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★ ？？ / らっくっらく
nを整数とする.3辺の長さがx,y,2nである三角形の個数を求めよ.ただし,x,yは整数とし,0<x≦2n,0<y≦2n,x≦yを満たすとする.

高３です。
この問題の解答を教えてほしいです
No.28829 - 2014/09/12(Fri) 01:00:13
☆ Re: ？？ / IT
三角形の３辺の長さになるため　x,y,2nが満たすべき条件は分かりますか？
　
そして具体的にx=1,2,3,2nのそれぞれのときについてyが取りうる値を考えればよいと思います。
No.28831 - 2014/09/12(Fri) 01:36:12
☆ Re: ？？ / らっくらく
解いてみたのですが　答えはN(N+1)個
でしょうか？
No.28832 - 2014/09/12(Fri) 01:41:18
☆ Re: ？？ / angel
> 答えはN(N+1)個でしょうか？
はい。合っています。
※一応自身でも、n=1,2,3位で具体的に数えてみましたか?
No.28836 - 2014/09/12(Fri) 13:38:01
☆ 補足 / angel
らっくっらくさんがどのように解かれたか分からないのですが、
「x≦y」という条件を一旦忘れてあげると計算が楽になります。

x,yの対称性から、

　(x＞yである三角形の個数) = (x＜yである三角形の個数)

ですから、

　(x≦yである三角形の個数)
　= 1/2・( (x=yである三角形の個数) + (x,yの大小関係に制限がない三角形の個数) )

と計算できるからです。
No.28837 - 2014/09/12(Fri) 13:43:39
★ 確率 / カント
赤６個　白3個入った袋がある
（１）無作為に球をひとつ取り出し色を見て元に戻す
　　　この試行を４回繰り返す
　　　赤が２回だけ取り出される確率は？
　　　また赤球が少なくとも２回取り出される
　　　確率は？

（２）無作為に球をひとつ取り出しもとへ戻さずまた１個取り出す。これを繰り返して合計４個の玉を取り出すとき
　　　赤球がちょうど２個である確率は？
　　　また赤球が少なくとも２個である確率は？



この解き方を教えてください
No.28827 - 2014/09/12(Fri) 00:49:50
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(1)
赤赤白白、赤白赤白、赤白白赤、白赤赤白、白赤白赤、白白赤々　の６通りについて
いずれも確率は　2/3×2/3×1/3×1/3＝4/81
よって、　4/81×6＝8/27　・・・答え
上記の他に、赤が３回
赤赤赤白、赤赤白赤、赤白赤赤、白赤赤赤　の４通りについて、確率は 8/81
よって、　8/81×4＝32/81
赤が４回
赤赤赤赤　の１通り、確率は16/81
合計して　24/81＋32/81＋16/81＝72/81＝8/9

(2)
赤赤白白、赤白赤白、赤白白赤、白赤赤白、白赤白赤、白白赤々　の６通りについて
いずれも確率は　(6×5×3×2)/(9×8×7×6)＝5/84
よって、　5/84×6＝5/14　・・・答え
上記の他に、赤が３回
赤赤赤白、赤赤白赤、赤白赤赤、白赤赤赤　の４通りについて、
いずれも確率は (6×5×4×3)/(9×8×7×6)＝5/42
よって、　5/42×4＝10/21
赤が４回
赤赤赤赤　の１通り、確率は(6×5×4×3)/(9×8×7×6)＝5/42
合計して　(15＋20＋5)/42＝40/42＝20/21
No.28844 - 2014/09/12(Fri) 18:53:12
★ ２次関数 / hana
y=2x^2を平行移動して得られる放物線で、頂点が(2 2t-1)であるものをCとする。
Cがx軸と異なる２点で交わる点をA(a 0) B(b 0)ただしa＜b

(1)ＡＢ間の距離が５になるときのtの値
(2)-2＜a＜-1＜bとなるようなtの範囲

Cの式は求められています。
No.28826 - 2014/09/12(Fri) 00:45:25
☆ Re: ２次関数 / angel
幾つか方法がありますが、素直に2次方程式の解を計算すれば良いと思います。

> Cの式は求められています。
うん。それは書いて貰わないと、考えがあっているか判断できませんね。
取り敢えず、C の式は y=2(x-2)^2+(2t-1) です。
※Cがx軸と異なる2点で交わることから、2t-1＜0 すなわち t＜1/2
今回は、そのまま展開せずに行きます。

a,b は、2次方程式 2(x-2)^2+(2t-1)=0 の解です。
この2次方程式は、(x-2)^2=1/2-t と変形できますから、
解 x=2±√(1/2-t) です。このルートの部分一塊をsと置いてしまいましょう。( s=√(1/2-t) )
そうすると、a=2-s, b=2+s とすっきり表現できます。

(1) AB間の距離が5 … (2+s)-(2-s)=5 と言うことで、s=√(1/2-t)=5/2 ここからtが求められます。
(2) -2＜a＜-1＜b … a＞-2 かつ a＜-1 かつ b＞-1 なので
　2-s＞-2 かつ 2-s＜-1 かつ 2+s＞-1
　まとめると、3＜s＜4 ですね。ここからtの範囲を計算します。
No.28850 - 2014/09/12(Fri) 21:03:52
☆ Re: ２次関数 / hana
解けました！ありがとうございました。
No.28854 - 2014/09/12(Fri) 22:24:21
★ (No Subject) / ヒキニート
すいません。急ぎです。
k、l、m、nを正の整数とする。
(1)全ての正の整数について、不等式
(2/3)n√n ＜ √1 + √2 + √3 + ・・・+√n ＜ (2/3)(n+1)√(n+1)
が成り立つことを示せ。
(2)√kの整数部分がlとなるようなkの個数をlで表せ。
(3)√kの整数部分をa_kとし、S_n＝Σ[k=1〜n]a_kとする。
lim S_m^2/m^2 を求めよ。
No.28817 - 2014/09/11(Thu) 22:03:05
☆ Re: / IT
急ぎのようなのでヒントだけ
(1) ∫[(k-1)..k]√xdx＜√k＜∫[k..k+1]√xdx

