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★ 中学数学 / 夕暮 奏美
ある牧場では、80頭の牛を放すと21週間で草を食べつくし、93頭の牛を放すと18週間で食べつくす。１週間で生える草の量は一定とし、またどの牛も１週間で食べる草の量は同じであるとする。このとき、牛一頭が１週間で食べる草の量を1山とするとき、１週間でこの牧場に生える草の量は（a）山である。また、この牧場で100頭の牛を１週間放したのち、さらに（b）頭の牛を加えて２週間放したところで草は食べつくされる。a,bに入る数字を答えなさい。
わからないので解説と答えをお願いします。
（下にある問題と全く同じですが、返信はメールではなくこのサイトでお願いします）
No.83067 - 2022/08/07(Sun) 12:54:50
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
中学数学と言うことで、ニュートン算ではなく、方程式を使うことにします。

最初に生えていた草の量をｃ山とします。

80頭で21週間
　ｃ＋21a＝80×21
93頭で18週間
　ｃ＋18a＝93×18
これらを解いて、
　3a＝1680−1674＝6
　a＝2, c＝1638

100頭を1週間放すと残りの草は
　1638−(100−2)×1＝1540
これを２週間で食べ尽くすので、
　1540＋2×2＝(100＋b)×2
これを解いて
　1544＝200＋2b
　b＝672
No.83070 - 2022/08/07(Sun) 15:53:28
☆ Re: 中学数学 / 夕暮 奏美
すごくわかりやすいです！
解説ありがとうございます！
No.83071 - 2022/08/07(Sun) 16:07:31
★ 数?Tの問題です / 名無し
「kを実数の定数とする。2つの不等式|x-1|＜6,|x-k|＜2をともに満たす実数xが存在するようなkの値の範囲を求めよ。」という問題で、解説は下記の画像の通りだったのですが、画像の数直線に関して質問です。右側のk-2が7より小さくてk+2が7より大きい場所にある緑色の数直線は、k+2は7より大きい場所に描いてもいいのでしょうか？?@のように-5＜x＜7を満たさないといけないのならば、k+2は7より左側に描くべきなのではないのでしょうか？
No.83059 - 2022/08/07(Sun) 03:36:19
☆ Re: 数?Tの問題です / らすかる
「2つの不等式の共通解が存在するkの範囲」を求める問題で
1つ目の不等式の解が-5＜x＜7であるというだけで、
2つ目の不等式が-5＜x＜7を満たさなければいけないわけではありませんので、
k+2が7より右側でも何も問題ありません。

例えばk=7のときは
1つ目の不等式の解が-5＜x＜7
2つ目の不等式の解が5＜x＜9
で共通部分がありますので条件を満たしますが、
このときk+2は7より大きいです。
No.83060 - 2022/08/07(Sun) 06:26:45
☆ Re: 数?Tの問題です / 名無し
ようやく分かりました。ありがとうございました。
No.83086 - 2022/08/08(Mon) 16:57:29
★ (No Subject) / 指数対数
数?Uの指数対数の範囲で分からない問題が二問あったので解説していただきたいです。
?@ a,b,cを自然数とする。a^(b^c)=(a^b)^cが成立するa,b,cを全て求めよ
?A(a^x)(b^y)(c^z)＝(a^y)(b^z)(c^x)＝(a^z)(b^x)(c^y)が成立する時、x,y,zの間の関係式(a,b,cを含まないもの)を求めよ。ただし、a,b,cは正の数とし、そのうち少なくとも一つは1ではなく、abc≠1とする
よろしくお願いします。
No.83058 - 2022/08/07(Sun) 01:54:17
☆ Re: / IT
1つめ　(略解）
a^(b^c)=(a^b)^c=a^(bc)
a＝1のとき　b,cは任意
a≧2のとき　b^c＝bc
　b＝1のとき　c＝1.
　b＝2のとき　2^c=2c
　　∴c=1,2　(y=2^xとy=2xのグラフの交点の位置に注意）
　b≧3のとき　
　 f(x)=b^x-bxとおくと　f(1)=0,　f'(x)=(log[e](b))b^x-b。
　 よって、x≧1で f'(x)＞0でありf(x)は真に増加。
　 f(x)=0 となる自然数はx=1
　 したがってc=1

