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★ 数列の極限の問題 / riko
連投すみません。
数列、x(n)、y(n)において、y(n)は+∞に発散する増加数列である。lim_[n→∞] ( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1))=αならば、lim_[n→∞] x(n) / y(n)=αであることを証明せよ。
という問題の解答が途中で終わってしまっていてわからないので質問させてください。

∀ε>0, ∃m: n>m→a-ε<( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1) )<a+ε
y(n)-y(n-1)>0だから、
(a-ε)( y(n)-y(n-1) )< x(n)-x(n-1) <(a+ε)( y(n)-y(n-1) )
これにm+1, m+2,…wを加えると
(a-ε)( y(n)-y(m) )< x(n)-x(m) <(a+ε)( y(n)-y(m) )
y(m)→∞でy(n)>0と考えてよいから
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )
が得られる。以下略す。
となっています。最後の式から、a-ε< x(n)/y(n)<a+εはどうやって得られるのですか？

お願いします。
No.29337 - 2014/10/17(Fri) 16:31:54
☆ 訂正 / riko
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )
は
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
でした。
失礼しました。
No.29352 - 2014/10/18(Sat) 19:09:11
☆ Re: 数列の極限の問題 / 黄桃
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(m) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
は
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(n) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
の間違いですね(y(n)で割って、x(m)/y(n)を移項したのだから）。

結論からいえば、
(a-ε)+( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(n)< x(n)/y(n) <(a+ε)+( x(m)-(a+ε)y(m) )/y(n)
から
a-ε< x(n)/y(n)<a+ε
はでません。出るのは lim[n→∞] x(n)/y(n)=a です。

No.29336のスレッドの理解をみると、説明してもわかってもらえない気がしますが、一応以下に書いておきます。

極限の扱いに慣れていれば、m→∞として挟み撃ち、です。
ただ、lim x(n)/y(n)が存在するとは仮定されてないので、
limsup x(n)/y(n)=liminf x(n)/y(n)=a を経由して示します。

挟み撃ちの原理の証明ができてない初心者のうちは、次のようにします。
a(k)=( x(m)-(a-ε)y(m) )/y(m+k), b(k)=x(m+k)/y(m+k) とおけば(n=m+k)、
a(k)→0 より、n>N ⇒ |a(k)|<ε/2 となるNがとれます。
このとき、
(a-ε)-ε/2<(a-ε)+a(k)<b(k)=x(m+k)/y(m+k)<(a+ε)+a(k)<a+ε+ε/2
つまり、M=N+m とすれば　
n>M ならば a-3ε/2<x(n)/y(n)<a+3ε/2
となるようなMがとれることがわかりました。
∀ε>0 ∃M n>M ⇒ a-3ε/2<x(n)/y(n)<a+3ε/2
ですから x(n)/y(n)はaに収束します。

＃(3/2)εが気にいらないのであれば、最初の
＃∀ε>0, ∃m: n>m→a-ε<( x(n)-x(n-1) / ( y(n)-y(n-1) )<a+ε
＃でεをε/2 にしておけば結論の式がεになります。

＃＃一般に、bを任意の正の数とする時
＃＃「∀ε>0 ∃N n>N ⇒ a-ε<x(n)/y(n)<a+ε」と
＃＃「∀ε>0 ∃N n>N ⇒ a-bε<x(n)/y(n)<a+bε」とは同値です。
No.29359 - 2014/10/19(Sun) 09:26:54
☆ Re: 数列の極限の問題 / riko
ありがとうございます。とてもわかりやすかったです。

>n=m+k
>M=N+m
これ、全然思いつきませんでした。

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=29295
の質問の黄桃さんの回答を見て背理法を考えなおしてみました。
お手数ですが、迷惑でなければ見ていただけないでしょうか。
おねがいします。
No.29364 - 2014/10/19(Sun) 14:34:28
☆ Re: 数列の極限の問題 / 黄桃
>>n=m+k
>>M=N+m
>これ、全然思いつきませんでした。

全然本質的ではないです。x(n)/y(n)が定義されるように y(n)≠0 を仮定したかっただけです（本来は問題文にy(n)>0とか書いておく方が親切だと思います）。

背理法の部分は気づきませんでした。さっきフォローしておきましたので、参考にしてください。
No.29373 - 2014/10/19(Sun) 18:44:37
☆ Re: 数列の極限の問題 / riko
お返事ありがとうございます。
背理法のほうもわかりやすい解説ありがとうございます。
背理法のレス付けさせていただきました。
No.29376 - 2014/10/19(Sun) 19:30:41
★ 数列と極限の符号 / riko
lim_[n→∞] x(n)=aでaは0でない。このとき、適当な番号mを決めると、n>mのすべてのnについて、x(n)はaと同符号であることを証明せよ。
と言う問題の答えにわからないことがあったので質問させてください。

答えは、
a>0とする。
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε、だから、a-ε<x(n)<a+ε
ε>0は任意だから、たとえばε=a/2とすれば　　　　　　　　（←ここがわかりませんでした）
a-a/2<x(n)<a+a/2
だから、0<a-a/2<x(n)<a+a/2。a<0も同様。εはa/3やaでもよい。
でした。