(2) √kの整数部分がl ⇔　l≦√k＜l+1　平方する・・・
No.28818 - 2014/09/11(Thu) 22:31:27
☆ Re: / ヒキニート
明日の朝くらいまでに解いていただければ幸いです。
ちなみに、九大か九大模試の問題です。
No.28819 - 2014/09/11(Thu) 22:38:29
☆ (3) / angel
(3)は lim S[m]^2/m^3 を求める問題ではなくて?
いずれにしても(1)の結果を使えば、そのままです。

√k の整数部分が a[k] と言うことは、√k を中心に考えれば
　a[k]≦√k＜a[k]+1
a[k]を中心にすると
　√k-1＜a[k]≦√k

そうすると、
　Σ[k=1,m] (√k-1)＜S[m]≦Σ[k=1,m]√k
なので、(1)の結果より
　2/3・m√m -m ＜S[m]＜2/3・(m+1)√(m+1)
No.28821 - 2014/09/11(Thu) 22:59:25
☆ Re: / ヒキニート
すいません。分からないので(1)からお願いします。
ちなみに(3)の問題はlim[m→∞]S_m^2/m^2です。
No.28822 - 2014/09/11(Thu) 23:21:40
☆ Re: / angel
> すいません。分からないので(1)からお願いします。
それはITさんのヒント自体が分からないと言っていますか? それともその先の計算が分からないということですか? どちらかで大きく違いますよ。

> ちなみに(3)の問題はlim[m→∞]S_m^2/m^2です。
えっと。これは S[m^2]/m^2 か S[m]^2/m^2 かどちらでしょうか? 念の為。
どちらにしても、S[m^2]もS[m]^2 も大体m^3に比例した増加傾向を見せますから、/m^2 がついた位だと+∞に発散ですね。
No.28821の不等式の続きをかけばそのまま解答になります。
No.28824 - 2014/09/11(Thu) 23:47:26
☆ Re: / ヒキニート
(1)は面積評価しようとしましたが、実力不足でできませんでした。
(2)はガウスを使おうとしましたができませんでした。
ヒントで一応方針は見えそうなのですが、その先まで、完答まではできません。

S[m^2]/m^2です。
No.28825 - 2014/09/12(Fri) 00:04:32
☆ Re: / angel
(1) ITさんのヒントそのままです。
曲線と直線に挟まれた部分、短冊状の長方形の面積比較で
　∫[(k-1),k]√xdx＜√k＜∫[k,k+1]√xdx
となるので、これを k=1〜n で足し合わせた
　∫[0,n]√xdx＜√1+√2+…+√n＜∫[1,n+1]√xdx
これを計算します。
∫√xdx=∫x^(1/2)・dx=2/3・x^(3/2)+C
であることに注意。

(2) これもITさんのヒントそのままです。
ちゃんと書いてあることを良く読むことです。ガウス記号は取り敢えず要りません。
√kの整数部分が l になるような k は、l≦√k＜l+1 を満たすもの、つまり辺々平方してあげると l^2≦k＜(l+1)^2 を満たすような、そんな k だと言っています。…ではその個数は? という問題。

(3) S[m^2] と言うことであれば、No.28821の最後を
--
そうすると、
　Σ[k=1,m^2] (√k-1)＜S[m^2]
なので、(1)の結果より
　2/3・m^2・√m^2 -m^2 ＜S[m^2]
--
と読み替えてください。右側の不等号は要りません。…/m^2 であれば+∞に発散するため、上から抑えた評価が不要になるためです。
No.28830 - 2014/09/12(Fri) 01:06:45
★ 連続投稿してすいません。 / -
(1) 関数y=ax^2と一次関数y=2x+4で、xの値が -2から4まで増加するとき変化の割合が等しくなる。このとき、aの値を求めよ。

(2) 関数y=x^2でxの値が1から3まで増加するときの変化の割合と、関数y=ax^2でxの値が2から3まで増加するときの変化の割合が等しくなる。このとき、aの値を求めよ。

(3) 関数y=-2x^2で、xの値がpからp+2まで増加するときの変化の割合が8である。このときpの値を求めよ。

教えてくださいっ。
No.28809 - 2014/09/11(Thu) 16:37:38
☆ Re: 連続投稿してすいません。 / ヨッシー
(1)
変化の割合 とありますが、ｘの変化量が-2から4(6増える）と決まっているので、
結局は、ｙの変化量が同じということです。
ｙ＝２ｘ＋４ では、ｘが６増えると、ｙは２×６＝１２ 増えます。
y=ax^2 において、x=-2 のときのyの値 ｙ＝４ａ から
x=4 のときのｙの値 ｙ＝１６ａ までの増加量が１２であればいいということです。

(2)
今度は、前者がｘが１から３（２増える）、後者が２から３（１増える）なので、
ｙの増加量も同じではありません。
前者は ｘ＝１のときのｙの値　ｙ＝１から
ｘ＝３のときのｙの値　ｙ＝９　まで、８増えているので、
変化の割合は　８／２＝４　です。
後者において、ｘ＝２の時のｙの値　ｙ＝４ａ　から
ｘ＝３のときのｙの値　ｙ＝９ａ　まで５ａ増えているので、変化の割合は　５ａ／１＝５ａ　です。
両者の変化の割合が等しいことから、ａの値を求めます。

