ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角関数　図形への応用です / クーン

点Pは円x^2＋y^2＝4の第一象限を動く点であり、点Qは円x^2＋y^2＝16上の第二象限を動く点である。ただし、原点0に対して常に∠POQ＝90度であるとする。また、点PからX軸に垂直PHを下ろし、点Qからx軸に垂直QKをおろす。更に、∠POH＝θとする。この時、三角形QKHの面積Sはtanθ＝○○の時、最大値○○をとる

という問題で、Sの面積が2{√5sin(2θ＋α)＋1}

となるところまでは解るのですが、これ以降の解説の意味がわかりません。解説では、

ただし、αはsinα＝1/√5、cosα＝2/√5、0°<α<90°をみたす角

と書いてあります。まず、ここで何故αの角度がこのようになるのかが全くわかりません。ちなみにこれに関して、αは具体的な角としてあらわすことはできない、と書かれているだけです。このαの数値の根拠がわからないのが一つ。

次に、0°<θ<90°から(０°<)α<2θ＋α<180°＋α(270°)

と書かれています。これも一体何なのか、どうしてこの範囲が出たのかが解説をみても全く根拠が記されていないので解りません。

どういうことなのか教えて下さい!

No.28567 - 2014/08/26(Tue) 13:13:56

☆ Re: 三角関数　図形への応用です / クーン

一つ思ったのは、y＝1/2sinθのグラフは、y＝sinθのグラフをy軸方向に1/2倍に縮小したもの、という公式があるのですが、これを応用して出したのでしょうか?

No.28571 - 2014/08/26(Tue) 16:13:28

☆ Re: 三角関数　図形への応用です / らすかる

Sの面積が2{√5sin(2θ＋α)＋1}までわかるということは
この式の意味がわかる、すなわちαの意味もわかるということになりますので、
αの意味がわからないのでしたら
それより前までしか理解できていないということですよね。
きちんと理解できた最後の式はどうなっていますか？

No.28572 - 2014/08/26(Tue) 17:15:04

★ (No Subject) / 問題は画像です。

こちらの問題の解答を途中式も含めて教えてください。
よろしくお願いします。

No.28566 - 2014/08/26(Tue) 00:36:51

☆ Re: / X

(1)
条件から
C(OAcosθ,OAsinθ)
D(OBcosθ,OBsinθ)
∴
C(cosθ,sinθ)
D(2cosθ,2sinθ)
一方、線分CDの傾きは
tanθ
以上からl,mの方程式はそれぞれ
y=-(x-cosθ)/tanθ+sinθ
y=-(x-2cosθ)/tanθ+2sinθ
それぞれ整理して
y=-x/tanθ+1/sinθ
y=-x/tanθ+2/sinθ

(2)
l,mとx軸の交点をE,Fとすると
(1)の結果から
E(1/cosθ,0),F(2/cosθ,0)
一方、l,mと直線y=xとの交点を
H,Gとすると(1)の結果により
G(2/(sinθ+cosθ),2/(sinθ+cosθ))
H(1/(sinθ+cosθ),1/(sinθ+cosθ))
問題の面積をf(θ)とし
l//m
に注意すると
f(θ)=(台形EFGHの面積) (∵)図を描きましょう)
=(△OFGの面積)-(△OEHの面積)
=(1/2)OF・OGsin∠FOG-(1/2)OE・OHsin∠EOH
=(1/2)OF・OGsin(π/4)-(1/2)OE・OHsin(π/4)
=1/{2(sinθ+cosθ)cosθ}
=1/(sin2θ+1+cos2θ)
=1/{(√2)sin(2θ+π/4)+1}
ここで
0＜θ＜π/2
より
π/4＜2θ+π/4＜5π/4 (A)
∴f(θ)が最小となるときのθについて
sin(2θ+π/4)=1 (B)
(A)に注意して(B)を解いて
θ=π/8

