ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 1012

ここの表を完成させて欲しいです。
よろしくお願いします。

No.28941 - 2014/09/17(Wed) 20:05:06

☆ Re: / らすかる

「Google」はご存知ですか？

No.28942 - 2014/09/17(Wed) 21:25:45

☆ Re: / 1012

はい。

No.28943 - 2014/09/17(Wed) 21:40:46

☆ Re: / 1012

続けてすみません。
これで合っていますでしょうか？
よろしければ、確認お願いします。

No.28944 - 2014/09/17(Wed) 21:50:04

☆ Re: / らすかる

一応正しいですが、「正四角形」という言い方はあまりしませんので
「正方形」にした方が良いと思います。それ以外は問題ありません。

No.28946 - 2014/09/17(Wed) 22:32:46

☆ Re: / 1012

わかりました。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

No.28947 - 2014/09/18(Thu) 07:13:43

★ (No Subject) / ふぃ

連投申し訳ございません。
こちらの問題もよく分からないので分かりやすく解説して頂ければ幸いです。
中3/ふぃ

AB=BC=6cmの直角二等辺三角形ABCがある。点PはAを出発し3cm/秒の速さで辺上をABCの順に進みCに到着後停止する。点Qは点Pと同時にBを出発し2cm/秒の速さで辺BC上をCに向かって進み、Cに到着後停止する。2点P、Qが出発してからx秒後の△APQの面積をy平方cmとして次の問いに答えろ。但し点PがAにあるときはy=0とする。

(1)次の各場合にyをxの式で表せ。
<1>xは0以上2以下
<2>xは2以上3以下
<3>xは3以上4以下

(2)xは0以上4以下の範囲でxとyの関係をグラフで表せ。

(3)△APQの面積が△ABCの面積の1/3になるのは2点P,Qが出発してから何秒後か。

下の画像がグラフと問題の図です

No.28936 - 2014/09/16(Tue) 23:47:25

☆ Re: / ヨッシー

(1)
<1>
ＡＰ＝３ｘ、ＢＱ＝２ｘ　より
　ｙ＝ＡＰ・ＢＱ／２＝３ｘ^2
<2>
ＢＰ＝３ｘー６、ＢＱ＝２ｘ　より
　ＰＱ＝ＢＱ－ＢＰ＝６－ｘ
高さは６ｃｍなので
　ｙ＝６（６－ｘ）／２＝１８－３ｘ
<3>
ＢＰ＝３ｘー６、ＢＱ＝６　より
　ＰＱ＝１２－３ｘ
高さは６ｃｍなので
　ｙ＝６（１２－３ｘ）／２＝３６－９ｘ
(2)
グラフは省略
(3)
グラフより、△ＡＰＱが６cm^2になるのは
　√2秒後と30/9秒後

No.28938 - 2014/09/17(Wed) 06:26:10

★ 関数の応用 / ふぃ

以下の問題がよく分からないので解き方等を詳しく教えて頂けると有難いです。
中3/ふぃ

図のように1辺の長さが3cmの正方形がある。点Pは頂点Aを出発し1cm/秒の速さで辺AB上を頂点Bの方向に移動し、頂点Bに到達したら同じ速さで辺BA上を移動し頂点Aまで戻る。また点Qは点Pと同時に頂点Aを出発し点Pと同じ速さで辺AD、辺DC上を通って頂点Cまで移動する。このとき点P、Qが頂点Aを出発してからx秒後の3点△APQの面積をy平方cmとするとき次の問いに答えろ。

(1)次の<1><2>についてyをxの式で表せ。
<1>xは0以上3以下のとき
<2>xは3以上6以下のとき

(2)xは0以上6以下のときのxとyの関係を表すグラフを書き入れなさい。

(3)点P、Qが頂点Aを出発してから6秒後までの間で△APQの面積が２平方cm以上になるのは何秒間か答えろ。

下の画像がこの問題の図です

No.28933 - 2014/09/16(Tue) 23:32:52

☆ Re: 関数の応用 / ヨッシー

(1)
<1>
ＡＰ＝ｘ(cm)、ＡＱ＝ｘ(cm) なので
　ｙ＝ｘ^2/２
<2>
ＡＰ＝６－ｘ(cm)、高さは3cmなので
　ｙ＝3(6-x)/2＝９－3x/2
(2)
グラフは以下の通り

(3)
グラフより
２≦ｘ≦14/3 の 8/3 秒間

No.28937 - 2014/09/17(Wed) 06:10:00

★ 整数 / aba

次の条件を満たす正の整数の組(a,b,c)を全て求めよ
・(a^2)b+(b^2)c+(c^2)aはabcの倍数
・c^3はa(b^2)の倍数

No.28930 - 2014/09/16(Tue) 23:00:50

☆ Re: 整数 / IT

※a|c は cがaの倍数であることを表す。aトc は cがaの倍数でないことを表す。

条件は下記のとおり
abc|(a^2)b+(b^2)c+(c^2)a …(1)
a(b^2)|c^3 …(2)　

(a,b,c)が条件をみたすとき(ka,kb,kc) （kは任意の正整数）も条件をみたす…(A)ので
(a,b,c)の最大公約数=1として考える.

