ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高1数学 / なっちゃん

1番と2番の解き方を教えて下さい。お願いします。

No.81976 - 2022/05/08(Sun) 21:10:16

☆ Re: 高1数学 / X

例えばAに行ったことのある人の人数を
N[A]
と表すことにします。

まずは前準備。
条件から
N[B∩C]=21 (A)
N[C∩A]=19 (B)
N[A∩B]=25 (C)
N[B∪C]=59 (D)
N[C∪A]=56 (E)
N[A∪B]=60 (F)
N[A∪B∪C]=68 (G)

(1)
(D)(E)(F)から
N[B]+N[C]-N[B∩C]=59
N[C]+N[A]-N[C∩A]=56
N[A]+N[B]-N[A∩B]=60
これらに(A)(B)(C)を代入すると
N[B]+N[C]=80 (D)'
N[C]+N[A]=75 (E)'
N[A]+N[B]=85 (F)'
(D)'(E)'(F)'をN[A],N[B],N[C]についての
連立方程式として解き
(N[A],N[B],N[C])=(40,45,35)
∴A,B,Cに行ったことのある人の人数はそれぞれ
40人、45人、35人
です。

(2)
N[A∪B∪C]=N[A]+N[B∪C]-N[A∩(B∪C)]
=N[A]+N[B∪C]-N[(A∩B)∪(C∩A)]
=N[A]+N[B∪C]-{N[A∩B]+N[C∩A]-N[A∩B∩C]}
∴
N[A∩B∩C]=N[A∪B∪C]+N[A∩B]+N[C∩A]-
-N[A]-N[B∪C]
これに(B)(C)(D)(G)と(1)の結果を代入すると
N[A∩B∩C]=68+25+19-40-59
=13
∴求める人数は13人です。

No.81977 - 2022/05/08(Sun) 21:45:10

☆ Re: 高1数学 / なっちゃん

ありがとうございます！

No.81978 - 2022/05/08(Sun) 22:06:30

★ (No Subject) / ぺんぺん

三角形と四角形が重なる部分の縦と横の辺の長さが毎回等しくなるのはなぜですか？
図形Kがどちらも直角二等辺三角形だったので三角形の相似などが関係して重なる部分が直角二等辺三角形になるのかなと思ったのですが、相似は関係ないのでしょうか？

No.81971 - 2022/05/08(Sun) 14:54:00

☆ Re: / ぺんぺん

2枚目です。

No.81972 - 2022/05/08(Sun) 14:54:37

☆ Re: / ぺんぺん

3枚目です。

No.81973 - 2022/05/08(Sun) 14:55:07

☆ Re: / ast

相似とか関係なく, 重なってできる三角形は, もとの図形由来の 45°の角 (Kの一部) と90°の角 (動く正方形の一部) を持っているから直角二等辺三角形だとわかります.
# 図だと二つできているけれどそのそれぞれの三角形について言っています.
# また t が違えばそもそも一個しかできない場合もあるが, 同様.
# あるいは重なりが五角形になる場合は, 重なってない部分にできる二つの三角形について, 同じく.