No.28596 - 2014/08/28(Thu) 18:44:27

☆ Re: / 問題は画像です。

ありがとうございます。助かりました。

No.28610 - 2014/08/28(Thu) 23:35:16

★ (No Subject) / わー

PR66青線のところがよくわかりません。解説お願いします

No.28564 - 2014/08/25(Mon) 23:53:37

☆ Re: / angel

単純な話として、「y軸」という直線は 2点 (0,0,0), (0,1,0) を含みます。
前者の点を基準とした後者の点の位置ベクトルは (0,1,0) ですね。これがそのまま「方向ベクトル」になります。
直線上のどの2点をとっても同じで、(0,1,0) の実数倍のベクトルがでてきます。( それが「直線」という図形の性質 )

No.28576 - 2014/08/26(Tue) 20:39:35

★ 高1 / nnnam

(2)(3)の途中式と空欄の答えを教えてください！

No.28557 - 2014/08/25(Mon) 21:17:20

☆ Re: 高1 / 農場長

(2)　判別式　D=(2a-1)^2-4(a-1)(a-2)より、
D<0,D=0,D>0のそれぞれの場合について考えればよい。
D<0のとき、8a-7<0　→　a<7/8
D=0のとき、8a-7=0　→　a=7/8

D>0のとき、8a-7>0　→　a>7/8
ただし、x^2の係数≠0なので、a≠1
これより、7/8<a<1,1<a

(3)　(2)の結果から、a=7/8を代入して頑張りましょう

No.28561 - 2014/08/25(Mon) 23:04:06

☆ Re: 高1 / nnnam

ありがとうございます！！！！m(__)m
解けましたー！

No.28563 - 2014/08/25(Mon) 23:27:10

★ 教えてください / 。

?@～はそれぞれyがxに比例することを表す式のグラフである。
?@～?Cの中で、比例定数が最も大きい式のグラフはどれですか。
その番号を書きなさい。

No.28554 - 2014/08/25(Mon) 19:49:12

☆ Re: 教えてください / 農場長

比例定数は、
グラフが右上がり→正の数
グラフが右下がり→負の数
となるので、この時点で?Bか?Cのどちらか。
傾き具合が大きい（急になる）ほど比例定数も大きいので、
答えは?Bです。

No.28560 - 2014/08/25(Mon) 22:48:02

☆ Re: 教えてください / 。

助かりました！
ありがとうございます！！

No.28562 - 2014/08/25(Mon) 23:18:38

★ 方程式 / No name

a km の道のりを時速4 km で進むのにかかる時間は、(a+1)km の道のりを時速9 km で進むのにかかる時間より1時間多い。aの値を求めよ。
という問題があるのですが、
答えを見ると、
a/4=(a+1)/9+1
→9a=4(a+1)+36
→9a=4a+4+36
→5a=40
→a=8 となっていましたが
a/4=(a+1)/9+1 から
→9a=4(a+1)+36　となるのが分かりません。。
情けない質問ですが、解き方を詳しく教えて下さい！;

No.28544 - 2014/08/25(Mon) 15:18:05

☆ Re: 方程式 / らすかる

両辺を36倍しただけです。

No.28546 - 2014/08/25(Mon) 17:32:08

☆ Re: 方程式 / No name

あ、ほんとだ！！うわわありがとうございます！！

No.28549 - 2014/08/25(Mon) 17:40:26

★ 整数問題 / kisato

この問題が難しくて分かりません(TдT)

No.28537 - 2014/08/25(Mon) 00:18:32

☆ Re: 整数問題 / IT

a[1],a[2],...,a[n]の中に互いに等しいものがあっても良いなら

1^3+2^3+...+n^3 は平方数であることと
3^3+4^3+5^3=6^3 であることから

1^3+2^3+6^3
1^3+2^3+6^3+6^3
1^3+2^3+6^3+6^3+7^3
・・・
1^3+2^3+6^3+6^3+7^3+...+(n+2)^3
は平方数

