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★ ベクトルです / A
数Bの空間ベクトルの問題です。


四面体ABCDの辺BCの中点をP、線分PDの中点をQ、線分AQの中点をRとする。
また、直線BRと平面ACDの交点をSとする。
ABベクトル=cベクトル、ADベクトル=dベ クトルとするとき、
ASベクトルをcベクトル、dベクトルで表せ


?@BQベクトルの変形のところですが、なぜ点QがPDの中点なのかがわかりません。
?ABPベクトルがcベクトルーbベクトルになるのがわかりません

よろしくお願いします
No.29102 - 2014/09/29(Mon) 20:14:54
☆ Re: ベクトルです / ヨッシー
(1)
ＰＤの中点であるＱについてのベクトルＢＱが、なぜ
　ＢＱ＝(1/2)ＢＰ＋(1/2)ＢＤ
と書けるか？ということですか？
中点（もしくは内分点）の公式そのままです。

(2)
ＢＰ＝(1/2)ＢＣ＝(1/2)(ｃ−ｂ) なので、
(1/4)(ｃ−ｂ) は、
(1/8)(ｃ−ｂ) の誤り(書き間違い？)と思われます。
その下の式は合っています。
No.29103 - 2014/09/29(Mon) 20:28:39
☆ Re: ベクトルです / A
分かりました。
ありがとうございます。
No.29104 - 2014/09/29(Mon) 20:36:27
★ 二次方程式の利用です / 。
1.連続した3つの正の整数がある。真ん中の数の2乗は、残りの2数の和より63大きくなる。この連続した3つの整数を求めなさい。

2.ある自然数を2乗するところを、まちがって5倍したため、答えが14小さくなった。もとの自然数を求めなさい。

教えてください。
No.29098 - 2014/09/29(Mon) 16:57:27
☆ Re: 二次方程式の利用です / ヨッシー
1.真ん中の数をｘとすると、３つの数は
　ｘ−１，ｘ、ｘ＋１
であるので、
　ｘ^2＝(ｘ−１)＋(ｘ＋１)＋６３
これを解いて　ｘ＝９　より　８，９，１０ を得ます。

2.ある自然数をｘとおくと、
　５ｘ＝ｘ^2ー１４
これを解いて、ｘ＝７
No.29101 - 2014/09/29(Mon) 20:14:46
★ (No Subject) / よこはま
a,bは実数で、b≠0とする。xy平面に原点O(0,0)および2点P(1,0),Q(a,b)をとる。a,bが△OPQが鋭角三角形となるための条件を満たすとき、m,nを整数として不等式
(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2≧0
が成り立つことを示せ。

こちらの問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.29093 - 2014/09/29(Mon) 13:15:07
☆ Re: / ＿
とりあえず概略を。条件より0<a<1,(a-(1/2))^2 + b^2 > 1/4となる。これを図示したときに境界にも出てくる、(a-(1/2))^2 + b^2 = 1/4で示される円をCとする。

(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2≧0
⇔{(na+m)-(1/2)}^2 + (nb)^2 ≧ 1/4
⇔点(na+m,nb)がCの周上および外部で示される領域Dにある。

なので、(a-(1/2))^2 + b^2 > 1/4から何かを連想できればいい感じです。

まず、点(a,b)を点(na,nb)にうつす変換を考える。これは原点を中心とする拡大で、この結果円Cは中心(n/2,0)、半径n/2の円C'にうつる。CとC'の共有点は(0,0)のみで、(na,nb)はつねにDにある。
(まわりくどいですが、図にすればすぐです)

次に(na,nb)を(na+m,nb)にうつす。x軸方向へmだけ平行移動させたもので、この結果C'がうつった円C''がCと共有点をもつ事がなければ示すことは明らかで、共有点をもつようなmをとったとしてもそのときはCとC''が接するようにしかとれないので(やはり図にすれば…)、やはり(na+m,nb)がDにあることになる。

