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★ (No Subject) / とら
こんにちは。
早速ですが、微分の問題で質問があります。

{(t^2)/2 +1 }／e^t

をtについて微分すると、どうなるでしょうか。

私は、
{-(t^2)/2 + t - 1}／e^t

だと思いましたが、正しいでしょうか？
No.29056 - 2014/09/28(Sun) 20:03:26
☆ Re: / らすかる
正しいです。このような計算は↓こちらで確認できます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdt%29+%28t%5E2%2F2%2B1%29%2Fe%5Et
No.29057 - 2014/09/28(Sun) 20:12:27
☆ Re: / ヨッシー
それで正しいです。

　f(t)=t^2/2+1, g(t)=e^(-t)
とすると
　f'(t)＝t, g'(t)＝-e^(-t)
なので、
　{f(t)g(t)}'＝f'(t)g(t)＋f(t)g'(t)
　　＝te^(-t)−(t^2/2+1)e^(-t)
　　＝{-t^2/2＋t−1}／e^t

また、
　f(t)=t^2/2+1, g(t)=e^t
とすると
　f'(t)＝t, g'(t)＝e^t
なので、
　{f(t)/g(t)}'＝{f'(t)g(t)−f(t)g'(t)}/g(t)^2
　　＝{te^t−(t^2/2+1)e^t}/(e^t)^2
　　＝{t−(t^2/2+1)}/e^t
となり、いずれも同じ結果になります。
No.29059 - 2014/09/28(Sun) 20:13:54
☆ Re: / とら
ありがとうございます。
よく分かりました。

実は、この式を微分したのは、不等式の
e^t > 1 + (t^2)/2
を証明したかったからでした。

塾では、この両辺をe^tで割り、右辺を微分してグラフを書き、右辺が１未満であることを示せ、と言われたのですが、とても煩雑になり、私の微分が間違っているのかと考えたのでした。

よろしければ、どうやったら、この不等式の両辺をe^tで割った式の増減表を書いたらよいか、教えていただけませんでしょうか？
No.29060 - 2014/09/28(Sun) 20:25:56
☆ Re: / らすかる
-t^2/2+t-1=-{(t-1)^2+1}/2ですから微分した式は常に負、
従って元の式は減少関数であり、t=0のとき1ですから
t＞0で1より小さくなります。
No.29062 - 2014/09/28(Sun) 20:45:39
☆ Re: / とら
らすかるさん

上で別に質問を立ててしまいましたが、こちらで教えていただき、ありがとうございます。

それで、極限t→+0は１未満になるのはどうしてでしょうか？
No.29063 - 2014/09/28(Sun) 20:48:15
☆ Re: / とら
すみません！
分かりました！
t=0を入れたら、もとの式は0になって、そこから単調減少なのだから、極限t→+0は１未満になるんですね！！！
No.29064 - 2014/09/28(Sun) 20:49:56
☆ Re: / らすかる
極限は1未満になりません。1です。
No.29065 - 2014/09/28(Sun) 20:58:39
☆ Re: / とら
そうでした、極限は１です。

つまり、t=0を入れたら、もとの式は1になって、そこから単調減少なのだから、t>0ではすべて、1未満になる、ということでしょうか？
No.29069 - 2014/09/28(Sun) 21:38:53
☆ Re: / らすかる
その通りです。
というか、それは既に29062に書いたことです。
No.29077 - 2014/09/28(Sun) 22:28:18
★ お願いします。 / MONO
一辺の長さが4である正八面体ABCDEFがある。



(1)三角形ABCを底面としたときの正八面体の高さを求めよ。

(2)この正八面体を平面ABCと平行な平面で切り、体積を2等分する。とのときの切り口はどんな図形か。また、切り口の面積を求めよ。
No.29046 - 2014/09/27(Sat) 19:47:52
☆ Re: お願いします。 / ヨッシー