## というか, そもそも [ ア ] の解答群で当てはまるかどうか考えるタイミングでこの疑問を持つのが
## 自然のような気がするのですが, [ ア ] の解説はどうなっていたのですか?

No.81974 - 2022/05/08(Sun) 16:32:26

☆ Re: / ぺんぺん

ありがとうございました

No.81975 - 2022/05/08(Sun) 18:57:56

★ 高校数学B　平面ベクトル / ひろし

下記問題について教えて下さい。
解説を読んでも分かりませんでした。

四角形ABCDにおいて、
→(AB)・→(BC)＝→(BC)・→(CD)＝→(CD)・→(DA)＝→(DA)・→(AB)とする。

(1)
｜→（AB)｜2＋｜→（BC)｜2　＝　｜→（CD)｜2＋｜→（DA)｜2

(2)
｜→（AB)｜＝｜→（CD)｜

(3)
→AB⊥BC

念のため、問題の写真も貼り付けます。
（問題番号９６）

No.81966 - 2022/05/07(Sat) 13:24:52

☆ Re: 高校数学B　平面ベクトル / ヨッシー

太字はベクトルを表すものとします。
(1)
　ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＤ＋ＤＣ
各辺自分自身との内積を取って
　|ＡＣ|²＝|ＡＢ|²＋２ＡＢ・ＢＣ＋|ＢＣ|²＝|ＡＤ|²＋２ＡＤ・ＤＣ＋|ＤＣ|²
条件より
　２ＡＢ・ＢＣ＝２ＣＤ・ＤＡ＝２ＡＤ・ＤＣ
よって
　|ＡＢ|²＋|ＢＣ|²＝|ＡＤ|²＋|ＤＣ|²＝|ＣＤ|²＋|ＤＡ|²
(2)
同様に
　|ＢＣ|²＋|ＣＤ|²＝|ＤＡ|²＋|ＡＢ|²
これと
　|ＡＢ|²＋|ＢＣ|²＝|ＣＤ|²＋|ＤＡ|²
の差を取って、
　|ＡＢ|²－|ＣＤ|²＝|ＣＤ|²－|ＡＢ|²
移項して２で割ると
　|ＡＢ|²＝|ＣＤ|²
よって
　|ＡＢ|＝|ＣＤ|
(3)
同様に
　|ＢＣ|＝|ＤＡ|
が言えます。
　ＡＢ・ＢＣ＝ＢＣ・ＣＤ
より
　|ＡＢ||ＢＣ|cos∠Ｂ＝|ＢＣ||ＣＤ|cos∠Ｃ
|ＡＢ|＝|ＣＤ| より
　|ＡＢ||ＢＣ|cos∠Ｂ＝|ＢＣ||ＡＢ|cos∠Ｃ
|ＡＢ||ＢＣ|＞０で割って
　cos∠Ｂ＝cos∠Ｃ
0＜∠Ｂ、∠Ｃ＜π より
　∠Ｂ＝∠Ｃ
同様に
　∠Ｃ＝∠Ｄ、∠Ｄ＝∠Ａ
が順に言えて、
　∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝π/2
よって、
　ＡＢ⊥ＢＣ

No.81969 - 2022/05/07(Sat) 19:37:18

☆ Re: 高校数学B　平面ベクトル / ひろし

ご丁寧な解説ありがとうございました。
大変助かります。
今後も、何卒宜しくお願い致します。

> 太字はベクトルを表すものとします。
> (1)
> 　ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＤ＋ＤＣ
> 各辺自分自身との内積を取って
> 　|ＡＣ|2＝|ＡＢ|2＋２ＡＢ・ＢＣ＋|ＢＣ|2＝|ＡＤ|2＋２ＡＤ・ＤＣ＋|ＤＣ|2
> 条件より
> 　２ＡＢ・ＢＣ＝２ＣＤ・ＤＡ＝２ＡＤ・ＤＣ
> よって
> 　|ＡＢ|2＋|ＢＣ|2＝|ＡＤ|2＋|ＤＣ|2＝|ＣＤ|2＋|ＤＡ|2
> (2)
> 同様に
> 　|ＢＣ|2＋|ＣＤ|2＝|ＤＡ|2＋|ＡＢ|2
> これと
> 　|ＡＢ|2＋|ＢＣ|2＝|ＣＤ|2＋|ＤＡ|2
> の差を取って、
> 　|ＡＢ|2－|ＣＤ|2＝|ＣＤ|2－|ＡＢ|2
> 移項して２で割ると
> 　|ＡＢ|2＝|ＣＤ|2
> よって
> 　|ＡＢ|＝|ＣＤ|
> (3)
> 同様に
> 　|ＢＣ|＝|ＤＡ|
> が言えます。
> 　ＡＢ・ＢＣ＝ＢＣ・ＣＤ
> より
> 　|ＡＢ||ＢＣ|cos∠Ｂ＝|ＢＣ||ＣＤ|cos∠Ｃ
> |ＡＢ|＝|ＣＤ| より
> 　|ＡＢ||ＢＣ|cos∠Ｂ＝|ＢＣ||ＡＢ|cos∠Ｃ
> |ＡＢ||ＢＣ|＞０で割って
> 　cos∠Ｂ＝cos∠Ｃ
> 0＜∠Ｂ、∠Ｃ＜π より
> 　∠Ｂ＝∠Ｃ
> 同様に
> 　∠Ｃ＝∠Ｄ、∠Ｄ＝∠Ａ
> が順に言えて、
> 　∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｄ＝π/2
> よって、
> 　ＡＢ⊥ＢＣ