(3)
ｘ＝ｐ のとき　ｙ＝−２ｐ^2
ｘ＝ｐ＋２　のとき　ｙ＝−２(ｐ＋２)^2
ｘの変化量は　(ｐ＋２)−ｐ＝２
ｙの変化量は　−２(ｐ＋２)^2−(−２ｐ^2)＝−８ｐ−８
よって、変化の割合は
　(−８ｐ−８)／２＝−４ｐ−４＝８　より ｐ＝−３
No.28812 - 2014/09/11(Thu) 16:56:50
★ 関数 / -
x秒間で1往復するふりこの長さをymとすると、およそy=(1/4)x^2という関係が成り立っ。1往復するのに2秒かかるふりこについて、次の問いに答えなさい。
(1) このふりこの長さを求めよ。
(2) 1往復する時間を0.4秒だけ長くするには、ふりこの長さをどのように変えればよいか。

という問題なのですが、
(1)は
y=(1/4)x^2にx=2を代入して
→y=(1/4)×2×2
→y=1 1m
であってますか？

(2)はわからないので教えて下さい。
No.28808 - 2014/09/11(Thu) 16:27:08
☆ Re: 関数 / ヨッシー
(1) はそれでいいですね。

(2) ですが、ｘ＝２．４ になればいいので、
(1) と同様に計算して、y（長さ）を求めます。
No.28811 - 2014/09/11(Thu) 16:46:42
★ 京大対策 / 京大医学部
京大医学部を目指している、受験生です。本番では数学を8割以上確保したいです。ヨッシーさんの考える京大数学対策を教えていただけませんか
No.28807 - 2014/09/11(Thu) 15:59:21
☆ Re: 京大対策 / ヨッシー
私は、京大でも医学部でもないので、良いアドバイスできるか分かりませんが、
基本的な事項は抜けがない（例えば、すべての公式を自分で作れる）として、まずはレベルに怖気づかないことですね。
難関大の問題はいずれも、模試などでは出くわさないような、独特の威圧感のようなものがあります。
俗にいう「傾向と対策」ではないですが、どんな問題が出るかを赤本などで体験しておくこと。
そして、本番２，３ヶ月前からは、多読（多解く？）よりも、少数精鋭で何回か繰り返し解けるようなもの（もちろん高レベルの）を使用すること（これにはＺ会などの直前対策問題集のようなものが役に立ちます）ですかね。

まぁ、塾とか予備校の方が、よりリアルな対策を立ててくれるでしょうから、私の意見は聞き流す程度で。
No.28810 - 2014/09/11(Thu) 16:44:00
☆ Re: 京大対策 / IT
ヨッシーさんをご指名の質問ですが、ヨッシーさんのご意見に加えて（重複もありますが）少しだけ。

８割だと６問中５問を１５０分で完答する必要があるのでかなりハードルが高いと思います。

・苦手分野は作らない。（基本・基礎が最重要）

・受験勉強では１問１問に深く取り組む（別解研究や基本事項の確認など）
　下記サイトの「高校数学の方法」「問題研究」「別解研究」なども参考になります。
（京大理学部数学科卒で高校教師・塾の講師などの経験もある方のサイトで京大過去問も多く質問も出来ます）
http://www33.ocn.ne.jp/~aozora_gakuen/

・計算力もおろそかにしない。
　（標準レベル問題は、すばやく解いて他の問題の思考時間を確保、ステップが多い問題は途中ケアレスミスする確率も高くなります。）

・時間内にポイントを押さえた減点の少ない的確な答案を作成する。（添削、自己添削が有効、少し古いですが　故森毅京大教授の「数学受験術指南（中公文庫）」の２入試採点の内幕、３技術としての受験数学６数学答案の書き方　なども参考になると思います。）
No.28813 - 2014/09/11(Thu) 18:56:08
☆ Re: 京大対策 / 京大医学部
お二方、どうもありがとうございました。　
今後の勉強方針にしていこうとおもいます。

ITさんが教えてくださったサイト、非常に有益なな内容が満載ですね。有効活用していこうとおもいます。
No.28816 - 2014/09/11(Thu) 20:50:15
★ (No Subject) / 受験生
有理数係数の二次方程式x∧2＋ax＋ｂ＝０が無理数の解αを持つとき、任意の有理数Ｃに対して、１/(α＋Ｃ)＝pα＋q　を満たすp、qの組がただ一つ存在することを示せ　

この問題の解答がなくて困っています。教えてください
No.28805 - 2014/09/11(Thu) 15:49:17
☆ Re: / 受験生
p、qは有理数です
No.28806 - 2014/09/11(Thu) 15:50:13
☆ Re: / X
条件から
α^2+aα+b=0 (A)
(α+C)(pα+q)=1 (B)
(B)より
pα^2+(Cp+q)α+Cq-1=0 (B)'
(A)を用いて(B)'からα^2を消去すると
(Cp+q-ap)α+(Cq-1-bp)=0 (C)
ここでαは無理数、a,b,C,p,qは有理数ですので
Cp+q-ap=0 (D)
Cq-1-bp=0 (E)
(証明は省略します)
整理して
(C-a)p+q=0 (D)'
bp-Cq=-1 (E)'
(D)'(E)'をp,qについての連立方程式とみて
解くと
p=-1/(C^2-aC+b) (F)
q=(C-a)/(C^2-aC+b) (G)
よって命題は成立します。