※b≧3のとき　指数関数の微分を使わないなら、数学的帰納法を使う。
No.83064 - 2022/08/07(Sun) 10:45:22
☆ Re: / IT
２つめ
　a,b,c の条件はそれで合っていますか？
　abc≠1から　「a,b,c のうち少なくとも一つは1ではなく」は言えますし
　a=b=c のときは、任意のx,y,zが条件を満たすので、a,b,c の値によってx,y,zの間の関係式が異なってくると思うのですが？
No.83065 - 2022/08/07(Sun) 12:32:08
☆ Re: / IT
２つめ できてませんが、方針案は
　(a^x)(b^y)(c^z)＝(a^y)(b^z)(c^x)＝(a^z)(b^x)(c^y)
から
s=x-y,t=y-z,u=z-x とおくと s+t+u=0で
　(a^s)(b^t)(c^u)=1
　(a^t)(b^u)(c^s)=1
　(a^u)(b^s)(c^t)=1
s=t=u=0 のときは条件を満たすので、そうでないときを考える。

a,b,c,1 の大小関係とs,t,uの正負で分類する。
No.83068 - 2022/08/07(Sun) 13:53:28
☆ Re: / 指数対数
まず1題めについて　指数関数の微分は習っていないので数学的帰納法で再度取り組みたいと思います。
2題めの条件について、問題文に不備がありました。(a^x)(b^y)(c^z)＝(a^y)(b^z)(c^x)＝(a^z)(b^x)(c^y)=1 でした。大切な時間を使わせてしまい、申し訳ございません。a,b,cの条件については問題文そのままです。
No.83073 - 2022/08/07(Sun) 16:22:46
☆ Re: / IT
(a^x)(b^y)(c^z)＝(a^y)(b^z)(c^x)＝(a^z)(b^x)(c^y)=1

３つを掛け合わせると(abc)^(x+y+z)=1
abc≠1なのでx+y+z=0　
x=y=z=0のとき条件を満たす。
x=y=z=0でないとき、
a,b,c,と1 の大小関係で分類する。
　x,y,z のうち少なくとも１つは正で、少なくとも１つは負である。

　たとえば、x＞0、ｙ≧0、z＜0のとき
z乗すると1との大小関係が逆転することに注意すると
　　a,b,c のうち1との大小関係で分けたとき 仲間外れの１つをz乗することによって1との大小関係を同一にすることができる。
　例えば
　　a＞1,b≧1,c＜1だと　(a^x)(b^y)(c^z)＞1となり不適
　　a＜1,b≦1,c＞1だと　(a^x)(b^y)(c^z)＜1となり不適

　　a＞1,b＜1,c≧1だと (a^y)(b^z)(c^x)＞1となり不適
　　a＜1,b＞1,c≦1だと (a^y)(b^z)(c^x)＜1となり不適

　　・・・
　　すべてのケースが不適であることが分かる。

　　（分類と説明をうまくすると簡潔になると思います）

・・・

したがって、求める関係はx=y=z=0。 になると思います。
No.83080 - 2022/08/07(Sun) 23:15:19
★ 文章題 / squall
Aチームには５人、Bチームには３人、あめ玉は１００個あるとする。
Bチームの人はAチームの人よりあめ玉を２個多くもらえる。
Aチーム、Bチームのそれぞれの人に同じ数のあめ玉がもらえる。
あめ玉は余ってもよい。
Aチームの人は１人あたり最大で何個のあめ玉がもらえるでしょうか。

この問題ですが解き方を自分なりに考えてみました。
Aチーム１人あたりもらえるあめ玉の数をxとおいてみる。
そうすると、
５x＋３（x＋２）≦１００
という式がつくれる。
これを解くとx≦９４/８となると思います。
なのでAチームの人は１人あたり最大で１１個のあめ玉をもらえる。

