ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / やっすん

自然数Nを8進法と7進法で表すと、それぞれ3桁の数abc[(8)]とcba[(7)]になるという。a、b、cの値を求めよ。また、Nを10進法で表せ。

まったくわかりません。解答を教えてください。

No.28617 - 2014/08/29(Fri) 12:47:47

☆ Re: / ヨッシー

ａ，ｂ，ｃを０以上６以下の整数（特にａ，ｃは正の数）として、
　６４ａ＋８ｂ＋ｃ＝４９ｃ＋７ｂ＋ａ
移項して整理すると
　６３ａ＋ｂ＝４８ｃ
　ｂ＝４８ｃ－６３ａ＝３(１６ｃ－２１ａ)
これより、１６ｃ－２１ａが０，１，２のいずれかになるように
ａ，ｃを調節すると、
ａ＝３，ｃ＝４のとき　ｂ＝３
このとき　Ｎ＝２２０

No.28622 - 2014/08/29(Fri) 14:27:52

★ (No Subject) / 確率

大小合わせて2個のサイコロがある。サイコロを投げると、1から6までの整数が等しい確率ででるとする。
⑴2個のサイコロを同時に投げる。出た目の差の絶対値について、その期待値を求めよ。
⑵2個のサイコロを同時に投げ、出た目が異なるときはそこで終了する。出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する。終了時に出ている目の差の絶対値について、その期待値を求めよ。

教えてください。よろしくお願いします。

No.28616 - 2014/08/29(Fri) 12:40:43

☆ Re: / IT

(1)６×６の表を書いて考えれば出来ると思います。

(2)(1)の表の対角線部分（２個のサイコロの目が同じとき）
を無視したものを使って[出た目が異なるときの期待値]を求め

(5/6)×[出た目が異なるときの期待値]+(1/6)[(1)で求めた期待値]を求めればよいと思います。

No.28619 - 2014/08/29(Fri) 13:43:05

★ (No Subject) / わー

数学的帰納法の問題です。
n=k+1のとき、与えられた漸化式に代入したらa k+2ではないのでしょうか？解説お願いします
青線部のところです。

No.28614 - 2014/08/29(Fri) 12:24:05

☆ Re: / X

これは解説の文章がおかしいですね。
青の下線部を
　このとき、与えられた漸化式から
と修正してもう一度解説をご覧下さい。

No.28647 - 2014/08/30(Sat) 12:29:07

★ 図形と計量 / いなほ

高校３年の者です。

数研出版の「スタンダード数学演習?TＡ?UＢ」というテキストの210番の問題です。

問）底面が１辺の長さ１の正方形、頂点Ｏから底面の各頂点までの長さが1/2（√5＋1）の正四角錐ＯーＡＢＣＤがある。この四角錐に頂点Ａから辺ＯＢ、ＯＣ上の点Ｐ，Ｑを通って頂点Ｄまでの最小の長さになるように糸を巻き付ける。
（１）?凾nＡＢと?凾`ＢＰが相似であることを示せ。

展開図をかき、ＡＤを直線で結ぶと糸が最小になるということはわかりましたが、学校での解説ではＡＤとＢＣが平行であることが暗黙の了解とされていました。が、なぜＡＤとＢＣが平行であるという条件を黙って使っていいのでしょうか？

No.28607 - 2014/08/28(Thu) 20:22:38

☆ Re: 図形と計量 / ヨッシー

四角形ＡＢＣＤが正方形だからでしょう。

No.28608 - 2014/08/28(Thu) 22:00:18

☆ Re: 図形と計量 / IT

展開図（下図）で「底面ABCDの辺AD」でない方（側面側）のADの話ですね？

ＡＤとＢＣが平行であることは図から明らかですが、証明するには数行が必要です。それを証明することは、この問題の本質部分ではないと、その先生は判断したからだと思います。

しかし、?凾nＡＢと?凾`ＢＰが相似であることを示す問題ですから、ＡＤとＢＣが平行であることを暗黙の了解として使うのではなく、
∠APB=∠ABPなどを示す方が良い気がします。

