ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 貓舌洋甘菊茶

aを実数とする
放物線y=x^2-x-a^2とy=-2x^2+2ax+1の二つの交点を通る直線lの方程式を求めよ。また、直線lと放物線y=(1/2)x^2が異なる2点で交わる時、その2線で囲まれる部分の面積の最大値を求めよ。

No.83182 - 2022/08/16(Tue) 02:25:34

☆ Re: / X

前半)
問題の二つの放物線の交点を通る曲線の方程式は
{y-(x^2-x-a^2)}+{y-(-2x^2+2ax+1)}k=0 (A)
(kは定数)
と置くことができます。
(A)より
(k+1)y+(2k-1)x^2+(1-2ak)x+a^2-k=0 (B)
ここで求めるのは直線の方程式なので
(B)のx^2の係数について
2k-1=0
∴k=1/2
これを(B)に代入して
(3/2)y+(1-a)x+a^2-1/2=0
∴
y=(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3 (C)
逆にlは条件から一つしか存在しないので
求める方程式は(C)となります。

後半)
(C)と放物線
y=(1/2)x^2 (D)
との交点のx座標について
(1/2)x^2=(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3
∴
3x^2-4(a-1)x+4a^2-2=0 (E)
(E)の解の判別式をDとすると、条件から
D/4=4(a-1)^2-3(4a^2-2)＞0
これより
-8a^2-8a+10＞0
4a^2+4a-5＜0
∴(-1-√6)/2＜a＜(-1+√6)/2 (F)
一方、(E)の解をα,βとすると解と係数の関係から
α+β=4(a-1)/3 (G)
αβ=(4a^2-2)/3 (H)
更にlと(D)で囲まれた部分の面積をSとすると
S=∫[α→β]{(2/3)(a-1)x-(2/3)a^2+1/3-(1/2)x^2}dx (I)
(I)の積分を計算して整理をし、(G)(H)を用いると
S=(1/6){{4(a-1)/3}^2-4(4a^2-2)/3}^(3/2)
=(2/9){(a-1)^2-3(4a^2-2)/4}^(3/2)
=(2/9){(a^2-2a+1)-(3a^2-3/2)}^(3/2)
=(2/9)(-2a^2-2a+5/2)^(3/2)
=(2/9){-2(a-1/2)^2+3}^(3/2)
∴(F)より求める最大値は(2/3)√3
(このときa=1/2)

No.83185 - 2022/08/16(Tue) 09:35:05

★ (No Subject) / ドーナツ

いつも頼ってしまい申し訳ありません。
赤チャートの数学3の楕円の問題です。

楕円x^2+4y^2=1と放物線4×(2)^(1/2)y=2x^2+aが異なる４点で交わるための定数aの値の範囲を求めよ。

という問題です。
xを消去してyの2次方程式を作り8y^2+4(2)^(1/2)y-(a+2)=0が-1/2<y<1/2の範囲で異なる2つの解をもつ条件を求めます。

楕円と放物線が異なる2つの解をもてば条件がクリアできるように思うのですが、「-1/2<y<1/2の範囲で」っていうのは必要ですか?

No.83171 - 2022/08/14(Sun) 12:02:25

☆ Re: / IT

8y^2+4(2)^(1/2)y-(a+2)=0が異なる2つの実数解を持つ
というだけでは、xが虚数になる場合があり得るのでは？

ある変数を消去するときは、その変数の存在条件などに注意する必要があります。

No.83175 - 2022/08/14(Sun) 13:15:39

☆ Re: / ドーナツ

なるほど!
yの2次方程式の判別式D>0をすればyは実数解をもつけど、それに対するxは虚数解になるかもしれないからですね。
xが実数解を持つようにするために-1/2<y<1/2が必要なんですね。
ITさん、ありがとうございます。

No.83181 - 2022/08/15(Mon) 13:12:53

★ 図形的に / ドーナツ

赤チャートの数学3の双曲線の問題です。
よろしくお願いします。

双曲線x^2-3y^2=3上の点Pと直線y=3^(1/2)xの距離をdとするときdの最小値を求めよ。
という問題です。
解説で急に「直線y=3^(1/2)xに平行な接線の接点においてdは最小となる」と書かれています。
感覚的にはそうかなと思うのですが、確信が持てません。

