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★ 全単射の証明 / sochi
f:N×N→Nをf(m,n)=2^{m-1}(2n-1)とするとこれは全単射なのだそうですが,一体どのようにして示せばいいのでしょうか?
No.28801 - 2014/09/11(Thu) 10:40:59
☆ Re: 全単射の証明 / らすかる
m,nが与えられたとき、f(m,n)が唯一の自然数に決まることと
自然数kが与えられたとき、f(m,n)=kとなるm,nが唯一の自然数の組に決まることを
示せば良いと思います。
No.28804 - 2014/09/11(Thu) 11:59:24
☆ Re: 全単射の証明 / sochi
> 示せば良いと思います。

そうですね。それが定義ですからね。

f(m,n)=f(m',n')⇒(m,n)=(m',n')
はどうすれば示せるんでしょうか?

あと,
f(m,n)=kの時,m,nはkでどのように表せるんでしょうか?
No.28820 - 2014/09/11(Thu) 22:50:08
☆ Re: 全単射の証明 / らすかる
k=2^p・q（pは非負整数、qは(正の)奇数）
と一意的に表され、m=p+1、n=(q+1)/2と決まります。
No.28823 - 2014/09/11(Thu) 23:26:42
☆ Re: 全単射の証明 / sochi
有難うございます。理解できました。
No.28883 - 2014/09/14(Sun) 08:38:07
★ 関数 / Kathy
こんにちは。

The following curve passes through (3,1). Use the local linearization of the curve to find the approximate value of y at x=2.8.
2x^2y+y=2x+13.

という問題ですが答えは1.1なのですがどのようにしてとけばいいのでしょうか?
No.28798 - 2014/09/11(Thu) 06:20:06
☆ Re: 関数 / ヨッシー
2(x^2)y+y=2x+13 をｘで微分すると
　4xy＋2(x^2)y'＋y'＝2
x=3, y=1 を代入して、
　12＋18y'＋y'＝2
　y'＝-10/19
x=2.8 のときの y の近似値は
　ｙ＝1＋(2.8-3)(-10/19)≒1.105
という感じです。

点(3,1) における接線が、x=2.8 に達した時の y の値を
曲線の y の値とみなそうという考え方です。
No.28800 - 2014/09/11(Thu) 09:44:23
☆ Re: 関数 / Kathy
どうも有難うございます。なるほど納得です。
No.28904 - 2014/09/15(Mon) 09:53:08
★ 関数 / Kathy
こんにちは。
下記の問題は10 gramsかと思ったら,14gramsなのです。どうしてなのでしょうか?

If 40 grams of a radioactive substance decomposes to 20 grams in 2 years, then, to the nearest gram, the amount left after 3 years is?
No.28797 - 2014/09/11(Thu) 06:17:30
☆ Re: 関数 / ヨッシー
２年で1/2倍になるということは、１年で 1/√2 倍になるので、
　20×1/√2＝10√2≒14 (g)
です。10g になるのはさらにもう１年後です。
No.28799 - 2014/09/11(Thu) 09:08:11
☆ Re: 関数 / Kathy
どうも有難うございます。納得です。
No.28906 - 2014/09/15(Mon) 11:35:20
★ 導関数 / とみー
f(x)=a√{{(tanx)^2+1}/(btanx+c)}のとき、
f'(x)=(a/2){b(tanx)^2+2ctanx-b}{√{{(tanx)^2+1}(btanx+c)}}/(btanx+c)^2となるところまではわかったのですが、f''(x)がわかりません。
解答お願いします。
No.28795 - 2014/09/10(Wed) 21:40:45
★ (No Subject) / riko
こんにちは
導関数についてうまく理解できないので質問させてください
導関数は
f'(a)=lim h→0 ( f(a+h) - f(a) ) / h
と習いました。h→0は0に近づくということは、分子がものすごく大きくなるということですよね？
こんなことをしてどうしてうまく計算できるのでしょうか？

また、計算する時は h=0 を代入してしまいます。
でも、h→0は0に近づくで、0ではないですよね？
なぜ、0を代入してもよいのでしょうか？
それに、分母は0にできないのに、ここではどうして0にできるのでしょうか？

学校で質問したら、うやむやなこといわれ、こう覚えておけといわれて終わってしまいました。
No.28792 - 2014/09/10(Wed) 13:29:23
☆ Re: / らすかる
> h→0は0に近づくということは、分子がものすごく大きくなるということですよね？
分子は f(a+h)-f(a) ですから、普通はものすごく小さくなります。

