有理数係数の二次方程式x∧2＋ax＋ｂ＝０が無理数の解αを持つとき、任意の有理数Ｃに対して、１/(α＋Ｃ)＝pα＋q を満たすp、qの組がただ一つ存在することを示せ
この問題の解答がなくて困っています。教えてください
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No.28805 - 2014/09/11(Thu) 15:49:17
| ☆ Re: / 受験生 | | | No.28806 - 2014/09/11(Thu) 15:50:13 |
| ☆ Re: / X | | | 条件から
α^2+aα+b=0 (A)
(α+C)(pα+q)=1 (B)
(B)より
pα^2+(Cp+q)α+Cq-1=0 (B)'
(A)を用いて(B)'からα^2を消去すると
(Cp+q-ap)α+(Cq-1-bp)=0 (C)
ここでαは無理数、a,b,C,p,qは有理数ですので
Cp+q-ap=0 (D)
Cq-1-bp=0 (E)
(証明は省略します)
整理して
(C-a)p+q=0 (D)'
bp-Cq=-1 (E)'
(D)'(E)'をp,qについての連立方程式とみて
解くと
p=-1/(C^2-aC+b) (F)
q=(C-a)/(C^2-aC+b) (G)
よって命題は成立します。
注)
(F)(G)となるためには
C^2-aC+b≠0
であることを示さなくてはいけませんが
その証明を付け加えておきます。
x^2+ax+b=0
のα以外の解をβと置くと、解と係数の関係から
α+β=a (H)
αβ=b (I)
∴βは無理数
(H)(I)より
(-α)+(-β)=-a
(-α)(-β)=b
∴解と係数の関係により、二次方程式
x^2-ax+b=0 (J)
の解は-α,-β、つまり無理数となるので
有理数であるCは(J)の解とはなりえません。
よって
C^2-aC+b≠0
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No.28814 - 2014/09/11(Thu) 19:04:54 |
| ☆ Re: / IT | | | （別解）素朴に解の公式を使います。
α=(-a±√(a^2-4b))/2
s=-a/2,t=±√(a^2-4b)/2とおくと α=s+tである。
1/(α+C)
=1/(s+t+C)
分母を有理化する。
s+Cは有理数でtは無理数なのでs+C-tは無理数,よってs+C-t≠0 なので
=(s+C-t)/(s+C-t)(s+C+t)
=(s+C-t)/{(s+C)^2-t^2}
=(s+C-t)/{(s+C)^2-(a^2-4b)/4} 分母をuとおくuは有理数、
={s+C-(α-s)}/u
=(2s+C)/u+(-1/u)α、(2s+C)/u,-1/uは有理数
※一意性を示すのは容易だと思います。
※s,t,uなどと置いたのは表記を簡単にするためです。
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No.28815 - 2014/09/11(Thu) 20:45:29 |
| ☆ Re: / IT | | | xさんへ
例えば,a=2,b=-1,x^2+2x-1=0,α=√2 - 1,C=1 でやると合いません。
p=-1/(C^2-aC+b)
q=(C-a)/(C^2-aC+b)
では？（私の計算ちがいならごめんなさい）
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No.28828 - 2014/09/12(Fri) 00:55:33 |
| ☆ Re: / X | | | >>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>受験生さんへ
ごめんなさい。ITさんの仰るとおり
計算間違いがありました。
それに伴ってNo.28814を修正しましたので
再度ご覧下さい。
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No.28834 - 2014/09/12(Fri) 04:48:39 |
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