ε>0は任意（すべて）なのに、ε=a/2としてよいのでしょうか？εをa/3やa/2やaにすれば、0<x(n)となるのはわかります。
ε>0は任意（すべて）なのだから、εが4a/3や3a/2や2aの可能性があると考えました。
こういう可能性があるのに、0<x(n)と結論づけてもよいのでしょうか？

お願いします。
No.29336 - 2014/10/17(Fri) 16:30:29
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
必要条件と十分条件に対する認識が浅い人が陥りやすい話ですが, lim_[n→∞] x(n)=a であるために「任意の ε>0 で〜が成り立つ」 ***必要*** がありますから, そのために「(何でもいいから) 特定の ε (ここでは ε=a/2) で〜が成り立つ」***必要*** があります. いま lim_[n→∞] x(n)=a は成立しているので, どの特定の ε (とくに ε = a/2) に対しても条件が成立しています.

一方, 「x(n)はaと同符号であること」を言うには何でもいいからひとつ特定の ε (ここでは ε=a/2) で条件が成立していれば ***十分*** であるというのが解答に書かれていることです. (だから, 「εはa/3やaでもよい。」)
No.29341 - 2014/10/17(Fri) 17:34:09
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
たくさんの質問なのにお返事ありがとうございます。

この理解で正しいですか？
a>0とする。
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε
から、｜x(n) -a｜<εは∀ε>0, ∃m: n>mの必要条件。つまり、｜x(n) -a｜<εのεはa>0であり∀ε>0, ∃m: n>mのための候補。
lim_[n→∞] x(n)=a>0を得るための候補を絞り込む条件がa≧ε。
だから、
lim_[n→∞] x(n)=a>0←→∀a≧ε>0, ∃m: n>m←→a≧εかつ｜x(n) -a｜<ε

そう考えると
数列a(n)がa収束する定義
正の任意のεに対して、ある自然数mが存在してmより大きいnについて｜a(n)-α｜<ε
が
∀ε>0, ∃m: n>m→｜x(n) -a｜<ε
となり→が出てくるのでしょうか？
No.29351 - 2014/10/18(Sat) 19:06:55
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
意味不明です.
No.29355 - 2014/10/18(Sat) 21:17:27
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
とんちんかんなこと書いてしまいました。
astさんの回答をよく読み直し
a-εはε>0によってプラスにもマイナスにもなる。
a>0, a-ε<x(n)
が、すべてのε>0について成立するためには0<x(n)でなければならない。
このことを示すためには、ε=a/2の時を示せば十分。
と、考えました。
この理解はどうでしょうか？
No.29365 - 2014/10/19(Sun) 14:49:54
☆ Re: 数列と極限の符号 / ast
何がしたいのかさっぱりわかりません.

> a>0, a-ε<x(n)
> が、すべてのε>0について成立する
必要は全くありません (成立が要求されるとしたら (適当な m に対する) n > m なる全ての n についてでしょう) し, その
> ことを示すためには、ε=a/2の時を示せば十分
でも全くありません.

私は No.29341 で
> lim_[n→∞] x(n)=a であるために〜***必要***
および
> 「x(n)はaと同符号であること」を言うに〜***十分***
と言っています. 必要条件とか十分条件とか言うときには, それが***何となるために***必要/十分なのかという部分をいい加減に扱うべきではありません. 結局のところ本問では
　[lim_[n→∞] x(n)=a(>0)]⇒P⇒[x(n)はaと同符号(>0)である]
となる命題P(のひとつ)が
　P: ∃m s.t. n > m → ｜x(n)-a｜< a/2 (すなわち, a-a/2 < x(n) < a+a/2)
で与えられるという話をしています.
No.29366 - 2014/10/19(Sun) 15:47:29
☆ Re: 数列と極限の符号 / riko
お返事ありがとうございます。
もっと、考え直してみます。
No.29370 - 2014/10/19(Sun) 17:47:29
★ 収束する数列が有界？ / riko
収束する数列が有界であることを証明せよという問題で疑問が出たので質問させてください。

この証明は

数列a(n)がαに収束する定義は正の任意のεに対して、ある自然数Nが存在してN以上のnについて｜a(n)-α｜<ε
である。このことから、a(N+1)以降は(α-ε,α-ε)にある。
だからa(1)からa(N)とα-ε,α-εから、最大最小を選べば有界となることがわかる。

とありました。

ここで疑問に思ったのが、答えにはa(1)からa(N)でどれかが無限大になるようなケースが排除されていません。
a(1)からa(N)でどれかが無限大になるようなら、収束とは言わない、ということになれば、この問題の答えは収束の定義より収束する数列は発散しないから、有界が答えとなるのではと思ってしまいました。
このことはどのように考えたらよいのでしょうか？

