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★ (No Subject) / チヤ
2x+y=1、x≧0、y≧0を満たすx、yについて
⑴xyの最大値と最小値を求めよ。
⑵(x^2)(y^2)+(4x^2)+(y^2)＋3xyの最大値と最小値を求めよ。

この問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.27901 - 2014/07/29(Tue) 19:08:11
☆ Re: / X
2x*y=1 (A)
x≧0,y≧0 (B)
とします。
(1)
(A)より
y=1-2x (A)'
∴xy=zと置くと
z=x(1-2x)=-2(x-1/4)^2+1/8 (C)
一方(A)'(B)により
0≦x≦1/2 (B)'
横軸にx、縦軸にzを取った(C)のグラフを
(B)'の範囲で考えることにより
xyの最大値は1/8(このとき(x,y)=(1/4,1/2))
xyの最小値は0(このとき(x,y)=(0,1),(1/2,0))

(2)
(A)と(1)のzを使うと
(x^2)(y^2)+(4x^2)+(y^2)＋3xy=(xy)^2+(2x+y)^2-xy
=z^2-z+1
ということで
f(z)=z^2-z+1 (D)
と置き,(1)から
0≦z≦1/8 (E)
であることに注意して
横軸にz、縦軸にf(z)を取った(D)のグラフを
(E)の範囲で描いてみましょう。
No.27905 - 2014/07/29(Tue) 20:03:35
★ (No Subject) / チヤ
M={m^2+mn+n^2|m、nは負でない整数}とする。
⑴負でない整数a、b、x、yについて、次の等式が成り立つことを示せ。
(a^2＋ab+b^2)(x^2＋xy+y^2)
=(ax+ay+by)^2+(ax+ay+by)(bx-ay)+(bx-ay)^2
⑵7,31,217が集合Mの要素であること示せ。
⑶集合Mの各要素α、βについて、積αβの値はMの要素であることを示せ。

分からないです。教えてください。
No.27900 - 2014/07/29(Tue) 19:03:12
☆ Re: / ヨッシー
(1)
(右辺)＝(ax+ay+by)(ax+ay+by+bx-ay)+(bx-ay)^2
　　　＝(ax+ay+by)(ax+bx+by)+(bx-ay)^2
　　　＝(ax+by)^2+(ay+bx)(ax+by)+abxy + a^2y^2+b^2x^2-2abxy
　　　＝a^2x^2+b^2y^2+2abxy+a^2xy+aby^2+abx^2+b^2xy+a^2y^2+b^2x^2-abxy
　　　＝a^2(x^2+xy+y^2)+b^2(y^2+xy+x^2)+ab(xy+y^2+x^2)
　　　＝(a^2+ab+b^2)(x^2+xy+y^2)
　　　＝(左辺)
(2)
7＝2^2＋2・1＋1^2
31＝5^2＋5・1＋1^2
217＝8^2＋8・9＋9^2
より、いずれも集合Ｍの要素となります。

(3)
α、β は集合Ｍの要素であるので
　α＝a^2+ab+b^2　(0≦a≦b)
　β＝x^2+xy+y^2　(0≦y≦x)
とおけます。このとき bx−ay≧0 であるので、
(1) の結果より、積αβも集合Ｍの要素であると言えます。
No.27917 - 2014/07/29(Tue) 23:43:41
★ (No Subject) / ヒキニート
f^(-1)(f(x))=xはどうして成り立つのですか？

f^(-1)(x)はf(x)の逆関数です。念のため。
No.27898 - 2014/07/29(Tue) 16:53:31
☆ Re: / X
y=f(x) (A)
とすると
fによってxはyに移ります。
このとき
f^(-1)によってyはxに移る
ので
x=f^(-1)(y) (B)
(A)(B)より
f^(-1)(f(x))=x
となります。
No.27899 - 2014/07/29(Tue) 18:47:00
☆ Re: / らすかる
任意のxに対して g(f(x))=x が成り立つような関数g(x)のことをf(x)の逆関数と言い、
f^(-1)(x) と書く、と定義されているからだと思います。
No.27902 - 2014/07/29(Tue) 19:31:27
☆ Re: / ヒキニート
お二方ともありがとうございます。
No.27904 - 2014/07/29(Tue) 19:56:10
★ (No Subject) / ダイス
画像の問題がわかりません。教えてください、よろしくお願いします。
No.27895 - 2014/07/29(Tue) 13:00:48
☆ Re: / ヨッシー
(1)
s+2t≦2 より s/2＋t≦1 と書け、u＝s/2 とおくと、
　ＯＰ＝u(２ＯＡ)＋ｔＯＢ (u＋t≦1, u≧0, t≧0)
と書けるので、Ｐの存在範囲は、図のようになります。

