a,bは任意に実数全体を動く.
ax+by=0ならばx=y=0
は偽でよろしいですか？
|
No.29216 - 2014/10/06(Mon) 00:45:16
| ☆ Re: 真偽判定願います / らすかる | | | No.29217 - 2014/10/06(Mon) 00:55:03 |
| ☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん | | | 簡単に証明（説明）していただけますか？
例えば、反例としてx=b,y=-aがあると思ったのですが。
|
No.29219 - 2014/10/06(Mon) 06:40:13 |
| ☆ Re: 真偽判定願います / angel | | | > 例えば、反例としてx=b,y=-aがあると思ったのですが。
これは誤りなのですが、なかなか興味深い意見です。
ちょっと、問題の命題を詳しく見てみましょう。
「a,bは任意に実数全体を動く時、ax+by=0ならばx=y=0」
これは、
「ax+by=0が、a,bがどんな実数値の時でも成立するならば、x=y=0」
を意味します。
では、「〜ならばx=y=0」を検証するために、どんな時に命題の前半部分が成立するかを考えます。
それは、どう考えるかと言うと、
(x,y)=(1,1) の時
「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
(x,y)=(1,1.1) の時
「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
…
(x,y)=(1.1,1)の時
「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するか」→成立しない
…
これを、全ての実数値(x,y)の組み合わせで考えたとすると、「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立する」のは(x,y)=(0,0)だけとなります。
(x,y)=(0,0)は、当然x=y=0を満たしますから
「ax+by=0がa,bがどんな実数値の時でも成立するならばx=y=0」は真ということになります。
ただし、注意が必要なのは、上の想定では一つ一つ(x,y)の組み合わせを挙げて検証していますが、実際にそういうことはできません。( できるのは整数か、せめて有理数 … 帰納法が使える範囲 )
なので、全ての(x,y)の値を検証するためには「一つ一つ挙げる」以外の方法が必要です。
|
No.29220 - 2014/10/06(Mon) 07:18:02 |
| ☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん | | | 回答ありがとうございます。
>>どんな時に命題の前半部分が成立するかを考えます
(x,y)=(0,0)以外にも、(x,y)=(b,-a)のとき
命題の前半部分ax+by=0が成立するのでは？
よって、任意の実数a,bに対して、ax+by=0が成り立つとしてもx=y=0であるとは限らない
と思ってしまいます。。。どこで間違っているのでしょうか。。。
|
No.29221 - 2014/10/06(Mon) 07:48:14 |
| ☆ (x,y)と(a,b)の違い / angel | | | > どこで間違っているのでしょうか。。。
それは、(x,y)と(a,b)いずれも無限の組み合わせを考える訳ですが、両者に根本的な違いがあるからです。
それは、(x,y)は固定された値である一方、(a,b)は固定されていない(動く)値であるということです。
勿論、(x,y)についても全ての実数値の組み合わせを試すので、その意味では「動く」のですが、条件を満たすかどうかを一組々々試す時には「固定」されています。( No.29220をもう一度良く見てください )
固定されるべき(x,y)に、固定されていない(a,b)の値を設定しているのがマズいことになります。
|
No.29222 - 2014/10/06(Mon) 08:21:18 |
| ☆ 類題 / angel | | | ただし、問題が変わればちんぷんさんの考えが正しくもなります。
それは、
・実数x,y,a,bに対し、ax+by=0ならばx=y=0である
… 偽 ( 反例: (a,b,x,y)=(2,1,1,-2)等 )
これは、a,bのみならずx,yも同じように動く(固定されていない)扱いになります。なので、No29220と同じように考えるならば、
(a,b,x,y)=(1,1,1,1)
→ ax+by=0 不成立
…
(a,b,x,y)=(1,1,0,0)
→ ax+by=0 成立
…
(a,b,x,y)=(2,1,1,-2)
→ ax+by=0 成立
となり、確かにx=y=0の時にax+by=0は成立しているものの、それ以外にも成立する場面(反例)があるため、「ax+by=0ならばx=y=0」は偽となります。
|
No.29223 - 2014/10/06(Mon) 08:29:11 |
| ☆ Re: 真偽判定願います / らすかる | | | 問題の命題は
「x,yに対してa,bがどんな値であってもax+by=0が成り立つならば、x=y=0」
という意味ですから、a,bをx,yに依存する値に固定することはできません。
「a,bがどんな値であってもax+by=0が成り立つならば」ですから
a=1,b=1の場合でもa=1,b=2の場合でもa=2,b=1の場合でも
ax+by=0にならなければいけません。
|
No.29224 - 2014/10/06(Mon) 10:07:57 |
| ☆ Re: 真偽判定願います / deep make | | | 任意の実数a,bに対し, ax+by=0 が成り立つとき,
x=y=0 であることを示すのは容易なことです.
「任意」と言っているのですから,
当然(a,b)=(1,0),(0,1)に対しても, ax+by=0 が成り立つので,
ここから, x=y=0 である必要性が出てきます.
そして, 実際, x=y=0 のとき,
他の任意の(a,b)に対し, ax+by=0 になるので,
この命題は真ということになります.
|
No.29225 - 2014/10/06(Mon) 11:43:21 |
| ☆ Re: 真偽判定願います / deep make | | | また, ベクトルを用いた説明も可能です.
ax+by=0 とは, ベクトル(a,b), (x,y)の内積が0ということを意味します.
a,bは任意に実数全体を動くので,
ベクトル(a,b)は全ての平面ベクトルを動くことになります.
つまり, (x,y)は全ての平面ベクトルと直交するベクトルなので,
(x,y)=(0,0)のみであることがわかります.
|
No.29226 - 2014/10/06(Mon) 11:53:37 |
| ☆ Re: 真偽判定願います / ちんぷん | | | No.29227 - 2014/10/06(Mon) 11:54:18 |
|