解説をお願いします。
No.29329 - 2014/10/16(Thu) 19:29:20
☆ Re: 収束する数列が有界？ / ast
文脈上, 単に数列といっているものは厳密には「実数列」(= 自然数の集合上で定義される実数値の函数) ではありませんか. もしそうならば
> a(1)からa(N)でどれかが無限大になるようなら、収束とは言わない、
という以前に, どれかが無限大であるようならそもそも実数列ではありません.
No.29330 - 2014/10/16(Thu) 19:58:34
☆ Re: 収束する数列が有界？ / riko
> 文脈上, 単に数列といっているものは厳密には「実数列」(= 自然数の集合上で定義される実数値の函数) ではありませんか.
イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書 20) 田島 一郎
解析入門 (岩波全書 325) 田島 一郎
を読んでいるのですが、実数の世界でとあったのできっとそうだと思います。

> どれかが無限大であるようならそもそも実数列ではありません.
例えば、a(n)=1/(n-5)は、n=5に近づくとa(n)は発散しマイナス無限大に近づき、さらにnが大きくなるとa(n)は0に近づきます。
これは発散？収束？どう理解したらよいのでしょうか？
No.29335 - 2014/10/17(Fri) 16:28:58
☆ Re: 収束する数列が有界？ / ast
単純に実数列 a(n)=1/(n-5)はそもそも n=5 で定義されていません (ので無視して a(5) は飛ばします).
また数列の極限 (収束/発散) は n が十分大きいところでどのような挙動をとるかという話なので, 「n=5 に近づく」という文自体が意味を成しませんし, 有限個の例外 (とくに最初の有限個の項, つまりいわゆる ε-N でとった N より前の項) を取り除いても結論に影響しません (というか, 結論が変わるなら数列の極限という概念が ill-defined ということになってしまう).
No.29339 - 2014/10/17(Fri) 17:18:51
☆ Re: 収束する数列が有界？ / riko
>単純に実数列 a(n)=1/(n-5)はそもそも n=5 で定義されていません
そうでした。分母0は定義できないですね。失礼しました。

>また数列の極限 (収束/発散) は n が十分大きいところでどのような挙動をとるかという話
挙動、このワードで何かクリアーになった気がします。収束なら、極限値になるかもしれないし、近づくだけかもしれないという理解で大丈夫ですか？

>無限大であるようならそもそも実数列ではありません.
たとえば、数列は１京の１京乗やマイナス１京の１京乗であっても実数であるから有限個のなかにはかならず最大最小をもつ。
無限大は数ではなく、とんでもなく大きくなり続ける状態。
と言う理解で大丈夫ですか？
No.29350 - 2014/10/18(Sat) 19:05:33
★ 現在高３です。 / ringo
学校で出された問題がわかりません。
来週の黒板で答えなければならないので、何とかしたいのですが、良い方針が立ちません。

（問）
領域Dを、原点を中心とする単位円の周および内部とする．
また、f(x)=ax+bとし、点A(1，1)を通る傾きm，f(m)の直線をM，Nとする．
bの値をうまくとれば，全ての実数mに対して，以下の条件を満たす線分Lが存在するという．
このとき，aの値の範囲を求めよ。

条件：
・Lは領域Dに含まれる
・Lの長さは√2 である
・Lを直線Mに関して対称移動した後、さらに直線Nに関して対象移動した線分は，再び領域Dに含まれる

・・・・・

線分Ｌの両端を(s,t) (u,v) とし、
s^2+t^2≦1　u^2+v^2≦1　(s-u)^2+(t-v)^2≦2　を満たしている。

M： y=m(x-1)+1
N： y=(am+b)(x-1)+1
に関する対象移動をf,gとすると、

対象移動後の点(g(f(s)),g(f(t))),(g(f(u)),g(f(v)))が

g(f(s))^2+g(f(t))^2≦1　g(f(u))^2+g(f(v))^2≦1　(g(f(s))-g(f(u)))^2+(g(f(t))-g(f(v)))^2≦2

を満たすようなｍ,ｂが存在するようなaの範囲・・・と考えてみたのですが、

式があまりにも複雑でｍ,ｂの存在条件に帰着できませんでした。

方針がいけないのでしょうか？

また、この問題は大学入試としてはどれぐらいのレベルなのでしょうか？
No.29327 - 2014/10/16(Thu) 19:01:10
☆ Re: 現在高３です。 / ヨッシー
まずは、
(s-u)^2+(t-v)^2≦2 ではなく (s-u)^2+(t-v)^2＝2 ですね。

それはともかく、発想を逆転してみましょう。

図の上の列のように、線分ＬをＭに対称→Ｎに対称と動かす代わりに
下の列のように、円と直線ＮをＭに対して対称移動し、直線Ｎの移動先をＮ’とする。
移動先の円を直線Ｎ’に対して対称移動する。
としても、移動後の円と線分Ｌとの相対的な位置関係は変わりません。
これを利用すると、元々の円の中心(０，０）が２回の移動によって、
円x^2＋y^2＝1 の円の内部または周上に移ってきたら、
両円の重なった部分に長さ√２の線分を取ることが出来ます。
この方法でやってみてはどうでしょうか？

入試レベルとしては何とも言えませんが、一般の国立大よりは
上だと思います。
No.29334 - 2014/10/17(Fri) 09:03:10
☆ Re: 現在高３です。 / ringo
返信遅れて申し訳ありません。
ご丁寧に図までありがとございます！！

