ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 確率　期待値 / くも

箱が4つあり、どの箱にも、1，2，3，4の数字が1つずつ書いてあるカードが各1枚、計4枚入っている。
各々の箱からカードを1枚ずつ取り出す。

取り出された4枚のカードのうち、1，2，3，4のカードの枚数をそれぞれa，b，c，dとする。
さらに、a，b，c，dの中の最大数をXとする。
例えば、
(a，b，c，d) = (1，0，0，3) のときは、X=3である。
このとき、Xの期待値は【タチ/ツ】となる。

解いてみたのですが、答えが合いませんでした・・・。

No.28898 - 2014/09/14(Sun) 23:13:59

☆ Re: 確率　期待値 / らすかる

4枚とも同じ数字である確率は4/4^4=1/64
3枚だけ同じ数字である確率は4P2*4/4^4=3/16
2枚ずつ2組が同じ数字である確率は4C2*4C2/4^4=9/64
2枚が同じ数字で残り2枚が異なる数字である確率は4C2*2*4P2/4^4=9/16
全部数字が異なる確率は4!/4^4=3/32
よって求める期待値は 4*(1/64)+3*(3/16)+2*(9/64+9/16)+1*(3/32)=17/8

No.28899 - 2014/09/14(Sun) 23:34:57

☆ Re: 確率　期待値 / くも

X=2になるときと、X=3になるときがわかりません。

No.28900 - 2014/09/15(Mon) 00:37:00

☆ Re: 確率　期待値 / らすかる

X=3になるのは
ある数が3枚と他の数が1枚
この数の選び方が4P2通り、他の3枚と異なる1枚がa,b,c,dのどれであるかが4通りなので
4P2×4通り、よってX=3となる確率は4P2*4/4^4=3/16
X=2になる確率は上のように求める必要はありませんでした。
X=2になる確率は、全体からX=1,3,4の場合を引いて
1-1/64-3/16-3/32=45/64です。

No.28901 - 2014/09/15(Mon) 00:50:46

★ 高校3年です / ブルーバード

2次曲線Ｃ：x^2＋2y^2＝4がｘ軸、y軸の正の部分と交わる点をそれぞれＭ、ＮとしＣの焦点のうちx座標が正であるものをＦとする。

(1)点Ｐが2次曲線Ｃの第一象限にある弧の上を動くとき、四角形ＮＦＭＰの面積の最大値とそのときの点Ｐの座標を求めよ。　　　

(2)焦点Ｆを通る傾きmの直線と2次曲線Ｃとの交点をＡ、Ｂとする。∠ＡＯＢが直角のとき、定数mの値を求めよ。ただし、Ｏは原点であるとする。
　　　

No.28897 - 2014/09/14(Sun) 21:10:33

☆ Re: 高校3年です / ☆ミ

(1)
M(2,0), N(0,√2), F(√2,0)
は大丈夫でしょうか
Pを楕円の媒介変数表示で(x=2cosθ,y=√2sinθ)
とおきます(0≦θ≦π/2)
△NFMは一定なので△PMNの面積の最大を考えればよいので
PとMNの距離が最大となる場合を求める
直線MNはx+√2y-2=0、点と直線の距離の公式より
d=2(sinθ+cosθ-1)/√3
sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)≦√2
θ=π/4のときが最大で
d=(2√2-2)/√3より
四角形NFMP=△NFM+△PNFを求めると面積は1
このときのP(√2,1)

(2)
A(p,q),B(r,s)とします
直線ABはy=m(x-√2)
これを楕円の式へ代入してxの2次方程式の解を公式より導くと
x={2√2m^2±2√(m^2+1)}/(2m^2+1)=p,r
y={-√2m±2m√(m^2+1)}/(2m^2+1)=q,s(複号同順)
∠AOB=∠Rなので→OA･→OB=pr+qs=0を計算すると
pr+qs=2(m^2-2)/(2m^2+1)=0
m=±√2