よって、面積は２

(2)
(1) の結果より、Ｐの存在範囲は図のようになります。

（ハッチングの濃い部分）
よって、面積は１＋1/3 ＝4/3
No.27896 - 2014/07/29(Tue) 14:57:58
★ (No Subject) / ダイス
画像の問題がわかりません。教えてください。
No.27894 - 2014/07/29(Tue) 12:55:57
☆ Re: / ヨッシー
(1)
f(x) を x で微分して
　f'(x)＝x^2−2(2^t)ｘ＋4^t−4^(-t)
f'(x)＝０ の解がα、β (α＜β)であるので、
x^2−2(2^t)ｘ＋4^t−4^(-t)＝０ を解いて、
　ｘ＝2^t±√{4^t−4^t＋4^(-t)}
　　＝2^t±2^(-t)
よって、α＝2^t−2^(-t), β＝2^t＋2^(-t)

(2)
αβ＝4^t−4^(-t)＝1　より　ｘ＝4^t とおくと
　ｘ−1/x＝１
　ｘ^2−ｘ−１＝０
　ｘ＝(1±√5)/2
ｘ＞０ より ｘ＝4^t＝(1＋√5)/2
これを ｔ について解いて、
　ｔ＝log[4]{(1＋√5)/2}＝log[4](1＋√5)−1/2
　　＝(1/2){log[2](1＋√5)−1}

(3)
　β−α＝2・2^(-t)≧12
より、
　2^(-t)≧6
　-t≧log[2]6＝log[2](2×3)＝1＋log[2]3
　t≦-log[2]3−1
No.27897 - 2014/07/29(Tue) 15:28:16
★ (No Subject) / わかな
こちらの問題を教えてください。
No.27882 - 2014/07/29(Tue) 08:56:10
☆ Re: / X
|↑a|=|↑b|=1 (A)
↑a・↑b=-1/2 (B)
とします。
(1)
↑c=p↑a+q↑b
を
|↑c|=1 (C)
↑a・↑c=0 (D)
に代入するとそれぞれ
|p↑a+q↑b|=1 (E)
↑a・(p↑a+q↑b)=0 (F)
(E)より
|p↑a+q↑b|^2=1
左辺を展開して(A)(B)を代入すると
p^2-pq+q^2=1 (E)'
一方(F)の左辺を展開し(A)(B)を代入すると
p-(1/2)q=0 (F)'
p＞0に注意して(E)'(F)'をp,qの連立方程式と見て解き
(p,q)=(1/√3,2/√3)

(2)
(1)の結果により
↑b・↑c=(1/2)√3 (G)
に注意します。
さて、(1)の↑cについて
↑a//↑cでなくかつ↑a≠↑Oかつ↑c≠↑O
∴↑x=x↑a+y↑c (H)
と置く事ができます。
(H)より
|↑x|^2=|x↑a+y↑c|^2
右辺を展開して整理することにより
x^2+y^2=|↑x|^2 (H)'
一方(H)を
-1≦↑a・↑x≦1
1≦↑b・↑x≦2
に代入して中辺を展開し、(A)(B)(D)(G)を代入すると
-1≦x≦1 (I)
1≦-x/2+(1/2)y√3≦2 (J)
(J)を更に整理して
x/√3+2/√3≦y≦x/√3+4/√3 (J)'
座標平面上で(I)(J)'が示す領域を図示し、その領域内を
円(H)'が通る条件を求めます。
No.27886 - 2014/07/29(Tue) 10:20:44
☆ Re: / ヨッシー
ａに対して、ａ・ｘ＝１ になるような
ベクトルｘの終点は、図のような直線上にあります。


