不等式2log[3]x-4log[x]27≦5を解け、という問題で
真数、底の条件から 0<x<1,1<x
となっているのですが、これがよく解りません。
そもそも、この範囲は何をみて判断するものなのかが解らないので、真数、底の条件の今回の問題における判別方法を教えて下さい。
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No.28629 - 2014/08/29(Fri) 23:12:48
| ☆ Re: 対数不等式です / らすかる | | | 真数は正、底は正でかつ1以外ですから 問題にlog[○]△とあれば 0<○<1, 1<○, 0<△ という条件が含まれます。 この問題では log[3]x から 0<x log[x]27 から 0<x<1, 1<x 両方合わせて 0<x<1, 1<x となります。
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No.28630 - 2014/08/29(Fri) 23:15:19 |
| ☆ Re: 対数不等式です / ファッ!? | | | > 真数は正、底は正でかつ1以外ですから > 問題にlog[○]△とあれば > 0<○<1, 1<○, 0<△ > という条件が含まれます。 > この問題では > log[3]x から 0<x > log[x]27 から 0<x<1, 1<x > 両方合わせて > 0<x<1, 1<x > となります。
解釈の仕方がわからないのでまずお伺いしますが 問題にlog[○]△とあれば 0<○<1, 1<○, 0<△
というのは真数はこの3っつの条件全てに当てはまるもので、底は条件次第でこの3っつの条件のどれかになる、ということでしょうか?
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No.28631 - 2014/08/29(Fri) 23:38:41 |
| ☆ Re: 対数不等式です / らすかる | | | log[○]△ とあれば ○が底、△が真数ですから 底の条件が 0<○<1, 1<○ 真数の条件が 0<△ です。
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No.28632 - 2014/08/29(Fri) 23:42:47 |
| ☆ Re: 対数不等式です / ファッ!? | | | ありがとうございます。
この次なのですが、計算は問題なく出来るのですがそこから
log[x]27を整理して、この式を
2log[3]x-12/(log[3]x)≦5
とするまでは問題ないです。 ただ、ここから先のことも解らない点がありまして
0<x<1のとき、log[3]x<0
というのがありまして、0<x<1の時どうなるか、を示す類似した公式はあるのですが、まずここで何故log[3]xが出てきて、しかも <0 となるかがわかりません。これに類似した公式は記載がありますが、少し違っているので何をもってlog[3]x<0が出てきたのか全くわかりません。
これが最後の質問なのですが、この式
2log[3]x-12/(log[3]x)≦5
にlog[3]xを入れて(log[3]x-4)(2log[3]x+3)≧0となった後、範囲として-3/2は入り、何故かっこ右側の4は範囲に含まれないのかがわかれません。このかっこ2つの式は0以上の指定があるので左側の4が範囲になると思ったのですが、log[3]x≦-3/2として解説が進みます。教えて下さい。
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No.28634 - 2014/08/30(Sat) 00:13:43 |
| ☆ Re: 対数不等式です / angel | | | > まずここで何故log[3]xが出てきて、しかも <0 となるかがわかりません。
扱っているのが不等式ですから、両辺に負の数をかけると不等号の向きが変わることを意識する必要があります。だからわざわざ「<0」を取り上げている、というのが大前提。 で、「不等式の両辺にかける数」としてありうるのが、今回は log[3]x ( 12/log[3]x の分母ですから ) のみ。だからこれが負になるのはいつか? というのがポイントになります。
…目的が分かっていないのに、途中の形だけ見て悩んでもしようがないですよ。( もしそうなら ) 解答の後の展開を見れば、正か負かで場合分けして、一方では不等号を反転させている形が出てくるはずです。先に押さえるべきはそこです。
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No.28635 - 2014/08/30(Sat) 00:34:15 |
| ☆ Re: 対数不等式です / angel | | | > 範囲として-3/2は入り、何故かっこ右側の4は範囲に含まれないのかがわかれません。
整理し直しますが、
不等式の解は log[3]x≦-3/2, log[3]x≧4 であるのに、なぜ後の話で log[3]x≧4 の方がなくなっているのか
ということですね。 それは、この不等式の前提が「log[3]x<0」であるからです。 もう少し言うと、「log[3]x>0」か「log[3]x<0」かで場合分けした内の後者を考えているから、「log[3]x<0」という前提がついて、解の中で log[3]x≧4 の部分が捨てられるということ。
なお、もう一方の場合分けとして、 log[3]x>0 を前提として (log[3]x-4)(2log[3]x+3)≦0 も解答に出てきているはずで、こちらからは 0<log[3]x≦4 が導かれます。
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No.28636 - 2014/08/30(Sat) 00:47:00 |
| ☆ Re: 対数不等式です / ファッ!? | | | 大変解りやすい解説、ありがとうございます。 数学ばかりしていて非常に頭が疲れていて、なかなか頭が回らなくなってしまい、結果として基礎的のことも解らなくなってしまうという状態に近いです。でも課題をこなさないといけないので、ここで伺っています。
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No.28639 - 2014/08/30(Sat) 02:06:00 |
| ☆ 別法 / angel | | | ちなみに、場合分けをしない方法もあります。 今回 log が出てくることを忘れれば、形としては 2X - 12/X ≦ 5 という不等式です。
ここで、両辺に何をかけるか、正か負かと考えるから場合分けが必要になるのであって、12/X の分母 X≠0 だけ押さえて両辺に X^2 ( >0 ) をかけてあげれば、これは不等号が反転しませんから、
X≠0 かつ X(2X^2-5X-12)≦0 ⇔ X≠0 かつ X(2X+3)(X-4)≦0
と言うことで、3次不等式の解として、X≠0 も盛り込んであげると、X≦-3/2, 0<X≦4 が出てきます。
なお、慣れれば X^2 をかけるというトリックを使わなくても 1/X・(2X+3)(X-4)≦0 と整理して同じように考えることができます。 ※大事なのは各項の正負なので、分母にあるか分子にあるかで大きく違いはないため。 ※もちろん、分母が0になるところは除外するように注意。
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No.28640 - 2014/08/30(Sat) 08:47:50 |
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