ミスなどあったらｽﾐﾏｾﾝ。方針は変わりません。

No.28910 - 2014/09/15(Mon) 16:50:50

★ (No Subject) / あと

このような事象が初めて起こる確率の定石はなんでしょうか。
あと、答えもわかりません

No.28893 - 2014/09/14(Sun) 18:10:09

☆ Re: / らすかる

この問題を解くための定石はありません。
どういう場合があるか考えてそれぞれの場合について計算するのみです。
問題がかなり曖昧ですので、
「さいころをn回ふってちょうど1周する確率」
と勝手に解釈します。
# 例えば、5回振って3,3,3,3,3だったような場合とか、
# 5回振って1,1,1,1,2だったような場合を含むのかどうかが
# この問題文だけではわかりません。

n=1のとき
5が出なければいけないので1/6
n=2のとき
2回振って(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)の
いずれかにならなければいけないので、4/6^2=1/9
n=3のとき
3回振って(1,1,3)(1,2,2)(1,3,1)(2,1,2)(2,2,1)(3,1,1)の
いずれかにならなければいけないので、6/6^3=1/36
n=4のとき
4回振って(1,1,1,2)(1,1,2,1)(1,2,1,1)(2,1,1,1)の
いずれかにならなければいけないので、4/6^4=1/324
n=5のとき
5回振って5回とも1でなければいけないので、1/6^5=1/7776
n＞5のとき
不可能なので0

No.28895 - 2014/09/14(Sun) 18:58:16

★ (No Subject) / 蛇くん

xyz空間の３点A(1,0,0),B(0,1,0),c(0,0,1)を通る平面をαとする.このαに関して原点と同じ側にあり,x≧0,z≧0,x^2+y^2≦r^2を満たす点全体からなる立体をKとする.ただし,0<r<1/√2とする.
　　このときの,Kの値を求めよ.

No.28875 - 2014/09/13(Sat) 23:36:00

☆ 取り消し / angel

すいません。やっぱり間違いなので回答は一旦削除します。

No.28896 - 2014/09/14(Sun) 19:24:19

☆ Re: / IT

x=tでの断面は台形でxy平面上での辺の長さは2√(r^2-t^2)で
　x軸から垂直に上がったところの高さが1-tで左右同じだけ上下し左右の幅は等しいので
　断面積は(1-t)2√(r^2-t^2)
よってk=∫[0,r]{(1-t)2√(r^2-t^2)}dt=(π/2)r^2-(2/3)r^3

y=tでの断面で考える方法が下記に回答されてます。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=52892
∫[-r,r]t√(r^2-t^2)dt=0なので、このほうが定積分の計算は簡単ですね。

No.28905 - 2014/09/15(Mon) 10:56:41

★ 微分 / ひるな

yをxで微分するということはdy/dxということですが
y=y・x^0　なので　これをxで微分すると
微分の公式「yx^nをxで微分するとy・n・x^(n-1)」より
x^0を微分すると0・x(0-1)＝0となり
y=0とするのは間違いですよね？
x^nをxで微分するとn・x^(n-1)　の公式中にある
nは自然数とかいてあるものもあれば実数とかいてあるものもあります。どちらが正しいのでしょうか？
微分がよくわからないのでおしえてください。おねがいします。

No.28874 - 2014/09/13(Sat) 23:23:16

☆ Re: 微分 / angel

> 微分の公式「yx^nをxで微分するとy・n・x^(n-1)」より
…そんな公式ありましたっけ? 少なくとも正しいものには見えませんが。

> x^nをxで微分するとn・x^(n-1)　の公式中にある
> nは自然数とかいてあるものもあれば実数とかいてあるものもあります。どちらが正しいのでしょうか？

実数で間違いないです。( で、実数は自然数も含みます )
ただ、おそらく数III相当位でないと、nが実数の時も成立するということは示せないと思います。だから、「nが自然数」と言っているのは、多分数II時点での話ではないでしょうか。