ある素数pについて　b=(p^s)b',c=(p^t)c', pトb',pトc'とすると,
　(1)より　bc|a(ab+c^2)
　よって p^(s+t)|a(p^s)b'+p^(2t)(c')^2
　(2)より　p^(2s)|p^(3t) よって 2s≦3t…(3) したがって　2t≧s なので　
　p^t|ab'+p^(2t-s)(c')^2
　よって t=0,(3)よりs=0
したがってb=1

これを(1)に代入
　ac|a^2+c+(c^2)a
　ac|a^2+c
　よって、a^2+c=nac（nは正整数）とおける。
　a^2=(na-1)c
　aとna-1は互いに素なのでna-1=1
よってna=2、(n,a)=(2,1)のときc=1、(n,a)=(1,2)のときc=4

以上より(a,b,c)=(1,1,1),(2,1,4)、これらは条件を満たす。

よって(A)より、求める(a,b,c)=(k,k,k),(2k,k,4k)　kは任意の正整数

No.28939 - 2014/09/17(Wed) 08:10:35

★ (No Subject) / 1012

続けて失礼いたします。
次の問題もわからないので、解き方と答えを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.28929 - 2014/09/16(Tue) 21:18:41

☆ Re: / ヨッシー

ヒントの通りです。
(1)
△ＦＤＡ∝△ＦＥＣ　(相似比は３：２）より
　ＡＦ：ＦＣ＝３：２
　△ＦＥＣ：△ＦＤＡ＝２^2：３^2＝４：９
(2)
△ＡＦＢ∝△ＣＦＧ（相似比はＡＦ：ＦＣ＝３：２）より
　ＣＧ：ＣＤ＝ＣＧ：ＡＢ＝２：３
△ＧＦＣ：△ＧＦＤ＝２：１
△ＡＦＤ：△ＣＦＤ＝３：２＝９：６
よって、
　△ＧＦＣ：△ＧＦＤ：△ＡＦＤ＝４：２：９
　△ＧＦＣ：△ＤＡＣ＝４：１５

No.28932 - 2014/09/16(Tue) 23:09:26

☆ Re: / 1012

ありがとうございました。

No.28945 - 2014/09/17(Wed) 22:24:37

★ (No Subject) / 1012

次の問題の解き方と答えを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.28928 - 2014/09/16(Tue) 21:17:28

☆ Re: / ヨッシー

(1)
　ＡＱ：ＱＳ=△ＡＱＲ：△ＱＲＳ＝２：１
(2)
　ＡＳ：ＳＢ＝△ＡＳＣ：△ＢＳＣ＝４：１＝１２：３
よって、
　ＡＱ：ＱＳ：ＳＢ＝８：４：３
ＡＢ＝３０のとき
　ＡＱ＝ＡＢ×8/15＝１６

No.28931 - 2014/09/16(Tue) 23:01:27

☆ Re: / 1012

ありがとうございました。

No.28940 - 2014/09/17(Wed) 20:00:51

★ 2次方程式、2次関数 / ふぇるまー

問?@ 2次方程式　ax^2+2x+4a<0の解がすべての実数である時、定数aの値の範囲=?
問?A ある速さで真上に打ち上げたﾎﾞｰﾙの、打ち上げてからx秒後の地上からの高さをhm(ﾒｰﾄﾙ)とする。hの値がh=-5x^2+40xで与えられるとき、ﾎﾞｰﾙが地上から60m以上75m以下の高さにあるのは、xの値がどんな範囲の時か=?
問?B 2次関数　y=x^2-2ax+aにおいて、yの値が常に正であるように、定数aの値の範囲を求めよ。

以上3題です。宜しくお願いします。

No.28922 - 2014/09/16(Tue) 18:46:58

☆ Re: 2次方程式、2次関数 / X

問1
問題の不等式より
-ax^2-2x-4a＞0
∴xの二次方程式
-ax^2-2x-4a=0
の解の判別式をDとすると求める条件は
-a＞0 (A)
D/4＜0 (B)
(A)(B)をaの連立不等式と見て解きます。