No.83170 - 2022/08/14(Sun) 11:43:27

☆ Re: 図形的に / IT

直線y=3^(1/2)x との距離が　aである点の集合を考えてみると良いのでは？

直線y=3^(1/2)xに平行な接線を描いて考えるという方法もあると思います。

No.83172 - 2022/08/14(Sun) 12:07:57

☆ Re: 図形的に / ドーナツ

ITさん、ありがとうございます。
なるほど。直線y=3^(1/2)xから距離aの点の集合は、y=3^(1/2)xと平行な直線になって、それで距離を最小にしようとすると「接するとき」ということになりますね。
納得しました。ありがとうございます。

No.83174 - 2022/08/14(Sun) 12:50:37

★ (No Subject) / 霊無

AB=p、AC=4、角BAC=60°の三角形ABCの外心をOとする。
(1)↑AB・↑AOと↑AC・↑AOをpで表す
(2)↑AOを↑AB、↑AC、pで表す
(3)AOとBCの交点をHとする。HがBCを3:1に内分する点となるようなpの値を求める

解説よろしくお願いします。

No.83168 - 2022/08/13(Sat) 23:17:52

☆ Re: / X

(1)
△ABCの外接円の半径をRとすると
△OABにおいて余弦定理により
cos∠OAB=(R^2+AB^2-R^2)/(2R・AB)
=AB/(2R)=p/(2R)
となるので
↑AB・↑AO=Rpcos∠OAB=(1/2)p^2 (A)
同様に△OACにおいて余弦定理により
cos∠OAC=AC/(2R)
=2/R
となるので
↑AC・↑AO=4Rcos∠OAB=8 (B)

(2)
条件から
↑AB//↑ACでなく、かつ↑AB≠↑0かつ↑AC≠↑0
∴↑AO=x↑AB+y↑AC
(x,yは実数)
と置くことができます。
∴
↑AB・↑AO=x|↑AB|^2+y↑AB・↑AC (C)
↑AC・↑AO=x↑AB・↑AC+y|↑AC|^2 (D)
ここで
↑AB・↑AC=2p (E)
(A)(B)(E)を(C)(D)に用いて、整理をすると
2px+4y=p (C)'
px+8y=4 (D)'
(C)'(D)'を連立して解き
(x,y)=((2p-4)/(3p),(8-p)/12) (E)
∴↑AO={(2p-4)/(3p)}↑AB+{(8-p)/12}↑AC

(3)
(2)の↑AOを使うと
↑AH=k↑AO
=kx↑AB+ky↑AC
(kは0でない実数)
と置くことができます。
ここで条件から
kx+ky=1 (F)
又
ky:kx=3:1
∴y=3x (G)
(G)に(E)を代入すると
(8-p)/12=(2p-4)/p
これより
p(8-p)=12(2p-4)
p^2+16p-48=0
∴p=-8±4√7
となるので、p＞0より
p=-8+4√7

No.83169 - 2022/08/14(Sun) 02:12:54

★ 等式の証明 / 真夏

下記問題の解説をお願いできませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

_________________________________________________

次の分数式の値を求めよ。

ab＋bc＋ca＝0のとき、
(bc＋ca)/ab=(ca＋ab)/bc＝(ab＋bc)/ca

No.83159 - 2022/08/12(Fri) 17:55:29

☆ Re: 等式の証明 / ast

明らかにその式の値は -1 だけど, さすがにこれに解説なんて必要か? 問題に間違いはないか?

No.83161 - 2022/08/12(Fri) 18:17:41

☆ Re: 等式の証明 / 真夏

返信ありがとうございます。

ab＋bc＋ca≠0　のとき、というのもこの問題のひとつ前にありまして、その場合は、

分数式を(1)として、(1)＝kとおき、

bc＋ca＝abk　･･･(2)
ca＋ab＝bch　･･･(3)
ab＋bc＝ach　･･･(4)