No.28609 - 2014/08/28(Thu) 22:08:50

☆ Re: 図形と計量 / IT

略証
△ＯＡＤは二等辺三角形なので∠ＯＡＤ=∠ＯＤＡ
２角と挟辺が等しいので　△ＯＡＰ≡△ＯＤＱ
よって∠ＯＰＱ＝∠ＯＱＰ
よって△ＯＰＱは二等辺三角形で△ＯＢＣと相似
∠ＯＰＱ＝∠ＯＢＣ＝∠ＯＡＢ
∠ＡＰＢ＝∠ＯＰＱ＝∠ＯＡＢ
また∠ＡＢＰ＝∠ＯＢＡ（共通）
よって△ＡＢＰと△ＯＡＢは相似

No.28613 - 2014/08/29(Fri) 09:32:49

★ 順列、組み合わせ,etc... / すもも

1.392の整数の約数の総和を求めよ。

2．7個の数字0,1,2,3,4,5,6から異なる５個を使って５桁の整数を作るとき、次の数は何個あるか。（Pを使用して求めよ）

（1）５の倍数

（2）54000より大きい整数

3．男子5人、女子3人が一列に並ぶとき、どの女子も隣り合わない並び方は何通りあるか。（Pを使用して求めよ）

4．3個の数字0,1,2を、重複を許して用いてできる5桁の整数は何個あるか。

5．8人の生徒を次のようにする方法は何通りあるか。（Cを使用して求めよ）

（１）4人、2人、2人の3組に分ける

（２）2人、2人、2人、2人の4組に分ける。

No.28602 - 2014/08/28(Thu) 19:27:55

☆ 順列、組み合わせ,etc... / すもも

上記の問題の途中式を教えて下さい。
お願いします。

No.28603 - 2014/08/28(Thu) 19:29:27

☆ Re: 順列、組み合わせ,etc... / IT

1 は問題の写し間違いでは？
ａが392の約数なら-aも392の約数なので、求める総和は０。

No.28604 - 2014/08/28(Thu) 19:45:42

☆ Re: 順列、組み合わせ,etc... / すもも

すみません。

392の正の約数の総和を求めよ。　

でした。

御指摘、ありがとうございました。

No.28605 - 2014/08/28(Thu) 19:51:34

☆ Re: 順列、組み合わせ,etc... / ヨッシー

1.
392＝2^3×7^2 より
(1＋2＋2^2＋2^3)(1＋7＋7^2)＝15×57＝855　・・・答

2.
(1)
１の位が０の場合：6Ｐ4＝360
１の位が５の場合：5×5Ｐ3＝300
合わせて　660個
(2)
万の位が６の場合：6Ｐ4＝360
万の位が５の場合、千の位は４か６であればいいので、2×5Ｐ3＝120
合わせて　480個

3.
男の並び方が 5Ｐ5＝120（通り）　　※普通は５！と書きます。
そのそれぞれについて
○男○男○男○男○男○
６つの○に最大１人の女子が入る入り方は 6Ｐ3＝120
以上より　120×120＝14400（通り）

4.
2×3^4＝162（個）

5.
8Ｃ4×4Ｃ2×2Ｃ2÷２！＝420（通り）
8Ｃ2×6Ｃ2×4Ｃ2×2Ｃ2÷４！＝105（通り）

No.28620 - 2014/08/29(Fri) 14:11:36

★ (No Subject) / わー

下の青波線のところでなぜまる1の左辺をn=0にしているかわかりません。解説お願いします。

No.28597 - 2014/08/28(Thu) 18:48:02

☆ Re: / X

n=0にしているわけではありません。
条件のとき丸1は
a[n+2]-αa[n+1]=β(a[n+1]-αa[n])
これは数列{a[n+1]-αa[n]}が
初項a[1+1]-αa[1](=a[2]-αa[1])
公比β
の等比数列であることを示していますので
a[n+1]-αa[n]=(a[2]-αa[1])β^(n-1)
となります。

No.28599 - 2014/08/28(Thu) 19:03:25

☆ Re: / わー

わかりました。ありがとうございましたm(_ _)m

No.28601 - 2014/08/28(Thu) 19:16:26

★ 底の変換公式を使った対数 / ファッ!?