(1)
図のように座標を置くと、
　ＡＥ^2＝4/3＋4＋z^2＝16/3＋z^2＝16
より
　z^2＝32/3
　ｚ＝4√2/√3＝4√6/3

(2)
図の黄色の線(高さ2√6/3の位置)が、２等分する面となります。
１辺２の正六角形になるので、切り口の面積は
　６×(2×√3÷2)＝6√3
No.29047 - 2014/09/27(Sat) 19:48:36
☆ Re: お願いします。 / MONO
(2)で、黄色のところが高さ2√6/3の点であるということはどのようにしてわかるのでしょうか？
No.29048 - 2014/09/27(Sat) 20:48:14
☆ Re: お願いします。 / ヨッシー
>一辺が2になるのはどうやってもとめるのでしょうか？？
中点連結定理から分かります。

> (2)で、黄色のところで二等分になる理由をもう少し詳しく教えてくださいm(__)m
△ＡＢＣ側の立体と、△ＤＥＦ側の立体が、全く同じ形になるためです。

>(2)で、黄色のところが高さ2√6/3の点であるということはどのようにしてわかるのでしょうか？
３点Ａ，Ｂ，Ｃの高さ(ｚ座標)が０で、３点Ｄ，Ｅ，Ｆの高さが
4√6/3 であり、黄色の六角形はそのちょうど真ん中の点を結んでいるからです。
ちなみに、この問題で、黄色の六角形の高さはあまり重要ではありません。
No.29051 - 2014/09/28(Sun) 06:47:44
☆ Re: お願いします。 / MONO
質問多すぎてすみませんでしたm(__)m

丁寧に教えてくださりありがとうございました！！！
No.29052 - 2014/09/28(Sun) 09:40:23
★ ｳﾞｪｸﾄﾙ / ふぇるまー
問:△ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP,辺CAの中点をQ,辺ABを1:2に内分する点をRとする。
(1)3点P,Q,Rは一直線上にあることを証明せよ。
(2)PQ:QR＝?

先日質問させていただきましたが、ご反応がなかったので再度おねがいします。
No.29042 - 2014/09/27(Sat) 16:15:58
☆ Re: ｳﾞｪｸﾄﾙ / ヨッシー
メネラウスの定理およびその逆で一発ですが、
ベクトルと言うことですので、それに従います。
　ＡＢ＝ｂ、ＡＣ＝ｃ
とおきます。
　ＡＲ＝(1/3)ｂ
　ＡＰ＝２ｃ−ｂ
一方、
　ＡＱ＝(1/2)ｃ
ですが、
　ＡＱ＝(３ＡＲ＋ＡＰ)／４
　　＝(3/4)ＡＲ＋(1/4)ＡＰ
と表せ、Ｑは、ＰＲを３：１に内分する点として表されます。
よって、点Ｑは線分ＰＲ上にあり、３点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上にあります。
また、ＰＱ：ＱＲ＝３：１　です。
No.29044 - 2014/09/27(Sat) 16:34:37
☆ Re: ｳﾞｪｸﾄﾙ / ふぇるまー
ありがとうございます。ﾒﾈﾗｳｽでも出来るんですね。以外です(;ﾟдﾟ)
No.29050 - 2014/09/27(Sat) 22:37:47
★ (No Subject) / ｋｋｋ
a,bを100以下の自然数とする。
二つの分数a/27,31/bがどちらも既約分数であり、かつ
a/27+31/bが整数であるとする。このようなa,bの組を全て求めよ。

解説をお願いします。

a/27が既約分数となるからaは１〜１００のうち3の倍数で無いもの、なのですか？a/27のaにいかなる整数（２７の倍数を除く）を代入しても既約分数になりますよね。3/27=1/9のように。単に分数になっちゃだめという文脈なのか、aを代入したとき約分されてはダメという文脈なのか、不明瞭ですよね？
No.29035 - 2014/09/27(Sat) 04:21:43
☆ Re: / IT
> a/27が既約分数となるからaは１〜１００のうち3の倍数で無いもの、なのですか？
ですね。