問2
条件から
60≦-5x^2+40x≦75
∴
60≦-5x^2+40x (A)
-5x^2+40x≦75 (B)
(A)(B)を連立して解きます。

問3
求める条件はxの二次不等式
x^2-2ax+a＞0
の解が全ての実数になるような条件です。
ということで問1と方針は同じです。

No.28923 - 2014/09/16(Tue) 18:53:36

☆ Re: 2次方程式、2次関数 / ふぇるまー

わかりました。ありがとうございます。

No.28924 - 2014/09/16(Tue) 20:17:47

★ 商と余りの関係・虚数解 / なぞなぞ

(1)2つの方程式x^3+3x^2+5x+6=0とx^2+x+k=0が2つの解を共有するとき、
実数kの値を求めよ。また、ただ1つの解を共有するときの実数kの値を求めよ。

第1式でx=-2を代入すると左辺=0となることから、x=-2が第1式の解の一つであり、
また、因数定理により第1式はx+2で割り切れることまではわかりました。
これ以降の処理がわかりません。

ちなみにこの問題は商と余りの関係の章末問題で、
微分を使った増減表・グラフ以外の方法で解くようになっています。

(2)方程式x^3=1の虚数解の1つをωとするとき、次の式の値を求めよ。
ω^10+ω^20+ω^30

以上、よろしくお願い申し上げます。

No.28920 - 2014/09/16(Tue) 08:04:21

☆ Re: 商と余りの関係・虚数解 / ヨッシー

(1)
x=-2 が解であり、(x+2) でくくれることが分かったなら、実際にくくってみて、
　x^3+3x^2+5x+6＝(x+2)(x^2+x+3)
x^2+x+3=0 の解をｘ＝α、β とすると、α、βは共役な複素数であり、
実数係数の２次方程式 x^2+x+k=0 が、ｘ＝αを解に持つなら、ｘ＝βも解に持つ。
よって、２つの解を共有するとは　ｘ＝α、βのことであり、すなわち、ｋ＝３である。

ただひとつの解を共有するときの共有解はｘ＝－２であるので、x^2+x+k=0 に代入して、
ｋ＝－２を得ます。

(2)
ωに関する性質をまとめると、
　x^3＝1 の解なので、ω^3＝1
　x^3＝1 から得られる　(x-1)(x^2+x+1)=0 の x^2+x+1=0 から得られる解なので、
　ω^2＋ω＋1＝0
以上より、
　ω^10＝(ω^3)^3ω＝ω
　ω^20＝(ω^3)^6ω^2＝ω^2
　ω^30＝(ω^3)^10＝１
よって、
　ω^10+ω^20+ω^30＝ω^2＋ω＋1＝0

No.28921 - 2014/09/16(Tue) 11:01:29

★ 二次関数 / ちろる。

二次不等式x²＋2mx＋1≧0が0≦x≦2において常に成り立つように、定数mの値の範囲を定めよ。（高校１年）
答え m≧-1

No.28918 - 2014/09/16(Tue) 02:05:59

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

f(x)＝x^2＋2mx＋1 とおきます。
y=f(x) をグラフにすると、問題の条件を満たすのは、次の３通りになります。

(1)
Ｄ＝m^2－１≦０より　－１≦ｍ≦１
(2)
軸：ｘ＝－ｍ≦０　かつ　f(0)＝１≧０
よって、　ｍ≧０
(3)
軸：ｘ＝－ｍ≧２　かつ　f(2)＝４ｍ＋５≧０
よって、　ｍ≦ー２　かつ　ｍ≧ー５／４
これを満たすｍの範囲はない

以上、(1)または(2)または(3) より　－１≦ｍ

No.28919 - 2014/09/16(Tue) 05:55:56

★ (No Subject) / 1012

次の問題の解き方と答えを教えてください。

No.28914 - 2014/09/15(Mon) 21:41:03

☆ Re: / らすかる

ヒントの線とAO'を描くと相似比1：3の直角三角形ができることから
AO：OO'=1：2なので、AO=4

No.28915 - 2014/09/15(Mon) 21:56:15

☆ Re: / 1012

ありがとうございました。

No.28927 - 2014/09/16(Tue) 21:15:42

★ 高次方程式 / yuhka

f(x)=x^4+4x^2+16とおく。
(1)x≠0とするとf(x)/x^2はx=(アイ)、(ウ)のとき最小値(エ)をとる。

(2){f(x)+3}/(x^2+1)=a(x^2+1)+{b/(x^2+1)}+cのとき
a=(カ)、b=(キク)、c=(ケ)だから{f(x)+3}/(x^2+1)は
x=(コ)√(サ)、√(シ)のとき最小値(スセ)をとる。