(2)、(3)、(4)より、

2(ab＋bc＋ca)＝k(ab＋bc＋ca)
ab＋bc＋ca≠0　より、
k＝2
与式＝2

という解答だったのですが、今回のab＋bc＋ca＝0の場合のやり方がどのようになるのか分からなくて困っています。

No.83163 - 2022/08/12(Fri) 18:56:28

☆ Re: 等式の証明 / ast

# それを見て本問に悩むっていうのは, そういう小問に分けた作問者のセンスが悪いせいなのか?
その解答を見てわかる通り, そもそも最初から
> ab＋bc＋ca＝0のとき、
> ab＋bc＋ca≠0　のとき、
と分けるのはほとんど意味が無くて, そういう制約を付けることなく単に
> 「(bc＋ca)/ab=(ca＋ab)/bc＝(ab＋bc)/ca
> の値を求めよ。」
と問われたとして, その解答の通りにして "k=2 または ab+bc+ca=0" を得たところでようやく
　[i] ab+bc+ca=0 のとき
　[ii] k=2 のとき
と分けることが意味を為すので (だから, 本問は後は直ちに結論を述べるだけという最終段階しかそもそも存在していないのであって), もしその解答を「(ab+bc+ca≠0 のときの) やり方」だと思っているなら (発想としてそもそもまちがっているので) 頭の中を白紙に戻して条件式をよく見るべきだと思います (本問である [i] のときは平易な連立方程式のはずです).

----
なお, 前問で ("(確かに) k=2 である" と主張するときに) は実際にそれを実現する a,b,c の存在を述べておくべきなので, 提示された「解答」がそれで全部であるなら (それだけでは「(あるとすれば) k=2 でなければならない」という必要条件を述べたにすぎないので) 模範解答としては不十分というべきでしょう.
# (実際「a=b=c とすれば k=2 は実現できる」と一文入れる程度のこともしないのはかなり手抜きだと思います).

No.83167 - 2022/08/13(Sat) 02:57:31

☆ Re: 等式の証明 / 真夏

ast 様

丁寧なご回答、誠に有難うございました。
大変参考になりました。

No.83196 - 2022/08/17(Wed) 10:02:13

★ (No Subject) / メアリー

座標平面上に点A(7,0)があり原点OとAからの距離が4:3になる点Pの軌跡をCとする

(1)軌跡Cの方程式を求めなさい
(2)軌跡C上には内積→OP1・→AP1=0となる点P1をとる。ただしP1はy座標が正になる位置に取る

｜→AP1|の値を求めなさい
さらに自然数nに対して原点Oと点Pnからの距離の比が4:3である軌跡上の内積→OP(n+1)・→PnP(n+1)=0となるように点Pn+1を順に取る。ただしPn+1は三角形OPn-1Pnと三角形OPnPn+1は辺OPn以外に重ならない位置に取る
(3)→PnPn+1の大きさ|→PnPn+1|を求めなさい

Pn+1=(Xn+1,Yn+1)，Pn=(Xn,Yn)とすると
→PnPn+1=(Xn+1-Xn,Yn+1-Yn)であり
→OPn・→PnPn+1=0から
Xn+1^2-Xn+1Xn+Yn+1^2-Yn+1Yn=0…?@

またPn+１は原点Oから点Pnからの距離の比4:3である軌跡上の点なので
4:3=√(xn+1^2+(Yn+1)^2;√(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2
9{(Xn+1)^2+(Yn+1)^2}=16{(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2}
0=16・Xn^2-32XnXn+1+7(Xn+1)^2+16(Yn)^2-32YnYn+1+7Yn+1…?A

?@からXn+1^2+Yn+1^2=XnXn+1+YnYn+1であるからこれを?Aに代入すると
0=-25XnXn+1-25YnYn+1+16Xn^2+16Yn^2
0=Xn(16Xn-25Xn+1)+Yn(16Yn-25Yn+1)
Xn，Ynは共に0ではないので上の等式が成り立つ条件は
16Xn-25Xn+1=0，16Yn-25Yn+1=0
よってXn+1=16/25Xn,Yn+1=16/25Yn

よって→PnPn+1={(16/25)-1}Xn,{(16/25)-1}Yn=(-9/25Xn,-9/25Yn)と表せるから
|→PnPn+1|=9/25√(Xn^2+Yn^2)=9/25|→OPn｜