注)
(F)(G)となるためには
C^2-aC+b≠0
であることを示さなくてはいけませんが
その証明を付け加えておきます。

x^2+ax+b=0
のα以外の解をβと置くと、解と係数の関係から
α+β=a (H)
αβ=b (I)
∴βは無理数
(H)(I)より
(-α)+(-β)=-a
(-α)(-β)=b
∴解と係数の関係により、二次方程式
x^2-ax+b=0 (J)
の解は-α,-β、つまり無理数となるので
有理数であるCは(J)の解とはなりえません。
よって
C^2-aC+b≠0
No.28814 - 2014/09/11(Thu) 19:04:54
☆ Re: / IT
（別解）素朴に解の公式を使います。
α=(-a±√(a^2-4b))/2
s=-a/2,t=±√(a^2-4b)/2とおくと　α=s+tである。

1/(α+C)
=1/(s+t+C)
分母を有理化する。
s+Cは有理数でtは無理数なのでs+C-tは無理数,よってs+C-t≠0 なので
=(s+C-t)/(s+C-t)(s+C+t)
=(s+C-t)/{(s+C)^2-t^2}
=(s+C-t)/{(s+C)^2-(a^2-4b)/4} 分母をuとおくuは有理数、
={s+C-(α-s)}/u
=(2s+C)/u+(-1/u)α、(2s+C)/u,-1/uは有理数

※一意性を示すのは容易だと思います。
※s,t,uなどと置いたのは表記を簡単にするためです。
No.28815 - 2014/09/11(Thu) 20:45:29
☆ Re: / IT
xさんへ

例えば,a=2,b=-1,x^2+2x-1=0,α=√2 - 1,C=1 でやると合いません。
p=-1/(C^2-aC+b)
q=(C-a)/(C^2-aC+b)
では？（私の計算ちがいならごめんなさい）
No.28828 - 2014/09/12(Fri) 00:55:33
☆ Re: / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。

>>受験生さんへ
ごめんなさい。ITさんの仰るとおり
計算間違いがありました。
それに伴ってNo.28814を修正しましたので
再度ご覧下さい。
No.28834 - 2014/09/12(Fri) 04:48:39
★ 全単射の証明 / sochi
f:N×N→Nをf(m,n)=2^{m-1}(2n-1)とするとこれは全単射なのだそうですが,一体どのようにして示せばいいのでしょうか?
No.28801 - 2014/09/11(Thu) 10:40:59
☆ Re: 全単射の証明 / らすかる
m,nが与えられたとき、f(m,n)が唯一の自然数に決まることと
自然数kが与えられたとき、f(m,n)=kとなるm,nが唯一の自然数の組に決まることを
示せば良いと思います。
No.28804 - 2014/09/11(Thu) 11:59:24
☆ Re: 全単射の証明 / sochi
> 示せば良いと思います。

そうですね。それが定義ですからね。

f(m,n)=f(m',n')⇒(m,n)=(m',n')
はどうすれば示せるんでしょうか?

あと,
f(m,n)=kの時,m,nはkでどのように表せるんでしょうか?
No.28820 - 2014/09/11(Thu) 22:50:08
☆ Re: 全単射の証明 / らすかる
k=2^p・q（pは非負整数、qは(正の)奇数）
と一意的に表され、m=p+1、n=(q+1)/2と決まります。
No.28823 - 2014/09/11(Thu) 23:26:42
☆ Re: 全単射の証明 / sochi
有難うございます。理解できました。
No.28883 - 2014/09/14(Sun) 08:38:07
★ 関数 / Kathy
こんにちは。

The following curve passes through (3,1). Use the local linearization of the curve to find the approximate value of y at x=2.8.
2x^2y+y=2x+13.

という問題ですが答えは1.1なのですがどのようにしてとけばいいのでしょうか?
No.28798 - 2014/09/11(Thu) 06:20:06
☆ Re: 関数 / ヨッシー
2(x^2)y+y=2x+13 をｘで微分すると
　4xy＋2(x^2)y'＋y'＝2
x=3, y=1 を代入して、
　12＋18y'＋y'＝2
　y'＝-10/19
x=2.8 のときの y の近似値は
　ｙ＝1＋(2.8-3)(-10/19)≒1.105
という感じです。

点(3,1) における接線が、x=2.8 に達した時の y の値を
曲線の y の値とみなそうという考え方です。
No.28800 - 2014/09/11(Thu) 09:44:23
☆ Re: 関数 / Kathy
どうも有難うございます。なるほど納得です。
No.28904 - 2014/09/15(Mon) 09:53:08
★ 関数 / Kathy
こんにちは。
下記の問題は10 gramsかと思ったら,14gramsなのです。どうしてなのでしょうか?

If 40 grams of a radioactive substance decomposes to 20 grams in 2 years, then, to the nearest gram, the amount left after 3 years is?
No.28797 - 2014/09/11(Thu) 06:17:30
☆ Re: 関数 / ヨッシー
２年で1/2倍になるということは、１年で 1/√2 倍になるので、
　20×1/√2＝10√2≒14 (g)
です。10g になるのはさらにもう１年後です。
No.28799 - 2014/09/11(Thu) 09:08:11
☆ Re: 関数 / Kathy
どうも有難うございます。納得です。
No.28906 - 2014/09/15(Mon) 11:35:20
★ 導関数 / とみー
f(x)=a√{{(tanx)^2+1}/(btanx+c)}のとき、
f'(x)=(a/2){b(tanx)^2+2ctanx-b}{√{{(tanx)^2+1}(btanx+c)}}/(btanx+c)^2となるところまではわかったのですが、f''(x)がわかりません。
解答お願いします。
No.28795 - 2014/09/10(Wed) 21:40:45
★ (No Subject) / riko
こんにちは
導関数についてうまく理解できないので質問させてください
導関数は
f'(a)=lim h→0 ( f(a+h) - f(a) ) / h
と習いました。h→0は0に近づくということは、分子がものすごく大きくなるということですよね？
こんなことをしてどうしてうまく計算できるのでしょうか？