> また、計算する時は h=0 を代入してしまいます。
> でも、h→0は0に近づくで、0ではないですよね？
おっしゃる通りです。

> なぜ、0を代入してもよいのでしょうか？
連続関数ならばh→0の結果はh=0の結果と同じになりますので、
“普通によく見る関数”でh=0が不適でなければ（1/hのような場合でなければ）
最終的にh=0を代入したものが結果になります。

> それに、分母は0にできないのに、ここではどうして0にできるのでしょうか？
{f(a+h)-f(a)}/h の形のままであれば、hに0を代入することは出来ません。
しかし、{f(a+h)-f(a)}/hを計算した結果分母にhがなくなれば、hに0が代入できますね。
No.28793 - 2014/09/10(Wed) 16:07:15
☆ Re: / riko
お返事ありがとうございます
> 分子は f(a+h)-f(a) ですから、普通はものすごく小さくなります。
あっ、そうですね。

> 連続関数ならばh→0の結果はh=0の結果と同じになりますので、
？？？でした。説明は難しいですか？

> しかし、{f(a+h)-f(a)}/hを計算した結果分母にhがなくなれば、hに0が代入できますね。
計算した結果分母にhがなくならないことってあるのでしょうか？
もし、hという区間につながっていないとこがあれば、 h=0は代入できない？？？てことになりますか？
ということは、導関数をつくれない？
混乱してきました。
No.28802 - 2014/09/11(Thu) 10:51:02
☆ Re: / らすかる
> > 連続関数ならばh→0の結果はh=0の結果と同じになりますので、
> ？？？でした。説明は難しいですか？
「連続関数」はわかりますか？
もしg(x)が連続関数であれば、
lim[h→0]g(h)=g(0)
ですから、limの中身をまとめた結果が連続関数であれば
hにそのまま0を代入したものが結果になります。
（連続関数でなくても、g(x)がx=0において連続であるだけで十分です。）

> 計算した結果分母にhがなくならないことってあるのでしょうか？
例えば最終的に lim[h→0]sin(h)/h となった場合は、このhは
消すことができませんね。
No.28803 - 2014/09/11(Thu) 11:55:29
☆ Re: / riko
> 「連続関数」はわかりますか？
こういう条件が必要だったのですね。調べてみます。

> 例えば最終的に lim[h→0]sin(h)/h となった場合は、このhは
> 消すことができませんね。
導関数が得られないこともあるのですね。

ありがとうございました。すっきりしました。
No.28885 - 2014/09/14(Sun) 11:59:25
★ 極限 / RIN
こんばんは。

(1)lim n→∞ (n^3+n^2)^(1/3)　-n

(2)lim x→-π/2 (2x+π)tanx

この２問なのですが、
(1)は1/3乗をどうしたらいいかわかりませんでした。

よろしくお願いします。
No.28785 - 2014/09/09(Tue) 22:18:32
☆ Re: 極限 / angel
(1) 1/3乗 ( 3乗根 ) だと難しく感じるかもしれませんが、平方根 ( 1/2乗 ) ならどうでしょう…?
例えば、√a-√b のような形を含んだ極限だと、
　√a-√b = (√a-√b)(√a+√b)/(√a+√b) = (a-b)/(√a+√b)
のように、有理化の逆のようなことを良くやります。
これは、x^2-y^2=(x-y)(x+y) に基づいたものですね。

なので、例題としては、
　√( n(n+1) ) - √( n^2 )
　= √n・( √(n+1) - √n )
　= √n・( (n+1)-n )/(√(n+1)+√n)
　= √n/(√(n+1)+√n)
　よって、lim[n→∞] √( n(n+1) ) - √( n^2 ) = 1/2
のようなものが考えられます。
同じように3乗根も考えてみると…?

(2) とにかくひたすら、lim[x→0] tanx/x = 1 ( もしくは lim[x→0] x/tanx = 1 ) の形に持ち込むことを考えます。
そうすると、(2x+π) という形ではどうにもならないので、何か変数を置き換えて、例えば y に置き換えるとすると、lim[y→0] ( tany を含んだ何か ) を目指すことです。
No.28788 - 2014/09/09(Tue) 23:07:07
☆ Re: 極限 / RIN
（2）は解けました!!
（1）はとりあえずn＾2でくくってみたのですが、やっぱり分かりませんでした…。
No.28791 - 2014/09/10(Wed) 10:42:27
☆ Re: 極限 / IT
一般に(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
よって　a^2+ab+b^2≠０のとき　a-b=(a^3-b^3)/(a^2+ab+b^2)
ここでa=(n^3+n^2)^(1/3),b=n　とおくと良いのでは。