No.81970 - 2022/05/07(Sat) 21:27:02

★ 同じ文字が含まれている場合の順列 / √

教えてください。

Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｄ
のような、
「全て異なる文字」の並べ方は
４ｘ３ｘ２ｘ１＝２４通りですが

Ａ・Ｂ・Ｃ・Ｃ
のように、
「同じ文字が含まれている場合」の並べ方が
何通りあるかは、
どのように計算すれば良いでしょうか？

数学は、もう浦島太郎状態ですので
よろしくお願いいたします。

No.81961 - 2022/05/04(Wed) 17:44:27

☆ Re: 同じ文字が含まれている場合の順列 / ヨッシー

とりあえず、ＡＢＣＤの並べ方２４通りを求めてみて、
そのあとで、実はＤはＣと同じだったと考えます。
すると
　ＡＢＣＤ　と　ＡＢＤＣ　はともに　ＡＢＣＣ
　ＡＣＢＤ　と　ＡＤＢＣ　はともに　ＡＣＢＣ
のように、２つずつ同じものがあることが分かります。
よって、２４÷２＝１２通り　です。

No.81962 - 2022/05/04(Wed) 18:42:07

☆ Re: 同じ文字が含まれている場合の順列 / √

ヨッシーさん
有難うございます。
理解できました。

では、
Ａ・Ｂ・Ｂ・Ｂ
Ａ・Ａ・Ｂ・Ｂ・Ｂ
など、
同じ文字が何個有るから、こうする、
という規則があるのではなく、
ケースバイケースでしょうか？

No.81963 - 2022/05/04(Wed) 19:09:41

☆ Re: 同じ文字が含まれている場合の順列 / ヨッシー

まず、異なる４つの文字の場合の
　４×３×２×１
異なる５つの文字の場合の
　５×４×３×２×１
はそれぞれ　４！　５！　と書きます。
　５！＝１２０，４！＝２４，３！＝６、２！＝２、１！＝１
です。

前の問題の　ＡＢＣＤ　がＡＢＣＣ　になる場合は、
４！に対して　Ｃ・Ｄの並び替えが２！通りあるので、
　４！／２！＝１２(通り)
ＡＢＣＤがＡＢＢＢになる場合は、ＢＣＤの並び替えが
３！通りずつあるので、
　４！／３！＝４(通り)
ＡＢＣＤＥ　が　ＡＡＣＣＣ　になる場合は
５！に対して、Ａ・Ｂの並び替えが２！通り、ＣＤＥの並び替えが３！通りあるので、
　５！／(２！３！)＝１０(通り)
と計算できます。

一般に、Ａがａ個、Ｂがｂ個、Ｃがｃ個、・・・合計σ個あるときの並べ方は
　σ！／(ａ！ｂ！ｃ！・・・)
となります。文字が１個の場合は　１！＝１なので、理にかなっています。

No.81964 - 2022/05/04(Wed) 22:23:22

☆ Re: 同じ文字が含まれている場合の順列 / √

ヨッシーさん
有難うございました。

とても便利な方法を教えて頂きました。

No.81965 - 2022/05/05(Thu) 00:28:46

★ 関数、値域 / n

以下の証明を教えてください。

実数係数のn次元のx の多項式による関数は全実数を取り得る
(ただしnは奇数, 定義域は全実数)

よろしくお願い致します。

No.81953 - 2022/05/01(Sun) 20:35:04

☆ Re: 関数、値域 / IT

中間値の定理は、既知ですか？

No.81954 - 2022/05/01(Sun) 21:14:24

☆ Re: 関数、値域 / n

はい！
ただ、中間値の定理の使うためには関数が連続であることが必要だと思うのですが、それも含めてどう証明するかがわからなくて…

No.81955 - 2022/05/01(Sun) 22:17:04

☆ Re: 関数、値域 / IT

大学レベルですか？(εδ方式での証明が必要ですか？)