No.28876 - 2014/09/13(Sat) 23:44:23

☆ Re: 微分 / らすかる

> 微分の公式「yx^nをxで微分するとy・n・x^(n-1)」より
> x^0を微分すると0・x(0-1)＝0となり
yが定数ならばこれは正しいです。
しかし、「右辺だけ微分」したら合わなくて当然です。
左辺も微分したら0ですから、y=0でなく0=0になるだけです。

No.28880 - 2014/09/14(Sun) 00:41:26

☆ Re: 微分 / ひるな

ありがとうございます。
angelさんのおっしゃる通り数IIの範囲ではnが自然数とかいてありました。
5をxで微分することは5は定数なので0になりますよね。
では、yをxで微分すると、yは定数ではなく変数なので
0ではなくdy/dxとなるということなんでしょうか？
x^2をxで微分すると2xというのは
グラフをかいて視覚的にイメージできるのですが、
yをxで微分するというのがうまくつかめません。
お願いします。

No.28881 - 2014/09/14(Sun) 02:39:44

☆ Re: 微分 / angel

ひるなさんは、まだ数II範囲の微分を勉強しているのですよね。
数III範囲になると思いますが、色々な微分の性質がありまして、

・積の微分
　d(yz)/dx = dy/dx・z + y・dz/dx

なので、y・x^n の微分と言われれば、上の z を x^n に置き換えた形ということで、

　d(y・x^n)/dx = dy/dx・x^n + y・nx^(n-1)

となります。

No.28882 - 2014/09/14(Sun) 08:31:26

☆ 積の微分 / angel

教科書に必ず載っているでしょうから、そこをやる時に詳しく見て貰えば良いのですが、

例えば、

　x^5 = x^2・x^3
　d(x^5)/dx = 5x^4, d(x^2)/dx=2x, d(x^3)/dx=3x^2
　→ d(x^5)/dx = 2x・x^3 + 3x^2・x^2

で、積の微分はちゃんと成立しています。

理由としては、

・yの微分
　xがΔx変化した時のyの変化Δyに対する、Δy/Δx の Δx→0 での極限

と言うことから、yzの微分を考えると、

　yz から (y+Δy)(z+Δz) に変化、変化量 Δy・z+y・Δz+Δy・Δz
　(Δy・z+y・Δz+Δy・Δz)/Δx
　= Δy/Δx・z + y・Δz/Δx + Δy・Δz/Δx

Δx→0 の極限を考えた時、第1項は dy/dx・z に、第2項は y・dz/dx になります。
また、第3項は0になります。( Δy,ΔzもΔx同様、0に近づくため )
なので、積 yz の微分は dy/dx・z + y・dz/dx なのです。

No.28884 - 2014/09/14(Sun) 08:44:38

★ (No Subject) / 蛇くん

実数xに対して,xを超えない最大の整数を[x]で表す.
０,1,２のいずれかの値をとるd1,d2,d3,...を用いて,3進法で表された無限小数α=0.d1d2d3...(3)を作る.自然数nに対してan=3^(n-1)-[3^(n-1)α]と定めると,nを３で割った余りが0,1,2のとき,anはそれぞれ0<an<1/3,1/3<an<2/3,2/3<an<1を満たす.このときαの値を求めよ.

(高校二年生）

No.28872 - 2014/09/13(Sat) 22:24:44

☆ Re: / 蛇くん

失礼しました！

a[n]=3^(n-1)α-[3^(n-1)α]

でした。

大変な間違え失礼しました。

No.28873 - 2014/09/13(Sat) 22:50:37

☆ Re: / angel

この問題は凄く回りくどい表現ですが、

　nを3で割った余りが
　・0 の時、d[n]=0
　・1 の時、d[n]=1
　・2 の時、d[n]=2
　その時、α=0.d[1]d[2]d[3]… (3) の値を求めよ
　つまり、3進法での循環小数α=0.120120120…(3) の値を求めよ

と言っているのと同じなのですが、それはO.K.でしょうか?