上記の解答ではn=0や±1のときは不十分なので別に考える必要などはありますが、まあ概略ということでご自身で補ってください。
No.29099 - 2014/09/29(Mon) 17:24:36
★ (No Subject) / よし
点Ｑが数直線上の原点から出発して、一秒ごとに正または負の方向に同じ確率2分の1で、１だけ移動し、３または、−３に到着すると移動をとめるものとする。ｎ秒後に点Ｑが３または−３にある確率を求めよ。

という問題があるのですが、ふと、思ったことがあります。
問題文の最後の一文を『ｎ秒以内に移動が終了する確率を求めよ。』と、なった場合、前者の確率と後者の確率は、一致するのでしょうか？
No.29086 - 2014/09/29(Mon) 01:20:44
☆ Re: / らすかる
「ｎ秒後に点Ｑが３または−３にある」⇔「ｎ秒以内に移動が終了する」であり
同じ意味ですから、確率は同じですね。
No.29088 - 2014/09/29(Mon) 04:12:50
☆ Re: / よし
この問題を、等比級数の考え方を使って解くことはできますか？もしできたら、解答をつくっていただきたいのですが…
初
No.29089 - 2014/09/29(Mon) 08:50:49
☆ Re: / らすかる
> 等比級数の考え方を使って解くことはできますか？
「等比級数の考え方を使って解け」という問題なのですか？
私はそんなややこしい解き方は思いつきません。
No.29090 - 2014/09/29(Mon) 10:33:29
☆ Re: / よし
すいません　
漸化式で解決しました
No.29095 - 2014/09/29(Mon) 14:32:54
☆ Re: / よし
すいません　
漸化式で解決しました　
ありがとうございました
No.29096 - 2014/09/29(Mon) 14:33:29
☆ Re: / らすかる
ちなみに私は漸化式も使いませんでした。
ちょっと工夫すれば、1-(3/4)^mの形になることはすぐにわかります。
（もし答えがこの形でなければ、私が何か勘違いしています）
No.29097 - 2014/09/29(Mon) 15:20:34
☆ Re: / よし
どうやって考えたら、そのように直ぐわかるのでしょうか？
No.29120 - 2014/10/01(Wed) 18:17:30
☆ Re: / らすかる
「n秒以内に移動が終了しない確率」
つまりn秒間-2〜2の範囲内にとどまる確率を求めます。
この場合、奇数秒後は必ず1か-1となります。
「1か-1にあるとき、その2秒後も1か-1にある確率」は
1でも-1でも、正正、正負、負正、負負の4通り中3通りになりますので
「奇数秒から2秒後も移動が終了しない確率」は3/4となります。
# 1からの場合、正正：1→2→3で終了、正負：1→2→1で継続、
# 負正：1→0→1で継続、負負：1→0→-1で継続なので3/4、-1の時も同様
従って、nが奇数つまりn=2m+1のとき、
最初の1秒は確率1で1か-1に移動し、その後2秒ごとに終了しない確率が
3/4ずつですから、n秒で終了しない確率は(3/4)^mです。
よってn=2m+1のとき、n秒以内で終了する確率は1-(3/4)^m=1-(3/4)^{(n-1)/2}
となります。
nが2以上の偶数つまりn=2m+2の場合は、2m+1秒までで終了しない確率が
1-(3/4)^mであり、2m+1秒までで終了しなければ2m+2秒でも終了しませんので
確率は1-(3/4)^mのまま変わりません。よってn=2m+2のときに
n秒以内で終了する確率は1-(3/4)^m=1-(3/4)^{(n-2)/2}となります。
No.29121 - 2014/10/01(Wed) 21:45:51
☆ Re: / よし
とてもよくわかりました。ありがとうございます。
No.29122 - 2014/10/01(Wed) 22:38:04
★ (No Subject) / たろべえ
座標空間内で,xy平面上にあって原点を中心とする半径1の円をSとする.また,Sを周とする円板を底面とし,A(0,0,1)を頂点とする円錐をVとする.
(1)x軸を含み点(0,1,1)を通る平面をαとする.AとS上の動点を通る直線がαと交わるとき,その交点をP(X,Y,Z)とする.XとYの関係式,およびYとZの関係式を求めよ.

(2)αがVによって切り取られる部分の面積を求めよ.