これを踏まえて、ａ・ｘ が−１〜１となるｘの範囲と、
ｂ・ｘ が １〜２ となる範囲を図示すると下のようになります。

動いている円の半径が｜ｘ｜の取りうる範囲となります。
No.27890 - 2014/07/29(Tue) 11:47:33
★ (No Subject) / わかな
こちらの問題を教えてください。よろしくお願いします。
No.27881 - 2014/07/29(Tue) 08:54:16
☆ Re: / X
証明すべき不等式を(A)とすると
(A)⇔(1/3+(1/2)(a+b)+ab)^2≦(1/9)(3a^2+3a+1)(3b^2+3b+1)
⇔{2+3(a+b)+6ab}^2≦4(3a^2+3a+1)(3b^2+3b+1) (B)
よって(B)を証明します。
((B)の右辺)-((B)の左辺)=…
No.27884 - 2014/07/29(Tue) 09:47:30
★ (No Subject) / わかな
こちらの問題を教えてください。
No.27880 - 2014/07/29(Tue) 08:51:32
☆ Re: / X
問題の等式を(A)とします。
(A)より
∫[0→x]f(t)dt+(x^2)∫[0→1]f'(t)dt+2x∫[0→1]tf'(t)dt+∫[0→1](t^2)f'(t)dt
=x^2+C
両辺をxで微分すると
f(x)+2x∫[0→1]f'(t)dt+2∫[0→1]tf'(t)dt=2x
∴f(x)=2x{1-∫[0→1]f'(t)dt}-2∫[0→1]tf'(t)dt (B)
よって
f(x)=ax+b (C)
と置く事ができます。
(C)を(B)に代入し整理すると
ax+b=2(1-a)x-a
これはxの恒等式ですので両辺の係数を比較して
a=2(1-a) (D)
b=-a (E)
(D)(E)をa,bについての連立方程式と見て解き
(a,b)=(2/3,-2/3)
よって
f(x)=(2/3)x-2/3 (F)
更に(A)においてx=0のとき
∫[0→1](t^2)f(t)dt=C
これに(F)を代入して
C=(2/3)∫[0→1](t^3-t)dt=-1/6
No.27883 - 2014/07/29(Tue) 09:38:25
★ (No Subject) / なは
よろしくお願いします。
No.27878 - 2014/07/29(Tue) 00:59:00
☆ Re: / X
Σ[i=1〜n]a[i]=S[n]
Σ[i=1〜n]b[i]=T[n]
Σ[i=1〜n]a[i]b[i]=U[n]
と置くと証明すべき不等式は
S[n]T[n]≦nU[n] (A)
(A)が
a[1]≧a[2]≧…≧a[n],b[1]≧b[2]≧…≧b[n]
の元で成立するという命題((P)とします。)
を数学的帰納法で証明します。
(i)n=1のとき
(P)の成立は明らか。
(ii)n=kのとき、(P)の成立を仮定します。つまり
a[1]≧a[2]≧…≧a[k],b[1]≧b[2]≧…≧b[k]
のとき
S[k]T[k]≦kU[k] (A)'
さて
a[1]≧a[2]≧…≧a[k]≧a[k+1],b[1]≧b[2]≧…≧b[k]≧b[k+1] (B)
なるa[k+1],b[k+1]を考えるとき
(k+1)U[k]+(k+1)a[k+1]b[k+1]-(S[k]+a[k+1])(T[k]+b[k+1])
=kU[k]-S[k]T[k]+{U[k]-a[k+1]T[k]-b[k+1]S[k]+ka[k+1]b[k+1]} (C)
ここで{}内のS[k],T[k],U[k]を元に戻すと
U[k]-a[k+1]T[k]-b[k+1]S[k]+ka[k+1]b[k+1]
=Σ[i=1〜k]{a[i]b[i]-a[k+1]b[i]-b[k+1]a[i]+a[k+1]b[k+1]}
=Σ[i=1〜k](a[i]-a[k+1])(b[i]-b[k+1]) (D)
(A)'(B)(C)(D)により
(k+1)U[k]+(k+1)a[k+1]b[k+1]-(S[k]+a[k+1])(T[k]+b[k+1])≧0
ですのでn=k+1のときも(P)は成立。

よって命題(P)は成立します。
No.27888 - 2014/07/29(Tue) 10:49:55
☆ Re: / なは
ありがとうございました
No.27924 - 2014/07/30(Wed) 00:48:39
★ 数列 / うぃーあー
数列{an}の初項a1から第ｎ項までの和SnがS1=0,Sn+1-3Sn=n^2 (n=1,2,3,...)