>a/27のaにいかなる整数（２７の倍数を除く）を代入しても既約分数になりますよね。
>3/27=1/9のように。
左辺は既約分数ではなくて、右辺は既約分数ですね。

「a/27が既約分数」というのは、「「a/27」の表記のままで既約分数」という意味に取るしかないと思いますが。
No.29036 - 2014/09/27(Sat) 07:27:41
☆ Re: / らすかる
> a/27のaにいかなる整数（２７の倍数を除く）を代入しても既約分数になりますよね。
そんなことを言ったら、「分子分母が整数である分数はすべて既約分数」になってしまうと思います。
「○/□が既約分数」⇒「○と□は互いに素」ですから
「a/27が既約分数」⇒「aと27は互いに素」です。
No.29038 - 2014/09/27(Sat) 11:01:55
☆ Re: / ｋｋｋ
回答ありがとうございます。確かにそのとおりでした。

また、解答を教えてください。よろしくおねがいします
No.29039 - 2014/09/27(Sat) 11:50:28
☆ Re: / IT
a/27+31/b=n整数とすると
31=b(27n-a)/27
aと27は互いに素なので27と27n-aとは互いに素
よってbは27の倍数、bは100以下の自然数なのでb=27,...
b=27のとき・・・　後はやってください。
No.29043 - 2014/09/27(Sat) 16:16:08
☆ Re: / ｋｋｋ
なんで「aと27は互いに素なので27と27n-aとは互いに素」なんですか？

よろしくおねがいします
No.29049 - 2014/09/27(Sat) 21:44:12
☆ Re: / IT
一般的な説明では分からないかも知れないので
（分かるようなら質問されないはず）
この質問に限った説明をします。

27は3で割り切れ27の素因数は3だけ
aと27は互いに素なので、aは3で割り切れない。
よって、27n-aは3で割り切れない。
よって、27と27n-aとは互いに素.
No.29053 - 2014/09/28(Sun) 11:02:16
☆ Re: / ｋｋｋ
ありがとうございます。理解できました。

一般的な説明だとどうなりますか？できれば教えてもらえませんか？
No.29054 - 2014/09/28(Sun) 13:38:34
☆ Re: / IT
整数k,aについて、ｋとaが互いに素ならばｋとｋn-aとは互いに素(nは任意の整数）

(証明）
cがｋとｋn-aの正の公約数とすると
cはaの約数※
よってcはkとaの公約数
ｋとaが互いに素なのでc＝１

すなわち,ｋとｋn-aとは互いに素

※k=cx,kn-a=cy,a=kn-cy=cxn-cy=c(xn-y)
No.29055 - 2014/09/28(Sun) 13:54:29
★ (No Subject) / ラングドシャ
自然数nがn＝4aー1(aは自然数)の形で表せるとき、nの正の約数の総和は4で割り切れることを示せ。
No.29030 - 2014/09/26(Fri) 21:42:37
☆ Re: / らすかる
nのある約数pに対してn/pもnの約数です。
n=4a-1なのでpとn/pは奇数であり、
しかもどちらか一方が4s+1、他方が4t-1となります。
従ってp=n/pとなることはなく、p＞√nならばn/p＜√nですから、
√nより大きい約数と小さい約数のペアが必ず出来ます。
そしてそれぞれのペアの和がp+n/p=4(s+t)から4の倍数となりますので、
総和も4の倍数になります。
No.29032 - 2014/09/26(Fri) 21:51:36
★ 因数分解 / RIN
X＾3＋ax＾2‐（2a＾2＋a＋1）x‐2a（a＋1）