また、計算する時は h=0 を代入してしまいます。
でも、h→0は0に近づくで、0ではないですよね？
なぜ、0を代入してもよいのでしょうか？
それに、分母は0にできないのに、ここではどうして0にできるのでしょうか？

学校で質問したら、うやむやなこといわれ、こう覚えておけといわれて終わってしまいました。
No.28792 - 2014/09/10(Wed) 13:29:23
☆ Re: / らすかる
> h→0は0に近づくということは、分子がものすごく大きくなるということですよね？
分子は f(a+h)-f(a) ですから、普通はものすごく小さくなります。

> また、計算する時は h=0 を代入してしまいます。
> でも、h→0は0に近づくで、0ではないですよね？
おっしゃる通りです。

> なぜ、0を代入してもよいのでしょうか？
連続関数ならばh→0の結果はh=0の結果と同じになりますので、
“普通によく見る関数”でh=0が不適でなければ（1/hのような場合でなければ）
最終的にh=0を代入したものが結果になります。

> それに、分母は0にできないのに、ここではどうして0にできるのでしょうか？
{f(a+h)-f(a)}/h の形のままであれば、hに0を代入することは出来ません。
しかし、{f(a+h)-f(a)}/hを計算した結果分母にhがなくなれば、hに0が代入できますね。
No.28793 - 2014/09/10(Wed) 16:07:15
☆ Re: / riko
お返事ありがとうございます
> 分子は f(a+h)-f(a) ですから、普通はものすごく小さくなります。
あっ、そうですね。

> 連続関数ならばh→0の結果はh=0の結果と同じになりますので、
？？？でした。説明は難しいですか？

> しかし、{f(a+h)-f(a)}/hを計算した結果分母にhがなくなれば、hに0が代入できますね。
計算した結果分母にhがなくならないことってあるのでしょうか？
もし、hという区間につながっていないとこがあれば、 h=0は代入できない？？？てことになりますか？
ということは、導関数をつくれない？
混乱してきました。
No.28802 - 2014/09/11(Thu) 10:51:02
☆ Re: / らすかる
> > 連続関数ならばh→0の結果はh=0の結果と同じになりますので、
> ？？？でした。説明は難しいですか？
「連続関数」はわかりますか？
もしg(x)が連続関数であれば、
lim[h→0]g(h)=g(0)
ですから、limの中身をまとめた結果が連続関数であれば
hにそのまま0を代入したものが結果になります。
（連続関数でなくても、g(x)がx=0において連続であるだけで十分です。）

> 計算した結果分母にhがなくならないことってあるのでしょうか？
例えば最終的に lim[h→0]sin(h)/h となった場合は、このhは
消すことができませんね。
No.28803 - 2014/09/11(Thu) 11:55:29
☆ Re: / riko
> 「連続関数」はわかりますか？
こういう条件が必要だったのですね。調べてみます。

> 例えば最終的に lim[h→0]sin(h)/h となった場合は、このhは
> 消すことができませんね。
導関数が得られないこともあるのですね。

ありがとうございました。すっきりしました。
No.28885 - 2014/09/14(Sun) 11:59:25
★ 極限 / RIN
こんばんは。

(1)lim n→∞ (n^3+n^2)^(1/3)　-n

(2)lim x→-π/2 (2x+π)tanx

この２問なのですが、
(1)は1/3乗をどうしたらいいかわかりませんでした。

よろしくお願いします。
No.28785 - 2014/09/09(Tue) 22:18:32
☆ Re: 極限 / angel
(1) 1/3乗 ( 3乗根 ) だと難しく感じるかもしれませんが、平方根 ( 1/2乗 ) ならどうでしょう…?
例えば、√a-√b のような形を含んだ極限だと、
　√a-√b = (√a-√b)(√a+√b)/(√a+√b) = (a-b)/(√a+√b)
のように、有理化の逆のようなことを良くやります。
これは、x^2-y^2=(x-y)(x+y) に基づいたものですね。

なので、例題としては、
　√( n(n+1) ) - √( n^2 )
　= √n・( √(n+1) - √n )
　= √n・( (n+1)-n )/(√(n+1)+√n)
　= √n/(√(n+1)+√n)
　よって、lim[n→∞] √( n(n+1) ) - √( n^2 ) = 1/2
のようなものが考えられます。
同じように3乗根も考えてみると…?

(2) とにかくひたすら、lim[x→0] tanx/x = 1 ( もしくは lim[x→0] x/tanx = 1 ) の形に持ち込むことを考えます。
そうすると、(2x+π) という形ではどうにもならないので、何か変数を置き換えて、例えば y に置き換えるとすると、lim[y→0] ( tany を含んだ何か ) を目指すことです。
No.28788 - 2014/09/09(Tue) 23:07:07
☆ Re: 極限 / RIN
（2）は解けました!!
（1）はとりあえずn＾2でくくってみたのですが、やっぱり分かりませんでした…。
No.28791 - 2014/09/10(Wed) 10:42:27
☆ Re: 極限 / IT
一般に(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3
よって　a^2+ab+b^2≠０のとき　a-b=(a^3-b^3)/(a^2+ab+b^2)
ここでa=(n^3+n^2)^(1/3),b=n　とおくと良いのでは。