このとき数列{an}が満たす漸化式をanとan+1の関係式で表せ。

※Sn+1はn+1項目　、an+1もn+1項目です。
わかりにくくてすみません
No.27874 - 2014/07/28(Mon) 21:16:48
☆ Re: 数列 / ヨッシー
a1＝S1＝0 はすぐに分かります。

S[n+1]-3S[n]=n^2 および S[n+2]-3S[n+1]=(n+1)^2 より
S[n+2]-S[n+1]-3(S[n+1]-S[n])=(n+1)^2-n^2
a[n+2]-3a[n+1]=2n+1 (n=1,2,3,...)

Sn+1-3Sn=n^2 にn=1 を代入すると
S2-3S1=1 より S2＝1
よって、a[n+2]-3a[n+1]=2n+1 は、n=0 の場合も成り立つ
よって n を n-1 に置き換えて
　a[n+1]-3[n]=2n-1 ・・・答え
No.27875 - 2014/07/28(Mon) 21:34:13
★ 判断推理っぽい問題です / ぽんぽこ
縦3×横3の合計9個からなる区画があり真ん中を除いた8個の区画に花を植える。
[縦・横の花の合計がどちらも15本になるように植えるとするとき]〜(略)を求めよ。という問題があります。
この問
題文の[ ]について
縦の花の合計、横の花の合計がどちらも15本という意味なのだとは思いますが、三方陣には3つの縦と3つの横があります。
縦の花の合計が15とだけあれば、正面からみた縦(3つ)の内に入る区画の合計が15のように解釈してしまいます。
回答では、一つの縦の合計が15というふうに解釈して解いています。
問題文が「縦の花の合計、横の花の合計いずれもが、それぞれの列において15本になる」ならまだ分かるのですが、、、
どうすれば元の問題文からすんなり解釈できるのか教えてください。お願いいたします。
No.27865 - 2014/07/28(Mon) 07:06:56
☆ Re: 判断推理っぽい問題です / ヨッシー
ぽんぽこさんがどのように解釈されたかが今ひとつよく分かりません。
(略)の部分の問題全文と、ぽんぽこさんの解釈による解答、
問題集(？)の解答を載せてもらえば、よく分かると思います。

私がこの問題を読んだときは、すぐに魔方陣のようなものを
思い浮かべました。疑問はむしろ、真ん中の区画を挟んで(含んで)
同じ縦列、同じ横列にある、実質２個の区画の合計も１５に
するのかどうかと言うことで、これは解いているうちに
明らかになるだろうと考えました。

では、問題と解答の掲載をお待ちします。
No.27867 - 2014/07/28(Mon) 08:08:20
☆ Re: 判断推理っぽい問題です / ぽんぽこ
回答ありがとうございます。
略の部分は「８個の区画に植えた花の数の最大値を求めよ」です。また忘れていたのが問題文には「少なくともどの区画にも１本以上植えるとあります」
私の解釈というのは、
例えば区画を
a b c
d ×e
f g h　