(n^3+n^2)^(1/3)-n
=(n^3(1+1/n))^(1/3)-n
=n(1+1/n)^(1/3)-n
={(1+1/n)^(1/3)-1^(1/3)}/(1/n) として考える方法もあります。
No.28794 - 2014/09/10(Wed) 18:44:02
☆ Re: 極限 / angel
すでにITさんが説明されているのですが、平方根の場合と比較のために、似たような形で揃えて書いてみます。
なお、3乗根は [3]√x のように表現するものとします。

　[3]√a-[3]√b
　= ([3]√a-[3]√b)( [3]√(a^2)+[3]√(ab)+[3]√(b^2) )/( [3]√(a^2)+[3]√(ab)+[3]√(b^2) )
　= (a-b)/( [3]√(a^2)+[3]√(ab)+[3]√(b^2) )
　※これは、x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) に基づく

今回の問題では、

　[3]√( n^2(n+1) ) - [3]√( n^3 )
　= [3]√(n^2)・( [3]√(n+1) - [3]√n )
　= [3]√(n^2)・( (n+1)-n )/( [3]√((n+1)^2) + [3]√(n(n+1)) + [3]√(n^2) )
　= [3]√(n^2)/( [3]√((n+1)^2) + [3]√(n(n+1)) + [3]√(n^2) )
　よって、lim[n→∞] [3]√( n^2(n+1) ) - [3]√( n^3 ) = 1/3
No.28796 - 2014/09/10(Wed) 23:35:21
★ (No Subject) / あき
aを実数の定数とする。
xの方程式ax-2=-2√(x-3)の異なる実数解の個数をaの値に
よって場合分けせよ。

グラフを書いて求めようと思ったんですが、結局分かりませんでした・・・。

よろしくお願いします。
No.28784 - 2014/09/09(Tue) 21:43:37
☆ Re: / angel
グラフと言うことであれば、添付の図のようなものになります。
y=-2√(x-3) というのは、横向きの放物線の上半分を除いた曲線ですね。
で、y=ax-2 と言うのは、定点(0,-2)を通る色々な傾きの直線になります。
傾きを色々変化させた時にどうなるか、それを見てみましょう。
※なんだったら紙の上に放物線を描いて、鉛筆を直線に見立てて動かしてみても良いのですよ
特に「傾き0」の前後に注意。

どちらにせよ、最終的に鍵を握るのは判別式の計算ですが。
No.28790 - 2014/09/09(Tue) 23:46:07
★ 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
aを定数とする。3次関数f(x)＝x^3-2ax^2＋a^2xの0≦x≦1における最大値M(a)を求めよという問題です。

まずxがa/3とaであることを求め、a/3となるf(x)の4(a^3)/27が他にもあることから

x^3-2ax^2＋a^2x-4(a^3)/27をして、aの値が4(a)/3があるという部分までは良いのですが、ここから先が解りません。

1<a/3　よってM(a)＝f(1)

a/3≦1≦4(a)/3 よってM(a)＝f(a/3)

0<4/3a<1 よってM(a)＝f(1)

という三つのMが出るのですが、このMの値はどういう計算をしてそれぞれ1とa/3を出したのかよく分かりません。その計算方法を教えてください。
No.28780 - 2014/09/09(Tue) 18:31:39
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / ヨッシー
まず、y=f(x) がどういう形かを調べないといけません。
f(x)＝x(x-a)^2 ですから、y=f(x) のグラフは、
　原点を通る、　ｘ＝ａでｘ軸に接する
と分かります。ａの正負によって、図のように２通り考えられますが、
ａ≦０ の場合は、０≦ｘ≦１ において、単調増加なので、
最大値は f(1) になります。
ａ＞０ の場合、極大値の f(a/3) を範囲に含むか、また、極大値より大きい値が存在するかによって、
右の図の矢印で示した３通りの範囲設定が考えられます。
１＜ａ／３ つまり　３＜ａ のとき
　極大値を範囲に含まないので、f(1) が最大値。
ａ／３＜１＜ｂ　（ｂはf(x)が極大値と一致する、x=a/3 以外の値）のとき
　極大値が最大値となります。
ｂ≦１　のとき
　f(1) が極大値より大きいので、f(1) が最大値となります。
No.28781 - 2014/09/09(Tue) 18:53:41
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
この問題の応えは0<a3/4,3<aの時　
M(a)＝a^2-2a＋1