No.28877 - 2014/09/13(Sat) 23:58:06

☆ Re: / 蛇くん

はいOKです

d[1]=1,d[2]=2,d[3]=0
から
あるkに対して
d[3k+1]=1,d[3k+2]=2,d[3k]=0
と推測できる

としたんですが、この後すべてで成り立つことは証明しなくてもよいのでしょうか？

No.28886 - 2014/09/14(Sun) 12:27:48

☆ 余談 / angel

この問題に直接関係はないですが、

> (略)
> と推測できる
>としたんですが、この後すべてで成り立つことは証明しなくてもよいのでしょうか？

「推測できる」と書いたのなら、証明というか根拠も書かないと片手落ちですよ。これはどんな場面であっても。
もっと言ってしまうと、解答に「推測できる」と書く意味は無いと思います。

解答は、答えを導くための計算過程と根拠 ( 証明 ) を書くもの、つまり見る人が「その答えが本当に正しいと判断できるように」書くものであって、いかにその解き方を思いついたか、つまり「どうすればその問題を解けるか」を書くものではないからです。
※参考書の解答だと、解説を兼ねる意味もあるので、そういう書き方をすることもあるでしょうが。

ちょっとヤラしい話をすると、
「～である」と断言すれば、たとえ根拠を書いていなくても、割と自明に近い事柄なら特に減点されない可能性がありますが、「～と推測できる」と書いて根拠がないと、間違いなく減点対象になります。

No.28887 - 2014/09/14(Sun) 15:00:49

☆ 閑話休題 / angel

さて、そもそも a[n] を計算するうえで途中に出てくる値のことを整理しておきますと、

　3^(n-1)・α = d[1]d[2]…d[n-1]．d[n]d[n+1]…

という、やはりこれも無限小数です。
※ n=1 の時だけ α と一致し、0.d[1]d[2]… とちょっと形が違うのですが

で、a[n] はこれの小数点以下の部分なので、
※一般に、非負の x に対して x-[x] は「xの小数点以下の部分」になる

　a[n]=0.d[n]d[n+1]d[n+2]…

と言う、d[n]が小数第1位に来る無限小数になります。

でまあ、a[n]の大きさの条件は、どれも小数第1位の数を表すものなので、No.28877で言った話につながる訳です。

※解答を書く上では、ここまでクドクド説明する必要は微塵もなくて、「a[n]=0.d[n]d[n+1]d[n+2]…である」と言ってしまえばそれで十分だと思います。

No.28888 - 2014/09/14(Sun) 15:14:33

☆ 循環小数 / angel

最後に循環小数の計算ですが、

　α　　　 =　 0.120120120…
　α×1000 = 120.120120…

ということから、

　α×(1000-1) = 120

これで終わりです。

なお、これは何進法でも同じ話になることに注意。
今回の問題では3進法なので、10進法に直すと
　α×(27-1) = 15
ということで、α=15/26 ですが、10進法の 0.120120… なら 120/999 = 40/333 になります。

No.28889 - 2014/09/14(Sun) 15:23:10

★ (No Subject) / ほたてがい

m,nは相異なる正の定数とする.xy平面上にPQ=2m,PR=QR=√(m^2+n^2)の二等辺三角形PQRがある.点Pをx軸の正の部分に,点Qをy軸の正の部分にとり,点Rは直線PQに関して原点Oの反対側にくるようにとる.三角形PQRを可能な限り動かすとき,点Rが描く軌跡をFとする.
(1)Rの軌跡Fを求めよ
(2)F上の点を原点のまわりに-θ(0≦θ≦π/2)回転して得られる点の軌跡をGθとする.Gθの方程式がax^2+by^2=1(a,bは定数)の形になるように角θを定め,そのθに対して軌跡Gθを求めて図示せよ.