とします。
「縦・横の花の数の合計がどちらも15本になるように植える」
とは、縦の花の数の合計、横の花の数の合計ともに１５本ということはまずあっているでしょうか？
この前提で私の解釈の１つ目には、区画において縦というと、
adf、b(×)g、ceh　
横というとabc、d(×)e、fghがあります。
つまり、縦の花の数の合計とは、縦adf,bg、cehの花の数の合計とし、(a+d+f)+(b+g)+(c+e+h)=15
横も同様としてしまいました。
ですが、これでは最大値といえないと思うのでまずありえないんじゃないかと思いました。
次に、bg、deをそれぞれ縦、横とみなさないと考えるのであれば、縦の花の数の合計とは(a+d+f)+(c+e+h)=15・・・?@
横の花の数の合計とは(a+b+c)+(f+g+h)=15・・・?A
?@-?Aより、
d-b-g＝0
整数問題として値を絞り込むこともできなさそうです。
次に、縦の花の数の合計をそれぞれa+d+f=15 b+g=15　c+e+h=15とすると、(横に関しては省略)
a+b+c+d+e+f+g+h=45となり、最大値を求めるに至らないのでだめ。
では最後に縦の花の数の合計をそれぞれa+d+f=15　c+e+h=15とすると、これなら最大値を求めれそうだな。と思い、ここにきてやっとヨッシーさんが最初に思い浮かべた疑問に到達できたといったかんじです。
どうすればすぱっとはじめからこのように解釈できるのでしょうか？
教えてください。お願いします。
No.27868 - 2014/07/28(Mon) 11:26:41
☆ Re: 判断推理っぽい問題です / ぽんぽこ
つまり私は問題文の「縦」と「横」を
縦の合計が3つの縦の合計とするとき⇒2つとするとき⇒1つとするとき
横の合計が3つの横の合計とするとき⇒2つとするとき⇒1つとするとき　
というふうに考えたということです。
No.27870 - 2014/07/28(Mon) 11:52:23
☆ Re: 判断推理っぽい問題です / ヨッシー
問題文を正確に書くならば、
「縦または横に連続して並んだ３つの区画の花の合計がいずれも１５になる」
のような言い回しになるでしょう。
上の例の ｂ＋ｇ や ｄ＋ｅ も縦、あるいは横に含まれるかどうかという
曖昧さも除くことが出来ます。

一方で、こういう曖昧さの残る表現である場合も、
「問題として成り立つように読む」
というルールではありませんが、習慣があります。
（明文化されていませんし、それに甘んじて問題文をいいかげんに
作るというのは言語道断です）

>(a+d+f)+(b+g)+(c+e+h)=15
これは極端ですが、これにせよ
>a+d+f=15　b+g=15　c+e+h=15
これにせよ、いずれも花の総数が一定になるようなものは
この問題の場合ふさわしくない解釈のしかたであり、
　ａｂｃ，ｆｇｈ　のみが横
　ａｄｆ，ｃｅｈ　のみが縦
と解釈するのが適当ということになります。

>どうすればすぱっとはじめから
はなかなか難しいですが、普通の魔方陣は、和が一定であるところから
始めることが多いのですが、「最大値」のように変化する要素が
あるということは、和が１５ではない部分が含まれるという
発想から、空白を挟む列は１５ではないという考えに至ります。
No.27871 - 2014/07/28(Mon) 13:36:58
★ 複素解析 / ケットシー
連投失礼します。
複素解析の問題で、コーシーの積分定理を使う問題が分かりません。写真の(4)、(5)を教えてください。
No.27864 - 2014/07/28(Mon) 06:10:42
★ 解析の問題です / ケットシー
大学3年です。
写真の問7の問題が解けません。差を取ってCauchy列ではないことを言えば証明が進むと言われたのですが、さっぱりです。
考え方、解き方等教えていただきたいです。
No.27863 - 2014/07/28(Mon) 04:18:12
☆ Re: 解析の問題です / IT
距離空間では「コンパクト」⇔「点列コンパクト」は既知ですか？

