x,y,zを負の数として
x^2+y^2+z^2+2xyz=1・・?@
が成り立っている。
このとき?@はｘ、ｙ、ｚについて対称だから
(x+1),(y+1),(z+1)は全て同符号か、あるいはどれかが０である。
とあるのですが、なぜですか？
よろしくおねがいしますorz
|
No.28684 - 2014/09/01(Mon) 19:45:40
| ☆ Re: / angel | | | > とあるのですが、なぜですか？
?@という条件が与えられただけで、
> このとき?@はｘ、ｙ、ｚについて対称だから
> (x+1),(y+1),(z+1)は全て同符号か、あるいはどれかが０である。
というのは論理の飛躍があります。
一般的に「対象だから全て同符号 ( あるいは〜 )」のようなことは言えません。
何か途中にもうちょっと説明はありませんでしたか?
※あったのに省略して質問を載せたとしたら、「メッ」ですよ
|
No.28705 - 2014/09/02(Tue) 23:17:23 |
| ☆ 対称 / angel | | | さて。で、「対称」とありますが、この場合は「文字を色々入れ替えても条件や結果等が変わらない」ことを表しています。
例えば、x^2+y^2+z^2+2xyz=1 ( x,y,zは負 ) は、x,y,zの順番を入れ替えても ( y^2+x^2+z^2+2yxz=1 とか z^2+x^2+y^2+2zxy=1 とか… ) 条件は全く変わりません。
つまり「対称」である、ということになります。
そうすると、この条件を満たす解は無数にありまして、(x,y,z)=(-2,-7,-26) もその一つですが。
x,y,zの順番を入れ替えた (y,x,z)=(-2,-7,-26) や (z,x,y)=(-2,-7,-26) 等も同時に解であることになります。これが「対称」という性質です。
ここで仮に、元の条件式を調べた結果
(x+1)(y+1)≧0
という(必要)条件が分かったとしましょう。これは
(x+1),(y+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0
を意味します。
そうすると、「対称」という性質から、x,y,zを色々入れ替えてできた条件も同じように成立する訳ですから、
( (x+1),(y+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0 )
かつ( (y+1),(z+1)が同符号、またはy+1=0、またはz+1=0 )
かつ( (z+1),(x+1)が同符号、またはz+1=0、またはx+1=0 )
ということになります。
※「入れ替える」時になかった文字が急に出てきたように見えるかもしれませんが、
「(x+1),(y+1)が同符号、または〜、zに関しては言及なし」
を
「(y+1),(z+1)が同符号、または〜、xに関しては言及なし」
のように入れ替えていると考えてください。
これを整理すると、
(x+1),(y+1),(z+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0、またはz+1=0
となります。
…と言うことで。こういう話につながる部分が解説に書いてあったのではないかと思うのですが…
|
No.28706 - 2014/09/02(Tue) 23:35:31 |
| ☆ Re: / ハウ | | | 回答ありがとうございます
( (x+1),(y+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0 )
かつ( (y+1),(z+1)が同符号、またはy+1=0、またはz+1=0 )
かつ( (z+1),(x+1)が同符号、またはz+1=0、またはx+1=0 )
が(x+1),(y+1),(z+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0、またはz+1=0になる理由が分かりません。
※x^2+y^2+z^2+2xyz=1
を因数分解して
(x-yz)^2≧０に注意すると
(y+1)(z+1)≧０からのくだりでした。省略もうしわけありません
|
No.28713 - 2014/09/03(Wed) 03:33:02 |
| ☆ Re: / ハウ | | | S∨X∨Y
かつ
T∨Y∨Z
かつ
U∨Z∨X
かなり難しいと思うのですが
|
No.28730 - 2014/09/04(Thu) 01:51:33 |
| ☆ Re: / angel | | | この場合は、
(x+1), (y+1), (z+1) の中に 0 があるかどうか
で場合分けするとスッキリします。
ちょっと条件文が長いので、場合分けの条件を
E = (x+1),(y+1),(z+1) のいずれかが0
として、問題の条件
P = ( (x+1),(y+1)が同符号、または〜 ) かつ …
Q = (x+1),(y+1),(z+1)が全て同符号、またはいずれかが0
としておきましょう。