わかるかた、お願いします。
No.29085 - 2014/09/29(Mon) 00:52:07
☆ Re: / X
既に別の掲示板で同じ質問に対する回答がついています。
No.29106 - 2014/09/29(Mon) 23:09:35
★ 分散の合成 / angel
ちょっと分散の合成(?)についての計算について、考えた内容が正しいかどうか検証をお願いしたく。
また、これくらいの計算ならどこかで紹介くらいされてないかなとも思うのですが、ご存知でしたらご教示ください。

・概要
　個々に期待値・分散が分かっている事象があり、ある確率でそれらのいずれかの事象が発生するとした時、
　　全体の期待値 = 個々の期待値の期待値 ( 発生確率による重み付平均 )
　　全体の分散 = 個々の分散の期待値 + 個々の期待値の分散
　で表される。

・数式での表現
　事象iの平均・分散をE[i], V[i]とし、発生確率をP[i]とすると、
　　全体の期待値 E = Σ[i] P[i]・E[i]
　　全体の分散 V = Σ[i] P[i]・V[i] + ( Σ[i] P[i]・E[i]^2 - E^2 )
No.29081 - 2014/09/29(Mon) 00:16:59
☆ 計算の過程 / angel
Eの話は自明だと思うので省略します。分散の話を導くために計算した過程は次の通りです。

個々の事象についての内訳を添え字jで表す、つまり

　E[i] = Σ[j] P[i,j]X[i,j]
　V[i] = Σ[j] P[i,j]X[i,j]^2 - E[i]^2
　Σ[j] P[i,j] = 1

この時、

　V
　= Σ[i,j] P[i]P[i,j]X[i,j]^2 - E^2
　= Σ[i] P[i]・( Σ[j] P[i,j]X[i,j]^2 ) - E^2
　= Σ[i] P[i]・( V[i] + E[i]^2 ) - E^2
　= Σ[i] P[i]V[i] + ( Σ[i] P[i]E[i]^2 - E^2 )
No.29082 - 2014/09/29(Mon) 00:28:59
☆ 背景 / angel
ちなみに、これを考えた背景としては、まあ、大人買いしてカードなりなんなりをコレクションする場合に、どれくらいお金が必要か、という問題を考えるためです。

例えば1回100円でサイコロを振って、6の目が出たら10種類のレアカードの内1種類をランダムで貰えるとして。好みのカード(1種類)が出るまでに必要な金額は?
期待値の計算は簡単です。カード1枚貰うためのサイコロを振る回数の期待値は6回、好みのカードが何枚目で出るか、期待値は10枚、なのでかかる金額の期待値は6,000円と出ます。
…では分散は? と考えて良く分からなかったので、質問にある内容を考えたという訳です。
※この例にある単純なケースなら、結局1/60の確率で好みのカードが出るので、期待値60回 ( 6,000円 )、分散3,540回^2 ( 35,400,000円^2 ) と分かりますが…
No.29084 - 2014/09/29(Mon) 00:40:13
★ (No Subject) / プリンセスプリンセス
　空間に3点A(1,1,2),B(-1,1,2),C(0,2,1)がある.点(2,3,3)を通り,ベクトル(a,1,1)に平行な直線lが,三角形ABCの周または内部と共有点をもつようなaの範囲を求めよ.

どなたか解ける方お願いします！！
No.29080 - 2014/09/29(Mon) 00:14:37
☆ Re: / プリンセスプリンセス
答えまで出せました。

答えは
　　　　　　1≦a≦5/3
でしょうか？
No.29083 - 2014/09/29(Mon) 00:34:47
☆ Re: / ヨッシー
合っています。