テキストに、「連続関数の和や積は連続関数である。」というような定理が示してないですか？

No.81958 - 2022/05/02(Mon) 18:58:02

★ (No Subject) / ゴリアテ

異なるn個の実数a1,a2,…a3がこの順に調和数列をなすとき
a1a2,a2a3,a3a4,….a[n-1]a[n]の相加平均と1/2(a1^2+an^2)の大小を比較せよ
という問題を解いているのですが、解法が思いつきません。計算ゴリ押しなのですかね？なにかうまい解き方があれば教えていただきたいです。
答えは後者の方が大きいです

No.81948 - 2022/04/30(Sat) 03:47:00

☆ Re: / X

{a[n]}は調和数列なので、{1/a[n]}の公差をd、
a[1]a[2],…,a[n-1]a[n]
の相加平均をSとすると
S={1/(n-1)}Σ[k=2～n]{1/{1/a[1]+(k-2)d}}{1/{1/a[1]+(k-1)d}}
={1/(n-1)}(1/d)Σ[k=2～n]{1/{1/a[1]+(k-2)d}-1/{1/a[1]+(k-1)d}}
={1/(n-1)}(1/d){a[1]-1/{1/a[1]+(n-1)d}}
=a[1]a[n]
ここで条件から
a[1]≠a[n]
∴(1/2)(a[1]^2+a[n]^2)-S=(1/2)(a[1]-a[n])^2＞0

∴(1/2)(a[1]^2+a[n]^2)の方が大きいです。

No.81950 - 2022/04/30(Sat) 08:35:03

★ 方程式 / KK

三回目です。いつもありがとうございます。どうぞよろしくお願いいたします。

No.81946 - 2022/04/29(Fri) 15:51:20

☆ Re: 方程式 / X

(3)
(1)の結果から
α+β=-k (A)

(i)
f(α)=f(β)より
(β-α)(β+α)+2k(β-α)=0
∴(α+β+2k)(β-α)=0
条件からβ-α≠0ゆえ
α+β+2k=0
これに(A)を代入して
k=0
となるので(*)は
x^2-3=0
∴x=±√3
よってα＜βにより
(α,β)=(-√3,√3)

(ii)
条件からf(α),f(β)は(*)の解ゆえ
(I)f(α)=αかつf(β)=β
(II)f(α)=βかつf(β)=α
のいずれかになります。
(I)のとき
α^2+2kα+l=α
β^2+2kβ+l=β
∴
α^2+(2k-1)α+l=0
β^2+(2k-1)β+l=0
これはxの二次方程式
x^2+(2k-1)x+l=0
と(*)とが等価であることを
示しているので、係数比較により
k=2k-1 (B)
3k-3=l (C)
(B)(C)を連立で解いて
(k,l)=(1,0)
これは(2)の結果を満たします。

(II)のとき
α^2+2kα+l=β (D)
β^2+2kβ+l=α (E)
(D)-(E)より
(α-β)(α+β+2k+1)=0
条件からα-β≠0ゆえ
α+β+2k+1=0
これに(A)を代入して
k=-1
∴(*)は
x^2-x-6=0
(x-3)(x+2)=0
∴x=3,-2
∴(D)(E)の等式の組は
9-6+l=-2
4+4+l=3
これらはいずれも
l=-5
∴(k,l)=(-1,-5)
これは(2)の結果を満たします。

以上から
(k,l)=(1,0),(-1,-5)

No.81947 - 2022/04/29(Fri) 22:03:16

★ (No Subject) / 幕の内デラックス弁当

座標平面上に３点A(11.0)、B(10.4)、C(3.4)をとり、台形OABCを作る。今、点P、Qそれぞれこの台形の辺上を動くものとして、点Pは点Oを出発して点Aへ、点Qは点Oを出発して点Cを通り点Bへ、同時に毎秒2秒の速さで、それぞれ進むものとする。ただし、座標軸の単位の長さは1?pとする