どうでしょうか。
何かアドバイスをいただけるとありがたいです。
よろしくおねがいします。
No.83057 - 2022/08/06(Sat) 22:59:42
☆ Re: 文章題 / らすかる
問題ないと思います。
No.83061 - 2022/08/07(Sun) 06:30:46
☆ Re: 文章題 / squall
らすかる先生、ありがとうございます。
文章題って難しいですね。
この問題は自分なりに結構考えました。
なので解けたらうれしいものですね。
わからないことがあったら、またおねがいします。
No.83062 - 2022/08/07(Sun) 08:52:40
★ (No Subject) / eye
|↑AB|=2、|↑AC|=1、|2↑AB-↑AC|=5を満たす3点ABCがある。|3↑AP-↑AB|=|↑AP+2↑AC|を満たす点Pの集合は円となることを示せ。

3点ABCが一直線上にある時とそうでない時を分けて考えたのですが必要ないといわれました。
なぜ必要ないのか含めて解説よろしくお願いします。
No.83055 - 2022/08/06(Sat) 20:34:53
☆ Re: / X
|↑AB|=2 (A)
|↑AC|=1 (B)
|2↑AB-↑AC|=5 (C)
とします。

|3↑AP-↑AB|=|↑AP+2↑AC|
から
|3↑AP-↑AB|^2=|↑AP+2↑AC|^2
9|↑AP|^2-6↑AB・↑AP+|↑AB|^2=|↑AP|^2+4↑AC・↑AP+|↑AC|^2
8|↑AP|^2-(6↑AB+4↑AC)・↑AP=|↑AC|^2-|↑AB|^2
|↑AP|^2-(1/4)(3↑AB+2↑AC)・↑AP=(1/8){|↑AC|^2-|↑AB|^2}
|↑AP-(1/8)(3↑AB+2↑AC)|^2=(1/8){|↑AC|^2-|↑AB|^2}+(1/64)|3↑AB+2↑AC|^2
右辺を整理して
|↑AP-(1/8)(3↑AB+2↑AC)|^2=(1/64){|↑AB|^2+12↑AB・↑AC+12|↑AC|^2} (D)
後は
((D)の右辺)＞0
であることを(A)(B)(C)を用いて示せば、命題は成立します。

上記の方針では
3点ABCが一直線上にある時とそうでない時
を分ける必要は全くありませんが、どうして場合分けが必要だと
考えたのですか？
No.83056 - 2022/08/06(Sat) 21:17:21
★ 線形代数 / 線形代数
問題 . x, y は整数を表し, x2 + y2 ≤ 25 を満たしていると仮定する. 3 つの 3 項数ベクトル (x,y,y-4)(y,x-3,-4)(x+1,y,y-5)
が一次独立になる様な x, y のペア (x, y) の個数を求めよ.*1 必要なら図を描いても構わない.

この問題の回答を教えていただきたいです。
No.83052 - 2022/08/06(Sat) 14:52:49
☆ Re: 線形代数 / X
方針を。

A=M{(x,y,y-4),(y,x-3,-4),(x+1,y,y-5)}
なる行列Aに対し
det[A]≠0
であれば、問題の３つのベクトルは一次独立です。
そこで
x^2+y^2≦25
を満たす整数の組(x,y)をまず求め、その内
det[A]=0
となるような組を除きます。
No.83053 - 2022/08/06(Sat) 18:11:23
☆ Re: 線形代数 / IT
追加ヒントを
　Xさんの行列Aを基本変形して０の要素を作ると計算が楽になります。
No.83054 - 2022/08/06(Sat) 18:47:15
★ 極限 / 高校三年生
「lim(n→∞）(n×Pn)が有限の値に収束するにはlim(n→∞)Pn=0が必要」とはどういうことか教えてください。
No.83046 - 2022/08/05(Fri) 21:32:51
☆ Re: 極限 / IT
「どういうことか」とは,証明してほしいということでしょうか？