３点ＡＢＣを通る平面の式は
　ｙ＋ｚ＝３、ｘは任意の実数　・・・(i)
と書けます。
点(2,3,3) を通り、ベクトル(a,1,1) に平行な直線
　x=at+2, y=t+3, z=t+3　　・・・(ii)
を、ｙ＋ｚ＝３ に代入すると、２ｔ＋６＝３　より　ｔ＝−３／２
よって、(i) と (ii) の交点は、
　ｘ＝-3a/2＋2、ｙ＝ｚ＝3/2
という直線上を動きます。つまり、ｘ軸に平行な直線です。
ＡＢはｘ軸に平行であり、ＡＣの中点(1/2, 3/2. 3/2)、ＢＣの中点(-1/2, 3/2, 3/2) を結ぶ
線分上で、(i) と (ii) が交わる時条件を満たします。つまり、
　-1/2≦-3a/2＋2≦1/2
　-5/2≦-3a/2≦-3/2
　1≦ａ≦5/3
となります。
No.29119 - 2014/10/01(Wed) 13:16:07
★ 三角関数 / れあ
こんばんは。

0≦x≦π/2のとき、4sin^2x+3sinxcosx-cos^2xの最大最小を求めよ。

sin^2=(1-cos2x)/2 , sinxcosx=1/2sin2x,
cos^2=(1+cos2x)/2をそれぞれ代入したら、

3/2-√15/2sin(2x+α)になったのですが、

これからうまくできませんでした。
もしかしたらここまでの計算が間違ってるかもしれないのですが・・・。

宜しくお願いします。
No.29078 - 2014/09/28(Sun) 23:58:37
☆ Re: 三角関数 / X
4(sinx)^2+3sinxcosx-(cosx)^2=2(1-cos2x)+(3/2)sin2x-(1+cos2x)/2
=(3/2)sin2x-(5/2)cos2x+3/2
={(1/2)√34}sin(2x-α)+3/2 (A)
但しαは
tanα=5/3,0＜α＜π/2 (B)
なる角
となります。

後は2x-αの値の範囲を考えるわけですが
この際に、(B)からαの値の範囲を可能な限り
絞り込みます。
(B)より
π/4＜α＜π/3
これと
0≦x≦π/2
により
-α≦2x-α≦π-α
-π/3＜-α＜-π/4
2π/3＜π-α＜3π/4
∴(B)は
2x-α=π/2のとき最大値(1/2)√34+3/2
2x-α=-αのとき最小値{(1/2)√34}(-5/√34)+3/2
つまり
x=π/4+α/2のとき最大値(1/2)√34+3/2
x=0のとき最小値-1
を取ります。
No.29092 - 2014/09/29(Mon) 11:50:59
☆ Re: 三角関数 / RIN
tanαはどこから求めたのですか？
No.29094 - 2014/09/29(Mon) 14:29:13
☆ Re: 三角関数 / X
三角関数の合成を使うときに
cosα=3/√34 (P)
sinα=5/√34 (Q)
0＜α＜π/2
となるようなαを考えるのはよろしいでしょうか？
(P)(Q)より
tanα=5/3
となります。
No.29107 - 2014/09/29(Mon) 23:12:04
★ (No Subject) / めがね
前の質問ＵＲＬが貼れていなかったのでもう一度質問させていなかったのいただきます。
よろしくお願いします。
No.29074 - 2014/09/28(Sun) 22:17:47
★ 分数関数の積分 / 受験生
添付ファイルの通り、自分の解法のどこが間違っているのかがわかりません。どなたかご教授お願いします。
No.29071 - 2014/09/28(Sun) 21:44:48
☆ Re: 分数関数の積分 / angel
ん? 間違えてないですよ。
「部分分数分解」の使い方も本質的に同じですし。

…うーん。問題を解く力ではなく、解き方・答えが合っていることを検証する力の問題でしょうかね。
No.29072 - 2014/09/28(Sun) 21:54:53
☆ Re: 分数関数の積分 / IT
合っているのでは？
log|3x|=log3+log|x| です。
No.29073 - 2014/09/28(Sun) 21:55:08
☆ Re: 分数関数の積分 / 受験生
angel様
間違っていないのですね。でも、自分の解法は回りくどいので、きれいな解法を身につけられるよう頑張りたいと思います。ありがとうございました。