既知ならば,
{a[n]}の任意の異なる２点間の距離＝√2となることから
R∞は点列コンパクトではない、したがってコンパクトではない。と言えると思います。
No.27879 - 2014/07/29(Tue) 07:20:25
★ (No Subject) / なは
たびたびすみません。
写真の問題はどう考えたらいいですか？⑴⑵は特に
よろしくお願いします。
No.27860 - 2014/07/27(Sun) 22:41:22
☆ Re: / なは
すみません。写真はこれです。
No.27861 - 2014/07/27(Sun) 22:43:13
☆ Re: / ヨッシー
(1)
ＥＧ＝ｓＥＤ＋ｔＥＦ
とおくと、
ＯＧ−ＯＥ＝ｓ(ＯＤ−ＯＥ)＋ｔ(ＯＦ−ＯＥ)
ＯＧ＝(1−s−t)ＯＥ＋ｓＯＤ＋ｔＯＦ
　　　＝(1−s−t)(1/2)ｂ＋ｓ(1/3)ａ＋ｔ{(1/3)ｂ＋(2/3)ｃ}
　　　＝(s/3)ａ＋(2t/3)ｃ＋(1/2−s/2−t/6)ｂ
ここで、ＧはＡＣ上の点なので、
　1/2−s/2−t/6＝０
　s/3＋2t/3＝１
これを解いて、s=3/5, t=6/5
　ＯＧ＝(1/5)ａ＋(4/5)ｃ
(2)
ＥＨ＝ｓＥＤ＋ｔＥＦ
とおくと、
ＯＨ＝(s/3)ａ＋(2t/3)ｃ＋(1/2−s/2−t/6)ｂ
ＨはＯＣ上の点なので
s/3＝０、1/2−s/2−t/6＝０
これを解いて、s=0, t=3
よって　ＯＨ＝2ｃ となり、
　ＯＣ：ＣＨ＝１：１

(3)
四面体Ｈ−ＯＤＥ を考えます。
これは、四面体Ｃ−ＯＡＢに比べて、底面積 1/6倍 高さ２倍なので、
体積は 1/3 倍です。
一方、ＯＣ：ＣＨ＝１：１ の他に、
　ＥＦ：ＦＨ＝１：２
　ＤＧ：ＧＨ＝２：３
を別途求めておいて、四面体Ｈ−ＣＦＧを考えると、これは四面体Ｈ−ＯＤＥの体積の
　1/2×2/3×3/5＝1/5(倍)
であり、これを取り去った部分は、
　四面体Ｈ−ＯＤＥの4/5倍
　四面体Ｃ−ＯＡＢの4/15倍
となります。
以上より、求める体積比は
　４：１１　点Ｏを含む方が４
となります。
No.27866 - 2014/07/28(Mon) 07:43:23
☆ Re: / なは
詳しく教えてくださりよくわかりました。
ありがとうございました！またよろしくお願いいたします
No.27872 - 2014/07/28(Mon) 14:39:47
★ (No Subject) / あい

8人を次のように分ける方法は何通りあるか。
(1)3人、3人、2人に分ける。
(2)2人ずつ４組に分ける。

どうやっても答えが合わずに困っています。
宜しくお願いします。
No.27859 - 2014/07/27(Sun) 20:41:34
☆ Re: / angel
この手の「分ける」問題は、重複のことを考える必要があります。

例えば(1)で、
　8人中3人を選ぶ
　→ 残り5人から3人を選ぶ
　※残り2人は自動的に同じまとまりに
とシンプルに考えて 8C3×5C3 とするのは誤りです。
なぜなら、8人に1〜8と番号を仮につけて考えた場合、
　8人中 1,2,3 を選ぶ → 残り5人から 4,5,6 を選ぶ
　8人中 4,5,6 を選ぶ → 残り5人から 1,2,3 を選ぶ
この2通りの選び方は、実は (1,2,3)-(4,5,6)-(7,8) という3人,3人,2人の同じ分け方になっていて、それを重複した数え方になっているからです。

考えられる対処は2通り。重複しないような分け方の手順を考えるか、重複したまま数えた上で後から重複分を割り引くか。
私の好みは前者の方法で、それは分け方と計算とが素直にリンクするからです。
(1)の場合、
　8人中2人を選ぶ ( 残り6人は必ずどちらかの3人組に所属する )
　→ 残り6人中、番号の一番小さい1人を代表とする
　→ 残り5人中、上で選んだ代表と同じ組 ( 3人組 ) になる2人を選ぶ
　※残り3人は自動的に同じまとまり
という手順ならば、重複した数え方になりません。なので、
　8C2×1×5C2 ( ×1は別になくて良い )
の値がそのまま答えになります。
No.27862 - 2014/07/28(Mon) 01:29:42
★ (No Subject) / なは
xy平面において、曲線y＝x^2を頂点とし、
Ｃ上に点A(2,4)がある。このとき次の条件をみたす正方形の個数をもとめよ。
条件:
Aを一つの頂点とし、残りの3つの頂点のうち2つはＣ上にあり1つは領域y>x^2に含まれる。