(1)2点O、Cを通る直線を求めよ

(2)点Oを出発してから3秒後の点Qの座標を求めよ

(3)2点P、Qが点Oを出発してからｔ(0≦t≦2,5)秒後の三角形
OPQの面積をSとしてSをtの式で表せ

(4)点Qが辺CB上にある間に2点P、Qを結ぶ線分がこの台形OABC
の面積を2等分するときがある。それは2点P、Qが点Oを出発して何秒後になるか

関数ｙ=1/2xの2乗のグラフとこのグラフ上に点A(4、8)がある
ｙ軸上にk(0,k)をとり△OKAを作るとき、それが直角三角形
になるようなkの値を全て求めよ

関数y=axの2乗のグラフと関数y=x+4のグラフが2点A,Bで交わっていて点A、Bの座標をｘ座標を-2,4とする

(5)点Aのｙ座標を求めよ。

(6)関数y=axの2乗について次の?@と?Aに答えよ
?@の値を求めよ

?Axの値が-2から4まで増加するときの変化の割合を求めよ

(7)ｘ軸上のx∠0の部分に点Pをとり、△AOBと△POBの面積
が等しくなるようにする。線分AOと線分PBの交点Qとして
次の?@斗?Aに答えよ

?@直線APの方程式を求めよ

?A△OBQの面積は、△APQの面積の何倍であるか求めよ

それぞれの解答はこのような回答であります
(1)y=3/4x

(2)(4.4)

(3)s=5/8tの2乗

(4)3.5秒後
k=8.10

(5)2

(6)?@a=1/2 ?A1

(7)?@y=2x+6 ?A16倍

どうすればこのような答えになって、どのような計算式をたてればよいか全く分かりません。関数が特に苦手分野で非常に困っています。この問題は過去に数年前に何処かの高校で入試問題になっていた5科目を約10日間で仕上げるノートブックになっています。

No.81940 - 2022/04/28(Thu) 11:42:12

☆ Re: / ヨッシー

古いのはとりあえず全部消しました。
X さんのご指摘にあった、「毎秒2秒」も直っていませんし、
(7) の「斗」は「と」の誤りでしょう。
そして、全体的に丸数字や（１文字に収められた）センチなどは化けます。

No.81941 - 2022/04/28(Thu) 13:28:33

★ 算数 / チキンラーメン

⬜︎×13＋⬜︎×22＝245

⬜︎の中の数字の出し方を教えてください。

No.81922 - 2022/04/27(Wed) 21:06:17

☆ Re: 算数 / IT

２つの□は等しい数ということなら
□×(13+22）＝245
□×35＝245
□＝245÷35
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
２つの□は等しいとは限らない負でない整数ということなら

245は13でも22でも割り切れないので　２つの数はいずれも１以上
245-35＝210　：これも13でも22でも割り切れない
210-35＝175　：同上
175-35＝140　：同上
140-35＝105　：同上
105-35＝70　：同上
70-35=35:同上

245 = 35 ×　7

２つの□ともに７

もっと簡単な方法があるかも知れません。

No.81924 - 2022/04/27(Wed) 21:34:14

☆ Re: 算数 / チキンラーメン

⬜︎の中は同じ数が入るとかいてあります。
ありがとうございました。

No.81927 - 2022/04/27(Wed) 21:58:29

★ 共通部分の体積 / 大西

座標空間内において
z≧x^2+y^2と|x|+|y|+|z|≦1の2つの領域の共通部分の体積を求めよ。

共通部分をz=t（0≦t≦1）で切った時の図形の形状から、
（1）0≦t≦2-√3
（2）2-√3＜t＜(3-√5)/2
（3）(3-√5)/2≦t≦1

の部分に分けて考えることができて、それぞれの断面積をS(t)とおくと、
（1）のとき
断面は半径√tの円となるので、
S(t)=πtとなって、（1）の領域での体積は(7-4√3)π/2
（3）のとき
断面は一辺の長さが(1-t)/√2の正方形となるので、
S(t)=2(1-t)^2となって、（3）の領域での体積は2(√(5)-2)/3
となると思うのですが、
（2）のときの断面積とこの領域での体積を求めることができないです。
教えてください。

No.81920 - 2022/04/27(Wed) 16:05:40

☆ Re: 共通部分の体積 / 関数電卓

(2)のとき，断面積は↓図の水色部分の８倍。
図のように交点座標 α を定めると，α は t の結構複雑な関数で，
水色の面積を求める過程で，sin^-1α が出る。
これを t について与えられた範囲で積分できるのか？
最後までキチンとやってはいないので…　ごめんなさい。