No.28543 - 2014/08/25(Mon) 12:43:08

☆ Re: 整数問題 / kisato

なるほど！１をいくつか使って調節するんですね！ありがとうございます！

でも、n=7とかのときって、どうやって見つければいいんですか…？

No.28545 - 2014/08/25(Mon) 17:29:29

☆ Re: 整数問題 / IT

書き換えました。

No.28547 - 2014/08/25(Mon) 17:33:02

☆ Re: 整数問題 / kisato

3^3+4^3+5^3=6^3 は盲点でした！これですっきりしました！ありがとうございます！

ところで、a_1,a_2, ... , a_nが全て異なるときの解って、存在するんですかね…？

No.28548 - 2014/08/25(Mon) 17:37:21

☆ Re: 整数問題 / らすかる

> a_1,a_2, ... , a_nが全て異なるときの解

1^3+2^3+6^3=(3*5)^2
1^3+2^3+6^3+10^3=(5*7)^2
1^3+2^3+6^3+10^3+14^3=(7*9)^2
1^3+2^3+6^3+10^3+14^3+18^3=(9*11)^2
1^3+2^3+6^3+10^3+14^3+18^3+22^3=(11*13)^2
・・・

No.28551 - 2014/08/25(Mon) 18:23:09

★ 高1 数学二次関数 / skaf

ア～キがわかりません。
よろしくお願いします(>_<)

No.28530 - 2014/08/24(Sun) 22:04:17

☆ Re: 高1 数学二次関数 / angel

ん…。Mのことが分かったなら、グラフ上で同じように見れば良いのだけれど。

ア～カに関しては、
　0＜a＜2 の時　m=5
　a≧2 の時 m=-2a^2+4a+5

キについては、まあaによって場合分けして方程式を解けば良いのですが、M,mの変化に着目すればどの場合に着目すれば良いか絞ることができます。
※変化の様子は、グラフ上で見るのが、もちろん見やすい

・a=0 の時、M=m=5 … M=2m+19 は成立しない
・0＜a＜=1 の時、m=5 はそのままMが大きくなる
　a=1 の時でも M=7 なので、M=2m+19 になるにはMが小さい
・1＜a≦2 の時、M=7,m=5 のまま、依然 M=2m+19 は成立しない
・a＞2 の時、M=7 のまま、mが小さくなる
　※いずれ M=2m+19 が成立する所まで m が小さくなる

と言うことで、a＞2 のケースに絞れます。
M=2m+9, M=7, m=-2a^2+4a+5 を解いて a=3

No.28533 - 2014/08/24(Sun) 22:43:44

☆ Re: 高1 数学二次関数 / skaf

↑0<a<2の2はどのように計算すればでてきますか？
場合分けする際、
?@a/2<0
?A0<a/2<a
?B0<a
ではあっていませんよね？(°_°)
何度もすみません！

No.28534 - 2014/08/24(Sun) 23:11:48

☆ Re: 高1 数学二次関数 / angel

> どのように計算すればでてきますか？
どのように a を計算するかではなく、どのようにグラフを読み解くかを考えるべきです。
※もちろん、グラフを正確に描くには裏で色々計算はするのですが、その具体的な計算は取り敢えず置いておく

キの説明の所で書いた内容をちょっと書き直しますが
・0≦a≦1 の時、mはそのままでMが大きくなる
　※a=0 の時 M=m
　※a=1 のところで M の増加がストップ
・1＜a≦2 の時、m,Mはそのまま変化しない
・a＞2 の時、M はそのままで m が小さくなる
このことを、グラフを描いて確認してみてください。

No.28535 - 2014/08/24(Sun) 23:23:06

☆ グラフ概要 / angel

実際のグラフとしては、次のようなものになります。ご参考まで。
※いつが「状況が切り替わるポイント」か、それは自分で描いてみてください。

No.28536 - 2014/08/24(Sun) 23:55:07

☆ Re: 高1 数学二次関数 / skaf

わかりやすい説明を本当にありがとうございました！！！
angelさんの文とグラフを参考にさせていただいた結果答えに結びつきましたヽ(；▽；)ノ

No.28538 - 2014/08/25(Mon) 00:19:10

★ (No Subject) / 質問です。

こちらの問題がわかりません。
解答を教えてください。

No.28523 - 2014/08/24(Sun) 18:21:01

☆ 解答 / angel

(1) 3回投げてPが原点に来るのは、表→裏→表、もしくは裏→裏→裏の時。
　よって、確率は (1/2)^3×2=1/4
(2) 4回投げてPが1に来るのは、表→裏→表→表、もしくは裏→裏→裏→表、裏→表→裏→裏の時。
　よって、確率は (1/2)^4×3=3/16
(3) n≧3に対して、n回投げてPがn-3に来るのは、表→裏→以降全て表、もしくは、1回目裏、2回目以降裏は連続2回のみ。