3/4≦a≦3のとき
M(a)＝4(a^3)/27

という二つの回答があり、Mの算出時の不等号の式も解説のものと大きく異なっているのでこの解説には誤りがある気がします。
あと、Mの値を計算によって算出する方法が知りたい、という質問なので例えば1<a/3、つまりa>3の場合にfが1になるという過程の計算式を知りたい、という質問です。
No.28782 - 2014/09/09(Tue) 19:43:50
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
訂正
> この問題の応えは0<a<3/4,3<aの時　
> M(a)＝a^2-2a＋1
No.28783 - 2014/09/09(Tue) 19:47:44
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / angel
> この解説には誤りがある気がします。
勝手に決めつけるの、良くナイ。
ヨッシーさんの解説で合っています。

なお、ヨッシーさんは a≦0 の場合も考慮されていますが、尾木ママさんの挙げた答えにないことから、問題の前提として「a＞0」があるのでは。問題の条件は正確に。

> Mの値を計算によって算出する方法が知りたい
それは尾木ママさんが答えの導き方を誤解しているのでしょう。
> 例えば1＜a/3、つまりa＞3の場合にfが1になるという過程の計算式
解答を書く上では、如何にも 1＜a/3 を出発点にして、そこから 1 という数字が導かれ、M=f(1) と計算しているかのようにするかもしれませんが、実際にそう考えて解く訳ではありません。解けません。

道筋としては、
・最大値は、極大値もしくはf(1)のどちらかである
・f(1)が最大値になるとしたら〜という状況である
・その状況の一つが 1＜a/3 である
という順序になっていて、それを踏まえた上でヨッシーさんは
> まず、y=f(x) がどういう形かを調べないといけません。
と切り出したわけです。

…取り敢えず、失礼な態度だと思いますよ、と釘を刺しておきます。
No.28786 - 2014/09/09(Tue) 22:38:24
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
ヨッシーさんがかかれたものが解説の式とかなり異なっていたので解りませんでした。
よくよく見直すとヨッシーさんのかかれた式で理解できました。申し訳ありませんでした。
No.28787 - 2014/09/09(Tue) 23:00:47
★ 2変数のマクローリン展開 / はた
9,2の問題を教えてください
よろしくお願いします。
No.28774 - 2014/09/07(Sun) 23:40:00
☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / はた
なお、答えはθ＝1/3です
よろしくお願いします。
No.28775 - 2014/09/07(Sun) 23:41:34
☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / angel
とにかく偏微分の計算をすること、ですかね。
x,yの2変数関数fに対し、

　(∂/∂x+∂/∂y)・f = ∂f/∂x+∂f/∂y

となります。演算子が何重にもなっている場合でも同じで、

　(∂/∂x+∂/∂y)^2・f
　= (∂/∂x+∂/∂y)・(∂f/∂x+∂f/∂y)
　= ∂/∂x・(∂f/∂x+∂f/∂y) + ∂/∂y・(∂f/∂x+∂f/∂y)
　= ( ∂^2 f/∂x^2 + ∂^2 f/∂x∂y ) + ( ∂^2 f/∂x∂y + ∂^2 f/∂y^2 )
　= ∂^2 f/∂x^2 + 2∂^2 f/∂x∂y + ∂^2 f/∂y^2

なおこれは、演算子部分を先に
　(∂/∂x+∂/∂y)^2 = ∂^2/∂x^2 + 2∂^2/∂x∂y + ∂^2/∂y^2
と計算するのと結果は同じですね。

さてそうすると、問題にある
　(h∂/∂x+k∂/∂y)・f = h∂f/∂x+k∂f/∂y
　(h∂/∂x+k∂/∂y)^2・f = h^2∂^2 f/∂x^2 + 2hk∂^2 f/∂x∂y + k^2∂^2 f/∂y^2
と、実際の偏導関数
　∂f/∂x = y^2
　∂f/∂y = 2xy
　∂^2 f/∂x^2 = 0
　∂^2 f/∂x∂y = 2y
　∂^2 f/∂y^2 = 2x
から、
　(x+h)(y+k)^2 = xy^2 + (h・y^2+k・2xy) + 1/2・(h^2・0+2hk・2(y+θk)+k^2・2(x+θh))
となりますから、これを整理していけばθが分かります。
No.28779 - 2014/09/09(Tue) 02:00:15
★ (No Subject) / ヒキニート
xy平面上にθを媒介変数とする曲線
C1:x=4cosθ 、 y=2sinθ (-π/2≦θ≦π/2)
とtを媒介変数とする曲線
C2:x=1/2(t+1/t) 、 y=1/2(t-1/t) (t>0)
がある。