(log[2]9＋log[4]3)log[3]4

という問題で、これにどう底の変換公式を利用するのかがわかりません。

log[a]b＝log[c]b/log[c]a

というのが公式と書いてあって、今回の問題において公式のa.b.cがどこに当てはまるかがわかりません。

この問題は底を2統一する、ということは書いてあるのですが、統一した式が

(2log[2]3＋log[2]3/log[2]4)・log[2]4/log[2]3

と変換される理由がわからないです。公式をどう使ったらこなるんでしょうか?

No.28593 - 2014/08/28(Thu) 18:05:36

☆ Re: 底の変換公式を使った対数 / X

底を2に揃えるわけですので公式において
c=2
となります。
後は公式の左辺が変換したい
元の対数と考えれば…。

No.28594 - 2014/08/28(Thu) 18:18:19

☆ Re: 底の変換公式を使った対数 / ファッ!?

> 底を2に揃えるわけですので公式において
> c=2
> となります。
> 後は公式の左辺が変換したい
> 元の対数と考えれば…。

すいませんその場合、log[2]9が2log[2]3となる理由がわかりません。あと、一番わからないのは古式における＝の左側のlog[a]bがこの問題だと、何なのかがつかみにくいです。

No.28595 - 2014/08/28(Thu) 18:24:12

☆ Re: 底の変換公式を使った対数 / X

>>log[2]9が2log[2]3となる理由がわかりません。
log[2]9=log[2](3^2)=2log[2]3
(教科書で対数の基本公式をもう一度見直しましょう。)

>>あと、一番～
例えばlog[4]3の底を2に変換したいのであれば
底の変換公式においてa=4,b=3
(つまり公式の左辺がlog[4]3)
cが変換後の底、つまりc=2
ですので
log[4]3=(log[2]3)/(log[2]4)
となります。

No.28598 - 2014/08/28(Thu) 18:49:23

☆ Re: 底の変換公式を使った対数 / ファッ!?

自己解決しました。ありがとうございます。

No.28606 - 2014/08/28(Thu) 19:56:53

★ 一次不等式利用 / すもも

この問題の解き方を教えて下さい。

No.28586 - 2014/08/28(Thu) 16:16:17

☆ Re: 一次不等式利用 / ヨッシー

仕入れる個数をｘとすると、
　仕入れ値　２５０ｘ
　売り値　　４００（ｘ－３０）
この差が１００００以上なので、
　４００（ｘ－３０）－２５０ｘ≧１００００
これを解きます。

No.28587 - 2014/08/28(Thu) 16:55:40

☆ Re: 一次不等式利用 / すもも

回答ありがとうございました。
とても助かりました。

No.28591 - 2014/08/28(Thu) 17:42:57

★ 対数 / ファッ!?

log1/3√243の値を求めよ

＝log1/3(1/3)^-5/2

√243が3^5で(1/3)^-5だから、log1/3(1/3)^-5/2の分母の2は何でしょうか?

1/(3√3)^3/2＝1/√3

となるのは何故ですか?3√3の部分は左側は小さい3で、書き方が解らないのでこのまま書きました。

No.28583 - 2014/08/28(Thu) 12:47:22

☆ Re: 対数 / ファッ!?