解いていただきたいです。

No.28871 - 2014/09/13(Sat) 22:14:35

☆ Re: / ☆ミ

P(s,0)、Q(0,t)、R(X,Y)とするとs^2+t^2=4m^2…＊
PQの中点H(RからPQへ下ろした垂線の足)とすると
H(s/2,t/2)、HR=n、→HR=(kt,ks)とおける
k√(s^2+t^2)=n　なので　k=n/2m
→HR=(X-s/2,Y-t/2)=(nt/2m,ns/2m)より
t=2mX/n-ms/n 、s=2mY/n-mt/n　…※

s^2+t^2=※を代入して＊も用いて整理すると
(X^2+Y^2)-(sX+tY)=n^2-m^2

sX+tY
=※を代入、さらに※を代入すると右辺にもsX+tYが現れるので、結果、
sX+tY=2m^2/(m^2-n^2)･(X^2+Y^2)-4mn/(m^2-n^2)･XY
これを代入して整理すると
F:(m^2+n^2)(X^2+Y^2)-4mnXY=(m^2-n^2)^2……(答)

(X,Y)の-θ回転後の点を(X',Y')とすると
(X =(cosθ　-sinθ (X'
Y)　　sinθ　cosθ)　Y')
これをFへ代入。
X^2+Y^2=X'^2+Y'^2
XY=(X'^2-Y'^2)sinθcosθ+X'Y'((cosθ)^2-(sinθ)^2)
なので
Gθ:(m^2+n^2)(X'^2+Y'^2)-4mn(X'^2-Y'^2)sinθcosθ-4mnX'Y'((cosθ)^2-(sinθ)^2)=(m^2-n^2)^2

これが問題文にある形になるのはX'Y'の項の係数が0になるときなので
(cosθ)^2-(sinθ)^2=cos2θ=0、θ=π/4……(答)

Gπ/4 : x^2/(m+n)^2+y^/(m-n)^2=1……(答)

図はこの楕円の-π/4<θ<π/4の範囲のみ
座標計算すると
x>|m^2-n^2|/√(2m^2+2n^2)の部分……(答)

はしょった部分は考えてみてください
タイプミスご容赦ください
誤りご指摘感謝します

No.28916 - 2014/09/15(Mon) 23:11:43

☆ Re: / ☆ミ

最後、楕円の図を描くとき、
y軸上の頂点の座標は±|m-n|となります
気をつけてください

No.28917 - 2014/09/15(Mon) 23:31:26

★ (No Subject) / プリンセスプリンセス

正の数s,tに対して,xの４次方程式
　　　　(A)x^4-2(s+t-1)x^2+2st+1=0
を考える.
(1)方程式(A)が異なる４つの実数解をもつためのs,tの条件を求め,その条件を満たす点(s,t)の領域を図示せよ.
(2)1/2≦t≦2であるすべてのtに対して,方程式(A)が異なる４つの実数解をもつためのsの範囲を求めよ.
(3)1/2≦t≦2である少なくとも１つのtに対して,方程式(A)が異なる４つの実数解をもつためのsの範囲を求めよ.

お願いします。

No.28867 - 2014/09/13(Sat) 20:51:22

☆ Re: / angel

とりあえず(1)が片付かないことには先も無いので。

4次方程式 x^4+ax^2+b=0 の形になっていますが、これを x^2 (=tとでも置いて) の2次方程式 t=x^2, t^2+at+b=0 と見れば、
tの解をα,βとした時、x=±√α,±√β と表せることになります。

ただし、「異なる4つの実数解」であるため、
・α＞0 かつ β＞0
・そもそも t が異なる2実数解を持つ
という条件を考えることになります。

で、まあ、2次方程式の解の問題として、2次関数のグラフなり「解と係数の関係」なりで考えることになりますが、後者で考えると、

　・判別式 D=a^2-4b＞0
　・解の和 α+β=-a＞0
　・解の積 αβ=b＞0

が必要十分。

今回の問題に立ち返って、a=-2(s+t-1), b=2st+1 のケースに該当する訳なので、

　D/4=(s+t-1)^2-(2st+1)＞0
　s+t-1＞0
　2st+1＞0

これらの条件を整理しましょう。
　

No.28890 - 2014/09/14(Sun) 16:35:56

☆ Re: / プリンセスプリンセス

あいがとうございます
理解しました

（２）以降はどのようにすればよいのでしょうか？

No.28892 - 2014/09/14(Sun) 17:07:32

☆ Re: / angel

取り敢えずグラフを描いて考えます。
添付の図の、左端が(1)の答えです。( 各境界は全て含まず )
なので、今後「異なる4つの実数解を持つ」は、(s,t)がグラフの該当の範囲に含まれることとみなすことができます。もう、元の問題が4次方程式だったとか、そういったことは忘れて構いません。