Q[n]＝n×P[n]とおくと P[n]=Q[n]/n ですから
lim(n→∞）(n×Pn)=lim(n→∞）Q[n]=a (有限な値）のとき
　lim(n→∞）P[n]＝lim(n→∞）(Q[n]/n)=0です。
No.83049 - 2022/08/05(Fri) 22:29:40
★ 数学Aの順列の質問です / リンレイ
高１の内容です。

internetの8個の文字を使ってできる順列について、どのtもどのeより左側にあるものの総数を求めよ。

という問題で、ttee〇〇〇〇（〇にはn,i,rのいずれかが入る）の〇の部分の総数だけを考えて4！/2！=12通りと考えたのですが、どうしてこの解き方だといけないのか教えてください。
初歩的な質問ですみません。
ちなみに答えは840通りです。
No.83045 - 2022/08/05(Fri) 21:31:44
☆ Re: 数学Aの順列の質問です / IT
t○t○○e○e
などが抜けてます。
No.83047 - 2022/08/05(Fri) 21:34:02
☆ Re: 数学Aの順列の質問です / リンレイ
> t○t○○e○e
> などが抜けてます。

ありがとうございます！
理解出来ました！
No.83048 - 2022/08/05(Fri) 21:36:01
★ 心の闇 / squall
今回は数学の質問ではないのですが、僕が今気になっていることがあります。
それは今の子供は自分の言いたいことが言えない世の中になっているのではないかと思うのです。
なので今の子供の心に闇をかかえるようになるのではないかと思うようになって。
そういう自分も子供のころは自分の言いたいことが言えてなかったかなと思います。
自分の場合は人に言う勇気がなかったというのもありますが。
ヨッシー先生は教育者でもあると思うから、このことについてヨッシー先生の意見が聞きたいと思って質問しました。
回答よろしくおねがいします。
ちなみに、僕は大人になって会話することの大事さに気づきました。
No.83041 - 2022/08/05(Fri) 11:17:30
☆ Re: 心の闇 / squall
ヨッシー先生、数学以外の質問をしてすいません。
これからは、数学に関することについて質問するようにします。
No.83043 - 2022/08/05(Fri) 15:29:06
☆ Re: 心の闇 / ヨッシー
いえ、別にいいんですけど、私は教育者ではないので、
また、教育者であっても、こういう主観による見解は
回答しにくいですね。
本当に言いたいことが言えない世の中なのかも分かりませんし。
No.83074 - 2022/08/07(Sun) 16:26:13
★ 二次関数の決定 / クロ
高1です。
2点(-3，5)，(1，-11)を通り､かつ､頂点が直線y＝-2x +3上にある二次関数を求めよ。という問題の解き方が分かりません。答えは-2x²-8x -1です。
No.83040 - 2022/08/05(Fri) 10:25:46
☆ Re: 二次関数の決定 / ヨッシー
求める二次方程式の式を
　ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ　（ａ≠０）
と置きます。２点(-3, 5), (1, -11) を通ることから
　９ａ−３ｂ＋ｃ＝５
　ａ＋ｂ＋ｃ＝−１１
これより
　８ａ−４ｂ＝１６
　ｂ＝２ａ−４
　ｃ＝−１１−ａ−ｂ＝−３ａ−７
よって、求める二次方程式の式は
　ｙ＝ａｘ^2＋２(ａ−２)ｘ−３ａ−７
　　＝ａ{ｘ＋(ａ−２)/ａ}^2−３ａ−７−(ａ−２)^2/ａ
　　＝ａ{ｘ＋(ａ−２)/ａ}^2−４ａ−３−4/a
と書け、その頂点は
　(−(a-2)/a, −４ａ−３−4/a)
これが　ｙ＝−２ｘ＋３　上にあるので
　−４ａ−３−4/a＝2(a-2)/a＋3
ａを掛けて
　−４ａ^2−３ａ−4＝2(a-2)＋3a
　−４ａ^2−８ａ＝０
ａ≠０ より
　ａ＝−２
このとき、ｂ＝−８，ｃ＝−１
よって求める式は
　ｙ＝−２ｘ^2−８ｘ−１
No.83042 - 2022/08/05(Fri) 14:17:26
★ 数列 / Nao
添付の問題が解けません。
途中式と正答を含め、解説をお願いします！
※三角関数も解けない問題があり、別途投稿しましたので、合わせて解いていただけると助かります。
No.83037 - 2022/08/05(Fri) 00:28:10
☆ Re: 数列 / X
(1)
1/a[n]=b[n]
と置くと、問題の{a[n]}の漸化式は
1/b[n+1]=1/(3+b[n])
∴b[n+1]=b[n]+3 (A)
又
b[1]=2 (B)
(A)(B)より
1/a[n]=b[n]=2+3(n-1)=3n-1