無事、解けました。
ありがとうございました！
No.29402 - 2014/10/22(Wed) 14:27:05
★ (No Subject) / アカシロトモ
次の問題の（2）を教えてください。
（1）は、授業で加法定理を用いた解法の説明があり、
（1）を利用して（2）を解くことが課題です。
よろしくお願いします


（1）0＜𝒙＜π、0＜𝒚＜πのとき、
sin（𝒙+𝒚）＜ sin𝒙+sin𝒚 が成立することを証明せよ
（2）𝒙＞0、 𝒚＞0、 𝒛＞0　、𝒙+𝒚+𝒛＜πのとき、
sin(𝒙+𝒚+𝒛）＜ sin𝒙+sin𝒚+sin𝒛
が成立することを証明せよ
No.29315 - 2014/10/16(Thu) 15:28:08
☆ Re: / X
(1)(2)共に問題文になっていません。
問題文は正確にアップして下さい。
No.29317 - 2014/10/16(Thu) 16:52:21
☆ Re: / アカシロトモ
X さん　ご返信ありがとうございます。
問題文の件ですが、プリントの文をそのまま載せています。
再度確認しました。省略しておりません。先生の作られた問題かもしれません。よく作問され、解き方の指示まで細かくされる先生です。
私の学力では、どこが不適切なのかさえ分かりません。申し訳ありません。
No.29318 - 2014/10/16(Thu) 17:01:17
☆ Re: / ヨッシー
なんか、おかしな文字が使われてますね。
（1）0＜ｘ＜π、0＜ｙ＜πのとき、
sin（ｘ＋ｙ）＜ sinｘ+sinｙ が成立することを証明せよ
（2）ｘ＞0、 ｙ＞0、 ｚ＞0　、ｘ＋ｙ＋ｚ＜πのとき、
sin(ｘ＋ｙ＋ｚ）＜ sinｘ+sinｙ+sinｚ
が成立することを証明せよ
と書かれています。

(1) はヒントの通り、加法定理で展開し、
　sinｘ＞０　sinｙ＞０ であることと、それらに掛けられている
値の大小を調べます。
この項は sinｘより小さい、この項は sinｙ より小さい
という具合です。
(2) もヒントの通り (1) を使って、
　sin(ｘ＋ｙ＋ｚ)＜sin(ｘ＋ｙ)＋sinｚ
から始まる式変形をします。
No.29319 - 2014/10/16(Thu) 17:07:26
☆ Re: / ヨッシー
蛇足ですが、人によっては、

（1）0＜□＜π、0＜□＜πのとき、
sin（□+□）＜ sin□+sin□ が成立することを証明せよ

とか

（1）0＜＆#119961;＜π、0＜＆#119962;＜πのとき、
sin（＆#119961;+＆#119962;）＜ sin＆#119961;+sin＆#119962; が成立することを証明せよ

とか

（1）0＜　＜π、0＜　＜πのとき、
sin（　+　）＜ sin　+sin　 が成立することを証明せよ

と見えているかもしれません。
No.29320 - 2014/10/16(Thu) 17:11:35
☆ Re: / アカシロトモ
ヨッシー　さん　教えていただいてありがとうございます。
wordの文をそのまま張りつけてはいけなかったのですね。
文字化けして見えるのですね。私のPCでは、きちんと表示されていたのでご指摘いただかなければわかりませんでした。
再度、直接入力した問題文が次の通りです。
大変ご迷惑おかけいたしました。

（1）0 < x < π、0 < y < πのとき、
sin(x+y) < sinx + siny が成立することを証明せよ
（2）x > 0 , y > 0 , z > 0 , x + y + z < π　のとき
sin(x+y+z) < sinx + siny + sinz　 が成立することを証明せよ
No.29322 - 2014/10/16(Thu) 17:24:07
☆ Re: / ヨッシー
上の記事で、回答もしてありますので、見て下さいね。
No.29323 - 2014/10/16(Thu) 17:33:16
☆ Re: / アカシロトモ
ヨッシーさん　ありがとうございます。
今から、できるかどうかわかりませんが、がんばって解いてみたいと思います。
No.29324 - 2014/10/16(Thu) 17:40:54
☆ Re: / アカシロトモ
X さん
前回も大変お世話になっていながら、こちらの不手際で大変ご迷惑おかけいたしました。本当に申し訳ありませんでした。
No.29325 - 2014/10/16(Thu) 17:42:59
☆ Re: / アカシロトモ
ヨッシーさん

なんとかできました。このたびは、大変お世話になりました。ありがとうございました。
No.29328 - 2014/10/16(Thu) 19:03:20
★ お願いします / mayu
√((2400/0.8)^2-2400^2)=2400/0.8√(1-0.64)

参考書の問題で上の式がイコールに
なる過程がわかりません
教えてきださい
No.29308 - 2014/10/15(Wed) 17:16:17
☆ Re: お願いします / X
√{(2400/0.8)^2-2400^2}=√{(1-0.8^2)(2400^2)/0.8^2}
=(2400/0.8)√(1-0.64)
となります。
No.29309 - 2014/10/15(Wed) 17:31:26
☆ (No Subject) / mayu
ありがとうございます
(1-0.8^2)にどうしてなるんですか？