で、左から2番目の図は、さらに 1/2≦t≦2 の範囲に絞り込んだものです。
そうした場合、(2)は左から3番目のsの範囲、(3)は右端のsの範囲が答えになります。
なぜ違いが出るのかは、「全てのt」「少なくとも1つのt」の違いから来ていますので、良く考えてください。

なお、答えは
　(2) s＞1+√2
　(3) (1-√3)/2＜s＜0, s＞2
です。

No.28903 - 2014/09/15(Mon) 09:18:56

★ n進法の変換 / 釜くん

数Ａの整数の範囲においての質問です。
※以下はｎ(ｐ）→ｐ進法におけるｎ　を表すものとします。

例えば　111(2)＝1・2^2＋1・2^1＋1・2^0という式で10進法に変換することができます。私はこの式を重複順列の考え方でとらえました。というのは、

111というのが、2進法と10進法を対応させてズラっーっと並べた時に10進法のどの数に当たるかを考えたときに
111＝100＋10＋1とバラして、100の前にいくつの2進数があるのか、10の前にいくつの2進数があるのか、１の前にいくつの2進数があるのか、となり
それを式にすると
111(2)＝1・2^2＋1・2^1＋1・2^0このようになると考えました。

しかし、これを少数、分数まで拡張したときに
私の考え方がよくわからなくなってしまいます。

私の論理を貫通させるにはどう考えればいいでしょうか。
お願いします。

No.28863 - 2014/09/13(Sat) 13:38:57

☆ Re: n進法の変換 / angel

> 私の論理を貫通させるにはどう考えればいいでしょうか。
釜くんさんの視点は悪くないと思います。
が、そこから小数・分数への発展は考えない方が良いです。
あくまで「個数」に使えるのは自然数であって、小数・分数 ( 有理数や実数 ) は、概念の拡張によって、もはや個数を扱うものではなくなっているからです。

ちょっと違う話ですが、「数学的帰納法」あれは自然数が相手だから使えるのであって、有理数や実数が相手だと使えませんよね。それと似たようなものです。

No.28865 - 2014/09/13(Sat) 16:01:50

★ 必要十分条件 / プリンキピア

P=(x+3y+2)(x-2y-3)

x,yがともに整数であるとする。このとき、Pが偶数となるための必要十分条件として適当なものを選べ。

?@xが偶数
?Ayが偶数
?Bxが奇数またはyが偶数
?Cxが偶数またはyが奇数

積が偶数なので、偶数×偶数
　　　　　　　　偶数×奇数
　　　　　　　　奇数×偶数

以上の３つが考えられると思うのですが、それからどうすればいいのか分からなかったです。

No.28855 - 2014/09/12(Fri) 22:32:36

☆ Re: 必要十分条件 / ヨッシー

x+3y+2 が偶数になる条件は　ｘ，ｙともに奇数　または　ｘ，ｙともに偶数
x-2y-3 が偶数になる条件はｘが奇数

ｘが奇数なら、無条件にＯＫです。
ｘが偶数なら、ｙも偶数でないといけません。

よって、?Bが適当となります。

No.28857 - 2014/09/12(Fri) 22:51:23

★ 方べきの定理 / 1012

直径が3である円Oにおいて、1つの直径ABをBの方に延長して、BC＝ABとなる点Cをとる。また、Cから円Oに接線を引き、その接点をTとする。線分CT,ATの長さを求めよ。

この問題を解いていただきたいです。

No.28852 - 2014/09/12(Fri) 21:16:05

☆ Re: 方べきの定理 / angel

添付の図のように、2種3個の直角三角形 ( COT, TOH, TAH ) が見えればO.K.