(1)C2上の点(x,y)が満たす方程式を求めよ。また、xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)C1とC2の交点の座標を求めよ。また、交点に対応するtの値も求めよ。
(3)C1とC2によってかこまれる部分の面積Sを求めよ。
No.28773 - 2014/09/07(Sun) 23:14:57
☆ Re: / ヨッシー
(1)
cosθ＝x/4, sinθ＝y/2 より
　(x/4)^2＋(y/2)^2＝1
　x^2/16＋y^2/4＝1　　(i)
-π/2≦θ≦π/2 より
　0≦ｘ≦4

(2)
　x=(1/2)(t+1/t) 、 y=(1/2)(t-1/t)
であるとします。
両辺２倍して２乗して
　4x^2＝t^2＋1/t^2＋２, 4y^2＝t^2＋1/t^2−２
よって、
　4x^2−２＝4y^2＋２
　x^2−y^2＝1　 ・・・　(ii)
ただし、相加相乗平均より　t+1/t≧2 (等号は t=1 の時) なので、
　x≧1　（つまり双曲線の右半分）
Ｃ1, Ｃ2 の交点を求めるには、x=4cosθ, y=2sinθ を (ii) に代入して、
　16cos^2θ−4sin^2θ＝1
　16cos^2θ−4(1−cos^2θ)＝1
　20cos^2θ＝5
　cos^2θ＝1/4
0≦ｘ≦4 より cosθ＝1/2, このときθ＝−π/3, π/3
交点の座標は (2, ±√3)
これに対応するｔの値は、t＋1/t＝4 より
　t^2−4t＋1＝０
　ｔ＝2±√3　・・・答え
(3)
Ｃ1, Ｃ2 に囲まれた部分の面積Ｓは、図の通りなので、
　x^2/16＋y^2/4＝1 より y＝√(4−x^2/4)　　　(楕円の上半分)
　x^2−y^2＝1 より y＝√(x^2−1)　（双曲線の上半分）
より、
　Ｓ＝２∫[1〜2]√(x^2−1)dx＋２∫[2〜4]√(4−x^2/4)dx
Ｔ＝∫[1〜2]√(x^2−1)dx , Ｕ＝∫[2〜4]√(4−x^2/4)dx とすると、
Ｔにおいて、ｘ＝cosh(t)＝(e^t＋e^(-t))/2 とおくと、
　1≦ｘ≦2 は、0≦t≦log(2＋√3) に対応し
　√(x^2−1)＝√{(e^t−e^(-t))/2}^2＝(e^t−e^(-t))/2
dx/dt＝(e^t−e^(-t))/2 より、dx＝(e^t−e^(-t))dt/2
　Ｔ＝∫[0〜log(2＋√3)]{e^2t＋e^(-2t)−2}dt/4
　　＝[(1/2)e^2t−(1/2)e^(-2t)−2t][0〜log(2＋√3)]／４
　　＝{(1/2)(2＋√3)^2−(1/2)(2＋√3)^(-2)−2log(2＋√3)−1/2＋1/2}／４
　　＝{(1/2)(7＋4√3)−(1/2)／(7＋4√3)−log(7＋4√3)}／４
　　＝{(1/2)(7＋4√3)−(1/2)(7−4√3)−log(7＋4√3)}／４
　　＝(4√3−log(7＋4√3))/4
　　＝√3−(1/4)log(7＋4√3)

Ｕにおいて、
Ｕ＝(1/2)∫[2〜4]√(16−x^2)dx とおき、ｘ＝4sin(t) とおくと、
2≦ｘ≦4 は π/6≦t≦π/2 に対応し
√(16−x^2)＝4cos(t)　dx/dt＝4cos(t)　より
　Ｕ＝(1/2)∫[π/6〜π/2]16cos^2(t)dt
　　＝2∫[π/6〜π/2](2cos(2t)＋2)dt
　　＝２[sin(2t)＋2t][π/6〜π/2]
　　＝２{π−√3/2−π/3]
　　＝4π/3−√3
以上より
　Ｓ＝２(Ｔ＋Ｕ)＝8π/3−(1/2)log(7＋4√3)
No.28776 - 2014/09/08(Mon) 16:32:58
★ 教えてください。 / sakuchan
１００円、１０円、５円、１円の硬貨が１枚ずつある。この４枚の硬貨を同時に１回投げるとき、表が出た硬貨の合計金額が１０円以下になる確率を求めなさい。ただし、どの硬貨の表裏の出方も同様に確からしいものとする。