教えてください。よろしくお願いします。
No.27856 - 2014/07/26(Sat) 23:48:31
☆ Re: / X
>>曲線y＝x^2を頂点とし、
意味が不明です。問題文は正確にアップして下さい。
No.27857 - 2014/07/27(Sun) 05:49:47
☆ Re: / なは
すいません
>>曲線y＝x^2を頂点とし、は
曲線ｙ=x^2をCとしでした。
よろしくお願いいたします。
No.27858 - 2014/07/27(Sun) 17:48:05
☆ Re: / なは
解決しました。
ありがとうございます。
No.27869 - 2014/07/28(Mon) 11:47:51
★ 数列 / １２３
｛ak}は初項２の等差数列で初項から第ｎ項までの和Ｓｎは
ｎ＾３に比例するという。このときａ50の値はどれか。
No.27851 - 2014/07/26(Sat) 17:10:26
☆ Re: 数列 / １２３
問題がおかしいのでしょうか？
なんか解答ではｎの２乗になっていたのですがｎの２乗なら成り立つのですか
No.27852 - 2014/07/26(Sat) 17:23:01
☆ Re: 数列 / らすかる
問題がn^3になっていて解答がn^2になっているのであれば
間違いなく問題の誤植ですね。
n^2に比例するならば
初項2でS[n]がn^2に比例することから S[n]=2n^2
∴a[50]=S[50]-S[49]=2(50^2-49^2)=2(50+49)(50-49)=198
となります。
No.27853 - 2014/07/26(Sat) 18:04:24
☆ Re: 数列 / １２３
ありがとうございます。
No.27854 - 2014/07/26(Sat) 20:10:24
★ (No Subject) / みん
置き換え利用の展開

(ｘ²+2ｘ+2)(ｘ²-2ｘ+2)

これはｘ²+2=ｔと置くと解けますが、何故、2ｘ+2=tと置いては間違えなのでしょうか
No.27847 - 2014/07/26(Sat) 09:56:12
☆ Re: / X
(与式)={x^2+(2x+2)}{x^2-(2x-2)}
ですので
2x+2=t
では置き換えの意味がありません。
No.27850 - 2014/07/26(Sat) 11:54:25
★ 円に内接する三角形 / yuhka
半径Rの円に内接する△ABCはAB=3、BC=5、cos∠ABC=1/3を満たす。
AC=(ア)√(イ)、R=(ウ)√(エ)/(オ)
点Bを含まない弧AC上に△ACDの面積が最大になる点Dをとると、
AD=(カ)、DB=(キ)√(ク)
点Bを含む弧AC上にAC⊥DEとなる点Eをとると、
∠DBE=(ケコ)°、BE=√(サ)

AC=2√6、R=3√3/2となりましたが、ここからどうすれば良いでしょうか?
No.27840 - 2014/07/25(Fri) 18:33:56
☆ Re: 円に内接する三角形 / X
辺CAの垂直二等分線(lとします)を取ると
lは△ABCの外接円の中心を通ります。
よって円の対称性により点Dはこの外接円と
lとの交点のうちでCAに関してBとは反対側の
点となります。
ここで四角形ABCDは円に内接しているので
cos∠ADC=cos(180°-∠ABC)
=-cos∠ABC
=-1/3
このことと△ACDが
AD=CD
の二等辺三角形となっていることから
余弦定理を使ってADについての方程式を立てて
解きます。
得られたADの値と四角形ABCDが円に内接している
ことを用いて、△ABDと△BCDに注目した余弦定理を
用いることでBDとcos∠BADについての連立方程式を
立てて解きます。