No.81932 - 2022/04/27(Wed) 22:20:20

☆ Re: 共通部分の体積 / 大西

私もこの部分の積分に行き詰ってしまいました。
こんな感じでθを取って積分しようとしましたが無理でした。

No.81934 - 2022/04/27(Wed) 23:14:57

☆ Re: 共通部分の体積 / らすかる

偏角0～π/4のぶんだけ考えて8倍すればいいですね。
計算しやすいようにちょっと向きを変えて直角二等辺三角形OABを
O(0,0), A((1-t)/√2,0), B((1-t)/√2,(1-t)/√2)
とすると
直線ABはx=(1-t)/√2
これとx^2+y^2=tとの交点を求めると、y座標は√(-t^2+4t-1)/√2
よって三角形の面積は(1-t)√(-t^2+4t-1)/4
扇形の中心角は
θ=π/4-arctan({√(-t^2+4t-1)/√2}/{(1-t)/√2})
=π/4-arctan(√(-t^2+4t-1)/(1-t))
なので、扇形の面積は{π/4-arctan(√(-t^2+4t-1)/(1-t))}t/2
全体の面積はこの二つの合計の8倍なので
2(1-t)√(-t^2+4t-1)+{π-4arctan(√(-t^2+4t-1)/(1-t))}t
これの不定積分は
(-4t^2+7t-16)√(-t^2+4t-1)/6+πt^2/2
-2t^2arctan(√(-t^2+4t-1)/(1-t))+9arcsin((t-2)/√3)/2+C
なので、t=(3-√5)/2,2-√3を代入して差をとり整理すると
(2)の部分の体積は
{32-22√5+(24√3-15)π-54arctan((3+√5)/2)}/12=0.096317832…
となります。

No.81935 - 2022/04/27(Wed) 23:33:52

☆ Re: 共通部分の体積 / 大西

ありがとうございます。
方針は間違っていなくて計算力が足りなかっただけでした。

No.81937 - 2022/04/28(Thu) 07:15:46

★ (No Subject) / ゴリアテ

東工大の問題です
数列a1,a2,….an,…の隣りあった二項anとan+1は二次方程式
x^2+3nx+Cn=0の2解である(n=1,2,..)
a1=1のときΣ[n=1,2p]Cnを求めよ
という問題が解けません

解と係数の関係や階差数列を使うのかなーって考えましたが私には無理でした。解放を教えてください

No.81915 - 2022/04/27(Wed) 03:08:03

☆ Re: / m

a[n] の一般項を求める方針．

解と係数の関係から
a[n] + a[n+1] = -3n 　…(*)
が成り立つ．
n=1を代入して a[1] = 1 より a[2] = -4.

(*) は解けないように見えるが，次のようにして一般項が求まる．

(*) で n に n+1 を代入して
a[n+1] + a[n+2] = -3(n+1) 　…(**)
も成り立つ．(*) - (**) を考えて
a[n]-a[n+2] = 3 　…(***)
を得る．（これは解ける！ b[k] = a[2k-1] とおけば b[k] - b[k+1] = 3 となって．．．）
これと a[1] = 1, a[2] = -4 より
a[2n-1] = 4 - 3n,
a[2n] = -1 - 3n
となる．

あとは解と係数の関係: C[n] = a[n]a[n+1] を使ってこの和を計算すればいい．
二個づつセットで考えると計算が少し楽になるか：
C[2n-1] + C[2n]
= a[2n] (a[2n-1] + a[2n+1])
= (-1-3n) (4-3n + 4-3(n+1))
= 18n^2 - 9n - 5
より
Σ[n=1,2p] C[n]
= Σ[n=1,p] (C[2n-1] + C[2n])
= Σ[n=1,p] (18n^2 + 9n - 5)
= (1/2) p (12p^2+9p-13)

No.81916 - 2022/04/27(Wed) 10:29:09

★ (No Subject) / 教えてください

3篇の長さが整数値である三角形のうち、いっぺんの長さが2nで他の長さが2n以下のものはいくつあるか、ただし、合同な三角形は同じものとみなす
という問題が分かりません。
教えてください。