CTに関しては、方べきの定理 CT^2=CA・CB でも、△COTの三平方の定理でもどちらでも。

ATに関しては、△COTと相似な△TOH ( 共に辺の長さの比が 1:2√2:3 ) に着目してTH,OHを求め、△TAHの三平方の定理から求めます。

答えは CT=3√2, AT=√6

No.28858 - 2014/09/12(Fri) 22:57:54

☆ Re: 方べきの定理 / 1012

ありがとうございました。解決しました。

No.28913 - 2014/09/15(Mon) 21:39:49

★ 方べきの定理 / 1012

次の問題を解いていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.28851 - 2014/09/12(Fri) 21:11:04

☆ Re: 方べきの定理 / angel

下にあるヒントの通りですね。
2つの等式から、EP・EQを消去することができ、
　EA・EB = EF・EG
これにより、線分EG上の各部分の長さだけ気にすれば良いことになります。

問題の条件から、EF,ABは分かっていて、残っている未知の長さは、円の半径 FG=BG これを r とでも置いてしまいましょう。
そうすると、EG上の各長さは r を使って表すことができるので、立ち戻って EA・EB=EF・EG の条件から r を求めることができます。

No.28853 - 2014/09/12(Fri) 22:16:37

☆ Re: 方べきの定理 / 1012

ありがとうございます！
参考になりました。

No.28856 - 2014/09/12(Fri) 22:34:30

★ (No Subject) / ふぁいおー

Oを原点とするxy平面上で,次の条件を満たす点Pの存在する範囲を図示せよ.
条件:放物線y=x^2+4x上に直線OPに関して対称な相異なる2点が存在する。

この問題を解いてもらいたいです。

No.28849 - 2014/09/12(Fri) 20:57:57

☆ Re: / ヨッシー

図の網掛けをした部分が点Ｐの存在範囲です。

ＯＰを色々変えて表示していますが、青は条件を満たしているもの、
赤は満たしていないもの、紫は境界線です。

原点における y=x^2+4x の傾き４に対して垂直な -1/4
ＯＰとy=x^2+4xとの原点以外の交点におけるy=x^2+4xの接線が
ＯＰと直交する傾き　１＋1/√2 と 1－1/√2 が境界となります。

No.28860 - 2014/09/13(Sat) 01:20:52

☆ Re: / くまたろう

ありがとうございます！

おおまかに解説お願いします。

No.28861 - 2014/09/13(Sat) 02:07:48

☆ Re: / ヨッシー

条件を満たすか満たさないかの境目は２つの放物線が接する状態にあります。
１つは原点で接する場合で、
　ｙ’＝２ｘ＋４
にｘ＝０を代入したｙ’＝４（接線の傾き）に垂直な
　ｙ＝(-1/4)ｘ
がＯＰとなる場合です。

他の場合は、ＯＰを　ｙ＝ａｘとすると、y=x^2+4x との交点は
　ｘ＾２＋４ｘ＝ａｘ
　ｘ(ｘ＋４－ａ)＝０
より、ｘ＝０，ａ－４。
原点以外の交点のｘ座標はａ－４となります。この点における
y=x^2+4x の接線の傾きは
　２（ａ－４）＋４＝２ａ－４
これがＯＰと垂直になるには、
　ａ（２ａ－４）＝－１
　２ａ^2－４ａ＋１＝０
これを解いて、
　ａ＝(２±√２)／２
となります。

No.28862 - 2014/09/13(Sat) 06:26:47

☆ Re: / ふぁいおー

とってもわかりやすい解説ありがとうございました！

解き直してみます。

No.28869 - 2014/09/13(Sat) 20:56:59

★ (No Subject) / アカシロトモ

angelさん　ご回答ありがとうございます。
tanについては、ご指摘の通りです。
「～関係ないですよね～」の部分は、学校の先生が解き方の指定をされた部分です。合成関数を使わずに、これで解くことという指示が出ています。
この部分の解説を授業でされた上での課題です。
説明不足で大変ご迷惑おかけしました。