…ちなみに答えは(21/5)・(4/5)^nです

No.83154 - 2022/08/12(Fri) 16:35:01

☆ Re: / ast

> Xn，Ynは共に0ではないので上の等式が成り立つ条件は
> 16Xn-25Xn+1=0，16Yn-25Yn+1=0
↑これがおかしい

> ?@からXn+1^2+Yn+1^2=XnXn+1+YnYn+1であるからこれを?Aに代入
のところで左辺の式を消すのではなくて右辺の式を消すように代入して
　　 x[n+1]^2+y[n+1]^2=(4/5)^2(x[n]^2+y[n]^2)
　⇔ x[n]^2+y[n]^2=(4/5)^(2n-2)(x[1]^2+y[1]^2)
　⇔ |OP[n+1]|=7(4/5)^(n+1)
　⇔ |P[n]P[n+1]|=3/4|OP[n+1]|=(21/5)(4/5)^n

でいいのかな……?

No.83158 - 2022/08/12(Fri) 17:44:37

☆ Re: / メアリー

疑問?@
|P[n]P[n+1]|=3/4|OP[n+1]|の3/4ってどうやってだすんですか？

疑問?A
16Xn-25Xn+1=0，16Yn-25Yn+1=0
↑これがおかしい
ってあるのですがどういう意味でおかしいのでしょうか？
そもそもこの等式が成り立たないからおかしいっていってるのかこの等式自体は確かに成り立つけどこのまま計算しても求めたい式の形に変形できないからおかしいっていみなんでしょうか？

No.83162 - 2022/08/12(Fri) 18:27:36

☆ Re: / ast

> 疑問?@
ご自分で
> またPn+１は原点Oから点Pnからの距離の比4:3である軌跡上の点なので
> 4:3=√(xn+1^2+(Yn+1)^2;√(Xn-Xn+1)^2+(Yn-Yn+1)^2
という形で既に用いていることなので, 私から改めて何か言うことは必要ないはずです.

> 疑問?A
強いて言うなら前者になるけれど, そもそもここでは式の話ではなく論理がおかしいという話をしているつもり.
# その式だけじゃなく式を含む2行を引用して, その2行を指して「おかしい」と言ってる.
もしその質問が「式にしか興味がない」ことを無意識に含意しているなら意識的に考え方を改めるよう勧めます.

No.83164 - 2022/08/12(Fri) 19:11:25

★ 高校数学•関数 / 山田山

(3)の場合分けについて。基本的に定義域が文字の場合、定義域と軸の場合分けで文字の範囲を作ると習いました。ですがこの解説だと文字を中心に場合分けが始まっています。その理由を教えて下さい。またこの場合の－rの判別を行わない理由も教えて下さい。長文になってしまい申し訳ございません。回答お待ちしています。

No.83151 - 2022/08/12(Fri) 16:16:15

☆ Re: 高校数学•関数 / X

-r≦x≦2r (A)
r≧0 (B)
とします。

一つ目の質問について)
理由も何も、これも
軸と定義域との位置関係による場合分け
をしています。
(但し、この問題の場合は軸が固定されており、
定義域がrの値に関して移動する形ですが。)

最初の
0≦2r≦2
とは軸である直線x=2が
(A)の範囲外右側にある場合
です。
次の
2r≧2
とは軸が(A)の範囲内にある場合
に当たります。

二つ目の質問について)
(B)のような任意のrの値に対し
-r＜2
だからです。

No.83153 - 2022/08/12(Fri) 16:33:46

☆ Re: 高校数学•関数 / 山田山

回答ありがとうございます。
(A)についてですが、本来-r<2r<2と表記される所を0<2r<2と記述されていたのでr>0が関係しているのか確認の為の質問をするつもりでした。ですが根本的な考え方の相違なのかと思い、主旨と外れた質問をしてしまいました。すみません。もし間違いであればなぜ2r>0であるのか教えて頂けると助かります。度々ご面倒をお掛けしますが、回答して下さると幸いです。よろしくお願いします。