数学が苦手なのでお願いします
No.29314 - 2014/10/16(Thu) 10:21:42
☆ Re: お願いします / X
(2400/0.8)^2-2400^2=(2400^2)/0.8^2-2400^2 (A)
=(1/0.8^2-1)×2400^2 (A)'

ここからですが通分をして
(A)'={(1-0.8^2)/0.8^2}×2400^2
=(1-0.8^2)×(2400^2)/0.8^2
としてもいいですし、或いは1/0.8^2をくくりだして
(A)'={1-1/(1/0.8^2)}(1/0.8^2)×2400^2
=(1-0.8^2)×(2400^2)/0.8^2
と計算してもいいでしょう。
或いは(A)から(2400^2)/0.8^2をくくりだして
(A)={1-(2400^2)/((2400^2)/0.8^2)}×{(2400^2)/0.8^2}
=(1-0.8^2)×{(2400^2)/0.8^2}
という計算もできます。
No.29316 - 2014/10/16(Thu) 16:45:35
☆ (No Subject) / mayu
詳しくありがとうございます
納得できました

Xさんありがとうございました
No.29331 - 2014/10/16(Thu) 21:07:14
★ (No Subject) / sakana
a,b,cが正の整数で,
a/b+b/c+c/aとa/c+c/b+b/aがどちらも整数であるとき,a,b,cは全て等しいと言えるでしょうか？ずっと反例を探しているのですが,見つかりません.
No.29307 - 2014/10/15(Wed) 16:42:52
☆ Re: / IT
以前他のサイトで回答した下記問題と同値だと思います。

a,b,cを正の整数とする。aab+bbc+cca,abb+bcc+caaが共にabcの倍数のときa＝b＝cとなることを示せ
-------------------------------------------------------
まず見通しよくするため概要を説明すると

a,b,cを素数ｐについての指数の大きさ順に　大,中,小と書く
a,b,cが入れ替わっても
aab+bbc+cca、abb+bcc+caaは、
大大中+中中小+小小大…(1),大中中+中小小+小大大…(2)のパターン（順不同）となる

(2)において　大中中、小大大≧大中小で
　大中中+中小小+小大大がabcの倍数なので、中小小≧大中小
　よって大＝中＝小
注）大大中、小大大≧大中小 としたのは、ｐについての指数の大小関係です
-------------------------------------------------------
（証明）
a,b,cを素因数分解したときの
ある素数ｐについての指数をそれぞれp[a],p[b],p[c]として

aab+bbc+ccaがabcの倍数…(1)
abb+bcc+caaがabcの倍数…(2)

e=p[a]+p[b]+p[c]とおくと　abcはp^eの倍数

・p[a],p[b],p[c]の大きさの順番６通りについて考える

p[a]≧p[b]≧p[c]の場合
　abb,caaはp^eの倍数なので(2)よりbccはp^eの倍数
　よってp[b]+2p[c]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[a]≧p[c]≧p[b]の場合
　aab,ccaはp^eの倍数なので(1)よりbbcはp^eの倍数
　よって2p[b]+p[c]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[b]≧p[a]≧p[c]の場合
　aab,bbcはp^eの倍数なので(1)よりccaはp^eの倍数
　よって2p[c]+p[a]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[b]≧p[c]≧p[a]の場合
　abb,bccはp^eの倍数なので(2)よりcaaはp^eの倍数
　よってp[c]+2p[a]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[c]≧p[a]≧p[b]の場合
　bcc,caaはp^eの倍数なので(2)よりabbはp^eの倍数
　よってp[a]+2p[b]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

p[c]≧p[b]≧p[a]の場合
　bbc,ccaはp^eの倍数なので(1)よりaabはp^eの倍数
　よって2p[a]+p[b]≧p[a]+p[b]+p[c],よってp[a]＝p[b]＝p[c]

以上からa=b=c


#　場合分けをもっとスッキリ出来るかも知れません。
No.29311 - 2014/10/15(Wed) 18:55:33
☆ Re: / sakana
なるほど.各素数についての指数を見れば,a=b=cが示せるんですね.すっきりしました.ありがとうございます.

ちなみに,ITさんが以前回答されたというのは何という名前のサイトでしょうか？差し支えなければ教えて頂けると有り難いです.
No.29312 - 2014/10/15(Wed) 19:15:26
☆ Re: / IT
数学問題集「考える葦」　数学質問掲示板
http://www2.ezbbs.net/cgi/bbs?id=eijitkn&dd=34&p=52

ですが９月20日に回答したので消えてます。
No.29313 - 2014/10/15(Wed) 20:05:57
★ 数Bの問題です / パスカル
2つのベクトルa＝(2,1,3)とb＝(1,-1,0)の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ

という問題で、解説に求める単位ベクトルをeとしてe＝(x,y,z)とする、と書いてあるのですが、その後で、|e|＝1だから、と急に出てきます。何故、eの絶対値が1になるのでしょうか?教えてください
No.29303 - 2014/10/15(Wed) 12:02:59
☆ Re: 数Bの問題です / deep make
>何故、eの絶対値が1になるのでしょうか?

