部分をいい加減に扱うべきではありません. 結局のところ本問では
　[lim_[n→∞] x(n)=a(>0)]⇒P⇒[x(n)はaと同符号(>0)である]
となる命題P(のひとつ)が
　P: ∃m s.t. n > m → ｜x(n)-a｜< a/2 (すなわち, a-a/2 < x(n) < a+a/2)
で与えられるという話をしています.
No.29366 - 2014/10/19(Sun) 15:47:29
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
お返事ありがとうございます。
もっと、考え直してみます。
No.29370 - 2014/10/19(Sun) 17:47:29
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