　よって、確率は (1/2)^n×(1+(n-2))=(n-1)/2^n

No.28525 - 2014/08/24(Sun) 20:23:41

☆ ヒント / angel

(1),(2)は(3)の1ケースに過ぎないので、(3)に絞って話をします。
とは言え、実際には(1),(2)を考える中で規則性を見つけるようなことになるでしょう。
※つまり(1),(2)が(3)のヒント
※それでも分からなければ、「自主的に」a[5]=2, a[6]=3 といった確率を考えてみる所

さて。裏が出ると座標が反転する ( +2→-2 とか、-3→+3とか ) のがややこしいのですが、一度出た表は、最終的な座標には +1 もしくは -1 として影響します。
逆に裏は、座標の絶対値そのものには影響しません。

そうすると、n回投げて座標がn-3と言うことは、
・表の内+1がn-2回と-1が1回、残り1回が裏
・表n-3回が全て+1、残り3回が裏
の2ケースしかありません。
前者は裏が1回だけなので、1の位置から裏が出ることが確定します。( 2以上の位置から裏だと、-1×2回以上ということになる )
後者は表が全て+1になるということなので、裏が出てマイナスの座標に移ってもまたすぐ裏でプラスに戻るということ。そうすると、裏は最初 ( 原点から裏が出ても原点のまま ) と、それ以降は2連続で出るか、どちらかになります。
「裏が2連続」だと、実際に裏が出るのが何通りかというとn-2通りになります。実際に数えて確認してみてください。

No.28526 - 2014/08/24(Sun) 20:38:18

★ (No Subject) / 数学

よろしくお願いします。

No.28517 - 2014/08/24(Sun) 14:16:36

☆ Re: / X

(1)
条件からαの方程式は
x/1+y/1+z/1=1
つまり
x+y+z=1 (A)
∴法線ベクトルの一つは(1,1,1)

(2)
(1)の結果により求める円の中心は
Aを通り(1)の結果を方向ベクトルとする直線
(lとします)
と(A)との交点とします。
ここで(1)の結果によりlのベクトル方程式は
(x,y,z)=(t+1,t-2,t-1) (B)
(tは媒介変数)
(B)を(A)に代入して、整理し
t=1
これを(B)に代入して、求める円の中心の座標は
(2,-1,0)
この点をBとし、Cの半径をrとすると求める円の半径は
√(r^2-AB^2)=√(2^2-3)=1

No.28528 - 2014/08/24(Sun) 21:34:09

★ (No Subject) / 数学

教えてください。

No.28516 - 2014/08/24(Sun) 14:16:14

☆ Re: / X

D(a)を表す不等式から
a^2-2(x+1)a+y-2≦0
ここで
f(a)=a^2-2(x+1)a+y-2
と置きます。
(1)
条件を満たすためには
-1≦a≦2 (A)
において
f(a)≦0
が成立すればよいことになります。
ここで縦軸にf(a),横軸にaを取ったグラフが
下に凸の放物線であることに注意すると
求める条件は
f(-1)≦0 (B)
f(2)≦0 (C)
後は(B)(C)をx,yの不等式で表します。

(3)
問題の条件が
(A)においてf(a)＞0 (P)
となる場合の否定と考え、まず(P)となる
条件を考えます。
ここで縦軸にf(a),横軸にaを取ったグラフが
軸がa=x+1である下に凸の放物線であること
に注意すると
(i)x+1＜-1のとき
f(-1)＞0
(i)2＜x+1のとき
f(2)＞0
(iii)-1≦x+1≦2のとき
f(x+1)＞0

以上から求める条件は
x＜-2のとき、(B)
1＜xのとき、(C)
-2≦x≦1のとき、f(x+1)≦0
((B)、(C)、f(x+1)をx,yの式で表すことは
(1)の場合と同じです。)

No.28529 - 2014/08/24(Sun) 21:52:46