？？？
単位ベクトルeとは|e|＝1となるベクトルと定義されています.

つまり, e＝(x,y,z)と置くとき, x,y,z は,
2x＋y＋3z＝0, x−y＝0, x^2＋y^2＋z^2＝1 を
満たすことになります.
No.29304 - 2014/10/15(Wed) 12:05:38
☆ Re: 数Bの問題です / パスカル
あぁ、その公式忘れてましたすいませんw
No.29305 - 2014/10/15(Wed) 12:08:13
★ (No Subject) / さゆ
nを自然数とする。
等式sinX=e^x/n-1を満たす0以上の実数xの個数をPnで表す。このときlim(n→∞)Pn/nを求めよ。ただし、eは自然対数の底とする。


という問題で、まずe^x/n>1を解いてどこのx座標で交わらなくなるかを調べ、x≧nlog2となりました。
sinが周期関数なので0≦x≦2πにつき2個交点を持つことは分かり、nlog2が何周期目にあるのかを考えようとしたのですが、詰まってしまいました。
考え方がどうなのか、間違っていたらご指摘を、合っているならその後のヒントをいただきたいです。
わかりにくい日本語だと思いますが宜しくお願いします
No.29301 - 2014/10/15(Wed) 09:26:13
☆ Re: / らすかる
3πは3π÷2π=1余りπなので2周期目
99πは99π÷2π=49余りπなので50周期目
のようになりますので
nlog2は[nlog2/(2π)]+1周期目ですね。
No.29306 - 2014/10/15(Wed) 15:01:22
★ 因数分解 / マルカ
a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2a^2b^2-2b^2a^2を因数分解せよ
答え　-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

色々試したのですが、答えにたどり着きません。
よろしくおねがいします。
No.29300 - 2014/10/15(Wed) 05:39:15
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2
=(a^2-b^2)^2+c^4-c^2(2a^2+2b^2)
これを、c の降順にして、Ｃ＝c^2 の２次式と見ると
(与式)＝Ｃ^2−(2a^2+2b^2)Ｃ＋(a+b)(a+b)(a-b)(a-b)
掛けて、(a+b)(a+b)(a-b)(a-b) 足して、−(2a^2+2b^2) と考えると、
　-(a+b)(a+b) と -(a-b)(a-b)
が見つかるので、
(与式)＝(Ｃ−(a+b)(a+b))(Ｃ−(a-b)(a-b))
　　＝(c^2-(a+b)^2)(c^2(-(a-b)^2)
となります。あとは、２乗−２乗の因数分解を行います。
No.29302 - 2014/10/15(Wed) 10:17:07
☆ Re: 因数分解 / マルカ
>(与式)＝Ｃ^2−(2a^2+2b^2)Ｃ＋(a+b)(a+b)(a-b)(a-b)
>掛けて、(a+b)(a+b)(a-b)(a-b) 足して、−(2a^2+2b^2)

ここにたどり着けませんでした。
目からうろこです。

どうもありがとうございました。
No.29310 - 2014/10/15(Wed) 18:49:13
★ (No Subject) / カズヤ
こんにちは。
台形の各辺の長さが分かってなくて、解けるのでしょうか。
ずっと頭を悩ませています。
よろしくお願いいたします。
No.29298 - 2014/10/15(Wed) 01:37:02
☆ Re: / らすかる
(1)はAD,BCの長さがわからないと解けないと思います。
(2)(3)はさらにABの長さも必要ですね。
問題不備だと思います。
No.29299 - 2014/10/15(Wed) 02:25:32
★ (No Subject) / よっちゃん
原点O,P(5/2,5/2,(5√10)/2)Q(0.5.0)、R(5,0,0)の4点全てを通る球の半径を求める問題で、
PQの中点MがちょうどRの真下にあることから、つまり
RMとOMが垂直であることから球の中心TはRM上にある、とあるのですが、なぜRMとOMが垂直だからといって球の中心TはRM上にあると言えるのか全く分かりません。教えてください。よろしくお願いします
No.29296 - 2014/10/14(Tue) 19:46:34
☆ Re: / らすかる
> 原点O,P(5/2,5/2,(5√10)/2)Q(0.5.0)、R(5,0,0)
ならば
> PQの中点MがちょうどRの真下にある
とはならないと思いますが、
「QRの中点MがちょうどPの真下にある」の間違いですか？
それとも座標が
「原点O,P(0,5,0),Q(5,0,0),R(5/2,5/2,(5√10)/2)」
の間違いですか？
No.29297 - 2014/10/14(Tue) 21:50:28
☆ Re: / よっちゃん
原点O,P(0,5,0),Q(5,0,0),R(5/2,5/2,(5√10)/2)の間違いでした！！
No.29332 - 2014/10/16(Thu) 22:00:50
☆ Re: / らすかる
球を平面z=0で切った断面の円周上にO,P,Qがありますが、
△OPQは∠Oが直角の直角三角形ですから、PQはその円の直径で
Mはその円の中心です。
従って平面z=0に垂直でPQを含む平面は、球をちょうど二等分する
平面ですから、その平面上でMの真上に球の中心があるということです。
No.29333 - 2014/10/16(Thu) 23:33:36
☆ Re: / よっちゃん
つまりベクトルOPとベクトルOQの内積＝０があって初めて言えることなので記事２９２９６の説明はそれに全く触れておらず間違いですよね？
No.29343 - 2014/10/17(Fri) 22:25:33
☆ Re: / らすかる
座標を見ただけで△OPQがOP=OQの直角二等辺三角形であることは明らか、
すなわちPQが△OPQの外接円の直径になることも明らかですので、
特に書かなくてもわかることであって少なくとも「間違い」ではないと思いますが、
OP⊥OQであることに言及していないことがどの程度の問題であるかは、
問題や解説（解答？）の全文がそのまま書かれていませんので、何とも言えません。
No.29347 - 2014/10/18(Sat) 00:50:22
★ 不定積分 / また
(e^x+e^(-x))^(-2)の不定積分を教えてください
よろしくお願いします。
No.29291 - 2014/10/13(Mon) 17:11:34
☆ Re: 不定積分 / X
∫{(e^x+e^(-x))^(-2)}dx=∫{(e^(2x))/(e^(2x)x+1)^2}dx
=-1/{2(e^(2x)x+1)}+C
(C：積分定数)
となります。
No.29292 - 2014/10/13(Mon) 17:55:32
★ (No Subject) / 教えてください
以前にも質問したのですが
No.29288 - 2014/10/13(Mon) 11:03:35
☆ Re: / 教えてください
この問題のクが図のようになることはどよのうにしてわかるのでしょうか？
No.29289 - 2014/10/13(Mon) 11:05:12
☆ Re: / ヨッシー
△ＡＢＣを底面、△ＤＥＦを上面としておいたとき、
二等分する面は、この２つの面に平行で、距離がちょうど
真ん中の位置にあります。