No.28843 - 2014/09/12(Fri) 18:37:33

☆ Re: / angel

> 説明不足で大変ご迷惑おかけしました。
いいえ。とんでもない。
…面倒くさい指定だなあとは思いますが。
※tanの加法は使って、sin,cosの合成はダメってのが…
既に回答はXさんがなされていますが、もしこれで行くなら、

・tan(θ/2)が定義できない θ=π が解となるケース
・tの2次方程式の2次の係数が0になる、a=-√3のケース
※実は両者は一致します…のはず

は別途説明が必要になります。

No.28846 - 2014/09/12(Fri) 19:14:06

★ (No Subject) / アカシロトモ

tanθ/2=t、sinθ＝2t/1+t^2,cos=1-t^2/1+t^2,tanθ＝2t/1-t^2 を利用して、sinθ＋√3cosθ=a(aは実数定数）が、0≦θ<2π において異なる2つの実数解α、βを持つ。
このとき、tanα+β/2　の値を求めよ

　この問題を教えてください。答えは、1/√3です
よろしくお願いします。

No.28838 - 2014/09/12(Fri) 13:52:12

☆ Re: / angel

最初の「～を利用して、」は無関係ですよね…? それから「tan((α+β)/2) の値」で良いですね。

これは、
　sin(θ+γ)=sinφ ( -π/2＜φ＜π/2 )
　cos(θ+γ)=cosφ ( 0＜φ＜π )
どちらかの形に直します。
※どちらにするかは好みです

そうすれば、θの解α,βは、φ,γを使って表すことができます。
※0≦θ＜2πの条件があるので、φの値によってやや場合分けする必要がありますが、本質的なものではありません。

そうすれば、α+β=π/3 もしくは α+β=7π/3 であることが確認できます。
※α+βの値にφが出てこないのは、○+φ, ○-φの形で足し合って、φが丁度消える、ということから来ています。

No.28840 - 2014/09/12(Fri) 18:00:09

☆ 補足 / angel

念の為ですが、sin(θ+γ)もしくはcos(θ+γ)の形は、

　cosγ=p/√(p^2+q^2), sinγ=q/√(p^2+q^2) に対して
　・psinθ+qcosθ=√(p^2+q^2)・sin(θ+γ)
　・pcosθ-qsinθ=√(p^2+q^2)・cos(θ+γ)

と言う、sin,cosの合成から来ています。

また、φには特に言及していませんが、aの値を使って都合の良いようにφを定義して使います。

No.28841 - 2014/09/12(Fri) 18:13:27

☆ Re: / X

問題文を

tan(θ/2)=t「のとき」、sinθ＝2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),tanθ＝(2t)/(1-t^2) 「であること」を利用して、sinθ＋√3cosθ=a(aは実数定数）が、0≦θ<2π において異なる2つの実数解α、βを持つとき「の」、
tan{(α+β)/2}の値を求めよ。

と解釈して回答します。

sinθ+√3cosθ=a
に
sinθ＝2t/(1+t^2)
cosθ=(1-t^2)/(1+t^2)
を代入すると
2t/(1+t^2)+(√3)(1-t^2)/(1+t^2)=a
整理して
(a+√3)t^2-2t+a-√3=0 (A)
ここで
tan(θ/2)=t
0≦θ<2π
によりtとθが1対1に対応していますので
条件からtの方程式(A)の解は
tan(α/2)、tan(β/2)
という異なる値となります。よって
(A)は少なくとも二次方程式でなければならず
解と係数の関係から
tan(α/2)+tan(β/2)=2/(a+√3) (B)
tan(α/2)tan(β/2)=(a-√3)/(a+√3) (C)
よって加法定理により
tan{(α+β)/2}={2/(a+√3)}/{1-(a-√3)/(a+√3)}
=1/√3

No.28845 - 2014/09/12(Fri) 18:57:42