解けなくて困ってます。
No.29025 - 2014/09/26(Fri) 12:40:01
☆ Re: 因数分解 / 農場長
因数定理はご存知ですよね？

定数項が-2a^2-2aなので、xの１次の項に着目して、
2a^2を作るために、x=-1を代入するとビンゴですよ。
No.29026 - 2014/09/26(Fri) 13:44:39
★ 四面体の最大値 / AYU
四面体OABCにおいて、角BACが直角で、OA=OB=OC=1である。このとき四面体の体積の最大値を求めよ。
何から求めればよいのでしょうか？
No.29022 - 2014/09/26(Fri) 04:45:09
☆ Re: 四面体の最大値 / angel
そうですね。そのままだと掴みどころがないですね。

まずは「体積を求める」に当たって、底面と高さをどうするか考えてみましょう。ここで実はOA=OB=OCという所から大きく道が拓けるようになっています。

底面を△ABCとし、Oから底面に下した垂線の足をHとします。
なので、体積は V=1/3・△ABC・OH で求めることを想定しています。
この時Hはどこにくるか…?
OA=OB=OC という条件から、実はHA=HB=HC、つまりHは△ABCの外心であると分かります。
しかも△ABCは∠BACが直角の直角三角形なので、外心は斜辺BCの中点。

と言うわけで、斜辺BC=a とでも置いて、底面△ABCの面積の最大値と、高さOHから四面体の体積の最大値候補をaで表し、後は微分等でaがいくつの時に最大になるかを調べます。
No.29023 - 2014/09/26(Fri) 05:40:27
☆ Re: 四面体の最大値 / AYU

有難うございます！
問題文からOが球の外接円だと見抜くことがポイントだったのですね。
それがわかればO上の点Hも三角形ABCの外心になって直角が生きてくると、凄く納得できました。
文字を置いて微分に持ち込んで無事に答えを出すことができました。有難うございます
No.29024 - 2014/09/26(Fri) 07:26:24
★ ｳﾞｪｸﾄﾙ、製数解 / ふぇるまー
問1:△ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP,辺CAの中点をQ,辺ABを1:2に内分する点をRとする。
(1)3点P,Q,Rは一直線上にあることを証明せよ。
(2)PQ:QR＝?
問2:x^2+7y^2=32を満たす自然数x,yの組(x,y)をすべて求めよ。

以上、ご教授ください。
No.29018 - 2014/09/25(Thu) 22:58:23
☆ Re: ｳﾞｪｸﾄﾙ、製数解 / らすかる
問2だけ
y=1のときx=√(32-7y^2)=5
y=2のときx=√(32-7y^2)=2
y≧3のときx^2+7y^2≧x^2+63＞32
∴(x,y)=(5,1),(2,2)
No.29021 - 2014/09/26(Fri) 00:46:37
★ ベクトルと反射 / mayu
点(7,6,4)を中心とする半径3の円があり、その表面は鏡でできているものとする。いま、方向ベクトル(3,2,1)こをもつ光が原点から発射されたとする。この光は球面のどの点で反射し、xy平面とどの点で交わるか。ただし、球面での光の反射はその点での法線と入射光線を含む平面内で起こり、入射角と反射角は等しいものとする。

反射する点は媒介変数と点(7,6,4)と(3,2,1)でベクトル方程式をたて、題意から分かる球面の方程式に代入し媒介変数の値を代入して出せました。そのあと、反射光のベクトル方程式を出そうとするところでつまってしまいます。自分のアイディアとしては正斜影ベクトルを使えそうかなと思うのですが、手が動かないのでアドバイスをいただきたいです。
宜しくお願いいたします。
No.29017 - 2014/09/25(Thu) 22:05:11
☆ Re: ベクトルと反射 / angel
> 正斜影ベクトルを使えそうかなと思うのですが、
はい。その感覚は正しいです。

反射前後の光の方向ベクトルを u,v としてみましょう。
このuに着目し、反射面に垂直な成分とそれ以外に分離してみます。
反射面の法線ベクトルをhとすると、

　u = (u・h)/(h・h)・h + ( u-(u・h)/(h・h)・h )