すいませんあと10√10が10^3/2になるのもよくわかりません

No.28584 - 2014/08/28(Thu) 13:33:34

☆ Re: 対数 / らすかる

log1/3√243 というのは
(log1)/(3√243) か
{(log1)/3}(√243) のどちらかの意味であり
log1=0ですから
どちらであっても0です。

その他もカッコを付けないと式がよくわかりません。
1/(3√3)^3/2 というのは
{1/(3√3)^3}/2 と解釈されます。
もし「2分の3乗」にしたいのなら
1/(3√3)^(3/2) のようにカッコを付ける必要があります。
また「3√3」は3×√3という意味になってしまいます。

もし問題が
log[1/3]√243（1/3が底）
ならば
log[1/3]√243
=log[1/3]243^(1/2)
=log[1/3](3^5)^(1/2)
=log[1/3]3^{5×(1/2)}
=log[1/3]3^(5/2)
=log[1/3](1/3)^(-5/2)
=-5/2
となります。

その次がもし
1/([3]√3)^(3/2)
ならば
1/([3]√3)^(3/2)
=1/([3]√3)^(3×1/2)
=1/{([3]√3)^3}^(1/2)
=1/3^(1/2)
=1/√3
となります。

最後は
10√10
=10×√10
=10×10^(1/2)
=10^1×10^(1/2)
=10^(1+1/2)
=10^(3/2)
です。

指数法則の公式を復習しましょう。

No.28585 - 2014/08/28(Thu) 14:13:00

☆ Re: 対数 / ファッ!?

はい

No.28590 - 2014/08/28(Thu) 17:40:30

★ (No Subject) / yukichi

自作問題
数列an=n(nは自然数）がある
例えばｎ＝５のとき{an}:1,2,3,4,5であるが、そのときのちょうど真ん中の値（右から数えても左から数えても同じ順番の数）が３と答えることにする。

ｎ＝６のとき１，２，３，４，５，６だが、このときのちょうど真ん中の値は「３と４」と答えることにする。

このとき
ｎ＝１２３４５６７８９０のときの真ん中の値
ｎ＝９７５９３２８７４５のときの真ん中の値を途中の計算式や考え方を省略せずに求めよ。

よろしくおねがいします

No.28581 - 2014/08/27(Wed) 18:27:39

☆ Re: / ヨッシー

1234567890÷2＝617283945 で、1234567890 は偶数なので、
答え：617283945と617283946

(9759328745＋1)÷2＝4879664373
答え：4879664373

No.28582 - 2014/08/27(Wed) 18:40:39

☆ Re: / yukichi

ありがとうございます。

一の位が奇数のときは１を加えて二で割るんですね、予想だにしなかった解法でした。ありがとうございます

No.28600 - 2014/08/28(Thu) 19:16:09

★ 中央値 / yukichi

度数が多い場合や、度数がｎ（文字）のときの中央値の求め方を教えてください。

度数５程度なら１２３４５と書いて見た目で中央値は３番目の数
度数６程度なら１２３４５６で３と４が真ん中にあるのでそれぞれのデータの半分の値が中央値とはわかりますが。