(2)
(1)の結果より
1/(a[n]a[n+1])=(3n-1)(3n+2)
=9n^2-3n-2
∴(与式)=…

(3)
(1)の結果より
a[n][n+1]=1/{(3n-1)(3n+2)}
=(1/3){1/(3n-1)-1/(3n+2)}
∴
a[1][2]=(1/3)(1/2-1/5)
a[2][3]=(1/3)(1/5-1/8)
a[3][4]=(1/3)(1/8-1/11)
…
となるので
(与式)=…
No.83039 - 2022/08/05(Fri) 06:43:55
☆ Re: 数列 / Nao
ご丁寧にありがとうございます！
よくわかりました。
ありがとうございました。
No.83050 - 2022/08/06(Sat) 00:27:37
★ 三角関数 / Nao
添付の問題が解けません。
途中式や正答などを含めて解説をお願いします！
※数列も解けない問題があり、別途投稿します。
No.83036 - 2022/08/05(Fri) 00:25:54
☆ Re: 三角関数 / X
2倍角の公式、半角の公式により
y=(1+cos2x)-(√3)sin2x-3
=cos2x-(√3)sin2x-2
更に三角関数の合成をすると
y=2cos(2x+π/3)-2
ここで
0≦x＜2π
より
π/3≦2x+π/3＜4π+π/3
∴
M=2-2=0(このとき2x+π/3=2π,4π)
m=-2-2=-4(このとき2x+π/3=π,3π)
つまり
M=0(このときx=5π/6,11π/6)
m=-4(このときx=π/3,4π/3)
No.83038 - 2022/08/05(Fri) 06:34:49
☆ Re: 三角関数 / X
補足を。

y=cos2x-(√3)sin2x-2
から
y=-{(√3)sin2x-cos2x}-2
=-2sin(2x-π/6)-2
と変形しても解けます。

このときは
0≦x＜2π
から
-π/6≦2x-π/6＜4π-π/6
∴
M=2-2=0(このとき2x-π/6=3π/2,7π/2)
m=-2-2=-4(このとき2x-π/6=π/2,5π/2)
つまり
M=0(このときx=5π/6,11π/6)
m=-4(このときx=π/3,4π/3)
となります。
No.83044 - 2022/08/05(Fri) 17:37:20
☆ Re: 三角関数 / Nao
Xさま
こちらもありがとうございます！
お陰様で理解できました。
No.83051 - 2022/08/06(Sat) 00:28:29
★ logの計算 / とうふ
「log6(24)をlog6(2),log6(5)のみを用いて表せ」という問題の解法を教えてほしいです。よろしくおねがいします。
No.83034 - 2022/08/04(Thu) 20:57:26
☆ Re: logの計算 / らすかる
log[6](24)=log[6](6×2×2)=1+log[6](2)+log[6](2)
1=log[6](2)/log[6](2) なので
log[6](24)=log[6](2)/log[6](2)+log[6](2)+log[6](2)
No.83035 - 2022/08/04(Thu) 21:08:26
★ 食塩水の問題 / しょう
15%の食塩水と20%の食塩水をまぜて16%の食塩水1000gを作る時15%の食塩水は何グラム必要かという問題を教えてほしいです。よろしくお願いします。
No.83031 - 2022/08/04(Thu) 18:41:36
☆ Re: 食塩水の問題 / ヨッシー
16% から 15% までの差は 1%
16% から 20% までの差は 4%
1000g を １：４ に分けて 200g と 800g
16% に近い方の 15% を 800g
16% から遠い方の 20% を 200g
答え　800g