この時、Q の「または」以降は E と同一であることに注意。
ではそれぞれの場合を見ていきます。
・Eが真の場合
Q の「または」以降が成立するという前提になるので、Pの真偽に関わらずQは真
そのため、P⇒Q も真
・Eが偽の場合
(x+1),(y+1),(z+1)がいずれも0でないので、
もしPが真ならば、Pの()内の「または」の部分が偽なので、
「(x+1),(y+1)が同符号」「y+1),(z+1)が同符号」「(z+1),(x+1)が同符号」
の部分が全て真になる。
つまり、(x+1),(y+1),(z+1)は全て同符号で、Qは真。
Pが真の時にQも真になる、すなわちP⇒Qは真
と言うことで、いずれの場合でも P⇒Q は真になります。なので、Pが示せた時点でQも示せたことになります。
|
No.28731 - 2014/09/04(Thu) 07:29:10 |
| ☆ 補足 / angel | | | さて、上の説明は P⇒Q が真である ( だから、P が示せた時点で Q も示せたことになる ) というものになりますが、ただ実際に P の形を見ただけで Q の形が分かるのか? という疑問はあると思います。
しかも今回の場合、P と Q は同値ではありませんから。
※つまり、P⇒Q は真だが Q⇒P は真ではない
※一例として、「(x+1),(y+1)が異符号、(z+1)=0」では P は偽になるが Q は真になる
今回の場合は、「0かどうか」というのが非常に特殊な条件なので、そこに着目してQの形を導くことは不自然ではありません。
しかしながら、PからQを導いたというよりは、予めQの形を想定しておいて、それをPから確かめたという方が正しいでしょう。「なぜQの形なのか」は、その後の解答の進め方に都合が良かったから、ということになります。
※なので、その後の説明を見るのが大事
|
No.28732 - 2014/09/04(Thu) 08:20:00 |
| ☆ 同値な条件 / angel | | | 参考までに、では P と同値な条件を整理したらどうなるか、
結論を先に言うと、
(x+1),(y+1),(z+1)は全て非負、または全て非正
になります。
※もちろん他の表現も考えられます。
※…あれ、こっちの整理の仕方の方が使い易いような…。まあ、それは気にしないでおきましょうか。
アプローチは色々ありますが、
・ちょっと閃き
「(x+1),(y+1)が同符号、もしくはx+1=0もしくはy+1=0」を、
「(x+1),(y+1)が共に非負、または共に非正」
と読み替えること。
それが他の文字の組み合わせでも同じだから、という理屈です。
ただ、「共に非負」と「共に非正」が同時に成立するパターンの扱いには注意が必要です。
・否定形を考えてみる
「(x+1),(y+1)が同符号、またはx+1=0、またはy+1=0」は、
否定形で考えると「(x+1),(y+1)が異符号ではない」です。
そうすると、Pは「Aではない、かつBではない、かつCではない」という形になるので、
「( AまたはBまたはC )ではない」
と変形できます。( ド・モルガンの法則 )
今回は「(x+1),(y+1),(z+1)の中でいずれの2個の組み合わせも異符号ではない」
と言うことで、それは非負もしくは非正で揃っているからに他なりません。
・正攻法
最後は正攻法。地味ですが大事です。
(x+1),(y+1),(z+1)それぞれが、0か正か負かを考えれば良いので、27通りの場合分けになります。
…が、流石にちょっと大変ですね。ここで「対称」という性質を活かせばもうちょっと楽ができます。
なぜなら、例えば「(x+1)が0、(y+1)が正、(z+1)が負」の時の話は、x,y,zを入れ替えた「(y+1)が0、(z+1)が正、(x+1)が負」等の状況でも同じになるので、結局「0,正,負が何個ずつなのか」を考えるだけで済むからです。
…まあそれでも10通りありますが。
全部列挙すると、
1. 全て0 … Pが真
2. 0×2, 正×1 … Pが真
3. 0×2, 負×1 … Pが真
4. 0×1, 正×2 … Pが真
5. 0×1, 正×1, 負×1 … Pが偽
6. 0×1, 負×2, … Pが真
7. 全て正 … Pが真
8. 正×2, 負×1 … Pが偽
9. 正×1, 負×2 … Pが偽
10. 全て負 … Pが真
なので、Pは、ケース1,2,3,4,6,7,10のいずれかが成立すること、と同値になります。
※この場合も、否定形の「ケース5,8,9が成立しないこと」の方が分かり易いかもしれません
なお、個々のケースを検証する場合、例えばケース5なら、「x+1=0,y+1が正,z+1が負」のようにx,y,zの役割は好きに決めてしまって構いません。解答では良く「…として一般性を失わない」と書くところです。
なぜかと言うと、これこそ「対称」だから。その好きに決めた組み合わせで成立することは、文字を入れ替えても同じように成り立つからです。
|
No.28733 - 2014/09/04(Thu) 09:02:43 |
|