No.83165 - 2022/08/12(Fri) 21:46:48

☆ Re: 高校数学•関数 / X

問題の条件である
r＞0
から
2r＞0
です。

No.83166 - 2022/08/12(Fri) 22:44:23

★ 整数論 / ー

nを正の整数とする
360^nの全ての正の約数の和をs(n)とする。
s(n)が10で割り切れるような100以下の正の整数nの個数を求めよ。

自分の解答

s(n)=(2^(3n+1)-1)(3^(2n+1)-1)(5^(n+1)-1)/8
であるので
「1」(2^(3n+1)-1)→mod10
「2」(3^(2n+1)-1)→mod10
「3」(5^(n+1)-1)→mod10の規則性について考える
「1」は5→7→3→→1→...
「2」は6→2→6→2→...
「3」は4→4→4→4→..という規則性があるので
「1」「2」「3」の積をmod8でとると≡0となる

これより100個ある

とこのようになってしまい答えの50個と違う理由を教えてください

No.83146 - 2022/08/12(Fri) 14:12:27

☆ Re: 整数論 / ー

99個の誤りです

No.83147 - 2022/08/12(Fri) 14:14:40

☆ Re: 整数論 / ー

100→99個が自分の答えです
(正の整数なので💦)

No.83148 - 2022/08/12(Fri) 14:16:27

☆ Re: 整数論 / らすかる

例えばn=2のとき、mod10で7×2×4≡6ですから10で割り切れません。
「積をmod8で≡0になる」というのはどういう意味で書いているのでしょうか。

No.83150 - 2022/08/12(Fri) 15:58:23

☆ Re: 整数論 / ー

分母に8があるのであまりが8で割れればいいと思いmod8を取りました56/8=7あまり0なので≡0
自分でもなんかおかしいなと思っています
mod80で取ったあまりを考え余りの積がmod80≡0でやるよりもユーグリットの互除法を使って絞り込む方がこの場合良いのでしょうか？

No.83152 - 2022/08/12(Fri) 16:23:18

☆ Re: 整数論 / らすかる

「10で割った余り」の積が8で割り切れることはあまり意味がないと思います。
例えば1,14,22を「10で割った余り」の1,4,2を掛けると8で割り切れますが、
元の数の積1×14×22は8で割り切れませんので元の数が8で割り切れることにも
なりませんし、10でも割り切れません。
s(n)が10で割り切れる⇔8s(n)が80で割り切れる
ですから、mod80で積を考えればよいと思います。
mod80を直接考えるのは大変なのでmod5とmod16に分けて
2^(3n+1)-1≡0→2→3→1→… (mod5)
3^(2n+1)-1≡1→2→ (mod5)
5^(n+1)-1が5で割り切れることはないので
mod5で0になるのはn=4k+1(k≧0)のとき
2^(3n+1)-1が2で割り切れることはない
3^(2n+1)-1≡10→2→ (mod16)
5^(n+1)-1≡8→12→0→4→ (mod16)
よってmod16で0になるのはn=2k+1(k≧0)のとき
両方合わせると、mod80で0になるのはn=4k+1のときなので
nが1から100までならば答えは25個

No.83156 - 2022/08/12(Fri) 17:31:53

★ (No Subject) / メアリー

座標平面上に点A(7,0)があり原点OとAからの距離が4:3になる点Pの軌跡をCとする

(1)軌跡Cの方程式を求めなさい
(2)軌跡C上には内積→OP1・→AP1=0となる点P1をとる。ただしP1はy座標が正になる位置に取る

｜→AP1|の値を求めなさい

(1)(x-16)^2+y^2=144
(2)21/5

(2)の答えが合わなくて困っています。
Try1
P1の座標を(X,Y）として+→OP1・→AP1=0から
x(x-7)+y^2=0…?@
またP1は円C上の点でもあるので(X-16)^2+Y^2=144…?A
?@?Aからx=112/25,y=84/5
よって→AP1＝(x-7，y)より|→AP1｜=21√409/25
…合わない

Try2
角度OP1A=90°
→点P1は直線OAを直径とする円周上の点
よって点P1は円{x-(7/2)}^2+y^2=(7/2)^2上の点かつ円C上の点でもあることが分かる。よって{x-(7/2)}^2+y^2=(7/2)^2かつ(x-16)^2+y^2=144の連立不等式を解く…x=112/25,y=84/5
…さっきと同じじゃん…