さて、上記のことから点Eは△ABCの外接円とlとの
D以外の交点になっていますので、DEはこの外接円
の半径。
よって円周角により
∠DBE=90°
後は△BDEに三平方の定理を使います。
No.27841 - 2014/07/25(Fri) 19:47:25
☆ Re: 円に内接する三角形 / yuhka
ありがとうございました！
No.27842 - 2014/07/25(Fri) 21:17:37
★ ユークリッドの互除法について / うさぎ
高校２年生です。
ｎを自然数とする。n^2+5とn+3の最大公約数として考えられる数をすべて求めよ。

解答は
n^2+5-(n+3)=n^2-n+2=(n-1/2)^2+7/4>0となるので
n^2+5>n+3である。２数a,bの最大公約数を（a,b)で表す。
(n^2+5,n+3)　　
=(-3n+5,n+3)　　
=(-3n+5,14)
よって、最大公約数の候補は1,2,7,14である。
ここで、
n=1のとき　-3n+5=2　より最大公約数は2
n=2のとき -3n+5=-1　より最大公約数は1
n=4のとき -3n+5=-7　より最大公約数は7
n=11のとき -3n+5=-28　より最大公約数は14
よって最大公約数は1,2,7,14

（n^2+5,n+3)=(n+3,-3n+5)にならないのはどうしてなのか。
これを続けると、(n+3,-3n+5)=(-3n+5,14/3)となってしまい、おかしいということはわかるのですが・・・
また、なぜ最大公約数は14だけではなく、1,2,7も考えなければならないのか。
よく分からないので教えてください。
No.27837 - 2014/07/25(Fri) 15:46:40
☆ Re: ユークリッドの互除法について / らすかる
> （n^2+5,n+3)=(n+3,-3n+5)にならないのはどうしてなのか。
（n^2+5,n+3)=(-3n+5,n+3) でも
（n^2+5,n+3)=(n+3,-3n+5) でも同じことですが、
n^2+5をn+3で割った余りが-3n+5ですから
右側のn+3を左に移動せずにn^2+5のところを-3n+5にした方が自然ですね。

> これを続けると、(n+3,-3n+5)=(-3n+5,14/3)となってしまい
いいえ、なりません。
n+3と-3n+5では-3n+5の方が係数が大きいので
-3n+5をn+3で割った余りを考え、(n+3,14)になります。

> また、なぜ最大公約数は14だけではなく、1,2,7も考えなければならないのか。
(n^2+5,n+3)が(-3n+5,14)になったということは、
「n^2+5とn+3の最大公約数は、-3n+5と14の最大公約数に等しい」
という意味ですから、
「n^2+5とn+3の最大公約数」
＝「-3n+5と14の最大公約数」
＝14の約数
です。

# 整式の割り算とはちょっと違います。
# 例えば(2n+3,3n+5)だったら(3n+5)÷(2n+3)は3/2余り1/2とはせず、
# 1余りn+2とします。
# よって(n+3,-3n+5)から(n+3)÷(-3n+5)と考えた場合でも
# -1/3余り14/3とはならず、0余り-3n+5です。
No.27838 - 2014/07/25(Fri) 16:16:55
☆ Re: ユークリッドの互除法について / うさぎ
ありがとうございます。
よくわかりました。
ユークリッドの互除法のときは、（　）の中の順序に関係なく、大きい方を小さい方で割っていいのですね。
整式の割り算との違いも、とても助かりました。
No.27839 - 2014/07/25(Fri) 16:46:01
☆ Re: ユークリッドの互除法について / 放浪者
横から失礼します。解答を作ってみたのであっているか見てもらえないでしょうか？

(n^2+5,n+3)=(n+3,14)
よって最大公約数Gの候補としては
１４，７，２，１が考えられる。
G＝１４はn+3=14,28,・・・のとき実現可能
G=7はｎ＋３＝７⇔ｎ＝４で実現可能
G=2はｎ＋３＝４，６，８，１０、・・・で実現可能
G=1はｎ＋３＝５，９，１１，１３，１５、・・で実現可能

よって１，２，７，１４が考えられる
No.27855 - 2014/07/26(Sat) 22:28:01
☆ Re: ユークリッドの互除法について / 放浪者
（n^2+5,n+3)=(-3n+5,n+3)ではなく(n^2+5,n+3)=(n+3,14)になりましたが・・
No.27873 - 2014/07/28(Mon) 16:32:33
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