よろしくおねがいします

No.28577 - 2014/08/27(Wed) 11:27:23

☆ Re: 中央値 / ヨッシー

それ以上のことはないと思います。

そういう問題があるのですか？

No.28578 - 2014/08/27(Wed) 11:47:24

☆ Re: 中央値 / yukichi

回答ありがとうございます。

度数分布表から中央値を求めよとかいう問題は定番かと思いますが回答ありがとうございました。

No.28580 - 2014/08/27(Wed) 17:45:22

★ (No Subject) / ruya

ア:3
イ:7
ウ:2
(1)までわかりました！
(2)の解き方がわかりません、、、。
途中式をおしえてください！おねがいします！

No.28573 - 2014/08/26(Tue) 17:53:35

☆ Re: / 農場長

αは2x^2-6x+1=0の解ですから、代入しても式が成り立ちます。
つまりは、2α^2-6α+1=0です。
ここから、エへの続きが思いつきませんか？

ちなみに、オは2α^2+1をα+1/2αにするために
左辺どうしをいくつで割っていると考えられますか？
これがヒントになると思います。

No.28574 - 2014/08/26(Tue) 19:23:47

☆ Re: / ruya

とけましたー！！
ありがとうございましたm(__)m

No.28579 - 2014/08/27(Wed) 17:42:29

★ かな50音表と数字の関連性問題 / フレイ

答えを知りたいので教えて貰えないでしょうか。

画像の50音表が有りますが、お～をの下に
逆からのあ～わ行の50音とする表がもう１つあると定義します。

一段目の50音を上、二段目を下として問題に解答してください。

(1) 上の段の、『か』を数字の2、『の』を数字の1としたとき、『ほ』は数字でいくつになるか。

(2)上の段の、『そ』、『と』の和は1になる。
下の段の『そ』、『と』の和は0.618であるが、同じ数字になるのはどれか。

(3)全ての『い』、『う』、『え』の和を、計算式、その根拠とともに示せ

(4)下の段の『い』、『ふ』、『わ』の積を計算式とともに示せ。ただし、『い』はあ行のものである。

No.28568 - 2014/08/26(Tue) 13:24:06

☆ Re: かな50音表と数字の関連性問題 / らすかる

他に条件が何もないとしたら、ものすごくいいかげんな問題ですね。
クイズではないんですよね？
出典はどちらですか？
(1) 例えば赤が2、緑が1と考えられる。その考え方によれば、『ほ』は1。
(2) 例えば上の段の赤と緑の和は1、下の段の赤と緑の和は0.618と考えられるから、
下の段の赤の文字と緑の文字を適当に選べば和は0.618になる。
(3) 何も条件がないので好き勝手に決められる。
例えば全部の文字を0とすれば、0+0+0+0+0+0+0+0=0。
(4) 何も条件がないので好き勝手に決められる。
例えば全部の文字を0とすれば、0×0×0=0。

No.28570 - 2014/08/26(Tue) 14:28:04

★ 三角関数　図形への応用です / クーン

点Pは円x^2＋y^2＝4の第一象限を動く点であり、点Qは円x^2＋y^2＝16上の第二象限を動く点である。ただし、原点0に対して常に∠POQ＝90度であるとする。また、点PからX軸に垂直PHを下ろし、点Qからx軸に垂直QKをおろす。更に、∠POH＝θとする。この時、三角形QKHの面積Sはtanθ＝○○の時、最大値○○をとる

という問題で、Sの面積が2{√5sin(2θ＋α)＋1}

となるところまでは解るのですが、これ以降の解説の意味がわかりません。解説では、

ただし、αはsinα＝1/√5、cosα＝2/√5、0°<α<90°をみたす角

と書いてあります。まず、ここで何故αの角度がこのようになるのかが全くわかりません。ちなみにこれに関して、αは具体的な角としてあらわすことはできない、と書かれているだけです。このαの数値の根拠がわからないのが一つ。

次に、0°<θ<90°から(０°<)α<2θ＋α<180°＋α(270°)

と書かれています。これも一体何なのか、どうしてこの範囲が出たのかが解説をみても全く根拠が記されていないので解りません。

どういうことなのか教えて下さい!

No.28567 - 2014/08/26(Tue) 13:13:56

☆ Re: 三角関数　図形への応用です / クーン

一つ思ったのは、y＝1/2sinθのグラフは、y＝sinθのグラフをy軸方向に1/2倍に縮小したもの、という公式があるのですが、これを応用して出したのでしょうか?

No.28571 - 2014/08/26(Tue) 16:13:28

☆ Re: 三角関数　図形への応用です / らすかる

Sの面積が2{√5sin(2θ＋α)＋1}までわかるということは
この式の意味がわかる、すなわちαの意味もわかるということになりますので、
αの意味がわからないのでしたら
それより前までしか理解できていないということですよね。
きちんと理解できた最後の式はどうなっていますか？