すると、例えば、その面と△ＡＣＤとの交線はＡＣと平行になりますし、
△ＣＤＦとの交線はＦＤと平行になります。
さらに、それぞれが各三角形の辺の中点を通るので、
図のような正六角形になります。
No.29290 - 2014/10/13(Mon) 15:01:32
★ 指数対数 / yuhka
f(x)=log[1/2](x-3)+log[1/2](x-4)+log[2]x
f(x)=0を変形するとx^2-(ア)+(イウ)=0だから解はx=(エ)
f(x)≧0となるxの範囲は(オ)<x≦(カ)

f(x)の置き換え方がわからないのでお願いします!
No.29286 - 2014/10/13(Mon) 07:34:45
☆ Re: 指数対数 / ヨッシー
log[1/2]Ｘ＝log[2]Ｘ/log[2](1/2)＝-log[2]Ｘ
同様に　log[2]Ｘ＝−log[1/2]Ｘ
であるので、底を1/2にそろえると、
　f(x)＝log[1/2](x-3)＋log[1/2](x-4)−log[1/2]x
　　　＝log[1/2]{(x-3)(x-4)/x}
f(x)＝０ とすると　(x-3)(x-4)/x＝1
(以下略)
です。
No.29287 - 2014/10/13(Mon) 09:14:10
★ (No Subject) / うしお
第1四分位数、第３四分位数をQ1,Q3とすると
四分位範囲＝Q3-Q１と習いましたつまり四分位範囲は範囲ではなく値のはずですよね。四分位範囲を求めよといわれたら何らかの値を出します。四分位偏差を求めよといわれたらそれを２で割った値が答えです。

四分位範囲にある人は○人か、という表現があったのですが、これって意味が分からなくないですか？（答えは度数が１４人なら半分の７人が答えとなっていますが）四分位範囲という言葉を文字通り範囲としてとらえちゃってますよね？
No.29283 - 2014/10/12(Sun) 22:12:53
☆ Re: / らすかる
「四分位範囲」にその両方の意味があるだけではないでしょうか。
「四分位範囲」で検索すると値と定義しているサイトが多数見つかりますが、
「四分位範囲に」で検索すると範囲の意味で使っているサイトが多数見つかります。
言葉の意味は唯一とは限りませんよね。
No.29284 - 2014/10/12(Sun) 23:59:12
★ 場合の数 / 零
こんにちは。

a,b,cの3種の文字を次の規則に従って左から右に一列に並べる。

1)左端の文字はaである。

2)aが連続することはない。すなわち、aの次にくる文字はbまたはcである。

3)bとcが隣り合うことはない。すなわち、bの次にくる文字はaまたはbであり、cの次にくる文字はaまたはcである。

問1 規則に従ってn個の文字を並べる並べ方の総数を求めよ。

問2 規則に従ってn個の文字を並べる並べ方のうち、右端がaであるような並べ方の場合の数を求めよ。
No.29281 - 2014/10/12(Sun) 14:23:41
☆ Re: 場合の数 / らすかる
答1
左の文字が何であっても次に置ける文字は2通りだから、2^(n-1)通り