ですね。第1項が正射影ベクトル、第2項 ( u-… ) はhに垂直なベクトルになっている ( 内積を計算すると分かります ) ことに注意。

さて、では反射するとどうなるか。反射という現象は、反射面に垂直な成分だけが反転するものです。なので、

　v = -(u・h)/(h・h)・h + ( u-(u・h)/(h・h)・h )
　　= u - 2(u・h)/(h・h)・h

と、このように、反射後の方向ベクトルが計算できます。
No.29019 - 2014/09/25(Thu) 22:59:26
★ (No Subject) / 1012
こちらの問題も解いていただきたいです。
ちなみに（4）のヒントは△BRQの面積をSとして、△ATPの面積をSで表す。 です。
こちらの問題も図形から分かる情報はできるだけ教えて欲しいです。
よろしくお願いします。
No.29012 - 2014/09/25(Thu) 20:55:48
☆ Re: / angel
…どこからどこまで? (4) だけでいいのかしら。

(3)までできているなら、ありとあらゆる比が分かっているはずなので、それを元に面積を考えればよくて。
まあ、例えば
　△BRT = △BRQ×RT/(RT+TQ)
　△TBA = △TBR×BA/(BA+AR)
　△ATP = △ATB×TP/(TP+PB)
のように。

今回は(3)でAP:PQを求めさせられているから、それを有効活用するなら、
　△QRA = △QRB×RA/(RA+AB)
　△AQT = △AQR×QT/(QT+TR)
　△TAP = △TAQ×AP/(AP+PQ)
のようにするのが良いか。
まあ、三角形を包丁でさくさく切っていくような、そんな感じですね。
No.29020 - 2014/09/25(Thu) 23:24:29
★ (No Subject) / 1012
こちらの問題も解いていただきたいです。
ちなみに（4）のヒントは△BRQの面積をSとして、△ATPの面積をSで表す。 です。
こちらの問題も図形から分かる情報はできるだけ教えて欲しいです。
よろしくお願いします。
No.29010 - 2014/09/25(Thu) 20:53:32
☆ Re: / 1012
すみません。画像貼り忘れたので、再度質問させていただきます。
No.29013 - 2014/09/25(Thu) 20:56:59
★ (No Subject) / 1012
この問題を解いていただきたいです。
あと、図形から分かる情報もできるだけ教えて欲しいです。
ちなみにこの問題のヒントは
（ア）メネラウスの定理を用いて、BP:PAを求める。 です。
最後に図形を書いていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.29009 - 2014/09/25(Thu) 20:49:53
★ (No Subject) / kana
すいません、液滴の体積を計算したいのですが、どのように
解けば良いのか困っていますので、ご教授下さい。

平らな板の上にたらされた液滴(真円)の体積です。
■既知の数値
・ｒ：液滴の半径
・ｈ：液滴の高さ(頂上の頂点のみ)
■希望
・楕円の公式からでは無く、2次方程式で作られた
断面の面積を先に計算し、それを、中心軸に沿って、
回転させた形で計算させたいのですが。
■上記が無理で有れば、楕円の式での近似式でも構いません。 その場合、以下になりますでしょうか？

V＝(2/3)πr^2h
■正確な体積計算をする為には？
より正確に体積計算したい場合、どのようなﾊﾟﾗﾒｰﾀが
有れば良いでしょうか？2点の高さ？が有れば
可能でしょうか？
No.29007 - 2014/09/25(Thu) 19:34:38
☆ Re: / らすかる
楕円の回転体ならばV＝(2/3)πr^2hで合っていると思いますが、
液滴の断面は楕円にならないと思います。
（直感的に考えて、重力で歪み、しかも板と接する面は平らになりますよね。）
正確な体積計算をするには、表面張力や板の親水性などの
パラメータが必要だと思いますが、詳しくはわかりません。
実測ならば、側面からの写真が撮れれば、数点〜数十点の
座標を調べることで数値的に計算できると思います。
「2点の高さ」だけでは形が全く決まりませんので、
まず無理だと思います。
No.29008 - 2014/09/25(Thu) 19:53:38
☆ Re: / kana
早速の回答ありがとうございます！