No.28572 - 2014/08/26(Tue) 17:15:04

★ (No Subject) / 問題は画像です。

こちらの問題の解答を途中式も含めて教えてください。
よろしくお願いします。

No.28566 - 2014/08/26(Tue) 00:36:51

☆ Re: / X

(1)
条件から
C(OAcosθ,OAsinθ)
D(OBcosθ,OBsinθ)
∴
C(cosθ,sinθ)
D(2cosθ,2sinθ)
一方、線分CDの傾きは
tanθ
以上からl,mの方程式はそれぞれ
y=-(x-cosθ)/tanθ+sinθ
y=-(x-2cosθ)/tanθ+2sinθ
それぞれ整理して
y=-x/tanθ+1/sinθ
y=-x/tanθ+2/sinθ

(2)
l,mとx軸の交点をE,Fとすると
(1)の結果から
E(1/cosθ,0),F(2/cosθ,0)
一方、l,mと直線y=xとの交点を
H,Gとすると(1)の結果により
G(2/(sinθ+cosθ),2/(sinθ+cosθ))
H(1/(sinθ+cosθ),1/(sinθ+cosθ))
問題の面積をf(θ)とし
l//m
に注意すると
f(θ)=(台形EFGHの面積) (∵)図を描きましょう)
=(△OFGの面積)-(△OEHの面積)
=(1/2)OF・OGsin∠FOG-(1/2)OE・OHsin∠EOH
=(1/2)OF・OGsin(π/4)-(1/2)OE・OHsin(π/4)
=1/{2(sinθ+cosθ)cosθ}
=1/(sin2θ+1+cos2θ)
=1/{(√2)sin(2θ+π/4)+1}
ここで
0＜θ＜π/2
より
π/4＜2θ+π/4＜5π/4 (A)
∴f(θ)が最小となるときのθについて
sin(2θ+π/4)=1 (B)
(A)に注意して(B)を解いて
θ=π/8

No.28596 - 2014/08/28(Thu) 18:44:27

☆ Re: / 問題は画像です。

ありがとうございます。助かりました。

No.28610 - 2014/08/28(Thu) 23:35:16

★ (No Subject) / 問題は画像です。

こちらの問題の解答を途中式も含めて教えてください。よろしくお願いします。

No.28565 - 2014/08/26(Tue) 00:36:28

☆ Re: / X

(1)
条件から
p[1]=1/{(a+2)+1}=1/(a+3) (A)
p[2]=(1-p[1])・{1/(a+1)}
=(a+2)/{(a+1)(a+3)}

(2)
p[2]の計算過程と同様にして
p[n+1]={1-p[n]}{1/(a+1)}
これを{p[n]}の漸化式と見て(A)の元で解きます。

No.28611 - 2014/08/28(Thu) 23:56:48

★ (No Subject) / わー

PR66青線のところがよくわかりません。解説お願いします

No.28564 - 2014/08/25(Mon) 23:53:37

☆ Re: / angel

単純な話として、「y軸」という直線は 2点 (0,0,0), (0,1,0) を含みます。
前者の点を基準とした後者の点の位置ベクトルは (0,1,0) ですね。これがそのまま「方向ベクトル」になります。
直線上のどの2点をとっても同じで、(0,1,0) の実数倍のベクトルがでてきます。( それが「直線」という図形の性質 )

No.28576 - 2014/08/26(Tue) 20:39:35

★ 高1 / nnnam

(2)(3)の途中式と空欄の答えを教えてください！

No.28557 - 2014/08/25(Mon) 21:17:20

☆ Re: 高1 / 農場長

(2)　判別式　D=(2a-1)^2-4(a-1)(a-2)より、
D<0,D=0,D>0のそれぞれの場合について考えればよい。
D<0のとき、8a-7<0　→　a<7/8
D=0のとき、8a-7=0　→　a=7/8

D>0のとき、8a-7>0　→　a>7/8
ただし、x^2の係数≠0なので、a≠1
これより、7/8<a<1,1<a

(3)　(2)の結果から、a=7/8を代入して頑張りましょう

No.28561 - 2014/08/25(Mon) 23:04:06

☆ Re: 高1 / nnnam

ありがとうございます！！！！m(__)m
解けましたー！

No.28563 - 2014/08/25(Mon) 23:27:10