IT様
log|3x|は、log3+log|x|ですよね！！！！！！！
ずっと、log|3x|の3をどうやったら消せるのかということばかりに囚われていましたが、ようやくスッキリしました。ありがとうございました。
No.29087 - 2014/09/29(Mon) 02:54:29
★ (No Subject) / めがね
ここの問題の解き方と解答を教えてください。
よろしくお願いします。
14面体で面の数が14なのはわかりましたが、頂点の数と辺の数の求め方がわかりません。
画像ＵＲＬ
http://www2.ezbbs.net/07/dslender/img/1411907173_1.JPG
No.29068 - 2014/09/28(Sun) 21:27:12
☆ Re: / angel
下と同様。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=46847
No.29076 - 2014/09/28(Sun) 22:23:32
☆ Re: / めがね
ありがとうございます！
No.29105 - 2014/09/29(Mon) 20:56:02
★ (No Subject) / めがね
ここの問題の解き方と解答を教えてください。
よろしくお願いします。
画像ＵＲＬ
http://www2.ezbbs.net/07/dslender/img/1411906050_1.JPG
No.29067 - 2014/09/28(Sun) 21:12:07
☆ Re: / angel
マルチポスト ( 複数箇所に同一内容を投稿 ) はどうかと。
バレるようにやっているのはご愛嬌ですが。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender&dd=07&re=46846

私自身は「絶対ダメ」とまで言う気はないですが…。それでも。
何が問題になり得て、どういう対策が必要か。一度考えてみるべきだと思います。
No.29075 - 2014/09/28(Sun) 22:22:56
★ ベクトル / プリンセスプリンセス
　点Oを中心とするxyz空間に,点(A(0,0,1)と中心が点(0,0,1/2)で半径が1/2の球面Sがある.P(x,y,0)を原点Oと異なるxy平面上の点とする.2点P,Aを通る直線とSの交点のうちAでない方をQとする.また,2点O,Qを通る直線と平面α:z=1の交点をR(X,Y,1)とする.
　Pがxy平面上の直線「x+y=1,z=0」上をくまなく動くとき,Rはα上でどのような図形を描くか.

解ける方、どなたかお願いします。
No.29058 - 2014/09/28(Sun) 20:12:34
☆ Re: ベクトル / angel
添付の図のように、平面OAP ( Q,Rも同一平面 ) で切断した面を考えます。これにより、Rがどこに来るかをまず確定させること。

直角三角形の相似から、OP・AR=1 ということが分かります。
なので、座標P,Rをそれぞれ (X,Y,0), (x,y,1) とすると、
　x=X/(X^2+Y^2), y=Y/(X^2+Y^2)
　X=x/(x^2+y^2), Y=y/(x^2+y^2)
となります。

では、X+Y=1 を満たしてX,Yが変化する時、x,y がどのような条件を満たすか…? そこを調べれば終わります。
注意点としては、(x,y)=(0,0) だけはありえないこと。最終的に答えの図形は、円から点(0,0,1)を除いたものになります。
No.29066 - 2014/09/28(Sun) 20:58:52
☆ Re: ベクトル / プリンセスプリンセス
ありがとうございました！おかげさまでできました！
No.29079 - 2014/09/29(Mon) 00:09:23
★ (No Subject) / とら
こんにちは。
早速ですが、微分の問題で質問があります。

{(t^2)/2 +1 }／e^t

をtについて微分すると、どうなるでしょうか。

私は、
{-(t^2)/2 + t - 1}／e^t

だと思いましたが、正しいでしょうか？
No.29056 - 2014/09/28(Sun) 20:03:26
☆ Re: / らすかる
正しいです。このような計算は↓こちらで確認できます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdt%29+%28t%5E2%2F2%2B1%29%2Fe%5Et
No.29057 - 2014/09/28(Sun) 20:12:27
☆ Re: / ヨッシー
それで正しいです。

　f(t)=t^2/2+1, g(t)=e^(-t)
とすると
　f'(t)＝t, g'(t)＝-e^(-t)
なので、
　{f(t)g(t)}'＝f'(t)g(t)＋f(t)g'(t)
　　＝te^(-t)−(t^2/2+1)e^(-t)
　　＝{-t^2/2＋t−1}／e^t