(1)は相加平均と相乗平均の関係からx=-2、2で12をとると出しましたが、(2)で行き詰まりました・・・
解法を教えてください。
　　

No.28911 - 2014/09/15(Mon) 16:57:33

☆ Re: 高次方程式 / IT

(2){f(x)+3}/(x^2+1)=a(x^2+1)+{b/(x^2+1)}+c
両辺に(x^2+1)を掛けて
x^4+4x^2+19＝a(x^2+1)^2+b+c(x^2+1)
x^4の係数からa=1,展開して係数比較しb,cを求める。

最小値は相加相乗平均の関係から求める

No.28912 - 2014/09/15(Mon) 19:16:09

☆ Re: 高次方程式 / yuhka

ありがとうございました！

No.28925 - 2014/09/16(Tue) 20:24:22

★ (No Subject) / クルトガ

(1) 4(x-2)^2-32=0
(2) 8(x-1)^2-2=0

二次方程式です。
解き方を教えてください

No.28907 - 2014/09/15(Mon) 15:14:48

☆ Re: / IT

(1)
4(x-2)^2-32=0
４で割って　(x-2)^2-8=0
移項して　　(x-2)^2=8
よって　　　x-2=±√8=±2√2
移項して　　x=2±2√2
(2)も同様にできると思います。

No.28908 - 2014/09/15(Mon) 15:31:50

☆ Re: / クルトガ

ありがとうございます！！！！

No.28909 - 2014/09/15(Mon) 16:10:18

★ 定理の使い方 / 香織

こんにちは。

n×n複素行列A,Bに於いて,A+xBの固有値zがx=0に関して連続である事をRoucheの定理

「関数f(z),g(z)は単連結領域Dで正則かつDに含まれる或る単純閉曲線C上で|f(z)|>|g(z)|とする。
この時,Cの内部に於けるf(z)+g(z),f(z)の零点の個数を夫々N_0(f+g),N_0(f)と置けば,N_0(f+g)=N_0(f)」

を利用して示したく思ってます。

h(z,x):=det(z-(A+xB))と置いた時,
単純閉曲線C内でのh(z,x)の零点の個数?点{c}(d/dz h(z,x)}/h(z,x) dzが h(z,0)での個数?点{c}(d/dz h(z,0))/h(z,0) dzに等しい

という風に持って行きたいのですが,この場合,何がf(z),g(z)になるのでしょうか?

No.28902 - 2014/09/15(Mon) 02:17:59

★ 確率　期待値 / くも

箱が4つあり、どの箱にも、1，2，3，4の数字が1つずつ書いてあるカードが各1枚、計4枚入っている。
各々の箱からカードを1枚ずつ取り出す。

取り出された4枚のカードのうち、1，2，3，4のカードの枚数をそれぞれa，b，c，dとする。
さらに、a，b，c，dの中の最大数をXとする。
例えば、
(a，b，c，d) = (1，0，0，3) のときは、X=3である。
このとき、Xの期待値は【タチ/ツ】となる。

解いてみたのですが、答えが合いませんでした・・・。

No.28898 - 2014/09/14(Sun) 23:13:59

☆ Re: 確率　期待値 / らすかる

4枚とも同じ数字である確率は4/4^4=1/64
3枚だけ同じ数字である確率は4P2*4/4^4=3/16
2枚ずつ2組が同じ数字である確率は4C2*4C2/4^4=9/64
2枚が同じ数字で残り2枚が異なる数字である確率は4C2*2*4P2/4^4=9/16
全部数字が異なる確率は4!/4^4=3/32
よって求める期待値は 4*(1/64)+3*(3/16)+2*(9/64+9/16)+1*(3/32)=17/8

No.28899 - 2014/09/14(Sun) 23:34:57

☆ Re: 確率　期待値 / くも

X=2になるときと、X=3になるときがわかりません。

No.28900 - 2014/09/15(Mon) 00:37:00

☆ Re: 確率　期待値 / らすかる

X=3になるのは
ある数が3枚と他の数が1枚
この数の選び方が4P2通り、他の3枚と異なる1枚がa,b,c,dのどれであるかが4通りなので
4P2×4通り、よってX=3となる確率は4P2*4/4^4=3/16
X=2になる確率は上のように求める必要はありませんでした。
X=2になる確率は、全体からX=1,3,4の場合を引いて
1-1/64-3/16-3/32=45/64です。