(n^3+n^2)^(1/3)-n
=(n^3(1+1/n))^(1/3)-n
=n(1+1/n)^(1/3)-n
={(1+1/n)^(1/3)-1^(1/3)}/(1/n) として考える方法もあります。
No.28794 - 2014/09/10(Wed) 18:44:02
☆ Re: 極限 / angel
すでにITさんが説明されているのですが、平方根の場合と比較のために、似たような形で揃えて書いてみます。
なお、3乗根は [3]√x のように表現するものとします。

　[3]√a-[3]√b
　= ([3]√a-[3]√b)( [3]√(a^2)+[3]√(ab)+[3]√(b^2) )/( [3]√(a^2)+[3]√(ab)+[3]√(b^2) )
　= (a-b)/( [3]√(a^2)+[3]√(ab)+[3]√(b^2) )
　※これは、x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) に基づく

今回の問題では、

　[3]√( n^2(n+1) ) - [3]√( n^3 )
　= [3]√(n^2)・( [3]√(n+1) - [3]√n )
　= [3]√(n^2)・( (n+1)-n )/( [3]√((n+1)^2) + [3]√(n(n+1)) + [3]√(n^2) )
　= [3]√(n^2)/( [3]√((n+1)^2) + [3]√(n(n+1)) + [3]√(n^2) )
　よって、lim[n→∞] [3]√( n^2(n+1) ) - [3]√( n^3 ) = 1/3
No.28796 - 2014/09/10(Wed) 23:35:21
★ (No Subject) / あき
aを実数の定数とする。
xの方程式ax-2=-2√(x-3)の異なる実数解の個数をaの値に
よって場合分けせよ。

グラフを書いて求めようと思ったんですが、結局分かりませんでした・・・。

よろしくお願いします。
No.28784 - 2014/09/09(Tue) 21:43:37
☆ Re: / angel
グラフと言うことであれば、添付の図のようなものになります。
y=-2√(x-3) というのは、横向きの放物線の上半分を除いた曲線ですね。
で、y=ax-2 と言うのは、定点(0,-2)を通る色々な傾きの直線になります。
傾きを色々変化させた時にどうなるか、それを見てみましょう。
※なんだったら紙の上に放物線を描いて、鉛筆を直線に見立てて動かしてみても良いのですよ
特に「傾き0」の前後に注意。

どちらにせよ、最終的に鍵を握るのは判別式の計算ですが。
No.28790 - 2014/09/09(Tue) 23:46:07
★ 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
aを定数とする。3次関数f(x)＝x^3-2ax^2＋a^2xの0≦x≦1における最大値M(a)を求めよという問題です。

まずxがa/3とaであることを求め、a/3となるf(x)の4(a^3)/27が他にもあることから

x^3-2ax^2＋a^2x-4(a^3)/27をして、aの値が4(a)/3があるという部分までは良いのですが、ここから先が解りません。

1<a/3　よってM(a)＝f(1)

a/3≦1≦4(a)/3 よってM(a)＝f(a/3)

0<4/3a<1 よってM(a)＝f(1)

という三つのMが出るのですが、このMの値はどういう計算をしてそれぞれ1とa/3を出したのかよく分かりません。その計算方法を教えてください。
No.28780 - 2014/09/09(Tue) 18:31:39
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / ヨッシー
まず、y=f(x) がどういう形かを調べないといけません。
f(x)＝x(x-a)^2 ですから、y=f(x) のグラフは、
　原点を通る、　ｘ＝ａでｘ軸に接する
と分かります。ａの正負によって、図のように２通り考えられますが、
ａ≦０ の場合は、０≦ｘ≦１ において、単調増加なので、
最大値は f(1) になります。
ａ＞０ の場合、極大値の f(a/3) を範囲に含むか、また、極大値より大きい値が存在するかによって、
右の図の矢印で示した３通りの範囲設定が考えられます。
１＜ａ／３ つまり　３＜ａ のとき
　極大値を範囲に含まないので、f(1) が最大値。
ａ／３＜１＜ｂ　（ｂはf(x)が極大値と一致する、x=a/3 以外の値）のとき
　極大値が最大値となります。
ｂ≦１　のとき
　f(1) が極大値より大きいので、f(1) が最大値となります。
No.28781 - 2014/09/09(Tue) 18:53:41
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
この問題の応えは0<a3/4,3<aの時　
M(a)＝a^2-2a＋1

3/4≦a≦3のとき
M(a)＝4(a^3)/27

という二つの回答があり、Mの算出時の不等号の式も解説のものと大きく異なっているのでこの解説には誤りがある気がします。
あと、Mの値を計算によって算出する方法が知りたい、という質問なので例えば1<a/3、つまりa>3の場合にfが1になるという過程の計算式を知りたい、という質問です。
No.28782 - 2014/09/09(Tue) 19:43:50
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
訂正
> この問題の応えは0<a<3/4,3<aの時　
> M(a)＝a^2-2a＋1
No.28783 - 2014/09/09(Tue) 19:47:44
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / angel
> この解説には誤りがある気がします。
勝手に決めつけるの、良くナイ。
ヨッシーさんの解説で合っています。

なお、ヨッシーさんは a≦0 の場合も考慮されていますが、尾木ママさんの挙げた答えにないことから、問題の前提として「a＞0」があるのでは。問題の条件は正確に。

> Mの値を計算によって算出する方法が知りたい
それは尾木ママさんが答えの導き方を誤解しているのでしょう。
> 例えば1＜a/3、つまりa＞3の場合にfが1になるという過程の計算式
解答を書く上では、如何にも 1＜a/3 を出発点にして、そこから 1 という数字が導かれ、M=f(1) と計算しているかのようにするかもしれませんが、実際にそう考えて解く訳ではありません。解けません。