また、
　f(t)=t^2/2+1, g(t)=e^t
とすると
　f'(t)＝t, g'(t)＝e^t
なので、
　{f(t)/g(t)}'＝{f'(t)g(t)−f(t)g'(t)}/g(t)^2
　　＝{te^t−(t^2/2+1)e^t}/(e^t)^2
　　＝{t−(t^2/2+1)}/e^t
となり、いずれも同じ結果になります。
No.29059 - 2014/09/28(Sun) 20:13:54
☆ Re: / とら
ありがとうございます。
よく分かりました。

実は、この式を微分したのは、不等式の
e^t > 1 + (t^2)/2
を証明したかったからでした。

塾では、この両辺をe^tで割り、右辺を微分してグラフを書き、右辺が１未満であることを示せ、と言われたのですが、とても煩雑になり、私の微分が間違っているのかと考えたのでした。

よろしければ、どうやったら、この不等式の両辺をe^tで割った式の増減表を書いたらよいか、教えていただけませんでしょうか？
No.29060 - 2014/09/28(Sun) 20:25:56
☆ Re: / らすかる
-t^2/2+t-1=-{(t-1)^2+1}/2ですから微分した式は常に負、
従って元の式は減少関数であり、t=0のとき1ですから
t＞0で1より小さくなります。
No.29062 - 2014/09/28(Sun) 20:45:39
☆ Re: / とら
らすかるさん

上で別に質問を立ててしまいましたが、こちらで教えていただき、ありがとうございます。

それで、極限t→+0は１未満になるのはどうしてでしょうか？
No.29063 - 2014/09/28(Sun) 20:48:15
☆ Re: / とら
すみません！
分かりました！
t=0を入れたら、もとの式は0になって、そこから単調減少なのだから、極限t→+0は１未満になるんですね！！！
No.29064 - 2014/09/28(Sun) 20:49:56
☆ Re: / らすかる
極限は1未満になりません。1です。
No.29065 - 2014/09/28(Sun) 20:58:39
☆ Re: / とら
そうでした、極限は１です。

つまり、t=0を入れたら、もとの式は1になって、そこから単調減少なのだから、t>0ではすべて、1未満になる、ということでしょうか？
No.29069 - 2014/09/28(Sun) 21:38:53
☆ Re: / らすかる
その通りです。
というか、それは既に29062に書いたことです。
No.29077 - 2014/09/28(Sun) 22:28:18
★ お願いします。 / MONO
一辺の長さが4である正八面体ABCDEFがある。



(1)三角形ABCを底面としたときの正八面体の高さを求めよ。

(2)この正八面体を平面ABCと平行な平面で切り、体積を2等分する。とのときの切り口はどんな図形か。また、切り口の面積を求めよ。
No.29046 - 2014/09/27(Sat) 19:47:52
☆ Re: お願いします。 / ヨッシー

(1)
図のように座標を置くと、
　ＡＥ^2＝4/3＋4＋z^2＝16/3＋z^2＝16
より
　z^2＝32/3
　ｚ＝4√2/√3＝4√6/3

(2)
図の黄色の線(高さ2√6/3の位置)が、２等分する面となります。
１辺２の正六角形になるので、切り口の面積は
　６×(2×√3÷2)＝6√3
No.29047 - 2014/09/27(Sat) 19:48:36
☆ Re: お願いします。 / MONO
(2)で、黄色のところが高さ2√6/3の点であるということはどのようにしてわかるのでしょうか？
No.29048 - 2014/09/27(Sat) 20:48:14
☆ Re: お願いします。 / ヨッシー
>一辺が2になるのはどうやってもとめるのでしょうか？？
中点連結定理から分かります。

> (2)で、黄色のところで二等分になる理由をもう少し詳しく教えてくださいm(__)m
△ＡＢＣ側の立体と、△ＤＥＦ側の立体が、全く同じ形になるためです。

>(2)で、黄色のところが高さ2√6/3の点であるということはどのようにしてわかるのでしょうか？
３点Ａ，Ｂ，Ｃの高さ(ｚ座標)が０で、３点Ｄ，Ｅ，Ｆの高さが
4√6/3 であり、黄色の六角形はそのちょうど真ん中の点を結んでいるからです。
ちなみに、この問題で、黄色の六角形の高さはあまり重要ではありません。
No.29051 - 2014/09/28(Sun) 06:47:44
☆ Re: お願いします。 / MONO
質問多すぎてすみませんでしたm(__)m

丁寧に教えてくださりありがとうございました！！！
No.29052 - 2014/09/28(Sun) 09:40:23
★ ｳﾞｪｸﾄﾙ / ふぇるまー
問:△ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP,辺CAの中点をQ,辺ABを1:2に内分する点をRとする。
(1)3点P,Q,Rは一直線上にあることを証明せよ。
(2)PQ:QR＝?