数点〜数十点の座標(横から見た高さになると思いますが合ってますか？)を取り、最小二乗法でﾊﾟﾗﾒｰﾀ計算する事になるかと思いますが、その際、２次関数で良いのでしょうか？
横から見て、一番端から、中心の断面の面積を求めて、それを一回転させて体積を計算するｲﾒｰｼﾞです。
何度もすいません。
No.29027 - 2014/09/26(Fri) 15:52:48
☆ Re: / らすかる
> 横から見た高さになると思いますが合ってますか？
高さ…といえば高さと言えなくもないですが、
液滴の断面図は横位置に対する高さだけで表せるような曲線ではなく、
（板の親水性によりますが）液滴の直径よりも板に接する円の直径の方が
小さくなったりしますよね。
つまり断面図のある横位置では、「高さaから高さbまでの範囲に液滴が存在する」
のような箇所があるとき、この「a」は「高さ」と言えるのでしょうか。

> ２次関数で良いのでしょうか
それは近似の精度によると思いますが、
液滴の断面図をy軸対称にx軸の上に液滴が乗るようにしたとき、
x軸に平行な直線で液滴を細かくスライスして、
各円板の体積を数値的に求めて合計するか、
もしくはy軸に平行な直線でスライスして
各円筒の体積を数値的に求めて合計すればよいと思います。
液滴の形を具体的に表す関数を求める必要はなく、
補間により各部分の近似値を求めることになりますね。

なお、「断面の面積」を求めても体積は求まりません。
No.29028 - 2014/09/26(Fri) 18:01:49
☆ Re: / kana
詳しい回答ありがとうございます！
接触角は90°以下という条件を書き忘れましたすいません。
http://transformation-technologies.livedoor.biz/archives/65403343.html
断面積を先に求めて、回転体の体積計算方法で体積計算が出来るのでは？と安易に考えていましたが、求まらないんですね。勉強不足でした。
スライスして求める事にした場合、積分の式の形になるかと思いますが、どのような式になるかご教授願えますか？
質問ばかりで申し訳有りません。
No.29029 - 2014/09/26(Fri) 21:29:09
☆ Re: / らすかる
積分計算は不要です。
例えば厚さhずつにn個にスライスして
それぞれの半径がr[k](1≦k≦n)だった場合は
Σπh(r[k])^2 が体積になりますね。
円板の代わりに円錐台と見れば精度は上がります。
どの程度の精度が必要かわかりませんが、
測定するのであれば測定誤差がありますので
r[k]を求めるための補間で三次補間にするなどして精度を上げ、
hを十分小さくして各点に対して円錐台で計算する程度で
良さそうな気がします。
円筒形にスライスしても計算できますが、
計算がやや面倒になりそうな気がしますので
水平のスライスで良いと思います。
No.29031 - 2014/09/26(Fri) 21:44:55
☆ Re: / kana
いろいろと詳しい回答ありがとうございました。
勉強になりました。
No.29100 - 2014/09/29(Mon) 19:37:16
★ (No Subject) / とーま
解き方を教えてください！
No.29006 - 2014/09/25(Thu) 19:08:10
☆ Re: / X
68
円周角により
∠COD=2∠CAD=90°
又、△CADの外接円の半径をRとすると正弦定理により
2R=CA/sin∠CDA=CD/sin∠CAD
∴2R=(√6)(2/√3)=CD√2
∴R=√2,CD=2
よって△BCDにおいて∠BDCに関する余弦定理により
(2√7)=2^2+BD^2-2・2・BDcos120°
これより
BD^2+2BD-24=0
(BD+6)(BD-4)=0
∴BD=4
同様な方針で△ADBに余弦定理を用いることで
ADの長さを求めます。
以上からAD,BD,CDの長さが求められていますので
これらから△ADB,△BDC,△CDAの面積を求め
これらの和を取って△ABCの面積を求めます。
No.29045 - 2014/09/27(Sat) 19:12:13
★ (No Subject) / プリンセスプリンセス
0≦x<1において,関数f(x)を
　　f(x)=??<0→x>1/√(1-t^2)dt
と定める.
(1)曲線C:y=f(x)のx=1/2における接線Lの方程式を求めよ.
(2)(1)のCとLとx軸で囲まれる図形の面積を求めよ.