道筋としては、
・最大値は、極大値もしくはf(1)のどちらかである
・f(1)が最大値になるとしたら〜という状況である
・その状況の一つが 1＜a/3 である
という順序になっていて、それを踏まえた上でヨッシーさんは
> まず、y=f(x) がどういう形かを調べないといけません。
と切り出したわけです。

…取り敢えず、失礼な態度だと思いますよ、と釘を刺しておきます。
No.28786 - 2014/09/09(Tue) 22:38:24
☆ Re: 3次関数の最大・最小です / 尾木ママ
ヨッシーさんがかかれたものが解説の式とかなり異なっていたので解りませんでした。
よくよく見直すとヨッシーさんのかかれた式で理解できました。申し訳ありませんでした。
No.28787 - 2014/09/09(Tue) 23:00:47
★ 2変数のマクローリン展開 / はた
9,2の問題を教えてください
よろしくお願いします。
No.28774 - 2014/09/07(Sun) 23:40:00
☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / はた
なお、答えはθ＝1/3です
よろしくお願いします。
No.28775 - 2014/09/07(Sun) 23:41:34
☆ Re: 2変数のマクローリン展開 / angel
とにかく偏微分の計算をすること、ですかね。
x,yの2変数関数fに対し、

　(∂/∂x+∂/∂y)・f = ∂f/∂x+∂f/∂y

となります。演算子が何重にもなっている場合でも同じで、

　(∂/∂x+∂/∂y)^2・f
　= (∂/∂x+∂/∂y)・(∂f/∂x+∂f/∂y)
　= ∂/∂x・(∂f/∂x+∂f/∂y) + ∂/∂y・(∂f/∂x+∂f/∂y)
　= ( ∂^2 f/∂x^2 + ∂^2 f/∂x∂y ) + ( ∂^2 f/∂x∂y + ∂^2 f/∂y^2 )
　= ∂^2 f/∂x^2 + 2∂^2 f/∂x∂y + ∂^2 f/∂y^2

なおこれは、演算子部分を先に
　(∂/∂x+∂/∂y)^2 = ∂^2/∂x^2 + 2∂^2/∂x∂y + ∂^2/∂y^2
と計算するのと結果は同じですね。

さてそうすると、問題にある
　(h∂/∂x+k∂/∂y)・f = h∂f/∂x+k∂f/∂y
　(h∂/∂x+k∂/∂y)^2・f = h^2∂^2 f/∂x^2 + 2hk∂^2 f/∂x∂y + k^2∂^2 f/∂y^2
と、実際の偏導関数
　∂f/∂x = y^2
　∂f/∂y = 2xy
　∂^2 f/∂x^2 = 0
　∂^2 f/∂x∂y = 2y
　∂^2 f/∂y^2 = 2x
から、
　(x+h)(y+k)^2 = xy^2 + (h・y^2+k・2xy) + 1/2・(h^2・0+2hk・2(y+θk)+k^2・2(x+θh))
となりますから、これを整理していけばθが分かります。
No.28779 - 2014/09/09(Tue) 02:00:15
★ (No Subject) / ヒキニート
xy平面上にθを媒介変数とする曲線
C1:x=4cosθ 、 y=2sinθ (-π/2≦θ≦π/2)
とtを媒介変数とする曲線
C2:x=1/2(t+1/t) 、 y=1/2(t-1/t) (t>0)
がある。

(1)C2上の点(x,y)が満たす方程式を求めよ。また、xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)C1とC2の交点の座標を求めよ。また、交点に対応するtの値も求めよ。
(3)C1とC2によってかこまれる部分の面積Sを求めよ。
No.28773 - 2014/09/07(Sun) 23:14:57
☆ Re: / ヨッシー
(1)
cosθ＝x/4, sinθ＝y/2 より
　(x/4)^2＋(y/2)^2＝1
　x^2/16＋y^2/4＝1　　(i)
-π/2≦θ≦π/2 より
　0≦ｘ≦4

(2)
　x=(1/2)(t+1/t) 、 y=(1/2)(t-1/t)
であるとします。
両辺２倍して２乗して
　4x^2＝t^2＋1/t^2＋２, 4y^2＝t^2＋1/t^2−２
よって、
　4x^2−２＝4y^2＋２
　x^2−y^2＝1　 ・・・　(ii)
ただし、相加相乗平均より　t+1/t≧2 (等号は t=1 の時) なので、
　x≧1　（つまり双曲線の右半分）
Ｃ1, Ｃ2 の交点を求めるには、x=4cosθ, y=2sinθ を (ii) に代入して、
　16cos^2θ−4sin^2θ＝1
　16cos^2θ−4(1−cos^2θ)＝1
　20cos^2θ＝5
　cos^2θ＝1/4
0≦ｘ≦4 より cosθ＝1/2, このときθ＝−π/3, π/3
交点の座標は (2, ±√3)
これに対応するｔの値は、t＋1/t＝4 より
　t^2−4t＋1＝０
　ｔ＝2±√3　・・・答え
(3)
Ｃ1, Ｃ2 に囲まれた部分の面積Ｓは、図の通りなので、
　x^2/16＋y^2/4＝1 より y＝√(4−x^2/4)　　　(楕円の上半分)
　x^2−y^2＝1 より y＝√(x^2−1)　（双曲線の上半分）
より、
　Ｓ＝２∫[1〜2]√(x^2−1)dx＋２∫[2〜4]√(4−x^2/4)dx
Ｔ＝∫[1〜2]√(x^2−1)dx , Ｕ＝∫[2〜4]√(4−x^2/4)dx とすると、
Ｔにおいて、ｘ＝cosh(t)＝(e^t＋e^(-t))/2 とおくと、
　1≦ｘ≦2 は、0≦t≦log(2＋√3) に対応し
　√(x^2−1)＝√{(e^t−e^(-t))/2}^2＝(e^t−e^(-t))/2
dx/dt＝(e^t−e^(-t))/2 より、dx＝(e^t−e^(-t))dt/2
　Ｔ＝∫[0〜log(2＋√3)]{e^2t＋e^(-2t)−2}dt/4
　　＝[(1/2)e^2t−(1/2)e^(-2t)−2t][0〜log(2＋√3)]／４
　　＝{(1/2)(2＋√3)^2−(1/2)(2＋√3)^(-2)−2log(2＋√3)−1/2＋1/2}／４
　　＝{(1/2)(7＋4√3)−(1/2)／(7＋4√3)−log(7＋4√3)}／４
　　＝{(1/2)(7＋4√3)−(1/2)(7−4√3)−log(7＋4√3)}／４
　　＝(4√3−log(7＋4√3))/4
　　＝√3−(1/4)log(7＋4√3)