先日質問させていただきましたが、ご反応がなかったので再度おねがいします。
No.29042 - 2014/09/27(Sat) 16:15:58
☆ Re: ｳﾞｪｸﾄﾙ / ヨッシー
メネラウスの定理およびその逆で一発ですが、
ベクトルと言うことですので、それに従います。
　ＡＢ＝ｂ、ＡＣ＝ｃ
とおきます。
　ＡＲ＝(1/3)ｂ
　ＡＰ＝２ｃ−ｂ
一方、
　ＡＱ＝(1/2)ｃ
ですが、
　ＡＱ＝(３ＡＲ＋ＡＰ)／４
　　＝(3/4)ＡＲ＋(1/4)ＡＰ
と表せ、Ｑは、ＰＲを３：１に内分する点として表されます。
よって、点Ｑは線分ＰＲ上にあり、３点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上にあります。
また、ＰＱ：ＱＲ＝３：１　です。
No.29044 - 2014/09/27(Sat) 16:34:37
☆ Re: ｳﾞｪｸﾄﾙ / ふぇるまー
ありがとうございます。ﾒﾈﾗｳｽでも出来るんですね。以外です(;ﾟдﾟ)
No.29050 - 2014/09/27(Sat) 22:37:47
★ (No Subject) / ｋｋｋ
a,bを100以下の自然数とする。
二つの分数a/27,31/bがどちらも既約分数であり、かつ
a/27+31/bが整数であるとする。このようなa,bの組を全て求めよ。

解説をお願いします。

a/27が既約分数となるからaは１〜１００のうち3の倍数で無いもの、なのですか？a/27のaにいかなる整数（２７の倍数を除く）を代入しても既約分数になりますよね。3/27=1/9のように。単に分数になっちゃだめという文脈なのか、aを代入したとき約分されてはダメという文脈なのか、不明瞭ですよね？
No.29035 - 2014/09/27(Sat) 04:21:43
☆ Re: / IT
> a/27が既約分数となるからaは１〜１００のうち3の倍数で無いもの、なのですか？
ですね。

>a/27のaにいかなる整数（２７の倍数を除く）を代入しても既約分数になりますよね。
>3/27=1/9のように。
左辺は既約分数ではなくて、右辺は既約分数ですね。

「a/27が既約分数」というのは、「「a/27」の表記のままで既約分数」という意味に取るしかないと思いますが。
No.29036 - 2014/09/27(Sat) 07:27:41
☆ Re: / らすかる
> a/27のaにいかなる整数（２７の倍数を除く）を代入しても既約分数になりますよね。
そんなことを言ったら、「分子分母が整数である分数はすべて既約分数」になってしまうと思います。
「○/□が既約分数」⇒「○と□は互いに素」ですから
「a/27が既約分数」⇒「aと27は互いに素」です。
No.29038 - 2014/09/27(Sat) 11:01:55
☆ Re: / ｋｋｋ
回答ありがとうございます。確かにそのとおりでした。

また、解答を教えてください。よろしくおねがいします
No.29039 - 2014/09/27(Sat) 11:50:28
☆ Re: / IT
a/27+31/b=n整数とすると
31=b(27n-a)/27
aと27は互いに素なので27と27n-aとは互いに素
よってbは27の倍数、bは100以下の自然数なのでb=27,...
b=27のとき・・・　後はやってください。
No.29043 - 2014/09/27(Sat) 16:16:08
☆ Re: / ｋｋｋ
なんで「aと27は互いに素なので27と27n-aとは互いに素」なんですか？