お願いします
No.28999 - 2014/09/24(Wed) 23:44:18
☆ Re: / angel
f(x)はsinの逆関数になるのですが、それはよろしいでしょうか?
つまり、f(x)=arcsin(x)
※arcsinって習ってないなら ( 高校の範囲外の用語かもしれないので ) sin^(-1)(x) で。

逆関数の微分 sin(y)=x → y'・cos(y) = 1 から、
y'=1/cos(y) = 1/√(1-sin(y)^2) = 1/√(1-x^2)
というのがあるのですが、それを思いつかなくても、t=sinxの置換積分と f(0)=0 ( ∫[0,x] の形だから ) より、f(x)=arcsin(x) と分かります。

なので、
(1)
　接線との接点は (1/2,π/6)
　また、f'(x)=1/√(1-x^2) ( 丁度∫を取って t を x に置き換えただけの形 ) なのですから、傾きも計算できます。

(2)
　逆関数のグラフなので、x,yを入れ替える ( グラフ上では、y=x に線対称に反転させる ) と、y=sinx のカーブの上側の面積を求めるのと同じことになります。
　なので、台形の面積から、sinの積分による結果を引けば答えとなります。
No.29016 - 2014/09/25(Thu) 21:37:26
★ ベクトル / りぼん
正方形ABCDを底面、頂点をOとする四角錐O-ABCDがある。
この四角錐の辺の長さはすべて1である。
辺OB ODの中点をそれぞれM Nとし、3点A M Nを含む平面を
α　αとOCが交わる点をEとする。
↑OA=↑a ↑OB=↑b ↑OD=↑dとする。


(1)↑b・↑dを求めよ。

一番初めの問題なのですが、分かりませんでした。
No.28998 - 2014/09/24(Wed) 22:53:53
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
△ＯＢＤの各辺の長さを求めましょう。
No.29004 - 2014/09/25(Thu) 07:02:53
★ (No Subject) / 1012
続けて失礼いたします。
次の問題を解いていただきたいです。
No.28995 - 2014/09/24(Wed) 21:20:29
☆ Re: / angel
こういうふうに整理すれば、後は計算だけ。
円の所に三角形を作っているので、OAD, OBCは二等辺三角形。
なので、ADの中点Mに対して、△OAMは直角三角形。

とすると、CからOBに下した垂線の足をHとした時、△COHも直角三角形であり、しかも△OAMと合同になります。
なぜならば、平行という条件から、∠MAO=∠HOCだから。
※斜辺は円の半径で同じ大きさですし。

なので、AM=OH、AD=2AM
後、OHをどうするか。
…まあ、二等辺三角形OBCの面積を求めてから、辺OBに対する高さCHを求めて、直角三角形COHに関する三平方の定理で良いでしょうか。
No.28997 - 2014/09/24(Wed) 22:40:02
★ (No Subject) / 1012
AB＝5,BC＝6,CA＝3である△ABCにおいて、角BACの二等分線との交点をD,辺BCの中点をE,△ADEの外接円とABの交点をFとする。
このとき、BDとBF長さを求めよ。
No.28993 - 2014/09/24(Wed) 21:17:39
☆ Re: / 1012
解き方と解答教えてください。
よろしくお願いします。
No.28994 - 2014/09/24(Wed) 21:18:43
☆ Re: / TT≠Π
図をしっかり描きながら考えて、解答は自分でどうぞ。

角の二等分線の定理より、BDとCDの長さがわかる。
△ABCの外接円を描き、それと直線ADの交点をD'とする。
△ABD∽△AD'Cだから、AB:AD=(AD+DD'):AC
方べきの定理より、DB・DC=AD・DD'
これらからADの長さが分かる。覚えやすい形なので覚えてみるのもよし。少なくともこの求め方は知っておいて損はないと思いますよ。