こういう飛び道具はたぶん望んでいなくて、方程式で
解きたいと推測します。
ｘ、ｙを使って連立一次方程式にしても良いですが、
ここではｘだけ使う方法でやります。
15%の食塩水をｘｇとすると、20%の食塩水は 1000−ｘｇ
15%の食塩水ｘｇに含まれる食塩は　0.15xｇ
20%の食塩水 1000−ｘｇに含まれる食塩は 0.2(1000−x)ｇ
これを混ぜて、16%の食塩水1000gが出来るので、混ぜたあとの食塩の量は
　0.16×1000＝160(g)
よって、
　0.15x＋0.2(1000−x)＝160
　0.05ｘ＝40
　ｘ＝800(g)　・・・答え
No.83033 - 2022/08/04(Thu) 19:58:33
★ 一般項 を求めよ。 / れおな
[問] 次の数列の一般項 を求めよ。
4,4,6,6,8,8,10,10,…

はどうなりますか?
No.83028 - 2022/08/03(Wed) 19:43:36
☆ Re: 一般項 を求めよ。 / らすかる
4,4,6,6,8,8,10,10,…に近い
4,5,6,7,8,9,10,11,…（=n+3）を引くと
0,-1,0,-1,0,-1,0,-1,…
2倍すると
0,-2,0,-2,0,-2,0,-2,…
1足すと
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
これは
-(-1)^n
と表せますので、
-(-1)^nから1を引いて2で割りn+3を足せば、一般項が
{-(-1)^n-1}/2+(n+3)
={2n+5-(-1)^n}/2
のように書けることがわかります。
No.83029 - 2022/08/04(Thu) 05:08:33
☆ Re: 一般項 を求めよ。 / れおな
どうも有難うございます。
とても参考になりました。
No.83032 - 2022/08/04(Thu) 19:34:28
★ 複素数 / ドーナツ
赤チャート数学?Vの５８ページの問題でジューコフスキー変換という名前のついた問題です。よろしくお願いします。
点zが原点を中心とする半径rの円上を動くとき、w=z+(a^2)/z(a>0)を満たす。
(1)a=rのとき、点wはどのような図形を描くか。
解答は、２点-2a,2aを結ぶ線分、です。

私は２点-2r,2rを結ぶ線分と答えました。どちらでも正解でしょうか?
aの方が定数っぽいからaで答えるべきですか?問題文はa=rと書かれているので、aをrにするべきかなと私は思ったのですが。
No.83025 - 2022/08/03(Wed) 14:05:55
☆ Re: 複素数 / ヨッシー
ａもｒもどちらも正解と思います。
No.83026 - 2022/08/03(Wed) 15:54:00
☆ Re: 複素数 / ドーナツ
ヨッシーさん、ありがとうございます。
No.83030 - 2022/08/04(Thu) 13:29:06
★ 大学数学 / あ
解き方を教えていただきたいです。
No.83024 - 2022/08/03(Wed) 11:50:00
★ (No Subject) / な
大学の課題なのですが、考えても全く分かりませんでした。解き方を教えてほしいです。
No.83023 - 2022/08/03(Wed) 10:35:23
☆ Re: / GandB
　質問に対する回答ではなく、ちょっと興味が湧いて計算してみた。
　マチンの公式は素晴らしい！
No.83027 - 2022/08/03(Wed) 17:38:42
★ 数学のジャンル / squall
インターネットで高校数学のジャンルについて調べてみましたが、代数、幾何、解析、確率、統計というジャンルに分けれるみたいですね。
そのほかにも数学のジャンルはあるかもしれませんが。
そして自分では代数に興味があるのかなと思うようになりました。
ヨッシー先生は先生だから数学のジャンルは問わないとは思うのですが、ヨッシー先生が特に気に入っている数学のジャンルはあったりするんですか？
No.83020 - 2022/08/03(Wed) 07:54:26
☆ Re: 数学のジャンル / ヨッシー
今は高校数学からなくなったようですが、行列が好きでしたね。
あとは、数列ですかね。
それぞれ、代数、解析に含まれると思います。
No.83021 - 2022/08/03(Wed) 08:03:11
☆ Re: 数学のジャンル / squall
わかりました。
回答ありがとうございます。
No.83022 - 2022/08/03(Wed) 08:13:00
★ (No Subject) / matsu
数強の皆様ご協力お願いします。
No.83017 - 2022/08/03(Wed) 00:01:43
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