解説よろしくお願いします

No.83142 - 2022/08/12(Fri) 08:16:48

☆ Re: / IT

＞?@?Aからx=112/25,y=84/5
(y はそんなに大きいはずはないです.円C上ということからしても12以下です。）
,計算ミスだと思います）

y=84/25 では？

No.83143 - 2022/08/12(Fri) 08:50:57

★ (No Subject) / 中受

この問題と解答のSTEP2，60gの水の筈なのに食塩水になる理由を教えてください。

No.83132 - 2022/08/11(Thu) 19:38:38

☆ Re: / 中受

解答です

No.83133 - 2022/08/11(Thu) 19:39:09

☆ Re: / X

解答の誤植です。「食塩水」ではなくて「水」ですね。

No.83134 - 2022/08/11(Thu) 19:46:30

☆ Re: / 中受

Xさん。丁寧にありがとうございます。私は難関ではありませんが中学受験を予定しています。
特に濃度算が苦手で、てんびん算が使えるとき使えないときの区別が分かりません。教えてもらえませんか？

No.83135 - 2022/08/11(Thu) 19:54:39

☆ Re: / IT

この問題だと、てんびん算を使わず、食塩の重量と食塩水の重量を計算していけば良いのでは

No.83136 - 2022/08/11(Thu) 20:02:23

☆ Re: / 中受

ITさん。ありがとうございます。指導してくださる先生は食塩水を2回以上混ぜている場合はてんびん算が使える、逆に食塩水を混ぜていない場合は使えないと仰ってました。

No.83137 - 2022/08/11(Thu) 20:32:46

☆ Re: / IT

食塩の重量（ｇ）は

(120×(25/100))×((120-30)/120)×((150-60)/150)
=30×(90/120)×(90/150)
=27/20

食塩水の重量（ｇ）は
120-30+60-60+60=150

濃度は　27/(20×150)＝9/100

てんびん算をお勧めするわけではありませんが
「食塩水を混ぜていない場合」とはどんな場合ですか？
（水は0％の食塩水、食塩は100％の食塩水と考えることができます。）

No.83138 - 2022/08/11(Thu) 21:17:32

☆ Re: / IT

現在の小学算数課程が分かりませんが、未知数をx,yなどとおいた方程式を使っていいのなら、「てんびん算」とかを意識する必要はないのでは？

この問題では、それ（方程式）も不要です。

No.83139 - 2022/08/11(Thu) 21:24:17

★ 写像 / Reona

空集合や写像の像や逆像について質問があります。

fが写像の時、
f(Φ)=Φ
は真ですか?

f^{-1}(Φ)=Φ
は真ですか?

偽ならば反例を教えて下さい。

No.83127 - 2022/08/10(Wed) 23:49:15

☆ Re: 写像 / IT

前半について　集合・位相入門 (松坂和夫）では、当然のこととして書いてあります。

証明すると
fを集合Aから集合Bへの写像とする。
Aの部分集合Cについて
f(C)≠Φならば、
　あるb∈Bがあってb∈f(C) なので　a∈Cがあって　f(a)=b
　よって　C≠Φ

したがってC＝Φならばf(C)＝Φ

すなわち、f(Φ)＝Φ。

後半も同様に真であることが証明出来ると思います。

No.83129 - 2022/08/11(Thu) 10:20:39

☆ Re: 写像 / Reona

ご回答有難うございます。
ご紹介いただいた書籍を調べてみました。

すると写像の厳密(?)な定義は

A,Bを集合とすると直積集合A×Bの部分集合を対応と呼び,
U:={A×Y⊂A×B;a∈A⇒#{(x,y)∈A×Y;x=a}=1} (ただし#は集合の元の個数を表す)
なる対応の集合族の元をAからBへの写像と呼ぶのですね。
そして写像A×Y∈UにてAを始集合,Yを終集合と呼ぶ。

そして,f∈Uについて,X⊂A,Y⊂Bに対して,
f(X):={y∈B;(x,y)∈fなるx∈Xが存在する}
f^{-1}(Y):={x∈A;(x,y)∈fなるy∈Yが存在する}
を夫々,Xのfによる像,Yのfによる逆像と呼ぶのですね。

この定義を使えば
f(φ)=φ,
f^{-1}(φ)=φ
は明らかに言えますね。

どこか間違いがあればご指摘賜れば幸いです。

No.83180 - 2022/08/15(Mon) 02:52:50