という問題があります。
答えは５/１６ですが、なぜそのようになるにか教えてください。

中学三年生女子です。
No.28771 - 2014/09/07(Sun) 21:07:30
☆ Re: 教えてください。 / 農場長
それぞれの硬貨は表or裏の２通り考えられます。
中学生ですので、それで樹形図を書き上げると
全部で１６通りになるのがわかると思います。
（計算で求めるなら、2^4=16通りです）

そのうち、１０円だけが表だったらＯＫですよね。
それは、５円だけ、１円だけもＯＫです。
また、５円＋１円でもＯＫです。
そして、４枚の硬貨全部が裏のとき、つまり０円のときも
考えられるので、合計金額が１０円以下になるのは５通り。
No.28772 - 2014/09/07(Sun) 21:43:32
☆ Re: 教えてください。 / 潤一郎
あの〜。すみません、横から。僕は高校１年生です。

この中学生さんの問題ですが。

４枚の硬貨全部がの裏の時０円ってどういうことですか？

この硬貨は１００円玉、１０円玉、５円玉、１円玉

ではないのですか？

恥ずかしいですが、思いきって投稿しました。
僕にも教えて下さい。
No.28777 - 2014/09/08(Mon) 20:52:11
☆ Re: 教えてください。 / 潤一郎
すみません！何度も。すぐに投稿してしまい

申し訳ありませんでした。

勘違いしていました。分かりました。

表が出た場合しか聞かれていないので

裏は確かに０円でした。

汚してしまって済みませんでした。

恥ずかしいですが、いつもの硬貨の問題が

閃いて、少し考え過ぎていました。

ありがとうございました。
No.28778 - 2014/09/09(Tue) 00:06:23
★ (No Subject) / スピンクス
a＝(１＋√５)/２のとき、次の式の値を求めよ。
(１)a^2−a−１
(２)a^4+a^3+a^2+a

解答が無いので全く分かりません。教えてください。
No.28764 - 2014/09/07(Sun) 18:15:29
☆ Re: / X
a=(1+√5)/2 (A)
より
2a-1=√5
(2a-1)^2=5
4a^2-4a-4=0
∴a^2-a-1=0 (B)
(B)を使い、(1)(2)共に
与式をa^2-a-1で割った余りを求め
それに(A)を代入するのが方針になります。

但し(1)については与式が(B)の左辺
そのものという特別な場合となっており
(与式)=0
となります。
No.28765 - 2014/09/07(Sun) 18:39:22
☆ Re: / ヨッシー
(1)
実数係数の二次方程式で、ｘ＝(1＋√5)/2 が解になるものを考えると、
　ｘ＝(1−√5)/2 も解となります。
ｂ＝(1−√5)/2 とおくと、解と係数の関係から
　ａ＋ｂ＝１、ａｂ＝−１
より、ｘ＝(1＋√5)/2 を解に持つ二次方程式の１つとして、
　ｘ^2−ｘ−１＝０
が得られます。ａはこれの解の１つなので、
　ａ^2−ａ−１＝０　　・・・答え
(2)
(1) の結果より
　ａ^4−ａ^3−ａ^2＝０　より　ａ^4＝ａ^3＋ａ^2
よって、
　a^4+a^3+a^2+a＝２ａ^3＋２ａ^2＋ａ
さらに、　ａ^3−ａ^2−ａ＝０ より　ａ^3＝ａ^2＋ａ　より
　２ａ^3＋２ａ^2＋ａ＝４ａ^2＋３ａ
　　＝４(ａ＋１)＋３ａ＝７ａ＋４
　　＝(15＋7√5)／２
No.28767 - 2014/09/07(Sun) 19:05:10
★ 導関数 / とみー
gは定数とするとき、次の問いに答えよ。ただし、分母を有理化すること。
(1)√(3675g(tan(x)^2+1))/√(700tan(x)-17)をxについて微分せよ。