んで、今度は△ADEの外接円と△ABDだけを考えて、方べきの定理よりBE・BD=BF・BAなのでBFの長さも分かる。
No.28996 - 2014/09/24(Wed) 22:36:54
☆ Re: / 1012
有難うございます。
No.29002 - 2014/09/25(Thu) 06:43:01
★ (No Subject) / のりこ
角APBのところがわかりませんm(__)m
No.28992 - 2014/09/24(Wed) 18:08:36
☆ Re: / ヨッシー
おおざっぱで良いのでグラフを描きましょう。
No.29003 - 2014/09/25(Thu) 07:01:25
☆ Re: / のりこ
かいたのですが、わかりませんでした泣
No.29005 - 2014/09/25(Thu) 19:07:08
☆ Re: / ヨッシー
ｌとｍが平行で、ｌとｎが垂直のとき、ｍとｎのなす角は？
という問題ですよね？
No.29015 - 2014/09/25(Thu) 21:01:05
☆ Re: / のりこ
なるほど！！わかりました！
ありがとうございます（＾Ｏ＾）
No.29037 - 2014/09/27(Sat) 09:43:41
★ (No Subject) / 心
AB=７、BC=8,CD=9である三角形ABCの垂心をHとするとベクトルAHをベクトルABとベクトルACを用いてあらわせ。

一番早いor楽（と思われる）方法を教えてください。よろしくお願いします。
No.28986 - 2014/09/23(Tue) 21:54:46
☆ Re: / angel
オーソドックスに内積の条件から2つの方程式を立て、連立方程式として解く、でしょう。

A,B,C,Hの位置ベクトルをそれぞれa,b,c,h ( 基準点は適当に ) とした場合、

　(h-a)・(c-b)=0　　← AH⊥BCより
　(h-b)・(a-c)=0　　← BH⊥CAより
　(h-c)・(b-a)=0　　← CH⊥ABより

が成立します。
※念の為、・は内積です。
※なお、内2つが成立すれば残り1つも自動的に成立します。

基準点をAにとった場合、すなわち a=AA,b=AB,c=AC,h=AHとした場合、a がゼロベクトルになりますから、もっと簡単な形に。
h=βb+γc と置いて、3条件の最後の2つを置き換えると

　( βb + γc - b )・(-c) = 0
　( βb + γc - c )・b = 0

まとめると、

　(b・c)β + (c・c)γ = b・c
　(b・b)β + (b・c)γ = b・c

と言う、β,γの連立一次方程式になっている、と。
なお、内積 b・c については前もって余弦定理から計算しておきましょう。1/2・(AB^2+AC^2-BC^2) ですね。
No.28987 - 2014/09/24(Wed) 00:24:16
☆ Re: / ヨッシー
CA=9 ですよね？


一番かどうか分かりませんが、別の見方から。

ヘロンの公式より、
　△ＡＢＣ＝√(24/2)(6/2)(8/2)(20/2)＝12√5
ＢＣを底辺とすると高さＡＤは
　ＡＤ＝12√5÷8×2＝3√5
三平方の定理より
　ＢＤ＝√(49-45)＝２
　ＣＤ＝８−２＝６
ＡＣを底辺とすると高さＢＥは
　ＢＥ＝8√5/3
三平方の定理より
　ＡＥ＝11/3、ＣＥ＝16/3
ヘロンの公式より
　(AH/HD)(DB/BC)(CE/EA)＝１
　AH/HD＝(BC/DB)(EA/CE)＝(8/2)(11/16)＝11/4
よって、ＡＨ＝(11/15)ＡＤ
　ＡＨ＝(11/15)(3AB＋AC)/4
　　＝(11/60)(3AB＋AC)
No.28988 - 2014/09/24(Wed) 00:30:29
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