No.28901 - 2014/09/15(Mon) 00:50:46

★ 高校3年です / ブルーバード

2次曲線Ｃ：x^2＋2y^2＝4がｘ軸、y軸の正の部分と交わる点をそれぞれＭ、ＮとしＣの焦点のうちx座標が正であるものをＦとする。

(1)点Ｐが2次曲線Ｃの第一象限にある弧の上を動くとき、四角形ＮＦＭＰの面積の最大値とそのときの点Ｐの座標を求めよ。　　　

(2)焦点Ｆを通る傾きmの直線と2次曲線Ｃとの交点をＡ、Ｂとする。∠ＡＯＢが直角のとき、定数mの値を求めよ。ただし、Ｏは原点であるとする。
　　　

No.28897 - 2014/09/14(Sun) 21:10:33

☆ Re: 高校3年です / ☆ミ

(1)
M(2,0), N(0,√2), F(√2,0)
は大丈夫でしょうか
Pを楕円の媒介変数表示で(x=2cosθ,y=√2sinθ)
とおきます(0≦θ≦π/2)
△NFMは一定なので△PMNの面積の最大を考えればよいので
PとMNの距離が最大となる場合を求める
直線MNはx+√2y-2=0、点と直線の距離の公式より
d=2(sinθ+cosθ-1)/√3
sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)≦√2
θ=π/4のときが最大で
d=(2√2-2)/√3より
四角形NFMP=△NFM+△PNFを求めると面積は1
このときのP(√2,1)

(2)
A(p,q),B(r,s)とします
直線ABはy=m(x-√2)
これを楕円の式へ代入してxの2次方程式の解を公式より導くと
x={2√2m^2±2√(m^2+1)}/(2m^2+1)=p,r
y={-√2m±2m√(m^2+1)}/(2m^2+1)=q,s(複号同順)
∠AOB=∠Rなので→OA･→OB=pr+qs=0を計算すると
pr+qs=2(m^2-2)/(2m^2+1)=0
m=±√2

ミスなどあったらｽﾐﾏｾﾝ。方針は変わりません。

No.28910 - 2014/09/15(Mon) 16:50:50

★ (No Subject) / あと

このような事象が初めて起こる確率の定石はなんでしょうか。
あと、答えもわかりません

No.28893 - 2014/09/14(Sun) 18:10:09

☆ Re: / らすかる

この問題を解くための定石はありません。
どういう場合があるか考えてそれぞれの場合について計算するのみです。
問題がかなり曖昧ですので、
「さいころをn回ふってちょうど1周する確率」
と勝手に解釈します。
# 例えば、5回振って3,3,3,3,3だったような場合とか、
# 5回振って1,1,1,1,2だったような場合を含むのかどうかが
# この問題文だけではわかりません。

n=1のとき
5が出なければいけないので1/6
n=2のとき
2回振って(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)の
いずれかにならなければいけないので、4/6^2=1/9
n=3のとき
3回振って(1,1,3)(1,2,2)(1,3,1)(2,1,2)(2,2,1)(3,1,1)の
いずれかにならなければいけないので、6/6^3=1/36
n=4のとき
4回振って(1,1,1,2)(1,1,2,1)(1,2,1,1)(2,1,1,1)の
いずれかにならなければいけないので、4/6^4=1/324
n=5のとき
5回振って5回とも1でなければいけないので、1/6^5=1/7776
n＞5のとき
不可能なので0

No.28895 - 2014/09/14(Sun) 18:58:16

★ (No Subject) / 蛇くん

xyz空間の３点A(1,0,0),B(0,1,0),c(0,0,1)を通る平面をαとする.このαに関して原点と同じ側にあり,x≧0,z≧0,x^2+y^2≦r^2を満たす点全体からなる立体をKとする.ただし,0<r<1/√2とする.
　　このときの,Kの値を求めよ.

No.28875 - 2014/09/13(Sat) 23:36:00

☆ 取り消し / angel

すいません。やっぱり間違いなので回答は一旦削除します。

No.28896 - 2014/09/14(Sun) 19:24:19

☆ Re: / IT

x=tでの断面は台形でxy平面上での辺の長さは2√(r^2-t^2)で
　x軸から垂直に上がったところの高さが1-tで左右同じだけ上下し左右の幅は等しいので
　断面積は(1-t)2√(r^2-t^2)
よってk=∫[0,r]{(1-t)2√(r^2-t^2)}dt=(π/2)r^2-(2/3)r^3

y=tでの断面で考える方法が下記に回答されてます。
http://www2.ezbbs.net/cgi/reply?id=eijitkn&dd=34&re=52892
∫[-r,r]t√(r^2-t^2)dt=0なので、このほうが定積分の計算は簡単ですね。

No.28905 - 2014/09/15(Mon) 10:56:41