Ｕにおいて、
Ｕ＝(1/2)∫[2〜4]√(16−x^2)dx とおき、ｘ＝4sin(t) とおくと、
2≦ｘ≦4 は π/6≦t≦π/2 に対応し
√(16−x^2)＝4cos(t)　dx/dt＝4cos(t)　より
　Ｕ＝(1/2)∫[π/6〜π/2]16cos^2(t)dt
　　＝2∫[π/6〜π/2](2cos(2t)＋2)dt
　　＝２[sin(2t)＋2t][π/6〜π/2]
　　＝２{π−√3/2−π/3]
　　＝4π/3−√3
以上より
　Ｓ＝２(Ｔ＋Ｕ)＝8π/3−(1/2)log(7＋4√3)
No.28776 - 2014/09/08(Mon) 16:32:58
★ 教えてください。 / sakuchan
１００円、１０円、５円、１円の硬貨が１枚ずつある。この４枚の硬貨を同時に１回投げるとき、表が出た硬貨の合計金額が１０円以下になる確率を求めなさい。ただし、どの硬貨の表裏の出方も同様に確からしいものとする。

という問題があります。
答えは５/１６ですが、なぜそのようになるにか教えてください。

中学三年生女子です。
No.28771 - 2014/09/07(Sun) 21:07:30
☆ Re: 教えてください。 / 農場長
それぞれの硬貨は表or裏の２通り考えられます。
中学生ですので、それで樹形図を書き上げると
全部で１６通りになるのがわかると思います。
（計算で求めるなら、2^4=16通りです）

そのうち、１０円だけが表だったらＯＫですよね。
それは、５円だけ、１円だけもＯＫです。
また、５円＋１円でもＯＫです。
そして、４枚の硬貨全部が裏のとき、つまり０円のときも
考えられるので、合計金額が１０円以下になるのは５通り。
No.28772 - 2014/09/07(Sun) 21:43:32
☆ Re: 教えてください。 / 潤一郎
あの〜。すみません、横から。僕は高校１年生です。

この中学生さんの問題ですが。

４枚の硬貨全部がの裏の時０円ってどういうことですか？

この硬貨は１００円玉、１０円玉、５円玉、１円玉

ではないのですか？

恥ずかしいですが、思いきって投稿しました。
僕にも教えて下さい。
No.28777 - 2014/09/08(Mon) 20:52:11
☆ Re: 教えてください。 / 潤一郎
すみません！何度も。すぐに投稿してしまい

申し訳ありませんでした。

勘違いしていました。分かりました。

表が出た場合しか聞かれていないので

裏は確かに０円でした。

汚してしまって済みませんでした。

恥ずかしいですが、いつもの硬貨の問題が

閃いて、少し考え過ぎていました。

ありがとうございました。
No.28778 - 2014/09/09(Tue) 00:06:23
★ (No Subject) / スピンクス
a＝(１＋√５)/２のとき、次の式の値を求めよ。
(１)a^2−a−１
(２)a^4+a^3+a^2+a

解答が無いので全く分かりません。教えてください。
No.28764 - 2014/09/07(Sun) 18:15:29
☆ Re: / X
a=(1+√5)/2 (A)
より
2a-1=√5
(2a-1)^2=5
4a^2-4a-4=0
∴a^2-a-1=0 (B)
(B)を使い、(1)(2)共に
与式をa^2-a-1で割った余りを求め
それに(A)を代入するのが方針になります。

但し(1)については与式が(B)の左辺
そのものという特別な場合となっており
(与式)=0
となります。
No.28765 - 2014/09/07(Sun) 18:39:22
☆ Re: / ヨッシー
(1)
実数係数の二次方程式で、ｘ＝(1＋√5)/2 が解になるものを考えると、
　ｘ＝(1−√5)/2 も解となります。
ｂ＝(1−√5)/2 とおくと、解と係数の関係から
　ａ＋ｂ＝１、ａｂ＝−１
より、ｘ＝(1＋√5)/2 を解に持つ二次方程式の１つとして、
　ｘ^2−ｘ−１＝０
が得られます。ａはこれの解の１つなので、
　ａ^2−ａ−１＝０　　・・・答え
(2)
(1) の結果より
　ａ^4−ａ^3−ａ^2＝０　より　ａ^4＝ａ^3＋ａ^2
よって、
　a^4+a^3+a^2+a＝２ａ^3＋２ａ^2＋ａ
さらに、　ａ^3−ａ^2−ａ＝０ より　ａ^3＝ａ^2＋ａ　より
　２ａ^3＋２ａ^2＋ａ＝４ａ^2＋３ａ
　　＝４(ａ＋１)＋３ａ＝７ａ＋４
　　＝(15＋7√5)／２
No.28767 - 2014/09/07(Sun) 19:05:10
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