(2)√(14700g(tan(x)^2+1))/√(1400tan(x)+133)をxについて微分せよ。

独学で、微分を勉強していて、無理関数の微分、商の微分、三角関数の微分などは、わかったのですが、まだ初心者で…。
詳しく解答していただけたら幸いです。
No.28763 - 2014/09/07(Sun) 18:11:00
☆ Re: 導関数 / X
既に別の掲示板に同じ質問に対する回答がついていますよ。
No.28766 - 2014/09/07(Sun) 18:40:12
☆ Re: 導関数 / とみー
ありがとうございます！
No.28769 - 2014/09/07(Sun) 19:22:18
★ (No Subject) / 太郎
互いに素な分母を持つ分数(整数でない)どうしをたしたものが整数になることはない　という、事実を今日しったのですが、なぜこのようなことがいえるのか、いまいちよくわかりません。感覚的には、整数にならなそうなのですが、自明なのかどうかぴんときません　
ご教授お願いします
No.28762 - 2014/09/07(Sun) 17:53:31
☆ Re: / ヨッシー
２つの有理数Ａ，Ｂがあり、
　Ａ＝Ａ’＋ａ
　Ｂ＝Ｂ’＋ｂ
とします。ただし、Ａ’，Ｂ’は整数、０＜ａ＜１, ０＜ｂ＜１
ここで、Ａ＋Ｂ が整数になるならば、ａ，ｂの範囲より
　ａ＋ｂ＝１
になるしかありません。ここで、
　ａ＝n/m　（m は２以上の整数、ｎは０＜ｎ＜ｍ かつｍと互いに素な整数）
とおくと、
　ｂ＝１−ａ＝(m-n)/m
となり、ａとｂとは同じ分母を持ち、分母が互いに素であることに矛盾します。
No.28768 - 2014/09/07(Sun) 19:20:13
☆ Re: / 太郎
とてもわかりやすい解説をしてくださり、ありがとうございました
No.28770 - 2014/09/07(Sun) 19:34:35
★ 二次不等式 / 高3です
xについての二次不等式ax^2+x+b＞0の解が3＜x＜4となるとき、定数a,bの値を求めよ。

答えはa＝-1/7、b＝-12/7
なんですけど、どう計算したらいいか分かりません。教えてください。
No.28759 - 2014/09/07(Sun) 14:05:08
☆ Re: 二次不等式 / らすかる
答えが3＜x＜4となる二次不等式の一つは
(x-3)(x-4)＜0ですね。
これを展開するとx^2-7x+12＜0となり、
ax^2+x+b＞0と1次の項の係数を合わせるためには
全体に-1/7を掛ければ良いので
x^2-7x+12＜0の両辺に-1/7を掛けて
-(1/7)x^2+x-12/7＞0
となります。
よってa=-1/7、b=-12/7です。
No.28760 - 2014/09/07(Sun) 15:37:36
☆ Re: 二次不等式 / 高3です
分かりましたっありがとうごさいます(*^^*)
No.28761 - 2014/09/07(Sun) 16:04:50
★ 因数分解 / KO
1/4x^2−2x＋4 を因数分解する問題です。

私は、1/4x^2−2x＋4＝(1/2x)^2＋2×1/2×(−2）x＋(−2)^2 と考え、

答えを、(1/2 x−2）^2　としたのですが、

解答は、 1/4 (x-4)^2　でした。

どちらも展開すれば 1/4x^2−2x＋4 になるのですが、私の答えは間違っているのでしょうか？
No.28751 - 2014/09/05(Fri) 15:45:33
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
間違ってはいません。
通常、減点されないはずです。
No.28752 - 2014/09/05(Fri) 15:48:16
☆ Re: 因数分解 / KO
ありがとうございます！
No.28756 - 2014/09/05(Fri) 18:49:44
★ 一次方程式 / TK
4(x-2)=4xの解は、
4x-8=4x
4x-4x=8　になるのですが、4x-8は4xではないので成立しませんよね？
解き方教えて下さい！
No.28744 - 2014/09/05(Fri) 08:51:17
☆ Re: 一次方程式 / ヨッシー
これは整理すると
　−８＝０
となり、解のない方程式となっています。
No.28745 - 2014/09/05(Fri) 09:48:31
☆ Re: 一次方程式 / 七
ですから,その1次方程式は解無しになります。
1次方程式は
ax＝b と変形して

aが0でなければただ1つの解
x＝b/a を持ちます。

a＝0のときは
bが0でなければ解無し。
bも0のときは
xはすべての数。

というのが答えになります。
No.28746 - 2014/09/05(Fri) 10:00:23
☆ 念の為 / angel
一応念の為、大事なことなので確認したいのですが

・方程式に解がないこともある
・方程式の解が無数にあることもある

というのは良いですよね…?