答2
k番目がaである並べ方の数をa[k]とすると
a[1]=1, a[2]=0, a[k]=a[k-2]+2^(k-3)
この漸化式を解いて{2^(n-1)-2(-1)^n}/3通り
No.29282 - 2014/10/12(Sun) 15:33:12
☆ Re: 場合の数 / 零
遅くなってすみません。

問２なのですが、a[k]=a[k-2]+2^(k-3)はどうやって求めたのですか？
No.29380 - 2014/10/20(Mon) 01:24:45
☆ Re: 場合の数 / らすかる
k番目がaである並べ方を考えるにあたってk-2番目との関係を調べると
k-2番目がaのとき：最後の3文字はabaかacaの2通り
k-2番目がbのとき：最後の3文字はbcaのみ
k-2番目がcのとき：最後の3文字はcbaのみ
となりますが、
「最後の3文字がaba」と「最後の3文字がbca」と「最後の3文字がcba」を
合わせたものの個数は、2^(k-3)通りですね。
（つまりk-2文字の並べ方の最後がaならba、bならca、cならbaを付ければ
　最後がaであるk文字の並べ方になりますので、k-2文字の並べ方全体と同数です。）
そして余った「最後の3文字がaca」となる並べ方は、「k-2文字で最後がa」
と同数ですからa[k-2]通りです。
従ってa[k]=a[k-2]+2^(k-3)となります。
No.29419 - 2014/10/24(Fri) 00:02:20
★ 指数対数 / yuhka
f(x)=4log[4](1-x)-1,g(x)=log[2](x+3),h(x)=log[2](x+5)/2
(1)y=g(x)のグラフはy=f(x)のグラフをx軸方向に(ア)、y軸方向に(イ)平行移動したもの。
(2)3つの関数の大小関係を求める。
真数条件から(ウエ)<x<(オ)
f(x)=g(x)のときx=(カキ)、f(x)=g(x)のときx=(クケ)だから
(ウエ)<x<(クケ)のときと(クケ)<x<(オ)のときの大小関係は?

アからオは2、1、-3<x<1となりました。
(2)がわからないのでお願いします。
No.29280 - 2014/10/11(Sat) 17:25:11
☆ Re: 指数対数 / X
問題文にタイプミスはありませんか？
No.29285 - 2014/10/13(Mon) 07:13:23
☆ Re: 指数対数 / yuhka
すみませんご指摘ありがとうございます(>_<)
(1)はy=g(x)のグラフはy=h(x)のグラフを〜で、
(2)はf(x)=h(x)のときx=(クケ)です！
No.29293 - 2014/10/13(Mon) 22:59:33
☆ Re: 指数対数 / X
ア〜オはそれで問題ありません。
その後ですが
前半)
f(x)=g(x)のとき
4log[4](1-x)-1=log[2](x+3)
これより
2log[2](1-x)-1=log[2](x+3)
log[2]{(1/2)(1-x)^2}=log[2](x+3) (A)
(1/2)(1-x)^2=x+3
これを真数条件に注意して解くと
x=…
f(x)=h(x)のとき
log[2]{(1/2)(1-x)^2}=log[2]{(x+5)/2} (B)
(1/2)(1-x)^2=(x+5)/2
これを真数条件に注意して解くと
x=…
後半)
真数条件の範囲内で
y=(1/2)(1-x)^2
y=x+3
y=(x+5)/2
のグラフを描いてみましょう。
No.29294 - 2014/10/14(Tue) 12:19:42
★ 数列 / きゃず
こんばんは。

数列{a_n}の初項から第n項までの和をS_nと表すとき、すべての自然数nについて、4S_n=a_n+13・4^n-4が成立するとする。このとき、a_1=(1)であり、すべての自然数nについて、a_n+1=(2)が成立する。またb_n=a_n/4^nとおくと、b_n=(3)と表される。したがって、a_n=(4)となる。

(1)〜(4)を教えてください。よろしくお願いいたします。
No.29278 - 2014/10/10(Fri) 00:03:06
☆ Re: 数列 / deep make
(1)は, S_1＝a_1 よりn＝1を代入することで, 直ちに計算できる.

(2)は, すべての自然数nについて,
S_n+1−S_n＝a_n+1 となることを利用する.

(3)は, (2)の式に, a_n＝(4^n)b_n を代入して整理すれば,
b_n についての二項間漸化式が得られるので, そこから答えを得る.

(4)は, (3)の結果と, a_n＝(4^n)b_n から容易に計算できる.
No.29279 - 2014/10/10(Fri) 00:37:53
★ 高校数学 / なにか
直線上に　/_/　のようなひし形があり、
頂点を右下の頂点から反時計周りにA,B,C,Dと名付けます。
頂点Aを中心に直線の上で転がす(＝回転させる)とき、図形は頂点Aの外角の分だけ回転する。と習ったのですが、
これを証明する方法はありますか？教えてください。お願いします。
No.29273 - 2014/10/09(Thu) 22:25:12
☆ Re: 高校数学 / ヨッシー

１つの辺に注目して、その辺が何度回転するかを考えればいいと思います。
No.29275 - 2014/10/09(Thu) 22:49:04
全22786件 [ ページ : << 1 ... 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 ... 1140 >> ]