よろしくおねがいします
No.29049 - 2014/09/27(Sat) 21:44:12
☆ Re: / IT
一般的な説明では分からないかも知れないので
（分かるようなら質問されないはず）
この質問に限った説明をします。

27は3で割り切れ27の素因数は3だけ
aと27は互いに素なので、aは3で割り切れない。
よって、27n-aは3で割り切れない。
よって、27と27n-aとは互いに素.
No.29053 - 2014/09/28(Sun) 11:02:16
☆ Re: / ｋｋｋ
ありがとうございます。理解できました。

一般的な説明だとどうなりますか？できれば教えてもらえませんか？
No.29054 - 2014/09/28(Sun) 13:38:34
☆ Re: / IT
整数k,aについて、ｋとaが互いに素ならばｋとｋn-aとは互いに素(nは任意の整数）

(証明）
cがｋとｋn-aの正の公約数とすると
cはaの約数※
よってcはkとaの公約数
ｋとaが互いに素なのでc＝１

すなわち,ｋとｋn-aとは互いに素

※k=cx,kn-a=cy,a=kn-cy=cxn-cy=c(xn-y)
No.29055 - 2014/09/28(Sun) 13:54:29
★ (No Subject) / ラングドシャ
自然数nがn＝4aー1(aは自然数)の形で表せるとき、nの正の約数の総和は4で割り切れることを示せ。
No.29030 - 2014/09/26(Fri) 21:42:37
☆ Re: / らすかる
nのある約数pに対してn/pもnの約数です。
n=4a-1なのでpとn/pは奇数であり、
しかもどちらか一方が4s+1、他方が4t-1となります。
従ってp=n/pとなることはなく、p＞√nならばn/p＜√nですから、
√nより大きい約数と小さい約数のペアが必ず出来ます。
そしてそれぞれのペアの和がp+n/p=4(s+t)から4の倍数となりますので、
総和も4の倍数になります。
No.29032 - 2014/09/26(Fri) 21:51:36
★ 因数分解 / RIN
X＾3＋ax＾2‐（2a＾2＋a＋1）x‐2a（a＋1）

解けなくて困ってます。
No.29025 - 2014/09/26(Fri) 12:40:01
☆ Re: 因数分解 / 農場長
因数定理はご存知ですよね？

定数項が-2a^2-2aなので、xの１次の項に着目して、
2a^2を作るために、x=-1を代入するとビンゴですよ。
No.29026 - 2014/09/26(Fri) 13:44:39
★ 四面体の最大値 / AYU
四面体OABCにおいて、角BACが直角で、OA=OB=OC=1である。このとき四面体の体積の最大値を求めよ。
何から求めればよいのでしょうか？
No.29022 - 2014/09/26(Fri) 04:45:09
☆ Re: 四面体の最大値 / angel
そうですね。そのままだと掴みどころがないですね。

まずは「体積を求める」に当たって、底面と高さをどうするか考えてみましょう。ここで実はOA=OB=OCという所から大きく道が拓けるようになっています。

底面を△ABCとし、Oから底面に下した垂線の足をHとします。
なので、体積は V=1/3・△ABC・OH で求めることを想定しています。
この時Hはどこにくるか…?
OA=OB=OC という条件から、実はHA=HB=HC、つまりHは△ABCの外心であると分かります。
しかも△ABCは∠BACが直角の直角三角形なので、外心は斜辺BCの中点。

と言うわけで、斜辺BC=a とでも置いて、底面△ABCの面積の最大値と、高さOHから四面体の体積の最大値候補をaで表し、後は微分等でaがいくつの時に最大になるかを調べます。
No.29023 - 2014/09/26(Fri) 05:40:27
☆ Re: 四面体の最大値 / AYU

有難うございます！
問題文からOが球の外接円だと見抜くことがポイントだったのですね。
それがわかればO上の点Hも三角形ABCの外心になって直角が生きてくると、凄く納得できました。
文字を置いて微分に持ち込んで無事に答えを出すことができました。有難うございます
No.29024 - 2014/09/26(Fri) 07:26:24
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