No.81912 - 2022/04/27(Wed) 00:20:39

☆ Re: / ヨッシー

ｎ＝１のとき　２が最大の辺で、残り２辺は１と１なので、三角形は出来ません。
ｎ＝２のとき　４が最大の辺で、残り２辺は(2,3),(3,3) の２種類
ｎ＝３のとき　６が最大の辺で、残り２辺は(2,5),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5),(5,5) の６種類

一般のｎのとき　2n が最大の辺で、残り２辺は
　(2,2n-1)
　(3,2n-2),(3,2n-1)
　(4,2n-3),(4,2n-2),(4,2n-1)
　　・・・
　(n,n+1),(n,n+1),・・・(n,2n-1)
　(n+1,n+1),(n+1,n+2),・・・(n+1,2n-1)
　　・・・
　(2n-1,2n-1)
組の数は上から順に
　1, 2, 3, ・・・n-1, n-1,・・・1
なので、
　n(n-1)/2＋n(n-1)/2＝n(n-1)　(個)

No.81913 - 2022/04/27(Wed) 00:59:25

☆ Re: / 教えてください

N=1,2,3で実験してみて規則性を掴むんですね！本当に助かりました。ありがとうございます

No.81914 - 2022/04/27(Wed) 02:46:47

☆ Re: / らすかる

「他の長さが2n以下」なので、
n=1のときでも(1,2)と(2,2)はできるのでは？

No.81918 - 2022/04/27(Wed) 12:28:32

☆ Re: / ヨッシー

あ、「以下」かぁ。
とすると、上の回答は、

ｎ＝１のとき　２が最大の辺で、残り２辺は(1,2),(2,2) の２種類
ｎ＝２のとき　４が最大の辺で、残り２辺は(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4) の６種類
ｎ＝３のとき　６が最大の辺で、残り２辺は(1,6),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)(4,4),(4,5),(4,6),(5,5),(5,6)(6,6) の12種類

一般のｎのとき　2n が最大の辺で、残り２辺は
　(1,2n)
　(2,2n-1),(2,2n)
　(3,2n-2),(3,2n-1),(3,2n)
　　・・・
　(n,n+1),(n,n+1),・・・(n,2n-1),(n,2n)
　(n+1,n+1),(n+1,n+2),・・・(n+1,2n-1),(n+1,2n)
　　・・・
　(2n,2n)
組の数は上から順に
　1, 2, 3, ・・・n, n,・・・1
なので、
　n(n+1)/2＋n(n+1)/2＝n(n+1)　(個)

となります。

No.81925 - 2022/04/27(Wed) 21:36:34

★ 極限について / あゆみ

lim (x→0) a-1/xのような式が極限値を持つ場合
分母が0ならば分子も0でなくてはならないとありますが
逆に分子が0の場合、分母も0でなくてはならないというのも言えるのでしょうか？

例えばlim(x→0) x/a-1のような式のとき

No.81909 - 2022/04/26(Tue) 22:40:24

☆ Re: 極限について / らすかる

言えません。
「極限値が0でないある値」ならば分母も0でなければ
なりませんが、分母が0でなければ極限値が0になるだけで
必ず極限値は持ちます。

No.81919 - 2022/04/27(Wed) 12:31:41

☆ Re: 極限について / あゆみ

すみません。説明不足でした。

例えば
lim(x→0) x/(a-1)=2となるようaを定めよという問題があった場合
分子のxがlim(x→0)で0となるのでこの極限が有限確定値をとるには
2a-2=0でなければならないとして
a=1とする展開は成り立つのでしょうか？

つまり分母が0だから分子も0でなくてはならないとは逆で
この例のように分子が0なので分母も0ではならないとも言えるのでしょうか？

変な質問ですみません。
何かアドバイスを頂けましたら幸いです。

No.81923 - 2022/04/27(Wed) 21:25:38

☆ Re: 極限について / らすかる

その例に関していえば、分母が定数なので0にするわけにはいきません。
分母がf(x)であればlim[x→0]f(x)=0でなければならない、とは言えます。

No.81936 - 2022/04/27(Wed) 23:39:25