※まあ、一次式しか出てこない方程式は、大抵は解が1つに決まるのですが
No.28750 - 2014/09/05(Fri) 14:03:01
☆ Re: 一次方程式 / TK
ありがとうございました！
No.28757 - 2014/09/05(Fri) 19:59:45
★ 極限の問題 / aqwe
画像見づらくてすいません。
問題文は
lim[x→a]1/(x-a){(x^n-a^n)/(x-a)-na^(n-1)}
問題集に答えが載っていなくて分からないので
質問しました。よろしくお願いします。
No.28742 - 2014/09/05(Fri) 08:33:11
☆ Re: 極限の問題 / X
x-a=hと置くと
(与式)=lim[h→0]{{(a+h)^n-a^n}/h-na^(n-1)}/h
=lim[h→0]{Σ[k=0〜n-1]{(a+h)^k}a^(n-1-k)-na^(n-1)}/h
∴f(x)=Σ[k=0〜n-1](x^k)a^(n-1-k)
と置くと
(与式)=f'(a)=Σ[k=0〜n-1]ka^(n-2)
=(1/2)n(n-1)a^(n-2)
No.28748 - 2014/09/05(Fri) 12:10:37
☆ Re: 極限の問題 / angel
テイラー展開
　f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+1/2・f''(a)(x-a)^2+1/3!・f'''(a)(x-a)^3+…
を知っていれば、
　( f(x)-f(a) ) - f'(a)(x-a) = 1/2・f''(a)(x-a)^2+1/3!・f'''(a)(x-a)^3+…
ですから、両辺を (x-a)^2 で割った
　1/(x-a)・( (f(x)-f(a))/(x-a) - f'(a) ) = 1/2・f''(a) + 1/3!・f'''(a)(x-a)+…
から、
　lim[x→a] 1/(x-a)・( (f(x)-f(a))/(x-a) - f'(a) ) = 1/2・f''(a)
と答えの見当がつきます。
※今回の問題は、f(x)=x^n のケース

なお、もしこれを解答で使うなら、テイラー展開ではなく「平均値の定理」から説明すべきでしょうけど。
No.28749 - 2014/09/05(Fri) 13:00:42
☆ Re: 極限の問題 / aqwe
ありがとうございます。よく分かりました!
No.28755 - 2014/09/05(Fri) 18:03:03
★ 通過領域 / kux
tを定数として、xy平面上の直線lt:y=-tx+e^tを考える。
tが実数全体を変化するとき、ltが通過する領域を求めて図示せよ。
着眼を教えてください。よろしくお願いします。
No.28737 - 2014/09/04(Thu) 20:24:37
☆ Re: 通過領域 / X
条件から、問題はtの方程式
y=-tx+e^t (A)
が実数解を持つための条件を求めることと
等価になります。
ここで(A)より
e^t-xt-y=0
そこで
f(t)=e^t-xt-y
と置き、横軸にt、縦軸にf(t)を取ったグラフが
t軸と交点を持つ条件を求めます。
No.28738 - 2014/09/04(Thu) 20:32:53
☆ Re: 通過領域 / IT
xの値毎にxを定数と考えて、tについての関数f(t)=-xt+e^tの値域を調べる。
x＜0,x＝0,x＞0の場合に分けて考えることになります。
No.28739 - 2014/09/04(Thu) 20:33:24
☆ Re: 通過領域 / kux
ありがとうございました。やってみます。
No.28743 - 2014/09/05(Fri) 08:43:25
★ 条件つき確率 / yuhka
５枚の赤いカードに２，３，４，５，６の数字が１つずつ、５枚の青いカードに７，８，９，１０，１１の数字が１つずつ書いてある。
赤いカードから１枚、青いカードから１枚引いて、書かれた数字をそれぞれX、Yとし、Z=2X+Yとおく。
X、Zが素数になるという事象をそれぞれA、Bとすると
P(A)=(ア)/(イ),P(B)=(ウ)/(エ),P(A∩B)=(オ)/(カキ),PB(A)=(ク)/(ケ)
始めの３つは3/5,2/5,1/25と出ましたが、最後の答えが合いません・・
ご指摘お願いします(>_<)
No.28736 - 2014/09/04(Thu) 20:00:50
☆ Re: 条件つき確率 / ヨッシー
A={2,3,5},B={(2,7)(2,9)(3,7)(3,11)(4,9)(4,11)(5,7)(5,9)(6,7)(6,11)}
以上、それぞれ３通り、１０通りが、Ａ、Ｂの起こる場合です。
P(A)=3/5, P(B)=10/25=2/5 は良いですが、
A∩B＝{(2,7)(2,9)(3,7)(3,11)(5,7)(5,9)} の６通りなので、
P(A∩B)＝6/25

PB(A) は、Ｂが起こった条件下でのＡの確率なので、
Ｂの１０通りのうち、Ａであるのは６通りなので
　PB(A)＝6/10＝3/5
公式でいうと
　PB(A)＝P(A∩B)/P(B)＝(6/25)／(2/5)＝3/5
となります。
No.28747 - 2014/09/05(Fri) 11:23:54
☆ Re: 条件つき確率 / yuhka
Ｂを数え間違えていました・・・
ありがとうございました！
No.28758 - 2014/09/05(Fri) 22:50:13
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